(完整版)2019届河南省高考模拟试题精编(三)文科数学(解析版)

2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．13．． 14．. 15.．16．．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分又在中，---------------4分在中，----------------------6分又即-----------------------②联立①②得，即---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）---------------------------------------------------------10分---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形，∴∥，∴，，------------------------------------------------------4分∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥的体积为．-----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分（Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴，-------------------------------4分∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以，抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分当直线斜率存在时，设直线的方程为设，，将直线与抛物线联立得：，——————————————————①-------------7分又，即将①带入得，即得或--------------------------------------------------------------------------------------10分当时，直线为，此时直线恒过当时，直线为，此时直线恒过（舍去）所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分21.解+析：解：（Ⅰ）由题意可知，-----4分（Ⅱ）当时，等价于设-------------------------------------------------6分令当时，恒成立在上单调递增，又，在上有唯一零点，且，---------------------------9分单减区间为，单增区间为在的最小值为----------------------------11分--------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，的方程可化为，设点的坐标为，，--------------------------------5分（2）曲线的直角坐标方程为：直线的标准参数方程为，代入得：设，两点对应的参数分别为，，故，异号------------------------------------------------------------------10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）详细分析：（1）当时，当时解得当时恒成立当时解得综上可得解集………………5分（2）当，即时，无最小值；当，即时，有最小值；当且，即时，当且，即时，综上：当时，无最小值；当时，有最小值；当时，当时，……………… 10分11。

输入x开始 2019届河南省普通高等学校招生全国统一考试模拟（三）数学（文）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，{|12}B x x =-≤≤，则A B =A.[1,2]-B. [1,2]C. (1,2]D. [1,1]{2}-2.已知复数z 满足||2z z z =+=，（z 为z 的共轭复数）.下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z = A. 1i + B. 1i - C.1i +或1i - D.1i -+或1i -- 3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它 是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块 板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中 任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 A ．932B ．516C ．38D ．7164．下列命题中，真命题是A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥ C ．2,2x x R x ∀∈>D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件5. 一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是D C B A1yyyyxxxx6. 按如图所示的算法框图，某同学在区间[0,9]上随机地取一个数作为x 输 入，则该同学能得到“OK”的概率 A.12 B.19 C.1318D.897.一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为 2，1的长方形，侧视图为正方形.则这个几何体的体积为A.13 B.53 C.54D.2 8．设5sin π=a ，3log2=b ，3241⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则A.b c a <<B. c a b <<C. b a c <<D. a b c <<9．的部分图像大致为A B C D10. 已知直线20x y +=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a ⋅=+<，令123||||||||n n S a a a a =++++，则m S 的值为A.60.B.52C.44D.3611. 知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，(,),(,)B a a C a a ---，过,,A B C 三点的圆与直线2a x c=-相切，则此椭圆的离心率为A.13 B. 12 C. D. 2312. 已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0,30),1ln()(2x x x x x x f ，若0)2()(≥+-x m x f ，则实数m 的取值范围是A. (]1-∞,B. []1-2,C. []0,3D. )[3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．12．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．83．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2019年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．【解答】解：∵ =，∴|z|=．故选：D．2．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】求出B={1，4}，由此能求出B中的元素的个数．【解答】解：∵，∴B={1，4}，∴B中的元素的个数为2．故选：B．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得b∥α；在B中，面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面垂直的性质定理得b∥α，故A正确；在B中，若a∥α，a⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d=，从而弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），由此能求出直线AB的条数．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d==，∴弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），∴直线AB的条数是3条．故选：B．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g（x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x ）=﹣2a=，当a ≤0时，g′（x ）＞0，则函数g （x ）在区间（0，+∞）单调递增，因此g （x ）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a ＞0时，令g′（x ）=0，解得x=，令g′（x ）＞0，解得0＜x ＜，此时函数g （x ）单调递增；令g′（x ）＜0，解得x ＞，此时函数g （x ）单调递减．∴当x=时，函数g （x ）取得极大值．当x 趋近于0与x 趋近于+∞时，g （x ）→﹣∞， 要使g （x ）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g （）=ln＞0，解得0＜a ＜．∴实数a 的取值范围是（0，）． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ﹣1 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣λ的坐标，再由向量关系的坐标运算列式求解．【解答】解：∵ =（﹣2，2），=（1，0），∴﹣λ=（﹣2，2）﹣λ（1，0）=（﹣2﹣λ，2），由向量=（1，﹣2）与﹣λ共线，得1×2+2×（﹣2﹣λ）=0．解得：λ=﹣1． 故答案为：﹣1．14．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2＜x ＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为 9 ．【考点】BB ：众数、中位数、平均数．【分析】根据题意求出该组数据的众数和中位数，得出x的值，再计算平均数和方差．【解答】解：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷=3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则=3，解得x=4，所以这组数据的平均数为=×（1+2+2+4+5+10）=4，方差为S2=×[（1﹣4）2+（2﹣4）2×2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2]=9．故答案为：9．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据化简，即可求解A的大小；（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）由题意，，即tan2A=．∴2A=或者2A=，∵角A为锐角，∴A=．（2）由（1）可知A=，a=5，b=8；由余弦定理，2bccosA=c2+b2﹣a2，可得：，解得：c=或者．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则V M﹣ANB′=V C，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'﹣AMN的体积可求．﹣ANB′【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：∵CM∥平面ABB′，∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，∴V M﹣ANB′=V C﹣ANB′∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，∴．∵ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，在三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，∴．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理以及列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：根据表中数据，计算K2==≈4.76＜5.024，所以没有97.5%的把握认为这种疫苗有效；（2）利用分层抽样法抽取的6只中有4只没服用疫苗，2只服用疫苗，记4只没服用疫苗的为1，2，3，4，2只服用疫苗的为A、B；从这6只中任取2只，基本事件是12、13、14、1A、1B、23、24、2A、2B、34、3A、3B、4A、4B、AB共15种，至少有1只服用疫苗的基本事件是1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B、AB共9种，故所求的概率是=．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知函数f （x ）=mx+2lnx+，m ∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）设函数g （x ）=，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数m 的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为至少存在一个x 0∈[1，e]，使得m ＞﹣成立，设H （x ）=﹣，根据函数的单调性求出m 的范围即可． 【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x ）=m++=，m=0时，f′（x ）=，f （x ）在（0，+∞）递增，m ＞0时，f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=1﹣或x=﹣1，若1﹣＞0，即m ＞2时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＜0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（1﹣，+∞）递增，在（0，1﹣）递减，若1﹣≤0，即m ≤2时，x ∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0， f （x ）在（0，+∞）递增，m ＜0时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＞0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（0，1﹣）递增，在（1﹣，+∞）递减；（2）令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=mx+2lnx ﹣，∵至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，∴至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，则H′（x）=﹣2（+），∵x∈[1，e]，1﹣lnx＞0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=∴m＞．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。

2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．9104．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．35．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( ) AB ．2C．D ．49．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD11．（5分）函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在[m ，]n D ⊆使()f x 在[m ，]n 上的值域为[2m ，]2n，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()log ()(0x a f x a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是( ) A ．(0，1]4B ．1(0,)4C ．(0,)+∞D ．1(4，)+∞12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 ．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 ．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = ．16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e =⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． （二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<【解答】解：{0A =，1，2}； {1AB ∴=，2}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)2z i i -=+，得2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+， ∴1322z i =-， 则在复平面内z 的对应的点的坐标为1(2，3)2-，在第四象限．故选：D ．3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．910【解答】解：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》， 这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容， 基本事件总数2510n C ==，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本事件个数2113239m C C C =+=， ∴所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m p n ==． 故选：D ．4．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．3【解答】解：双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，∴a b =222b a ∴=，可得223c a =，所以e =． 故选：C ．5．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+【解答】解：由①周期T π=可知，2ω=，A ，B ，C ，D 都符合； ②图象关于(6π，0)对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除A ，C ；③在[0，]4π上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除D ；故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 【解答】解：在ABC ∆中，点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点， ∴MD MC CD =+1223AC CB =+12()23AC AB AC =+- 2136AB AC =-． 故选：A ．7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，(1)a f f =-=（1），21(l o g )4b f f ==（2），0.3(2)c f =，而0.3122<<，则a c b <<， 故选：B ．8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )A B ．2C ．D ．4【解答】解：如图所示，90AMB ∠=︒，设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ；圆锥的底面半径为R ，则圆锥的高为R； 由题意知，2222r rh R R πππ+=， 即2222r rh +； 由相似边成比例得r R hR R-=， 即h R r =-；2222()r r R r ∴+-=，即2r=，∴Rr =， 故选：A ．9．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 【解答】解：由13n n a a +-=，知{}n a 为公差为3的等差数列，则1(1)332n a n n =+-⨯=-； 由13n nb b +=，知{}n b 为公比为3的等比数列，则13n n b -=； ∴331327n n n a b --==，{}n a b ∴为首项为1，公比为27的等比数列，则{}n a b 的前10项的和为：10101271(271)12726-=--，故选：D ．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD【解答】解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：棱锥的底面边长为4，高为4．几何体的体积为：3114444383π⨯⨯⨯-⨯⨯．故选：A．11．（5分）函数()f x的定义域为D，若()f x满足在D内是单调函数且存在[m，]n D⊆使()f x在[m，]n上的值域为[2m，]2n，那么就称()y f x=为“半保值函数”，若函数()log()(0xaf x a t a=+>且1)a≠是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是() A．(0，1]4B．1(0,)4C．(0,)+∞D．1(4，)+∞【解答】解：由题意可知函数()log()xaf x a t=+，(0,1)a a>≠在其定义域内为增函数，若函数()y f x=为“半保值函数”，则()f x在[m，]n上的值域为11[,]22m n∴1()21()2f m mf n n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1()21()2manalog a t mlog a t n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴方程1()2f x x=必有两个不同实数根，1log()2xa a t x+=，12xxa t a∴+=，xa a∴-120xt+=令12xb a=，则0b>∴方程20b b t -+=有两个不同的正数根，∴1400t t =->⎧⎨>⎩104t ∴<<． 故选：B ．12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =【解答】解：双曲线222:19y C x -=的焦点(0)，2210a b ∴-=．取2C 的一条渐近线3y x =，与椭圆相交于点M ，N ．联立222231y xx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222229M a b x a b =+，2222299M a b y a b =+， 222222240||4()9M Ma b MN x y a b ∴=+=+， 以1C 的长轴(2)a 为直径的圆相交于A 、B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，∴22222401(2)99a b a a b =⨯+，与2210a b -=联立． 解得298b =．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．） 13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 5 ．【解答】解：画出实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………表示的平面区域，如图所示；目标函数3122y x z =-的几何意义是直线32z x y =-的纵截距的相反数， 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，可得交点坐标为(3,2)，平移直线3122y x z =-，根据图形可知， 当直线3122y x z =-在经过(3,2)时，3122y x z =-取得最大值，最大值为5． 故答案为：5．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 6π ．【解答】解：由已知可得，三棱锥A BCD -为正三棱锥， 如图，又AB AC AD ==2BC BD CD ===，得222AB AD BD +=，222AB AC BC +=，222AC AD CD +=， 则三棱锥A BCD -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥A BCD -补形为正方体，则正方体的外接球即三棱锥A BCD -设为外接球，．∴三棱锥D ABC -外接球的表面积为246ππ⨯=． 故答案为：6π．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = 518-． 【解答】解：在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)n n n a na n a n a -+==-++， 当2n =时，21343a a a =+，解得：35a =． 当3n =时，324624a a a =+，解得：4112a =． 当4n =时，435835a a a =+，解得：5295a =． 当5n =时，5461046a a a =+，解得：676a =． 当6n =时，6571257a a a =+，解得：7227a =-． 当7n =时，7681468a a a =+，解得：8518a =- 故答案为：518-16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 1[2-，1]2 ．【解答】解：令21()()2()22g x f x ax a x ax lnx =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞．在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方 等价于()0g x <在区间(1,)+∞上恒成立．21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x--+---'=--+==． ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在(0,1)上有()0g x '>， 在2(1,)x 上有()0g x '<，在2(x ，)+∞上有()0g x '>， 此时()g x 在区间2(x ，)+∞上是增函数，并且在该区间上有2()(()g x g x ∈，)+∞，不合题意； 当211x x =…，即1a …时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有()(g x g ∈（1），)+∞，也不合题意； ②若12a …，则有210a -…，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足g （1）102a =--…，得12a -…．由此求得a 的范围是1[2-，1]2．综合①②可知，当1[2a ∈-，1]2时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方．故答案为：1[2-，1]2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意13BD a =，23CD a =，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，∴222264264()()0a a c b +-+-+=， 化简得：2212403a c -+=，①由余弦定理得222212cos 1683a b c bc A c c =+-=+-⨯②由①②消去2a 得6c =，即6AB =；（Ⅱ）11111sin 463323233ABD ABC S S b c A ∆∆==⨯=⨯⨯⨯⨯=． 18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形，AO BD ∴⊥． FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， AO FO ∴⊥．又四边形OAEF 为平行四边形，//EF AO ∴，EF BD ∴⊥，EF FO ⊥，BDFO O =，EF ∴⊥平面BDF ．EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ．解：（Ⅱ）2AB FO BD ===，四边形ABCD 为菱形，ABD ∴∆为等边三角形，且AO =1DO BO ==．BD AC ⊥，BD FO ⊥，ACFO O =，BD ∴⊥平面OAEF ，∴四棱锥D AOFE -的体积为112)133D AOFE AOFE V S DO -=⨯⨯=⨯⨯=．∴12O DEF D OEF D AOFE V V V ---===FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=， ∴点H 到平面ABCD 的距离||2h FO λλ==．111(22sin120)2332B AHC H ABC ABC V V S h λ--∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯==， 解得12λ=．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e=⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．【解答】解：（1）由散点图知，选择回归类型，d y c x =更适合．（2）对d y c x =两边取对数，得Iny lnc dlnx =+，即v lnc du =+．由表中数据得122130.510 1.5 1.51ˆ46.510 1.5 1.53ni i i nii u vmu vdunu ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以11.5 1.513lnc v du =-=-⨯=，所以ˆce =． 所以年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =． （3）由（2）知，13()27z x x x =-，求导得23()91z x x -'=-，令23()910z x x-'=-=，得27x =，函数13()27z x x x =-在(0,27)上单调递增，在(27,)+∞上单调递减， 所以当27x =时，年利润z 取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以5||(2)22P MF =--=， 1p ∴=抛物线的方程为22y x =-；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时A ，B 重合，舍去． 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线l 与抛物线联立得：222122222(22)02y kx b kb k x kb x b x x y x k =+⎧--+++=+=⎨=-⎩，2122b x x k=------------------①又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即122112121212121212(2)(2)(2)(2)2(2)(2)22()()2()4824()8kx b x kx b x x x kx x k x x b x x x x b x x x x +-+++-+=-++++++-++-=--+-将①带入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+．当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-当22b k =--时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-．21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）()()()x h x f x g x ae blnx x =+=+-， ()1x bh x ae x'=+-， 由题意可知(1)11(1)12h ae h ae b =-=⎧⎨'=+-=⎩，解得2a e=，1b =； （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于11x x k x e +<+-． 设1()1x x F x x e +=+-，则2(2)()(1)x x x e e x F x e --'=-， 令()2x R x e x =--，则()1x R x e '=-．当0x >时，()0R x '>恒成立，()R x 在(0,)+∞上单调递增， 又R （1）0<，R （2）0>，()R x ∴在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020x e x --=． ()F x ∴单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(x ，)+∞，()F x ∴在(0,)+∞的最小值为000001()1(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈-． 0()k F x ∴<，故2max k =．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，(1,0)A ∴-，1(0,1)B C -的方程可化为221(0)x y y +=…， 设点P 的坐标为(cos ,sin )θθ，0θπ剟，∴cos sin 1)11]4BA BP πθθθ=-++=-+∈．（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-= 直线l的标准参数方程为()21x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，代入2C得：270m -=设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m ，12m m +=1270m m =-<故1m ，2m 异号，∴12||||||||QM QN m m -=+=[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值． 【解答】解析：（1）当1a =时，23,2,()|1||2|1,21,23,1,x x f x x x x x x ---⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+-⎩……()3f x …，当2x -…时()233f x x =--…解得32x --剟， 当21x -<<-时()13f x =…恒成立， 当1x -…时()233f x x =+…解得10x -剟， 综上可得解集[3-，0]；（2）(1)21,2,()|1||2|(1)21,21,(1)21,1,a x a x f x x a x a x a x a x a x -+---⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++-⎩……当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -…，即11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时，()(2)1min f x f =-=， 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当1a >时，()(2)1min f x f =-=．。

绝密★启用前河南省郑州市2019届高三毕业班第三次质量预测(三模)数学（文）试题（解析版）2019年4月第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}13A x N x =∈-<<，{}0B x x π=<<，则A B ⋂=（ ） A. {}03x x << B. {}0,1,2 C. {}1,2 D. {}0x x π<<【答案】C【解析】【分析】求出集合A 中的所有元素，然后求解两个集合的交集.【详解】{}0,1,2A =,所以{}1,2A B =，故选C.【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的交集运算，求解交集时，明确集合的公共元素是求解的关键.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()12z i i -=+，则在复平面内z 对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】【分析】先利用复数的除法，求出复数z ，再求共轭复数，然后判定所在象限.【详解】因为()12z i i -=+，所以2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ++++===--+，1322z i =-由于130,022>-<，所以复平面内z 对应的点在第四象限，故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数等，侧重考查数学运算的核心素养.3.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期，某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A. 35 B. 710 C. 45 D. 910【答案】D【解析】【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m P n ==．故选D ．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏。

2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．9104．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．35．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( ) AB ．2C．D ．49．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD11．（5分）函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在[m ，]n D ⊆使()f x 在[m ，]n 上的值域为[2m ，]2n，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()log ()(0x a f x a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是( ) A ．(0，1]4B ．1(0,)4C ．(0,)+∞D ．1(4，)+∞12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 ．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 ．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = ．16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e =⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． （二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<【解答】解：{0A =，1，2}； {1AB ∴=，2}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)2z i i -=+，得2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+， ∴1322z i =-， 则在复平面内z 的对应的点的坐标为1(2，3)2-，在第四象限．故选：D ．3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．910【解答】解：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》， 这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容， 基本事件总数2510n C ==，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本事件个数2113239m C C C =+=， ∴所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m p n ==． 故选：D ．4．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．3【解答】解：双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，∴a b =222b a ∴=，可得223c a =，所以e =． 故选：C ．5．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+【解答】解：由①周期T π=可知，2ω=，A ，B ，C ，D 都符合； ②图象关于(6π，0)对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除A ，C ；③在[0，]4π上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除D ；故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 【解答】解：在ABC ∆中，点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点， ∴MD MC CD =+1223AC CB =+12()23AC AB AC =+- 2136AB AC =-． 故选：A ．7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，(1)a f f =-=（1），21(l o g )4b f f ==（2），0.3(2)c f =，而0.3122<<，则a c b <<， 故选：B ．8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )A B ．2C ．D ．4【解答】解：如图所示，90AMB ∠=︒，设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ；圆锥的底面半径为R ，则圆锥的高为R； 由题意知，2222r rh R R πππ+=， 即2222r rh +； 由相似边成比例得r R hR R-=， 即h R r =-；2222()r r R r ∴+-=，即2r=，∴Rr =， 故选：A ．9．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 【解答】解：由13n n a a +-=，知{}n a 为公差为3的等差数列，则1(1)332n a n n =+-⨯=-； 由13n nb b +=，知{}n b 为公比为3的等比数列，则13n n b -=； ∴331327n n n a b --==，{}n a b ∴为首项为1，公比为27的等比数列，则{}n a b 的前10项的和为：10101271(271)12726-=--，故选：D ．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD【解答】解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：棱锥的底面边长为4，高为4．几何体的体积为：3114444383π⨯⨯⨯-⨯⨯．故选：A．11．（5分）函数()f x的定义域为D，若()f x满足在D内是单调函数且存在[m，]n D⊆使()f x在[m，]n上的值域为[2m，]2n，那么就称()y f x=为“半保值函数”，若函数()log()(0xaf x a t a=+>且1)a≠是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是() A．(0，1]4B．1(0,)4C．(0,)+∞D．1(4，)+∞【解答】解：由题意可知函数()log()xaf x a t=+，(0,1)a a>≠在其定义域内为增函数，若函数()y f x=为“半保值函数”，则()f x在[m，]n上的值域为11[,]22m n∴1()21()2f m mf n n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1()21()2manalog a t mlog a t n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴方程1()2f x x=必有两个不同实数根，1log()2xa a t x+=，12xxa t a∴+=，xa a∴-120xt+=令12xb a=，则0b>∴方程20b b t -+=有两个不同的正数根，∴1400t t =->⎧⎨>⎩104t ∴<<． 故选：B ．12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =【解答】解：双曲线222:19y C x -=的焦点(0)，2210a b ∴-=．取2C 的一条渐近线3y x =，与椭圆相交于点M ，N ．联立222231y xx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222229M a b x a b =+，2222299M a b y a b =+， 222222240||4()9M Ma b MN x y a b ∴=+=+， 以1C 的长轴(2)a 为直径的圆相交于A 、B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，∴22222401(2)99a b a a b =⨯+，与2210a b -=联立． 解得298b =．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．） 13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 5 ．【解答】解：画出实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………表示的平面区域，如图所示；目标函数3122y x z =-的几何意义是直线32z x y =-的纵截距的相反数， 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，可得交点坐标为(3,2)，平移直线3122y x z =-，根据图形可知， 当直线3122y x z =-在经过(3,2)时，3122y x z =-取得最大值，最大值为5． 故答案为：5．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 6π ．【解答】解：由已知可得，三棱锥A BCD -为正三棱锥， 如图，又AB AC AD ==2BC BD CD ===，得222AB AD BD +=，222AB AC BC +=，222AC AD CD +=， 则三棱锥A BCD -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥A BCD -补形为正方体，则正方体的外接球即三棱锥A BCD -设为外接球，．∴三棱锥D ABC -外接球的表面积为246ππ⨯=． 故答案为：6π．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = 518-． 【解答】解：在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)n n n a na n a n a -+==-++， 当2n =时，21343a a a =+，解得：35a =． 当3n =时，324624a a a =+，解得：4112a =． 当4n =时，435835a a a =+，解得：5295a =． 当5n =时，5461046a a a =+，解得：676a =． 当6n =时，6571257a a a =+，解得：7227a =-． 当7n =时，7681468a a a =+，解得：8518a =- 故答案为：518-16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 1[2-，1]2 ．【解答】解：令21()()2()22g x f x ax a x ax lnx =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞．在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方 等价于()0g x <在区间(1,)+∞上恒成立．21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x--+---'=--+==． ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在(0,1)上有()0g x '>， 在2(1,)x 上有()0g x '<，在2(x ，)+∞上有()0g x '>， 此时()g x 在区间2(x ，)+∞上是增函数，并且在该区间上有2()(()g x g x ∈，)+∞，不合题意； 当211x x =…，即1a …时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有()(g x g ∈（1），)+∞，也不合题意； ②若12a …，则有210a -…，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足g （1）102a =--…，得12a -…．由此求得a 的范围是1[2-，1]2．综合①②可知，当1[2a ∈-，1]2时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方．故答案为：1[2-，1]2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意13BD a =，23CD a =，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，∴222264264()()0a a c b +-+-+=， 化简得：2212403a c -+=，①由余弦定理得222212cos 1683a b c bc A c c =+-=+-⨯②由①②消去2a 得6c =，即6AB =；（Ⅱ）11111sin 463323233ABD ABC S S b c A ∆∆==⨯=⨯⨯⨯⨯=． 18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形，AO BD ∴⊥． FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， AO FO ∴⊥．又四边形OAEF 为平行四边形，//EF AO ∴，EF BD ∴⊥，EF FO ⊥，BDFO O =，EF ∴⊥平面BDF ．EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ．解：（Ⅱ）2AB FO BD ===，四边形ABCD 为菱形，ABD ∴∆为等边三角形，且AO =1DO BO ==．BD AC ⊥，BD FO ⊥，ACFO O =，BD ∴⊥平面OAEF ，∴四棱锥D AOFE -的体积为112)133D AOFE AOFE V S DO -=⨯⨯=⨯⨯=．∴12O DEF D OEF D AOFE V V V ---===FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=， ∴点H 到平面ABCD 的距离||2h FO λλ==．111(22sin120)2332B AHC H ABC ABC V V S h λ--∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯==， 解得12λ=．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e=⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．【解答】解：（1）由散点图知，选择回归类型，d y c x =更适合．（2）对d y c x =两边取对数，得Iny lnc dlnx =+，即v lnc du =+．由表中数据得122130.510 1.5 1.51ˆ46.510 1.5 1.53ni i i nii u vmu vdunu ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以11.5 1.513lnc v du =-=-⨯=，所以ˆce =． 所以年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =． （3）由（2）知，13()27z x x x =-，求导得23()91z x x -'=-，令23()910z x x-'=-=，得27x =，函数13()27z x x x =-在(0,27)上单调递增，在(27,)+∞上单调递减， 所以当27x =时，年利润z 取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以5||(2)22P MF =--=， 1p ∴=抛物线的方程为22y x =-；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时A ，B 重合，舍去． 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线l 与抛物线联立得：222122222(22)02y kx b kb k x kb x b x x y x k =+⎧--+++=+=⎨=-⎩，2122b x x k=------------------①又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即122112121212121212(2)(2)(2)(2)2(2)(2)22()()2()4824()8kx b x kx b x x x kx x k x x b x x x x b x x x x +-+++-+=-++++++-++-=--+-将①带入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+．当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-当22b k =--时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-．21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）()()()x h x f x g x ae blnx x =+=+-， ()1x bh x ae x'=+-， 由题意可知(1)11(1)12h ae h ae b =-=⎧⎨'=+-=⎩，解得2a e=，1b =； （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于11x x k x e +<+-． 设1()1x x F x x e +=+-，则2(2)()(1)x x x e e x F x e --'=-， 令()2x R x e x =--，则()1x R x e '=-．当0x >时，()0R x '>恒成立，()R x 在(0,)+∞上单调递增， 又R （1）0<，R （2）0>，()R x ∴在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020x e x --=． ()F x ∴单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(x ，)+∞，()F x ∴在(0,)+∞的最小值为000001()1(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈-． 0()k F x ∴<，故2max k =．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，(1,0)A ∴-，1(0,1)B C -的方程可化为221(0)x y y +=…， 设点P 的坐标为(cos ,sin )θθ，0θπ剟，∴cos sin 1)11]4BA BP πθθθ=-++=-+∈．（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-= 直线l的标准参数方程为()21x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，代入2C得：270m -=设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m ，12m m +=1270m m =-<故1m ，2m 异号，∴12||||||||QM QN m m -=+=[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值． 【解答】解析：（1）当1a =时，23,2,()|1||2|1,21,23,1,x x f x x x x x x ---⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+-⎩……()3f x …，当2x -…时()233f x x =--…解得32x --剟， 当21x -<<-时()13f x =…恒成立， 当1x -…时()233f x x =+…解得10x -剟， 综上可得解集[3-，0]；（2）(1)21,2,()|1||2|(1)21,21,(1)21,1,a x a x f x x a x a x a x a x a x -+---⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++-⎩……当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -…，即11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时，()(2)1min f x f =-=， 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当1a >时，()(2)1min f x f =-=．。

2019年河南省洛阳市高考数学三模试卷（文科）一、选择埋：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝1﹣i，则＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i2．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|ln（1﹣x）＜0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|x≤1}B．{x|x≥1）C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x≤1} 3．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20B．100，20C．200，10D．100，104．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的框图，若输入的N是4，则输出p的值是（）A．6B．24C．30D．1206．（5分）平面向量，已知＝（4，3），＝（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．7．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p：∀x≥0，sin x≤1，则￢p：∃x0≥0，sin x0＞1C．若复合命题：“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件8．（5分）设实数x，y满足，则目标函数z＝x+y（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最小值﹣1，最大值3D．既无最小值，也无最大值9．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．4πB．2πC．D．10．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，f（x+2）是偶函数，且当x∈（0，2]时，f（x）＝x，则f（﹣2018）+f（2019）＝（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．011．（5分）已知抛物线：y2＝8x，过焦点F且斜率为2的直线l交抛物线于A、B两点，则||AF|﹣|BF||＝（）A．5B．C．4D．12．（5分）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin（+x）sin（﹣x），则f（B）的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）圆x2+y2＝4与直线x+y﹣2＝0相交于A，B两点，则弦|AB|＝．14．（5分）若是函数f（x）＝lnx﹣kx的极值点，则函数f（x）＝lnx﹣kx在点（1，f （1））处的切线方程是．15．（5分）在底面是边长为的正方形的四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的射影H 为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥P﹣ABCD 的内切球半径为r，外接球的半径为R，则R﹣r＝．16．（5分）有下列四个命题：其中真命题的序号是①等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则；②函数，的最小值4；③函数f（x）＝lnx在点（1，0）处的切线方程是：x﹣y﹣1＝0；④函数的唯一零点在区间（1，2）上．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n满足2S n＝3（b n﹣1）且a1＝b1，a4＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求{a n•b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱锥ABM﹣DCN中，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，E，F分别为棱MA、DC的中点．（1）求证：EF∥平面AflVCB，（2）若AB＝AM＝2，∠ABC＝120°，且平面MADN⊥平面ABCD，求四棱锥E﹣BCNM 的体积．19．（12分）某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身髙在170〜175cm的男生人数有16人．（1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？（2）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？（3）在上述100名学生中，从身高在175〜185cm之间的男生和身高在170〜175cm之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率．参考公式：K2＝参考数据：20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为2，0为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点P（0，﹣4）的直线l与椭圆分别交于A，B两点，求△OAB的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极点与坐标原点O重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ＝2sinθ上任一点，点P满足．设点P的轨迹为曲线Q．（1）求曲线Q的平面直角坐标方程；（2）已知曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N，设曲线N与直线为参数）相交于A，B两点，求|OA|+|OB|．[选修4-5：不等式选讲].23．已知函数f（x）＝|x﹣5|．（1）解不等式：f（x）+f（x+2）≤3；（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣f（5a）≥af（x）．2019年河南省洛阳市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择埋：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：将z＝1﹣i代入得，故选：A．2．【解答】解：A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|ln（1﹣x）＜0}＝{x|0＜1﹣x＜1}＝{x|0＜x＜1}，则∁U B＝{x|x≥1或x≤0}，则A∩（∁U B）＝{x|1≤x＜2}，故选：C．3．【解答】解：由图1得样本容量为（3500+2000+4500）×2%＝10000×2%＝200，抽取的高中生人数为2000×2%＝40人，则近视人数为40×0.5＝20人，故选：A．4．【解答】解：∵渐近线的方程是y＝±x，∴2＝•4，＝，a＝2b，c＝＝a，e＝＝，即它的离心率为．故选：D．5．【解答】解：由程序框图知；第一次循环k＝1，p＝1•1＝1；第二次循环k＝2，p＝1•2＝2；第三次循环k＝3，p＝2•3＝6；第四次循环k＝4，p＝4•6＝24．不满足条件k＜4，跳出循环体，输出p＝24．故选：B．6．【解答】解：设＝（x，y），∵a＝（4，3），2a+b＝（3，18），∴∴cosθ＝＝，故选：C．7．【解答】解：“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；p：∀x≥0，sin x≤1，则￢p：∃x0≥0，sin x0＞1，故B正确；若复合命题：“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故C错误；“x＞2”可得x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，x＜1也成立，“x＞2”是x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故D正确，故选：C．8．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最小，此时z最小．由解得A（2，0）．代入目标函数z＝x+y得z＝2．即目标函数z＝x+y的最小值为2．没有最大值．故选：B．9．【解答】解：由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，所以几何体的体积为；故选：B．10．【解答】解：根据题意，函数f（x+2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，则有f（﹣x）＝f（4+x），又由函数f（x）为定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x），则f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，则有f（2018）＝f（252×8+2）＝f（2）＝2，又由f（x）为奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣2，f（2019）＝f（252×8+3）＝f（3）＝f（1）＝1，则f（﹣2018）+f（2019）＝（﹣2）+1＝﹣1；故选：C．11．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，直线l的方程为y＝2（x﹣2），代入抛物线方程可得x2﹣6x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝6，x1x2＝4，则||AF|﹣|BF||＝|x1+2﹣x2﹣2|＝＝＝2．故选：B．12．【解答】解：锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+ac，∴c＝2a cos B+a，∴sin C＝2sin A cos B+sin A，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin A＝cos A sin B﹣sin A cos B＝sin（B﹣A），∵△ABC为锐角三角形，∴A＝B﹣A，∴2A＝B，∴C＝π﹣A﹣B＝π﹣B，∴，解的＜B＜，函数f（x）＝＝cos（2x﹣）﹣2sin（+x）cos（+x）＝cos（2x﹣）﹣sin（+2x）＝cos2x+sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣），∵＜B＜，∴＜2B﹣＜，∴＜sin（2B﹣）＜1则f（B）的取值范围是（，1），故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，圆心到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝，则|AB|＝2＝2；故答案为：214．【解答】解：函数的f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝﹣k，∵是函数f（x）＝lnx﹣kx的极值点，∴f′（）＝0，即﹣k＝0，即k＝e，则f（x）＝lnx﹣ex，f（1）＝ln1﹣e＝﹣e，即点（1，﹣e），f′（x）＝﹣e，f′（1）＝1﹣e，即切线斜率k＝1﹣e，则函数f（x）＝lnx﹣kx在点（1，f（1））处的切线方程是y+e＝（1﹣e）（x﹣1），即（e﹣1）x+y+1＝0，故答案为：（e﹣1）x+y+1＝0．15．【解答】解：如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，P﹣ABCD为正四棱锥，底边长为2，∵BC∥AD，∴∠PBC即为PB与AD所成角，由tan∠PBC＝2，可得斜高为2，∴△PEF为正三角形，边长为，正四棱锥P﹣ABCD的内切球半径，即为△PEF的内切圆半径，可得r＝，设O为外接球球心，在Rt△OHA中，（PH﹣R）2+AH2＝R2，即，解得R＝，∴R﹣r＝．故答案为：．16．【解答】解：①，等差数列{a n}的前n项和为S n，若，即有＝3，化为a1＝2d，则＝＝＝，故①正确；②，函数，可设t＝sin2x（0＜t≤1），即有函数y＝t+在（0，1]递减，即函数的最小值为1+4＝5，故②错误；③，函数f（x）＝lnx的导数为f′（x）＝，可得在点（1，0）处的切线斜率为1，可得方程是x﹣y﹣1＝0，故③正确；④，函数在x＞0递增，且f（1）f（2）＝（﹣1）×（ln2﹣）＜0，由零点存在定理可得在区间（1，2）上有且只有一个零点，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）2S n＝3（b n﹣1），可得2b1＝2S1＝3（b1﹣1），解得b1＝3，当n≥2时，2b n＝2S n﹣2S n﹣1＝3（b n﹣1）﹣3（b n﹣1﹣1），可得b n＝3b n﹣1，则b n＝3n，数列{a n}是等差数列，设公差为d，可得a1＝b1＝3，a4＝b2＝9，即有d＝＝2，可得a n＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）a n•b n＝（2n+1）•3n，前n项和T n＝3•3+5•32+…+（2n+1）•3n，3T n＝3•32+5•33+…+（2n+1）•3n+1，两式相减可得﹣2T n＝9+2（32+…+3n）﹣（2n+1）•3n+1＝9+2•﹣（2n+1）•3n+1，化简可得T n＝n•3n+1．18．【解答】证明：（1）取NC的中点G，连结FG，MG，∵ME∥ND，且ME＝ND，又∵F，G分别为DC，NC的中点，FG∥ND，且FG＝，∴FG与ME平行且相等，∴四边形MEFG是平行四边形，∴EF∥MG，又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，∴EF∥平面MNCB．解：（2）取AD的中点K，在△ABK中，AB＝2，AK＝1，∠BAK＝60°，∴BK2＝AB2+AK2﹣2AB×AK×cos60°＝3，AB2＝AK2+BK2，∴∠AKB＝90°，∴AK⊥BK．∵平面MADN⊥平面ABCD，平面MADN∩平面ABCD＝AD，又BK⊂平面ABCD，∴BK⊥平面MADN，∴四棱锥E﹣BCNM的体积：＝2VA﹣BMN＝2V B﹣AMN＝＝＝．19．【解答】解：（1）频率分布直方图中，身高在170～175cm的男生的频率为0.4，设男生人数为x，则0.4＝，解得x＝40；由男生的人数为40，则女生的人数为100﹣40＝60；（2）男生身高≥170cm的人数为（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40＝30，女生身高≥170cm的人数为0，02×5×60＝6，由此填写2×2列联表如下；由列联表中数据，计算K2＝＝≈44.010＞10.828，所以有99.9%的把握认为“身高与性别有关”；（3）身高在175〜185cm之间的男生有12人，身高在170〜175cm之间的女生有6人，按男、女性别分层抽样抽出6人，则男生4人，女生2人，设4名男生分别为a、b、c、d，2名女生分别为E、F，从这6人中选派2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；则2人中恰好有一名女生的基本事件为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种；故所求的概率为P＝．20．【解答】解：（1）由题意知，a﹣c＝，，∴b＝，又a2＝b2+c2，联立解得a＝．∴椭圆方程为；（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx﹣4．联立，得（1+3k2）x2﹣24kx+42＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由△＝（﹣24k）2﹣4（1+3k2）×42＞0，得k2＞．，．∵|AB|＝＝＝．O到AB的距离d＝．∴．令t＝3k2﹣7，∴t＞0，3k2+1＝t+8．∴．当且仅当t＝8，即k＝时，△OAB的面积的最大值．21．【解答】解：（1）由f（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2x，得f′（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2＝（e x+a）（e x﹣2a）．当a＝0时，f′（x）＝e2x＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＜0，得x＜ln（2a），由f′（x）＞0，得x＞ln（2a）．∴f（x）在（﹣∞，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），+∞）上单调递增；当a＜0时，由f′（x）＜0，得x＜ln（﹣a），由f′（x）＞0，得x＞ln（﹣a）．∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增．综上，当a＝0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增．（2）由（1）可知，当a＝0时，f（x）＝e2x＞0，∴a＝0成立；当a＞0时，f（x）min＝f（ln（2a））＝≥0．即ln（2a）≤0，∴0；当a＜0时，＝．即ln（﹣a），∴≤a＜0．综上，a∈[，]．选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）设P（ρ，θ），∵＝3，∴点M的极坐标为（，θ），把点M（，θ）代入曲线C，得＝2sinθ，即曲线Q的极坐标方程为ρ＝6sinθ，∵ρ2＝6ρsinθ，∴x2+y2＝6y，∴x2+（y﹣3）2＝9．∴曲线Q的平面直角坐标方程为x2+（y﹣3）2＝9．（2）曲线Q向上平移1个单位后得曲线N的方程为x2+（y﹣4）2＝9，l的参数方程化为，两方程联立得t2﹣4t+7＝0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2＝4，t1t2＝7，∴|OA|+|OB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝4．[选修4-5：不等式选讲].23．【解答】解：（1）不等式：f（x）+f（x+2）≤3⇔|x﹣5|+|x﹣3|≤3⇔或或，解得≤x，综上，原不等式的解集为[，]．（2）证明：由题意得f（ax）﹣af（x）＝|ax﹣5|﹣a|x﹣5|＝|ax﹣5|+|﹣ax+5a|≥|ax﹣5﹣ax+5a|＝|5a﹣5|＝f（5a），所以f（ax）﹣f（5a）≥af（x）成立．。

2019年河南高考文科数学模拟试卷【附答案】一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵故选：B．本题是一个复数的乘除运算，先进行复数乘法运算，在分子和分母上进行，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简后得到结果．本题考查复数的乘除混合运算，是一个基础题，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．2.【答案】D【解析】解：将集合M和集合N中的方程联立得：将集合M与集合N中的方程联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．此题考查了交集及其运算，以及二元一次方程组的解法，是一道基本题型，学生易弄错集合中元素的性质．3.【答案】A【解析】解：定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），∴f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，．∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，∴f（x）→+∞．故可排除B；而A均满足以上分析．故选：A．由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C、D，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，从而得到答案A．本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．4.【答案】D【解析】利用数量积运算性质即可得出．本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】根据题意，设要求双曲线的方程为，将点（2，-2）代入双曲线的方程，计算可得t的值，将t的值代入双曲线的方程，变形即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握有共同渐近线方程的双曲线方程的特点．6.【答案】A【解析】由已知及余弦定理可求a，b的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1执行循环体，S=290，i=2不满足判断框内的条件，执行循环体，S=300，i=3不满足判断框内的条件，执行循环体，S=310，i=4不满足判断框内的条件，执行循环体，S=320，i=5不满足判断框内的条件，执行循环体，S=330，i=6不满足判断框内的条件，执行循环体，S=340，i=7不满足判断框内的条件，执行循环体，S=350，i=8由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为350．可得判断框中的条件为i＞7？．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】D【解析】故选：D．甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件总数n==10，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，由此能出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】B【解析】故选：B．以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．10.【答案】B【解析】利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的值．本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.【答案】C【解析】13.【答案】x-y-3=0【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．将已知等式两边平方后相加，根据同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．【解析】（1）通过离心率以及短轴长，求出b，a得到椭圆方程，通过抛物线的焦点坐标求解抛物线方程即可．本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．【解析】（1）构造函数g（x）=f（x）-x+1，求函数的导数，研究的单调性和极值，结合函数极值和最值进行求解即可．（2）利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的最值进行求解即可．本题主要考查导数与不等式的应用以及函数最值的求解，求函数的导数，利用参数分离法转化为求函数的最值是解决本题的关键．【解析】（1）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；（2）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．。

开封市2019届高三第三次模拟考试数学（文科）试题一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合中元素的个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】直接求出两集合的交集，找出交集的元素的个数即可．【详解】，，，8，10，12，，，，则集合中的元素的个数为3，故选：．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用共轭复数和复数的除法计算得解.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（）A. 该地区该月2日空气质量最好B. 该地区在该月24日空气质量最差C. 该地区从该月7日到12日持续增大D. 该地区的空气质量指数与这段日期成负相关【答案】D【解析】【分析】利用折线图对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A,由于2日的空气质量指数最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以该选项正确；对于选项B, 由于24日的空气质量指数最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以该选项正确；对于选项C,从折线图上看，该地区从该月7日到12日持续增大，所以该选项正确；对于选项D,从折线图上看，该地区的空气质量指数与这段日期成正相关，所以该选项错误.故选：D【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.【详解】先考虑充分性.,=，因为，所以，所以“”是“”的充分条件.再考虑必要性.,=，不能推出. 如：a=-3,b=-1.所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知函数（）为奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据奇函数求出a的值，再求f(1)得解.【详解】由题得经检验，当a=1时，函数f(x)是奇函数.所以.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.设为等差数列的前项和，若，，则（）A. -3B. -2C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由题得到关于的方程组，解方程组即得解.【详解】由题得.故选：C【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和和通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，为球的直径，求出，可得球的半径，即可求出球的表面积．【详解】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．，，．则该阳马的外接球的直径为． 该阳马的外接球的表面积为：．故选：．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题．8.如图所示的程序框图是为了求出满足的最大正整数的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A. “”和“输出”B. “”和“输出”C. “”和“输出”D. “”和“输出”【答案】D【解析】【分析】通过要求时输出，由于满足后，又执行了一次，故输出的应为的值．【详解】由于程序框图是为了求出满足的最大正整数的值，故退出循环的条件应为，由于满足后，（此时值比程序要求的值多1），又执行了一次，故输出的应为的值．故选：．【点睛】本题考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.若实数，满足，则的最大值是（）A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y的最大值得解.【详解】由题得(当且仅当x=y=-1时取等)所以，所以x+y≤-2.所以x+y的最大值为-2.故选：B【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.如图，在正方形中分别以，为圆心、正方形的边长为半径画，，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】如图所示，设正方形的边长为1，因为AB=AE=BE=1,所以∠ABE=,所以弓形AFE的面积为.所以阴影部分ADFE的面积为，所以所有阴影部分的面积为.由几何概型的概率公式得此点取自阴影部分的概率是.故选：A【点睛】本题主要考查面积的计算和几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先比较a和b的大小，再比较a和c的大小得解.【详解】由题得.c-a=,如图所示，在坐标系中，可以看到函数在（2,4）的图像总在函数图像的上方，因为，所以c-a＞0，即c＞a.故c＞a＞b.故选：C【点睛】本题主要考查实数比较大小，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且，A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】先根据已知分析出，再分析出,检验即得解.【详解】因为为的零点，所以,因为为图象的对称轴，所以（1）+（2）得，因为.(2)-(1)得,当时，如果，令，当k=2时，x=,与已知不符.如果，令，当k=1时，x=,与已知不符.如果如果，令，当k=1时，x=,与已知不符.如果，令，与已知相符.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题.13.设向量，，且，则________.【答案】1【解析】【分析】直接利用向量平行的坐标表示求解.【详解】由题得2x-(x+1)=0,所以x=1.故答案为：1【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.若实数，满足约束条件，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由，满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过点时直线在轴上的截距最小，由，解得，，有最小值为2．故答案为：，【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.已知中，，，，则该三角形的面积是________.【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出a的值，再利用三角形的面积公式求面积得解.【详解】由题得所以三角形的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若，则的离心率为________.【答案】【解析】【分析】先求出点A到渐近线的距离为，再解方程即得解.【详解】由题得双曲线的渐近线方程为由题得△AMN是等边三角形，边长为b.所以点A到渐近线的距离为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记为等比数列的前项和，已知，.（I）求的通项公式；（Ⅱ）设数列，求的前项和.【答案】(I) (Ⅱ)【解析】【分析】（I）根据已知求出，即可求出的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求的前项和.【详解】解：（I）设的公比为，由题意，解得，，故.（Ⅱ），，，两式相减得，，.【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，在平面上的射影为的中点是边长为的正三角形，直线与平面所成角为.（I ）求证：；（Ⅱ）若，且，求该五面体的体积.【答案】(I)见证明；(Ⅱ)【解析】【分析】（I ）记的中点为，连接，，先证明平面，再证；（Ⅱ）先证明棱柱为直棱柱. 再求,即得该五面体的体积.【详解】证明：（I ）记的中点为，连接，，由在平面上的射影为中点，得平面，∴，，又，，∴，∴.由直线与平面所成角，易得，又由，得，又，得.由，，，得平面，平面，∴.（Ⅱ）由（I），平面，∵，平面，平面，∴平面，平面平面，∴，，由题意，∴棱柱为直棱柱.∵，，∴该五面体的体积为：.【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：①；②；③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”，将直径尺寸在之外的零件认定为“突变品”.从样本的“次品”中随意抽取两件，求至少有一件“突变品”的概率.【答案】(I)见解析(Ⅱ)【解析】【分析】（I）计算出，，，比较即得解. （Ⅱ）利用古典概型的概率公式求至少有一件“突变品”的概率.【详解】解：（I），，，，，由图表知，，，，所以该设备的级别为丙级.（Ⅱ）样品中直径尺寸在之外的零件共6件，直径尺寸在之外的零件共2件，分别记为，，，，，，其中，为直径尺寸在之外的零件，从样本的“次品”中随意抽取两件，所有情况共15种：，，，，，，，，，，，，，，，至少有一件“突变品”的所有情况共9种：，，，，，，，，，记从样本的“次品”中随意抽取两件，至少有一件“突变品”为事件，则.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为的等边三角形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过的右焦点作斜率为的直线与交于，两点，直线与轴交于点，为线段的中点，过点作直线于点.证明：，，三点共线.【答案】(I) (Ⅱ)见证明【解析】【分析】（Ⅰ）根据已知列出a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线的方程为，证明，即证，，三点共线.【详解】解：（I）记椭圆的焦距为，则，解得，.∴椭圆的方程为.（Ⅱ），设直线的方程为，代入椭圆方程，得，设，，则，，易知，，，，,∴，∴，，三点共线.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平分析推理能力.21.已知函数，，（常数且）.（Ⅰ）当与的图象相切时，求的值；（Ⅱ）设，若存在极值，求的取值范围.【答案】(I) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）设切点为，再利用导数的几何意义求出a的值；（Ⅱ）由题得，再对a分类讨论，利用导数分析函数极值情况得到的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）设切点为，，所以过点的切线方程为，即，所以，解得.（Ⅱ）依题意，，，当a＞0时，令，则，令，，令，，所以，当时，单调递减；当时，单调递增.若存在极值，则，即，又时，，所以，时，在存在零点，且在左侧，在右侧，即存在变号零点.当a＜0时，当时，单调递增；当时，单调递减.若存在极值，则，即，又时，，所以，时，在存在零点，且在左侧，在右侧，即存在变号零点.所以，若存在极值，.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（且）.（I）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知是直线上的一点，是曲线上的一点，，，若的最大值为2，求的值. 【答案】(I) ；. (Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用参数方程、极坐标方程和普通方程互化的公式求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）先利用极坐标方程求出，，再求出，即得，解之即得a的值.【详解】解：（I）消去参数，得直线的普通方程为，由，，得直线的极坐标方程为，即.曲线的极坐标方程为（且），即，由，，得曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）∵在直线上，在曲线上，∴，，∴∴，.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】(I) 最大值为1. (Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用绝对值三角不等式求函数的最大值；（Ⅱ）利用函数f(x)的单调性化简得，再解不等式得解.【详解】解：（Ⅰ）函数可化为，由，即时“=”成立，所以原函数取得最大值为1.（Ⅱ）函数在上单调递增，∵，，，∴，即，所以，∴.即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，考查函数单调性的应用和绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次质量检测（三模)数学（文)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{|A x y ==，(0,1)B =，则A B =I （ ）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1,1)-D ．[1,1]-2．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a =v，3b =v ，且a v 与b v 的夹角为3π，则2a b +=v v （ ）A ．5BC ．7D ．374．已知实数x ，y 满足205y x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则1yz x =+的最大值为（ ）A ．512B ．57C ．54D ．535．下图的程序框图的算法思路源于我国 古代数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”.已知正整数n 被 3除余2， 被7除余4，被8除余5，求n 的最小值.执行该程序框图，则输出的n =（ ）6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A ．18 B ．12 C ．10D ．97．已知函数2,0()21,0x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，若2(1)(1)f a f a -≥-+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,1]-B ．[1,2]-C ．(,2][1,)-∞-+∞UD ．(,1][2,)-∞-+∞U8．已知函数13()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点(2,3)P 在双曲线上，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则该双曲线的方程为（ ） A ．221x y -=B ．22123x y -=C ．2213y x -=D ．221164x y -=10．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．6411．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若n k T >恒成立，则k 的最小值为（ ） A ．17B ．149C ．49D ．844112．若函数()(1)ln 2(1)1x f x e m x m x =-+++-恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2(e ,e)-- B ．(,)2e -∞-C ．1(,)2-∞-D ．(,1)e -∞--第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知函数()32f x x 2x =+，则曲线()y f x =在点()()1,f 1--处的切线方程为________．14．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101181364a a a a +=，则2122220log log log a a a +++=L ______．15．正四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值_____.16．已知直线20x y +-=与圆O ：222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且35AD DB =u u u v u u u v，则r =______．三、解答题17．如图，四边形ABCD中，AC =，4AB =，3ABC π∠=.（1）求ACB ∠； （2）若23ADC ∠=π，四边形ABCD 的周长为10，求四边形ABCD 的面积.18．已知平面多边形PABCD 中，AP PD =，224AD DC BC ===，//AD BC ，AP PD ⊥，AD DC ⊥，E 为PD 的中点，现将三角形APD 沿AD 折起，使22=PC .（1）证明：//CE 平面PAB ； （2）求三棱锥P BCE -的体积.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，O 为坐标原点，(2,0)F -为椭圆C 的左焦点，离心率为2，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若(1,1)M 是弦AB 的中点，P 是椭圆C 上一点，求PAB ∆的面积最大值. 20．已知函数21()ln 2f x x a x =-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a >，函数()f x 在区间(1,)e 上恰有两个零点，求a 的取值范围. 21．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为122x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设曲线2C 经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩得到曲线3C ，(,)M x y 是曲线3C 上任意一点，求点M 到曲线1C 的距离的最大值. 22．[选修4-5：不等式选讲]已知()1f x x =+，()2g x x a =+.（1）当1a =-时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若存在x R ∈使得()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】求出集合A ，利用交集运算直接求解。