精选新版高中数学单元测试试题-平面几何的证明专题完整题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题（含答案）学校：__________考号：__________一、填空题1．(选修4—1几何证明选讲）如图，AD 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的弦，过C 作AD 的垂 线，垂足为B ，CB 与⊙O 相交于点E ，AE 平分CAB ∠，且AE=2，则AC= ．2．如图3,在矩形ABCD 中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =_______.（2013年高考广东卷（文））(几何证明选讲选做题) 图 33．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为______. （2013年高考天津卷（文））4．如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = ______. （2013年高考陕西卷（文））(几何证明选做题)P5．如图,圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ,点D 在半径OC 上的射影为E .若3AB AD =,则CEEO的值为___________.（2013年高考湖北卷（理））6．如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点13CP CD =，则CD 的长为 cm ．（几何证明选讲选做题）二、解答题 7．已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于,B C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点。

（1） 求证：,,,A M O P 四点共圆；OD E BA第15题图C图3FAB C（2）求OAM APM ∠+∠的大小。

8．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F . (1）求FCBF的值； (2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．9．如图，四边形ABCD 内接于O ,AB AD =,过A 点的切线交CB 的延长线于E 点。

2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、填空题1．如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于 D.若PA=3,916PD DB =：：,则PD=_________;AB=___________.（2013年高考北京卷（理））2．如图2,的O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==,1PD =,则圆心O 到弦CD 的距离为____________.（2013年高考湖南卷（理））二、解答题3．已知 ABC ∆中，AC AB =,D 是ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点C A ,重合），延长BD 至E . 求证：AD 的延长线平分CDE ∠.（第1题）4．如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．求证：AB ·CD ＝BC ·DE ．5．如图，ABC △是圆O 的内接三角形，AC BC =，D 为圆O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使得CE CD =． (Ⅰ)求证：AE BD =；(6分) (Ⅱ)若AC BC ⊥，求证：AD BD +=．(4分)6．如图，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2交于点G. (1)求证：∠EAG=∠EFG ；(5分)(2)若⊙O 2的半径为5，圆心O 2到直线AC 的距离为3，AC=l0，AG 切⊙O 2于G ，求线段AG的长．(5分)7．如图,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .8．过平行四边形ABCD 的顶点B 、C 、D 的圆与直线AD 相切，与直线AB 相交于点E ，已知AD=4，CE=5。

2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、填空题1．(选修4—1几何证明选讲）如图，AD 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的弦，过C 作AD 的垂 线，垂足为B ，CB 与⊙O 相交于点E ，AE 平分CAB ∠，且AE=2，则AC= ．2．如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为______.（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））3．如图,在ABC 中,090C ∠=, 060,20A AB ∠==,过C 作ABC 的外接圆的切线CD ,BD CD ⊥,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为__________（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））4．如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点13CP CD =，则CD 的长为 cm ．（几何证明选讲选做题）5．如图，已知圆O 的弦AB 交半径OC 于点D ．若3=AD ，2=BD ，且D 为OC 的中点，则=CD ．二、解答题6．如图， 半径分别为R ，r(R>r>0)的两圆1,O O 内切于点T ，P 是外圆O 上任意一点，连PT 交1O 于点M ，PN 与内圆1O 相切，切点为N 。

求证：PN ：PM 为定值。

图3TFABC7．如图，ABC △是圆O 的内接三角形，AC BC =，D 为圆O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使得CE CD =． 求证：AE BD =．8．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F . (1）求FCBF的值； (2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．9．如图，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2交于点G. (1)求证：∠EAG=∠EFG ；(5分)(2)若⊙O 2的半径为5，圆心O 2到直线AC 的距离为3，AC=l0，AG 切⊙O 2于G ，求线段AG的长．(5分)10．圆的两弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线AD 交于P ，再从P 引这个圆的切线，切点是Q ，求证：PF ＝PQ ．11．如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的O 交于点F ，延长CF 交AB 于E ．（1）求证：E 是AB 的中点；（2）求线段BF的长．（1）证明：利用CDO BCE ≅△△，可证：12EB OC AB ==（2）由△FEB ∽△BEC ，得BF CBBE CE=,∴5BF a =．12．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点（异于A 、B ），过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB=CE.EOB C13．如图，PA 与⊙O 相切于点A ，D 为PA 的中点， 过点D 引割线交⊙O 于B ，C 两点， 求证: DPB DCP ∠=∠．14．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =,DE 交AB 于点F ．求证：PF ·PO ＝PA ·PB ．15．如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >， 圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上）， 求证：:AB AC 为定值。

2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题（含答案）学校：__________考号：__________一、填空题1．如图，已知PE 是圆O 的切线，直线PB 交圆O 于A 、B 两点，PA=4，AB=12，PE 的长为 ，ABE ∠的大小为 。

2．如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD =2DA =2, 则PE =_____. （2013年高考陕西卷（理））B. (几何证明选做题)3．如图，已知圆O 的弦AB 交半径OC 于点D ．若3=AD ，2=BD ，且D 为OC 的中点，则=CD ．二、解答题4．如图，⊙O 的直径AB =52，C 是⊙O 外一点，AC 交⊙O 于点E ，BC 交⊙O 于点D ，已知AC =AB ，BC =4，求△ADE 的周长.5．如图，在Rt △ABC 中，C 90∠=,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥． (１）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；(２）若26,62==AE AD ，求EC 的长．(1）取BD 的中点O ，连接OE ．∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠OBE ．又∵OB=OE ，∴∠OBE=∠BEO ， ∴∠CBE=∠BEO ，∴BC ∥OE ．…………………3分∵∠C=90°，∴OE ⊥AC ，∴AC 是△BDE 的外接圆的切线．………5分 (2）设⊙O 的半径为r ，则在△AOE 中，222AE OE OA +=，即222)26()62(+=+r r ，解得62=r ,…………7分∴OA=2OE ，∴∠A=30°，∠AOE=60°．C∴∠CBE=∠OBE=30°． ∴EC=236232132121=⨯⨯=⨯=r BE ．……………………10分 6．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B ,C 两点． 求证:MCP MPB ∠=∠．1．（几何证明选讲选做题） 证明：∵PA 与圆相切于A ，∴2MA MB MC =⋅， ………………2分 ∵M 为PA 中点，∴PM MA =， ………………3分 ∴2PM MB MC =⋅， ∴PM MBMC PM=． ………………5分 ∵BMP PMC ∠=∠， ………………6分 ∴△BMP ∽△PMC ，………………8分 ∴MCP MPB ∠=∠． ………………10分7．如图，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2交于点G. (1)求证：∠EAG=∠EFG ；(5分)(2)若⊙O 2的半径为5，圆心O 2到直线AC 的距离为3，AC=l0，AG 切⊙O 2于G ，求线段AG的长．(5分)8．如图,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .9．AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。

(第21-A 题图) A B PO EDC·2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题（含答案）学校：__________考号：__________一、填空题1．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小,则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.则有下列命题:①若,,A B C 三个点共线,C 在线AB 上,则C 是,,A B C 的中位点; ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区) （2013年高考四川卷（理）） 二、解答题2．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．证明：因AE =AC ，AB 为直径，故∠OAC =∠OAE ． ……………………………………………………………3分 所以∠POC =∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC ． 又∠EAC =∠PDE ，所以，∠PDE =∠POC ．…………………………………………………………10分 3．如图，PA 、PB 切O 于A 、B 两点，PO 交劣弧AB 于点C ，求证：点C 是△PAB 的内心.A4．圆的两弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q，求证：PF＝PQ．5．过平行四边形ABCD的顶点B、C、D的圆与直线AD相切，与直线AB相交于点E，已知AD=4，CE=5。

(1)如图1，若点E在线段AB上，求AE的长；(2)点E能否在线段AB的延长线上？(即图2的情形是否存在？)若能，求出AE的长；若不能，请说明理由。

2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题（含答案）学校：__________考号：__________一、填空题1．如图,圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ,点D 在半径OC 上的射影为E .若3AB AD =,则CEEO的值为___________.（2013年高考湖北卷（理））2．如图,在ABC 中,090C ∠=, 060,20A AB ∠==,过C 作ABC 的外接圆的切线CD ,BD CD ⊥,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为__________（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））3．如图3，圆O 的半径为5cm ，点P是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点13CP CD =，则CD 的长为 cm ．（几何证明选讲选做题）OD E BA第15题图C图3二、解答题4．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =,DE 交AB 于点F ．求证：PF ·PO ＝PA ·PB ．5．如图，ABC △是圆O 的内接三角形，AC BC =，D 为圆O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使得CE CD =． 求证：AE BD =．6．如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF ·EC. (1)求证：∠P=∠EDF ； (2)求证：CE ·EB=EF ·EP ；(3)若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长.·PEO D CBAF7．如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，DE AB⊥于E，AC 与DE、BD分别相交于M、N,求证：AM MN=．8．如图，PA、PB切O于A、B两点，PO交劣弧AB于点C，求证：点C是△PAB的内心. 9．在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N．若AC=12AB，求证：BN=2AM．A E BCDMNA第21－A题A10．如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，已知 AB AC =．(1）证明：2AC AE AD =⋅； (2）证明：AC FG //．11．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB 、DE 、OC 。

EODCBAFABC2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．如图，直线AB 经过圆O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，圆O 交于直线OB 于E ，D ，连接EC ，CD ，若1tan ,2CED O ∠=的半径为3，求OA 的长.2．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F . (1）求FCBF的值； (2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．第21－A 题3．如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE AB ⊥于E ，AC 与DE 、BD 分别相交于M 、N ,求证：AM MN =．4．过平行四边形ABCD 的顶点B 、C 、D 的圆与直线AD 相切，与直线AB 相交于点E ，已知AD=4，CE=5。

(1)如图1，若点E 在线段AB 上，求AE 的长；(2)点E 能否在线段AB 的延长线上？(即图2的情形是否存在？)若能，求出AE 的长；若不能，请说明理由。

5．在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ．若AC=12AB ，求证：BN=2AM ．6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点 D 在AB 上，DE ⊥EB ．(1)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； (2)若AD =32 A E=6，求EC的长．AEBCDMN7．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB 、DE 、OC 。

若AD ＝2，AE ＝1，求CD 的长。

8．如图，在△ABC 中，∠C=900,BE 是角平分线，D E ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BDE 的外接圆。

2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题（含答案）学校：__________考号：__________一、填空题1．如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = ______. （2013年高考陕西卷（文））(几何证明选做题)P二、解答题2．如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E 若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=21，求BAC ∠的大小．3．如图，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2交于点G. (1)求证：∠EAG=∠EFG ；(5分)(2)若⊙O 2的半径为5，圆心O 2到直线AC 的距离为3，AC=l0G ，求线段AG 的长．(5分)4．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．5．AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。

（方法一）证明：连结OD ，则：OD ⊥DC ， 又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ，（第21-A AB PFO E DC ·∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ， 所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC 。

（方法二）证明：连结OD 、BD 。

因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB 。

因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900。

2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、填空题1．如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = ______. （2013年高考陕西卷（文））(几何证明选做题)P2．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小,则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.则有下列命题:①若,,A B C 三个点共线,C 在线AB 上,则C 是,,A B C 的中位点; ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区) （2013年高考四川卷（理）） 二、解答题3．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B,C 两点． 求证:∠MCP=∠MPB ．FABC4．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F . (1）求FCBF的值； (2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线 相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F . 求证： DEADFA ??.【证明】连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以∠ADB =90°， 又EF ⊥AB ，∠EFA =90°，所以A 、D 、E 、F 四点共圆.所以∠DEA =∠DFA . …………………………6．如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF ·EC. (1)求证：∠P=∠EDF ； (2)求证：CE ·EB=EF ·EP ；(3)若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长.7．如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE AB ⊥于E ，AC 与DE 、BD 分别相交于M 、N ,求证：AM MN =．·PEOD CBAFAE BC D MNA8．如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，已知 AB AC =．(1）证明：2AC AE AD =⋅； (2）证明：AC FG //．9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．10．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，若PE ＝PA ，︒=∠60ABC ，PD ＝1，BD ＝8，求线段BC 的长.11．如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过 N 点的切线交CA 的延长线于P ． （1）求证：2PM PA PC =⋅；GF E DCBA（第21—A 题（第1题）（2）若⊙O的半径为OA，求MN 的长．12．如图，PA 与⊙O 相切于点A ，D 为PA 的中点， 过点D 引割线交⊙O 于B ，C 两点， 求证: DPB DCP ∠=∠．13．自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．14．如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E,F 分别在边AB 、CD 上，设ED 于AF 相交于G 。