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第十三章轴对称13.1轴对称13.1.1 轴对称【知识与技能】(1)理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.(2)了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某条直线对称的对应点.(3)掌握线段垂直平分线的概念.(4)理解和掌握轴对称的性质.【过程与方法】通过已知图形画对称轴及画轴对称图形，让学生体会轴对称图形的性质和轴对称在实际生活中的应用.【情感态度与价值观】通过对轴对称图形和轴对称的认识，增强学生对对称美的认识，使学生感受数学带来的美.轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的区别和联系.多媒体课件、剪刀、长方形纸片教师引入：我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称的角度考虑，自然界的许多动植物也按照对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性，(教师利用投影出示一些图片，如图13-1.1-1)……对称给我们带来很多美的感受！其中轴对称是对称中重要的一种，那么这节课我们就学习轴对称.(教师板书课题)探究1：轴对称教师提出问题：把一张长方形纸片对折，剪出一个图案，再打开，就剪出了美丽的窗花，你能剪出什么样的窗花呢？教师先把长方形纸片对折，用剪刀剪出一个图案，再打开这个图案，让学生欣赏，然后学生自己动手按要求剪纸.学生在观察、互相交流的基础上描述图形的特征，教师归纳轴对称图形及轴对称的概念，并板书概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.然后教师让学生举出一些轴对称图形的例子.教师出示例题：例1在如图13-1.1-2所示的图形中，轴对称图形的个数是(B).学生先独立思考,再口答哪些是轴对称图形，教师进行点评.然后教师让学生完成：教材P60练习第1题.(学生口答，并在书上画出对称轴，标注它们的一对对称点)探究2：两个图形成轴对称教师提出问题：在教材P59图13.1-3中，每对图形有什么共同特征？你们能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？学生观察思考，并互相交流，发现其共同特征——每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合.教师进一步说明：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.然后教师让学生举出一些两个图形成轴对称的例子.教师提出问题：(1)将教材P58-59图13.1-2和图13.1-3进行比较，轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别？(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？学生独立思考后，进行交流，然后学生代表发言.教师根据学生回答的情况进行点评，最后师生共同归纳得出：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.接着，教师继续提出问题：(1)成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定成轴对称吗？为什么？(2)在教材图13.1-3中，你能标出A，B，C的对称点吗？学生独立思考后，再展开讨论，教师参与学生的讨论，并及时指导.然后教师让学生完成：教材P60练习第2题.(学生口答，并在书上画出对称轴，标注它们的一对对称点)最后教师总结：探究3：垂直平分线教师出示问题：(1)观察教材P59图13.1-4，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？(2)在教材图13.1-5中，你能测量出线段AA′，BB′与直线l的夹角吗？它们与直线l垂直吗？点A与点A′到直线l的距离相等吗？点B与点B′到直线l的距离呢？教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生汇报交流结果.教师接着引导学生从观察三条线段与直线MN的位置关系，利用投影动画展示点A与点A′等重合的情形，并指出：经过线段中点并垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.最后师生共同归纳：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.1.概念：轴对称图形、两个图形关于某条直线对称、对称轴、对称点.2.找轴对称图形的对称点.3.垂直平分线.【正式作业】教材P64习题13.1第1-5题。
人教版八年级上数学教学设计《第13章轴对称》一. 教材分析人教版八年级上数学第13章《轴对称》是初中数学的重要内容，主要让学生理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，并能运用轴对称解决实际问题。
本章内容涉及图形变换，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的平面几何知识，具备一定的观察和分析能力。
但学生在学习过程中，可能对轴对称的概念和性质理解不深，因此在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，体会轴对称的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，能运用轴对称解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：轴对称的概念，轴对称的性质。
2.难点：轴对称的性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引导学生观察实际问题，激发学生的学习兴趣。
2.探究式教学法：引导学生通过操作、思考、交流等活动，自主探究轴对称的性质。
3.案例教学法：通过典型例题，引导学生运用轴对称解决实际问题。
六. 教学准备1.教学素材：收集相关的实际问题，准备典型例题。
2.教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如剪纸、折叠等，引导学生观察并思考：这些实际问题有什么共同特点？学生可能回答出：这些实际问题都涉及到图形的对称性。
教师总结：对称性是这些实际问题的共同特点，今天我们要学习的就是关于对称性的一种重要类型——轴对称。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示轴对称的定义和性质，引导学生观察并思考：轴对称的定义是什么？轴对称的性质有哪些？学生可能回答出：轴对称的定义是图形关于某条直线对称；轴对称的性质有对称轴上的点不变，对称轴两侧的点关于对称轴对称。
第十三章轴对称复习教案小街镇二中李刚学习目标：1.理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质。
2.结合生活实例，欣赏生活中的轴对称现象和镜面对称现象，感受对称的美学价值，体验几何图形与自然、社会、人类的生活，增强学习数学的兴趣。
3.掌握线段的垂直平分线及应用。
4.理解等腰三角形的性质并能够简单应用。
了解等边三角形的概念并探索其性质；5.能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏和设计简单的轴对称图案。
重点：掌握线段的垂直平分线、等腰三角形的性质及应用。
难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用教学准备：多媒体课件圆规直尺教学过程：一、课件出示本章结构图老师作简单介绍本章主要知识二、课件出示本章知识回顾（主要六块）本章知识回顾一.轴对称图形,成轴对称二.线段的垂直平分线三.用坐标表示轴对称四.等腰三角形五.等边三角形六.利用轴对称作图(尺规)三、知识点复习1、知识点一：轴对称（1）轴对称概念师提问学生，采用个别提问，而后给出概念（课件展示）（2）成轴对称1师提问学生，采用个别提问，而后给出概念（课件展示）（3）轴对称图形和成轴对称的区别与联系单独提问，也可学生齐答，如果回答困难师作引导后课件出示（4）轴对称的性质引导学生回答后展示（课件）2、知识点二：线段的垂直平分线（1）定义：提问学生什么是线段垂直平分线。
课件出示（2）性质线段垂直平分线有何性质，学生举手回答，点名答，课件出示（3）判定与上面方法相同3、知识点三：用坐标表示轴对称（1）关于X轴对称点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为________ (x, -y)点名答，课件出示（2）关于Y轴对称点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为____________ (-x, y)总结：提问学生在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.4、知识点四：等腰三角形（1）定义：（2）性质（3条）：（3）判定（2条）：均采取提问学生方式，如果学生回答困难，师作引导。
第十三章 轴对称综合提高复习 年 级初二 学 科 数学 版 本 人教版 课程内容第十三章 轴对称综合提高复习一、学习目标：1. 总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识；2. 培养学生用轴对称的观点认识线段的中垂线、角的平分线、等腰三角形等几何图形；3. 归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力。
二、重点难点：重点：将所学知识有机地组织起来，形成科学合理的知识结构，并能综合运用。
难点：通过归纳总结解题思想和方法，形成分析问题解决问题的能力。
三、考点分析：中考对本章的要求是通过具体实例识别轴对称、轴对称图形；理解轴对称图形和利用轴对称进行图案设计，探索图形之间的变换关系；掌握等腰三角形的性质和等腰三角形、等边三角形的识别，并能运用其性质解答实际问题。
从中考试题来看，本章知识以基础题为主，题型多以填空题、选择题的形式出现，也有简单的作图题和解答题。
等腰三角形图形的折叠与拼图和轴对称性质的应用是中考的热点题型。
【思维导图】【典型例题】知识点一：轴对称的应用例1. 已知AOB α∠=，P 是AOB ∠内一点，分别作点P 关于,OA OB 的对称点',''P P 。
（1）求证：'''2P OP α∠=；（2）若P 点在AOB ∠外，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由。
思路分析：本题考查的是轴对称的性质。
成轴对称的两个图形、或者轴对称图形在对称轴两侧的部分是“一模一样”的，严谨地说就是对应线段相等、对应角度相等、对应面积相等、对应点的连线被对称轴垂直平分等等。
解答过程：（1）如图（1）所示，当点P 在∠AOB 内部时，连接OP',P P 关于OA 对称，则OA 垂直平分'P P∴'OP OP =，OA 平分'P OP ∠∴'2P OP AOP ∠=∠，同理可证''2POP BOP ∠=∠∴''''''2()22P OP P OP POP AOP BOP AOB α∠=∠+∠=∠+∠=∠= （2）如图（2）所示，当点P 在AOB ∠外部时，结论还成立。
轴对称教学目标：1、通过生活中的具体实例认识轴对称，让学生掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。
2、培养学生的观察能力、思维能力、操作能力、归纳能力。
3、让学生体会数学的对称美在生活中的广泛应用和体现。
教学重点：准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质。
教学难点：轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系。
学生课前准备：每人准备一张纸和一把剪刀教学过程：一、情景创设在生活中，许多事物与图形紧密联系在一起。
现在老师给大家准备了一些生活中的常见的事物图案和标志，请大家观赏。
（投影显示）[教学说明：创设情景将生活中的对称图案和标志展示出来，引导学生将生活中的对称美牵引到数学中来]二、探索研讨做一做（活动）将同学们准备好的一张纸对折后，用笔沿着折线画一条直线，然后从折叠处剪出一个你喜欢的图形，想一想,展开后会是一个什么样的图形？[教学说明：让同学们从动手实践中总结出结论：剪出来的图形关于折线对称]（引出课题）看一看，想一想细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？（投影显示）[教学说明：让学生通过观察、讨论得出规律。
]请同学们细心观察动画后，总结出轴对称图形的概念（投影显示）轴对称图形定义：如果一个图形沿着某条直线对折，对折后的两面部分能够完全重合，就称这样的图形为轴对称图形。
这条直线叫做这个图形的对称轴。
在我们的现实生活中有很多物体的平面图形是轴对称图形，你能举例说说吗？3、例题讲解：请同学们细心观察，下列轴对称图形各有多少条对称轴？[教学说明：让学生从本题中总结出轴对称图形的对称轴不仅仅只一条，有可能有2条、3条、4条等，对称轴的方向不仅仅是垂直的，有可能是水平的或倾斜的。
]练一练判断下列图形哪些是轴对称图形，如果是，请找出所有对称轴。
(1) (2) (3)(4) (5)（结论：一般的三角形，一般的梯形，一般的平行四边形不是轴对称图形（可以通过折纸验证。
第1课时轴对称（1）小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．我们的黑板、课桌、椅子等．我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它标出下列图形中的对称点观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形，若是，请画出对称轴。
课本Р4 练习拓展升华这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，第2课时轴对称（2）线段垂直平分线上的与这条与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的下列说法中，正确的有【】、两个关于某直线对称的图形是全等形；对称点一定在直线两旁；】第3课时轴对称（3）的垂直平分线．就是这个五角星的一条对称轴．这几个图形的对称轴分别有3条、2条、可联想到“线段垂直平分线上的点“两点之间线段最短”是线段最值问题中两个作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，•第4课时作轴对称图形（1）第5课时 作轴对称图形（2）【问题2】已知△ABC ，过点A 作直线l ．求作：△A ′B ′C ′使它与△ABC 关于l 对称．二、合作交流 解读探究 【问题3】如图所示：从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？【问题4】如图，要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 的同旁，泵站应修在管道的什能发现什么规），FE DCBA八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最短的距离拿到球并跑到目的地AA小明第6课时用坐标表示轴对称-5）D（0.5，1）E（4，0）)D’( )E’( )第7课时等腰三角形（1）第8课时等腰三角形（2）本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，•并对判定定理的简单应用作了一定的了第9课时等边三角形（1）学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察是等边三角形可以有且有一个角是60°；E DA第10课时等边三角形（2）。
2014年秋季新版新人教版八年级数学上学期第十三章轴对称单元复习复习教案112．2作轴对称图形12.2.1 作轴对称图形(1)教学目标①通过动手操作体验轴对称变换．②能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形．③能利用轴对称变换设计一些简单的图案．④通过图案设计等活动，培养学生的动手操作能力、审美及数学兴趣，发展学生的空间观念．教学重点与难点重点：作一个图形经轴对称变换后的图形．难点：通过动手操作总结轴对称变换的特征．教学准备剪刀、画有一个简易风筝的半透明的纸．教学设计创设情境,引入新课多媒体介绍剪纸文化艺术：剪纸是中国最为流行的民间艺术之一，根据考古其历史可追溯到公元六世纪，甚至更早．在过去，人们经常用纸做成形态各异的物像和人像，与死者一起下葬或葬礼上燃烧，还被用作祭祀祖先和神仙所用供品的装饰物．现在，剪纸更多地是用于装饰，也可为礼品作点缀之用，甚至剪纸本身也可作为礼物赠送他人．剪纸不是用机器而是由手工做成的，常用的方法有两种：剪刀剪和刀剪．学生欣赏展示的剪纸图片，教师提出问题：如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?相信同学们学了本节课后你也能剪出如此漂亮的剪纸!引入新课，板书课题：轴对称变换．注：让学生了解剪纸艺术，认识我国悠久灿烂的民族文化，了解我国优秀的民间手工艺术．培养学生的审美，激发学习兴趣．动手操作,感受变换请学生拿出画有一个简易风筝(如图形状)的半透明的纸，把这张纸对折后描图．学生画好后打开对折的纸．注：采用风筝图便于学生画图，在动手操作中体验轴对称变换，发现轴对称变换的特征，在实践中体验学习的快乐，也使轴对称特征的得出显得更直观，更具体．也为下面画轴对称变换后的图形提供感性认识．请学生仔细观察回答下列问题：(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?(学生回答后，师生补充得出：画出的图形与原图形关于折痕轴对称，折痕所在直线是对称轴)(2)两个图形成轴对称有什么特征?(学生回答后，让学生找出几个对应点，并连结对应点进行验证．)注：我们可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．(多媒体演示如下图经多次重复后的图形)，让学生感受运用所学知识设计出这些美丽的图案其实并不难!如果改变对称轴的方向和位置，结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠，描图，打开纸．你发现了什么?学生交流后，总结归纳出：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大。
人教版八年级上册数学第十三章《轴对称》全章教学设计13.1.1 轴对称在本节中，我们将研究轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念。
我们需要了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴和对应点，以及线段垂直平分线的概念。
此外，我们还将理解和掌握轴对称的性质。
在作品展示环节，我们可以让部分学生展示课前的剪纸作品，并进行小组活动，讨论窗花制作过程中的剪纸方法和窗花图案的共同特点。
在概念形成环节中，我们首先提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”。
然后，我们结合教材图13.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置。
学生可以举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子。
在概念形成环节的第二部分，我们观察教材中的图13.1-3，思考每对图形共同的特点，并给出两个图形成轴对称的定义。
我们可以举例，讨论轴对称图形和两个图形成轴对称的区别。
在概念形成环节的第三部分，我们观察教材中图13.1-4，引导学生发现线段AA′与直线MN的位置关系，并总结出对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段的规律。
在这个基础上，我们给出线段的垂直平分线的概念，并把上述规律概括成图形轴对称的性质。
此外，我们还讨论了类似的，轴对称图形的对称轴是任何一个对应点所连线段的垂直平分线。
你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出。
因此，我们需要找出原命题的条件和结论，然后将其写成“如果…那么…”的形式。
我们鼓励学生找出原命题的条件和结论。
原命题的条件是：“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是：“这个点与这条线段两个端点的距离相等”。
此时，逆命题就很容易写出来。
“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。
轴对称单元复习与巩固
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
●理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应
点；
●能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
●掌握等腰三角形的性质，并能运用等腰三角形的性质进行证明和计算．
重点难点：
●重点：轴对称的性质（其它轴对称变换及应用；利用轴对称设计图案；用坐标轴表示轴对称等都是围绕这一性质进
行的）；等腰三角形的性质与判定（是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛）．
●难点：推理证明．
学习策略：
●通过对生活中的轴对称现象的认识，进一步理解轴对称的性质、轴对称变换，并能作出一些简单的平面图形关于一
条直线的对称图形，在此基础上，通过操作和思考，进一步认识特殊的轴对称图形──等腰三角形，并探究等腰三角形的性质及等腰三角形的判定．在探究等腰三角形的相关问题后，再对等边三角形的相关内容进行深入研究．
二、学习与应用
知识网络
“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对
等腰三角形
生
活
中的轴对称轴对称
等边三角形
作轴对称图形的对称轴
作轴对称图形
用坐标表示轴对称
知识点一：轴对称和轴对称图形
（一）轴对称
（1）定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，能够和另一个图形相互重合，那么
这关于这条直线对称，这条直线就是它的，也可以
说这两个图形关于这条直线成轴对称，如下图：
（2）特征：
①关于某条直线对称的两个图形形状，大小．
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是对应点连线的
．
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它
们的交点在上．
④成轴对称的两个图形全等．
（二）轴对称图形
（1）定义：如果沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，
那么叫做轴对称图形，这条直线就是它的．例如，等腰三角
形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴．其它如，等边三角形、矩形、
圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形．如图1．
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记或者其它补充填在右栏．
（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是
．
（三）轴对称与轴对称图形的区别和联系
（1）区别：轴对称是指个图形的位置关系，轴对称图形是指个具有特殊形状的个图形．
（2）联系：轴对称的两个图形和轴对称图形，都能沿某一条折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成；如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个．
知识点二：线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的一点，到这条线段的两端的相等．反过来，到线段的两个端点的的点，在这条线段的上．
知识点三：等腰三角形
（一）等腰三角形性质
（1）等腰三角形的两个底角相等，即“”
注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题．
（2）等腰三角形的平分线、上的中线与上的高线互相重合（简称“三线合一”）．
注意：等腰是前提条件，一条线段为顶角平分线（或底边上的中线或底边上的高线）是必要条件，这两个条件必须同时具备，才能得出这条线段也是底边上的中线和底边上的高线（其他两条）的结论，如下图：
特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 ． （二）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等（即“等角对 ”）
知识点四：等边三角形
（一）等边三角形性质：等边三角形的三个角 ，并且每个角都等于 ．
（二）等边三角形的判定
（1）有三条 相等的三角形是等边三角形． （2）有三个 相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角为 的等腰三角形是等边三角形．
（三）在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
类型一：最短路问题
例1．要在河边l 修建一个水泵站，分别向A 、B 两村送水，水泵站应修建在河边的什么
地方，可使所用的水管最短？
思路点拨：要解决这个问题，需找出点A 或点B 关于直线l 的对称点，根据轴对称的性
A ．
B ．
l
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．若有其它补充可填在右栏空白处．
质及三角形的三边关系即可得到答案．
解析：
总结升华：
举一反三：
☆【变式】公园里两条小河MO、NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P，如图，现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修路费用最少？
答案：
M
P
O
N
类型二：判断对称
例2．（1）0-9十个数字中，哪些是轴对称图形？
（2）在英文字母“A，C，D，E，F，J”中是轴对称图形的有哪些？
（3）中国的汉字有没有轴对称性？（举例）
思路点拨：按照轴对称图形的概念，对其中每个字母或数字认真分析比较．
解析：
总结升华：
．举一反三：
【变式1】下列几何图形是轴对称图形吗？如果是，请指出对称轴的条数．
答案：
类型三：需要添加辅助线的题目
☆☆例3．已知△ABC 中，∠B=2∠A ，AB=2BC ．求证：△ABC 是直角三角形． 思路点拨：当由已知很难推出某角为直角时，不妨试着作出直角，再证明待求角等于作出的直角． 解析：
总结升华：
． 举一反三：
【变式1】已知：如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AC BD AB =+，求C
B ∠∠:的值． 答案：
第 10 题图
C
D
B
A
☆☆【变式2】已知在△ABC 中，∠C=2∠B ．
求证：AC 2AB ． 答案：
类型四：等腰三角形性质的应用
例4．有一个等腰三角形，三边分别是3x －2，4x －3，6－2x ，求等腰三角形的周长． 思路点拨：已知等腰三角形三边长，说明必有两边相等，但必须分_____种情况分析． 解析：
总结升华：涉及到边的问题时，可以按 、 分类讨论． 举一反三：
☆【变式1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，
BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，CE 与BD 交于点O ，求图中所有的等腰三角形． 答案：
☆【变式2】在△ABC中，AB=AC，∠1=1
2
∠ABC，∠2=
1
2
∠ACB，BD与CE相
交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？
若∠1=1
3
∠ABC，∠2=
1
3
∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
若∠1=1
n
∠ABC，∠2=
1
n
∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
答案：
类型五：综合应用
例5．如图所示，在等腰△ACD中，AC=CD，且CD∥AB，DE⊥AC于E，DB⊥AB于B．求证：DE=DB．
思路点拨：欲证DE=DB，只需∠1=∠2，因为∠1=∠3，所以只需∠2=∠3，进而问题得证．
证明：
总结升华：
．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC中，AB=AC，MN为AB的垂直平分线，且∠A=30°．
（1）求∠NMB的大小；
（2）若∠A=108°，其它条件不变，求∠NMB大小；
（3）综合（1）、（2）的结果总结出一条规律．
解：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．
（一）本章主要内容有：
（1）轴对称变换：介绍与轴对称变换有关的概念及作法；
（2）用坐标表示轴对称图形；
（3）等腰三角形：主要讲解等腰三角形的性质、判定定理及判定方法；
（4）等边三角形：其中包括等边三角形的概念以及等边三角形的性质和判定方法．
（二）本章主要的数学方法有：，及．
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧．。
