匀变速直线运动的特例 追及和相遇问题

匀变速直线运动——追及、相遇问题一、解题思路讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题。

(1)追及甲一定能追上乙，V 甲=V 乙的时刻为甲、乙有最大距离的时刻判断v 甲=v 乙的时刻甲乙的位置情况: ①若甲在乙前，则可追上 并相遇两次；②若甲乙在同一处，则甲恰能追上乙；③若甲在 乙 乙后面，则甲追不上乙，此时是相距最近的时候。

情况同上，若涉及刹车问题, 要先求停车时间, 以作判别!(2)相遇两相向运动的物体，当各自位移大小之和等于开始时两物体的距离，即相遇。

也可以是两物体同向运动到达同一位置。

二、解题方法1. 两个关系：时间关系和位移关系2. 一个条件：两者速度相等两者速度相等，往往是物体间能否追上，或两者距离最大、最小的临界条件，是分析判断的切入点。

【例1】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。

试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？[方法一] 公式法当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。

[方法二] 图象法画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移x 自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x 汽则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。

两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。

[方法三] 二次函数极值法3. 解题方法(1)画运动草图，找出两物体间的位移关系；(2)仔细审题，挖掘临界条件(va=vb),联立方程；(3)利用公式法、二次函数求极值、图像法知识求解。

【例2】A 火车以v1=20m/s 速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m 处有另一列火车B 正以v2=10m/s 速度匀速行驶，A 车立即做加速度大小为a 的匀减速直线运动。

2.4 匀变速直线运动的速度与位移的关系2追及与相遇一．追及问题1.追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置．2.追及问题满足的两个关系：①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等．②位移关系：x2＝x0＋x1，其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移．3.临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2.二．相遇问题1.特点：在同一时刻两物体处于同一位置．2.条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇．3.临界状态：避免相互碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零．例：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？解决追及与相遇问题的三种方法1.物理分析法抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系．2.图象法：将两者的速度—时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．3.数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇．强化练习1．(多选)甲与乙两个质点向同一方向运动，甲做初速度为零的匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．开始计时时甲、乙位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时，下列判断正确的是( ) A．两质点速度相等B．甲与乙在这段时间内的平均速度相等C．乙的瞬时速度是甲的2倍D．甲与乙的位移相同2．(多选)如图2­4­2所示，物体A、B由同一位置沿同一方向做直线运动．他们运动的速度v随时间t的变化关系如图所示，由图可知( )图2­4­2A．物体A、B在4 s末相遇B．物体A、B在2 s末相遇C．物体A、B在4 s末的速度大小相等D．物体A、B在2 s末的速度大小相等3．美国“华盛顿号”航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知“F－18大黄蜂”型战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，起飞速度为50 m/s，若该飞机滑行100 m时起飞，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为( )A．30 m/s B．40 m/sC．20 m/s D．10 m/s4．(多选)甲与乙两个质点向同一方向运动，甲做初速度为零的匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．开始计时时甲、乙位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时，下列判断正确的是( ) A．两质点速度相等B．甲与乙在这段时间内的平均速度相等C．乙的瞬时速度是甲的2倍D．甲与乙的位移相同5.某质点做直线运动，速度v 与位移x 的关系式为v 2＝9＋2x (均为国际单位)．则质点2 s 末的速度是( )A ．5 m/sB ．3 m/sC ．11 m/sD ．10 m/s6．物体从长为L 的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v ，如果物体以v 0＝v2的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为( )A.L 2B.L 3C.L4D.2L 7．甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度分别为16 m/s 和18 m/s.已知甲车紧急刹车时的加速度a 1大小为3 m/s 2，乙车紧急刹车时的加速度a 2大小为4 m/s 2，乙车司机的反应时间为0.5 s ，求为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离？8．某一长直的赛道上，有一辆F1赛车，前方200 m 处有一安全车正以10 m/s 的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s 2的加速度追赶．(1)求赛车出发3 s 末的瞬时速度大小；(2)赛车经多长时间追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少米？9．摩托车先由静止开始以2516 m/s 2的加速度做匀加速运动，之后以最大行驶速度25 m/s 做匀速运动，追赶前方以15 m/s 的速度同向匀速行驶的卡车．已知摩托车开始运动时与卡车的距离为1000 m ，则：(1)追上卡车前两车相隔的最大距离是多少？ (2)摩托车经过多少时间才能追上卡车？。

§4. 匀变速直线运动的特例追及和相遇问题【学习目标】1、掌握自由落体和竖直上抛运动运动的规律2、能熟练应用其规律解题3、掌握追及及相遇问题的特点4、能熟练解决追及及相遇问题【自主学习】一．自由落体运动：1、定义：2、运动性质：初速度为加速度为的运动。

3、运动规律：由于其初速度为零，公式可简化为v t= h = v t2=2gh二．竖直上抛运动：1、定义：2、运动性质：初速度为v0，加速度为－g的运动。

3、处理方法：⑴将竖直上抛运动全过程分为上升和下降两个阶段来处理。

上升阶段为初速度为v0，加速度为－g的运动，下降阶段为。

要注意两个阶段运动的对称性。

⑵将竖直上抛运动全过程视为的运动4、两个推论：①上升的最大高度②上升最大高度所需的时间5、特殊规律：由于下落过程是上升过程的逆过程，所以物体在通过同一段高度位置时，上升速度与下落速度大小，物体在通过同一段高度过程中，上升时间与下落时间。

【典型例题】例1、一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计）从离开跳台到Array手触水面，他可用于完成空中动作的时间是______s。

（计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10m/s2，结果保留二位数）分析：⑴审题（写出或标明你认为的关键词）⑵分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点第一章运动的描述§4. 匀变速直线运动的特例追及和相遇问题 1第一章 运动的描述 §4. 匀变速直线运动的特例 追及和相遇问题 2 注意：构建物理模型时，要重视理想化方法的应用，要养成画示意图的习惯。

三、追及及相遇问题两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。

因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。

专题：直线运动中追击和相遇问题一、相遇和追击问题实质：研究两物体能否在相同时刻到达相同空间位置问题。

二、解相遇和追击问题关键：画出物体运动情景图，理清三大关系（1）时间关系:t A=t B±t Q（2）位移关系：x A =x B±x0（3）速度关系：两者速度相等。

它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小临界条件，也是分析判断切入点。

三、追击、相遇问题分析方法：A.画出两个物体运动示意图，根据两个物体运动性质，选择同一参照物, 列出两个物体位移方程；B.找出两个物体在运动时间上关系C.找出两个物体在运动位移上数量关系D.联立方程求解.说明:追击问题中常用临界条件：（1）速度小者追速度大者，追上前两个物体速度相等时，有最大距离。

（2）速度大者减速追赶速度小者，追上前在两个物体速度相等时，有最小距离。

即必须在此之前追上，否则就不能追上。

四、典型例题分析：例1、一辆值勤警车停在公路边，当警员发现从他旁边以8m/s速度匀速行驶货车有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s,警车发动起来，以加速度2m./s‘做匀加速运动。

试问：（1）警车要多长时间才能追上货车?（2）在警车追上货车之前，两车间最大距离是多少?例2、汽车制动性能经测定，当它以标准速度20m/s在水平轨道上行驶时, 制动后需40s才停下。

现这列车正以20m/s速度在水平轨道上行驶，司机发现前方180m处一货车正以6m/s速度同向行驶，于是立即制动，问是否会发生撞车事故？例3、汽车正以为二12 m/s速度在平直公路上匀速行驶，突然发现正前方相距X处有一辆自行车以乃二4 m/s速度同方向匀速行驶，汽车立即以加速度大小= 2 m/s2做匀减速直线运动，结果汽车恰好未追上自行车。

求例4、汽车正以10m/s速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s速度做同方向匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6m/s2匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车、求关闭油门时汽车离自行车多远？例5、甲、乙两车在同一条平直公路上运动，甲车以10 m/s速度匀速行驶，经过车站A时关闭油门以4m/s，加速度匀减速前进，2s后乙车及甲车同方向以lm/s‘加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速运动，问乙车出发后多少时间追上甲车?。

匀变速直线运动的规律追击碰撞问题两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞问题。

1．追及问题追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。

第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：（1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离。

（2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。

（3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个最大值。

第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：（1）当两者速度相等时有最大距离。

（2）若两者位移相等时，则追上。

2．相遇问题（1）同向运动的两物体追上即相遇。

（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。

3．追及和相遇问题的求解思路在追及和相遇问题中各物体的运动时间、位移、速度等都有一定的关系，这些关系是解决问题的重要依据。

解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时到达空间某位置（两个运动之间的位移和时间关系），因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系来处理。

其中速度关系特点是关键，它是两物体间距最大或最小，相遇或不相遇的临界条件。

基本思路是：①分别对两物体研究；②画出运动过程示意图；③列出位移方程；④找出时间关系、速度关系、位移关系；⑤解出结果，必要时进行讨论．(1)追及问题a) 根据追逐的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，注意将两物体在运动时间上的关系反映在方程中。

b）由简单的图示找出两物体位移间的数量关系（例如追及物体A 与被追及物体B开始相距为Δx，当追上时，位移关系为x A=x B+Δx）。

然后解联立方程得到需要求的物理量。

c）速度小者加速追速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，速度相等往往是解题的关键条件。

追及和相遇问题当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小时，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．一．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时，两者距离变大；v1= v2时，两者距离最大；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相遇(即追上)一次。

【例1】一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？(2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？二．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1<x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。

【例2】一个步行者以6m/s的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车25m时，绿灯亮了，汽车以1m/s2的加速度匀加速启动前进，问：人能否追上汽车？若能追上，则追车过程中人共跑了多少距离？若不能追上，人和车最近距离为多少？三．匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1<x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。

【例3】汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车。

匀变速直线运动-相遇、追及问题一、追及问题1.速度小者追速度大者类型图象说明匀加速追匀速①t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大②t=t0时，两物体相距最远为x0+Δx③t=t0以后，后面物体与前面物匀速追匀减速体间距离减小④能追及且只能相遇一次匀加速追匀减速2.速度大者追速度小者匀减速追匀速开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻：①若Δx=x0,则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界匀速追匀加速条件②若Δx<x0,则不能追及，此时两物体最小距离为x0-Δx③若Δx>x0,则相遇两次，设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇匀减速追匀加速小汽车从静止开始以 3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过。

求：（1）汽车从开动后到追上自行车前两者的最大距离（2）汽车从开动后经多长时间能追上自行车？二、匀速追匀减速某人骑自行车以8m/s的速度前进，某时刻在他前面3m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，并以2m/s2的加速度匀减速前进，此人追上汽车之前何时距离最远？需要多少秒才能追上汽车？三、匀加速追匀减速某量超速货车以40m/s的速度从警车面前驶过，2秒后警车以3m/s2开始追击并鸣笛示警，货车2秒后听到警笛声开始作2m/s2的匀减速直线运动，问警车开始追击多久后能追上货车？行驶的距离是多少？四、匀减速追匀速汽车正以 10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为 6m/s2的匀减速运动，要使汽车恰不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？（1）汽车和自行车各自做什么运动？（2）两者速度相等之前距离如何变化，速度相等之后距离如何变化？（3）如果在两者速度相等时汽车还没碰上自行车，以后还会有相碰的危险吗？一个步行者以6m/s的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车 25m时，绿灯亮了，车子以 1m/s2的加速度匀加速启动前进，问该人能否赶上该公共汽车？（1）两者速度相等之前距离如何变化，速度相等之后距离如何变化？（2）在两者速度相等时人还没追上汽车，以后还有可能追上吗？（3）通过计算讨论该人能否追上公共汽车？六、匀减速追匀加速某货车以30m/s的速度行驶在公路上，突然司机发现前方150m处有辆小轿车正从静止开始做加速度为2m/s2匀加速直线运动，0.5秒以后货车司机开始以3m/s2加速度作匀减速直线运动，问两车是否会相撞，如果会，从开始发现到相撞需要多少时间？如果不会，则最近距离是多少？课堂练习1、平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200m处以5m/s的速度做同方向的匀速运动，问：(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？2、汽车正以10m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？3、货车正在以v1＝10m／s的速度在平直的公路上前进，货车司机突然发现在其正后方S0＝25米处有一辆小车以v2＝20m／s的速度做同方向的匀速直线运动，货车司机为了不让小车追上，立即加大油门做匀加速运动。

20XX 年高考物理一轮复习第5讲 匀变速直线速运动规律应用2——追及和相遇问题知识点拨：1．匀减速物体追赶同向匀速运动物体时，恰能追上或恰追不上的临界条件是：即将靠近时，追赶者的速度等于或小于被追赶者的速度。

当追赶者的速度大于被追赶者的速度时，能追上；当追赶者的速度小于被追赶者的速度时，不能追上。

2．初速度为零的匀加速运动的物体追赶同向匀速运动物体时，追上前者前两者具有最大的间距的条件是追赶者的速度等于被追赶者的速度。

3．解答问题时常常利用函数判别式和V-t 图像等方法，求极值问题。

备考训练：1．汽车甲沿着平直的公路以速度v 做匀速直线运动.当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车.根据上述的已知条件 （ ）A ．可求出乙车追上甲车时乙车的速度B ．可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程C ．可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间D ．不能求出上述三者中任何一个2．一个步行者以6.0 m/s 的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当它距离公共汽车25m 时，绿灯亮了，汽车以1m/s 2的加速度匀加速起动前进， 则 （ ）A ．人能追上汽车，追车过程人共跑了36mB ．人不能追上汽车，人和车最近距离为7mC ．人能追上汽车，追上车前人共跑了43mD ．人不能追上汽车，自车子开动后，人和车相距越来越远3．甲、乙两物体从同一地点沿同一方向做直线运动的速度图像如图5-1所示,则 （ ） A ．两个物体两次相遇的时间是2s 和6s B ．4s 末甲在乙的后面 C ．2s 末两物体相距最远D ．甲物体一直向前运动而乙物体向前运动2s ，随后向后运动 图5-14．从某一高度相隔1s 释放两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，它在空中任一时刻 （ ） A ．甲、乙两球距离越来越大，甲、乙两球速度之差越来越大 B ．甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变 C ．甲、乙两球距离越来越大，但甲、乙两球速度之差保持不变 D ．甲、乙两球距离越来越小，甲、乙两球速度之差越来越小 5．A 、B 两质点的v －t 图像如图5-2所示，设它们在同一条直线上运动，在t =3s 时它们在中途相遇，由图可知（ ）A ．A 比B 先启程 B ．A 比B 后启程C ．两质点启程前A 在B 前面4mD ．两质点启程前A 在B 后面2m6．甲物体以1 m/s 的速度做匀速直线运动，出发5s 后，另一物体乙从同一地点由静止开始以0.4 m/s 2的加速度向同一方向做匀加速直线运动，求：（1）乙物体出发后经几秒钟才能追上甲物体?（2）甲、乙两物体相遇前它们之间的最大距离是多少？s ）7．甲车以10米/秒，乙车以4米/秒的速率在同一直车道中同向前进，若甲车驾驶员在乙车后方距离d处发现乙车，立即踩刹车使其车获得-2米/秒2的加速度，为使两车不致相撞，d的值至少应为多少？8．在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使：（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次。

二、匀变速直线运动的特例1．自由落体运动物体由静止开始，只在重力作用下的运动。

（1）特点：加速度为g ，初速度为零的匀加速直线运动。

（2）规律：v t =gt h =21gt 2 v t 2 =2gh 2．竖直上抛运动物体以某一初速度竖直向上抛出，只在重力作用下的运动。

（1）特点：初速度为v 0，加速度为 -g 的匀变速直线运动。

（2）规律：v t = v 0-gt h = v 0t-21gt 2 v t 2- v 02=－2gh 上升时间g v t 0=上，下降到抛出点的时间g v t 0=下，上升最大高度gv H m 22=（3）处理方法:一是将竖直上抛运动全过程分为上升和下降两个阶段来处理，要注意两个阶段运动的对称性。

二是将竖直上抛运动全过程视为初速度为v 0，加速度为 -g 的匀减速直线运动综合应用例析【例11】（1999年高考全国卷）一跳水运动员从离水面10m 高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m 达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计）从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是______s 。

（计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g 取10m/s 2，结果保留二位数） 【例12】如图所示是我国某优秀跳水运动员在跳台上腾空而起的英姿.跳台距水面高度为10 m ，此时她恰好到达最高位置，估计此时她的重心离跳台台面 的高度为1 m ，当她下降到手触及水面时要伸直双臂做一个翻掌压水花的动作， 这时她的重心离水面也是1 m.(取g =10 m/s 2)求：（1）从最高点到手触及水面的过程中其重心可以看作是自由落体运动，她在空中完成一系列动作可利用的时间为多长?（2）忽略运动员进入水面过程中受力的变化，入水之后，她的重心能下沉到离水面约2.5 m 处，试估算水对她的平均阻力约是她自身重力的几倍?三、针对训练1．骑自行车的人沿着直线从静止开始运动，运动后，在第1 s 、2 s 、3 s 、4 s 内，通过的路程分别为1 m 、2 m 、3 m 、4 m ，有关其运动的描述正确的是A ．4 s 内的平均速度是2.5 m/sB ．在第3、4 s 内平均速度是3.5 m/sC ．第3 s 末的即时速度一定是3 m/sD ．该运动一定是匀加速直线运动2．汽车以20 m/s 的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度为5 m/s2，那么开始刹车后2 s 与开始刹车后6 s 汽车通过的位移之比为 A ．1∶4B.3∶5C.3∶4D.5∶93．有一个物体开始时静止在O 点，先使它向东做匀加速直线运动，经过5 s ，使它的加速度方向立即改为向西，加速度的大小不改变，再经过5 s ，又使它的加速度方向改为向东，但加速度大小不改变，如此重复共历时20 s ，则这段时间内A ．物体运动方向时而向东时而向西B ．物体最后静止在O 点C ．物体运动时快时慢，一直向东运动D ．物体速度一直在增大4．物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4 m/s ，1 s 后速度的大小变为10 m/s ，关于该物体在这1 s 内的位移和加速度大小有下列说法①位移的大小可能小于4 m ②位移的大小可能大于10 m ③加速度的大小可能小于4 m/s 2 ④加速度的大小可能大于10 m/s 2 其中正确的说法是 A ．②④B.①④C.②③D.①③5．物体从斜面顶端由静止开始滑下，经t s 到达中点，则物体从斜面顶端到底端共用时间为 A ．t 2B.tC.2tD.22t 6．做匀加速直线运动的物体，先后经过A 、B 两点时的速度分别为v 和7v ，经历的时间为t ，则 A ．前半程速度增加3.5 v B ．前2t时间内通过的位移为11 v t /4 C ．后2t时间内通过的位移为11v t /4 D ．后半程速度增加3v7．一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…∶nB．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶nC．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…8．汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始A．A车在加速过程中与B车相遇B．A、B相遇时速度相同C．相遇时A车做匀速运动D．两车不可能再次相遇9．做匀加速直线运动的火车，车头通过路基旁某电线杆时的速度是v1，车尾通过该电线杆时的速度是v2，那么，火车中心位置经过此电线杆时的速度是_______.10．一物体由静止开始做匀加速直线运动，在第49 s内位移是48.5 m,则它在第60 s内位移是_______ m.11．一物体初速度为零，先以大小为a1的加速度做匀加速运动，后以大小为a2的加速度做匀减速运动直到静止.整个过程中物体的位移大小为s，则此物体在该直线运动过程中的最大速度为_______.12．如图所示为用打点计时器测定匀变速直线运动的加速度的实验时记录下的一条纸带.纸带上选取1、2、3、4、5各点为记数点，将直尺靠在纸带边，零刻度与纸带上某一点0对齐.由0到1、2、3…点的距离分别用d1、d2、d3…表示，测量出d1、d2、d3…的值，填入表中.已知打点计时器所用交流电的频率为50 Hz，由测量数据计算出小车的加速度a和纸带上打下点3时小车的速度v3，并说明加速度的方向.加速度大小a=_______m/s2，方向_______，小车在点3时的速度大小v3=_______m/s.13．一物体做匀加速直线运动，初速度为0.5 m/s，第7 s内的位移比第5 s内的位移多4 m，求：（1）物体的加速度.（2）物体在5 s内的位移.14．某航空公司的一架客机，在正常航线上做水平飞行时，突然受到强大的垂直气流的作用，使飞机在10 s 内下降高度为1800 m ，造成众多乘客和机组人员的伤害事故，如果只研究在竖直方向上的运动，且假设这一运动是匀变速直线运动.（1）求飞机在竖直方向上产生的加速度多大？（2）试估算成年乘客所系安全带必须提供多大拉力才能使乘客不脱离座椅.(g 取10 m/s 2)15．如图，一长为l 的长方形木块可在倾角为a 的斜面上无摩擦地滑下，连续经过1、2两点，1、2之间有一距离，物块通过1、2两点所用时间分别为t 1和t 2,那么物块前端P 在1、2之间运动所需时间为多少？参考答案1.AB2.C3.C4.B5.A6.C7.AC8.C9.22221v v + 10.59.5 11.v m =21212a a s a a + 12.0.58;与运动方向相反；0.13 13.利用相邻的相等时间里的位移差公式：Δs =aT 2,知Δs =4 m,T =1 s.a =2572Ts s - =2124⨯m/s 2=2m/s 2.再用位移公式可求得s 5=v 0t +21at 2=(0.5×5+21×2×52) m=27.5 m 14.由s =21at 2及：a =10001800222⨯=ts m/s 2=36 m/s 2. 由牛顿第二定律：F +mg =ma 得F =m (a -g )=1560 N,成年乘客的质量可取45 kg~65 kg,因此，F 相应的值为1170 N~1690 N 15.设P 端通过1后21t 时刻速度为v 1′，通过2后22t 时刻速度为v 2′,由匀变速运动规律有：v 1′=11t ,v 2′=21t .物体运动的加速度为a =g sin α, 21'-'t =)11(sin sin 1212t t g l g v v -='-'αα又t 1-1′=21t ,t 2-2′=22t ,故t 12=t 1-1′-t 2-2′+21'-'t =)11(sin 21221t t g L t t -+-α运动图象 追赶问题一、运动图象用图像研究物理现象、描述物理规律是物理学的重要方法，运动图象问题主要有：s-t 、v-t 、a-t 等图像。

第一章 运动的描述 匀变速直线运动匀变速直线运动图像和追及相遇问题【考点预测】1.匀变速直线运动的v －t 图像、a －t 图像、xt －t 图像、v 2－x 图像等2. 追及相遇问题 【方法技巧与总结】 (1)a －t 图像由Δv ＝aΔt 可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，如图甲所示． (2)xt－t 图像 由x ＝v 0t ＋12at 2可得x t ＝v 0＋12at ，截距b 为初速度v 0，图像的斜率k 为12a ，如图乙所示．(3)v 2－x 图像由v 2－v 02＝2ax 可知v 2＝v 02＋2ax ，截距b 为v 02，图像斜率k 为2a ，如图丙所示．(4)追及相遇问题可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口． 【题型归纳目录】题型一： 区分x －t 图像和v －t 图像 题型二：用函数思想分析图像 题型三：图像间的相互转化 题型四： 公式法求解追及相遇问题题型五：图像法在追及相遇问题中的应用 【题型一】区分x －t 图像和v －t 图像 【典型例题】例1．（2023·西藏日喀则·统考一模）图（a ）所示的医用智能机器人在巡视中沿医院走廊做直线运动，图（b ）是该机器人在某段时间内的位移时间图像（后10s 的图线为曲线，其余为直线）。

以下说法正确的是（ ）A ．机器人在0-30s 内的位移大小为7mB ．10-30s 内，机器人的平均速度大小为0.35m/sC ．0-10s 内，机器人做加速直线运动D ．机器人在5s 末的速度与15s 末的速度相同 【方法技巧与总结】1．无论x －t 图像、v －t 图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了x 与t 、v 与t 的函数关系，而不是物体运动的轨迹．2．x －t 图像中两图线的交点表示两物体相遇，v －t 图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇．3．位置坐标x －y 图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系．练1．（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）高铁改变生活，地铁改变城市！地铁站距短需要频繁启停，为缩短区间的运行时间需要较大的启动加速度。

第二章《匀变速直线运动的研究》追及相遇专题（一）1．一支300m长的队伍，以1m/s的速度行军，通讯员从队尾以3m/s的速度赶到队首，并立即以原速率返回队尾，求通讯员的位移和路程各是多少？2．A、B两列火车，在同轨道上同向行驶，A车在前，其速度v A＝10 m/s，B车在后，其速度v B＝30 m/s.因大雾能见度低，B车在距A车700 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过1 800 m才能停止．问A车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由．3．在一次警车A追击劫匪车B时，两车同时由静止向同一方向加速行驶，经过30 s追上．两车各自的加速度为a A＝15 m/s2，a B＝10 m/s2，各车最高时速分别为v A＝45 m/s，v B＝40 m/s，问追上时两车各行驶多少路程？原来相距多远？4．一辆轿车违章超车，以108km/h的速度驶入左侧逆行道时，猛然发现正前方80m处一辆卡车正以72km/h的速度迎面驶来，两车司机同时刹车，刹车时的加速度大小都是10m/s2，两司机的反应时间（即司机发现险情到实施刹车所经历的时间）都是t∆.试问t∆是何数值时，才能保证两车不相撞？5．经检测汽车A的制动性能是：以标准速度20m/s在平直公路上行使时，制动后4s可以停下来。

若汽车A在平直公路上以20m/s的速度行使，当发现正前方18m处有一货车B以6m/s 的速度同向匀速行使时，司机立即制动刹车（不考虑司机的反应时间），是否会发生撞车事故？6、A、B两列火车在同一轨道上同向行驶, A车在前, 速度为vA =10m/s, B车在后，速度 vB=30m/s. 因为大雾能见度很低, B车在距A车500m时, 才发现前方的A车. 这时B车司机立即刹车（不考虑司机的反应时间）, 但B车要经过1800m才能停止. 问：(1) A车若仍按原速度前进, 两车是否会相撞?(2) B车在刹车的同时发出信号, 使A车收接到信号立即加速前进（不考虑接收时间和反应时间）, 求A车的加速度至少是多大时, 才能避免交通事故发生?参考答案：1、【解析】设通讯员速度为v1，从队尾走到队首的时间为t1，从队首返回到队尾的时间为t 2，队伍前进的速度为v 2，队伍长为l ，则有1112t v l t v =+221)(t v v l +=由①②解得：1501=t s ，752=t s所以，通讯员的路程6752111=+=t v t v L m通讯员的位移2252111=-=t v h v x m2、【解析】B 车减速至v A ＝10 m/s 时的时间t ＝v B －v A a B ＝30－100.25s ＝80 s ，此段时间内A 车的位移为：x A ＝v A t ＝10×80 m＝800 m ，a B ＝v 2B 2x ＝(30 m/s)22×800＝0.25 m/s 2. B 车的位移为：x B ＝v B t －12a B t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×80－12×0.25×802 m ＝1 600 m 因为x B ＝1 600 m>x A ＋x ＝800 m ＋700 m ＝1 500 m ，所以A 、B 两车在速度相同之前已经相撞．3、【解析】如图所示，以A 车的初始位置为坐标原点，Ax 为正方向，令L 为警车追上劫匪车所走过的全程，l 为劫匪车走过的全程．则两车原来的间距为ΔL ＝L －l设两车加速运动用的时间分别为tA 1、tB 1，以最大速度匀速运动的时间分别为tA 2、tB 2， 则v A ＝a A tA 1，解得tA 1＝3 s 则tA 2＝27 s ，同理tB 1＝4 s ，tB 2＝26 s警车在0～3 s 时间段内做匀加速运动，L 1＝12a A tA 12 在3 s ～30 s 时间段内做匀速运动，则L 2＝v A tA 2警车追上劫匪车的全部行程为L ＝L 1＋L 2＝12a A tA 12＋v A tA 2＝1 282.5 m 同理劫匪车被追上时的全部行程为l ＝l 1＋l 2＝12a B tB 12＋v B tB 2＝1 120 m ， 两车原来相距ΔL ＝L －l ＝162.5 m4、【解析】已知1081=v km/h ，v 2=72km/h ，a =－10m/s 2，因卡车刹车后的位移x 2满足22220ax v =-，得1022022222⨯=-=a v x m=20m. 同理，轿车刹车后的位移x 1=45m.所以)204580(210--=--=∆x x x x m=15m.即x t v t v ∆≤∆+∆21，20301521+=+∆≤∆v v x t s=0.3s ，即两司机的反应时间皆不大于0.3s ，才能保证两车不相撞.5、【解析】对汽车A 有： 02－v 02 = 2ax (1)设A 车速度减为6m/s 时，A 车的位移为x A ，则有：v 2－v 02=2a x A (2)v - vA = atA (3)B 车的位移 x B =v B t (4)联立（1）（2）（3）（4）式解得x A = 36.4m x B = 16.8m由于x A > x B +18m ，所以两车相撞。

匀变速直线运动的规律追击碰撞问题两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞问题。

1．追及问题追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。

第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：（1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离。

（2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。

（3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个最大值。

第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：（1）当两者速度相等时有最大距离。

（2）若两者位移相等时，则追上。

2．相遇问题（1）同向运动的两物体追上即相遇。

（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。

3．追及和相遇问题的求解思路在追及和相遇问题中各物体的运动时间、位移、速度等都有一定的关系，这些关系是解决问题的重要依据。

解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时到达空间某位置（两个运动之间的位移和时间关系），因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系来处理。

其中速度关系特点是关键，它是两物体间距最大或最小，相遇或不相遇的临界条件。

基本思路是：①分别对两物体研究；②画出运动过程示意图；③列出位移方程；④找出时间关系、速度关系、位移关系；⑤解出结果，必要时进行讨论．(1)追及问题a) 根据追逐的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，注意将两物体在运动时间上的关系反映在方程中。

b）由简单的图示找出两物体位移间的数量关系（例如追及物体A 与被追及物体B开始相距为Δx，当追上时，位移关系为x A=x B+Δx）。

然后解联立方程得到需要求的物理量。

c）速度小者加速追速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，速度相等往往是解题的关键条件。

专题：匀变速直线运动规律的应用——追及和相遇问题这类问题研究的是两个物体在同一直线上的运动问题。

追击问题的关键是分析两物体的速度关系，追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有最大或最远的临界条件。

追上时，二都相对于同一参考点的位移应相等。

例1．火车以速度v 1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距x 处有另一火车沿同方向以速度v 2（对地，且v 1> v 2）做匀速运动,司机立即以加速度a 紧急刹车,要使两车不相撞,a应满足什么条件? 解:设经时间t,恰能追上而不相撞,则: 追上时火车的位移x 1=v 1t-221at .........（1） 另一火车的位移为：x 2=v 2t (2)恰能追上时满足：x 1= x 2+x (3)v 1-at=v 2 (4)把（1）（2）代入（3）式并由（4）式消去时间t 得：221()2v v a x-≥ 可见在解决追击类问题中关键是抓住两个重要条件：（1）位移关系（2）速度关系练习：1。

一辆汽车从静止开始以加速度a 起动时，恰好有一辆自行车以速度v 0从旁匀速驶过，以后他们都沿同一直线同一方向运动，则汽车经过_________时间追上自行车,在这之前他们之间的最大距离是________2.如图所示为甲、乙两质点同时同地向同一方向作直线运动的速度图象，由图象可以看出是哪一质点在后面追击前面的哪一质点？追上时甲、乙两质点的速度v 甲=_________m/sv 乙=________m/s,何时两质点间有最大距离?3．汽车以10m/s的速度前进时，突然发现前方30m远处一辆自行车正以4m/s的速度同向匀速前进，汽车随即刹车，为保证汽车不碰到自行车，试求汽车的最小加速度。

4.汽车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，突然发现前方s m处有一辆自行车正在以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门并以6m/s2的加速度做匀减速直线运动。

追击相遇专题例1：甲、乙两车从同一地点同向行驶，甲车做匀速直线运动，其速度为v=20m/s，乙车在甲车行驶至距离出发地300m处时，开始做初速度为零，加速度为a=2m/s2的匀加速直线运动，求：（1）乙车追上甲车所用的时间；（2）乙车追上甲车前两车间的最大距离。

变式：甲车以加速度4m/s2由静止开始作匀加速直线运动，乙车落后2秒在同一地点由静止开始，以加速度9m/s2作匀加速直线运动，两车的运动方向相同，求：（1）在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是多少？（2）乙车出发后经多长时间可追上甲车？此时它们离开出发点多远？例2：某人在离公共汽车尾部20m处，以速度v=6m/s向汽车匀速跑过去，与此同时，汽车以1m/s2的加速度从静止启动，作匀加速直线运动。

试问，能否追上汽车？如果能，要用多长时间？如果不能，则他与汽车之间的最小距离是多少？例3：在平直的公路上，一辆摩托车从静止出发追赶正前方400m处正以v0=10m/s的速度匀速前进的卡车，若摩托车的最大速度为20m/s，匀加速的加速度为0.25m/s2，求：（1）摩托车从静止开始运动到最大速度所用时间？（2）摩托车从静止开始运动到最大速度所运动的距离？（3）摩托车追上卡车的时间要多长？例4：某人骑自行车以v2=4m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面7m处有一辆以v1=10m/s行驶的汽车开始关闭发动机，以加速度大小为a=2m/s2做匀减速直线运动前进，求此人多长时间追上汽车？例5：汽车正以v1=12 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，突然发现正前方相距x处有一辆自行车以v2= 4 m/s的速度同方向匀速行驶，汽车立即以加速度大小a = 2 m/s2做匀减速直线运动，结果汽车恰好不撞上自行车，求x的大小？例6：如图，甲以10m/s的速度追赶前方x0处的乙，乙做初速度为0的匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2,试讨论甲乙初始距离x0满足什么条件时可以使：（1）甲乙只相遇一次；（2）甲乙能相遇两次；（3）甲乙不相遇（设相遇时互不影响各自的运动）。

冠夺市安全阳光实验学校第3节运动图象、追及和相遇问题知识点1 直线运动的x­t图象1．物理意义反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律．2．两种特殊的x­t图象(1)若x­t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀速直线运动．(2)若x­t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态．3．x­t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义知识点2 直线运动的v­t图象1．图象的意义反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．2．两种特殊的v­t图象(1)若v­t图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动．(2)若v­t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动.3．v­t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义知识点3 追及和相遇问题1．追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近．2．相遇问题的两类情况(1)同向运动的两物体追及即相遇．(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．1．正误判断(1)无论是x­t图象还是v­t图象都只能描述直线运动．(√)(2)x­t图象和v­t图象表示物体运动的轨迹．(×)(3)x­t图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程．(×)(4)两条v­t图象的交点表示两个物体相遇．(×)(5)两条x­t图象的交点表示两个物体相遇．(√)(6)两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐减小．(×)(7)速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小匀速运动的汽车相撞．(×)2.(x­t图象)如图1­3­1所示是一物体的x­t图象，则该物体在6 s内的路程是( ) 【：96622012】图1­3­1A ．0 mB ．2 mC ．4 mD ．12 m【答案】 D3. (v ­t 图象)质点做直线运动的速度－时间图象如图1­3­2所示，该质点( )图1­3­2A ．在第1秒末速度方向发生了改变B ．在第2秒末加速度方向发生了改变C ．在第2秒内发生的位移为零D ．第3秒末和第5秒末的位置相同【答案】 D4．(追及相遇问题)两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为v 0.若前车突然以恒定的加速度a 刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a 开始刹车．已知前车在刹车过程中所行驶的路程为x ，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为( ) 【：96622013】A ．xB.32x C ．2x D.52x 【答案】 B[核心精讲]1．位移—时间(x ­t )图象(1)位移—时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，图象并非物体运动的轨迹．(2)位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图象只能表示物体运动的两个方向：t 轴上方代表正方向，t 轴下方代表负方向；如果物体做曲线运动，则画不出位移—时间图象．(3)位移—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向．2．位置坐标(x ­y )图象表示物体位置的坐标图，图线表示物体实际运动的路线，在坐标图上能表示出物体运动的位移．3．速度—时间(v ­t )图象(1)速度—时间图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它也只能描述物体做直线运动的情况．(2)速度—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度．(3)速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移．[题组通关]1.某同学以校门口为原点，向东方向为正方向建立坐标，记录了甲、乙两位同学的位移—时间(x­t)图线，如图1­3­3所示，下列说法中正确的是( )图1­3­3A．在t1时刻，甲的瞬时速度为零，乙的速度不为零B．在t2时刻，甲、乙速度可能相同C．在t2时刻，甲、乙两同学相遇D．在t3时刻，乙的速度为零，加速度不为零C 因为x­t图线的斜率等于物体的速度，所以在t1时刻，甲的瞬时速度不为零，乙的速度为零，选项A错误；在t2时刻，甲、乙速度方向不相同，所以速度不可能相同，选项B错误；在t2时刻，甲、乙两同学位移相同，所以两同学相遇，选项C正确；在t3时刻，乙的位移为零、速度不为零，加速度无法判断，选项D错误．2．如图1­3­4所示是某质点做直线运动的v­t图象，由图象可知这个质点的运动情况是( )图1­3­4A．前5 s质点静止B．5～15 s内质点做匀加速运动，加速度为1 m/s2C．15～20 s内质点做匀减速运动，加速度为－3.2 m/s2D．15 s末质点离出发点最远，20 s末质点回到出发点C 由图象可知，质点前5 s做的是匀速运动，选项A错误；5～15 s内做匀加速运动，加速度为0.8 m/s2，选项B错误；15～20 s内做匀减速运动，其加速度为－3.2 m/s2，选项C正确；质点在20 s末离出发点最远，质点做的是方向不变的直线运动，选项D错误．3．(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v­t图象如图1­3­5所示．在这段时间内( )图1­3­5A．汽车甲的平均速度比乙大B．汽车乙的平均速度等于v1＋v22C．甲、乙两汽车的位移相同D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大A 根据v­t图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝xt得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x即汽车乙的平均速度小于v1＋v22，选项B错误；根据v­t图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．[名师微博]1．两点提醒：(1)x­t图象和v­t图象都只能描述直线运动．(2)x­t图象和v­t图象都不表示物体运动的轨迹，但y­x图象描述物体运动的轨迹．2．两个结论：(1)x­t图象的斜率大小表示物体速度大小，正负表示速度方向，v­t图象的斜率大小表示物体的加速度大小，正、负表示加速度的方向．(2)两x­t图线的交点表示两物体此时刻相遇，而两v­t图线的交点表示两物体此时刻速度相同．[核心精讲]1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．2．追及相遇问题常见的三种情况假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，则：(1)A追上B时，必有x A－x B＝x0，且v A≥v B.(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有x A－x B＝x0，v A＝v B.(3)若使两物体保证不相撞，则要求当v A＝v B时，x A－x B＜x0，且之后v A≤v B.3．解答追及相遇问题的三种常用方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景．(2)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，无解，说明追不上或不能相遇．(3)图象法：将两个物体运动的速度一时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题．[师生共研]甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16 m/s，加速度大小a甲＝2 m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4 m/s，加速度大小a乙＝1 m/s2，做匀加速直线运动，求：(1)两车再次相遇前二者间的最大距离；(2)两车再次相遇所需的时间． 【合作探讨】(1)两车间距最大时应满足什么条件？提示：甲、乙两车速度相等．(2)两车相遇时应满足什么条件？提示：甲、乙两车的位移相等．【规范解答】 解法一 用物理分析法求解(1)甲、乙两车同时同地同向出发，甲的初速度大于乙的初速度，但甲做匀减速运动，乙做匀加速运动，则二者相距最远时速度相等，即v 甲t ＝v 乙tv 甲t ＝v 甲－a 甲t 1；v 乙t ＝v 乙＋a 乙t 1， 得：t 1＝v 甲－v 乙a 甲＋a 乙＝4 s相距最远Δx ＝x 甲－x 乙＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 甲t 1－12a 甲t 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 乙t 1＋12a 乙t 21＝(v 甲－v 乙)t 1－12(a 甲＋a 乙)t 21＝24 m.(2)再次相遇的特征是：二者的位移相等，即 v 甲t 2－12a 甲t 22＝v 乙t 2＋12a 乙t 22，代入数值化简得 12t 2－32t 22＝0解得：t 2＝8 s ，t ′2＝0(即出发时刻，舍去)．解法二 用数学极值法求解(1)两车间的距离Δx ＝x 甲－x 乙＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 甲t －12a 甲t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 乙t ＋12a 乙t 2＝(v 甲－v 乙)t －12(a 甲＋a 乙)t 2＝12t －32t 2＝－32[(t －4)2－16]显然，t ＝4 s 时两者距离最大，有Δx m ＝24 m. (2)当Δx ＝12t －32t 2＝0时再次相遇，解得：t 2＝8 s ，t ′2＝0(舍去)． 【答案】 (1)24 m (2)8 s求解追及问题的两点技巧1．紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．2．审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．[题组通关]4．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做匀变速直线运动，t ＝0时刻同时经过公路旁的同一路标，下表是每隔1 s 记录的两车的速率．关于两车的运动，下列说法正确的是( ) 【：96622015】B ．在0～4 s 内，乙车的平均速度较大C ．在0～4 s 内，甲车相对乙车行驶了56 mD ．在乙车追上甲车之前，t ＝5 s 时两车相距最远D 由于两车做匀变速直线运动，据表求得a 甲＝－2 m/s 2，a 乙＝1 m/s 2，选项A 错误；利用匀变速直线运动的平均速度等于速度的平均值，求得0～4 s内两车的平均速度分别为v 甲＝18＋102 m/s ＝14 m/s ，v 乙＝3＋72 m/s ＝5 m/s ，选项B 错误；在0～4 s 内两车的位移分别为x 甲＝14×4 m＝56 m ，x 乙＝5×4 m ＝20 m ，所以甲车相对乙车的位移为x ＝56 m －20 m ＝36 m ，选项C 错误；在乙车追上甲车之前，当两车的速度相同时，两车相距最远，即v 甲＝v 乙，由表中数据得t ＝5 s ，选项D 正确．5．(2017·太原模拟)甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L 1＝11 m 处，乙车速度v 乙＝60 m/s ，甲车速度v 甲＝50 m/s ，此时乙车离终点线尚有L 2＝600 m ，如图1­3­6所示．若甲车加速运动，加速度a ＝2 m/s 2，乙车速度不变，不计车长．求：图1­3­6(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？ (2)到达终点时甲车能否超过乙车？【解析】 (1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v 甲＋at 1＝v 乙得t 1＝v 乙－v 甲a ＝60－502s ＝5 s甲车位移x 甲＝v 甲t 1＋12at 21＝275 m乙车位移x 乙＝v 乙t 1＝60×5 m＝300 m此时两车间距离Δx ＝x 乙＋L 1－x 甲＝36 m. (2)甲车追上乙车时，位移关系x 甲′＝x 乙′＋L 1得v 甲t 2＋12at 22＝v 乙t 2＋L 1代入数值并整理得t 22－10t 2－11＝0解得t 2＝－1 s(舍去)或t 2＝11 s 此时乙车位移x 乙′＝v 乙t 2＝660 m因x 乙′＞L 2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能追上乙车． 【答案】 (1)5 s 36 m (2)不能。