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得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5
一般式： y=ax2+bx+c
变式二：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？ 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1） y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
2 2
所以f ( x) x 2 5x 6.
解法二： f ( x 1) x 2 3x 2
( x 1)2 5( x 1) 6,
f ( x) x 5x 6.
2
变式：已知 f ( x 1) x 2 3x 2, 求f ( x 2).
解法一： f ( x y) f ( x) y(2 x y 1)，且f (0) 1,
令y x, 则f (0) f ( x) x(2x x 1),
即：f ( x) x( x 1) f (0) x 2 x 1.
故：f ( x) x x 1.
1 (3)消元法：若所给式子中 含有f ( x), f ( x)或f ( x), f ( )等形式， x 可构造另一个方程，通 过解方程组求解；
(4)赋值法(特殊值法）： 可令等式中的自变量等 于某些特殊值再求解。
求函数的解析式
（1）待定系数法
（2）换元法 （3）配凑法 （4）消元法 （5）赋值法（特殊值法）
例1.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x－1, 求 f(x)的解析式. 解:设 f (x) = kx+b, 则 f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b
=k2x+kb+b=4x－1.
所以f ( x) 2 x 7.
例3.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、 （1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： y=ax2+bx+c
解：设所求的二次函数为 由条件得：
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式： y=a(x-h)2+k
a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程得： a=2, b=-3, c=5
因此：所求二次函数是：
y=2x2-3x+5
变式一：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为 （0，－5）求抛物线的解析式？
一般式： y=ax2+bx+c
解：设所求的二次函数为 由条件得： 点( 0,-5 )在抛物线上
y=a(x＋1)2-3
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
a-3=-5,
顶点式： y=a(x-h)2+k
f ( x 1) f ( x) f ( x 2)
例2. 已知f ( x 1) x 2 x , 求f ( x ).
解： f ( x 1) ( x )2 2 x 1 1
( x 1) 1.
2
设t
x 1, 则t ≥ 1,
f(t)=t2 -1
，再消去f ( x)
1 2 即： f ( x) x 2 x 3
1 例2.已知 f ( x) 2 f ( ) x, 求f ( x). x 1 解：用 去代换已知中的 x， x ) x f ( x )2 f ( 1 1 x 得 1 f( ) 1 ，再消去 f ( )2 f ( x ) x x x x 2 即： f ( x) . 3 3x
必有
k 2 4, k 2, k 2, , 或 kb b 1, 2b b 1 2b b 1.
k 2, k 2, 或 b 1 , b 1. 3
f ( x) 2 x 1 , 或f ( x ) 2 x 1. 3
由条件得： 点M( 0,1 )在抛物线上
顶点式： y=a(x-h)2+k
所以：a(0+1)(0-1)=1 得： a=-1
o
x
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
例 1. 已知f ( x 1) x 3x 2, 求f ( x);
2
解法一：令x 1 t , 则x t 1, 将x t 1代人f ( x 1) x 2 3 x 2， 得f (t ) (t 1) 3(t 1) 2 t 5t 6,
即 f ( x ) x x 1, ( x 1).
x 1 x 1 1 5. 已知f ( ) , 求f ( x ). x x x 解： f (1 1 ) 12 1 1 x x x 1 1 , t 1, 令 1 t, 则 x x t 1
2
f ( t ) ( t 1) ( t 1) 1.
2
解法二： f ( x y) f ( x) y(2 x y 1)，且f (0) 1,
令x 0, 则f (0 y) f (0) y(0 y 1), 即：f ( y) 1 y( y 1) y y 1,
2
再令 y x, 得：f ( x) x x 1,
x 1 x 1 1 4. 已知f ( ) , 求f ( x ). 2 x x x
2
解： f (1 1 ) 12 1 1
x x 2 1 1 (1 ) ( 1) 1 x x 设 1 1 t, 则 t 1. x
2 2
x
f ( t ) t t 1, ( t 1).
练习：已知 3 f ( x ) f ( x ) 4x, 求f ( x).
5 5
解：用 x去代换已知中的 x，
得
3 f ( x5 ) f ( x5 )4 x 3 f ( x5 ) f ( x5 )4( x )
，再消去f ( x)
即：f ( x) 2 x.
5
例1.设f ( x)是R上的函数，且满足 f (0) 1, 并且对任意实数 x, y，都有f ( x y ) f ( x) y (2 x y 1), 求f ( x)的解析式.
∴ f(x)=x2－1(x≥1).
例3. 已知f ( x 1) x 2 x , 求f ( x ).
解: 设t x 1, 则 t ≥ 1,
2
x ( t 1) .
f ( t ) ( t 1) 2( t 1) t 1.
2
2
∴ f(x)=x2－1(x≥1).
例2.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式
解：设f(x)=kx+b(k≠0), 则3f(x+1)-2f(x-1)=3kx+3b+3k+2k2b-2kx=kx+b+5k=2x+17, 对比系数得： k 2 ,
5 k b 17 ,
故k 2, b 7,
2
小结：求函数解析式的常用方法
（ 1 ）待定系数法:已知函数的类型，可设 出所求函数的解析式， 然后利用已知条件列方 程（组），再求系数；
(2)换元法、配凑法：形如 f [ g ( x)]的函数，可令 t g ( x), x (t ), 然后再将它代入解析式 求解，注意：新设元 t的范围；
2
f ( x) x 2 x 1.
练习：设f ( x)是R上的函数，且满足 f (0) 1, y 并且对任意实数 x, y，都有f ( x ) f ( x) y (2 x y 1), 2 求f ( x)的解析式.
分析：令x 0, y 2 x, 则有 f ( x) f (0) 2 x(0 2 x 1) 4 x 2 x 1.
2
t t 1, ( t 1).
2
即 f ( x ) x 2 x 1, ( x 1).
例 1. 已知f ( x) 2 f ( x) x 2x, 求f ( x).
2
解：用 x去代换已知中的 x，
得
f ( x )2 f ( x ) x 2 2 x f ( x ) 2 f ( x ) ( x ) 2 2 ( x )
