总体最小二乘方法在空间后方交会中的应用

最小二乘法的原理及其应用一、研究背景在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。

其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。

它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。

随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。

本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。

二、最小二乘法的原理人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。

如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。

为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型,q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。

通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。

参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。

（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。

其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。

一般情况下，观测值远多于所选择的参数。

其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。

高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。

令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。

人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。

除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。

确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。

并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。

用函数表示为：用欧几里得度量表达为：最小化问题的精度，依赖于所选择的函数模型。

最小二乘原理的应用什么是最小二乘法最小二乘法是一种常用的数学优化方法，用于对数据进行拟合和回归分析。

它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和，来寻找最佳的拟合直线或曲线。

最小二乘法可以应用于各个领域，包括统计学、经济学、物理学和工程学等。

它广泛用于数据分析、模型建立和预测等任务。

最小二乘法的原理最小二乘法的原理可以概括为以下几个步骤：1.假设我们有一组观测数据点，其中每个数据点都包含自变量和因变量的数值。

2.我们需要定义一个拟合函数，这个函数可以基于自变量的数值来预测因变量的数值。

3.最小二乘法通过最小化观测值与拟合值之间的差异，来找到最佳的拟合函数。

4.为了最小化差异，我们可以计算观测值与拟合值之间的残差，并求取残差平方和。

5.为了找到最佳的拟合函数，我们需要求解残差平方和的最小值。

这可以通过求导等方法来实现。

6.求解得到最小化残差平方和的函数参数，即得到了最佳的拟合函数。

最小二乘法可以用于线性拟合、非线性拟合、多项式拟合等情况。

无论数据的形状如何，最小二乘法都可以通过求解最小化残差平方和的问题，来寻找最佳的拟合函数。

最小二乘法的应用线性回归线性回归是最小二乘法的一种常见应用。

它用于建立自变量和因变量之间的线性关系，并通过最小二乘法来找到最佳拟合直线。

线性回归通常用于预测和预测分析。

通过线性回归，我们可以根据自变量的数值，预测因变量的值。

这种方法被广泛用于市场研究、股票预测、经济预测等领域。

非线性回归最小二乘法也可以应用于非线性回归。

非线性回归是指自变量和因变量之间存在非线性关系的情况。

对于非线性回归问题，我们可以通过选择合适的非线性函数来拟合数据。

通过最小二乘法，我们可以找到使观测值和拟合值之间残差平方和最小的函数参数。

非线性回归广泛应用于自然科学、工程学和社会科学等领域。

它可以帮助我们分析复杂的数据关系，并进行预测和模型建立。

数据拟合除了回归分析，最小二乘法还可以应用于数据拟合。

数据拟合是指基于一组离散的数据点，找到最佳拟合函数或曲线。

整体最小二乘估计的深入研究摘要:整体最小二乘法是一种较为先进的最小二乘法结构，整体最小二乘法认为回归矩阵存在干扰，在计算最小二乘解时考虑了这个因素，而在一般最小二乘法时没有考虑该因素的影响。

整体最小二乘法应用广泛，得到效果也比较好。

本文主要讨论了整体最小二乘法的基本原理，给出了整体最小二乘的单位权中误差计算公式以及待估参数的近似精度评定公式。

一、整体最小二乘的基本原理最小二乘法经历了百余年的发展考验，已经成为许多领域数据处理广泛应用的方法。

测量数据的处理方法，通常是指按最小二乘法进行测量平差，它是测量数据处理中最基本、最广泛的应用方法，尤其是近几十年来得到了充分的发展和应用。

最小二乘平差的基本思想是在最小二乘准则下进行测量数据的调整。

测量平差模型均可归结线性方程组的求解问题。

最小二乘准则要求残差的范数平方和极小，它主要是针对观测值中的偶然误差的。

然而，实际问题中参数估计中的观测值和系数阵都可能存在误差，针对这种更复杂的情况，20 世纪80提出了整体最小二乘法。

先介绍整体最小二乘的基本思想：对于线性方程组，普通最小二乘的基本思想是在残差平方和极小的准则约束下求解最佳参数。

这里有一个前提，系数矩阵A 是没有误差的精确值，但是多数情况系数阵A和观测向量L 同时存在误差，若同时考虑二者的误差，此时，线性方程组可表示为其中A∈R ，L∈，，, ；；m 为观测值个数，n 为待估参数个数，为系数阵的噪声，为观测噪声，误差矩阵[]属于相互独立的白噪声误差。

这一模型称为EIV （Errors-in-Variables）模型。

解决这类问题的适宜方法是整体最小二乘法（Total Least Squares, TLS）。

对于线性方程组Ax = L，整体最小二乘问题就是在以下准则约束下寻求、，任何满足的均称为线性方程A x = L的整体最小二乘解。

为相应整体最小二乘改正数。

式中，为Frobenius 范数，简称为F 范数。

【文献综述】最小二乘法的原理和应用文献综述数学与应用数学最小二乘法的原理和应用一、国内外状况天文学自古代至18世纪是应用数学中最发达的领域。

观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子，在此种意义下，天文学家就是最初的数理统计学家。

天文学的问题逐渐引导到算术平均，以及参数模型中的种种估计方法，以最小二乘法为顶峰。

1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。

经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。

随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。

时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。

奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。

高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

勒让德是法国军事学校的教授，曾任多界政府委员，后来成了多科工艺学校的总监，直至1833年逝世。

有记载最小二乘法最早出现在勒让德1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中。

他在该书中描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点。

勒让德的成功在于它从一个新的角度来看待这个问题，不像其前辈那样致力于找出几个方程（个数等于未知数的个数）再去求解，而是考虑误差在整体上的平衡。

从某种意义讲，最小二乘法是一个处理观测值的纯粹代数方法。

要将其应用于统计推断问题就需要考虑观测值的误差，确定误差分布的函数形式。

勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。

1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。

最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。

如已知两变量为线性关系y=a+dx,对其进行n（n>2）次观测而获得n对数据，若将这n对数据代入方程求解a 、b 之值则无确定解。

最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。

在许多领域，如线性回归分析、曲线拟合、机器学习、信号处理、控制系统、金融预测和经济建模等，最小二乘法都得到了广泛的应用。

以下是一些最小二乘法的用法举例：1. 线性回归分析线性回归分析是一种统计学方法，用于研究因变量和自变量之间的关系。

最小二乘法可以用于估计线性回归模型的参数，使得预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。

2. 曲线拟合曲线拟合是一种数学方法，用于将一组数据拟合到一个特定的函数模型中。

最小二乘法可以用于估计模型的参数，使得模型预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。

3. 机器学习机器学习是一种人工智能技术，用于让计算机从数据中学习并自动改进其性能。

最小二乘法可以用于训练机器学习模型，例如线性回归模型、逻辑回归模型和支持向量机等。

4. 信号处理信号处理是一种技术，用于对信号进行变换、分析和合成。

最小二乘法可以用于估计信号的参数，例如频率、幅度和相位等，使得信号的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。

5. 控制系统控制系统是一种技术，用于控制系统的行为并使其达到预期的性能指标。

最小二乘法可以用于估计控制系统的参数，例如传递函数和状态空间模型等，使得控制系统的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。

6. 金融预测金融预测是一种技术，用于预测金融市场的走势和未来趋势。

最小二乘法可以用于估计金融模型的参数，例如ARIMA模型和神经网络模型等，使得模型的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。

7. 经济建模经济建模是一种技术，用于建立经济系统的数学模型并对其进行仿真和分析。

最小二乘法可以用于估计经济模型的参数，例如生产函数和需求函数等，使得模型的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。

1.什么是摄影测量学，摄影测量发展的三个阶段摄影测量学是对研究的物体进行摄影，测量和解译所获得的影像，获取被摄物体的几何信息和物理信息的一门科学。

三个阶段：模拟、解析、数字摄影测量。

2.根据成图的需要，规定了摄影比例尺后，如何选择航空摄影机与航摄高度？答：采用特宽角航摄机，航高值就小，采用常角或窄角航摄机，航高值就大。

（航高的大小将决定飞机实际升限和最小安全高度的限制，另外，测图的高程测定精度与航高有关（高程中误差与航高成正比））大比例尺单像测图，应选用常角或窄角航摄机，小比例尺立体测图应选用特宽角航摄机。

3.什么是航摄像片的内外方位元素，各有何作用？答：内方位元素包括三个参数，即摄影中心S到像片的垂距(主距)f及像主点o在像框标坐标系中的坐标00,y x，用其来恢复摄影光束。

确定摄影光束在摄影瞬间的空间位置和姿态的参数，称为外方位元素，一张的外方位元素包括六个参数，其中有三个是直线元素，用于描述摄影中心的空问坐标值；另外三个是角元素，用于表达像片面的空间姿态。

4.摄影测量中常用的坐标系有哪些，各有何作用？答：摄影测量中常用的坐标系有两大类。

一类是用于描述像点的位置，称为像方空间坐标系；另——类是用于描述地面点的位置．称为物方空间坐标系。

(1)像方空间坐标系①像平面坐标系像平面坐标系用以表示像点在像平面上的位置，通常采用右手坐标系，xy轴的选择按需要而定．在解析和数字摄影测量中，常根据框标来确定像平面坐标系，称为像框标坐标系。

②像空间坐标系为了便于进行空间坐标的变换，需要建立起描述像点在像空间位置的坐标系，即像空间坐标系。

以摄影中心S为坐标原点，xy,轴与像平面坐标系的xy轴平行，z轴与主光轴重合，形成像空间右手直角坐标系s-xyz③像空间辅助坐标系像点的像空间坐标可直接以像平面坐标求得，但这种坐标的待点是每张像片的像空间坐标系不统一，这给计算带来困难。

为此，需要建立一种相对统一的坐标系．称为像空间辅助坐标系，用s-XYZ表示。

空间后方交会的直接解空间后方交会，即由物方已知若干个控制点以及相应的像点坐标，解求摄站的坐标与影像的方位，这是一个摄影测量的基本问题。

通常采用最小二乘解算，由于原始的观测值方程是非线性的，因此，一般空间后方交会必须已知方位元素的初值，且解算过程是个迭代解算过程。

但是，在实时摄影测量的某些情况下，影像相对于物方坐标系的方位是任意的，且没有任何初值可供参考。

这时常规的空间后方交会最小二乘算法就无法处理，而必须建立新的空间后方交会的直接解法。

直接解法的基本思想是将它分成两步：先求出三个已知点i P 到摄站S 的距离i S ；然后求出摄站S 的坐标和影像方位。

物方一已知点()iiii,Z ,Y X P 在影像上的成像()iii,y x p ，根据影像已知的内方位元素()0,y f,x 可求得从摄站()SS S S ,Z ,Y X 到已知点i P 的观测方向i,βαi 。

()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+-=-=2020tan tan x x f y y βf x x αi i i i i (1)距离方程组可以写成如下形式：⎪⎭⎪⎬⎫=+++=+++=+++020202312113312323233223221222211221b x x x a x b x x x a x b x x x a x (2)其中()j ;i ,,i,j S ,b a ijijijij≠===321cos ϕ。

因此，解算摄站S 到三个控制点的距离问题，被归结为解算一个三元二次联立方程组的问题。

这个方程组的解算方法选用迭代法。

迭代计算公式可写成：()()() ,,,K Ab Aa x K K 2101=+=+(3)其中，[]TS F S F S F a 231312232321212=()()()()()()()()()()[]T2K 1K 3312K 3K 2232K 2K 112K S S G S S G S S G b------=()()()()[]TK K K K S S S x 232221=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111---A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin 2122ij ij F ϕij ij ij F G ϕcos 22=因此，距离的初值，即当0=K 时，Aa x =0()()20i0iS S =()()()()()()()()()()[]T2010331203022320201120S S G S S G S S G b------=代入(2-24)式进行迭代。

空间后方交会原理.txtゅ你不用一上线看见莪在线，就急着隐身，放心。

莪不会去缠你。

说好的不离不弃现在反而自己却做不到╮单幅航空影像空间后方交会程序设计来源: 摘要：航空影像单像空间后方交会是利用影像所覆盖地面范围内若干控制点的已知地面坐标和相应点的像点坐标，根据共线方程，在最小二乘法的原则下，计算航空影像的外方位元素。

本文采用 编译平台和C#语言编写了单像空间后方交会的参数计算程序。

利用相关文献中的实验数据与结果，证明本程序运行良好，参数解算精确，可以满足工程项目要求。

关键词：摄影测量与遥感；外方位元素；共线方程；最小二乘原则；空间后方交会；0 引言确定影像或摄影光束在摄影瞬间的空间位置和姿态的参数，称为影像的外方位元素。

一幅影像的外方位元素包括6 个参数，其中3 个参数线参数，用于描述摄影中心S 相对于物方空间坐标系的位置（X，Y，Z）；另外3 个是角元素，用于描述影像面在摄影瞬间的空中姿态。

角元素有三种不同的表达形式：（1）以Y 轴为主轴的φ-ω-κ系统（主轴是在旋转过程中，空间方向不变的一个固定轴）：以Y 为主轴旋转φ角，然后绕X 轴旋转ω角，最后围绕Z 轴旋转κ角。

（2）以X 轴为主轴的φ?-ω?-κ?系统：以X 为主轴旋转ω?角，然后绕轴旋转φ?角，最后围绕Z 轴旋转κ?角。

（3）以Z 轴为主轴的A-α-κ系统：以Z 为主轴旋转A 角，然后绕Y 轴旋转α角，最后围绕Z 轴旋转κ角。

本文的角元素系统选择使用第一种表达方式，即φ-ω-κ[1]。

如果知道了每幅影像的6 个外方位元素，就能确定被摄物体与航摄影像的关系。

因此，如何获取影像的外方位元素，一直是摄影测量工作者所探讨的问题。

目前，从技术方面来说，解决这个问题主要有两种手段：一种是利用雷达、全球定位系统（GPS），惯性导航系统（INS）以及星相摄影机来获取影像的外方位元素；另一种是利用影像覆盖范围内一定数量的控制点的空间坐标与摄像坐标，根据共线条件方程，反求该影像的外方位元素，这种方法称为单幅影像的空间后方交会。

最小二乘估计及其应用在许多实际问题中，我们需要从已知的数据集中预测一些未知的结果，这时候统计学中的回归分析就派上用场了。

回归分析旨在通过输入变量（预测因子）和输出变量（预测结果）之间的数学关系，来预测未知值。

其中最小二乘估计（Least Squares Estimation）是回归分析的一种基本方法，也广泛应用于其他实际问题中。

最小二乘估计是一种方法，通过最小化预测数据与实际数据之间的误差平方和来构建回归方程。

这个方法可以用于线性回归和非线性回归，因为这两种回归方法都需要预测数据与实际数据之间的误差平方和尽可能的小。

最小二乘估计的核心思想是，找到一条线/曲线（回归方程），使该线/曲线与每个实际数据点的距离之和最小。

这个距离也称为残差（Residual），表示预测值与真实值之间的差异，而误差平方和则是所有残差平方和的总和。

在线性回归中，最小二乘估计会找到一条直线（回归直线），使得直线上所有数据点到该直线的距离之和最小。

回归方程可以用以下公式表示：y = β0 + β1x其中y是输出变量，β0是y截距，β1是y与x之间的斜率，x是输入变量。

β0和β1的值是通过最小化残差平方和来估计。

非线性回归中，最小二乘估计会找到一条曲线（回归曲线），使得曲线上所有数据点到该曲线的距离之和最小。

在这种情况下，回归方程的形式不再是y=β0 + β1x，而是通过一些非线性函数（如指数、幂函数等）来表示。

这时候，估计β0和β1的完整算法由于模型的非线性而变得更加复杂，但最小二乘估计仍然是其中一个核心算法。

最小二乘估计可以应用于多种实际问题中。

在金融领域，最小二乘估计可用于计算资产回报和风险之间的关系。

在医学研究中，最小二乘估计可用于研究某种疾病与多个因素（如年龄、性别、生活方式）之间的关系。

在电子商务领域，最小二乘估计可用于分析客户购买行为，以制定更有效的市场营销战略。

总的来说，最小二乘估计可以应用于所有需要预测未知值的领域中。