新编西安电子科技大学数学建模讲义第六讲PPT课件

设甲、乙两种货物装运箱数分别为x1和x2。显然，
x1、x2都要求为整数,于是可建立整数规划模型如下：
Max z＝20x1+10x2
(1)
5x1+4x2≤24
(2)
2x1+5x2≤13
(3)
x1,x2≥0
(wk.baidu.com)
x1,x2为整数
(5)
它和线性规划问题的区别在于条件(5)。
是不是可通过把不考虑整数要求求得的最优 解经过“化整”得到满足整数要求的最优解呢？
线性整数规划
1、建模引例。 2、线性整数规划模型 3、线性整数规划的主要算法。 4、0-1规划选讲
1、建模引例
例1:某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，
每箱的体积、重量、可获利润以及装运所受限
制如下：
货物集装箱 体积(米3) 重量(百斤) 利润(百元)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24
13
问两种货物各装运多少箱，可使获得利润最大？
2. 线性整数规划模型
整数规划(IP)的一般数学模型: max (min) z= Σcjxj s.t. Σaijxj bi(i=1,2,…m)
xj 0 且部分或全部是整数
min zcTx s.t. Axb x0,x取整数，或部分取整数
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时，常会有如 下两种初始想法：
问题R2为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≥ 5 x1,x2 ≥ 0
问题R12为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≤4 x2 ≥3 x1,x2 ≥ 0
R1:z1=349 x1=4.00 x2=2.10
R0: z0=356 x1=4.81 x2=1.82
x1 ≤4
x1≥5
问题R1为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≤4 x1,x2≥0
问题R11为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≤4 x2 ≤2 x1,x2≥0
➢若松驰问题有最优解，但其各分量不全是整数，则 这个解不是原整数规划的最优解，转下一步。
➢从不满足整数条件的基变量中任选 一个xl 进行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl [xl ] +1 中的一个，把这两个约束条件加进原问题中， 形成两个互不相容的子问题（两分法）。
➢定界：把满足整数条件各分枝的最优目标 函数值作为上（下）界，用它来判断分枝是 保留还是剪枝。
➢剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较， 凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个 分枝都查清为止。
例3 求解问题
Max z=40x1+90x2 9x1+7x2 ≤ 56 7x1+20x2≤70 x1,x2≥0, 整数
问题R0为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1,x2≥0
x2 ≤2
x2≥3
R11: z11=340 x1=4.00 x2=2.00
R12: z12=327 x1=1.42 x2=3.00
R2:z2=341 x1=5.00 x2=1.57
x1 ≤1
x1≥2
R21: z21=308 x1=5.44 x2=1.00
R22: 无可 行解
3.2 割平面法
分枝定界法步骤
原问题的松驰问题：任何整数规划（IP），凡放弃 某些约束条件（如整数要求）后，所得到的问题（P） 都称为（IP）的松驰问题。一般求解对应的松驰问 题，可能会出现下面几种情况：
➢若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也 是原整数规划的最优解，计算结束。
➢若松驰问题无可行解，则原整数规划问题也无可行 解，计算结束。
规划时，往往不能成功。
例2 求下列问题：
Max Z=3x1+13x2
s.t. 2x1+9x2 40
11x1-8x2 82 x1,x2 0,且取整数值
可行域OABD内整数点，放弃整数要求后，最优解 B(9.2,2.4) Z0=58.8，而原整数规划最优解I(2,4) Z0=58，实际上B附近四个整点(9,2)(10,2)(9,3)(10,3) 都不是原规划最优解。
此例可解得x1=4.8,x2=0，凑整为x1=5,x2=0，这 就破坏了条件(2)，因而不是可行解；如截断小数 变为x1=4,x2=0，这当然满足所有约束条件，但不 是 最 优 解 ， 因 为 对 x1=4,x2=0 有 z ＝ 80 ， 而 对 x1=4,x2=1（也是可行解）有z＝90。因此要专门研 究整数规划的解法。
x2
5
D
I(2,4)
4
3
2
B(9.2,2.4)
1
O 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10
x1
3 线性整数规划的解法
•枚举法 仅仅对极小规模的问题有效
•分支定界法 应用比较广泛，对中小规模问题
•割平面法 应用比较广泛，对中小规模问题
3.1 分枝定界法
分 枝 定 界 法 是 20 世 纪 60 年 代 由 Land-Doig 和Dakin等人提出的。这种方法既可用于纯整 数规划问题，也可用于混合整数规划问题，而 且便于用计算机求解，所以很快成为解整数规 划的最主要的方法。
数学建模讲义
主讲人:穆学文
西安电子科技大学数学系 Email:mxw1334126
数学建模专题讲座
最优化模型 ---线性整数规划
整数规划简介
• 整数规划是一类要求变量取整数值的数学 规划，可分成线性和非线性两类。
• 根据变量的取值性质，又可以分为全整数 规划，混合整数规划，0-1整数规划等。
• 整数规划是数学规划中一个较弱的分支， 目前只能解中等规模的线性整数规划问题， 而非线性整数规划问题，还没有好的办法。
➢因为可行方案数目有限，因此经过一一比较后， 总能求出最好方案，例如，背包问题充其量有2n-1 种方式；连线问题充其量有n!种方式；实际上这种 方法是不可行。设想计算机每秒能比较个方式，那 么要比较完20!（大于2*1018）种方式，大约需要 800年。比较完260种方式，大约需要360世纪。
➢先放弃变量的整数性要求，解一个线性规划 问题，然后用“四舍五入”法取整数解，这种 方法，只有在变量的取值很大时，才有成功的 可能性，而当变量的取值较小时，特别是0-1