第4讲14表格单纯形法的计算步骤

单纯形法表的解题步骤单纯形法表结构如下：j c →对应变量的价值系数i θB Cb Xb1x 2x 3x " j x基变量的价值系数基变量 资源列θ规则求的值j σ检验数①一般形式若线性规划问题标准形式如下：123451231425max 23000284164120,1,2,5j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩"取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。

这样就得到初始可行基解：()()00,0,8,16,12TX =。

将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表1-1所示：表 1-1 ()()00,0,8,16,12TX =j c →2 3 0 0 0i θB C b X b1x 2x 3x 4x 5x0 3x 8 1 2 1 0 0 4 04x16 4 0 0 1 0 -5x12 0 [4] 0 0 1 3j σ2 3 0 0 0若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。

选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。

修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。

修改后的单纯形表如表1-2所示：表 1-2 ()()10,3,2,16,0TX =检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：表 1-3 ()()22,3,0,8,0TX =表1-3中， 50σ>，则继续进行调整，调整结果如表1-4所示：表 1-4 ()()34,2,0,0,4TX =检验数0j σ≤，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解：()()3*4,2,0,0,4TX X ==*14z =②带人工变量现有线性规划问题：12312312313123min 321142321,,0z x x x x x x x x x x x x x x =−++−+≤⎧⎪−++≥⎪⎨−+=⎪⎪≥⎩ 将上述线性规划问题用大M 法求解，在约束条件中加入松弛变量4x ，剩余变量5x ，人工变量6x ，7x 得到：1234567123412356137min 300211423210,1,2,,7j z x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x x j =−++++++−++=⎧⎪−++−+=⎪⎨−++=⎪⎪≥=⎩"其中，M 是一个任意大的正数。

第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。

但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。

这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。

4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。

（1）第一种情况：若线性规划问题max z =从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。

经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ⋯ , m; j = 1 , 2 , ⋯ , n)进行编号, 则可得下列方程组显然得到一个m×m单位矩阵以B 作为可行基。

将上面方程组的每个等式移项得令由上式得又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。

即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。

4.2 最优性检验和解的判别对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。

一般情况下, 经过迭代后可以得到：将上代入目标函数，整理后得令于是再令则(1) 最优解的判别定理若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。

称为检验数。

(2) 无穷多最优解的判别定理若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。

(3) 无界解判别定理若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ⋯, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。

单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。

它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。

本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。

步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。

线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。

决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。

步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。

标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。

如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。

步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。

它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。

初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。

2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。

3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。

步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。

基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。

2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。

3. 剩余的变量作为非基变量。

步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。

计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。

2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。

步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。

如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。