2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级(上)期中数学试卷 解析版

2021-2022学年上海市徐汇区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．如表列出的是二次函数的自变量x与函数y的对应值，下列各选项中正确的是（）x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大3．下列命题中是假命题的是（）A．若＝，＝，则＝B．2（﹣）＝2﹣2C．若＝﹣，则∥D．若||＝||，则＝4．一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，则下列结果不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．b2﹣4ac＞0D．a+b+c＜05．如图，△ABC中，DE∥BC，BE交CD于点O，以下结论正确的个数为（）（1）△BOD∽△COE；（2）S△BOD＝S△COE；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（）A．a•sinα+b•sinαB．a•cosα+b•cosαC．a•sinα+b•cosαD．a•cosα+b•sinα二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果＝，那么的值等于．8．上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约厘米．9．将二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式是．10．某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝．11．如果二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+m的图象经过坐标原点，那么m的值为．12．计算：2cos30°+tan45°﹣2sin30°﹣cot30°＝．13．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+5图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．14．已知P为线段MN上一点，且PM为MN、PN比例中项，若MN＝4，则PM ＝．15．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则BC的长为．16．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设，如果，那么＝．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（0，1），过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝3AC，则点A的坐标为．18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线中，较短的那条长为（只需写出一种情况即可）．三、解答题：（本大题共7题，满分0分）19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cos A的值．20．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．21．已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果，求△DEF与△ABD的周长比．22．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．23．已知：如图，D为AB边上一点，AC2＝AD•AB，AE⊥BC，与CD交于点G，AF⊥CD．（1）求证：；（2）联结EF，若AF平分∠DAG，求证：．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P 坐标．25．如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，AC＝8，BC＝6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．①求证：AE∥BC；②若EF＝CF，求BD的长；（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝12，∴sin A＝＝，故选：B．2．如表列出的是二次函数的自变量x与函数y的对应值，下列各选项中正确的是（）x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；B．与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故B选项不符合题意；C．当x＝时，函数有最小值为﹣＜6，故C选项符合题意；D．函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意．故选：C．3．下列命题中是假命题的是（）A．若＝，＝，则＝B．2（﹣）＝2﹣2C．若＝﹣，则∥D．若||＝||，则＝【分析】根据相等向量，平行向量，向量的乘法等知识，一一判断即可．解：A、若＝，＝，则＝，正确，本选项不符合题意．B、2（﹣）＝2﹣2，正确，本选项不符合题意．C，若＝﹣，则∥，正确，本选项不符合题意．D、若||＝||，则＝，模相等，向量不一定相等，错误，本选项符合题意．故选：D．4．一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，则下列结果不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．b2﹣4ac＞0D．a+b+c＜0【分析】根据抛物线开口方向即可判断A；根据对称轴的位置即可判断B；根据抛物线与x轴的交点情况即可判断C；结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，即可判断D．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；故A正确；∵对称轴在y轴的左侧，∴a、b同号，∴b＜0，故B不正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0；故C正确；由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，即a+b+c＜0，故D正确；故选：B．5．如图，△ABC中，DE∥BC，BE交CD于点O，以下结论正确的个数为（）（1）△BOD∽△COE；（2）S△BOD＝S△COE；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证明△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得出答案．解：①∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴BO：OE＝OC：OD＝2：1，∴对△BOD和△COE来说不存在两组对边成比例，故△BOD和△COE不一定相似，故①错误．②∵DE∥BC，∴S△BCD＝S△BCE，∴S△BOD＝S△COE，故②正确；③∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，∴，，∴，∵，∴；故③正确；④由③可知．故④错误．故选：B．6．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（）A．a•sinα+b•sinαB．a•cosα+b•cosαC．a•sinα+b•cosαD．a•cosα+b•sinα【分析】作AE⊥OB交OB的延长线于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BOC中解直角三角形可求出点A到OC的距离．解：如图，作AE⊥OB交OB的延长线于点E，∵OC⊥OB，∴∠AEB＝∠BOC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠OBC＝∠BCO＝α，∵＝cos∠ABE＝cosα，∴BE＝AB•cosα＝a•cosα，∵＝sin∠BCO＝sinα，∴OB＝BC•sinα＝b•sinα，∴OE＝BE+OB＝a•cosα+b•sinα，∵AE∥OC，∴点A、点E到OC的距离相等，∴点A到OC的距离等于a•cosα+b•sinα，故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果＝，那么的值等于．【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．解：由＝，得a＝．当a＝时，＝＝＝，故答案为：．8．上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约7厘米．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离．解：设图上距离为x厘米，则1：5000000＝x：35000000，所以x＝7（厘米）．上海与南京的图上距离约7厘米．故答案为7．9．将二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式是y＝2x2+3．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．解：二次函数y＝2（x﹣1）2+3图象向左平移1个单位后，得：y＝2x2+3．10．某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝1：．【分析】根据坡度的定义，竖直距离与水平距离的比．解：由勾股定理得：＝100米，∴坡度i＝＝1：．故答案为：1：．11．如果二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+m的图象经过坐标原点，那么m的值为12．【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可．解：把原点（0，0）代入解析式，得﹣12+m＝0，解得，m＝12，故答案为：12．12．计算：2cos30°+tan45°﹣2sin30°﹣cot30°＝0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．解：原式＝2×+1﹣2×﹣＝+1﹣1﹣＝0．故答案为：0．13．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+5图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＞y2（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．【分析】将x＝﹣3和x＝0分别代入函数解析式求得y的值，然后比较大小．解：当x＝﹣3时，y1＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）+5＝20，当x＝0时，y2＝5，∴y1＞y2．故答案为：y1＞y2．14．已知P为线段MN上一点，且PM为MN、PN比例中项，若MN＝4，则PM＝2﹣2．【分析】根据PM为MN、PN比例中项得出PM2＝MN×PN，再把MN＝4代入，即可求出答案．解：∵PM为MN、PN比例中项，∴PM2＝MN×PN，∵MN＝PM+PN＝4，∴PM2＝4×（4﹣PM），解得：PM＝2﹣2（负数舍去），故答案为：2﹣2．15．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则BC的长为12．【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG ＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．解：如图，延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG＝4，∴点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，∴BC＝2AD＝12．故答案为：12．16．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设，如果，那么＝．【分析】根据三角形法则求得和，结合图形易求，然后求比值．解：∵，∴＝﹣＝﹣．∵＝，，∴＝﹣＝+﹣＝﹣＝（﹣）．∴＝﹣＝﹣﹣（﹣）＝﹣＝（﹣）．∴＝．故答案是：．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（0，1），过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝3AC，则点A的坐标为（﹣，）．【分析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE ＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），即可得到3m2＝1，解得m的值，即可求得A的坐标．解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴AD∥BE，∴，∵CB＝3AC，∴CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），∴OD＝m2，OE＝9m2，∴ED＝8m2，而CE＝3CD，∴CD＝2m2，OC＝3m2，∴C（0，3m2），∵点C的坐标为（0，1），∴3m2＝1，∴m2＝，∴﹣m＝﹣，∴A（﹣，）．故答案为：（﹣，）．18．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线中，较短的那条长为（只需写出一种情况即可）．【分析】根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；根据∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，得出方程组，解方程组即可．解：如图2所示，CD、AE就是所求的三分线．设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y＝2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x＝（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即较短的那条长为．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分0分）19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cos A的值．【分析】过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，利用等腰三角形的性质得出BE，进而利用三角形的面积得出BD，进而解直角三角形即可．解：过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝3，∴AE＝，∴三角形ABC的面积＝AC•BD＝BC•AE，即，∴AD＝，∴cos A＝＝．20．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．【分析】（1）利用交点式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，进而得出答案．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）向左平移2﹣（﹣1）＝3个单位，平移后抛物线的顶点为（﹣1，1）落在直线y＝﹣x上，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1．也可以向下平移三个单位得到顶点落在y＝﹣x上．21．已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果，求△DEF与△ABD的周长比．【分析】（1）根据平行线分线段成比例推出，从而推出，则有EF∥BD；（2）根据平行线的性质得到∠DFE＝∠ADB、△CEF∽△CBD，∠FDE＝∠A、△DFE ∽△ADB从而根据相似三角形的性质推出，．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，∴，∵CD2＝CF•CA，∴，∴，∴EF∥BD；（2）∵EF∥BD，∴∠DFE＝∠ADB，△CEF∽△CBD，∴，∵DE∥AB，∴∠FDE＝∠A，∴△DFE∽△ADB，∵，∴．22．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．【分析】（1）当∠ANB＝45°时，根据等腰三角形的性质可得∠NMB＝90°．再根据等腰直角三角形的性质和三角函数可得BN的长度，根据CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN即可求解；（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．根据三角函数可得BN＝2BE＝12cm，CB＝AN＝20cm，依此即可作出判断．解：（1）当∠ANB＝45°时，∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝45°，∴∠NMB＝180°﹣∠ANB﹣∠B＝90°．在Rt△NMB中，sin∠B＝，∴BN＝＝＝12cm．∴CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN＝（20﹣12）cm．（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝30°在Rt△BEM中，cos∠B＝，∴BE＝MB cos∠B＝（AN﹣AM）cos∠B＝6cm．∵MB＝MN，ME⊥CB，∴BN＝2BE＝12cm．∵CB＝AN＝20cm，且12＞20，∴此时N不在CB边上，与题目条件不符．随着∠ANB度数的减小，BN长度在增加，∴倾斜角不可以小于30°．23．已知：如图，D为AB边上一点，AC2＝AD•AB，AE⊥BC，与CD交于点G，AF⊥CD．（1）求证：；（2）联结EF，若AF平分∠DAG，求证：．【分析】（1）先由AC2＝AD•AB得到△ADC∽△ACB，从而得到∠ADC＝∠ACB，然后结合AE⊥BC，AF⊥CD得到∠AFD＝∠AEC＝90°，从而得证△AFD∽△AEC，最后利用相似三角形的性质得证结果；（2）先由AF⊥CD、AF平分∠DAG得到DF＝FG，然后得到△GFA∽△GEC，得到EG：FG＝EC：FA，结合（1）中的△AEC∽△AFD得到AE：AF＝EC：FD，从而得证结果．【解答】证明：（1）∵AC2＝AD•AB，∴AC：AB＝AD：AC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴∠ADC＝∠ACB，＝，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFD＝90°，∴△AFD∽△AEC，∴＝，∵＝，∴＝．（2）∵AF⊥CD，AF平分∠DAG，∴DF＝GF，∠AFG＝∠GEC＝90°，∵∠AGF＝∠AGE＝90°，∴△CGE∽△AGF，∴＝，∵由（1）得，△AEC∽△AFD，∴＝，∴：＝：，化简得，＝，∵DF＝GF，∴．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P 坐标．【分析】（1）由点A（2，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx﹣1，代入即可；（2）由于点C是直线y＝x+1和抛物线对称轴x＝1的交点，确定出点C的坐标，再根据△BCD∽△ABC得到BC2＝CD×AB，CD的长，从而求出点D坐标即可；（3）设直线DE交y轴于F，连接BF，先证明∠OBF＝∠CBF＝45°，即∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，再证明tan∠DBF＝＝3，接下来连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，设HD＝x，则GH＝3x，由DF＝4x＝3得x＝，可求G（0，），此时求出DG解析式，再与抛物线联立即可求得P的坐标．解：（1）∵点A（2，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx﹣1上，∴4a+2b﹣1＝﹣1，∴＝1，∴对称轴为x＝1，∴B（1，0）；（2）∵直线y＝x+1与此抛物线的对称轴x＝1交于点C，∴C（1，2），∴BC＝2，∵∠DEB＝45°，∠xBA＝45°，∴∠BCD＝∠CBA＝135°，∵∠BDC＝∠ACB，∴△BCD∽△ABC，∴BC2＝CD×AB，∴CD＝2，设点D（m，m+1），∵C（1，2），∴（m﹣1）2+（m+1﹣2）2＝（2）2，∴m＝3或m＝﹣1（舍），∴D（3，4），∵点D在抛物线y＝ax2+bx﹣1上，∴9a+3b﹣1＝4，∵4a+2b﹣1＝﹣1，∴a＝，b＝﹣，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣1；（3）如图，设直线DE交y轴于F，连接BF，∵直线CD：y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，∴F（0，1），E（﹣1，0），∴OF＝1＝OB，OE＝OF＝1，∴∠OBF＝∠CBF＝45°，∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，∵∠CFB＝∠OEF+∠OBF，∴∠CFB＝90°，∵BF＝＝，FD＝＝3，∴tan∠DBF＝＝3，∴tan∠PDC＝3，连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，∴tan∠PDC＝＝3，设HD＝x，则GH＝3x，∵∠GFH＝∠OFE＝45°，∴GH＝FH＝3x，∴DF＝4x＝3，解得x＝，∵GF＝＝3x，∴GF＝，∴GO＝+1＝，∴G（0，），设直线PD：y＝kx+，代入点D（3，4），得k＝，∴直线PD：y＝x+，令y＝x+＝x2﹣x﹣1，整理得10x2﹣17x﹣39＝0，解得x＝3或，∴P的坐标为（，）．25．如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，AC＝8，BC＝6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．①求证：AE∥BC；②若EF＝CF，求BD的长；（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．【分析】（1）①先证明△ABC∽△ECD，再证明△CAF∽△DEF，△AFE∽△CFD，推导出∠FAE＝∠B，得AE∥BC；②由△AFE∽△BFC，得，依次求出AB、AE、AF、BF的长，再根据勾股定理求出CE的长，再求出BD的长；（2）分三种情况讨论，一是PE＝CE，可证明△PAD≌△CBD，求出AP的长，在Rt△EAC中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是PC＝EC，可证明BD＝BC＝6，则AE＝AP＝AD＝4，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是PE＝PC，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线BA没有交点．【解答】（1）①证明：如图1，∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝∠CED，∴△ABC∽△ECD，∴∠B＝∠ECD，∵∠CAF＝∠DEF，∠AFC＝∠EFD，∴△CAF∽△DEF，∴，∴AF•DF＝EF•CF，，∵∠AFE＝∠EFD，∴△AFE∽△CFD，∴∠FAE＝∠ECD，∴∠FAE＝∠B，∴AE∥BC．②如图1，∵EF＝CF，∴，∵△AFE∽△BFC，∴，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∴AE＝BC＝×6＝3，AF＝AB＝×10＝，BF＝AB＝×10＝，∵∠EAC＝180°﹣∠ACB＝90°，∴CE＝＝，∴EF＝CE＝，CF＝CE＝，∴DF＝×，解得DF＝，∴BD＝BF﹣DF＝﹣＝．（2）如图2，PE＝CE，∵DE⊥PC，∴PD＝CD，∵AP∥BC，∴∠P＝∠BCD，∠PAD＝∠B，∴△PAD≌△CBD（AAS），∴AP＝BC＝6，∴CE＝PE＝AE+6，∵AE2+AC2＝CE2，∴AE2+82＝（AE+6）2，∴AE＝，∵AE∥BC，∴，∴，∴BF＝；如图3，PC＝EC，∵AC⊥PE，∴AP＝AE，∠ACE＝∠ACP，设DE交AC于点G，∵∠CEG＝∠DAG，∠CGE＝∠DGA，∴△CEG∽△DAG，∴∠ACE＝∠ADE＝∠ACP，∵∠BDC+∠ADE＝90°，∠BCD+∠ACP＝90°，∴∠BDC＝∠BCD，∴BD＝BC＝6，∵∠ADP＝∠BDC，∠P＝∠BCD，∴∠ADP＝∠P，∴AE＝AP＝AD＝10﹣6＝4，∵△FAE∽△FBC，∴，∴，∴BF＝30；如图4，PE＝PC，则∠AEC＝∠DCE，∵∠CAE＝∠EDC＝90°，CE＝EC，∴△ACE≌△DEC，∴∠ACE＝∠DEC＝∠BAC，∴CE∥AB，∴射线CE与射线BA没有交点，综上所述，BF的长为或30．。

2020-2021上海市初三数学上期中模拟试题(附答案)一、选择题1．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130° 2．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（﹣5，﹣3） B ．（﹣2，0） C ．（﹣1，﹣3） D ．（1，﹣3）3．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．6．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4)7．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 8．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）A ．49B ．13C ．29D ．199．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 10．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 212．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA 'B ′C '的位置，则点B '的坐标为_____．14．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．15．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．16．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<o o，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.17．已知点C 在以AB 为直径的半圆上，连结AC 、BC ，AB ＝10，BC ：AC ＝3：4，阴影部分的面积为_____．18．如图，从一个直径为1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m ．19．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm20．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．三、解答题21．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣5，1），B （﹣2，2），C （﹣1，4），请按下列要求画图：（1）将△ABC 先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）画出与△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2，并直接写出点A 2的坐标．23．工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？24．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．25．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价 的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理2．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。

2020-2021上海上海第中学九年级数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1B ．1C ．-4D ．4 2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150° 3．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定 4．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( ) A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x += 5．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）A ．310B ．925C ．425D ．1106．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 7．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．28．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间9．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 10．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ）A ．m ＝3，n ＝2B ．m ＝﹣3，n ＝2C ．m ＝2，n ＝3D ．m ＝﹣2，n ＝﹣3 11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，60B ∠=，1BC =，''A B C 由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、'B 、'A 在同一条直线上，则'AA 的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ． 4312．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.14．已知1x =是关于x 的方程2230ax x -+=的一个根，则a =__________． 15．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=16．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为__．17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．19．用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm ．20．如图，O 是ABC 的外接圆，30C ∠=，2AB cm =，则O 的半径为________cm ．三、解答题21．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数. 购买件数销售价格 不超过30件单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元23．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第 x 天的成本 y（元/件）与 x （天）之间的关系如图所示，并连续 60 天均以 80 元/件的价格出售， 第 x 天该产品的销售量 z （件）与 x （天）满足关系式 z ＝x +15．（1）第 25 天，该商家的成本是 元，获得的利润是 元；（2）设第 x 天该商家出售该产品的利润为 w 元．①求 w 与 x 之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？24．如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12cm ，点D 从点A 出发沿边AB 以2cm /s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC （点E 、F 分别在AC 、BC 上）．设点D 移动的时间为t 秒．（1）试判断四边形DFCE 的形状，并说明理由；（2）当t 为何值时，四边形DFCE 的面积等于20cm 2？（3）如图2，以点F 为圆心，FC 的长为半径作⊙F ，在运动过程中，当⊙F 与四边形DFCE 只有1个公共点时，请直接写出t 的取值范围．25．解方程：2411231x x x -=+--【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．【详解】解：根据题意可得：△=2(4) －4×4c=0，解得：c=1 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式． 2．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD 即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD ，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，3．C解析：C【解析】【分析】把x 1代入方程ax 2+2x+c=0得ax 12+2x 1=-c ，作差法比较可得．【详解】∵x 1是方程ax 2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax 12+2x 1+c=0，即ax 12+2x 1=-c ，则M-N=（ax 1+1）2-（2-ac ）=a 2x 12+2ax 1+1-2+ac=a （ax 12+2x 1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N ＜0，∴M ＜N ．故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．5．A解析：A【解析】【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝620＝310．故选：A．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．6．D解析：D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角， ∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D7．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m 2+1=2，求出m 的值即可．【详解】∵关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，∴m 2+1=2且m-1≠0，解得：m=-1，故选：B ．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0． 8．B解析：B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W=（x-28）（80-y ）-5000()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎭ 2112984164x x =-+-()2125882254x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．9．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x-1=0，x 2-4x=1，x 2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】根据“关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答．【详解】∵点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，∴m ＝﹣3，n ＝2．故选：B ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．11．A解析：A【解析】【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．【详解】∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×1=2，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴△CAA′为等腰三角形，∴∠CAA′=∠A′=30°，∵A、B′、A′在同一条直线上，∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，∴∠B′CA=60°-30°=30°，∴B′A=B′C=1，∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．12．D解析：D【解析】【分析】分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可．【详解】解：A、∵方程M有两个不相等的实数根，∴△＝b2−4ac＞0，∵方程N的△＝b2−4ac＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故不符合题意；B、把x＝4代入ax2＋bx＋c＝0得：16a＋4b＋c＝0，∴110164c b a ++=， ∴即14是方程N 的一个根，故不符合题意； C 、∵方程M 有两根符号相同， ∴两根之积c a＞0， ∴a c ＞0，即方程N 的两根之积＞0， ∴方程N 的两根符号也相同，故本选项不符合题意；D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根也可以是x ＝－1，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题13．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a −b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a=−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 14．-1【解析】试题解析：把代入得解得：故答案为 解析：-1【解析】试题解析：把1x =代入2230ax x -+=，得，230.a -+=解得： 1.a =-故答案为 1.-15．-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-bax1x2=ca 整理原式即可得出关于a 的方程求出即可试题解析：∵关于x 的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1解析：-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-，x 1x 2=，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可．试题解析：∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2， ∴x 1+x 2=，x 1x 2=，依题意△＞0，即（3a+1）2-8a （a+1）＞0，即a 2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x 1+x 2-x 1x 2=1-a ，∴-=1-a ，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．16．3【解析】连接OB∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形∴∠BOM==30°∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3故答案为：3解析：33【解析】连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM=36062︒⨯=30°，∴OM=OB•cos∠BOM=6×32=33，故答案为：33.17．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰解析：1 6【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16，故答案为：16． 【点睛】 本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．18．【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k 由已知条件可得h=2k=9再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6求出a 的值即可【详解】解：由题意设此抛物线的解析式为：y=a （x-2）2+9解析：2(2)9y x =--+【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k ，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6，求出a 的值即可．【详解】解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a （x-2）2+9，∵且它在x 轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a （x-2）2+9，即：ax 2-4ax+4a+9=0，∵抛物线ya （x-2）2+9在x 轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x 1，x 2，∴x 1+x 2=4，x 1•x 2=49a a+ ，∴|x 1-x 26=即16-4×49a a+=36 解得：a=-1，y=-（x-2）2+9，故答案为：y=-（x-2）2+9．【点睛】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根．19．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r 则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】 解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r ，则2πr=6π，则r=3． 故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算． 20．2【解析】【分析】作直径AD 连接BD 得∠ABD=90°∠D=∠C=30°则AD=4即圆的半径是2（或连接OAOB 发现等边△AOB）【详解】作直径AD 连接BD 得：∠ABD=90°∠D=∠C=30°∴A解析：2【解析】【分析】作直径AD ，连接BD ，得∠ABD =90°，∠D =∠C =30°，则AD =4．即圆的半径是2．（或连接OA ，OB ，发现等边△AOB ．）【详解】作直径AD ，连接BD ，得：∠ABD =90°，∠D =∠C =30°，∴AD =4，即圆的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理．能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．三、解答题21．(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.【解析】【分析】（1）根据题意设平均增长率为未知数x ，再根据题意建立方程式求解.（2）根据题意设每碗售价为未知数y ，再根据题意建立方程式求解.【详解】(1)设平均增长率为x ，则2201)28.8x （+=解得：10.220%x == 2 2.2x =-(舍)·答：年平均增长率为20%(2)设每碗售价定为y 元时，每天利润为6300元()6y -[300+30(25-y )]=6300·解得：120y = 221y =·∵每碗售价不超过20元，所以20y =.【点睛】本题考查了在实际生活中对方程式的建立及求解，熟练掌握方程式的实际运用是本题解题关键.22．王老师购买该奖品的件数为40件．【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．试题解析：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x 件，则每件商品的价格为：[40﹣（x ﹣30）×0.5]元，根据题意可得： x[40﹣（x ﹣30）×0.5]=1400，解得：x 1=40，x 2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．考点：一元二次方程的应用．23．（1）35，1800；（2）①250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩；②第27或28天的利润最大，最大为1806元．【解析】【分析】（1）根据已知条件可知第25天时的成本为35元，此时的销售量为40，则可求得第25天的利润．（2）①利用每件利润×总销量＝总利润，分当0＜x≤20时与20＜x≤60时，分别列出函数关系式；②利用一次函数及二次函数的性质即可解答．【详解】解：（1）由图象可知，此时的销售量为z ＝25＋15＝40（件），设直线BC 的关系为y ＝kx ＋b ，将B （20,30）、C （60,70）代入得：20306070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k=1，b=10， ∴y ＝x ＋10，∴第 25 天，该商家的成本是y=25+10=35（元）则第25天的利润为：（80−35）×40＝1800（元）； 故答案为：35，1800；（2）①当0＜x≤20时，(8030)(15)50750w x x =-+=+；当20＜x≤60时，2[80(10)](15)551050w x x x x =-++=-++，∴ 250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩②当0＜x≤20时，∵50＞0，w 随x 的增大而增大，∴当x=20时，w=50×20+750=1750（元）， 当20＜x≤60时，2551050w x x =-++，∵-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为552x =， 当x=27与x=28时，227552*********w =-+⨯+=（元）∵1806＞1750，∴第27或28天的利润最大，最大为1806元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题，常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．24．（1）平行四边形，理由见解析；（2）1秒或5秒；（3）12﹣＜t ＜6【解析】【分析】（1）由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形DFCE 是平行四边形；（2）设点D 出t 秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2，利用BD ×CF ＝四边形DFCE 的面积，列方程解答即可；（3）如图2中，当点D 在⊙F 上时，⊙F 与四边形DECF 有两个公共点，求出此时t 的值，根据图象即可解决问题．【详解】解：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DFCE 是平行四边形；（2）如图1中，设点D 出发t 秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2，根据题意得， DE ＝AD ＝2t ，BD ＝12﹣2t ，CF ＝DE ＝2t ，又∵BD ×CF ＝四边形DFCE 的面积， ∴2t （12﹣2t ）＝20，t 2﹣6t +5＝0，（t ﹣1）（t ﹣5）＝0，解得t 1＝1，t 2＝5；答：点D 出发1秒或5秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2；（3）如图2中，当点D 在⊙F 上时，⊙F 与四边形DECF 有两个公共点，在Rt △DFB 中，∵∠B ＝90°，AD ＝DF ＝CF ＝2t ，BD ＝BF ＝12﹣2t ，∴2t 2（12﹣2t ），∴t ＝12﹣2，由图象可知，当12﹣2＜t ＜6时，⊙F 与四边形DFCE 有1个公共点．【点睛】本题考查圆综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25．4x =-【解析】【分析】方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可．【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11x -， 去分母，得：24(23)3x x x -+-=+，整理，得：x 2＋3x －4＝0，解得：x 1＝－4，x 2＝1．经检验：x 2＝1是增根，舍去，∴原方程的解是4x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．。

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝．2．计算：＝．3．已知复数z满足＝i，i为虚数单位，则z＝．4．已知函数y＝x3，则此函数的反函数是．5．已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．6．已知行列式，则＝．7．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，则＝．9．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）．10．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为．11．已知点M、N在以AB为直径的圆上．若AB＝5，AM＝3，BN＝2，则＝．12．已知球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点D为BC 的中点，且PD＝，则球O的体积为．二、选择题（共4小题）.13．下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．15．对于函数f（n）＝（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）＝0（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（）A．f（n+1）﹣f（n）＝1B．f（n+k）＝f（n）（k∈N*）C．αf（n）＝f（n+1）+αf（n）（α≠0）D．αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．18．已知函数（a为实常数）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x∈[1，5]，不等式恒成立，求实数u的最大值．19．某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60°的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P、Q分别在弧、线段OA上．（1）若组成的红旗是长PN与宽MN的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；（2）求组成的红旗图案的最大面积．20．已知抛物线y2＝2px（p＞0），其准线方程为x+1＝0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．21．设数列{a n}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在k∈N*，使得a m、a m+k、a m+2k 成等比数列，则称数列{a n}为“D k型”数列．（1）若{a n}是“D1型”数列，且，求的值；（2）若{a n}是“D2型”数列，且a1＝a2＝a3＝1，a8＝8，求{a n}的前n项和S n；（3）若{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列{a n}是等比数列．参考答案一、填空题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝{x|0≤x≤2}．解：集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝{x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}2．计算：＝．解：＝＝﹣．故答案为：﹣．3．已知复数z满足＝i，i为虚数单位，则z＝1﹣2i．解：∵＝i，∴＝i，∴z＝＝＝1﹣2i．故答案为：1﹣2i．4．已知函数y＝x3，则此函数的反函数是（x∈R）．解：函数f（x）＝x3，反函数为（x∈R）．故答案为：（x∈R）．5．已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1．解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）．z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．6．已知行列式，则＝3．解：∵＝1×﹣2×+3×＝3×，∴＝3，故答案为：3．7．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号．解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45＝x+32，x＝6+45﹣32＝19因此，另一学生编号为19．故答案为：19号．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，则＝8．解：数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，q＝＝＝．所以a1（）＝3，解得a1＝4，S n＝，则＝＝＝8．故答案为：8．9．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）．解：某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，基本事件总数n＝34＝81，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m＝＝36，则每个项目都有该校教师参加的概率为p＝＝．故答案为：．10．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为．解：设M（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），c2＝a2﹣3，过原点O且倾斜角为60°的直线方程为，联立，消去y得，，∴，∵，∴，即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，y0）＝0，∴，化简整理得，a4﹣6a2﹣3＝0，解得，∴，∴椭圆C的长轴长为．故答案为：．11．已知点M、N在以AB为直径的圆上．若AB＝5，AM＝3，BN＝2，则＝12．解：连接BM，BN，因为AB为直径，所以∠AMB＝∠ANB＝90°，又因为AB＝5，AM＝3，BN＝2，∴BM＝＝4；∴•＝•（﹣）＝•﹣•＝﹣•+•＝||•||cos∠ABM﹣||•||•cos∠ABN＝﹣＝42﹣22＝12．故答案为：12．12．已知球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点D为BC 的中点，且PD＝，则球O的体积为．解：如图，由条件可得△PAB为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形，因为D为BC的中点，所以AD＝，由于PA2+AD2＝PD2，所以∠PAD＝90°，∠PAB ＝90°，则PA⊥底面ABC，球心O到面ABC的距离为OE＝AH＝1，AE＝，所以球O的半径OA＝＝，所以球的体积为V＝＝．故答案为：．二、选择题13．下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．解：对于A，当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故选项A错误；对于B，因为（a+b）2≥0，所以a2+b2+2ab≥0，则a2+b2≥﹣2ab，故选项B正确；对于C，当a＜0，b＜0时，不等式不成立，故选项C错误；对于D，当a＝0，b＝﹣1时，不等式不成立，故选项D错误．故选：B．14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．解：f（x）＝sin x+a cos x＝（sin x•+cos x•），设cosθ＝，sinθ＝，则tanθ＝a，即f（x）＝sin（x+θ），∵f（x）的图象关于直线对称，∴+θ＝kπ+，k∈Z，则θ＝kπ+，k∈Z，∵a＝tanθ＝tan（kπ+）＝tan＝1，故选：A．15．对于函数f（n）＝（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）＝0（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（）A．f（n+1）﹣f（n）＝1B．f（n+k）＝f（n）（k∈N*）C．αf（n）＝f（n+1）+αf（n）（α≠0）D．αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）解：当n＝1，2，3，4，…时，f（n）＝的函数值为：1，0，1，0，…对于A：f（2）﹣f（1）＝﹣1，故A不成立；对于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故错；对于C：n为偶数，则αf（n）＝1，f（n+1）+αf（n）＝1；n为奇数，则αf（n）＝α，f（n+1）+αf（n）＝α；∴C正确；对于D：αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故错；故选：C．16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣，所以函数f（x）的图象如图．g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点，即函数f（x）与函数y＝x+b有三个交点，当直线y＝x+b与函数f（x）图象在（0，1）上相切时，即＝x+b有2个相等的实数根，即x2+bx﹣1＝0有2个相等的实数根．由△＝0求得b＝，数形结合可得g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点时，实数b满足﹣＜b＜，故此式要求的b的集合为（﹣，）．再根据函数f（x）的周期为4，可得要求的b的集合为（4k﹣，4k+），k∈Z，故选：C．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．解：（1）由∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，得BC＝，∴．由三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，得，解得CC1＝6．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（，，0），B1（0，，2），C1（0，0，2）．，．设平面C1B1D的法向量为，由，取z＝1，得．平面A1B1C1的法向量．记二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为θ，则cosθ＝．∴二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为arccos．18．已知函数（a为实常数）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x∈[1，5]，不等式恒成立，求实数u的最大值．解：（1）当a≠2时，f（1）＝a﹣1，f（﹣1）＝a﹣3，故f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），于是f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；当a＝2时，f（x）+f（﹣x）＝2a﹣﹣＝2a﹣4＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故此时f（x）为奇函数；（2）由f（x）为奇函数，由（1）可得a＝2，则f（x）＝2﹣，由不等式f（x）≥，可得u≤2•3x﹣，可令3x+1＝t，t∈[4，244]，（因为x∈[1，5]），故u≤2（t﹣1）﹣＝2（t+）﹣6，由于函数φ（t）＝2（t+）﹣6的导数φ′（t）＝2（1﹣）＞0，可得φ（t）在[4，244]递增，所以φ（t）min＝φ（4）＝3，因此不等式在x∈[1，5]上恒成立时，u的最大值为3．19．某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60°的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P、Q分别在弧、线段OA上．（1）若组成的红旗是长PN与宽MN的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；（2）求组成的红旗图案的最大面积．解：（1）如图，连结OP，设NP＝3a，则MN＝2a，OM＝，因为OP2＝PN2+ON2，则有，解得，所以此国旗的面积为＝（m2）；（2）设∠POB＝α，则PN＝，OM＝，所以，故此国旗的面积为，整理可得，其中，因为，故，所以当且仅当时，，故组成的红旗图案的最大面积为（m2）．20．已知抛物线y2＝2px（p＞0），其准线方程为x+1＝0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．解：（1）由题意可知：准线方程x＝﹣1，则﹣＝﹣1，则p＝2，∴抛物线的标准方程为：y2＝4x，证明：若直线l的斜率不存在，则其方程为x＝t，代入y2＝4x得，A（t，2），B（t，﹣2），则•＝t2﹣4t，则若直线l的斜率存在，设其斜率为（k≠0），则l的方程为x＝my+t，联立，整理得：y2﹣4ky﹣4t＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4t，x1x2＝（my1+t）（my2+t）＝m2y1y2+mt（y1+y2）+t2＝t2．•＝x1x2+y1y2＝t2﹣4t，综上，•的值t2﹣4t与直线l倾斜角的大小无关；（2）设P（x，2），则丨PT丨2＝（x﹣t）2+（2﹣0）2＝x2﹣2（t﹣2）x+t2，（x＞0），由二次函数的性质可知：当对称轴x＝t﹣2＜0，即0＜t＜2时，当x＝0时，丨PT丨取最小值，最小值为t，当t﹣2≥0时，即x＝t﹣2时，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值为2，d（t）的解析式，d（t）＝．21．设数列{a n}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在k∈N*，使得a m、a m+k、a m+2k 成等比数列，则称数列{a n}为“D k型”数列．（1）若{a n}是“D1型”数列，且，求的值；（2）若{a n}是“D2型”数列，且a1＝a2＝a3＝1，a8＝8，求{a n}的前n项和S n；（3）若{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列{a n}是等比数列．解：（1）若{a n}是“D1型”数列，可得a m、a m+1、a m+2成等比数列，即有{a n}为等比数列，设公比为q，q＞0，且，可得q2＝，即q＝，则＝＝＝2；（2）若{a n}是“D2型”数列，可得a m、a m+2、a m+4成等比数列，可得数列的奇数项，偶数项成等比数列，当n为奇数时，a n＝1；当n为偶数时，a n＝2，当n为偶数时，前n项和S n＝+＝2﹣1+；当n为奇数时，前n项和S n＝+2﹣1；（3）证明：{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”1列，可得当m≥4时，a m﹣3，a m﹣1，a m+1，a m+3成等比数列；a m﹣3，a m，a m+3也成等比数列．从而当m≥4时，a m2＝a m﹣3a m+3＝a m﹣1a m+1．所以当n≥4时，a m2＝a m﹣1a m+1，即＝，即＝．当n≥4时，设q＝．当1≤m≤3时，m+3≥4，从而由（*）式知a m+32＝a m a m+6，故a m+42＝a m+1a m+7，从而＝•＝q2，因此＝q对任意n≥1都成立．故数列{a n}为等比数列．。

2020-2021学年上海市徐汇中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝（2x﹣1）2B．y＝（x+1）2﹣x2C．y＝ax2D．y＝2x+32．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，下列各式正确的是（）A．B．C．D．3．（4分）抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）4．（4分）已知，那么下列等式中不正确的是（）A．3x＝2y B．C．D．5．（4分）下列命题中，假命题的是（）A．两个等边三角形一定相似B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似C．两个全等三角形一定相似D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似6．（4分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＞0D．a+b+c＜0二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a＝4厘米，b＝3厘米，那么线段a与b的比例中项c＝厘米．8．（4分）已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向．9．（4分）抛物线y＝3x2﹣12x+17的顶点坐标是．10．（4分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，且图象经过原点，则函数解析式为．11．（4分）抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线．12．（4分）如果与单位向量的方向相反，且长度为5，用单位向量表示，则＝．13．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则它的重心G到C点的距离是．14．（4分）已知△ABC∽△DEF，其中AB＝12，AC＝9，BC＝18，如果AB的对应边DE 为4，那么△DEF的周长是．15．（4分）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA：OB＝1：3，OB＝OC，那么a的值是．16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为12，DE＝5，AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点P、M、Q，则PM：MQ＝．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D、E分别在BC、AC 上，且BD＝CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CE⊥BD于点E，点F是AB的中点，则EF＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知，a﹣b+2c＝14，求a，b，c的值．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（4，﹣1），B（1，2）（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）该抛物线对称轴与抛物线交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．21．（10分）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD＝2OA，OC＝2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2＝OE•OC．22．（10分）如图已知：梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD的中点，直线BE、CD交于点F．（1）若FD＝4，，求线段DC的长；（2）如果AB2＝AG•AC，求证：BG•BE＝BC•DE．23．（12分）已知：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12cm，高AH＝8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，其余两个顶点G、F分别在边AB和AC上．（1）当加工的矩形零件的两边EF：GF＝2：3时，求这个矩形零件的面积；（2）当矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9时，求此时矩形零件DEFG的两边EF：GF的值．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）在抛物线上有一点E，且点E在C′的左侧，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若△EFM与△MON相似，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点P（C′点除外），使得∠PMN＝∠OMN，若存在，写出点P坐标，不存在，写出理由．25．（14分）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．2020-2021学年上海市徐汇中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝（2x﹣1）2B．y＝（x+1）2﹣x2C．y＝ax2D．y＝2x+3【解答】解：A、y＝（2x﹣1）2＝4x2﹣4x﹣1是二次函数，故本选项符合题意；B、y＝（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；C、y＝ax2当a等于0时，它不是二次函数，故本选项不合题意；D、y＝2x+3是一次函数，故本选项不合题意．故选：A．2．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，下列各式正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴，所以选项C正确；将A选项与正确结论比较，可知选项A错误；由AB∥CD，可得，所以选项B错误；由AB∥CD，可得，所以选项D错误，故选：C．3．（4分）抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，∴m＝3，∴解析式y＝（x﹣3）2+1，∴顶点坐标为：（3，1），故选：A．4．（4分）已知，那么下列等式中不正确的是（）A．3x＝2y B．C．D．【解答】解：A、∵，∴3x＝2y，故本选项正确；B、由可得＝，故本选项正确；C、由得3x＝2y，∵可得3（x+2）＝2（y+3），整理得3x＝2y，故本选项正确；D、∵，∴＝，故本选项错误．故选：D．5．（4分）下列命题中，假命题的是（）A．两个等边三角形一定相似B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似C．两个全等三角形一定相似D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似【解答】解：两个等边三角形，三角相等，一定相似，A是真命题；有一个锐角相等的两个直角三角形，三角相等，一定相似，B是真命题；全等三角形是特殊的相似三角形，C是真命题；有一个锐角相等的两个等腰三角形，其它两角不一定相等，不能判定这两个三角形相似．故选：D．6．（4分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＞0D．a+b+c＜0【解答】解：由图象的开口向上，可得a＞0，由x＝﹣＞0，可得b＜0，由二次函数y＝ax2+bx+c的图象交y轴于正半轴可得c＞0，当x＝1时，y＝a+b+c，由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知a+b+c＜0．∴不正确的是b＞0．故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a＝4厘米，b＝3厘米，那么线段a与b的比例中项c＝2厘米．【解答】解：∵线段a和b的比例中项为c，∴a：c＝c：b，即4：c＝c：3，∴c＝2（cm）．故答案为2．8．（4分）已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向向上．【解答】解：y＝a（x+m）2的对称轴为直线x＝﹣m，∵顶点在y轴的右侧，∴﹣m＞0，m＜0，∵am＜0，∴a＞0，开口方向向上，故答案为向上．9．（4分）抛物线y＝3x2﹣12x+17的顶点坐标是（2，5）．【解答】解：∵y＝3x2﹣12x+17＝3（x﹣2）2+5，∴抛物线y＝3x2﹣12x+17的顶点坐标为（2，5），故答案为（2，5）．10．（4分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，且图象经过原点，则函数解析式为y＝﹣2x2．【解答】解：根据题意，把x＝0，y＝0代入，得m2﹣9＝0，解，得m＝±3，又二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，∴m+1＜0，m＜﹣1，∴m＝﹣3，∴函数解析式为y＝﹣2x2，故答案为：y＝﹣2x2．11．（4分）抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．【解答】解：∵点A（﹣6，3），B（2，3）纵坐标都是3，∴此抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2．故答案为x＝﹣2．12．（4分）如果与单位向量的方向相反，且长度为5，用单位向量表示，则＝﹣5．【解答】解：∵与单位向量的方向相反，且长度为5，∴＝﹣5．故答案是：﹣5．13．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则它的重心G到C点的距离是5．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴AB＝＝15，则斜边AB上的中线为：，∴重心G到C点的距离是：×＝5，故答案为：5．14．（4分）已知△ABC∽△DEF，其中AB＝12，AC＝9，BC＝18，如果AB的对应边DE为4，那么△DEF的周长是13．【解答】解：∵△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝18，∴△ABC的周长是12+9+18＝39．∵△ABC∽△DEF，AB的对应边DE为4，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝AB：DE＝12：4＝3，∴△DEF的周长是39÷3＝13．故答案为13．15．（4分）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA：OB＝1：3，OB＝OC，那么a的值是1或﹣1．【解答】解：令x＝0，则y＝3，即点C的坐标是（0，3），则OC＝3．①如图1，点A、B均在x轴的正半轴上时．∵OA：OB＝1：3，OB＝OC，∴OA＝1，OB＝3，令y＝0，则ax2+bx+3＝0，∴1，3的该方程的两个根，∴3＝，解得，a＝1；②如图2，当点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴上时．∵OA：OB＝1：3，OB＝OC，∴OA＝1，OB＝3，令y＝0，则ax2+bx+3＝0，∴﹣1，3的该方程的两个根，∴﹣3＝，解得，a＝﹣1；综合①②知，a的值是1或﹣1．故答案是：1或﹣1．16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为12，DE＝5，AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点P、M、Q，则PM：MQ＝5：19．【解答】解：如图，连接AQ，QE，PE，延长AE交BC的延长线于N，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝13，∵PQ垂直平分AE，∴AP＝PE，AQ＝EQ，EM＝AM＝AE＝，设PD＝x，在Rt△PDE中，则AP＝PE＝12﹣x，在Rt△PDE中，由勾股定理得：PE2＝PD2+DE2，∴（12﹣x）2＝x2+52，解得：x＝，即PD＝，∴AP＝12﹣＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴△ADE∽△NCE，∴＝＝，∴＝＝，∴CN＝，EN＝，∴NM＝EN+EM＝+＝，∵AD∥BC，∴△APM∽△NQM，∴＝，∴＝＝，即PM：MQ＝5：19，故答案为5：19．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D、E分别在BC、AC 上，且BD＝CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为1．【解答】解：延长DF交AC于G，设BD＝CE＝x，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵点C关于DE的对称点为F，∴EF＝CE＝x，∵DF∥AB，∴∠A＝∠EGF，∴△ABC∽△EGF，∴，∴，∴GE＝，∴CG＝GE+CE＝，∵DF∥AB，∴，∴，∴x＝1，∴BD＝1，故答案为：1．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CE⊥BD于点E，点F是AB的中点，则EF＝．【解答】解：在BD上截取BH＝CE，连接FE，∵∠ACB＝90°，CE⊥BD，AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝，∴△CDE∽△BDC，∴，∴CE＝，∵△ACB是等腰直角三角形，点F是AB的中点，∴AF＝CF＝BF，∠A＝∠ACF＝∠BCF，∴∠FCE+∠DCE＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠DCE＝∠CBD，在△CEF与△BHF中，，∴△CEF≌△BHF（SAS），∴FE＝FH，∠BFH＝∠EFC，∵FC⊥BE，∴∠HFE＝90°，∴△EFH是等腰直角三角形，∵EH＝BD﹣BH﹣DE＝，∴FE＝EH×，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知，a﹣b+2c＝14，求a，b，c的值．【解答】解：设＝k∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a﹣b+2c＝14，∴2k﹣3k+8k＝7k＝14，解得：k＝2，∴a＝4，b＝6，c＝8．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（4，﹣1），B（1，2）（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）该抛物线对称轴与抛物线交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．【解答】解：（1）把A（4，﹣1），B（1，2）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得m＝4，n＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣1；抛物线的对称轴为直线＝﹣＝2；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，﹣1），B（1，2）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则直线AB与x轴的交点坐标为（3，0），而C（2，0），所以△ABC的面积＝×（3﹣1）×2+×（3﹣1）×1＝3．21．（10分）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD＝2OA，OC＝2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2＝OE•OC．【解答】证明：（1）∵OD＝2OA，OC＝2OB，∴．（2分）又∠AOB＝∠DOC，（2分）∴△AOB∽△DOC．（2分）（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．∴∠ABO＝∠DCO．（1分）∵AB∥DE，∴∠ABO＝∠EDO．（1分）∴∠DCO＝∠EDO．（1分）∵∠DOC＝∠EOD，∴△DOC∽△EOD．（1分）∴．（1分）∴OD2＝OE•OC．（1分）22．（10分）如图已知：梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD的中点，直线BE、CD交于点F．（1）若FD＝4，，求线段DC的长；（2）如果AB2＝AG•AC，求证：BG•BE＝BC•DE．【解答】解：（1）∵AD∥BC，AE＝ED，∴，∴FD＝4，∴FC＝12，∴DC＝8；（2）∵AB2＝AG•AC，∴，∵∠BAC＝∠BAC，∴△BAG∽△CAB，∴∠ABG＝∠BCA，∵AD∥BC，∴∠AEG＝∠EBC，∴△BAE∽△CGB，∴，∴BG•BE＝AE•BC，∵AE＝ED，∴BG•BE＝ED•BC．23．（12分）已知：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12cm，高AH＝8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，其余两个顶点G、F分别在边AB和AC上．（1）当加工的矩形零件的两边EF：GF＝2：3时，求这个矩形零件的面积；（2）当矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9时，求此时矩形零件DEFG的两边EF：GF的值．【解答】解：（1）∵矩形零件的两边EF：GF＝2：3，∴设EF＝2x，GF＝3x，∵FG∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝，则＝，解得：x＝2，则EF＝4cm，FG＝6cm，故这个矩形零件的面积为：24cm2；（2）∵BC＝12cm，高AH＝8cm，∴S△ABC＝×12×8＝48（cm2），∵矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9，∴矩形零件DEFG的面积为：48×＝（cm2），设EF＝acm，则FG＝cm，∵由（1）得：＝，∴＝，解得：a1＝，a2＝，当EF＝a＝，则FG＝8，此时EF：GF＝：8＝1：3；当EF＝a＝，则FG＝4，此时EF：GF＝：4＝4：3．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）在抛物线上有一点E，且点E在C′的左侧，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若△EFM与△MON相似，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点P（C′点除外），使得∠PMN＝∠OMN，若存在，写出点P坐标，不存在，写出理由．【解答】解：（1）如图1，∵四边形OABC是矩形，且A（3，0），C（0，1），∴B（3，1），由旋转得A′（0，3），C（﹣1，0），且四边形OA′B′C′是矩形，∴B′（﹣1，3），设直线BB′的解析式为y＝kx+m，则，解得，∴直线BB′的解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝；当y＝0时，则0＝x+，解得x＝5，∴M（5，0），N（0，），把M（5，0）、N（0，）、C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x+．（2）如图1，设E（x，x2+2x+），则F（x，0），∵∠MFE＝∠MON＝90°，且△EFM∽△MON，∴或，若，则＝，整理得x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝﹣2，x2＝5（不符合题意，舍去），∴E（﹣2，﹣）；若，则＝，整理得x2＝25，解得x1＝﹣5，x2＝5（不符合题意，舍去），∴E（﹣5，﹣20），综上所述，点E的坐标为（﹣2，﹣）或（﹣5，﹣20）．（3）如图2，作OQ⊥MN于点Q，延长OQ到点G，使GQ＝OQGR⊥y轴于点R，作射线MG交抛物线于点P，∵MN垂直平分OG，∴GM＝OM，∴∠PMN＝∠OMN，∵∠MON＝90°，ON＝，OM＝5，∴MN＝＝，∴×OQ＝××5＝S△MON，解得OQ＝，∴OG＝2OQ＝2，∵∠OQM＝90°，∴∠ROG＝90°﹣∠QOM＝∠OMN，∵∠ORG＝∠MON＝90°，∴△ROG∽△OMN，∴＝＝＝＝，∴RG＝×＝2，OR＝×5＝4，∴G（2，4），设直线MP的解析式为y＝px+n，则，解得，∴直线MP的解析式为y＝x+，由，得，（不符合题意，舍去），∴P（，）．25．（14分）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【解答】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB∥CD，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴＝＝，＝，∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴＝，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF∥BC，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由＝得，＝，∴BN＝，∴y＝＝＝，如图3，当3＜x＜4.5时，由＝得，＝，∴CN＝，∴y＝＝；（3）如图4，∵EG∥AB，∴＝＝，∴CG＝CB＝2，∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，当BM＝BE＝5时，9﹣2x＝5，∴x＝2，如图5，当EM＝EB＝5时，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x，如图6，当EM＝BM时，作MH⊥BE于H，在Rt△BMH中，BH＝，sin∠MBH＝sin∠BEG＝＝，∴BM＝＝＝，∴9﹣2x＝，∴x＝，综上所述：x＝2或或．。

2020-2021上海中国中学九年级数学上期中试题带答案一、选择题1．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3 2．函数y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣1）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（2，1） 3．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④ 4．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（﹣5，﹣3） B ．（﹣2，0） C ．（﹣1，﹣3） D ．（1，﹣3）5．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8 6．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）A ．0a ≥B ．10a +>C ．10a -<D ．210a +< 7．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7 8．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 9．如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）A ．15cmB ．12cmC ．10cmD ．20cm10．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 12．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）A ．AB=CDB ．AB=BC C ．AC ⊥BD D ．AC=BD 二、填空题13．已知：如图，CD 是O e 的直径，AE 切O e 于点B ，DC 的延长线交AB 于点A ，20A ∠=o ，则DBE ∠=________度．14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．15．关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3＝0有实数根，则k 应满足的条件是_____. 16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．18．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．19．母线长为2cm ，底面圆的半径为1cm 的圆锥的侧面积为__________ cm²．20．若关于 x 的一元二次方程2x 2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________．三、解答题21．如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转60°得到BCE ∆，连接DE.（1）如图1，求证：CDE ∆是等边三角形；（2）如图2，当6<t<10时，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由.（3）当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.22．某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w （元）与售价x （元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x （元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w （元）最大？最大利润是多少？23．已知在△ABC 中，∠B=90o ，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：AC·AD=AB·AE ； （2）如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC=2时，求AC 的长．24．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣5，1），B （﹣2，2），C （﹣1，4），请按下列要求画图：（1）将△ABC 先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法2．B解析：B【解析】【分析】将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1∴顶点坐标为（﹣2，1）；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数，解题关键是能将一般式化为顶点式.3．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．4．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。

上海徐汇中学2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)一、选择题1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ）A ．2210x x+= B ．220x x --= C ．2320x xy -= D ．240y -= 2．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE ＝2，BC ＝6，则ADE ABC 的面积的面积＝（ ）A ．13B ．14C ．16D ．194．若25x y =，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．755．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝35°，则∠C 的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．55°D ．45°6．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，ABAD=2，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ）A ．12AE EC = B ．2ECAC= C ．12DE BC = D ．2ACAE= 7．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A ．在⊙O 的内部B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O 内部8．下列函数中属于二次函数的是( ) A ．y ＝12x B ．y ＝2x 2-1C ．y ＝23x +D ．y ＝x 2＋1x＋1 9．已知a 是方程x 2+3x ﹣1＝0的根，则代数式a 2+3a+2019的值是( ) A ．2020B ．﹣2020C ．2021D ．﹣202110．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．5611．方程2210x x --=的两根之和是（ ） A ．2-B ．1-C ．12D ．12-12．如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（ ）A ．3B ．234C 1433D 223313．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>14．二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表： x…134 …y … 2 4 2 ﹣2…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=﹣1时y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间15．“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=1x﹣2实数根的情况是（）A．有三个实数根B．有两个实数根C．有一个实数根D．无实数根二、填空题16．已知tan（α+15°）=33，则锐角α的度数为______°．17．O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与O的位置关系是______. 18．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm的圆的周长，用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为__________．20．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为_________．21．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为_____．22．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________23．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD 和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E 的坐标为_________________________．24．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.25．如图，直线y=12x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在直线AB 上，且点C 的纵坐标为﹣1，点D 在反比例函数y=k x 的图象上，CD 平行于y 轴，S △OCD =52，则k 的值为________．26．如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一个动点（不与点A 、B 重合），且AC+BC=8，若AB=m （m 为整数），则整数m 的值为______．27．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，E 、F 分别为AC 、AD 上两动点，连接CF 、EF ，则CF ＋EF 的最小值为_____．28．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．29．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．30．若把一根长200cm 的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为_____．三、解答题31．某市2017年对市区绿化工程投入的资金是5000万元，为争创全国文明卫生城，加大对绿化工程的投入，2019年投入的资金是7200万元，且从2017年到2019年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2020年预计需投入多少万元？ 32．某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：表中数据a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩．33．如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE.（1）求证：△DAC∽△EBC；（2）求△ABC与△DEC的面积比．34．某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？35．小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？四、压轴题36．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）（1）t为何值时，四边形APQD为矩形.（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？37．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=13，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=13BCAB=，可设BC=x，则AB=3x，…．【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=35，求sin2β的值．38．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE，连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF（1）若BAPα∠=，直接写出ADF∠的大小（用含α的式子表示）.（2）求证：BF DF⊥.（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明.39．如图，已知抛物线234y x bx c=++与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为(1,0)-，过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．（1）点C 的坐标是________，b =________； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，直接写出所有t 的值；若不存在，说明理由．40．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】 解：A.2210x x+=,是分式方程, B.220x x --=,正确,C.2320x xy -=,是二元二次方程,D.240y -=,是关于y 的一元二次方程, 故选B 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．2．D解析：D 【解析】 【分析】满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x 的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解. 【详解】 解：根据题意得， a-1=1,2+m=2, 解得，a=2,m=0, ∴a-m=2. 故选：D. 【点睛】本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.3．D解析：D 【解析】 【分析】由DE ∥BC 知△ADE ∽△ABC ，然后根据相似比求解． 【详解】 解：∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC.又因为DE＝2，BC＝6，可得相似比为1:3.即ADEABC的面积的面积=2213：=19.故选D.【点睛】本题主要是先证明两三角形相似，再根据已给的线段求相似比即可．4．D解析：D【解析】【分析】由已知可得x与y的关系，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵25xy=，∴25x y =，∴2755y yx yy y++==.故选：D.【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题型，熟练掌握比例的性质是解题关键.5．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【详解】解：∵OA=OB，∠ABO=35°，∴∠BAO=∠ABO=35°，∴∠O=180°-35°×2=110°，∴∠C=12∠O=55°．故选：C．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.6．D【解析】【分析】 只要证明AC AB AE AD =，即可解决问题． 【详解】解:A.12AE EC = ，可得AE ：AC=1：1，与已知2AB AD =不成比例，故不能判定 B. 2EC AC =，可得AC ：AE=1：1，与已知2AB AD=不成比例，故不能判定； C 选项与已知的2AB AD =，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；12DE BC = D. 2AC AB AE AD==，可得DE//BC ， 故选D.【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．D解析：D【解析】【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d 的范围，进而得出d 与r 的数量关系，即可判断点P 和⊙O 的关系..【详解】解：∵关于x 的方程x 2 -2x+d=0有实根，∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d ≥0，解得d ≤1，∵⊙O 的半径为r=1,∴d ≤r∴点P 在圆内或在圆上.故选：D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r 时，点在圆外，当d=r 时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内.8．B解析：B【分析】根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A. y＝12x是正比例函数，不符合题意；B. y＝2x2-1是二次函数，符合题意；C. yD. y＝x2＋1x＋1不是二次函数，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义．9．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得a2+3a的值，然后再代入求值即可.【详解】解：根据题意，得a2+3a﹣1＝0，解得：a2+3a＝1，所以a2+3a+2019＝1+2019＝2020.故选：A.【点睛】此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键10．B解析：B【解析】【分析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π共2个，∴卡片上的数为无理数的概率是21=63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算. 11．C解析：C【解析】【分析】利用两个根和的关系式解答即可.【详解】两个根的和=1122b a ， 故选：C.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式， 1212,b c x x x x a a+=-=. 12．C解析：C【解析】【分析】由A 、C 关于BD 对称，推出PA ＝PC ，推出PC +PE ＝PA +PE ，推出当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，推出BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，分别求出PE +PC 的最小值，PD 的长即可解决问题．【详解】解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，∴易证AE ⊥BC ，∵A 、C 关于BD 对称，∴PA ＝PC ，∴PC +PE ＝PA +PE ，∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长．观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，∴在Rt △AEB 中，BE ＝∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a ＝∵BC ∥AD ，∴AD PD BE PB= ＝2， ∵BD＝ ∴PD＝23⨯= ∴点H 的横坐标b， ∴a +b＝33=； 故选C ．【点睛】 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．13．D解析：D【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．14．D解析：D【解析】【分析】根据表中的对应值，求出二次函数2y ax bx c =++的表达式即可求解．【详解】解：选取02（，），14（，），32（，）三点分别代入2y ax bx c =++得 24932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴二次函数表达式为232y x x =-++∵1a =-，抛物线开口向下；∴选项A 错误；∵2c =函数图象与y 的正半轴相交；∴选项B 错误；当x=－1时，2(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<；∴选项C 错误；令0y =，得2320x x -++=，解得：13172x +=，23172x -= ∵31710--＜＜，方程20ax bx c ++=的负根在0与－1之间； 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．15．C解析：C【解析】试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.因为函数与函数的图象只有一个交点 所以方程只有一个实数根故选C.考点：函数的图象点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意. 二、填空题16．15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan （α+15°）=∴α+15°=30°,故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，解析：15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan（α+15°）∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．17．相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的解析：相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2，∵4＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交.【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.18．【解析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.【详解】解：设扇形半径为R，根据弧长公式得，∴R解析：【解析】【分析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.【详解】解：设扇形半径为R，根据弧长公式得，90=25180R∴R=20，225515 .故答案为：【点睛】本题考查弧长公式，及圆锥的高与母线、底面半径之间的关系，底面周长等于扇形的弧长这个等量关系和勾股定理是解答此题的关键.19．【解析】【分析】作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.【解析：3 2【解析】【分析】作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE,ME,AD,∵E 是AB 的中点，M 是BD 的中点，AD=2，∴EM 为△BAD 的中位线，∴112122EM AD , 在Rt △ACB 中，AC=4,BC=3，由勾股定理得，AB=2222435AC BC +=+=∵CE 为Rt △ACB 斜边的中线，∴1155222CE AB , 在△CEM 中，551122CM ,即3722CM ， ∴CM 的最大值为32 .故答案为：32. 【点睛】 本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM 为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.20．【解析】【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF ≌△DBF ，从而可得BF 的长，易证△BOF ∽△AOD ，从而可得AO 与AB 的关系，然后根据勾股定理可求出AB 的长，进而可得答案.【详解】解：解析：8179【解析】【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF ≌△DBF ，从而可得BF 的长，易证△BOF ∽△AOD ，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.【详解】解：如图所示，∵∠CEB=∠DBF=90°，∠CFE=∠DFB，CE=DB=1，∴△CEF≌△DBF，∴BF=EF=12BE=12，∵BF∥AD，∴△BOF∽△AOD，∴11248 BO BFAO AD===，∴89AO AB=，∵221417 AB=+=，∴8179 AO=.故答案为：817【点睛】本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.21．【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的410【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴2x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵5AB=2，∴BE=1，∴222BM BE+=∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AM ME FN AN=，242xx=-，解得：x=4 3∴22410AD DF+=故答案为4103．点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，22．x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．解析：x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．23．（，2）．【解析】【分析】【详解】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=DE=x，则AE=4-x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x）2+22=解析：（32，2）．【解析】【分析】【详解】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=DE=x，则AE=4-x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x）2+22=x2，∴x=52，∴BE=ED=52，AE=AD-ED=32，∴点E坐标（32，2）．故答案为：（32，2）．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．24．3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA解析：3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=3，故答案为：3．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．25．【解析】【分析】【详解】试题分析：把x=2代入y=x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y 轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：把x=2代入y=12x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．解：∵点C在直线AB上，即在直线y=12x﹣2上，C的横坐标是2，∴代入得：y=12×2﹣2=﹣1，即C（2，﹣1），∴OM=2，∵CD∥y轴，S△OCD=52，∴12CD×OM=52，∴CD=52，∴MD=52﹣1=32，即D的坐标是（2，32），∵D在双曲线y=kx上，∴代入得：k=2×32=3．故答案为3．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．26．6或7【解析】【分析】因为直径所对圆周角为直角，所以ABC的边长可应用勾股定理求解，其中，且AC+BC=8，即可求得，根据基本不等式，可得的范围，再根据题意要求AB 为整数及三角形三边关系，即可解析：6或7【解析】【分析】 因为直径所对圆周角为直角，所以ABC 的边长可应用勾股定理求解，其中222AB =AC BC +，且AC+BC=8，即可求得22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅，根据基本不等式AC BC=AC+(8-AC)+≥2AB 的范围，再根据题意要求AB 为整数及三角形三边关系，即可得出AB 可能的长度．【详解】 解：∵直径所对圆周角为直角，故ABC 为直角三角形，∴根据勾股定理可得，222AB =AC BC +，即22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅，又∵AC+BC=8，根据基本不等式AC BC=AC+(8-AC)+≥∴0<AC BC 16⋅≤，代入22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅∴232AB 64≤≤，同时AB 要满足整数的要求，∴AB=6或7或8，但是三角形三边关系要求，任意两边之和大于第三边，故AB ≠8， ∴AB=6或7，故答案为：6或7．【点睛】本题主要考察了直径所对圆周角为直角、勾股定理、三角形三边关系、基本不等式，解题的关键在于找出AB 长度的范围． 27．【解析】【分析】作BM⊥AC 于M ，交AD 于F ，根据三线合一定理求出BD 的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM ，根据对称性质求出BF ＝CF ，根据垂线段最短得出CF ＋EF≥BM，即可得出答案 解析：245【解析】【分析】作BM ⊥AC 于M ，交AD 于F ，根据三线合一定理求出BD 的长和AD ⊥BC ，根据三角形面积公式求出BM ，根据对称性质求出BF ＝CF ，根据垂线段最短得出CF ＋EF ≥BM ，即可得出答案．【详解】作BM ⊥AC 于M ，交AD 于F ，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴B、C关于AD对称，∴BF＝CF，根据垂线段最短得出：CF＋EF＝BF＋EF≥BF＋FM＝BM，即CF＋EF≥BM，∵S△ABC＝12×BC×AD＝12×AC×BM，∴BM＝642455 BC ADAC，即CF＋EF的最小值是245，故答案为：245．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．28．①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛解析：①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；④m＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.29．【解析】【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、解析：1 4【解析】【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，所以恰好能搭成一个三角形的概率＝14．故答案为14．【点睛】本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．30．1250cm2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm和（200﹣x）cm两部分，则两个正方形的边长分别是cm，cm，再列出二次函数，求其最小值即可．【详解】如图：设将铁丝分成xcm 和（200﹣解析：1250cm 2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，则两个正方形的边长分别是4x cm ，2004x -cm ，再列出二次函数，求其最小值即可． 【详解】如图：设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，列二次函数得：y ＝（4x ）2+（2004x -）2＝18（x ﹣100）2+1250， 由于18＞0，故其最小值为1250cm 2， 故答案为：1250cm 2．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题的关键是根据题意正确列出二次函数．三、解答题31．（1）20%；（2）8640万元.【解析】【分析】（1）设平均增长率为x,根据题意可得2018年投入的资金是5000(1+x)万元，2019年投入的资金是5000(1+x) (1+x)万元，由2019年投入的资金是7200万元即可列出方程.，求解即可.（2）相当于数字7200增长了20%，列式计算.【详解】解：（1）设两年间每年投入资金的平均增长率为x ，根据题意得，5000(1+x)2=7200解得，x 1=0.2=20%，x 2= -2.2（不符合题意，舍去）答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为20%；（2）根据题意得，7200（1+20%）=8640万元.答：在2020年预计需投入8640万元.【点睛】。

2021-2022学年上海市徐汇中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列判断不正确的是()A. a⃗+b⃗ =b⃗ +a⃗B. a⃗−a⃗=0⃗C. 如果a⃗=k⋅b⃗ (k≠0)，那么a⃗//b⃗D. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗2.如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是()A. ∠AED=∠BB. ∠ADE=∠CC. ADAC =AEABD. ADAB =DEBC3.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是()A. 35B. 53C. 45D. 344.抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是()A. (−1,2)B. (−1,−2)C. (1,−2)D. (1,2)5.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是()A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：16.已知抛物线y=x2+3向上平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是()A. y=x2+1B. y=x2+5C. y=(x+2)2+3D. y=(x−2)2+3二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如图，矩形DEFG的一边GF在△ABC的边BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG：DE=1：2，BC=12cm，AH=8cm，则DE的长______．8.如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1//l2//l3，AB=6，BC=4，DF=15，那么线段DE的长等于______．9.已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b=______．10.如果二次函数y=(m−1)x2+x(m是常数)的图象开口向上，那么m的取值范围是______．11.△ABC∽△A1B1C1，其中点A，B，C分别与点A1，B1，C1对应，如果AB：A1B1=2：3，AC=6，那么A1C1=______．12.如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF=1，则CE的长为______．13.如图，点G是△ABC的重心，点D、E分别在边AB、AC上，DE过点G，且DE//BC，的值为______．则DEBC14.已知点A(−5,m)、B(−3,n)都在二次函数y=x2+1的图象上，那么m、n的大小关系是：m______n.(填“>”、“=”或“<”)15. 已知在△ABC 中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，那么用m⃗⃗⃗ 、n⃗ 的线性组合表示EF −为______． 16. 如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们面积的比是______．17. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，AB =4，那么AP =______．18. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，点D 在边AB 上，且∠BDC =90°.如果△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D 1，那么线段DD 1的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 已知：如图，四边形ABCD 中，0°<∠BAD ≤90°，AD =DC ，AB =BC ，AC 平分∠BAD ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ，交线段AD 的延长线于点F(点F 可与点D 重合)，∠AFB =∠ACB ，设AB 长度是a(a 是常数，且a >0)，AC =x ，AF =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(3)在第(2)小题的条件下，当△CGE 是等腰三角形时，求AC 的长(计算结果用含a 的代数式表示)20.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，ED//BC，CD与BE相交于点F，AE=3，DF=2，CF=5．(1)求DEBC的值；(2)求EC的长．21.已知x2=y3=z4，求5x−y+z4x−y−z的值．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2)．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠CAO=∠BCO；(3)若点P是抛物线上的一点，且∠PCB+∠ACB=∠BCO，求直线CP的表达式．23.如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．(1)求证：AE2=AF⋅AB；(2)求证：DFDE =CECB．24.抛物线y=ax2+2x+c经过点A(−1,0)、B(0,3)两点．(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)若点C在y轴上，且△ABC的面积是9，求点C的坐标．25.已知：如图，点E、F、G分别在AB、AC、AD上，且EG//BD.FG//CD．AEBE =23.四边形BCFE的面积比三角形AEF的面积大17．(1)求证：EF//BC；(2)求△ABC的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、a⃗+b⃗ =b⃗ +a⃗，计算正确，不符合题意；B、a⃗−a⃗=0⃗，计算正确，不符合题意；C、如果a⃗=k⋅b⃗ (k≠0)，那么a⃗//b⃗ ，推断正确，不符合题意；D、如果|a⃗|=|b⃗ |，只能判断两个向量的模相等，不能推断出两个向量共线，即判断不正确，符合题意．故选：D．根据平面向量的线性计算和平行线的性质进行分析判断．本题主要考查了平面向量和平行线的性质，此题属于易错题，注意：两个向量的模相等，但不一定是共线向量．2.【答案】D【解析】【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．【解答】解：由题意得，∠A=∠A，A.当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B.当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C.当ADAC =AEAB时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D.当ADAB =DEBC时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．3.【答案】A【解析】解：sinA=BCAB =35，故选：A．根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．4.【答案】D【解析】解：∵顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，∴抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是(1,2)．故选：D．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离实际距离”即可求得这幅设计图的比例尺．此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．【解答】解：因为2毫米=0.2厘米，则0.2厘米：40厘米=1：200；所以这幅设计图的比例尺是1：200．故选：B．6.【答案】B【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2+3向上平移2个单位所得直线的解析式为：y=x2+5．故选：B．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7.【答案】487cm【解析】解：设DG=x cm，则DE=2x cm，∵四边形DEFG是矩形，∴DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵AH⊥BC交DE于M，∴四边形DGHM是矩形，∴DG=MH=x，∵AH=8cm，∴AM=AH−MH=8−x，∵AM，AH分别是△ADE，△ABC的对应高，∴DEBC =AMAH，∴2x12=8−x8，解得：x=247，∴DE=2x=487cm，故答案为487cm．设DG=x cm，则DE=2x cm，根据DE//BC则△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式即可求得x的值，进而求得DE的长．此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质，解答过程中要解一元一次方程，有一定的综合性．8.【答案】9【解析】解：设DE长为x，EF为15−x，∵l1//l2//l3，∴ABBC =DEEF，即64=x15−x，解得x=9，∴DE=9．故答案为9．设DE长为x，EF为15−x，利用平行线分线段成比例定理得到ABBC =DEEF，从而可计算出DE的长．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．9.【答案】2【解析】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，即b2=4，∴b=2(舍去负值)．故答案是2．根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b．本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．10.【答案】m>1【解析】解：∵二次函数y=(m−1)x2+x的图象开口向上，∴m−1>0，解得：m>1，故答案为：m>1．由二次函数的图象的开口方向可得到二次项系数大于0，可求得m的取值范围．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的开口方向由二次项系数决定是解题的关键．11.【答案】9【解析】【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1=2：3，∴ABA1B1=ACA1C1=23，∵AC=6，∴6A1C1=23∴A1C1=9，故答案为：9．12.【答案】54【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．根据平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质可得ABCF =BECE=31=3，可得BE=3CE，即可求CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，AD=BC=5，∴△ABE∽△FCE∴ABCF=BECE=31=3∴BE=3CE∵BC=BE+CE=5∴CE=5 4故答案为：54．13.【答案】2：3【解析】解：∵三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍∴DE：BC=2：(2+1)=2：3．故答案为：2：3．根据三角形的重心性质，结合三角形的中位线定理以及平行线分线段成比例定理知：三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．此题考查了三角形的重心的概念和三角形的重心的性质，属于基础题，难度不大．14.【答案】>【解析】解：由二次函数y =x 2+1可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为y 轴， ∴当x <0时，y 随x 的增大而减小， ∵−5<−3， ∴m >n ． 故答案为：>．先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y 轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15.【答案】−12m⃗⃗⃗ +12n ⃗【解析】解：如图，在△ABC 中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−m ⃗⃗⃗ +n ⃗ ． 又∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴EF =12BC ．∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12m ⃗⃗⃗ +12n ⃗ ．故答案是：−12m ⃗⃗⃗ +12n ⃗ ． 利用三角形法则求得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后由三角形中位线定理得到EF =12BC ，结合平面向量的性质解答．考查了平面向量和三角形中位线定理．由三角形法则求得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−m ⃗⃗⃗ +n ⃗ 是解题的关键，属于中档题．16.【答案】4：9【解析】解：∵两个相似三角形周长的比是2：3， ∴它们的相似比是2：3； ∴它们的面积比为4：9．相似三角形的周长比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，由此得解．本题重点考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．17.【答案】2√5−2【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−√52，较长的线段=原线段的√5−12.根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP =√5−12AB ，代入数据即可得出AP 的长． 【解答】解：由于P 为线段AB =4的黄金分割点， 且AP 是较长线段；则AP =√5−12AB =√5−12×4=2√5−2． 故答案为2√5−2．18.【答案】4225【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ABC∽△ADD 1.作AE ⊥BC 于E.根据等腰三角形三线合一的性质得出BE =EC =12BC =3，利用勾股定理求出AE =4.根据三角形的面积得出CD =BC⋅AE AB=245，那么AD =√AC 2−CD 2=75.再根据旋转的性质可知AD =AD 1，∠CAD =∠BAD 1，那么△ABC∽△ADD 1，利用相似三角形的性质可求出DD 1． 【解答】解：如图，作AE ⊥BC 于E ．∵AB=AC=5，BC=6，∴BE=EC=12BC=3，∴AE=√AB2−BE2=4．∵S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AE，∴CD=BC⋅AEAB =6×45=245，∴AD=√AC2−CD2=75．∵△ACD绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点D旋转至点D1，∴AD=AD1，∠CAD=∠BAD1，∵AB=AC，∴△ABC∽△ADD1，∴BCDD1=ABAD，∴6DD1=575，∴DD1=4225．故答案为4225．19.【答案】(1)证明：∵AD=DC，AB=BC，∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，又AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，∴AB//DC，AD//BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又AD=DC，∴四边形ABCD是菱形．(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AF//BC，AB=BC，∴∠AFB=∠CBF，∠FAC=∠ACB，∠ACB=∠BAC，∴∠EBC=∠BAC=∠AFB=∠FAC=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC，∴ECBC =BCAC，∴BC2=EC⋅AC，∴a2=EC⋅x，∴EC=a2x，∴AE=AC−EC=x−a2x，∵△AEF∽△ABC，∴AEAB =AFAC，即x−a2 xa =yx，∴y=x2−a2a(√2a≤x<2a)；(3)解：∵△CEG是等腰三角形，①当CG=EG时，∴∠CGE=∠ECG，∵∠ECG=∠CBF，∴∠CGE=∠CBF，∵∠CGB=∠ABF，∴∠ABF=∠CBF，此时，点F，G和点D重合，∴AF=AB，∴y=a，即x2−a2a=a∴x=√2a，②当CG=CE时，∴∠CEG=∠CGB，∵∠CEG=∠ACB+∠CBF=2∠ACB=∠BCD，∴∠CGB=∠BCD，∵∠FDG=∠BAD=∠BCD，∴∠FDG=∠FGD，∴FG=FD，∴AF=BF，∵∠EBC=∠ECB，∴BE=CE，∵∠EAF=∠EFA，∴AE=EF，∴FB=AC∴y=x即x2−a2a=x∴x=√5+12a(负值已舍)，③当EG=CE时，∴∠CEG=∠ACD，∵∠ACD=∠CBF，∴∠CEG=∠CBF，∵∠CEG=∠CBF+∠ACB，∴此种情况不存在．综上所述：x=√2a或√5+12a时，△CEG为等腰三角形．【解析】(1)先判断出∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，进而得出∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，即可得出结论；(2)先判断出△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC，得出比例式，即可得出结论；(3)分三种情况，①当CG=EG时，判断出点F，G和点D重合，即：AF=AB，即可得出结论，②当CG=CE时，先判断出∠FDG=∠FGD，得出FG=FD，即可得出AF=BF，进而判断出FB=AC，即可得出结论；③当EG=CE时，判断出∠CEG=∠CBF，而∠CEG=∠CBF+∠ACB，判断出此种情况不存在．此题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论的思想，解本题的关键是找出相关角之间关系．20.【答案】解：(1)∵ED//BC，∴∠FDE=∠FCB，∠FED=∠FBC，∴△DFE∽△CFB，∴DFCF =DECB，即DEBC =25；(2)∵ED//BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，即25=3AC，∴AC=152，∴EC=AC−AE=152−3=92．【解析】(1)由△DFE∽△CFB，得DFCF =DECB，代入即可；(2)由△ADE∽△ABC，得DEBC =AEAC，代入求出AC的长即可解决问题．本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，由平行得出三角形相似是解题的关键．21.【答案】解：设x2=y3=z4=k，则x=2k，y=3k，z=4k，5x−y+z 4x−y−z =5×2k−3k+4k4×2k−3k−4k=11．【解析】先设x2=y3=z4=k，可得x=2k，y=3k，z=4k，再把x、y、z的值都代入所求式子计算即可．本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设设x2=y3=z4=k，可得x=2k，y=3k，z=4k，降低计算难度．22.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−4)．∵将C(0,2)代入得：4a=2，解得a=12，∴抛物线的解析式为y=12(x−1)(x−4)，即y=12x2−52x+2．(2)如图1所示：连接AC．∵由题意可知；OA=1，OC=2，OB=4，∴OAOC =OCOB=12．又∵∠COA=∠BOC，∴△AOC∽△COB．∴∠CAO=∠BCO．(3)①如图2所示：∵∠PCB+∠ACB=∠BCO，∠ACO+∠ACB=∠BCO，∴∠PCB=∠ACO．∵△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO．∴∠PCB=∠CBO．∴CD=BD．设OD=x，则DB=CD=4−x．在Rt△DCO中，由勾股定理得：OD2+CO2=DC2，即x2+22=(4−x)2.解得：x=1.5．∴点D的坐标为(1.5,0)．设直线CP的解析式为y=kx+b．∵将(0,2)，D(1.5,0)代入得：{1.5k+b=0b=2，解得：{k=−43 b=2,∴直线CP的解析式为y=−43x+2．如图3所示：∵∠PCB+∠ACB=∠BCO，∠ACO+∠ACB=∠BCO，∴∠PCB=∠ACO．∵△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO．∴∠PCB=∠CBO．∴CP//OB．∴CP的解析式为y=2．综上所述，直线CP的解析式为y=−43x+2或y=2．【解析】(1)设抛物线的解析式为为y=a(x−1)(x−4)，将点C的坐标代可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；(2)先证明OACO =OCOB，从而可证明△AOC∽△COB，由相似三角形的性质可证得∠CAO=∠BCO；(3)先证明∠PCB=∠CBO，如图2所示可得到CD=BD，然后由勾股定理可求得OD的长，从而得到点D的坐标，由点C和点D的坐标可求得PC的解析式，如图3所示当∠PCB=∠CBO时，PC//OB，从而可得到PC的解析式．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，证得DC=DB，然后依据勾股定理求得OD的长是解题的关键．23.【答案】证明：(1)∵∠FEA=∠B，∠BAE=∠EAF，∴△BAE∽△EAF，∴AEAF =ABAE，∴AE2=AF⋅AB，(2)∵∠DAF=∠CAE，∠FAE=∠FAE，∴∠DAE=∠CAF，∵∠FEA =∠B ， ∴△DAE∽△CAB ， ∴DEBC =AD AC，∠D =∠C ，∵∠DAF =∠EAC ， ∴△DAF∽△CAE ， ∴DFEC =ADAC ， ∴DEBC =DFEC ， ∴CE BC =DF DE．【解析】(1)利用两个角相等证明△BAE∽△EAF ，得AEAF =ABAE ，即可证明结论； (2)首先证明△DAE∽△CAB ，得DEBC =ADAC，∠D =∠C ，再证明△DAF∽△CAE ，得DF EC =AD AC，等量代换即可．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+2x +c 经过点A(−1,0)、B(0,3)两点，∴{a −2+c =0c =3，解得{a =−1c =3，∴抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3，对称轴是直线x =−22×(−1)=1； (2)设点C(0,y)，则BC =|y −3|， ∵A(−1,0)， ∴AO =1，∵S △ABC =12⋅AO ⋅BC ， ∴9=12×1⋅|y −3|， ∴y 1=21，y 2=−15， ∴C(0,21)、(0,−15)．【解析】(1)根据待定系数法即可求得；(2)设点C的坐标为(0,y)，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形面积，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．25.【答案】(1)证明：∵EG//BD，∴AEEB =AGGD，∵FG//CD，∴AFFC =AGGD，∴AEEB =AFFC，∴EF//BC；(2)解：∵EF//BC，∴△AEF∽△ABC，∴S△AEF：S△ABC=(AEAB)2，由题意设S△AEF=S，则S四边形BCFE=S+17，且AEBE =23，∴SS+17+S =(25)2，∴S=4，∴△ABC的面积=S+17+S=25．【解析】(1)根据EG//BD，得出AEEB =AGDG，再根据FG//CD，得出AFFC=AGGD，即可证出EF//BC；(2)根据EF//BC，得出△AEF∽△ABC，即可求出S△AEF：S△ABC=(AEAB)2，再设S△AEF=S，则S四边形BCFE=S+17，即可求出S的值，最后求出答案；此题考查了相似三角形的判定与性质；根据三角形的面积比是相似比的平方这个条件是解题的关键．第21页，共21页。

2021－2022学年上海市徐汇区南洋初级中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1.下列各组的四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段的是（）A.a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10B.a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4C.a，b ＝3，c ＝2，d D.a ＝2，b c ＝d 【答案】D 【解析】【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．【详解】解：A 、4×10≠6×5，故不符合题意，B 、1×4≠2×3，故不符合题意，C，故不符合题意，D 、故选：D ．两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则cos A 的值为（）A.35B.45C.34D.43【答案】A 【解析】【分析】首先利用勾股定理求得AB 的长，然后利用余弦的定义即可求解．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴10AB ===，则cos A =63105AC AB ==．故选：A ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.在Rt ABC 中，90,:1:2C AC BC ∠=︒=，则A ∠的正弦值为（）A.55B.255C.2D.52【答案】B 【解析】【分析】如图，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：如图所示：∵90,:1:2C AC BC ∠=︒=，∴AB ==，∴25sin 5BC A AB ∠==；故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．4.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高1.2m ，测得AB ＝1.5m ，BC ＝12.5m ，则建筑物CD 的高是（）A.10mB.11.2mC.12mD.12.2m【答案】B【解析】【分析】根据题意，可得ABE ACD ∽△△，进而列出比例式，即可求得CD ．【详解】依题意，可得//EB DC ，∴ABE ACD ∽△△，∴EB ABCD AC=， 1.5,12.5, 1.2AB BC BE ===，1.512.514AC AB BC ∴=+=+=，1.21411.21.5EB AC CD AB ⋅⨯∴===．故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找到ABE ACD ∽△△是解题的关键．5.如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在网格的交点处，则ABC ∠的正弦值为（）A.12B.655C.35D.31010【答案】D 【解析】【分析】根据表格可知AC AB ===，连接AD ，则AD BC ⊥，利用正弦的定义即可求解．【详解】解：根据表格可知AC AB ==，连接AD ，则AD BC ⊥，∴sin AD ABC AB ∠==，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理、求角的正弦值，从网格图中找出直角三角形是解题的关键．6.已知四边形ABCD 满足AB ＝DC ，且|AB +AD |＝|AB ﹣AD|，那么四边形ABCD 的形状是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形【答案】A 【解析】【分析】根据题意知，该四边形是对角线相等的平行四边形，由此判定它是矩形．【详解】解：如图，AB DC =，AB DC ∴=，//AB DC ．∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AD BC =．||||AB AD AB AD +=- ，||||CA BD ∴= ．CA BD ∴=．∴平行四边形ABCD 是矩形．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的判定．解题的关键是根据相等向量和三角形法则推知：AB =DC 且AB ∥DC ，CA =BD ．二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7.在比例尺1：500000的地图上，量得A 、B 两地的距离为4cm ，则A 、B 两地的实际距离是___千米．【答案】20【解析】【分析】根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：设实际距离为x cm ，则：1：500000＝4：x，解得x＝2000000．2000000cm＝20000m＝20km．故答案为：20．【点睛】此题考查了比例尺的性质，比例尺是图上距离比实地距离缩小的程度．解题关键是掌握比例尺的定义，注意单位要统一．8.若sin（x﹣30°）＝2，则x＝_____．【答案】90°【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得出x﹣30°＝60°，再求出答案即可．【详解】解：∵sin（x﹣30°）＝3 2，∴x﹣30°＝60°，∴x＝90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，注意：sin60°=2．9.要使二次根式有意义，则x的取值范围为______【答案】12 x≥【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的取值范围．被开方数为sin30x-︒∴sin300x-︒≥又∵1 sin302︒=∴102x-≥，解得12x≥故答案为12 x≥．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件和特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的基础知识和特殊角的三角函数值是解题的关键．10.如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是___．【答案】3【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案．【详解】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，∴△ADE与△ABC的面积比为1：4．∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3．∵△ADE的面积是1，∴四边形DBCE的面积是3．故答案为：3．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．11.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则cosA=_____﹒【答案】0.75；【解析】【详解】试题解析：∵直角△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB=2CD=2×2=4，则cosA=34 ACAB ．12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝34，AC＝12，则BC=___．【答案】9【解析】【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD =∠A ，根据正切的定义计算即可【详解】解：∵∠ACB =90°，∴∠A +∠B =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠BCD +∠B =90°，∴∠BCD =∠A ，在Rt △ACB 中，∵tan A =tan ∠BCD =34=BCAC，∴BC =34AC =34×12=9．故答案为：9．13.已知线段AB 长是2，P 是线段AB 上的一点，且满足AP 2＝AB •BP ，则AP 长为____．1-【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段，得出512AP AB =，代入数据即可得出AP 的长．【详解】解：P 是线段AB 上的一点，且满足2AP AB BP =⋅，∴BP APAP AB=，P ∴为线段AB 的黄金分割点，且AP 是较长线段，112122AB AP -==⨯=∴，1．【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；熟练掌握是解决本题的关键．14.已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是133，则这个锐角的正切值为________．【答案】3【解析】【分析】设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：1tan cot 33tan cot 1αααα⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩，解方程即可．【详解】解：设这个锐角为α，∴1tan cot 33tan cot 1αααα⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩①②由①，得10cot tan 3αα=-③将③代入②，得tan tan 0131αα⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭解得：1tan 3α=或tan 3α=当1tan 3α=时，∴cot α=3＞tan α∵α的正切值比余切值大∴此时不符合题意，舍去；当tan 3α=时，cot α=13＜tan α∴此时符合题意．故答案为：3．【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．15.已知：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，AD ＝2，当AE ＝___时，△ABC 和△ADE 相似．【答案】52或85【解析】【分析】若△ADE与△ABC相似时，则AE ABAD AC=或AD ABAE AC=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．【详解】解：当AE AB AD AC=时，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE=•AB ADAC=524⨯=52；当AD AB AE AC=时，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE=•AC ADAB=425⨯=85；故答案为：52或85．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种情况进行讨论．16.如图是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后，此时液面AB＝___．【答案】3cm【解析】【分析】利用相似三角形对应边的比高的比即可求得结果．【详解】如图，过点E作EF⊥CE于F，过点M作MN⊥AB于N则EF =15-7=8(cm)，MN =11-7=4(cm)∵△MAB ∽△ECD∴=AB MN CD EF∴463(cm)8MN CD AB EF ⨯=== 即液面AB 的宽度为3cm ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，实际问题转化为数学问题并利用相似三角形的判定与性质解决是关键．17.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB 到点D ，使BD=AB ，连接AD ，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD 1tan 22.5的值为_______．【答案】【解析】【分析】在Rt △ACB 中，∠C=90°，∠ABC=45°，可知AC=BC ，延长CB 到点D ，使BD=AB ，得∠D=22.5°，根据勾股定理求出，可求CD=(AC ，利用定义求tan 22.5°，取倒数即可．【详解】解：在Rt △ACB 中，∠C=90°，∠ABC=45°，∴AC=BC ，延长CB 到点D ，使BD=AB ，得∠D=22.5°，根据勾股定理，CD=BC+BD=AC+AB=(AC ，tan 22.5°=AC CD1=tan 22.5 ．．【点睛】本题考查类比方法求三角函数值，勾股定理，掌握三角函数的定义，勾股定理的应用，以及构图取半角的方法是解题关键．18.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 分别是边AB 、BC 、AD 上点，且∠FEG ＝90°，EG ＝6，GF 与AC 交于点M ，若AB BE BC CF =＝34，则MF ＝___．【答案】325【解析】【分析】由AB BE BC CF =＝34，设AB =3x ，则BC =4x ，设BE =3y ，则CF =4y ，根据条件可得△AEG ∽△BFE ，可得94AG y =，再由AD ∥BC ，可得△AGM ∽△CFM ，由勾股定理可得EF =8，GF =10，由1625MF GF =即可求解．【详解】由AB BE BC CF =＝34，设AB =3x ，则BC =4x ，设BE =3y ，则CF =4y ∵∠FEG =90゜，且四边形ABCD 为矩形∴∠AGE +∠AEG =90゜，∠AEG +∠BEF =90゜∴∠AGE =∠BEF∴Rt △AEG ∽Rt △BFE ∴AG AE EG BE BF EF==即33344AG x y y x y -=-∴94AG y =，34AE EG BF EF ==∵EG=6∴483EF EG==∵∠GEF=90゜∴由勾股定理得：10GF==∵AD∥BC∴△AGM∽△CFM∴916 GM AG MF CF==∴1632255 MF GF==故答案为：32 5．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据比例关系设未知数是关键．三、解答题（本大题共7小题，满分78分）19.计算：6sin30°﹣43cos30°﹣2tan45°+2tan60︒．【答案】1【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算即可解答本题．【详解】解：6sin30°﹣43cos30°﹣2tan45°+2tan60︒＝143621232⨯-⨯-⨯+＝3233--+＝1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键．20.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若△ABC的边长为9，BD=3，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）CE=2【解析】【分析】（1）由∠ADE=60°，证得∠DAB=∠EDC ，可证得△ABD ∽△DCE ；（2）可用等边三角形的边长表示出DC 的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．【详解】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC ，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD ∽△DCE ；（2）∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD CD CE=，∵9AB =，936CD =-=，∴936CE =，∴2CE =．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD ∽△DCE 是解答此题的关键．21.如图，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 是边DC 、BC 的中点，设AB a = ，AD b = ．（1）求向量MN ；（2）在图中求作向量MN 在AB 、AD方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案】（1）12MN a = -12b ；（2）见解析【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得DB ，又由点M 、N 是边DC 、BC 的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量MN ；（2）首先平移向量MN，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．【详解】解：（1）∵AB =a ，AD =b ，∴DB =AB -AD =a -b，∵点M 、N 分别为DC 、BC 的中点，∴1122MN DB a == -12b ；（2）作图：结论：AP 、AQ 是向量MN 分别在AB 、AD 方向上的分向量．．【点睛】本题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．22.永康某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M 处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B 处测得A 的仰角为30︒；当他在地面N 处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C 处测得A 的仰角为60︒．如果测得小聪的有效测温区间MN 的长度是1米，求测温门顶部A 处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计． 1.73≈，最后结果精确到0.1米．）【答案】约为2.5米．【解析】【分析】延长BC 交AD 于点E ，可得四边形BCNM 是矩形，四边形CEDN 是矩形，则有1.6DE CN BM ===，90AEC ∠=︒，设CE x =，根据1BC MN ==，60ACE ∠=︒，30ABC ∠=︒，可得30EAC ∠=︒，30BAC ∠=︒，则可得21BC AC x ===，AE =，解得0.5x =，则0.9AE =≈，再根据AD AE DE =+可求得结果．【详解】解：延长BC 交AD 于点E ，∵BM CN =且CN DM ⊥，DM∴//BM CN ，∴四边形BCNM 是平行四边形，∵90CNM BMN ∠=∠=︒∴四边形BCNM 是矩形，同理：四边形CEDN 是矩形，∴ 1.6DE CN BM ===90AEC ∠=︒∵1BC MN ==，设CE x =，∵60ACE ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴30EAC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴21BC AC x ===，tan 60AE EC =︒= 解得0.5x =∴ 1.730.50.8650.9AE =≈⨯=≈∴0.9 1.6 2.5AD AE DE =+=+=答：测温门顶部A 处距地面的高度约为2.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．23.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 交于点E ，过点E 作MN ∥AD ，分别交AB ，CD 于点M ，N ．（1）求证：△AME~△ABC ；（2）求证：111ME AD BC=+；（3）若AD=5，BC=7，求MN 的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）356【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定定理直接证明即可（2）利用平行线分线段成比例定理，再证明,ABC DBC △AME ∽△△DEN ∽△，CEN AME ABC △∽CAD,△∽△，根据三角形相似的性质即可解答．（3）结合（2）的结论将AD=5，BC=7，代入即可求得MN 的长【详解】（1）//MN BCAME ABC ∴△∽△，（2）//AD MN ，//AD BCDE AE BD AC∴=//MN BC,ABC DBC∴△AME ∽△△DEN ∽△,AE ME DE NE AC BC BD CB ∴==ME NE BC BC∴=ME NE∴=∴E 是MN 的中点，ME=NE=12MN //BC//AD MNCEN AME ABC∴△∽CAD,△∽△,NE CE ME AE AD AC BC AC ∴==1NE ME CE AE AC AD BC AC AC AC ∴+=+==1NE ME AD BC ∴+=111ME AD BC ∴=+（3）结合（2）的结论，5,7AD BC == 11157MN ∴=+3512ME ∴=ME NE= 7035126MN ME NE ∴=+==【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，利用比例的等量关系解题．24.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，∠MPN=90°，将∠MPN 的顶点P 在矩形ABCD 的边AD 上滑动，射线PN 经过点C ，射线PM 交直线AB 于点E ，交直线BC 于点F ．（1）求证：△AEP ∽△DPC ；（2）在点P 的运动过程中，点E 与点B 能重合吗？如果能重合，求AP 的长；（3）当△DPC 的面积等于△AEP 面积的2倍时，求tan ∠APE 的值．【答案】（1）见解析；（2）能，AP=2或8；（3）522-【解析】【分析】(1)由ABCD 为矩形得到∠A=∠D=90°，再利用等角的余角相等得到∠AEP=∠CPD 即可证明相似；(2)当E 点位于B 点时，利用△BAP ∽△PDC ，求出AP 的长即可；(3)设DP=x ，则AP=10-x ，由△CDP ∽△PAE 和△DPC 的面积等于△AEP 面积的2倍，求出DP 、AP 、AE 的长，再在Rt △APE 中由三角函数定义即可求出tan ∠APE 的值．【详解】解：(1)∵ABCD 为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEP+∠EPA=90°，又∠MPN=90°，∴∠EPA+∠CPD=90°，∴∠AEP=∠CPD ，∴△AEP ∽△DPC ；(2)当E 位于B 点时，如下图所示：由(1)知：△BAP ∽△PDC ，∴=AB AP PD CD，设AP=a ，则DP=10-a ，且AB=CD=4，代入上述等式中，得到：4104-=a a ，解得：2a =或8a =，经检验，2a =或8a =是原方程的解，∴AP=2或8；(3)如下图所示：△DPC 面积选择以CD 为底，DP 为高；△AEP 面积选择AP 为底，AE 为高，∵△DPC 的面积等于△AEP 面积的2倍，∴11222⨯=⨯⨯CD DP AP AE ，且CD=4，设DP=x ，则AP=10-x 整理得到：2(10)=-⋅x x AE ，解得：210=-x AE x ，又由(1)知：△CDP ∽△PAE ，∴AE AP DP CD =，代入数值，得到：210104--=xx x x ，整理得到：2(10)8-=x，解得1=10-x或2x 舍去)，经检验，1=10-x 是原方程的解，故10=-=AP x2210==-x AE x ，在Rt △AEP中，52tan 2-∠===AE APE AP ．【点睛】题考查了矩形的性质以及三角形的相似性质以及三角函数问题，本题的关键是设一边为x ，其他边能通过第(1)问中三角形相似后对应边成比例用x 的代数式表示出来．25.如图（1），在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，CD ＝8cm ，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2cm /s ．点P 和点Q 同时出发，设运动的时间为t （s ），0＜t ＜5（1）用含t 的代数式表示AP ；（2）当以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 的值；（3）如图（2），延长QP 、BD ，两延长线相交于点M ，当△QMB 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）10-2t；（2）4013或2513；（3）3527或209【解析】【分析】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=8cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；（3）分∠QMB=90゜和∠MQB=90゜两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．【详解】（1）如图，作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形∴CD=BH=8cm，DH=BC=6cm∴AH=AB-BH=16-8=8(cm)在Rt△ADH中，由勾股定理得10(cm)AD===∵DP=2tcm∴AP=AD-DP=(10-2t)cm（2）①当△APQ∽△ADB时则有AP AD AQ AB=∴10210 216tt-=解得：4013 t=②当△APQ∽△ABD时则有AP AB AQ AD=∴10216210t t -=解得：2513t =综上所述，当4013t =或2513t =时，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似；（3）①当∠QMB =90゜时，△QMB 为直角三角形如图，过点P 作PN ⊥AB 于N ，DH ⊥AB 于H∴∠PNQ =∠BHD∵∠QMB =90゜∴∠PQN +∠DBH =90゜∵∠PQN +∠QPN =90゜∴∠QPN =∠DBH∴△PNQ ∽△BHD ∴6384QN DH PN BH ===即4QN =3PN∵PN ∥DH∴△APN ∽△ADH ∴63105PN DH AP AD ===，84105AN AH AP AD ===∴33(102)55PN AP t ==-，44(102)55AN AP t ==-∴418(102)2855QN AN AQ t t t =-=--=-由4QN =3PN 得：1834(8)3(102)55t t -=⨯-解得：3527t =②当∠MQB =90゜时，△QMB 为直角三角形，如图则PQ∥DH∴△APQ∽△ADH∴45 AQ AH AP AD==∴45 AQ AP=即42(102)5t t =-解得：209 t=综上所述，当3527t=或209时，△QMB是直角三角形．【点睛】本题是相似三角形的综合应用，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论的应用．第23页/共23页。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A ．2mnB ．（m+n ）2C ．（m-n ）2D ．m 2-n 2【答案】C 【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n ），故正方形的面积为（m+n ）1．又∵原矩形的面积为4mn ，∴中间空的部分的面积=（m+n ）1-4mn=（m-n ）1．故选C ．2．等式33=11x x x x --++成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x 的范围．【详解】由题意可知：3010x x -≥⎧⎨+>⎩ , 解得：3x ,故选：B ．【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.3．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．23(2)3y x =++ B ．23(2)3y x =-+ C ．23(2)3y x =+- D ．23(2)3y x =--【答案】A【解析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ．4．已知线段AB=8cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=2cm ，若M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度为（ ）A．5cm B．5cm或3cm C．7cm或3cm D．7cm 【答案】B【解析】（1）如图1，当点C在点A和点B之间时，∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm，BC=2cm，∴MB=12AB=4cm，BN=12BC=1cm，∴MN=MB-BN=3cm；（2）如图2，当点C在点B的右侧时，∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm，BC=2cm，∴MB=12AB=4cm，BN=12BC=1cm，∴MN=MB+BN=5cm.综上所述，线段MN的长度为5cm或3cm.故选B.点睛：解本题时，由于题目中告诉的是点C在直线AB上，因此根据题目中所告诉的AB和BC的大小关系要分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况分析解答，不要忽略了其中任何一种. 5．下列叙述，错误的是( )A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形【答案】D【解析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理对选项逐一进行分析，即可判断出答案．【详解】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意；B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意；C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；D. 对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项错误，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定等，熟练掌握相关判定定理是解答此类问题的关键．6．一辆慢车和一辆快车沿相同的路线从A地到B地，所行驶的路程与时间的函数图形如图所示，下列说法正确的有（）①快车追上慢车需6小时；②慢车比快车早出发2小时；③快车速度为46km/h；④慢车速度为46km/h；⑤A、B两地相距828km；⑥快车从A地出发到B地用了14小时A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】根据图形给出的信息求出两车的出发时间，速度等即可解答．【详解】解：①两车在276km处相遇，此时快车行驶了4个小时，故错误．②慢车0时出发，快车2时出发，故正确．③快车4个小时走了276km，可求出速度为69km/h，错误．④慢车6个小时走了276km，可求出速度为46km/h，正确．⑤慢车走了18个小时，速度为46km/h，可得A,B距离为828km，正确．⑥快车2时出发，14时到达，用了12小时，错误．故答案选B．【点睛】本题考查了看图手机信息的能力，注意快车并非0时刻出发是解题关键．7．如图所示的几何体的主视图正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】主视图是从前向后看，即可得图像.【详解】主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.8．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，作射线PD ，使∠APD=60°，PD 交AC 于点D ，已知AB=a ，设CD=y ，BP=x ，则y 与x 函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°，由等角的补角相等可得出∠BAP=∠CPD ，进而即可证出△ABP ∽△PCD ，根据相似三角形的性质即可得出y=- 1a x 2+x ，对照四个选项即可得出． 【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a ，PC=a-x ．∵∠APD=60°，∠B=60°，∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠CPD ，∴△ABP ∽△PCD ，∴CD PC BP AB =,即y a x x a-=， ∴y=-1a x 2+x. 故选C.【点睛】考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-1a x 2+x 是解题的关键．9．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，CDB 30∠=，CD 23=，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π 3D ．2π 3【答案】D【解析】分析：连接OD ，则根据垂径定理可得出CE=DE ，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可．详解：连接OD,∵CD ⊥AB ， ∴13,2CE DE CD === (垂径定理)， 故OCE ODES S ，= 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵30CDB ∠=︒，∴60COB ∠= (圆周角定理)，∴OC=2，故S 扇形OBD=260π22π3603⨯=， 即阴影部分的面积为2π3. 故选D.点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键. 10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度的一半为半径作弧，相交于点E ，F ，过点E ，F 作直线EF ，交AB 于点D ，连接CD ，则△ACD 的周长为（ ）A ．13B ．17C ．18D ．25【答案】C 【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF 为线段AB 的垂直平分线，在Rt △ABC 中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=12AB ，所以△ACD 的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．【答案】40【解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.12．如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为1003米，点A 、D 、B 在同一水平直线上，则A 、B 两点间的距离是_____米．（结果保留根号）【答案】100（3【解析】分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt △ACD 中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt △BCD 中利用等腰直角三角形的性质得3，然后计算AD+BD 即可．详解：如图，∵无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，在Rt △ACD 中，∵tanA=CD AD ， ∴AD=01003tan 60=100， 在Rt △BCD 中，3，∴3（3）．答：A 、B 两点间的距离为100（3）米．故答案为100（3．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．13．计算：2（a－b）＋3b＝___________．【答案】2a+b．【解析】先去括号，再合并同类项即可得出答案．【详解】原式=2a-2b+3b=2a+b．故答案为：2a+b．14．将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．【答案】1【解析】考点：圆锥的计算．分析：求得扇形的弧长，除以1π即为圆锥的底面半径．解：扇形的弧长为：1445180π⨯=4π；这个圆锥的底面半径为：4π÷1π=1．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．15．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.【答案】（-2，-2）【解析】先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．【详解】“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），故答案是：（﹣2，﹣2）．【点睛】考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．16．某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3：3：1：1，据此估算该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为_____人．【答案】16000【解析】用毕业生总人数乘以“综合素质”等级为A的学生所占的比即可求得结果．【详解】∵A，B，C，D，E五个等级在统计图中的高之比为2：3：3：1：1，∴该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为80000×223311++++=16000，故答案为16000.【点睛】本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．17．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是_____千米．【答案】36【解析】作BE⊥AC于E，根据正弦的定义求出BE，再根据正弦的定义计算即可．【详解】解：作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，sin∠BAC＝BE AB，∴BE＝AB•sin∠BAC＝3633=由题意得，∠C＝45°，∴BC＝BEsin C ＝233362÷=（千米），故答案为36．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．18．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为_______．【答案】213【解析】设⊙O半径为r，根据勾股定理列方程求出半径r，由勾股定理依次求BE和EC的长．【详解】连接BE，设⊙O半径为r，则OA=OD=r，OC=r-2，∵OD⊥AB，∴∠ACO=90°，AC=BC=12AB=4，在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2=42+（r-2）2，r=5，∴AE=2r=10，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，由勾股定理得：BE=6，在Rt△ECB中，EC222264213BE BC+=+=. 故答案是：13【点睛】考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.求证：AD平分∠BAC；若∠BAC=60∘，OA=4，求阴影部分的面积(结果保留π).【答案】（1）见解析；（2）8 3【解析】试题分析：（1）连接OD，则由已知易证OD∥AC，从而可得∠CAD=∠ODA，结合∠ODA=∠OAD，即可得到∠CAD=∠OAD，从而得到AD平分∠BAC；（2）连接OE、DE，由已知易证△AOE是等边三角形，由此可得∠ADE=12∠AOE=30°，由AD平分∠BAC可得∠OAD=30°，从而可得∠ADE=∠OAD，由此可得DE∥AO，从而可得S阴影=S扇形ODE，这样只需根据已知条件求出扇形ODE的面积即可.试题解析：（1）连接OD.∵BC是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥BC.又∵AC⊥BC，∴OD∥AC，∴∠ADO=∠CAD.又∵OD=OA，∴∠ADO=∠OAD，∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC.（2）连接OE，ED.∵∠BAC=60°，OE=OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE=60°，∴∠ADE=30°.又∵1302OAD BAC ∠=∠=， ∴∠ADE=∠OAD ，∴ED ∥AO ，∴S △AED ＝S △OED ，∴阴影部分的面积 = S 扇形ODE = 601683603ππ⨯⨯=.20．小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y （米）与小张出发后的时间x （分）之间的函数图象如图所示．求小张骑自行车的速度；求小张停留后再出发时y 与x 之间的函数表达式；求小张与小李相遇时x 的值．【答案】（1）300米/分；（2）y=﹣300x+3000；（3）7811分． 【解析】（1）由图象看出所需时间．再根据路程÷时间=速度算出小张骑自行车的速度．（2）根据由小张的速度可知：B （10，0），设出一次函数解析式，用待定系数法求解即可.（3）求出CD 的解析式，列出方程，求解即可.【详解】解：（1）由题意得：240012003004-=（米/分）， 答：小张骑自行车的速度是300米/分；（2）由小张的速度可知：B （10，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，把A （6，1200）和B （10，0）代入得：10061200,k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：3003000,k b =-⎧⎨=⎩∴小张停留后再出发时y 与x 之间的函数表达式；3003000y x =-+；（3）小李骑摩托车所用的时间： 24003,800= ∵C （6，0），D （9，2400）， 同理得：CD 的解析式为：y=800x ﹣4800，则80048003003000x x -=-+， 7811x = 答：小张与小李相遇时x 的值是7811分．【点睛】考查一次函数的应用，考查学生观察图象的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.21．如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan ∠ABC=34．求边AC 的长；设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD DB 的值．【答案】（1）10；（2）35AD BD =． 【解析】（1）过A 作AE ⊥BC ，在直角三角形ABE 中，利用锐角三角函数定义求出AC 的长即可；（2）由DF 垂直平分BC ，求出BF 的长，利用锐角三角函数定义求出DF 的长，利用勾股定理求出BD 的长，进而求出AD 的长，即可求出所求．【详解】（1）如图，过点A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，tan ∠ABC=34AE BE =，AB=5， ∴AE=3，BE=4，∴CE=BC ﹣BE=5﹣4=1， 在Rt △AEC 中，根据勾股定理得：AC=2231+=10；（2）∵DF 垂直平分BC ，∴BD=CD ，BF=CF=52， ∵tan ∠DBF=34DF BF =， ∴DF=158， 在Rt △BFD 中，根据勾股定理得：BD=2251528⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=258， ∴AD=5﹣258=158， 则35AD BD =．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.22．已知抛物线y ＝ax 2﹣bx ．若此抛物线与直线y ＝x 只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点（3，1）．①求此抛物线的解析式；②以y 轴上的点P （1，n ）为中心，作该抛物线关于点P 对称的抛物线y'，若这两条抛物线有公共点，求n 的取值范围；若a ＞1，将此抛物线向上平移c 个单位（c ＞1），当x ＝c 时，y ＝1；当1＜x ＜c 时，y ＞1．试比较ac 与1的大小，并说明理由．【答案】（1）①212y x x =-+；②n≤1；（2）ac≤1，见解析. 【解析】（1）①△＝1求解b ＝1，将点（3，1）代入平移后解析式，即可；②顶点为（1，12）关于P （1，n ）对称点的坐标是（﹣1，2n ﹣12），关于点P 中心对称的新抛物线y'＝12（x+1）2+2n ﹣12＝12x 2+x+2n ，联立方程组即可求n 的范围； （2）将点（c ，1）代入y ＝ax 2﹣bx+c 得到ac ﹣b+1＝1，b ＝ac+1，当1＜x ＜c 时，y ＞1. b 2a ≥c ，b≥2ac ，ac+1≥2ac ，ac≥1；【详解】解：（1）①ax 2﹣bx ＝x ，ax 2﹣（b+1）x ＝1，△＝（b+1）2＝1，b ＝﹣1，平移后的抛物线y ＝a （x ﹣1）2﹣b （x ﹣1）过点（3，1），∴4a ﹣2b ＝1，∴a ＝﹣12，b ＝﹣1， 原抛物线：y ＝﹣12x 2+x ， ②其顶点为（1，12）关于P （1，n ）对称点的坐标是（﹣1，2n ﹣12）， ∴关于点P 中心对称的新抛物线y'＝12（x+1）2+2n ﹣12＝12x 2+x+2n ． 由221y=x +x+2n 21y=-x +x 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得：x 2+2n ＝1有解，所以n≤1． （2）由题知：a ＞1，将此抛物线y ＝ax 2﹣bx 向上平移c 个单位（c ＞1），其解析式为：y ＝ax 2﹣bx+c 过点（c ，1），∴ac 2﹣bc+c ＝1 （c ＞1），∴ac ﹣b+1＝1，b ＝ac+1，且当x ＝1时，y ＝c ，对称轴：x ＝b 2a，抛物线开口向上，画草图如右所示． 由题知，当1＜x ＜c 时，y ＞1．∴b 2a≥c ，b≥2ac ， ∴ac+1≥2ac ，ac≤1；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数图象平移时改变位置，而a 的值不变是解题的关键． 23．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ．过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：DE 是⊙O 的切线；当⊙O 半径为3，CE ＝2时，求BD 长．【答案】（1）证明见解析；（2）BD＝23．【解析】（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出CE CDBD AB=，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴CE CDBD AB=，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD＝62 ＝23．【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．24．某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：员工管理人员普通工作人员人员结构总经理部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工员工数（名） 1 3 2 3 24 1每人月工资（元）21000 8400 2025 2200 1800 1600 950请你根据上述内容，解答下列问题：该公司“高级技工”有名；所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为元，众数为元；小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资y（结果保留整数），并判断y能否反映该公司员工的月工资实际水平．【答案】（1）16人；（2）工中位数是1700元；众数是1600元；（3）用1700元或1600元来介绍更合理些．（4）y能反映该公司员工的月工资实际水平．【解析】（1）用总人数50减去其它部门的人数；（2）根据中位数和众数的定义求解即可；（3）由平均数、众数、中位数的特征可知，平均数易受极端数据的影响，用众数和中位数映该公司员工的月工资实际水平更合适些；（4）去掉极端数据后平均数可以反映该公司员工的月工资实际水平.【详解】（1）该公司“高级技工”的人数=50﹣1﹣3﹣2﹣3﹣24﹣1=16（人）；（2）工资数从小到大排列，第25和第26分别是：1600元和1800元，因而中位数是1700元；在这些数中1600元出现的次数最多，因而众数是1600元；（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．用1700元或1600元来介绍更合理些．（4）2500502100084003171346y⨯--⨯=≈（元）．y能反映该公司员工的月工资实际水平．25．在“双十二”期间，,A B两个超市开展促销活动，活动方式如下：A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；B超市：购物金额打8折．某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,A B两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）【答案】（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析【解析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球42000.8x个，在A超市可买篮球42003000.9x+个，根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；（2）分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得. 【详解】（1）设这种篮球的标价为每个x元，依题意，得420042003005 0.80.9x x+-=，解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，单独在A超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元，在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元，单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，在A、B两个超市共买100个，根据A超市的方案可知在A超市一次购买：20000.950⨯=4449，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元，综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.26．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. 填空：∠ABC= °，BC= ；判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.【答案】 (1) 2. (2)△ABC ∽△DEF.【解析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC 的度数，根据，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC 的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC 与△DEF 相似．【详解】(1)9045135ABC ∠=+=，2222822BC +==；故答案为 2.(2)△ABC ∽△DEF.证明：∵在4×4的正方形方格中，135,9045135ABC DEF ∠=∠=+=，∴∠ABC=∠DEF. ∵2,22,2,2,AB BC FE DE ====∴222, 2.22AB BC DE FE ==== ∴△ABC ∽△DEF.【点睛】考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．2．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A 、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A 选项不合题意；B 、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B 选项与题意相符；C 、球的左视图与主视图都是圆，故C 选项不合题意；D 、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D 选项不合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.3．如图所示，数轴上两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则下列四个数中最大的一个数是（ ）A ．aB ．bC ．1aD ．1b【答案】D 【解析】∵负数小于正数，在（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．∴1a ＜a ＜b ＜1b， 故选D ．4．一次函数y=ax+b 与反比例函数a by x-=，其中ab ＜0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据一次函数的位置确定a 、b 的大小，看是否符合ab<0，计算a-b 确定符号，确定双曲线的位置．【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0， 满足ab<0， ∴a−b>0， ∴反比例函数y=a bx- 的图象过一、三象限， 所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴正半轴，则b>0， 满足ab<0， ∴a−b<0， ∴反比例函数y=a bx-的图象过二、四象限， 所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0， 满足ab<0， ∴a−b>0， ∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限， 所以此选项正确；D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾 所以此选项不正确； 故选C. 【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a 、b 的大小 5．对于两组数据A ，B ，如果s A 2＞s B 2，且A B x x =，则（ ） A ．这两组数据的波动相同 B ．数据B 的波动小一些 C ．它们的平均水平不相同 D ．数据A 的波动小一些【答案】B【解析】试题解析：方差越小，波动越小.22,A B s s >数据B 的波动小一些. 故选B.点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．如图，有一张三角形纸片ABC ，已知∠B ＝∠C ＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、由全等三角形的判定定理SAS 证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意；B 、由全等三角形的判定定理SAS 证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．7．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：班级参加人数平均数中位数方差甲55 135 149 191某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生的平均成绩相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大．上述结论中，正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】D【解析】分析：根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；详解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大．故①②③正确，故选D．点睛：本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】B【解析】分析：商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．详解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数．故选：C．点睛：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．9．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若，CD=1，则BE的长是()A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵半径OC 垂直于弦AB ， ∴AD=DB=127 在Rt △AOD 中，OA 2=(OC-CD)2+AD 2,即OA 2=(OA-1)27 )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 10．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ） A ．13∠=∠ B ．11803∠=-∠ C ．1903∠=+∠ D ．以上都不对【答案】C【解析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算． 【详解】∵∠1+∠2=180° ∴∠1=180°-∠2 又∵∠2+∠1=90° ∴∠1=90°-∠2∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°+∠1． 故选C ． 【点睛】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度． 二、填空题（本题包括8个小题） 11．－3的倒数是___________。