高三数学椭圆讲学稿

高中数学椭圆讲解教案一、椭圆的定义和性质1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和恒等于常数2a的点的轨迹。

2. 椭圆的性质：- 椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点到椭圆中心的距离为c，满足a^2 = b^2 + c^2。

- 椭圆的离心率为e，即e = c/a，0<e<1。

- 椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

二、椭圆的基本方程及参数表示1. 椭圆的标准方程：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。

2. 椭圆的参数表示：- 横轴端点坐标：(±a, 0)。

- 纵轴端点坐标：(0, ±b)。

- 中心坐标：(0, 0)。

- 焦点坐标：(±c, 0)。

- 离心率：e = c/a。

三、椭圆的性质1.对称性：- 关于x轴对称，y轴对称，原点对称。

2.焦点性质：- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和为常数2a。

3.直径性质：- 过椭圆中心的两条互相垂直的直线叫做椭圆的两条直径。

4.长轴和短轴性质：- 长轴为2a，短轴为2b，满足a^2 - b^2 = c^2。

四、题目练习1.若椭圆的长轴为6，焦距为2，则其离心率为多少？2.已知一个椭圆的长轴为8，焦距为4，过其焦点作两条与椭圆相交的直线，这两条直线的斜率之积为多少？3.求经过点(3,4)和(5,-2)的椭圆的标准方程。

五、作业1.自行查找相关资料，了解椭圆的其他性质和应用。

2.完成练习题目，加深对椭圆的理解。

3.进一步思考，椭圆和其他几何图形之间的联系和区别。

椭圆讲义学习目标：1.定义及标准方程2.几何性质．3.直线与椭圆 Ⅰ、温故知新： 1.椭圆定义。

平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和为常数（大于｜F 1F 2)的点的轨迹（或集合）叫作椭圆，这两个定点叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作焦距。

2.椭圆的标准方程．焦点在x 轴上的椭圆的标准方程22221x y ab+=(a>b>0)焦点坐标为（－c,0)（c, 0). 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程22221x y b a +=(a>b>0)焦点坐标为（0,-c)（0,c) . 其中a 2=b 2+c 2. 3.椭圆的性质：Ⅱ、设问导读题型一：根据条件求椭圆中的基本元素a 、b 、c 、e【例1】（1)已知椭圆16x 2+25y 2=400,求它的离心率．（2)椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，且c=6,e=23,求它的标准方程（3)椭圆5x 2-ky 2=5的一个焦点是（0, 2)求k 【解答】 （1)椭圆的标准方程为2212516x y +=,于是a 2=25,b 2=16,从而c 2=a 2-b 2=25-16=9,c=3,e=35c a =（2)由题意可设椭圆方程为22221x y ba+= (a> b> 0)∴c=6,e=23c a =∴a=9∴22245b a c =-=∴所求方程为：2214581xy += （3)椭圆方程化为2222251,,1,451xy a b c k k+=∴=-==- 【点评】在椭圆或双曲线中，a.b 、c.r 四个元素可“知二求二”，基本关系式是常用手段，要熟记，题型二，运用椭圆定义解题【例2】已知椭圆的一个焦点与短轴两端点连线夹角为90°,则椭圆的离心率为（ 【分析】本题考查椭圆a,b,c 之间关系和直角三角形勾股定理及离心率求法，【解答】椭圆的焦点与椭圆短轴端点之间距离为a,两短轴端点间距离为2b,椭圆的一焦点与短轴两端点连线夹角为90°,∴a 2=2b 2,又a 2=b 2+c 2=2b 2，∴b 2=c 2 即c,∴c e a =Ⅲ、自学检测： 1.若椭圆22149x y k +=+的离心率12e =则k 的值是2.如果椭圆的焦点坐标为F1(-3, 0),F,(3, 0)离心率为23,过点F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，那么ΔABF:的周长为 3.已知椭22221x y ba+=(a>b>0),F 1、F 2是它的左右焦点，AB 是过F1的弦，则ΔABF 2的周长是4.椭圆4x 2+ky 2=4的一个焦点是（0, 3)那么k=5.方程x 2+ky 2=2表示焦点在x 轴上的椭圆，实数k 的取值范围是6.已知M 是椭圆221259x y +=上一点，F1,F2是椭圆的焦点，且／F 1MF 2=90°,则ΔF 1MF 2的面积为 7.椭圆25x 2+9y 2=225的离心率等于 8.椭圆2219xy m+=的离心率为12,则m=9.椭圆的中心、两个焦点等分长轴，则椭圆的离心率等于10.椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线x+3y-6=0与两坐标轴交点，则椭圆的标准方程是Ⅳ、巩固训练：1.椭圆的两个焦点分别是两条准线间距离的三等分点，椭圆的离心率是2.方程221169x y k k+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，实数k 的取值范围 3.求过点（3,-2)且与22194xy +=有相同焦点的椭圆的方程．3.在ΔABC 中，B(-2, 0),C(2, 0)且其周长为10,求顶点A 的轨迹方程。

高三数学椭圆讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是针对高三学生进行椭圆部分的数学知识讲解。

椭圆作为解析几何中的重要内容，不仅在数学领域有着广泛的应用，同时也与现实生活紧密相连。

通过本节课的学习，使学生能够掌握椭圆的定义、标准方程及其性质，并能运用相关知识解决实际问题。

2、教学对象本节课的教学对象为高三学生，他们在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。

此外，学生在学习椭圆之前，已经接触过圆、直线等基本几何图形，对于几何图形的解析方法有一定的了解，这为椭圆的学习奠定了基础。

然而，椭圆相较于其他几何图形具有一定的复杂性和抽象性，因此，在教学过程中，需要关注学生的接受程度，采用适当的教学策略，引导他们逐步理解和掌握椭圆的相关知识。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；（2）掌握椭圆的几何性质，如顶点、焦点、离心率等，并能运用性质解决相关问题；（3）能够运用椭圆知识解决实际应用问题，如椭圆轨道、椭圆截面等；（4）提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力，培养他们将实际问题转化为数学问题的能力。

2、过程与方法（1）通过引导学生自主探究椭圆的定义，培养他们主动发现问题的能力；（2）采用问题驱动的教学方法，引导学生从特殊到一般、从具体到抽象的思考过程，培养他们的逻辑思维能力；（3）通过小组合作、讨论交流，培养学生合作解决问题的能力，激发他们的学习兴趣；（4）运用数形结合的方法，将椭圆的几何性质与代数表达式相结合，提高学生的空间想象能力；（5）设计丰富的例题和练习，使学生在实践中掌握椭圆知识，提高解题技巧。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们主动学习的积极性；（2）通过椭圆的学习，让学生体会数学的优美和严谨，培养他们追求真理的精神；（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，增强他们的应用意识；（4）培养学生面对困难时勇于挑战、坚持不懈的精神，使他们具备克服挫折的能力；（5）通过小组合作学习，培养学生团结协作、互帮互助的品质，提高他们的人际沟通能力。

高中数学讲解教程椭圆一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务是以“高中数学讲解教程椭圆”为主题，针对高中学生设计的一堂椭圆相关知识的教学。

通过本节课的学习，学生将掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质以及在实际问题中的应用。

此外，本节课还将培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

2、教学对象本节课的教学对象为高中学生，他们在先前的数学学习中已经掌握了平面几何、代数以及解析几何的基础知识，具有一定的数学思维和分析问题的能力。

此外，学生已经学习过圆的相关知识，这为椭圆的学习奠定了基础。

在本节课中，教师将针对学生的年龄特点和认知水平，采用适当的教学策略，帮助他们更好地理解和掌握椭圆的相关知识。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；（2）掌握椭圆的几何性质，如焦点、顶点、长轴、短轴等；（3）能够运用椭圆的相关知识解决实际问题，如求椭圆的面积、周长等；（4）提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力，培养学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

2、过程与方法（1）通过自主探究、小组合作、师生互动等方式，引导学生主动参与教学过程，培养学生的自主学习能力；（2）运用数形结合、从特殊到一般的方法，引导学生发现椭圆的几何性质，提高学生的观察力和归纳能力；（3）采用问题驱动法，设置不同难度的练习题，使学生在解决问题的过程中，巩固所学知识，提高解题技巧；（4）结合实际案例，让学生体会数学知识在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对椭圆知识的兴趣，培养学生对数学美的感受；（2）培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生对数学学科的学习信心；（3）通过合作学习，培养学生的团队协作精神，提高学生的人际沟通能力；（4）引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，培养学生的数学素养，使学生在面对现实问题时能够运用数学知识进行分析和解决；（5）培养学生严谨、踏实的学术态度，使学生形成良好的学习习惯，为终身学习奠定基础。

高中数学椭圆说课稿（合集5篇）第一篇：高中数学椭圆说课稿高中数学椭圆说课稿作为一位兢兢业业的人民教师，就有可能用到说课稿，借助说课稿可以让教学工作更科学化。

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高中数学椭圆说课稿1一、教学背景分析（一）教材地位分析：《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例，从知识上说，本节课是对坐标法研究几何问题的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此本节课起到了承上启下的重要作用．（二）重点、难点分析：本节课的重点是椭圆的定义及其标准方程，标准方程的推导是本节课的难点，要突破这一难点，关键是引导学生正确选择去根式的策略．（三）学情分析：在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难．如：由于学生对运用坐标法解决几何问题掌握还不够，因此从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍．二、教学目标设计（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程；会根据条件写出椭圆的标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，再次熟悉求曲线方程的一般方法．（二）能力目标：学生通过动手画椭圆、分组讨论探究椭圆定义、推导椭圆标准方程等过程，提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力．（三）情感目标：在形成知识、提高能力的过程中，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神．三、教法学法设计（一）教学方法设计：为了更好地培养学生自主学习能力，提高学生的综合素质，我主要采用探究式教学方法．一方面我通过设置情境、问题诱导充分发挥主导作用；另一方面学生通过对我提供的素材进行直观观察→动手操作→讨论探究→归纳抽象→总结规律的过程充分体现主体地位．使用多媒体辅助教学与自制教具相结合的设计方案，实现多媒体快捷、形象、大容量的优势与自制教具直观、实用的优势的结合，既突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性．1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．四、教学建议教材分析1．知识结构2．重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的．（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于．这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性．（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会．③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．（3）两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．另外，形如中，只要，同号，就是椭圆方程，它可以化为．（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．高中数学椭圆说课稿2一、教学目标:知识与技能目标：准确理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导。

椭圆一、课标要求1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质二、知识梳理1.椭圆的定义（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于（大于|F1F2|）的点的轨迹.（2）焦点：两个定点F1，F2.（3）焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半.2.椭圆的标准方程与几何性质标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标A1(−a,0)，A2(a,0)A1(0,−a)，A2(0,a)B1(0,−b)，B2(0,b)B1(−b,0)，B2(b,0)焦点坐标，，半轴长长半轴长为a，短半轴长为b离心率e=a，b，c的关系a2=提醒1.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a＞0,c＞0，且a,c为常数.（1）若a＞c，则集合P表示椭圆；（2）若a=c，则集合P表示线段；（3）若a＜c，则集合P为空集.2.焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大.三、典例探究考点一椭圆的定义及应用例1：已知两圆C1:(x−4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A. x 264−y248=1 B. y264+x248=1 C. x248−y264=1 D. x264+y248=1练习：“4<k<10”是“方程x 2k−4+y210−k=1表示焦点在x轴上的椭圆”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 考点二 椭圆的标准方程 例2 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为13，A 1 ,A 2 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点.若BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 ,则C 的方程为( ) A.x 218+y 216=1 B.x 29+y 28=1 C.x 23+y 22=1 D.x 22+y 2=1练习：已知椭圆过点P (35,−4) 和点Q (−45,−3) ，则此椭圆的方程是 ( ) A. y 225+x 2=1 B.x 225+y 2=1 或x 2+y 225=1C.x 225+y 2=1D. 以上均不正确四、课堂练习1.已知F 1 、F 2 是定点,|F 1F 2|=6 .若动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6 ,则动点M 的轨迹是( ) A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆2.已知椭圆的两个焦点为F 1(−√5,0) ，F 2(√5,0) ，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2 ，|MF 1|⋅|MF 2|=8 ，则该椭圆的方程是( ) A. x 27+y 22=1 B. x 22+y 27=1 C.x 29+y 24=1D.x 24+y 29=13. [2023辽宁沈阳模拟]已知两定点F 1(−1,0) ，F 2(1,0) 和一动点P ，若|F 1F 2| 是|PF 1| 与|PF 2| 的等差中项，则动点P 的轨迹方程为( ) A.x 216+y 29=1 B.x 24+y 23=1C. x 216−y29=1 D. y24+x23=14. [2021全国甲，15，5分]已知F1，F2为椭圆C:x 216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为5.设F1,F2分别是椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|,且|AB|=4,△ABF2的周长为16,则|AF2|=。

第八讲 圆锥曲线（椭圆）一．定义及标准方程定义：平面内与两定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ） 的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。

符号表示：方程：（1）焦点在x 轴上：12222=+b y a x ()0b ＞＞a（2）焦点在y 轴上：12222=+ay b x ()0b ＞＞a1.求椭圆的标准方程（1）.定义法：根据定义确定22,b a 的值，再根据焦点的位置写出标准方程。

（2）.待定系数法：1）焦点不确定可设方程为：122=+By Ax 或者设为)(1222222n m ny m x ≠=+2 )与椭圆1122222222=+++=+k b y k a x b y a x 为有共同焦点的椭圆可设 3 ）与椭圆k by a x b a b y a x =+>>=+22222222)0(1设为有相同离心率的椭圆可例1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________________.例2.若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点（1，21）做圆的切线122=+y x ，切点分别为A,B 直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为________________. 例3.椭圆C 的中心在原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为22，过1F 的直线l 交C 与A,B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为__________.例4.椭圆131222=+y x 的左右焦点分别为21,F F 点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么的是|PF |||21PF （ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍例5 .已知1F ，2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过椭圆的焦点1F 的直线交椭圆于点B A ,，若1222=+B F A F ，则=AB ________________.二．简单几何性质：项目焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形与方程标准方程12222=+b y a x 12222=+a y b x 焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -对称性 关于x ，y 轴对称;关于原点对称顶点),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A --)0,(),0,(),0(),,0(2121b B b B a A a A --范围b y a x ≤≤||,||b x a y ≤≤||,||轴 2bB B 2a A A 2121==短轴长轴2bB B 2a A A 2121==短轴长轴离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 渐近线 无无a,b,c 关系222c b a +=222c b a +=通径ab 22 ab 22 焦点三角形（1）12cos 212-=r r b θ；θ取最大时，222max cos a c b -=θ； （2）θsin ||||212121••=∆PF PFS F PF （3）θcos ||||2||||42122212PF PF PF PF c -+=022tany c b S •=•=θPF 2F 1xOy例1.设椭圆12222=+by a x 的焦距为2C ，以O 为圆心，a 为半径做圆M ，若过点P （c a 2,0）所做圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_________.例2.过椭圆C ： 12222=+by a x 的左顶点A 且斜率为K 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好在右焦点F ，若2131<<k ，则椭圆离心率的取值范围是：（ ） )49,41.(A B.)1,32( C.)32,21( D.)21,0(例3.椭圆13622=+y x 中,F 1、F 2为左、右焦点,A 为短轴一端点,弦AB 过左焦点F 1,则∆ABF 2的面积为 ( )（A ）3 （B ）233 （C ）34 （D ）4 例4、已知1F ，2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上.如果12PF F ∆是直角三角形，求点P 的坐标.三．椭圆与其他图的位置关系 1、判断点和椭圆的位置关系设点P 的坐标为()00,y x ，把()00,y x 代入到椭圆方程，可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++，点在椭圆内。

§2.1 椭圆【自主学习，明确目标】【学习目标】：1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．【学习重点】：椭圆标准方程的掌握【学习难点】：椭圆标准方程的应用【研讨互动，问题生成】思考1：1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_______________的点的轨迹叫做椭圆，点______叫做椭圆的焦点，______叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程思考2：平面内动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是什么？当2a<|F1F2|时呢？提示：当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，不表示任何轨迹．思考3：二元二次方程Ax2+By2=C(A,B,C均不为零)在何种情况下表示椭圆？【合作探究，问题解决】一、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．例2根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)和B (12，3)； (2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点．【解】 (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∴2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10， ∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的方程为x 225＋y 29＝1. (2)由于椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎨⎧ 4a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1⇒⎩⎨⎧ a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1. 解：(1)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． ∵椭圆经过两点A (0,2)、B (12，3)， ∴⎩⎨⎧ 0m ＋4n ＝1，14m ＋3n＝1，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝4. ∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.二、利用椭圆的定义求轨迹方程用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可例3 已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．例4已知动圆M 和定圆C 1：x 2＋(y －3)2＝64内切，而和定圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝4外切．求动圆圆心M 的轨迹方程．三、椭圆定义的应用椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、(2)∵椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆方程为x 2m ＋y 2m ＋5＝1(m ＞0)． 又椭圆经过点(2，－3)， 则有4m ＋9m ＋5＝1. 解得m ＝10或m ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1. 【解】 设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. ∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．例5 已知P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积S .例 6 本例中其他条件不变，∠F 1PF 2＝60°改为∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．【巩固训练，问题拓展】 一、选择题1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析：选A.c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. 【解】 在椭圆x 216＋y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，所以c ＝7. 因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝8，①在△PF 1F 2中，∵∠F 1PF 2＝60°，根据余弦定理可得： |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2＝28，②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝3 3. 解：因x 216＋y 29＝1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝7. 点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝8.在△PF 1F 2中，∵∠F 1PF 2＝90°，∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|，∴28＝64－2|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝18.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝9.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 2．椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( ) A ．20 B ．12C ．10D ．6解析：选A.∵AB 过F 1，∴由椭圆定义知⎩⎪⎨⎪⎧ |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20.3．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．8解析：选D.设到另一焦点的距离为x ，则x ＋2＝10，x ＝8. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 解析：选D.由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6. ∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1. 二、填空题5．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：∵2a ＝8，∴a ＝4，∵2c ＝215，∴c ＝15，∴b 2＝1.即椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 答案：y 216＋x 2＝1 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________. 解析：由题意知，|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10.所以，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54. 答案：54三、解答题7．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3. (2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)， 把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15. 故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 8．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程． 解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →²F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )²(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝ －4＋2＋32＋ －4－2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。

高三数学第一轮复习讲义（50）椭圆一、复习目标：1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程． 二、知识要点：1．椭圆的定义（1）第一定义： ． （2）第二定义： ． 2．标准方程： ． 3．几何性质： ． 4．参数方程 ． 三、课前预习：1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ A ）()A 22132x y += ()B22132x y -=()C 22(1)132x y ++= ()D 22123x y += 2．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ B ）()A 有相等的长、短轴 ()B 有相等的焦距()C 有相等的离心率()D 有相同的准线3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上，且过点(3,0)A ，则椭圆的方程是 2219x y += 或221819x y += ． 4．底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截，截口是一个椭圆，这个椭圆的长 ，短轴长 12cm ，离心率12．5．已知椭圆22221(x y a b a b+=>>则原来的椭圆方程是2212516x y += ；新椭圆方程是 12516+= ． 四、例题分析：例1．设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴，建立直角的坐标系， ∵||||||||4PA PB PA PM +=+=；又||2AB =， ∴P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆， ∵24,22a c ==，∴2223b a c =-=，所求轨迹方程为22143x y +=． 例2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 的两个焦点，（1）若α=∠21F PF ，21PF F ∠=离心率2cos2cosβαβα+=e ；（2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆的面积为证明：（1）在21F PF ∆中，由正弦定理可知[]αββαπsin ||sin ||)(sin ||2121PF PF F F ==+-，则βαβαsin sin ||||)sin(221++=+PF PF c，∴βαβαsin sin 2)sin(2+=+ac∴2cos 2cos2cos 2sin 22cos2sin2sin sin )sin(22βαβαβαβαβαβαβαβα+=+⋅+=++==a c e （2）在21F PF ∆中由余弦定理可知--+=⋅⋅-+=||||2|)||(|2cos ||||2||||)2(212212122212PF PF PF PF PF PF PF PF c θ)2cos 1(||||2)2(2cos ||||221221θθ+⋅⋅-=⋅⋅PF PF a PF PF∴θθ2cos 122cos 14421||||22221+=+-⋅=⋅b c a PF PF∴1222121sin 2||||sin 2tan 21cos 2PF F S PF PF b b θθθθ∆=⋅⋅=⋅=⋅+．小结：21F PF ∆的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此a PF PF 2||||21=+，12||2F F c =，所以我们应以21F PF ∆为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。

高三数学第一轮复习讲义（50）椭圆椭 圆一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．二．知识要点：1．椭圆的定义（1）第一定义： ．（2）第二定义： ．2．标准方程： ．3．几何性质： ．4．参数方程 ．三．课前预习：1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点(1,0)A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ ） ()A 22132x y += ()B 22132x y -= ()C 22(1)132x y ++= ()D 22123x y += 2．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A 有相等的长、短轴 ()B ()C 有相等的离心率 ()D 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3程是 ．4．底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30该椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为5．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35，方向旋转2π后，所得新椭圆的一条准线方程是163y =则原来的椭圆方程是 ；新椭圆方程是 ．四．例题分析：例1．设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．例2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，（1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF ，求证：离心率2cos 2cos βαβα-+=e ； （2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆的面积为2tan b θ⋅．例3．设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P ，使得直线1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q，若22||2||QF PF =，求直线2PF 的方程． 五．课后作业： 班级 学号 姓名1．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ∆的面积等于 （ ）()A 3316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 16 2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB，则椭圆的离心率为 （ ）()A ()B ()C 12 ()D 453． 椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x ，关于直线0x y +=对称，则椭圆C 的方程是___________________．4．到两定点12(3,0),(9,0)F F 的距离和等于10的点的轨迹方程是 ．5．已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于 ． 6．如图，PMN ∆中，1tan 2PMN ∠=,tan 2PNM ∠=-,PMN ∆面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，经过点P 的椭圆方程．7．AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点， O 是椭圆的中心，求证：OM AB k k ⋅为定值．8．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由．M NP。