7磁场矢势A+和标势(ψ)的相容性分析
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电磁场的矢势和标势
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
经过例子可看到：
库仑规范旳优点是：它旳标势 描述库 仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它旳矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波旳两种独立
偏振。
洛仑兹规范旳优点是：它旳标势 构成旳势方程具有对称性。它旳矢势
A旳纵和向矢部势A
分和标势 旳选择还能够有任意性，即存在多出
2
2
A
0
1 2A c2 t 2
1 c2
t
( )
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹旳规方范程(与 静A 电1场相 同 0。)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0 j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波旳势
尤其简朴旳对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足旳方程，得到：
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
方程旳关系，所以它 们之间旳关系不是一一相应
旳，这是因为矢势 A 能 够加上一种任意标量函数
旳旳将梯梯E度度，在成E果不影A响中B旳A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数旳，但
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
经过例子可看到：
库仑规范旳优点是：它旳标势 描述库 仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它旳矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波旳两种独立
偏振。
洛仑兹规范旳优点是：它旳标势 构成旳势方程具有对称性。它旳矢势
A旳纵和向矢部势A
分和标势 旳选择还能够有任意性，即存在多出
2
2
A
0
1 2A c2 t 2
1 c2
t
( )
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹旳规方范程(与 静A 电1场相 同 0。)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0 j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波旳势
尤其简朴旳对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足旳方程，得到：
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
方程旳关系，所以它 们之间旳关系不是一一相应
旳，这是因为矢势 A 能 够加上一种任意标量函数
旳旳将梯梯E度度，在成E果不影A响中B旳A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数旳，但
电磁场理论课件 第五章 第1节 电磁场的矢势和标势
但将
E
t
A
t
t
t
t
中的与此融合也作相应的变换，则仍
可使 E 保持不变
t
A ( ) ( A )
t
t t
( ) A ( )
t
t t
A E
t
即设任意的标量函数 (x,t)，作下述变换式：
A A A
t
于是我们得到了一组新的 A. ，满足
可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为
零，这里引入的矢势、标势（时间的函数）与静
电场（与时间无关）情况有很大的不同。
D
E
B t
B 0
H
J
D
t
? B A
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
种独立偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势
和矢势
A
构成的势方程具有对称性。它的矢势 A 的纵向部
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变
性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
总结本次课的内容
1. 用势描述电磁场
B A
E
A t
2. 两种规范
1.库仑规范 A 0
potential)。
c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
2 1 2 A 1 A ( A ) 0 J c 2 t 2 c 2 t 2 A t 0
标势 φ满足泊松方程，与静电场方程相同，其解为库仑势 标势与矢势的方程不对称 例：以单色平面电磁波为例，讨论两种规范的特点
解： 1. 如果采用洛伦兹规范条件，当单色平面电磁波在没有电荷、 电流分布的自由空间中传播时，势方程变为如下的齐次波动方程：
2 1 2 c 2 A 1 c2 2 0 2 t 2 A 0 2 t
i ( k x t ) e 0 其解为： i ( k x t ) A A e 0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势φ=0，有
14
1 2 A A 2 0 2 c t
2
其解的形式为 A A0 ei ( k x t )
由库仑规范条件 A ik A 0 可知 库仑规范条件已经保证了A 只有横向分量，从而得到电磁场为
B A ik A A A E i A t t
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
ik
k 0 0
c
k
c2
k B cek BB Biblioteka A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
5.1 电磁场的矢势和标势(2)
A
0
若采用库仑规范
Α
2
Α 0
μ0 J
1 Α
2
c
2
t
2
1 c t
2
2
0
特点：
标势所满足的方程与静电场情形相同，解为库仑势。
解出后代入可解出A，因而可以确定辐射电磁场。
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
A A A B
t t A A t
E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
l 库仑规范 规范条件： A 0
E A t
E A
结论： 在库仑规范下，电磁场的纵场部分完全由描述， 横场部分完全由 A 描述。
t 2 E
在库仑规范下，所满足的方程
/
51变化电磁场的矢势和标势直接解电磁场方程往往比较困难直接解电磁场方程往往比较困难时变电磁场的处理方法给变化电磁场引入势给变化电磁场引入势导出势满足的微分方程导出势满足的微分方程求出势方程的解求出势方程的解利用场与势的关系定量地确定场量利用场与势的关系定量地确定场量51变化电磁场的矢势和标势512规范变换和规范不变性引入势描述时变电磁场问题
辅助条件
研究用于确定势的两种
§5.1.2 规范变换和规范不变性
为什么引入辅助条件？ 使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。 l 库仑规范
规范条件： A 0
A 为无散场
第1节矢势和标势
1 库仑规范：
取： 势方程：
A 0
2
1 A 1 2 A 2 2 2 0 j C t C t 条件 A 0
2
0
讨论： 1） 的方程与静电势方程相同，有无界解
( R' , t ) ( R, t ) dV ' V ' 4 r 0
Sபைடு நூலகம்S L
对每一时刻，A 沿闭合回路的线积分，与
以此回路为边界的曲面上的磁通量相等。
A 的旋度，没有确定 A 4）由定义只确定了 的散度，因此 A 以至于 都具有不确定性。
2
B 0 j 0 0 E t 2 0 j 0 0 ( 2 A) A ( A) 2 A t t 2 1 1 2 整理得： A C 2 t 2 A ( A C 2 t ) 0 j E 0 ( t A) 0
t 0E 1）真空情况：D B 0 H
2）迅变场是定态波。
因为 B 是无源场： B 0
B A
代入方程2式：
E( R, t ) B( R, t ) ( A) A t t t 改写为： ( E A t ) 0
i ( k R t ) A A0e
i ik A 2 C
代入洛仑兹规范
C2 0 k A0
是平面电磁波情况下的场方程
B A ik A 2 E A ik (C k A) iA t 2 i C k (k A) A(k k ) 2 i i C k (k A) ( A) 0 0 i ( B) 0 0 At A
取： 势方程：
A 0
2
1 A 1 2 A 2 2 2 0 j C t C t 条件 A 0
2
0
讨论： 1） 的方程与静电势方程相同，有无界解
( R' , t ) ( R, t ) dV ' V ' 4 r 0
Sபைடு நூலகம்S L
对每一时刻，A 沿闭合回路的线积分，与
以此回路为边界的曲面上的磁通量相等。
A 的旋度，没有确定 A 4）由定义只确定了 的散度，因此 A 以至于 都具有不确定性。
2
B 0 j 0 0 E t 2 0 j 0 0 ( 2 A) A ( A) 2 A t t 2 1 1 2 整理得： A C 2 t 2 A ( A C 2 t ) 0 j E 0 ( t A) 0
t 0E 1）真空情况：D B 0 H
2）迅变场是定态波。
因为 B 是无源场： B 0
B A
代入方程2式：
E( R, t ) B( R, t ) ( A) A t t t 改写为： ( E A t ) 0
i ( k R t ) A A0e
i ik A 2 C
代入洛仑兹规范
C2 0 k A0
是平面电磁波情况下的场方程
B A ik A 2 E A ik (C k A) iA t 2 i C k (k A) A(k k ) 2 i i C k (k A) ( A) 0 0 i ( B) 0 0 At A
电磁场的矢势和标势
f (t r c) 1 Q(t r c)
4 0
1 f (t r c) 1 Q(t r c)
r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
c2
k•
A横
0
E
A
ik
iA
iA
t
B ik A
由库仑规范，势方程为：
2 0
2 A
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
且：
•
A
ik •
A
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势为0
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2
2
t 2
0
点电荷所产生电场有球对称性
上式的解是一个球面波，考虑到 增大时 减小 令
这个方程是一维空间的波动方程,其通解为 f,g为两个任意函数
此解中第一项表示由场源向外辐射的球面波，第 二项表示向场源汇聚的球面波。 f,g的形式由场源条件而定
b)在时变场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须 把 和 作为一个整体来描述电磁场
思考？当 与时间无关时，电磁场的特点？
已自动成立
规范变换和规范不变性 规范变换
规范不变性 当势作规范变换时，所有物理量和物理规 律都保持不变，这就是规范不变性。
电磁场的矢势和标势
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
★由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇ × (E + ∂A ) = 0 ⇒ E + ∂A = −∇ϕ
∂t
∂t
一般而言：
【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
★ 电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义；
矢势和标势（续）
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
ϕ → ϕ = ϕ − ∂ψ ∂t
存
(1) (2)
§ 1.2 规范变换和规范不变性
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0 ◆库仑规范纵横分明：库仑场和感应场
A
∇·B =0
⇒
B =∇×A
E ? = −∇ϕ
第一节 电磁场的矢势和标势
§ 1.1 矢势和标势
电动力学练习题
2.真空中静电场的电势为：
ax ax ( x 0) ( x 0)
求产生该电场的电荷分布。
第三章 静磁场
一、选择题
1.静磁场中可以建立矢势 A
的理由是:
A、静磁场是保守场； B、静磁场 B 0 J ，即静磁场是有旋场； C、静磁场 B 0 ，即静磁场是无源场； D、静磁场与静电场完全对应。 2.静磁场中矢势 A : A.在场中每一点有确定的物理意义； B 只有在场中沿一个闭合回路的积分 A d l 才 有确定的物理意义； C.只是一个辅助量，在任何情况下无物理意义； D.其值代表场中每一点磁场的涡旋程度。
n D 2 D1
, n (E E ) 2 1
。
在绝缘介质与导体的界面(或两导体的界面处)稳恒 电流的情况下，电流的边值关系为
n (J 2 J1 ) 和 。
7.真空中电磁场的能量密度w =_____________，能流密 度 S =_________。
9.电荷分布 ( x ) 的电偶极矩 P = 。 10.电荷分布 ( x ) 的电四极矩 D = 。 11.极矩为 P 的电偶极子在外电场 E 中的能量W= 。 12.极矩为 P的电偶极子在外电场E 中受的力 F = 。 13.极矩为 P 的电偶极子在外场 E 中受的力矩 L = 。
4.在无限大均匀介质 中，某区域存在自由电荷分布
( x ) ，它产生的静电场的能量为
。
5.长为L的均匀带电导线，带电量为q，若以线段为z 轴，以中点为原点，电四极矩分量D33= 。
6.在两介质的分界面处，静电场的电势满足的边 值关系为 ， 。 7.已知静电场的电势=A(x2+y2) ，则其电场强度 为 。 8.在z轴上分布有四个电荷，两正电荷分布在z=±b 处，两个负电荷分布在z=±a处，则该体系总的 电偶极矩为____，电四极矩的分量D33= 。
ax ax ( x 0) ( x 0)
求产生该电场的电荷分布。
第三章 静磁场
一、选择题
1.静磁场中可以建立矢势 A
的理由是:
A、静磁场是保守场； B、静磁场 B 0 J ，即静磁场是有旋场； C、静磁场 B 0 ，即静磁场是无源场； D、静磁场与静电场完全对应。 2.静磁场中矢势 A : A.在场中每一点有确定的物理意义； B 只有在场中沿一个闭合回路的积分 A d l 才 有确定的物理意义； C.只是一个辅助量，在任何情况下无物理意义； D.其值代表场中每一点磁场的涡旋程度。
n D 2 D1
, n (E E ) 2 1
。
在绝缘介质与导体的界面(或两导体的界面处)稳恒 电流的情况下，电流的边值关系为
n (J 2 J1 ) 和 。
7.真空中电磁场的能量密度w =_____________，能流密 度 S =_________。
9.电荷分布 ( x ) 的电偶极矩 P = 。 10.电荷分布 ( x ) 的电四极矩 D = 。 11.极矩为 P 的电偶极子在外电场 E 中的能量W= 。 12.极矩为 P的电偶极子在外电场E 中受的力 F = 。 13.极矩为 P 的电偶极子在外场 E 中受的力矩 L = 。
4.在无限大均匀介质 中，某区域存在自由电荷分布
( x ) ，它产生的静电场的能量为
。
5.长为L的均匀带电导线，带电量为q，若以线段为z 轴，以中点为原点，电四极矩分量D33= 。
6.在两介质的分界面处，静电场的电势满足的边 值关系为 ， 。 7.已知静电场的电势=A(x2+y2) ，则其电场强度 为 。 8.在z轴上分布有四个电荷，两正电荷分布在z=±b 处，两个负电荷分布在z=±a处，则该体系总的 电偶极矩为____，电四极矩的分量D33= 。
电磁场矢量分析讲解
例 电位场的梯度
图0.2.2 电位场的梯度
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式
1）在直角坐标系中：
gradu
u x
eˆx
u y
eˆy
u z
eˆz
2）在柱面坐标系中：
gradu
u r
g
x
ex
y
ey
z
ez
grad
梯度(gradient)
式中 ( , , ) x y z
哈密顿算子
二. 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最 大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面） 相垂直的方向，它指向函数的增加方向.
工程电磁场
主讲：孙惠娟 hjsun@
电磁场
updated date 2008.2.21
思维方法
分析和处理问题的方法： 引入基本物理量（场量），
考虑这个物理量的旋度，散度，边界条 件。
矢量分析
难点
分析和处理问题的方法 ——数学处理过程
矢量分析
主要教学内容概述
第一章 矢量分析
l x y z
式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角
方向导数解决了标量场中的标量函数(x,y,z)在给 定点P沿着某一方向变化的问题。 但是，标量函数(x,y,z)从给定点出发有无穷个变化的 方向，其中哪个方向变化的最快？
0.2 标量场的梯度
图0.2.2 电位场的梯度
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式
1）在直角坐标系中：
gradu
u x
eˆx
u y
eˆy
u z
eˆz
2）在柱面坐标系中：
gradu
u r
g
x
ex
y
ey
z
ez
grad
梯度(gradient)
式中 ( , , ) x y z
哈密顿算子
二. 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最 大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面） 相垂直的方向，它指向函数的增加方向.
工程电磁场
主讲：孙惠娟 hjsun@
电磁场
updated date 2008.2.21
思维方法
分析和处理问题的方法： 引入基本物理量（场量），
考虑这个物理量的旋度，散度，边界条 件。
矢量分析
难点
分析和处理问题的方法 ——数学处理过程
矢量分析
主要教学内容概述
第一章 矢量分析
l x y z
式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角
方向导数解决了标量场中的标量函数(x,y,z)在给 定点P沿着某一方向变化的问题。 但是，标量函数(x,y,z)从给定点出发有无穷个变化的 方向，其中哪个方向变化的最快？
0.2 标量场的梯度
磁场的矢势及其微分方程
通过曲面s的磁通量把b对任一个以回路l为边界的曲面s积分个有共同边界l的曲面则包围的区域内没有磁感应线发出也没有磁感应线终止b线连续的通过该区域因而通过曲面s的磁通量必须等于通过曲面s的磁通量
第三章 静磁场
恒定电流所激发的静磁场
1
主要内容
矢势及其微分方程 磁标势 磁多极矩 阿哈罗夫－玻姆(Aharonov-Bohm)效应 超导体的电磁性质
Wi J Ae dV .
34
例1 无穷长直导线载
电流I，求磁场的矢势 和磁感应强度。
35
解
得
设P点到导线的垂直距离 为R,电流元Idz到P点的 距离为
利用
R z
2
2
' J ( x )dV ' A( x ) r . 4
I Az 4
dz R z
2 A J
若取A满足规范条件A=0 ， 得矢势的微分方程
( A 0)
20
A的每个直角分量Ai满足泊松方程
Ai J i , (i 1,2,3)
2
形式与静电场的方程相同
2
21
对比静电场的解得矢势方程的特解
' ' J ( x )dV A( x ) . r 4
的任一曲面的磁通量。只有A的环量才
有物理意义，而每点上的值没有直接 的物理意义。
11
例：设有沿 Z 轴方向的均匀磁场
Bx By 0
其中B0为常量。
Bz B0 ,
12
由定义式
Ay
Ax B0 , x y Az Ay Ax Az 0 y z z x
第三章 静磁场
恒定电流所激发的静磁场
1
主要内容
矢势及其微分方程 磁标势 磁多极矩 阿哈罗夫－玻姆(Aharonov-Bohm)效应 超导体的电磁性质
Wi J Ae dV .
34
例1 无穷长直导线载
电流I，求磁场的矢势 和磁感应强度。
35
解
得
设P点到导线的垂直距离 为R,电流元Idz到P点的 距离为
利用
R z
2
2
' J ( x )dV ' A( x ) r . 4
I Az 4
dz R z
2 A J
若取A满足规范条件A=0 ， 得矢势的微分方程
( A 0)
20
A的每个直角分量Ai满足泊松方程
Ai J i , (i 1,2,3)
2
形式与静电场的方程相同
2
21
对比静电场的解得矢势方程的特解
' ' J ( x )dV A( x ) . r 4
的任一曲面的磁通量。只有A的环量才
有物理意义，而每点上的值没有直接 的物理意义。
11
例：设有沿 Z 轴方向的均匀磁场
Bx By 0
其中B0为常量。
Bz B0 ,
12
由定义式
Ay
Ax B0 , x y Az Ay Ax Az 0 y z z x
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万方数据
将（５）式两端取旋度再代入Ｂ＝卢Ｈ得：
Ｖ×Ｖ×Ａ＝∥Ｖ×Ｈ
（８）
将（８）式代入（２）式，并代入Ｄ＝￡Ｅ，得：
Ｖ×Ｖ×Ａ＝力＋肛巷
（９）
利用矢量旋度的旋度公式： Ｖ×Ｖ×Ｋ＝ Ｖ（ｖ·Ｋ）一Ｖ２Ｋ，并将（７）式代入（９）式，得：
Ｖ（Ｖ．Ａ）一Ｖ２Ａ＝彬叩莹（Ｖ≯）一肛繁
即Ｖ２Ａ＝一力＋Ｖ∽謇）＋
Ｖ（Ｖ．Ａ）堆警ａｆ
第２５卷第２期
Ｖ０１．２５ Ｎｏ．２
菏泽师专学报 Ｊｏｕｍａｌ Ｏｆ Ｈｅｚｅ ＴｅａｃｈｅｒＳ ＣＤｌｌｅｇｅ
２００３年５月。 Ｍａｖ． ２００３
文章编号：１００３—６３１８（２００３）０２—００６７一０２
电荷守恒原理与均匀介质中电磁场矢势 ４ 和标势缈的相容性分析
邵珠玉
（菏泽师范专科学校，山东菏泽２７４０１５）
Байду номын сангаас
摘要：从介质中麦克斯韦方程组导出均匀介质中电磁场矢势Ａ和标势妒所满足的非齐次波动方程，分析证明该波
动方程与电荷守恒原理是相容的．
关键词：电荷守恒原理；矢势；标势；麦克斯韦方程组；相容性
中图分类号：０ ４４
文献标识码：Ａ
１麦克斯韦方程组简介
麦克斯韦方程组是电磁场的基本运动方程．其 方程组为
ｆ ｖ×Ｅ：一挈铡
Ｖ２Ａ一丢警一力 勘‘ｄ￡‘
’。
Ｖ２妒一丢挚一詈
（１５） （１６）
介质中的矢势Ａ和标势９的达朗贝尔非齐次波动方 程，从此方程可以导出电荷守恒原理，说明电荷守恒 定律与矢势Ａ和标势妒是相容的．
（１５）、（１６）式方程正是达朗贝尔方程式，其特 解的物理意义是推迟势．即场点势的变化滞后于场 源的变化．滞后的时间正是电磁作用从场源所在点 传到场点所需的时间．真空中可＝Ｃ，电磁波等于光 速［２·３】．
３ 波动方程与电荷守恒原理的相容性分析 证明
将方程（１５）式两边取散度得：
参考文献：
［１］梁灿彬，等．电磁学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００． ５９８—６３８．
［２］阚仲元．电动力学［Ｍ］．济南：山东教育出版社，１９９８． １７４—２００．
［３］梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，
（１０）
＊收稿日期：２００２一ｌＩ一０３ 作者简介：邵珠玉（１９５４一），男，助理工程师
６７
万方数据
２００３年
菏泽师专学报
第２期
将（７）式代入（３）式得：
Ｖ·Ｄ＝ｅ Ｖ·Ｅ—ｅ Ｖ·（Ｖ妒＋警）＿１０
Ｖ彬Ａ—Ｖ·口丢。ｄｒ。警一Ｖ哳）
即
即
一Ｖ２Ｐ—Ｖ·警＝詈
（１ １）
由于介质中，肛＝丢，（１０）、（１１）式就可改写成
＝一 巳ｅ
３
势妒满足洛仑兹条件：
将（１６）式代入（１８）式得：
一口丢２ ａ莹￡＼（－詈￡／）一户Ｐ。 Ｖ。Ｊｏ
州
ｖ．歹：宝 …。Ｊ—ａｆ
（¨１刊 ９）
‘ Ｖ·Ａ＋杀謇＝ｏ
‘，
ｖ‘
（１４） （１９）式正是电荷守恒原理的微分表达式．
那么（１２）、（１３）就可简为非齐次波动方程：
总之，从电磁场的基本方程组就可以推出均匀
Ｂ＝Ｖ×Ａ
（５）
将（５）式代人（１）得 Ｖ×（Ｅ＋警）＝ｏ （６）
由（６）式成立，Ｅ＋警的旋度为零，可引入标势Ｐ，
使得Ｅ＋警＝一Ｖ Ｐ，故得：
Ｅ一（Ｖ Ｐ＋警）
（７）
（５）和（７）式就是普通情况下电磁场矢量与矢势、标
势间关系．电场矢量Ｅ不仅与标势ｐ有关，也与矢势 Ａ有关，相当于电荷电场和感生电场两部分．
流，它们也激发电磁场，反过来影响原来的电磁场，
介质和磁场相互影响，相互作用［１，２Ｉ．
２ 电磁场矢势和标势所满足的非齐次波动 方程
由于麦克斯韦方程是一组联立的偏微分方程，
直接求解这组方程是比较困难的，但是利用电磁场 的一些基本特性，可以使处理简化，在普通情况下引
入矢势Ａ和标势Ｐ．即由（４）式成立可引入矢势Ａ， 并令
】９９９．】３３—２４２．
Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ Ｃｈａｒｇｅ ＣｏｎｓｅｒＶａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｖｅｃｔｏｒ Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ Ａ ａｎｄ Ｓｃａｌａｒ Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ缈
ｉｎ ｔｈｅ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ Ｆｉｅｌｄ ｏｆ Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｍｅｄｉａ
ＳＨＡＯ Ｚｈｕ—ｖｕ
（Ｈｅｚｅ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃ。１ｌｅｇｅ，Ｈｅｚｅ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ ２７４０１５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｆｉｒｓｔ ｅｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｍｎｈｏｒｎｏｇｅｎｅＯｕｓ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｖｅｃｔｏｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ Ａ ａｎｄ ｓｃａＩａｒ ｐｏ— ｔｅｎｔｉａｌ Ｂ ｉｎ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒ。ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｈｏｍｏｇｅｎｅＯｕｓ ｍｅｄｉａ ｆｒｏｍ Ｍａｘｗｅｌｌ’ｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｅｄｉａ，ｔｈｅｎ ａｎａｌｙｚｅｓ ａｎｄ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ。ｆ ｃｈａｒｇｅ∞ｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ． Ｉ（ｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｃｈａｒｇｅ ｃ。ｎｓｅｒｖａｔｉ（）ｎ；ｖｅｃｔｏｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ；ｓｃａｌａｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ；Ｍａｘｗｅｌｌ’ｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ
（１）
｛Ｖ×Ｈ＝歹＋挈
（２）
Ｖ·Ｄ＝１０
（３）
【Ｖ·Ｂ＝０
（４）
其中Ｊ０、．ｉ分别表示自由电荷和传导电流的体密度， Ｄ表示电位移，Ｈ表示磁场强度，Ｂ表示磁感应强
度，
方程组揭示了普通情况下电荷、电流激发电磁
场的规律以及电磁场内部矛盾运动的规律：电流能
激发磁场，变化的电场也能激发磁场；电荷能激发电
场，变化的磁场也能激发电场．电场增加激发的磁场 是右旋的，磁场增加激发的电场是左旋的．左旋和右 旋反映出电磁场的内部矛盾运动的相互制约关系， 电磁场相互激发形成电磁波．电磁波在介质中传播， 介质在电磁场的作用下也会产生极化电荷和诱导电
ＶｚＡ一丢警一Ｖ（Ｖ·Ａ＋丢害卜历
２
Ｖ２（Ｖ·Ａ）一丢嘉（儿Ａ）一∥儿Ｊ（１７）
将洛仑兹条件（１４）式代人（１７）式得：
Ｖ２（一丢謇）一丢要（一胆謇）一∥Ｖ·歹 即一丢暑（Ｖ２Ｐ一丢窘）＝一Ｆ Ｖ·Ｊ（，８）
芸２薹譬躲杂的一日果选择矢势Ａ和标即 Ｖ 妒
上铲 铲一乱 翌２ ＋ ａ一乱 Ｖ
Ａ ｝ 上护 盈乱望０