将军饮马问题教学文案

人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。

教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。

3.感悟转化思想。

过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。

；2.渗透数学建模的思想。

情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。

充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。

从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。

以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。

二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。

第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。

第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。

二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。

对将军饮马问题的探讨问题导入：什么是将军饮马问题？在唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？从此，这个问题被称为“将军饮马”，并在后来广为流传。

问题探讨：问题：1 两点之间的最值问题假设给你两个定点A、B。

如下图所示，有L1、L2、L3、L4四条线段，问那条线段最短？思考：除了图中四条线段有最短距离外，还有没有比图中四条都短的线段？显然，最短的线段为L3，因为在平面几何中两点之间线段是最短的。

问题二架桥问题A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现在要在河上垂直于河岸建一座桥。

问：应把桥建在什么位置，才能使由A村经过这座桥到B村的最路程最短？分析：用CD表示垂直于河岸所建的桥，则题目要求使得AC+CD+DB达到最小值。

由于不论建在何处，桥长CD是固定的，所以扣除CD后时，问题就变成是使得AC+DB达到最小。

这个问题与将军饮马问题是相似的：都是要求两条线段的最小值的问题。

模仿将军饮马过河的问题，本题的解决办法如下：①作BE⊥河岸，使BE的长等于河宽。

②连接AE，交靠近A村的河岸于C点。

③在C点处架桥CD，从A村过此桥到B村的路程必最短。

实例应用例1已知A、B在直线L两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。

如图所示：据两点之间线段最短的基本概念，则只用连接A、B就可得到答案。

例2已知，A、B在直线L同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。

如图所示：本题的难点不在于解题过程，而在于解题思想。

往往大家不能正确的找到解题的思路。

那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法，首先，作B关于直线的对称点B’，如图所示，因为',',,'.'OB OB BOP B OP OP OPB OPB PB PB因此，求AP+BP就相当于求AP+PB’.这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题之一。

初中数学将军饮马教案一、教学目标：1. 知识与技能：让学生掌握将军饮马问题的解法，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

2. 过程与方法：通过将军饮马问题的引入，让学生了解数学与实际生活的联系，学会运用数学知识解决实际问题。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

二、教学内容：1. 将军饮马问题的背景及意义。

2. 将军饮马问题的解法及步骤。

3. 将军饮马问题在实际生活中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：将军饮马问题的解法及步骤。

2. 教学难点：如何运用几何知识解决实际问题。

四、教学过程：1. 导入：讲解将军饮马问题的背景，让学生了解数学与实际生活的联系。

2. 新课讲解：讲解将军饮马问题的解法，引导学生掌握解题步骤。

3. 案例分析：分析实际生活中的将军饮马问题，让学生学会运用数学知识解决实际问题。

4. 课堂练习：布置将军饮马问题相关的练习题，巩固所学知识。

5. 总结与反思：让学生总结将军饮马问题的解法，反思自己在解决问题过程中的优点与不足。

五、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究将军饮马问题的解法。

2. 利用多媒体教学手段，展示将军饮马问题的实际应用场景，增强学生的学习兴趣。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

4. 注重个体差异，针对不同学生的学习情况，给予适当的指导和帮助。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习状态。

2. 练习成果：评估学生在练习中的表现，检验学生对将军饮马问题解法的掌握程度。

3. 课后反馈：收集学生的学习反馈，了解学生在解决问题过程中的困惑和问题，为下一步教学提供参考。

七、教学资源：1. 多媒体课件：将军饮马问题的图片、视频等教学资源。

2. 练习题库：针对将军饮马问题设计的练习题。

3. 教学参考书：提供将军饮马问题相关的研究资料和教学方法。

八、教学进度安排：1. 第1-2课时：讲解将军饮马问题的背景及意义。

《将军饮马问题》教学设计2006年第5期数学教育研究?53?教学设想《将军饮马问题》教学设计杨,J,群(广东省深圳市梅山中学518049)本节是初三年级的一节专题复习课,总复习阶段的初中学生虽然知识比较丰富,也具备了一定的逻辑推理能力和思维能力,但对数学思想的认识仍是肤浅的.本节课实质是"两点之间,线段最短"拓展,延伸.采用"问题情境一一建立模型一一解释,应用与拓展"的模式展开教学,让学生经历"从生活中发现数学一一在教室里学习数学一一到生活中运用数学"这样一个过程,从而更好地理解数学知识的意义,获得成功的体验,与教材内容互相作用,建构学生自己的数学知识,让学生解决生活中的最短路径问题.同时渗透数学建模思想,培养学生解决实际问题的能力.教学目标★知识与技能:培养学生解决实际问题的正确思想方法,达到启迪智慧.提高能力的目的.★过程与方法:让学生亲身经历探究解决将军饮马问题的过程,体会运用建模,转化的思想研究数学问题的方法,发展学生的合情推理能力及创新意识.★情感,态度与价值观:培养学生严谨科学的学习态度,勇于探索,勇于创新的精神,并通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造.教学重点通过将军饮马问题的探究,体现"转化"及数学建模的思想,培养学生解决实际问题的能力.教学难点根据实际问题建立数学模型.教法★探究式教学方法教学过程中采用探究式教学,辅以讲练结合,师生互动.引导学生获得自主,合作,探索的学习方式.教学关注点教学情景创设;三维一体功能的落实;探究式课堂教学研究;重点突出与难点分散突破.教学工具多媒体,几何画板?54?数学教育研究2006年第5期教学过程教师导拨设计意图教学内容与学生活动问题:教师创设问题公园里设计了曲折迂回的九曲桥,与修一座笔直的桥相比,这样情景,学生根据已经做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出其中的道理.学过的知识很容易情景2:读古诗《古从军行》回答.引入将军饮马问题:诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,驰向交河边的体会解决将军c点饮马,饮马后再到B点宿营,问怎样走,才能使走的路程饮马问题在现实生最短?学生朗读.活中有重大意义.激提问:发学生解决问题的将军饮马问题中找出最短距离有一定的现实意义吗?学生提出对问主动性.构建模型:题的看法.如图:A,B在直线z的同侧,在z上求一点C,使得CA+CB学生思考解决,运用数学建模最小.教师总结.思想把生活问题数吃学化,培养学生建模能力.,二,探索新知1.合作探究.A为突破难点,在问题二之前设置问f魁一:题一.如图:A,B在直线z的两侧,在z上求.8独立思考,合作一点C,使得ClA+CB最小.交流.在问题一的基确定C点的理由:.础上,让学生探索问题二,促进思维积极问题二:B.化,同时借助几何画如图:A,B在直线z的同侧,在z上求学生完成,教师板测量使学生发现一点C,使得cA+CB最小.,点评.结论,得出结论,得确定C点的理由:.'到进一步验证,最后给出理论证明.渗透科学研究的一般方如图所示,点光源光发出光线经平面镜.法,培养学生自我创MI吾舯臣.拾杯拯讨p占.精甫甘^射^,.,学生完成.造的意志品质.及时巩固新知,强化学科间的融合,已知:如图,D8形MDC的边长为,l\1.,培养学生跨学科能上,且:,是上的一动点,则l\l力,体验数学简洁DN+MN的最小值是——.1\I美,激发学习数学的兴趣.让学生从更深层次来巩固新知,培养学生灵活运用知识的能力,符合循序渐进的原则.2006年第5期数学教育研究?55?教学过程教师导拨设计意图教学内容与学生活动三,再探新知1.知识准备通过开放性的如图,在河的两侧有A,B两个村庄,现要在河上修一座桥,规定设计,有助于培养学桥必须与河岸垂直,以下是小红和小明设计的从A村到B村的生的发散思维,同时路线.为下面的知识拓展,.——,.学生思考后做好模型,给出充分河l回答.的联想空间.'受到上题的启迪,学生感到有方法可循,通过教师的启发,自主探索的兴趣保证学生有充和欲望油然而生.足的时间讨论研究.,!学生讨论之后,教师总结点评.?口3.大显身手如图,A,B是直线同侧的两定点,定长线段PQ在上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短?o通过前面的层层占学生讨论之后,o教师适当点评.铺垫,学生已具备解决—————.—.——.————.—.———————————本题的相关性知识.这PQ一层次让学生自己来思考,探索解决问题的办法,激活了学生的表现力和创造力.四,板书设计将军饮马问题将军饮马问题在直线l上确定一点c,使得CA+CB最小.A\I\1f/B,l8,0c'c,两侧(下转第49页)2006年第5期数学教育研究?49?因,这样学生之间可以从错误中吸取教训,学会正确的思维方法;对于答案中的奇思妙解的优美解法,可以让学生到台上利用多媒体展示自己的思维过程,相互启迪,亲自体验"小老师"的成功感,这样既能激发尖子生探索的兴趣,又加深了学生对知识的理解,有利于促进学生创造力的发展.学生通过这一种形式的相互交流,能力较低的学生可以受到能力较高的学生的思维策略的启发,从中受益,能促进每一个学生积极思考,取长补短,自觉地改进学习的态度和方法,共同进步.试卷讲评课不能以试卷上的题目讲评完为结束,教师应利用学生的思维惯性,引导学生进一步的反思和探索,以便获得更好的效果.教师的试卷讲评是对全体学生的,而每个学生的情况各不相同,在讲评后教师一定要引导学生及时对试卷进一步地进行自我分析,反思自己之所以做错某些题目的原因,并采取相应的改进措施,以免类似错误再次发生,克服"一听就会. 会而不对,对而不全"的现象,使学生真正地理解和掌握.3应试策略的考前指导课.高三数学复习归根到底是怎样解一份高考试卷,要取得优异成绩,不仅取决于是否掌握扎实的基础知识,熟练的解题技巧和出色的解题能力,而且还取决于考前的身体状况,心理状况和临场发挥.高考前,在应试方法上,教师要根据高考数学试卷的体例,分题型进行指导.如开设怎样解选择题,怎样解填空题,怎样解解答题等专题指导课.选择两份高考试卷让学生有针对性的练习,让学生真正体验高考过程,积累考试经验,从心理调节,时间分配,节奏把握以及考试运筹诸方面不断调试,逐步适应.在应试心理上,教师要求学生正确面对高考,在战略上要藐视高考,战术上要重视高考,放下包袱,轻松应考.在答题过程中要正确对待试题的难易,做到"我易人亦易,我不大意;我难人亦难,我不畏难."在应试策略上,要求学生要坚持先易后难的原则,对于一时解决不了的题目可以暂时先放一放.要敢于解决解答题,对于前几题要能够规范地解答,尽量做到得满分,后面的压轴题要根据自己的实力合理地定位,把自己知道的一些要能够表示出来,做到尽可能地得分.总之,在高三数学第二轮复习中,要进一步突出重点,强化三基,增强复习的针对性,科学性和实效性,努力提高学生分析问题和解决问题的能力.[责任编校钱骁勇](上接第55页)教学过程教师导拨设计意图教学内容与学生活动五,小结,作业'1.小结在这个环节中让学生自己谈谈这节课的学习心得体会.让学生充分扮演"学2.课后作业习的小主人"角色,[教师在其中给予鼓△".励,表扬,让他们更加自信."Vr—B图l图2图3促进学生对自1.如图1:菱形ABCD中,AB=2,/BAD=6O.,E是AB的中点,P是对角线AC上的己的学习进行反思.一个动点,求PE+PB的最小值.2.如图2,AB是O0的直径,AB=2,0C是④0的半径,0C上AB,点D在Ac上,AD的度数是CD度数的2倍,点P是半径OC上一个动点,求AP+PD的最小值.3.如图3,在河的同侧有A,B两个村庄,要把A的产品运到B处,并规定先到河边码头,再沿河岸走m千米路,要使路线最短,问河边码头应建在何处?[责任编校钱骁勇]。

将军饮马的教案一、教学目标1.了解“将军饮马”问题的基本原理，掌握解决此类问题的方法。

2.通过实例分析，培养学生的数学思维能力和解题技巧。

3.激发学生对数学的兴趣，提高学习数学的积极性。

二、教学内容1.引入“将军饮马”问题：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题。

2.讲解基本原理：介绍“将军饮马”问题的基本原理，即两点之间线段最短。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

三、教学步骤1.导入新课：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题，激发学生的学习兴趣。

2.讲解基本原理：详细讲解“将军饮马”问题的基本原理，让学生明确线段最短的性质。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

教师可以先演示一遍，然后让学生自己动手操作，加深理解。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

教师可以根据学生的实际情况进行个别辅导，确保每个学生都能掌握解题方法。

5.总结与回顾：对本节课的内容进行总结与回顾，让学生明确学习目标和学习内容。

6.布置作业：布置相关作业，让学生在课后继续巩固所学知识。

四、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的表现，评估他们对“将军饮马”问题的理解程度。

2.作业完成情况：检查学生的作业完成情况，评估他们对解题方法的掌握程度。

3.综合评价：根据学生的课堂表现和作业完成情况，综合评价他们的学习效果。

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B军军军军军【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

将军饮马问题复习课教案
教学步骤
引入问题（5分钟）
引出将军饮马问题的背景和基本情境。

提问学生：你们还记得将军饮马问题是什么吗？
确保学生对问题的基本概念有一定的了解。

问题分析（10分钟）
回顾将军饮马问题的具体要求和限制条件。

强调问题的复杂性和挑战性。

分析问题的关键点和难点，以帮助学生深入理解。

解题思路（15分钟）
介绍常用的解题思路和策略。

强调分析问题的重要性，包括确定问题的边界条件和可能的解决方案。

提示学生注意思考的层次和逻辑，以找到最优解。

案例讲解（20分钟）
通过具体的案例，展示将军饮马问题的解题过程。

分步讲解解题思路和关键步骤。

强调问题求解的合理性和可行性。

小组讨论（15分钟）
将学生分成小组，让他们自由讨论解题思路和方法。

鼓励学生在小组中分享彼此的见解和想法。

监督小组讨论的进行，确保每个学生都有机会参与。

总结和巩固（10分钟）
总结本节课的重点内容和要点。

强调将军饮马问题的应用领域和实际意义。

提供额外的练习题或资源，以帮助学生巩固所学内容。

作业
要求学生完成指定的练习题或问题，以进一步巩固对将军饮马问题的理解和解题能力。

鼓励学生自主学习相关的拓展知识和应用案例。

备注
确保课堂教学流畅进行，引导学生主动思考和讨论。

将军饮马课程设计一、教学目标本课程的教学目标是让学生掌握“将军饮马”问题的解题方法，理解其背后的数学原理，提高解决类似问题的能力。

具体目标如下：知识目标：使学生了解“将军饮马”问题的历史背景和基本概念，理解其数学原理和解决方法。

技能目标：培养学生运用坐标系、相似三角形等数学工具解决实际问题的能力，提高他们的逻辑思维和运算能力。

情感态度价值观目标：激发学生对数学问题的兴趣，培养他们勇于探索、解决问题的精神，增强他们的自信心和团队协作意识。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括“将军饮马”问题的定义、解题方法及其应用。

具体安排如下：1.介绍“将军饮马”问题的历史背景和基本概念，分析其数学特点和解决思路。

2.讲解“将军饮马”问题的解题方法，包括坐标系法、相似三角形法等，并通过例题进行演示和练习。

3.结合实际问题，让学生运用所学的解题方法解决类似问题，提高他们的应用能力。

4.总结“将军饮马”问题的解题方法和技巧，巩固学生所学的知识。

三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：教师讲解“将军饮马”问题的基本概念、解题方法和实际应用，引导学生掌握问题的关键。

2.讨论法：学生进行小组讨论，分享解题心得和经验，培养学生的团队协作能力。

3.案例分析法：通过分析典型例题，让学生了解“将军饮马”问题的解题过程，提高他们的分析能力。

4.实验法：让学生亲自动手操作，验证“将军饮马”问题的解题方法，增强他们的实践能力。

四、教学资源为了支持本课程的教学，我们将准备以下教学资源：1.教材：选用符合课程要求的教材，为学生提供系统的学习资料。

2.参考书：提供相关参考书籍，丰富学生的知识体系。

3.多媒体资料：制作课件、视频等多媒体资料，提高课堂教学的趣味性和生动性。

4.实验设备：准备相应的实验器材，为学生提供实践操作的机会。

5.网络资源：利用网络资源，为学生提供更多的学习资料和交流平台。

五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等，以全面反映学生的学习成果。

第2讲最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】【例题1】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．【练习2】如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM＝2，点N是对角线AC上一动点，则线段DN＋MN的最小值为________．【练习3】如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为射线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．【练习4】如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为_________.【练习5】如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值＝_______.【练习6】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D是BC边上的点，CD＝√(3)，将△ABC 沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是______.【练习7】⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，则PA＋PC的最小值是_________；【练习8】如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使PB ＋PE的值最小，最小值为_________.【练习9】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E()是AD上的动点，则CE+EF的最小值为A．3B．4C．33D．3【练习10】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，()则PC+PD的最小值为A．4B．5C．6D．7【练习11】如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为()A．55B．5C．103D．153【练习12】（2019西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足13PAB ABCDS S∆=矩形，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为()A．13B．10C．35D41二、将军饮马模型系列（一）【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题13】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【练习14】（2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是()A．362B．332C．6D．3【练习15】（2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC()于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是A．3B．2C．23D．4【练习16】（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是()A．6B．33C．6D．4.5【两定两动之点点】【例题17】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

函数中将军饮马问题教学设计一、教学内容解析通过轴对称思想建立模型解决数学中的最短路径问题，是近几年中考中常出现且大多以压轴题的形式出现的考查点。

由于中学生数学建模能力不强，许多学生认为解决最短路径问题比较困难，无从下手。

本文通过运用“将军饮马”问题中的轴对称思想在一些复杂图形中建立轴对称模型，解决求线段和、三角形周长等一类最小值问题以及函数动点中的最小值问题，给数学教育工作者中考备考提出一些建议。

本节课以数学史中的一个经典故事“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

【教学目标】1.要求学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称变换转化为“两点之间，线段最短”问题，通过逻辑推理证明所求距离最短，从而解决一些复杂图形中求函数动点中的最值问题。

2.培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，提高解题能力，体会感悟转化的数学思想.【教学重点】利用两点之间，线段最短及轴对称变换解决有关最短距离问题。

【教学难点】如何找动点、定点、对称点、对称轴，利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

【课时设计】1 课时教学过程：教师活动“将军饮马”问题在古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程来向他请教一个问题：将军从位于 A 点的军营出发到河边饮马，然后再去 B 军营，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？1.这个问题中A 点和B 点在河的不同侧；2. A 点和B 点在河的同侧；（1）（2）例（2015 年广东中考题）如图，反比例函数(k≠0，x＞0)图象与直线y=3x 相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD。

（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M，使点M 到C、D 两点距离之和d=MC+MD 最小，求点M 的坐标。

初中数学将军饮马教案教学目标：1. 理解并掌握“将军饮马”问题的解题方法及其应用；2. 能够运用轴对称的性质解决实际问题；3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 将军饮马问题的背景及解题思路；2. 轴对称的性质及其在解决问题中的应用；3. 将军饮马问题的拓展与应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入问题：讲解唐朝诗人李颀的《古从军行》中的一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，提问学生是否知道这句诗中隐含着一个有趣的数学问题。

2. 学生思考并回答，教师总结：这个问题就是将军饮马问题。

二、新课讲解（20分钟）1. 讲解将军饮马问题的背景和解题思路，引导学生理解并掌握问题的解决方法。

2. 讲解轴对称的性质，引导学生了解轴对称在解决问题中的应用。

3. 通过例题讲解，让学生动手实践，巩固所学知识。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握程度。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和评价，指出其中的错误和不足。

四、拓展与应用（10分钟）1. 讲解将军饮马问题的拓展，引导学生学会将问题进行拓展和应用。

2. 让学生举例说明轴对称在实际问题中的应用，分享自己的心得体会。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师总结本节课的主要内容和知识点。

2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。

教学评价：1. 课后作业的完成情况，检验学生对知识的掌握程度；2. 学生在课堂上的参与度和表现，评价学生的学习效果；3. 学生对拓展与应用部分的内容的理解和应用能力，评价学生的思维拓展能力。

教学反思：本节课通过讲解将军饮马问题，让学生了解了轴对称的性质及其在解决问题中的应用。

在教学过程中，要注意引导学生主动思考，培养学生的逻辑思维能力。

同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和策略，提高教学效果。

《将军饮马问题》教案一、问题背景：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？B·营地A·山峰河流这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了二、引用“饮马问题”：将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题：如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B·镇A·镇L三、教学方法的探究：当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。

“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。

二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。

设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计：甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。

如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。

连接A′C与BC，探究：BALC C′A′B′（1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。

（2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。

（3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。

将军饮马问题(讲)将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P 在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。

教学年级：初中数学教学目标：1. 理解将军饮马问题的数学模型，掌握解决此类问题的方法。

2. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学重点：1. 将军饮马问题的数学模型建立。

2. 解决将军饮马问题的方法。

教学难点：1. 将军饮马问题的空间想象。

2. 解决问题的逻辑推理过程。

教学准备：1. 多媒体课件。

2. 教学模型（如棋盘、线段等）。

3. 练习题。

教学过程：一、导入新课1. 通过展示古代将军饮马的情景，引发学生对问题的兴趣。

2. 提问：将军如何才能更快地饮马？二、新课讲解1. 引入将军饮马问题的数学模型，解释问题的背景和条件。

2. 讲解如何将实际问题转化为数学模型，包括坐标系的建立、距离的计算等。

3. 分析将军饮马问题的解决方法，如直线、折线、曲线等。

三、动手实践1. 学生分组，每组使用教学模型进行将军饮马的模拟实验。

2. 学生根据实验结果，分析不同饮马策略的优劣，总结规律。

3. 学生汇报实验结果，教师点评并总结。

四、课堂练习1. 教师给出几道将军饮马问题的变式，要求学生独立完成。

2. 学生在练习中巩固所学知识，教师巡视指导。

五、课堂小结1. 回顾将军饮马问题的数学模型和解决方法。

2. 总结学生在课堂上的表现，指出优点和不足。

六、布置作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 查阅相关资料，了解将军饮马问题的历史背景。

教学反思：本节课通过将军饮马问题的引入，让学生在轻松愉快的氛围中学习数学知识。

在教学过程中，教师注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

在今后的教学中，应进一步关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，设计更具针对性的教学活动。

将军饮马问题唐朝诗人李的诗开头两句说:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河. "诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短从此,这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传.将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题轴对称是工具,最短距离是题眼;所谓轴对称是工具,即这类问题最常用的做法就是作轴对称;而最短距离是题眼,也就意味着归类这类的题目的理由;比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题;一旦出现可以快速联想到将军问题,然后利用轴对称解题;一．六大模型1.如图,直线l 和l 的异侧两点A、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小;2.如图,直线l 和l 的同侧两点A、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小;3.如图,点P 是∠MON 内的一点,分别在OM,ON 上作点A,B;使△PAB 的周长最小.4.如图,点P,Q 为∠MON 内的两点,分别在OM,ON 上作点A,B;使四边形PAQB 的周长最小;5.如图,点A 是∠MON 外的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图,点A 是∠MON 内的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小常见问题首先明白几个概念,动点、定点、对称点;动点一般就是题目中的所求点,即那个不定的点;定点即为题目中固定的点;对称的点,作图所得的点,需要连线的点;1. 怎么对称,作谁的对称;简单说所有题目需要作对称的点,都是题目的定点;或者说只有定点才可以去作对称的;不确定的点作对称式没有意义的那么作谁的对称点首先要明确关于对称的对象肯定是一条线,而不是一个点;那么是哪一条线一般而言都是动点所在直线;2. 对称完以后和谁连接一句话：和另外一个定点相连;绝对不能和一个动点相连;明确一个概念：定点的对称点也是一个定点;例如模型二和模型三;3. 所求点怎么确定首先一定要明白,所求点最后反应在图上一定是个交点;实际就是我们所画直线和已知直线的交点;下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：1.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A1,0、B4,0、C0,3三点．1求抛物线的解析式；2如图,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小若存在,求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在,请说明理由．分析1设交点式为y=ax﹣1x﹣4,然后把C点坐标代入求出a=,于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3；2先确定抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,利用对称性得到PA=PB,所以PA+PC=PC+PB=BC,根据两点之间线段最短得到PC+PA最短,于是可判断此时四边形PAOC的周长最小,然后计算出BC=5,再计算OC+OA+BC即可．解答解：1设抛物线解析式为y=ax﹣1x﹣4,把C0,3代入得a﹣1﹣4=3,解得a=,所以抛物线解析式为y=x﹣1x﹣4,即y=x2﹣x+3；2存在．因为A1,0、B4,0,所以抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,则PA=PB,PA+PC=PC+PB=BC,此时PC+PA最短,所以此时四边形PAOC的周长最小,因为BC==5,所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．点评本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．2．2015上城区一模设抛物线y=x+1x﹣2与x轴交于A、C两点点A在点C的左边,与y轴交于点B．1求A、B、C三点的坐标；2已知点D在坐标平面内,△ABD是顶角为120°的等腰三角形,求点D的坐标；3若点P、Q位于抛物线的对称轴上,且PQ=,求四边形ABQP周长的最小值．考点二次函数综合题．分析1令x=0,求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐标；2分三种情况讨论：①当AB为底时,若点D在AB上方；若点D在AB下方；②当AB为腰时,A 为顶点时,③当AB为腰时,A为顶点时；仔细解答即可．3当AP+BQ最小时,四边形ABQP的周长最小,根据轴对称最短路径问题解答．解答解：1当x=0时,y=﹣；当y=0时,x=﹣1或x=2；则A﹣1,0,B0,﹣,C2,0；2如图,Rt△ABO中,OA=1,OB=,∴AB=2,∠ABO=30°,∠BAO=60°,∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．①当AB为底时,若点D在AB上方,由∠ABO=∠BAD=30°,AB=2,得D10,﹣,若点D在AB下方,由∠BAD=∠DBA=30°,AB=2,得D2﹣1,﹣,②当AB为腰时,A为顶点时,∵∠DAB=120°,∠OAB=60°,AD=AB=2,∴点D在y轴或x轴上,若D在y轴上,得D30,,若D在x轴上,得D4﹣3,0；③当AB为腰时,A为顶点时,若点D在第三象限,∵∠DBO=150°,BD=2,得D5﹣1,﹣2；若点D在第四象限时,∵DB∥x轴,BD=2,得D62,﹣,∴符合要求的点D的坐标为0,﹣,﹣1,﹣,0,,﹣3,0,﹣1,﹣2,2,﹣；3当AP+BQ最小时,四边形ABQP的周长最小,把点B向上平移个单位后得到B10,﹣,∵BB1∥PQ,且BB1=PQ,∴四边形BB1PQ是平行四边形,∴BQ=B1P,∴AP+BQ=AP+B1P,要在直线x=上找一点P,使得AP+B1P最小,作点B1关于直线x=的对称点,得B21,﹣,则AB2就是AP+BQ的最小值,AB2==,AB=2,PQ=,∴四边形ABQP的周长最小值是+2．点评本题考查了二次函数综合题,涉及二次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容,存在性问题的出现使得难度增大．。