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几何画板初中题讲解摘要：1.介绍几何画板的作用和应用场景2.分析几何画板在初中数学教学中的重要性3.讲解如何使用几何画板解决初中数学题目4.列举了几何画板初中题讲解的实例5.总结使用几何画板进行初中题讲解的注意事项正文：几何画板是一种非常实用的数学教学工具，它可以帮助教师和学生们更好地理解和掌握几何知识。
在初中数学教学中，几何画板的应用尤为重要，因为它可以直观地展示几何图形的性质和关系，使得学生们更容易理解抽象的数学概念。
几何画板在初中数学教学中的重要性不言而喻。
首先，它能帮助教师更好地进行课堂教学。
例如，在讲解几何图形的性质时，教师可以利用几何画板现场绘制图形，并动态展示图形的变换过程，使得学生们能直观地感受到几何图形的特点。
其次，几何画板还能激发学生的学习兴趣。
通过亲手操作几何画板，学生们可以亲自实践几何知识，从而提高学习兴趣和积极性。
那么，如何使用几何画板解决初中数学题目呢？以下是一些具体的实例：1.利用几何画板绘制几何图形，如直线、圆、三角形等，并测量图形的边长、角度等。
2.通过几何画板的几何变换功能，分析图形的平移、旋转、翻转等变换过程，从而理解图形的性质和关系。
3.在几何画板上进行几何图形的构造，如根据已知条件构造全等三角形、相似三角形等。
4.利用几何画板进行几何题目的求解，如求解直角三角形的高度、求解圆的面积和周长等。
5.通过几何画板分析几何图形的稳定性，如判断四边形的稳定性、分析三角形的稳定性等。
在使用几何画板进行初中题讲解时，还需要注意以下几点：1.合理选择题目，突出几何画板的优势。
并非所有题目都适合使用几何画板讲解，教师应根据教学内容和学生的实际需求，选择合适的题目进行讲解。
2.注重几何画板的操作技巧，提高讲解效率。
教师应熟练掌握几何画板的操作方法，以便在课堂上迅速绘制和调整图形。
3.结合实际教学需求，灵活运用几何画板的功能。
几何画板不仅具有绘图功能，还具有动画、测量等丰富功能，教师应根据教学需求，灵活运用这些功能，提高教学质量。
几何画板探究中考例题
几何画板是一个强大的数学软件，可以用来探究和解决各种几何问题，包括中考的几何题目。
以下是一个几何画板探究中考例题的过程：
题目：在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，点 P 是边 AC、AB
上的动点，则 CP + BP 的最小值为 _______．
首先，在几何画板上绘制出直角三角形 ABC，并标记 AC = 3，BC = 4。
然后，我们注意到当点 P 是 AC、AB 上的动点时，CP + BP 的最小值实际
上是点 B 关于 AC 的对称点 B' 到点 C 的距离。
这是因为当点 P 移动到使得CP + BP 取最小值的点时，△CPB' 会是一个等腰三角形。
接下来，我们需要找到这个最小值。
首先，找到点B 关于AC 的对称点B'。
我们可以使用几何画板的“标记向量”和“平移”工具来完成这一步。
然后，使用线段工具连接点 B' 和 C。
使用“测量”工具测量 B'C 的长度，
这就是 CP + BP 的最小值。
最后，我们注意到 B'C 的长度实际上就是 BC 的长度，因为 B 和 B' 是关于AC 对称的。
所以，CP + BP 的最小值就是 BC 的长度，也就是 4。
通过几何画板的帮助，我们可以直观地理解这个问题，并准确地找到 CP + BP 的最小值。
这不仅帮助我们解决了这个问题，也提高了我们的几何直觉和问题解决能力。
几何画板实现了初中几何、函数教学难点的有效突破[摘要]初中几何、函数问题中的动态变化是传统数学教具较难演绎的，数的连续变化与点的运动之间的对应关系难于言表。
本文阐述了在初中几何、函数教学中如何运用几何画板解决教学难点的做法：利用几何画板帮助学生理解基本概念；使抽象的数学教学变得形象、直观；利用几何画板验证问题和揭示问题本质；给学生提供猜想和探索的技术环境。
几何画板引入初中数学课堂，它使初中几何、函数的教学出现质的飞跃。
学生动手操作，激发兴趣，体验数学过程，发现数学结论。
几何画板将传统数学教具表现的离散变成动态、连续，有效体现数形结合思想。
[关键词] 几何画板 难点突破一、初中几何、函数教学中的困惑及分析长期从事初中数学教学，一直困扰的问题有：[1]某些几何概念的给出及相应定理的推导都是静止、片面的，尤其是几何问题中的动态与变化是传统数学教具无法演绎的。
[2]函数教学（主要是一次函数、反比例函数和二次函数）一直是初中教学的难点，数的连续变化与点的运动之间的对应关系难于用语言表述清楚。
产生上述困惑的主要原因是：传统数学教具只能表述静止、离散的图形概念。
例如：三角形三边的中垂线必交于一点。
教师用尺规在黑板上画一个三角形，并作出各边的中垂线，由此知晓这些直线是否交于一点，但这样只能看到一个三角形的情况，无法更好地理解每个三角形都具有这个性质。
又如：研究一次函数b kx y +=（k ≠0,k 是常数）图象位置与k,b 的取值有关，尽管作一次函数的图象也比较简单，但每条直线只是独立的个体，不能看到它的连续变化。
二、几何画板（.GSP ）的优势分析初中数学课上一般用PPt 代替数学教师的板书，讲课的效率虽然提高，但表演成分居多，教学效果却不如传统的板书。
而几何画板的功能优势表现在：1）学习容易。
不需要编程，如果您已经有了Windows 的操作基础，能够经过一周的培训就可以比较熟练地掌握它，这对于不太熟悉计算机程序语言的数学教师无疑是“福音”。
几何画板背景下的2019年河南省中考数学压轴题资料编号:2020020815522019年河南省中考数学第23题 23. 如图,抛物线c x ax y ++=212交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C .直线221--=x y 经过点A 、C .（1）求抛物线的解析式;（2）点P 是抛物线上一动点,过点P 作x 轴的垂线,交直线AC 于点M ,设点P 的横坐标为m . ①当△PCM 是直角三角形时,求点P 的坐标;②作点B 关于点C 的对称点'B ,则平面内存在直线l ,使点M 、B 、'B 到该直线的距离都相等.当点P 在y 轴右侧的抛物线上,且与点B 不重合时,请直接写出直线b kx y l +=:的解析式.（b k ,可用含m 的式子表示）备用图几何画板动态体验打开几何画板文件名“19河南23”,用鼠标拖动点P ,观察△PCM 的形状,发现△PCM 可以两次成为直角三角形,如下页图所示;在拖动点P 的过程中,PMC ∠不可能成为直角. 满足条件的直线l 即△'MBB 的三条中位线所在的直线.①︒=∠90CPM ②︒=∠90PCM解题过程及评分标准 解:（1）令0221=--x ,解之得:4-=x ;令0=x ,则2-=y ∴()0,4-A ,()2,0-B把()0,4-A ,()2,0-B 分别代入c x ax y ++=212得: ⎩⎨⎧-==+-20216c c a ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-==241c a ∴抛物线的解析式为221412-+=x x y ;……………………………………………………3分（2）∵点P 的横坐标为m ,∴⎪⎭⎫⎝⎛-+22141,2m m m P .①当△PCM 是直角三角形时,分为两种情况: 当︒=∠90CPM 时,x PC //轴,∴C P y y =. ∴2221412-=-+m m ,解之得:01=m （不符合题意,舍去）,22-=m ∴()2,2--P ;……………………………………………………………………………………5分 当︒=∠90PCM 时,过点P 作y PN ⊥轴于点N . ∴()m m m m y y y y CN m PN C P C N 2141222141,22+=---+=-=-==. 易证:△PCN ∽△CAO .∴421412,2mm m AO CN CO PN +==∴m m m 221412=+,解之得:01=m （不符合题意,舍去）,62=m . 当6=m 时,=-+221412m m 1026216412=-⨯+⨯∴()10,6P .综上所述,点P 的坐标为()2,2--或()10,6;……………………………………………………8分 ②243--=m x y 或2244--+=x m m y 或2424-+-=m m y .…………………………………11分提示:由题意可知,满足条件的直线l 即△'MBB 的三条中位线所在的直线.∵y PM //轴,∴⎪⎭⎫⎝⎛--221,m m M根据中点坐标公式,BM 边的中点为⎪⎭⎫⎝⎛--+141,22m m .点C 为'BB 边的中点. 把()2,0-C ,⎪⎭⎫⎝⎛--+141,22m m 分别代入b kx y +=得: ⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=141222m b k m b ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=2424b m m k . ∴直线l 的解析式为2424-+-=m my .其它结果按照相同的方法求得.。
R 综合题测验（一）利用等腰三角形确定点如图，直线MN与x轴，y轴分别相较于A,C两点，分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相较于点B，且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程214480-+=的两根。
x x（1）求点C的坐标。
（2）求直线MN的解析式。
（3）在直线MN上存在点P，使P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点P的坐标。
分析：（1）点C 的坐标为（0,6）分析：（2）直线MN 的解析式为：643+-=x y 。
分析：（3）1(,)2525p -第二种情况：以点C 为顶点。
233263254(,),(,).5555p p第三种情况；以点P 为顶点。
4(4,3).p综合题测验（二）利用等腰三角形确定点如图，直线y=kx-3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，且12OB OC . （1）求B 点坐标和k 值；（2）若点A （x ，y ）是直线y=kx-3上在第一象限内的一个动点，当点A 在运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）探究：①当A 点运动到什么位置时，△AOB 的面积为94，并说明理由； ②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P 点坐标；若不存在，请说明理由．分析（1）133,.22OC OB OC =∴== 点B 的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭3,03 2.2y kx k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭把点B 代入中，解得（2）设点A 的坐标为(),23x x -,()1133923.22224S OB AD x x =⨯=⨯⨯-=-（3）①根据题意得399244x -=，解得x=3，则A 的坐标为（3,3）。
②：分析第一种情况：以点A 为顶点。
作AD x ⊥轴，垂足为点D.则点D 为1OP 所以点1(60)P ，第二种情况：一点O 为顶点。
利用几何画板解决动态几何问题本文从三个方面谈谈动态几何问题的解题思路.一、动点问题动点问题是探索某个儿何图形上，一个或儿个点在运动变化过程中形成的数量关系、图形状态、图形之间的特殊关系等.解决此类问题，须关注点的运动方向、范围和速度，以便确定是否需要分类讨论.例1 已知直角坐标系中，菱形ABCD的位置如图1, C、D两点的坐标分别为(4,0), (0, 3),线段BE是菱形的高.现在有两个动点P, Q分别从A, C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的边长和它的而积及BE的长；(2)探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA 上时，求AAPQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒k个单位.在运动过程中，任何时刻都有相应的聶值，使得AAPQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.探究(=4秒的情形，并求出k的值.解析问题(1)比较简单，利用勾股定理就能求出菱形的边长和面积及BE的长；问题(2)的第①小题中，由于点P、Q都在运动，AAQP的大小在变化，点P、Q的运动吋间范围都不知道，因此求AAQP的血积的函数关系式及血积的最大值感觉无从下手，那么，如何才能解决问题呢？利用儿何画板作图1观察：①点击鼠标使点P、Q同时运动，观察点P、Q停止运动的时刻，找出运动时间范围；②观察AAQP大小随时间变化而变化，并在不同时刻作出它的高，找出AAQP的面积最大时刻；③观察这些三角形的高有什么位置关系？它们与线段BE有什么关系？④利用三角形相似，可以求出厶AQP的高.这样，它的面积为：242 24- ------- 1 + —t25 524/= -25('-y) +&0 < t < 5,・•・当“•时,S = 6.问题(2)的第②小题中，由于等腰三角形AQP并没有指定它的两腰，所以结论必须分情况讨论.利用几何画板作图2观察：点击鼠标使点P、Q同时运动，观察点Q的位置随着时间变化而变化，当点Q分别在边AB或边BC±时，来讨论AQAP三边之间的关系.图2（i ） 当点Q 在边BC 上时,PQNBE>PA, 只存在点Q,使QA = QP.•・• ACQM s MFM,・些二坐co _丝…CQ _ AF 1 V — 5，妣 22 i 114k = = 10；（ii ） 当点Q 在AB 上时，存在两点分别使 AP = AQ.AP = PQ.若AP = AQ （如图3）,则必=10 - 4 = 6,jt = y;若PA = PQ （如图4）,通过点P 作PF 丄 AQ,垂足为F ・由空—陛田 AP 一 AS'综合上所述，当t=4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为耳，或丄，或2Z.10 2 50点评此题是以点的运动为背景，难度较大的一道综合题.抓住动点Q 与定点A,与得P ，譽二% AF = - P 尸25 9偿） AQ = 2AF = g. 于是，必=10 -誇 19425，97502825 9P构成等腰三角形是关键，再分类讨论，综合分析得出结论.二、动线问题动线问题是探索某个几何图形上，某线段在运动变化过程中形成的数量关系、图形的状态、图形之间的特殊关系等.例2 已知如图5,等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段““在厶ABC的边上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时，点M与点A重合, 点IV到达B 点时运动终止).过点M、N分别作AB的垂线，与AABC的其它边交于P、Q两点，线段MN 运动的时间为t秒.(1)线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积;(2)线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t,求四边形MNQP的面积S随运动时间t的变化的函数关系式，并写出自变量t的取值.图5 图6解析在题(1)中，可利用几何画板作图6,点击鼠标使线段MN运动，观察四边形MPQN 的形状，当四边形MPQN为矩形时使运动停止，分析可知此时AACB的高是线段MN的垂直平分线，问题也就迎刃而解了.题(2)中的关键问题是，随着时间变化，四边形MPQN不但形状变化而旦大小也在变化.对此，可利用儿何画板作图7、图8、图9,用鼠标点击，使线段肘IV运动，观察四边形MPQN 的形状可以知道，在不同的时间段，四边形MPQN的形状大小都在变化，须分别讨论.⑴线段MN在点D的左侧，四边形MNQP是梯形，如图7. t的取值范围是OWtWl.(ii) 线段MN 在D 点的两侧，四边形MNQP 是梯形，如图8. t 的取值范围是 lWtv2・ (iii) 线段MN 在点D 的右侧，四边形MNQP 是梯形，如图9. t 的取值范圉是253.四边形PMNQ 的面积点评 线段MN 在AB 上运动，本质是相距1厘米的两动点M 、N 在线段AB 上运动, 将线段化为两端点的运动，抓住动点或动线的特点与规律，注意变化中图形的性质和特征, 进而求解.三、动面问题动面问题是探索在某个几何图形上，面在运动变化过程中形成的数量关系、图形的特 殊状态、图形Z 间的特殊关系等.A MN DB 图7A M "幵B 图8 • A D M N B图9-^31 + •事(2 < t < 3).2例3 如图10,在AABC 屮，ZC=45° , BC=10，高AD = 8.矩形EFPQ 的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H.(1)求证:(2)设EF=x,当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值;(3)当矩形EFPQ的而积最人时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿着射线QC匀速运动(当点Q与点G重合时停止运动).设运动时间为t秒，矩形EFPQ与AABC重壳部分的面积为S,求S与t的两数关系式.图10解析问题⑴⑵根据三角形相似就能解决；对问题(3),难度在于矩形QEFP随着时间的变化与AABC重叠部分的形状不断变化, 可利用几何画板作图，点击鼠标使矩形QEFP运动，观察可以知道在不同的时间段，矩形QEFP与AABC重叠部分的形状大小都在变化，须分吋间段讨论.(i)当0Wl<4时，矩形与ZXABC重程的部分为五边形EQ】PNM(如图11)；(ii)当4^1<5时，矩形与AABC重輕部分而积为直角梯形(如图12)；(iii)当5WtW9时，矩形与AABC重叠部分面积是等腰直角三角形(如图13).A图13则S与t的函数关系式为:-斗2 +20(0 W £ < 4),S =--4r +28(4 w t < 5),*(9 7)2(5 WtW9)・・点评本题第(3)问的难点是：由t的变化，矩形EFPQ被线段AB所截与AABC重叠部分将依次为五边形、四边形、三角形，最后消失.它蕴含着分类讨论的思想方法，须先确定t 的变化范围，再求面积S.。
《几何画板》助力初中数学教学一、利用几何画板能使抽象数学的概念直观化如，几何画板在“变化”菜单中提供平移、旋转、对称等命令，使复杂的变化过程通过输入简单的指令即可操作完成。
几何画板也通过数形结合的方式，形象直观地展现数形之间的关系。
既能吸引学生的注意力，使概念直观化，知识明了，又能使学生了解到解题的关键点。
例1、某小区计划在长为a米，宽为b米的矩形场地上，修建同样宽为c米的两条小路，其余部分种草。
依照图中标注的数据，请你计算草坪的的面积.解：如图，将如图(1)四块草地向中间拼拢(即平移)得如图(2)，这样就形成了一个长为(a—c)米，宽为(b —c)米的矩形..•.S 空白=(a—c) X ( b — c) =ab - ac - bc + c2例2、画出将△ ABC绕点C逆时针旋转60°，得到B‘ C，并指出△ ACA' 的形状。
解：△ACA是等边三角形例3、如图（1），已知△ ABC和直线L,作出与△ ABC关于直线L对称的图形.二、利用几何画板能使复杂的问题简单化。
教学中若使用常规工具（如纸、笔、圆规和直尺）画图，画出的图形体现不出重要的几何规律。
而使用几何画板,可以在变化的图形中发现恒定不变的几何规律。
比如用画点、画线工具画出一个三角形后，作出它的三条角平分线、中线、中垂线，可以用鼠标任意拖动三角形的顶点和边，就可以得到各种形状的三角形，这个动态的演示，也可以用于验证“无论三角形如何变化，其三条角平分线线总是交于一点”。
例、作^ABC三个内角的平分线。
观察这一点到三条边的距离有何关系？分析：此例比较复杂，利用几何画板软件画图，并用文字语言阐述得到的性质.l CA解：点P是AABC的三条角平分线的交点，且PE丄BC, PF丄AC, PD±AB PD = PE= PF （角的平分线上的点到角两边的距离相等）三、利用几何画板能使不会动的图形，动起来，增强了学生识图和想象能力。
利用几何画板分析河南中考中的折叠问题河南省罗山县教学研究室姜国策河南省罗山县朱堂初级中学罗光尚为了考查学生数形结合的思想方法和空间想象能力，近年来，折叠问题成为河南中考高频考点之一，2013-2017年河南中考选填压轴题第15题无一年不涉及折叠问题，而且以两解甚至多解情况出现，有一定的难度。
在平面中实现这种折叠效果很困难，解这类题必须要有缜密的思维，扎实的基础和丰富的空间想象能力，讲授过程学生也不易理解，而在几何画板可以动态地展示这种折叠效果，很直观的观察出不同的位置状态，从而有效的进行分类讨论。
下面就来介绍如何利用几何画板来分析近年的几道河南中考中的折叠问题。
【例1】（2013•河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【解答】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=2243=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5﹣3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．t 2 = 4厘米t 1 = 3厘米动画点B'D C A t 2 = 4厘米t 1 = 3厘米动画点B'D CA 此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE 的长为32或3． 【画板绘图】1.利用变换菜单中的平移功能绘制长为AB=3，BC=4的矩形ABCD.2.在线段BC 上绘制点E---构造线段BE.3.选中线段AB 、BE 、点B---双击AE---变换---反射---得到△A EB′.4.构造线段B′C.5.选择E 点---编辑---操作类按钮---动画---OK.【动画演示】鼠标点击动画按钮或拖动点E ，即可很清晰的观察出∠EB′C=90°与∠C EB′=90°两种不同的位置状态.【例2】（2014•河南）如图矩形ABCD 中，AD=5，AB=7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D′落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为_________．【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P⊥BC 交BC 于点P ，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE ．【解答】如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P⊥BC 交BC 于点P∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的角平分线上，∴MD′=PD′， 设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x ，又折叠图形可得AD=AD′=5， ∴x 2+（7﹣x ）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a ，∴a 2=22+（4﹣a ）2，解得a=52，即DE=52， ②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a ， ∴a 2=12+（3﹣a ）2，解得a=53，即DE=53．故答案为：52或53．【画板绘图】1.利用变换菜单中的平移功能绘制长为AD=5cm，AB=7cm的矩形ABCD.2.在线段DC上绘制点E---构造线段DE、AE.3.选中线段AD、DE、点D—双击AE—变换—反射—得到△AED′.4.选择线段AB、BC，构造∠ABC角平分线..5.选择E点—编辑—操作类按钮—动画—OK.【动画演示】鼠标点击动画按钮或拖动点E，即可很直观的看出在D点运动过程中AD′与∠ABC 角平分线相交的两种情况，易于用勾股定理求解.【例3】（2015•河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．【解答】（i）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D时，AG=DH=12DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．由翻折的性质，得B′E=BE=13．∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，2222B13512E EG'--=，∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，2222B4845H DH'+=+=（ii）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．（iii）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为16或4516或5【画板绘图】1.自定义工具---四边形---正方形，绘制正方形ABCD.2.在AB 上绘制点E （AE 约为AB 的316），在BC 上绘制点F. 3.构造线段EF 、BE 、BF.4.选中线段BE 、BF 、点F---双击线段EF---变换---反射，得△E B′F.5.构造线段B′C 、B′D.6.选中点F---编辑---操作类按钮—动画—OK.【动画演示】鼠标点击动画按钮或拖动点F ，即可很直观的看出在F 点运动过程中DB ′=DC, DB ′= B ′C,B′C=DC 三种情况，然后对三种情况进行分类讨论.【例4】(2016•河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC于点M ，N ．当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为 ．【分析】根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN 的长，根据勾股定理，可得答案．【解答】由翻折的性质，得AB=AB′，BE=B′E．①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x ，得21x +，△B′EN∽△AB′M，'''EN B E B M AB =，即2123x x +=x 2=4543515+= ②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x ，得222x +△B′EN∽△AB′M，'''EN B E B M AB =，即241x x +=， B'D C BE B'D C B E B'D C B E （i ）B′D=B′C （ii ）DB′=CD （iii ）CB′=CD（2）解得x 2=12，BE=B′E=142+=322，故答案为：322或355． 【画板绘图】1. 绘制直线AD ，过A 绘制AB ⊥AD ， 过B 绘制直线BC.2. 在射线BC 上绘制任意点E ，构造线段AE 、AB 、BE.3.选中线段AB 、BE 、点B---双击线段AE---变换---反射，得△A B′E.4.过B′绘制直线MN ⊥AD ，绘制MN 的三等分点.5.选中点E---拖动点E 使点B′落在MN 上的不同位置—动画—OK.【动画演示】拖动点F ，即可很直观的看出在E 点运动过程中图形的改变，然后点B′落在MN 上的不同位置的数值进行计算.【例5】(2016•河南)如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为____________ ．【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论． 【解答】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM=12BC=12(2+1)； ②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC ，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=2MB′，（1）∵BM=B′M，∴CM=2BM，∴CM+BM=2BM+BM=2+1，∴BM=1，故答案为：122+12或1．【画板绘图】1.自定义工具---三角形---含45°角的直角三角形--等腰Rt△ABC.2.在AC上绘制点B′，绘制线段B B′.3.选中B B′--构造—中点--选中线段BB′及中点—构造垂线，交AB与N，交BC与M.4.选中点B′--拖动--使∠MB′C=90°或∠B′MC=90°--OK.【动画演示】鼠标拖动点B′，即可很直观的看出在B′运动过程中∠MB′C=90°或∠B′MC=90°的两种情形，然后对两种情况进行分类计算.随着科技的进步，课堂教学也与现代科技紧密结合，利用几何画板动态演示折叠与运动变化过程，易于展示抽象的内容，学生通过直观观察，可使折叠与动点运动展示得更加清晰明了，突破教学难点，从而降低了试题的难度,更益于学生的理解和接受。
