第12讲子博弈与完美性
1．在Bertrand 价格博弈中，假定有n 个生产企业，需求函数为()p Q a Q =-，其中p 是市场价格，Q 是n 个生产企业的总供给量。
假定博弈重复无穷多次，每次的价格都立即被观测到，企业使用“触发策略”（一旦某个企业选择垄断价格，则执行“冷酷策略”）。
求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子σ？解释σ与n 的关系。
解：（1）①当n 个企业合谋时：
假设该行业中任一企业的边际成本恒为c ，0a c >>。
n 个生产企业的总利润函数为：
()()2pQ cQ a Q Q cQ Q a c Q
π=-=--=-+-利润最大化的一阶条件为：
d 20d Q a c Q π=-+-=，解得垄断总产出为2
m a c Q -=。
此时垄断价格为：
2m m a c
p a Q +=-=从而垄断的总利润和每个厂商的利润分别为：()24m a c π-=()
2,1,2,,4m i a c i n
n π-== 考虑时期t 企业i 的选择，给定其他企业按照垄断条件生产，若企业仍遵守垄断定价，那么它从t 期开始的利润的现值为：
()()()
241i a c m n πσ-=-②当有企业背叛时：
给定其他企业按照垄断条件生产，即()12m i t n Q a c n
--=-，。
若企业i 选择背离垄断价格，那么它的利润最大化问题就是：
(),,,,max m
i t i t i t i t
Q a Q Q cQ ----由一阶条件得：
()14i t n Q a c n
+=-，厂商i 相应的利润为：
()()
22
2116i t n a c n π+-=，又因为在t 期，企业i 不遵守垄断定价规则，所以从1t +期开始，它的利润就恒为零。
因此(),i i t b ππ=，其中b 代表背叛垄断定价。
为了使垄断价格可以作为子博弈完美纳什均衡的结果出现，那么合谋时企业利润的现值就不应当低于背叛时的现值，即()()i i m b ππ≥，从而解得贴现因子的最小值为：
2
min 211n σ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（2）因为min σ关于n 单调递增，这就意味着：n 越大，即行业中的企业越多时，不遵守垄断规则，图一时好处的吸引力就越大，因此，只有通过更高的折现率来提高未来收益在利润中的权重，才能保持厂商遵守垄断规则。
2．表12-1给出了一个两人的同时博弈，若这个同时博弈进行两次，第二次博弈是在知道第一次博弈的前提下进行的，并且不存在贴现因子。
收益（4，4）能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果吗？如果它能够，给出策略组合；如果不能够，请说明为什么不能？
表12-1博弈的支付矩阵
答：（1）收益（4，4）能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果出现。
假定支付矩阵的左侧表示参与人1的策略，支付矩阵的上侧表示参与人2的策略选择。
那么，当参与人1选择B时，参与人2的最优策略为R；当参与人2选择R时，参与人1的最优策略为B，因此策略组合（B，R）为第一次博弈的结果，对应的支付为（4，4）。
故收益（4，4）能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果。
（2）每个人的策略如下：
参与人1的策略：
第一次博弈：选择B；
第二次博弈：若自己首次选择的是B，那么这次就选T；若自己首次未选B，那么这次就选M。
参与人2的策略：
第一次博弈：选择R；
第二次博弈：若参与人1在第一次博弈中选择的是B，那么参与人2这次就选L；若参与人1在第一次博弈中未选择B，那么参与人2这次就选C。
给定上述策略，子博弈完美的纳什均衡的结果为：第一次博弈中，参与人1选择B，参与人2选择R；第二次博弈中，参与人1选择T，参与人2选择L。
下面来证明：首先看第二阶段的博弈。
支付矩阵表明（T，L）和（M，C）是该博弈的纳什均衡。
再根据两个参与人的策略可知，如果上一局出现了合作的结果，那么在第二局参与人1和2的选择就分别是（T，L）；如果上一局出现其他结果，那么本局两个人的选择就分别是（M，C）。
所以每个人的策略在最后一局的博弈中都是自己的最优策略。
再来看第一阶段的博弈。
给定两个参与人在第2阶段的策略和参与人1在第1阶段的
策略，如果2选择R ，则他在两局的博弈共可以得到415+=的支付；如果2不选择R ，则他在两局的博弈中最多只能得到数量为3的支付，所以R 是参与人2在第1阶段的最优选择；给定两个参与人在第2阶段的策略和参与人2在第1阶段的策略，如果参与人1选择B ，则他在两局的博弈共可以得到437+=的支付；如果参与人1不选择B ，则他在两局的博弈中最多只能得到数量为6的支付，所以B 是参与人1在第一阶段的最优选择。
综合上述分析可知，每个参与人的策略的确是子博弈完美的纳什均衡策略。
3．什么是重复博弈中的策略？什么是一个重复博弈中的子博弈？什么是一个子博弈完美纳什均衡？
答：（1）重复博弈中的一个策略规定了第一次博弈的选择的策略，规定了在除第一次博弈外的任何一次博弈中，对应该次博弈前任一策略组合序列，所要选择的策略。
记重复博弈为()n Γ，它的任一次博弈记为(){},,N I S u ⎡⎤Γ⋅⎣⎦，I 为参与者的集合，S 和()u 分别标志所有参与者的策略集的幂集和该参与者在给定策略组合时的收益。
记
11t t t t H S -==∏为在t 时期的博弈“历史”，又记1n
t t H H == 。
若i S 为参与者i 在一次博弈中的策略集，那么映射i H S →为行动者i 在重复博弈()n Γ中的策略。
博弈为无限次重复时，定义方式类似。
（2）重复博弈的子博弈，是某次博弈的一个策略组合以及该次博弈后的所有博弈。
（3）重复博弈的子博弈完美纳什均衡，是对该重复博弈的任何子博弈来说都是纳什均衡的策略组合。
4．在一个由n 个企业组成的古诺寡头经济中，市场需求的反函数为()p Q a Q =-，这里12n Q q q q =+++ 。
考虑以此为基础的一个无穷期重复博弈。
为了在一个子博弈完美纳什
均衡中运用“触发策略”（一旦某企业违背了产量卡特尔定下的额度，则另外全体企业都会执行冷酷战略，实行古诺模式中的个别企业的最优产量），贴现因子δ最低应等于多少？当n 变化时，δ的最低值要求会有什么变化？
解：（1）本题的解法同第1题，只是在对背叛企业实行惩罚时，每个企业生产古诺均衡的产量，而不是Bertrand 均衡的产量。
对于任意的一个企业，它在不同条件下的产量、价格和利润分别为：
表12-2厂商实行不同策略时的产量和收益
为了使垄断价格可以作为子博弈完美纳什均衡的结果出现，那么合谋时企业利润的现值就不应当低于背叛时的现值，即：
()()()()2
2222111141411n a c a c a c n n n δδδ+⎛⎫-+-≤- ⎪--⎝⎭+从而解得贴现因子的最小值为：
()()2
min 2114n n n δ+=++（2）因为min δ关于n 单调增加，这就意味着：n 越大，即行业中的企业越多时，不遵守垄断规则，图一时好处的吸引力就越大，因此，只有通过更高的折现率来提高未来收益在利润中的权重，才能保持厂商遵守垄断规则。
5．考虑下列三阶段的谈判博弈（分1美元）：
（1）①在第一阶段开端，游戏者1拿走了1美元中1s 部分，留给游戏者2为（11s -）；②游戏者2或接受（11s -）（如这样，则博弈结束）或拒绝接受（11s -）（若这样，则博弈继续下去）。
（2）①在第二阶段开始，游戏者2提出，游戏者1得2s ，游戏者2得（21s -）。
②游戏者1或接受这个2s （若这样，则博弈结束）或拒绝接受2s （若这样，则博弈进入第三阶段）。
（3）在第三阶段开始，游戏者1获s ，留给游戏者2的是（1s -），这里01s <<。
任意两个时期之间的贴现因子为δ，这里01δ<<。
请你按“反向归纳”法，解出*1s 。
答：（1）在第三阶段，此时游戏者1获得全部的s 美元，游戏者2获得1s -美元。
（2）第二阶段：由于游戏者1只需等到第三阶段就可以获得全部的s 美元，所以在本阶段，为了使游戏者1接受游戏者2的提议，游戏者1至少要得到数量为s δ的支付，同时游戏者2为了使自己的收入尽可能的大，他会使游戏者1获得的支付恰好等于s δ，从而游戏者2得到1s δ-的支付，这个方案使游戏者2获得的收入要比他坐等到第三阶段后由游戏者1提出分配方案获得的收入多，所以(), 1s s δδ-的确是游戏者2的最优选择。
第一阶段：由于游戏者2只需等到第二阶段就可以获得数量为1s δ-的支付，所以在本阶段，为了使游戏者2接受游戏者1的提议，游戏者2至少要得到数量为()1s δδ-的支付，同时游戏者1为了使自己的收入尽可能的大，他会使游戏者2获得的支付恰好等于()1s δδ-，从而游戏者1得到()11s δδ--的支付，特别地，
21(1)s s δδδ-->，这说明游戏者1在第一阶段提出（()11s δδ--，()1s δδ-）的分配方案获得的收入要比他坐等到游戏者2提出收入分配方案的现值大，所以（()11s δδ--，()1s δδ-）的分配方案的确是游戏者1的最优选择。
