山东大学本科高等数学作业卷(十)及答案

2010年山东专升本（数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数y=－arccos的定义域是( )A．[－3，1]B．[ －8，－1)C．[－8，－1]D．[－1，1]正确答案：D解析：因，故，，所以－1≤x≤1，故选项D正确2．极限等于( )A．0B．1C．1/3D．3正确答案：D解析：，故选项D正确3．已知(1)=1，则等于( )A．1B．－1C．2D．－2正确答案：D解析：根据导数的定义，=－2(1)=－2，选D正确4．设φ(x)=，则(x)等于( )A．B．C．D．正确答案：C解析：(x)===，选项C正确5．曲线y=x2与直线y=1所围成的图形的面积为( )A．2/3B．3/4C．4/3D．1正确答案：C解析：曲线y=x2与曲线y=1的交点坐标为(－1，1)和(1，1)，则所围图形的面积为(1－x2)dx－=．选项C正确6．定积分xcos xdx等于( )A．－1B．0C．1D．1/2正确答案：B解析：因被积函数xcosx在[－2，2]上为奇函数，故xcosxdx=0．选项B 正确7．已知向量=(－1，－2，1)与向量=(1，2，t)垂直，则t等于( ) A．－1B．1C．－5D．5正确答案：D解析：因向量a与b垂直，故a.b=0，即(－1).1+(－2).2+1.t=0，也即－5+t=0，故t=5．选项D正确8．曲线y=x2在点(1，1)处的法线方程为( )A．y=xB．y=+C．y=+D．y=－－正确答案：B解析：根据导数的几何意义，切线的斜率k=｜x=1=2x｜x=1=2，故法线方程为y－1=(x－1)，即y=－+，选B正确9．设函数f(x)在点x0处不连续，则( )A．(x0)存在B．(x0)不存在C．f(x)必存在D．f(x)在点x0处可微正确答案：B解析：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项B正确10．=0是级数收敛的( )A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．不确定正确答案：A解析：根据收敛级数的性质，=0是级数收敛的必要条件．选项A正确填空题11．若函数f(x)=在x=1处连续，则a=_______.正确答案：f(x)=(－2x+1)=－1，f(x)=(x－a)=1－a，因f(x)在点x=1处连续，故f(x)=f(z)，即－1=1－a，a=212．x=0是函数f(x)=xcos的第_______类间断点．正确答案：f(x)==0，故x=0是函数f(x)的第一类间断点13．若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线平行于直线y=2x－3，则(x0)=________．正确答案：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故(x0)=2 14．函数f(x)=2x3－9x2+12x的单调减区间是_______．正确答案：令(x)=6x2－18x+12=6(x－1)(x－2)=0，得驻点x=1和x=2；当x(x)>0，当1(x)2时，(x)>0，故函数的单调递减区间为[1，2]15．设y=cos(sin x)，则dy=______．正确答案：dy=dcos(sinx)=－sin(sinx)cosxdx16．不定积分∫df(x)=________．正确答案：根据不定积分与微分的关系可得，∫df(x)=f(x)+C17．dx=________ ．正确答案：由定积分的几何意义，dx表示曲线y=，直线x=0，x=1和x轴所围成的图形的面积，即圆面积，故18．“函数z=f(x，y)的偏导数，在点(z，y)存在”是“函数z=f(x，y)在点(x，y)可微分”的_______条件．正确答案：根据二元函数微分的存在性定理可知，二元函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微分则偏导数一定存在，但反之不一定成立，故“函数z=f(x，y)的偏导数、在点(x，y)存在”是“函数z=f(x，y)在点(x，y)可微分”的必要非充分条件19．微分方程－4－5y=0的通解为_______．正确答案：原方程的特征方程为r2－4r－5＝0，有两个不相等的实根r1=－1，r2＝5，故原方程的通解为y=+20．幂级数的收敛区间为_______．正确答案：因==故R==＋∞所以原幂级数的收敛区间为(－∞，+∞)解答题解答时应写出推理、演算步骤。

山东大学网络高起专高等数学试题及答案高等数学模拟卷 1 一 求下列极限 1 1lim sin n n n→∞=0（有界量乘无穷小量）2 求0lim x x x →=1lim 1lim {00x -=-=-+→→xxx xx3 求1lim xx e →=0lim lim {1010=∞=-+→→xx xx e esin 4limsin5x x x x x→++=31616155sin 5sin lim 55sin 5lim 5sin sin lim sin lim 0000=+=+++=+++→→→→xx x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x （第一个重要极限）二a 取什么值，0()0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩连续 答：根据函数在一点处连续的定义，)(lim )(lim 0x f a x f x x -+→→==，而)(lim 0x f x -→=x x e -→0lim =1 所以 a=1三 计算下列各题 1已知2sin ln y x x=⋅ 求,y答：y ’=2(sinx ·lnx)’=2[(sinx)’(lnx)+(sinx)(lnx)’] =2cosxlnx+2xsinx2 (),()x f x y f e e y =⋅已知，求答：由链式法则，()()()()dxdy e e f e e e f dx x f x x f x x +⋅=dy所以()()()()x f x x f x x ee f e e f y -=+1'23x xe dx⎰求答：ce dx e x d e x x x +===⎰⎰2222121222原式四、若202tan()sec x yx x y tdt ---=⎰，求dydx另x-y=m, y=x-m, 对两边求导数，得到dy/dx = 1 - dm/dx 将y = x-m 带回原式，再两边对x 求导。

高等数学试题库及答案doc一、选择题1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A2. 曲线 y = x^2 在点 (1,1) 处的切线斜率是多少？A. 0B. 1C. 2D. -2答案：C二、填空题1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是 __________。

答案：12. 函数 f(x) = x + 1 在 x = 2 处的导数是 __________。

答案：1三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x 的导数。

解：f'(x) = 3x^2 - 4x + 32. 计算定积分∫(0 到 1) x^2 dx。

解：∫(0 到 1) x^2 dx = [1/3 * x^3] (从0到1) = 1/3四、证明题1. 证明函数 f(x) = e^x 是严格单调递增的。

证明：设任意 x1 < x2，则 f(x1) - f(x2) = e^x1 - e^x2。

由于e^x 是严格单调递增的，所以当 x1 < x2 时，e^x1 < e^x2，从而f(x1) < f(x2)。

因此，函数 f(x) 是严格单调递增的。

五、应用题1. 一个物体从静止开始，以初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为 2 m/s²。

求物体在前 3 秒内的位移。

解：根据匀加速直线运动的位移公式 s = 1/2 * a * t²，代入 a = 2 m/s²和 t = 3 s，得到 s = 1/2 * 2 * 3² = 9 m。

六、论述题1. 论述微积分在物理学中的应用。

答案：微积分在物理学中有广泛的应用，例如在力学中计算物体的运动轨迹、在电磁学中分析电场和磁场的变化、在热力学中研究温度分布等。

微积分的基本原理—极限和导数，为物理学家提供了一种强大的工具，用以描述和预测物理现象的变化趋势。

山东大学成人教育专升本入学考试高等数学（二）模拟题 (1)一、 选择题：本大题5个小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

1、函数291)(xx f -=的定义域是（ A ）A 、（-3，3）B 、[-3，3 ]C 、（3,3-，）D 、（0，3）2、x1sin lim x ∞→=（ A ） A. 0 B. 1 C.∞ D. 不存在 3、设4)3)(2)1)-x -(x -(x -x(x f(x)=则)2('f =（ D ）A 、0B 、1C 、2D 、4 4、设函数x f(x)=，则)1(f '等于 ( C )A.1B.－1C.21 D.－21 5、曲线3x y =在点)1,1(M 处的切线方程是 ( C ) A. 023=-+x y B. 03231=-+x y C.023=+-x y D. 043=--x y二、填空题：本大题共15个小题，共15个空，每空3分，共45分。

把答案填在题中横线上。

1、设1)1(2--=+x x x f ，则=)(x f231x x -+2、判断函数的奇偶性：cosx )(3x x f = 是 奇函数3、=-+∞→531002lim 33x xx x 23 4、13+=x y 的反函数是()3log 1y x =-5、已知32)tan(lim 0=→xkx x ，则k = 6 6、=++∞→xx x x )12(lim 1 7、设x x x y -=ln ，则y '＝ln x8、曲线22xy =在)2,1(处的切线方程是46y x =-+9、设x x y sin =，则''y =2cos sin y x x x =-10、=-=dy x y 则设,)1(4323312(1)x x dx - 11、不定积分⎰=+dx x 121()1ln 212x C ++ 12、不定积分⎰dx x xe = x x xxe e e +-13、定积分dx x⎰-+11211＝π14、定积分=⎰exdx 1ln 115、⎰-+⋅=x dt t t x 0321)(φ设，)('x φ则= 123(1)x x +三、计算题：本大题共10个小题，每小题6分， 共60分。

………………………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………高等数学 ch5 常微分方程 测试题题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷人得分学院 专业 级 学号 姓名第 1 页 共 3 页一、选择题(每题5分，共25分)1.函数x C y sin -=(其中C 是任意常数)是方程x xysin d d 22=的(A) 通解 (B) 特解 (C) 是解，但既非通解也非特解 (D)不是解2212222|1222(A)(B)(C)(D)1111x x y xy y y xxxy y y y x x x x ='+======+-++2.微分方程满足初始条件的特解为2002221()0|1,|2(A)1(B)1(C)1(D)x x yy y y y y x y x y x y x==''''+====-=+=+=3.微分方程满足初始条件的特解是123e ,2e ,3e (A)0(B)0(C)61160(D)220x x x y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y --===''''''''''''--+=+--=''''''''''''-+-=--+=4.具有特解的三阶常系数线性微分方程是12121221122112211221,()()0()()______.(A)()()()()0(B)()()()()0(C)()()()()0(D)()()()()0y y y p x y q x y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x '''++=''''-=+≠''''+=-≠5.设是二阶常系数线性齐次方程的两个特解，则由与能构成该方程的通解，其充分条件为二、填空题(每题5分，共25分)0()(,())1()d ()____________.xx y f x x f x y f t t f x x >==⎰1.设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，则2.2____________.xy y xy '+=微分方程的通解为 'tan cos ____________.y y x x +=3.微分方程的通解为e 1(,)____________.x y y a b ''-=+4.微分方程的一个特解应具有形式式中为常数2'2''____________y y y x xx -=5.微分方程+的通解为.三、计算、证明题(第1-4题10分，5-6题每题15分，共70分) 1. 求通解(12e )d 2()e d 0x x yyy x x y y +--=12121e 2.(e e )(,)2''2'e x x xx y C C C C x xy y xy -=+++-=证明下列函数为任意常数是方程的通解.得分 阅卷人得分 阅卷人第 2 页 共 3 页3.()'()(1)''()()0'()(1)f x f x f x f x f x f x f x =-+==-证明：若满足方程，则必满足方程，并求方程的解.()sin ()()d ().xf x x x t f t t f f x =--⎰4.设，其中为连续函数，求25.()''3'22e ,(0,1)1x y f x y y y y x x y =-+==-+设函数满足微分方程其图形在处的切线与曲线在该点处的切线重合，求函数的解析表达式.2222212d 36.()(1)()4(1)d ()3()e d 1().2e t u x t t y y f x t t t x y t y t y u t t ϕϕϕϕ-⎧=+=>-=⎨+=⎩==+=⎰设函数由参数方程所确定，且，其中具有二阶导数，曲线与在处相切，求函数。

大学数学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程y x dxdy/-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).15方程0652=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫ ⎝⎛的阶数为_______________.17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是____________________． 20．方程04=+''y y 的基本解组是____________________．21．方程1d d +=y xy 满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．22．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．23．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零点．二 单项选择:1 方程y x dxdy+=-31满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程1+=y dxdy ( ) 奇解.(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个 3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)xe y = 4 方程x e y y x==-''的一个特解*y 形如( ).(A)b ae x= (B)bx axe x+ (C)c bx ae x++ (D)c bx axe x++ 5 )(y f 连续可微是保证方程)(y f dxdy=解存在且唯一的( )条件． （A ）必要 （B ）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间7 方程323y dxdy=过点(0,0)有( ). (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解8 初值问题 ⎝⎛=10'x ⎪⎪⎭⎫01x , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(x 在区间,∞<<∞-t 上的解是( ).(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t u t )( (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t e u t )( (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e t u t )( (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e u t )( 9 方程0cos 2=++x y x dxdy是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程 (D)二阶线性方程10 方程032=+⎪⎭⎫⎝⎛dx dy dx dy 的通解是( ).(A)xeC C 321+ (B) xeC x C 321-+ (C)xeC C 321-+ (D)xeC 32-11 方程0442=++⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy dx dy 的一个基本解组是( ).(A) xex 2,- (B)xe2,1- (C)xex 22,- (D)x xxe e22,--12 若y1和y2是方程0)()(2=++⎪⎭⎫⎝⎛y x q dx dy x p dx dy 的两个解,则2211y e y e y += （e 1,e 2为任意常数） (A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程21y dxdy-=过点(0,0)的解为x y sin =,此解存在( ). (A)),(+∞-∞ (B) ]0,(-∞ (C)),0[+∞ (D)]2,2[ππ- 14 方程xe y x y -=23'是( ) .(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程 15 微分方程01=-y x dx dy 的通解是( ). (A) x c y = (B) cx y = (C)c xy +=1(D)c x y +=16 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ). (A)1=y (B)x y = (C)x y sin = (D)xe y = 17 方程x e y y x+=-''的一个数解xy 形如( ).(A) b ae x+ (B)bx axe x+ (C)c bx ae x++ (D)c bx axe x++ 18 初值问题 ⎝⎛10'x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫11)0(;01x x 在区间∞<<∞-t 上的解是( ). (A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t u t )( (B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-t e u t t )( (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t e t u )( (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--t t t e e u )( 19．方程yx y =d d 的奇解是（ ）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y20. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（ ）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三21．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 22．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解23．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y=的任一解的存在区间（ ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通积分:(1)ny y dx dy 1= (2)x y x y dx dy +⎪⎭⎫⎝⎛-=21 (3)5xy y dx dy += (4)0)(222=-+dy y x xydx (5)3)'(2'y xy y += 2 求方程的解 01)4()5(=-x tx 3 解方程:x y dxdycos 2=并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 4 求方程: x ytg x y dx dy +=5求方程: 26xy xydx dy -=的通解6 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解.7 求解方程: 022244=++x dt xd dt x d8 求方程: 014455=-dt xd t dtx d 的解 9 求方程25'5''x y y -=-的通解10 求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x dtdy ty dt dx sin 111求初值问题⎩⎨⎧=--=0)1('y yx y 11:≤+x R 1≤y 的解的存在区间并求出第二次近似解12 求方程的通解 (1)2y x y dx dy += (2) xy x y dx dy tan += (3) 0)4()3(2=---dy x y dx x y (三种方法) (4)04524=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy13 计算方程 x y y 2sin 34''=+的通解14计算方程 t x dtdxdt x d cos 442=+- 15 求下列常系数线性微分方程: xxe y y y 210'2''=+-16 试求⎢⎣⎡=02x ⎥⎦⎤21x 的基解矩阵17 试求矩阵⎢⎣⎡-=12A ⎥⎦⎤41的特征值和对应的特征向量. 18 试求矩阵⎢⎣⎡-=53A ⎥⎦⎤35的特征值和特征向量 19 解方程组 ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛13''21y y ⎪⎪⎭⎫22 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21y y 20．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x43d d 2d d ．四 名词解释1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程 4伯努利方程 5Lipschitz 条件 6 线性相关 五 证明题1在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中已知p(x);q(x)在);(+∞-∞上连续 求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切. 2 设x 1(t)、x 2(t)分别是非齐次性线方程)()()(1111t f x t G dt xd t G dt x d n n n n n =+++-- )()()(2111t f x t G dtxd t G dt x d n n n n n =+++-- 证明：x 1(t)+x 2(t)是方程)()()()(21111t f t f x t G dtxd t G dt x d n n n n n +=+++-- 的解。

高等数学练习册及答案一、单项选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x=-2处的导数是（）。

A. -1B. 2C. 5D. 72. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 5在x=1处的切线斜率是（）。

A. -7B. -6C. 0D. 73. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的通解是（）。

A. y = 2x^2 + CB. y = 2x^2 - CC. y = x^2 + CD. y = x^2 - C二、填空题4. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x) = _______。

5. 函数y = ln(x)的原函数是 _______。

6. 已知∫(2x - 1)dx = 3x^2 - x + C，求∫(4x - 2)dx。

三、解答题7. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。

8. 证明：对于任意正数a和b，不等式a + b ≥ 2√(ab)总是成立。

9. 求解微分方程dy/dx - 3y = 6e^(3x)，且y(0) = 1。

四、应用题10. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 5x + 100，其中x是生产数量。

求生产多少单位产品时，平均成本最低。

答案：一、单项选择题1. B2. D3. A二、填空题4. f'(x) = cos(x) - sin(x)5. 原函数是 xln(x) - x + C6. ∫(4x - 2)dx = 2(3x^2 - x) + C = 2x^2 - 2x + C三、解答题7. 求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 11，令f'(x) = 0得x = (4 ±√7)/3。

检验二阶导数f''(x) = 6x - 12，f''((4 + √7)/3) < 0，所以x = (4 + √7)/3是极大值点；f''((4 - √7)/3) > 0，所以x = (4 - √7)/3是极小值点。

本科高等数学作业卷(十)答案一、填空题.21arcsin 21(arcsin 1,210,21)(arcsin 1d e arcsin 1e ,arcsin 1arcsin 11._______11arcsin ')0,21(.1d arcsin 11d arcsin 112222−=−=−===+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∫∫==−+′=−+∫−−−x x y x x y C y x C x x C x x y x y xx y xyx y xxx xxx 所以应填特解为代入上式得把，求其通解此为一阶线性微分方程解：整理方程得的曲线方程为且满足过点.022.022,022,1._______),()cos sin (e .222121=+′−′′=+′−′′=+−±=+=y y y y y r r i r C C x C x C y x 所以应填微分方程应为从而特征方程为分方程的特征根为解：由通解形式和该微方程为微分方程的通解，则该次为某二阶常系数线性齐为任意常数设._______0'3''.3的通解为微分方程=+y xy2213'23'2'2,',ln ln 3ln .303,",'xC C y x C y x C p C x p dx xp dp p dxdp x dx dp y p y +===+−=−==+==−−解得也即即两边积分得：分离变量得：代入原方程得：则令解.1)2(d ed e 2d )(e 2.0,2.e )(.2,044._______05'2''.4202x -00221221212======+=−===++=++−∞∞∞−−∫∫∫x x x x y y C C x C C y r r r r y y y xxx 为因此，微分方程的特解由初始条件得原方程的通解为得解：解特征方程的通解为微分方程.____________)()()()(')()()(')(.5212211的解是方程的一个解，则是方程的一个解，是方程设x y x y y x f y x p y x y x f y x p y x y +===++.)()()(')()(2121的一个解是方程解x f x f y x p y x y x y y +=++=二、选择题)A (2'2)D (2')C (2')2()B (2')2()A (.122解分方程是确定的隐函数满足的微由y x yy y x xy x y y x y x y y x c y xy x −=−−==−−=−=+−442e )D (e )C ()B (2)A ()1(,)0(01)(.2ππππππαα等于则高阶无穷小，的是时，，且当处的增量在任意点已知函数y y x x xxy y x x y y =Δ→Δ++Δ=Δ=()()()().D ,e 1,e.0e,d 11d .1d d 1'14arctan arctan 2222所以应选从而则代入上式得把积分并整理得分离变量得，即得由解πππππα=====+=+=+=Δ++=ΔΔy y C y C y x x y y x yx y xy x f x x y x y xxbxax bxa bax ba b a y y x x x x x +++++=−e )D (e )C (e )B (e )A (),(1e ''.3为常数式中的一个特解应具有形式微分方程.)B ()D ()C ()B ()A (正确各选项代入得选项、、、将分析三、计算、证明题.e 21')1(.1的通解求方程y y x −=++().)e 2)(1(,ln )1ln(e 2ln 1d 1e 2d C x C x x xyy y y=−+++−=−+=−−解为：整理得该微分方程的通等式两端同时积分得：，分离变量得：解.)0(0|0d d )(.2122的解求初值问题>⎪⎩⎪⎨⎧==−++=x y y x x y x y x()()2121,1,011,0ln 1ln 11,2222122222222222−==++===++=++=++>=++=+++=+=++==x y x y x y C yCx y x y Cx xyx y Cx u u C Cx u u xdx u du u u dxduxu xu y xy x y dx dy x 化简得故初值问题的解为得代入将亦即即从而为任意常数其中解得即得令原方程可化为解.)(d )(1))(,()(0.30的一般表达式，求轴上的截距等于处的切线在上点，曲线设对任意x f t t f x y x f x x f y x x∫=>[]。