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第一章多项式（讲授7课时）一、教学目的：1、掌握数域的定义，会判定一个代数系统是否是多项式；2、正确理解数域p上的一元多项式的定义，多项式相乘，次数，一元多项式环等概念。
3、掌握多项式的运算及规律。
4、掌握整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。
5、正确理解和掌握两个（或者若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。
能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
6、正确理解和掌握不可约多项式的定义与性质及判定。
7、正确理解和掌握k重因式的定义。
8、掌握余数定理，多项式的根及性质。
9、理解代数基本定理，熟练掌握复系数多项式分解定理及标准分解式。
二、教学内容：1、数域、一元多项式、多项式根、多项式整除。
2、最大公因式、不可约多项式、重因式、复系数与实系数多项式的因式分解。
三、教学重点：多项式整除及性质、多项式互素、最大公因式、重因式、不可约多项式判定及多项式的标准分解四、教学难点：多项式互素、最大公因式、不可约多项式及多项式分解五、教学方法：启发讲授六、教学过程：(一)、多项式整除基本知识点1、定义：设(),()[]f x gxhxg x f x。
=，则称()|()∃∈，使()()()hx Pxf xg x P x∈，若()[]2、带余除法定理：(),()[],()0∃∈，有q x r x P x∈≠，则(),()[]f xg x P x g x=+f xg x q x r x()()()()其中()0∂<∂。
r x=，或(())(())r x g x3、整除的性质：(1)、()|(),()|()()()⇒=；f xg x g x f x f x cg x(2)、()|(),()|()()|()f x g x g x h x f x h x ⇒； (3)、11()|(),1,,()|(()()()())i n n f x g x i n f x u x f x u x f x =⇒++；(4)、整除与系数域大小无关；(5)、()|()()g x f x g x ⇔的所有根都是()f x 的根(含重根)常见的n 次单位根。
第一章多项式多项式理论是高等代数研究得基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其它章节，换句话说，多项式理论得讨论可以不依赖于高等代数得其他内容而自成体系，却可为其它章节的内容提供范例和理论依据。
本章主要讨论多项式的基本概念和基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。
教学目的：通过本章的学习，要使学生了一元多项式及运算、整除、最大公因式、(不)可约多项式、重因式等基本概念，领会因式分解定理的基本内容及复数域和实数域上的因式分解的具体内容，掌握多项式的最大公因式的求法、因式分解的方法、重因式的求法及有理系数多项式的可约性的判定。
教学重点：最大公因式的求法、因式分解定理及其应用教学难点：有理系数多项式教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。
2．习题课以多媒体教学为主。
教学内容：§1 一元多项式的定义和运算1. 多项式的定义令R是一个数环, 并且R含有数1, 因而R含有全体整数。
在这一章里, 凡是说到数环, 都作这样的约定, 不再每次重复。
先讨论R上一元多项式。
定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n (1)这里n是非负整数而a0, a1, a2, …, a n都是R中的数。
在多项式 (1)中, a0叫做零次项或常数项, a1x叫做一次项, 一般地，a i x i叫做第i次项, a i叫做第i次项的系数。
一元多项式常用符号f(x), g(x), …来表示。
2. 相等多项式:定义2 若是数环R上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项, 或者只差一些系数为零的项, 那么f(x)和g(x)说是相等;f (x)=g(x)定义3a n x n叫做多项式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n, ( a n≠0)的最高次项，非负整数n叫做多项式a0+a1x+…+ a n x n, (a n≠0)的次数。
《高等代数》第一章多项式讲稿本章教学目的及要求：1．理解和掌握数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约多项式，本原多项式，重因式，重根等概念；2．掌握多项式的运算性质，带余除法，辗转相除法，会求最大公因式，会将对称多项式化为初等对称多项式的多项式；3．掌握多项式的重因式和重根的判别；4．理解因式分解及唯一性定理及其应用；实系数多项式因式分解定理，复系数多项式因式分解定理。
5．掌握有理系数多项式因式分解与整系数多项式因式分解的关系，掌握整系数多项式有理根的性质，会用艾森斯坦（Eisenstein）判别法判别整系数多项式的不可约性。
本章基本教学内容：§1 数域［本节的教学目的及要求］1．理解数域的定义；2．会用定义证明给定数集是否是数域。
［本节基本教学内容］1．数域的基本概念数是数学的一个最基本的概念。
我们的讨论就从这里开始，在历史上，数的概念经历了一个长期发展的过程，大体上看，是自然数到整数、有理数、然后是实数、再到复数。
这个过程反映了人们对客观世界认识的不断深入。
按照所研究的问题，我们常常需要明确规定所考虑的数的范围。
譬如说，在解决一个实际问题中列出了一个二次方程，这个方程有没有解就与未知量所代表的对象有关，也就是与未知量所允许的取值范围有关。
又如，任意两个整数的商不一定是整数，这就是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可以做的，而在有理数范围内，除法总是可以做的。
因此，在数的不同的范围内同一个问题的回答可能是不同的。
我们经常会遇到的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它们显然具有一些不同的性质，当然，它们也有很多共同的性质，在代数中经常是将有共同性质的对象统一进行讨论。
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质。
代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的。
有时我们还会碰到一些其它的数的范围，为了方便起见，当我们把这些数当作一个整体来考虑时，常称它为一个数的集合，简称数集。
1第一章多项式21.1 数域3数是数学的一个最基本的概念，研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，按照所研究的问题不同，我们对数的范围界定也不一样。
例如22x 在有理数范围内不能分解，在实数范围内就可以分解。
210x 在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。
自然数整数有理数实数复数NZQRC这是一个认识的渐进的过程。
在讨论多项式的因式分解、方程的根等问题时，都跟数的范围有关。
4在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加、减、乘、除四则运算以及经过四则运算后是否还在这个集合之中。
例如自然数集N 只对加法和乘法封闭，而整数集Z 对加、减、乘三种运算封闭，但对除法不封闭；而有理数集Q 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭，同样，实数集R 、复数集C 对加、减、乘、除四种运算都封闭。
定义( 运算封闭)：在一个数的集合P 中，如果集合中任意两个数做某种运算后的结果仍在P 中，则称数集P 对这种运算是封闭的(closed) 。
5定义1(数域)：设P 是一个由一些复数组成的数的集合，其中包含0和1。
如果P 中的任意两个数对加、减、乘、除（除数不为0）都是封闭的，则称P 是一个数域(number field )。
有理数集Q ，实数集R ，复数集C 都是数域，且是三个最重要的数域。
如果某个数集只对加、减、乘封闭，则称其为数环。
整数集是一个数环.任意一个数域P 都是复数域C 的子集，都包含有理数域Q 作为其子域，即满足.Q P C 在Q 和R 之间存在其它数域；但在R 与C 之间没有别的数域存在.61.2 一元多项式教学目的和要求1. 掌握一元多项式形式表达式的准确定义.2. 掌握一元多项式的加法、减法、乘法的运算和运算律.3. 掌握一元多项式经过运算后的次数，并会用相关结论解题.78一、基本概念设x 是一个符号(或称文字)，P 是一个数域，定义2：n 是一个非负整数，形式表达式其中,,,,,011P a a a a n n 称为系数在数域P 中的一元多项式(one variable polynomial )，或称为数域P 上的一元多项式。
