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计数器在计算教学中的运用汪开军【摘要】计数器是学生认识、建立和理解十进位值制概念的重要工具，也是突破退位减法教学重难点的有效手段。
以课例的形式对计数器在计算教学中的价值进行研究，可以发现，借助计数器可以有效整合计算教学的内容、拓展计算教学的范围;借助计数器还可以突破连续退位减法的难点、理解小数减法的算理。
【关键词】计数器;计算教学;退位减法计数器是学生认识、理解十进位值制概念的重要工具。
笔者在《20以内的退位减法》的整合与拓展教学中，对计数器在计算教学中的作用进行了思考与实践。
一、课前思考（一）前测数据解读与原因分析为了了解学生20以内退位减法的已有基础，笔者选取了农村小学和县城小学各一个班的学生进行了前测，题目是：“算一算15-9，写一写你是怎么想的。
”（统计结果见表1）由此可见，就思维结果而言，县城学生与农村学生之间没有多大差异。
那么思维过程又会是怎样一种情况呢？对学生所用的方法进行分类整理，主要有画图法、想加算减、破十法和连减法四种（见表2）。
其中画图法和想加算减是学生比较容易想到的方法，破十法排第三，连减法几乎不被学生想到。
相对之下，农村小学生更不善于表达算法。
破十法和连减法是本单元第一课时要落实的两种方法。
从前测的情况看，大部分学生对这两种方法还没有认知，因为在解决15-9的过程中，学生第一次遇到个位上的数不够减这样一个困难。
要解决这个困难，学生可以提取的已有知识经验有两个。
一个是数的分与合，这是学生在一年级上册时经常练习的一个内容，通常是语言表征与图式表征相结合，而图式表征又可以转化为算式表征（如表3），“想加算减”正是基于此。
另一个是数的不同表征形式。
以15为例，共有三种表征形式，第一种表征为“15个一”，呈现方式为画15个圈圈或15根小棒等;第二种表征为“1个半抽象的十+5个一”，呈现方式为10根捆在一起的小棒和5根单独的小棒;第三种表征为“1个抽象的十+5个一”，呈现方式为在计数器的十位上摆1颗珠子，个位上摆5颗珠子。
1.“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是k kk k d s s )1(1-+=+。
(允许决策模型) 1、2、“公平的席位分配”模型中的Ｑ值法计算公式是)1(2+=i i i i n n p Q 。
3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为=)(T C 221rTc T c +,当=Trc c 212时,)(T C 最小。
4、中,表示决策变量x 是0-1变量的语句是 (x) 。
5、一阶自治微分方程()x f x =的平衡点是指满足 ()0f x = 的点，若 '()0f x < 成立,则其平衡点是稳定的。
6、市场经济中的蛛网模型中，只有当fK <gK 时，平衡点0P 才是稳定的。
7、“传染病模型”中模型是指被传染者康复以后,还有可能再次感染该传染病。
８、传送系统的效率模型中,独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ,则共有n 个钩子的系统中,一周期内被触到k 个钩子的概率为(1)k kn k n C p p -- 。
９、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程rte x t x 0)(= 建立的。
我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据微分方程)1(mx xrx dt dx -= 建立的。
10、“商人怎样安全过河”模型中,从初始状态到终止状态中的每一步决策都是集合D 中的元素 。
11、建立起的“录像机计数器的用途”模型bn an t+=2中的参数a 和b 可用 数值积分方法求得。
12、“双层玻璃的功效”模型中,建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的１／２ 。
“双层玻璃的功效”模型中,按建筑规范实施的双层玻璃可节能 97 %ﻩ。
1３、“传染病模型”中所未涉及的模型是模型.ﻩ14、下列正则链和吸收链的说法中,错误的是 吸收链存在唯一极限状态概率。
15、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下， 假设人口增长率是人口数量的减函数 。
1６、“人口阻滞增长”模型中,当人口数=)(t x 2/m x 时，人口增长率最大;当人口数=)(t x m x 时,人口增长率为０。
最小二乘法在机械领域的应用
最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括机械领域。
在机械领域中，最小二乘法可以用于各种回归分析和曲线拟合问题。
例如，在机械故障诊断和预测中，可以通过最小二乘法对机械设备的运行数据进行拟合，从而预测设备的未来状态。
另外，最小二乘法还可以用于机械零件的尺寸测量和质量控制等方面，通过对测量数据的分析，可以确定零件的尺寸是否符合要求，以及如何改进生产工艺以提高产品质量。
此外，最小二乘法还可以与其他算法和技术结合使用，例如支持向量机、神经网络等，以解决更复杂的机械问题。
例如，可以使用最小二乘法对机械设备的动态特性进行建模和分析，以优化设备的性能和可靠性。
总之，最小二乘法在机械领域中具有广泛的应用价值，可以帮助工程师们更好地理解和预测设备的行为，优化设计方案，提高生产效率和质量。
最小二乘法的原理及其应用一、研究背景在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。
其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。
它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。
随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。
本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。
二、最小二乘法的原理人们对由某一变量t或多个变量t1--..tn构成的相关变量y感兴趣。
如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。
为了得到这些变量同y之间的关系，使用不相关变量去构建y,使用如下函数模型Vm=f*"q；f1,*■・[Ip）,q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。
参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。
（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。
其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。
一般情况下，观测值远多于所选择的参数。
其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。
高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为00令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。
人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。
除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。
确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。
并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。
最小二乘法的数据处理一、引言在实际的工程或者实验中，误差处理和数据的统计是一项必备的过程，处理误差和数据统计的结果与否关系到这项工程最后的结果是否达到预计的要求，所测量数据的实际值和理论值是否接近，关系到工程最后质量的好坏。
恰当地处理测量的数据，给出正确的数据处理结果，对所得数据的可靠性做出正确的评价和估计，这是实际测量中一个重要的环节和指标。
在测量中，数据存在着误差是不可避免的，怎么样能够有效的对数据进行适当的处理是关系到最后工程结果验收的重要指标之一。
所以数据处理的作用尤为关键。
在当前工程和实验领域所用的主要数据处理方法：(1) 列表法：在记录和处理数据时，常常将所得的数据结果绘制成一张表，可以简单明确的显示各测量数据的结果，可以及时地发现问题和查找问题。
(2) 作图法：作图法是将所测量到的数据之间的关系用图线表示出来，是在实验中常用的数据处理方法之一。
它能够直观的显示各变量之间的关系，揭示他们存在的某种联系。
(3) 逐差法：逐差法又叫逐差计算法，一般用于等间隔线性变化测量中所得的数据处理。
为了减少测量的随机误差，一般采用多次测量的方法。
但是，在等间隔线性变化的测量中，如在使用多次测量的方法，只有第一个测量值和最后一个测量值起作用，中间的测量值无法起作用，从而无法起到多次测量的作用。
(4) 最小二乘法：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
以上列举的方法中，最小二乘法在实际的工程数据处理中运用的最为广泛。
应用最小二乘法的就是可以利用计算机编程的形式处理海量的数据，不需要人工计算，所得到的结果更加精确。
当然最小二乘法也存在着一定的缺点，对那种无理根式不能得到确定的解，还需要进行广泛的研究，继续优化这种数据处理的方法。
§2 录像机计数器的用途[问题的提出]老式的录像机上都有计数器，而没有计时器，一些录音机也有类似的情况．这种计数器有什么用呢，让我们从这样一个问题开始：一盘标明180分钟的录像带从头转到尾，用时184分钟，计数器读数从0000变到6061．在某一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下一小时的节目．如果计数器读数随着录像带的转动是均匀增加的，那么由于4450已经显著地超过6061的三分之二，即录像带已经转过两小时多，所以显然不能再录一小时的节目．但是，只要你耐心地观察一下就会发现，读数并非均匀增长，而是先快后慢，这样，回答上面的问题就需要知道计数器读数与录像带转过的时间之间的关系．本节的目的是要建立表述这个关系的数学模型．[问题的分析]计数器的读数是怎样变化的，它的增长为什么先快后慢，回答这些问题需要了解计数器的简单工作原理(图1)．录像带有两个轮盘，一开始录像带缠满的那个轮盘不妨称为左轮盘，另一个为右轮盘．计数器与右轮盘的轴相连，其读数与右轮转动的圈数成正比．开始时右轮盘是空的，读数为0000，随着带子从左向右运动，右轮盘半径增加，使得转动越来越慢，计数器读数的增长也就越来越慢．在录像带的转动过程中，与微型电机相连的主动轮的转速当然是不变的，录像带靠压轮压在主动轮上，所以录像带的运动速度(线速度)为常数(想想看，如果录像带通过磁头时的速度不是常数，我们看到的画面会是怎样的)，而右轮盘随着半径的增加，其转速当然越来越慢．我们要找出计数器读数(记作n )与录像带转过时间(记作t )之间的关系，即建立一个数学模型)(n f t =．[模型的假设]根据以上分析作如下的假设：1．录像带的线速度是常数v ；2．计数器读数n 与右轮盘转的圈数(记作m )成正比，kn m =，k 为比例系数；3．录像带的厚度(加上缠绕时两圈间的空隙)是常数w4．初始时刻0=t 时，0=n 。
计数器在数字电路中的应用
计数器是数字电路中的一种基本组件，广泛应用于各种数字系统中，如计算机、计时器、频率计等。
其作用是在电路中产生一定的时序信号，以计数器为基础的数字逻辑电路可以完成很多复杂的功能。
计数器的原理是通过计数器内部所包含的多个触发器进行状态的变化和寄存。
常见的计数器类型有二进制计数器、BCD计数器、十进制计数器等。
在数字电路中，计数器的应用十分广泛，下面就是一些常见的应用：
1.计时器
计时器是利用计数器的计数功能实现的，可以在数字电路中对时间进行精确的计算和测量。
在实际应用中，计时器广泛应用于工业、交通、军事等领域，如定时器、计时器、时间控制开关等。
2.频率测量器
频率测量器利用计数器的计数功能测量电路中电流或电压的周期数，从而得出电路中频率的大小。
通过频率测量器可以检测数字电路的运行状况，也可以作为一些仪器的辅助工具，如信号发生器和频率计。
3.分频器
分频器是一种常见的数字电路，基于计数器的频率除法功能实现。
通过分频器，可以将信号的频率降低，使得信号更加合适于数字电路中，可用于钟摆、通信、遥控器等场合。
4.计数器触发开关
计数器触发开关是一种基于计数器工作方式的触发电路，可以在电路中实现自动转换的功能。
在实际应用中，计数器触发开关广泛应用于信号控制器、调节器、遥控开关等场合。
总之，计数器在数字电路中的应用非常广泛，在现代信息技术的快速发展中其作用愈加凸显。
同时由于其简单的工作原理和普及性，计数器将持续被更多的电路设计和应用领域中广泛使用和发展着。
实验计数器功能及其应用实验目的：通过实验，熟悉中规模集成计数器的功能及应用，掌握利用中规模集成电路计数器构成任意进制计数器的方法，学会综合测试的方法，让学生加深对相关理论知识的理解。
实验原理：计数器对输入的时钟脉冲进行计数，来一个CP脉冲计数器状态变化一次。
根据计数器计数循环长度M，称之为模M计数器（M进制计数器）。
通常，计数器状态编码按二进制数的递增或递减规律来编码，对应地称之为加法计数器或减法计数器。
一个计数型触发器就是一位二进制计数器。
N个计数型触发器可以构成同步或异步N位二进制加法或减法计数器。
当然，计数器状态编码並非必须按二进制数的规律编码，可以给M进制计数器任意地编排M个二进制码。
在数字集成产品中，通用的计数器是二进制和十进制计数器。
按计数长度、有效时钟、控制信号、置位和复位信号的不同有不同的型号。
74LS161是集成TTL四位二进制加法计数器，其符号和管脚分布分别如下图所示：表 8-1为74LS161的功能表：表8-1A B C D从表1在为低电平时实现异步复位（清零需要时钟信号。
在复位端高电平条件下，预置端LD为低电平时实现同步预置功能，即需要有效时钟信号才能使输出状态等于并行输入预置数 A B C D。
在复位和预置端都为无效电平时，两计数使能端输入使能信号，74LS161实现模16加法计数功能，；两计数使能端输入禁止信号，，集成计数器实现状态保持功能，。
在时，进位输出端OC=1。
在数字集成电路中有许多型号的计数器产品，可以用这些数字集成电路来实现所需要的计数功能和时序逻辑功能。
用M进制集成计数器构成任意N进制计数器：1、M>N，需一片M进制计数器一种为反馈清零法，另一种为反馈置数法。
（1）反馈清零法反馈清零法是利用反馈电路产生一个给集成计数器的复位信号，使计数器各输出端为零（清零）。
反馈电路一般是组合逻辑电路，计数器输出部分或全部作为其输入，在计数器一定的输出状态下即时产生复位信号，使计数电路同步或异步地复位。
计数器的功能计数是一种最简单基本的运算，计数器就是实现这种运算的逻辑电路，计数器在数字系统中主要是对脉冲的个数进行计数，以实现测量、计数和控制的功能，同时兼有分频功能，计数器是由基本的计数单元和一些控制门所组成，计数单元则由一系列具有存储信息功能的各类触发器构成，这些触发器有RS触发器、T 触发器、D触发器及JK触发器等。
计数器在数字系统中应用广泛，如在电子计算机的控制器中对指令地址进行计数，以便顺序取出下一条指令，在运算器中作乘法、除法运算时记下加法、减法次数，又如在数字仪器中对脉冲的计数等等。
计数器可以用来显示产品的工作状态，一般来说主要是用来表示产品已经完成了多少份的折页配页工作。
它主要的指标在于计数器的位数，常见的有3位和4位的。
很显然，3位数的计数器最大可以显示到999，4位数的最大可以显示到9999。
计数器的应用计数器应用包括通话、短信、数据等类别的记录，并支持用户自主选择清零日期，以及按照类别添加提醒数值，如用户可以选择每月任一一天，或者第一天、最后一天作为记录循环清零日，同时添加通话时长、短信条数、数据流量数量的提醒节点。
计数器的应用极为广泛，不仅能用于计数，还可用于分频、定时，以及组成各种检测电路和控制电路。
为了使用方便，在有些单片集成计数器上还附加了异步置零、预置数、保持等功能，并设置了相应的控制端。
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