数学基础模块(下册)第九章 立体几何

中职数学基础模块下册第九章《立体几何》单元检测试题及参考答案中的夹角的正弦值。

解答：1）由于A1B1与CD平行，所以∠A1BC=∠ABCD=90°，又因为AB=1，BC=2，所以A1B1=√5.在平面A1B1C1D1中，A1B1与A1D1垂直，所以∠A1B1D1=90°，又因为A1B1=√5，A1D1=2√2，所以cos∠A1B1D1=√2/2，因此∠A1B1D1=45°。

所以∠A1BC1=∠A1B1D1=45°，所以∠A1BD=90°-45°=45°。

2）由于BC1与CC1D1垂直，所以cos∠BCC1D1=BC1/CC1D1=2/3，所以∠BCC1D1≈48.19°。

又因为BC1与BC垂直，所以cos∠ABC1=sin∠BCC1D1=sin48.19°≈0.7431，所以sin∠ABC1≈0.6682.16、（10分）一个正四面体的棱长为a，求其高和侧面积。

解答：设正四面体的高为h，则由勾股定理可得：h^2=a^2-(a/2)^2=a^2/4×3所以h=a√3/2.正四面体的侧面是四个全等的正三角形，所以侧面积为4×(a^2√3/4)=a^2√3.所以正四面体的高为a√3/2，侧面积为a^2√3.17、（10分）如图所示，四棱锥ABCDV的底面是边长为a的正方形，V是底面正方形中心，AV=VB=VC=VD=h，求四棱锥的侧面积和体积。

解答：首先连接AV、BV、CV、DV，可以得到四个全等的三角形，所以四棱锥的侧面积为4×1/2×a×h=2ah。

由勾股定理可得：h^2=(a/2)^2+(h-VG)^2又因为VG=h/2，所以h^2=(a/2)^2+(h/2)^2所以h=√(5/4)a。

四棱锥的底面积为a^2，所以体积为1/3×a^2×h=1/3×a^2×√(5/4)a=(√5/12)a^3.17、解：（1）因为PA垂直于平面ABC，所以PA垂直于AC和AB，即PA垂直于BC的平面，即BC垂直于PA，即BC垂直于PC。

中职数学（基础模块）下册第九章立体几何单元测试卷含答案一、、选择题1．下列条件不能确定一个平面的是（）A．两条平行线B．两条相交线C．一条直线和该直线外一点 D.三个点2．平行于同一条直线的所有直线( )。

A.都相交B.互相平行C．既不相交也不平行 D.都在一个平面内3．直线l在平面α内用集合符号可表示为( )．A．l∈α B. l∩α C. α⊆l D. l⊆α4．下面说法正确的是( )．A.平面α是一个平行四边形B.平面β的长为3m，宽为2mC. 一个平面可以将空间分成两部分D. 一条线段在一个平面内，但其延长线可以不在这个平面内5.下面可以确定一个平面的条件是（）A. 经过两点B．经过三个不同的点C．经过两条直线D．经过不在一条直线上的三点6. 以下四个命题中，正确的是( )A.不重合的两条直线确定一个平面B．两两相交的三条直线确定一个平面C．若线段AB在平面α内，则直线AB也在平面α内D.若线段AB在平面α内，则直线AB与平面α没有公共点7．若点M在直线l上，直线l在平面α内，则M，l，α之间的关系用符号可表示为( )A．M∈l，l∈αB．M∈l，l⊆αC. M⊆l，l⊆αD. M⊆l，l∈α8. 下列说法正确的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；⑧垂直于同一直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行.A.①④B. ①②④C. ①②③D. ②③9.在空间中，直线与直线的位置关系( )A.相交B．平行C．异面 D.相交、平行或异面10．异面直线是指( )A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线和平面外的一条直线D．不在同一平面内的两条直线11．给出下列四个命题：①若直线a不平行于b，则a与b一定相交；②若直线a与b不相交，则a∥b;③若a，b为异面直线，则a不平行于b;④若a ，b 为异面直线，则a 与b 一定不相交．其中，正确命题的个数为( )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12.如图所示， 正方体ABCD-A'B'C'D'的对角线AC'与棱BC 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．共面 D.异面13．下面说法正确的是( )．A.过直线外一点与这条直线平行的直线有无数条B.如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行C ．空间四边形的四个顶点一定不共面D.四条线段首尾顺次连接而成的四边形一定是平面图形14. 垂直于同一条直线的两条直线（ ）A.相交B.平行C.异面D.相交、平行或异面15. 在长方体1111D C B A ABCD 中， 直线AC 与11B C 的关系为( )A.平行 B ．垂直 C ．异面 D.在同一个平面内16．已知直线a ∥平面α，直线b 在平面α内，则( )A. a//bB.a 和b 相交C.a 和b 异面D. a 和b 平行或异面17．以下条件中，能判定直线l ⊥平面α的是( )A.直线l 与平面α内一个三角形的两边垂直B ．直线l 与平面α内的一条直线垂直C.直线l 与平面α内的两条直线垂直D.直线l 与平面α内的无数条直线垂直18.若直线l在平面α外，则( )．A. l//αB.l和α至少有一个公共点C. l和α相交D. l和α至多有一个公共点19．两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )．A.异面 B.相交C．平行 D.可能共面，也可能异面20．若a,b为直线，α为平面，则下列命题中，错误的是( )．A. 若a∥b，a⊥α，则b⊥αB. 若a⊥α，b⊥α，则a∥bC. 若a⊥α，b⊆α，则a⊥bD. 若a⊥b，a⊥α，则b⊥α21．在一个平面内，与这个平面的斜线垂直的直线( )．A.只有一条B.有无数条C．有相交的两条D．一条都没有22．空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（）A.1个B.2个C．3个 D.无数个23．下列条件中能判断两个平面平行的是( )A. 两个平面与同一条直线平行B. 两个平面与同一个平面垂直C.一个平面内的两条直线平行于另一个平面D. 一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面24．若平面α∥平面β，α⊆β，b⊆β，直线a，b的位置关系是( ) A.异面 B.不相交 C.平行 D.垂直25．都与第三个平面垂直的两个平面( )．A.互相垂直B.相交C.互相平行D.如果相交，那么它们的交线垂直第三个平面26．下列命题中，错误的是( )A. 平行于同一个平面的两个平面平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，则交线平行D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个也相交27. 已知平面α与β，γ都相交，则这三个平面可能有( )．A. 1条或2条交线B. 2条或3条交线C．仅2条交线 D. 1条或2条或3条交线28．下面四种说法中，正确的个数为（）①如果两个平面不相交，那么它们就没有公共点；②如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则在另一个平面内有且只有一条直线与己知直线平行A.1个B.2个C．3个D．4个29．过平面外的两个点并且与这个平面垂直的平面（）A. 有两个B.有无数个C. 有唯一的一个D.个数与两个点的位置有关30．如果一条直线上的两点到同一平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（）A. 直线在平面内B.直线与平面平行C．直线和平面相交 D.以上情况都有可能参考答案1—5 DBDCD6—10 CBADD11—15 BDCDC16—20 DADDD21—25 BDDBD26—30 BDADD。

高中数学：第九章立体几何9（A）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．9（B）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：（1）掌握平面的基本性质。

中职数学基础模块下册《立体几何》课件(一)中职数学基础模块下册《立体几何》课件，是为中职学生编写的数学课件，旨在帮助学生更好地掌握立体几何的知识和技能。

本文将从以下几个方面展开探讨：该课件的概况、教学内容、教学方法和教学效果。

一. 课件概述中职数学基础模块下册《立体几何》课件，是国家教育部根据中职教育教学大纲编写的，全书共分为14个章节，包括平面图形、空间直线、平面的位置关系、长方体、多面体、棱台、棱锥、圆锥、球的表面积和体积等内容。

该课件通过教学活动、课堂练习和实验演示等多种形式，将理论知识与实际操作相结合，为学生提供了一个互动式学习的平台。

二. 教学内容该课件的教学内容丰富、全面，既包括了立体几何的基本概念和定理，又涉及了多面体的表面积和体积计算等实际问题。

例如，第四章“长方体”中，课件通过图示和实例，让学生了解长方体的定义和性质；并通过运用长方体的表面积和体积公式，让学生掌握计算长方体表面积和体积的方法；第六章“棱台”则通过立体模型和实例，让学生理解棱台的基本属性和计算方法。

通过这些内容，帮助学生加深对立体几何知识的理解和应用能力。

三. 教学方法中职数学基础模块下册《立体几何》课件采用了多种教学方法，如概念讲解、图像表述、数学公式应用和实际问题分析等。

其中，课件中的实验演示部分，通过动态模拟实验环节，让学生更好地理解概念和定理；而课件中的教学活动部分，则通过对课件中实例的引导和讨论，培养学生的分析和解决问题的能力。

除此之外，课件中的课堂练习和测试部分，既可让学生自我检验学习效果，又可为教师提供有针对性的教学反馈。

四. 教学效果由于该课件贴近课程内容实际，注重理论知识与实践操作的结合，使得学生更好地掌握相关知识和技能。

同时，该课件的互动式学习方式，也有效激发学生的学习兴趣和学习动力，提高了学习效率和教育效果。

综上，中职数学基础模块下册《立体几何》课件是一份系统、科学、实用的教学工具，南加州大学该课件不仅有助于学生巩固立体几何相关知识，还能够锻炼学生的数学思考能力和实际问题解决能力。

高中数学第九章-立体几何考试内容平面与其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理与其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角与其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求〔1〕掌握平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想像它们的位置关系．〔2〕掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理,掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离．〔3〕掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理与其逆定理．〔4〕掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．〔5〕会用反证法证明简单的问题．〔6〕了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的概念．〔7〕了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图．〔8〕了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图．〔9〕了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式．9〔B〕．直线、平面、简单几何体考试内容：平面与其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理与其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量与其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角与其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：〔1〕掌握平面的基本性质.会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系．〔2〕掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理与其逆定理．〔3〕理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘．〔4〕了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算．〔5〕掌握空间向量的数量积的定义与其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．〔6〕理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．〔7〕掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．〔8〕了解多面体、凸多面体的概念.了解正多面体的概念．〔9〕了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图．〔10〕了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质.会画正棱锥的直观图．〔11〕了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式．〔考生可在9〔A 〕和9〔B 〕中任选其一〕§09. 立体几何知识要点一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.〔①两个平面平行,②两个平面相交〕3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.〔①三条直线在一个平面内平行,②三条直线不在一个平面内平行〕[注]：三条直线可以确定三个平面,三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.〔X 、Y 、Z 三个方向〕二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.〔×〕〔可能两条直线平行,也可能是点和直线等〕 ②直线在平面外,指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面,a 平行于平面α,b 与α的关系是相交、平行、在平面α内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.〔×〕〔射影不一定只有直线,也可以是其他图形〕⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.〔×〕〔并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段〕 ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段,若b a =,则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.〔不在任何一个平面内的两条直线〕3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等〔如下图〕. 〔二面角的取值X 围[) 180,0∈θ〕〔直线与直线所成角(] 90,0∈θ〕〔斜线与平面成角() 90,0∈θ〕〔直线与平面所成角[] 90,0∈θ〕〔向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角〔或直角〕相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交〔共面〕垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. 〔1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面〕三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.〔"线线平行,线面平行〞〕[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行,则a ∥α. 〔×〕〔平面外一条直线〕②直线a 与平面α内一条直线相交,则a 与平面α相交. 〔×〕〔平面外一条直线〕③若直线a 与平面α平行,则α内必存在无数条直线与a 平行. 〔√〕〔不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之〕④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. 〔×〕〔可能在此平面内〕⑤平行于同一直线的两个平面平行.〔×〕〔两个平面可能相交〕12方向相同12方向不相同⑥平行于同一个平面的两直线平行.〔×〕〔两直线可能相交或者异面〕⑦直线l 与平面α、β所成角相等,则α∥β.〔×〕〔α、β可能相交〕3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.〔"线面平行,线线平行〞〕4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α,a ⊥AO ,得a ⊥PO 〔三垂线定理〕, 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ,但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面.〔"线线垂直,线面垂直〞〕直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.〔×〕〔可能相交,垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行〕 ②垂直于同一直线的两个平面平行.〔√〕〔一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另一个平面〕③垂直于同一平面的两条直线平行.〔√〕5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.〔×〕]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个平面平行.〔"线面平行,面面平行〞〕推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.〔"面面平行,线线平行〞〕4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.〔"线面垂直,面面垂直〞〕注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直,则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面.证明：如图,找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l , 因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=〔θ为锐角取加,θ为钝取减,综上,都取加则必有⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ〕 7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=〔1θ为最小角,如图〕⑵最小角定理的应用〔∠PBN 为最小角〕简记为：成角比交线夹角一半大,且又比交线夹角补角一半长,一定有4条.成角比交线夹角一半大,又比交线夹角补角小,一定有2条.成角比交线夹角一半大,又与交线夹角相等,一定有3条或者2条.P OA a 图1θθ1θ2图2P αβθM A B O成角比交线夹角一半小,又与交线夹角一半小,一定有1条或者没有.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =〔C 为底面周长,h 是高〕该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积：l C S 1=〔1C 是斜棱柱直截面周长,l 是斜棱柱的侧棱长〕该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}.{直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全．等的矩形．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. 〔×〕〔直棱柱不能保证底面是钜形可如图〕②〔直棱柱定义〕棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．,并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,,则1cos cos cos 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,,则2cos cos cos 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.〔×〕〔斜四面体的两个平行的平面可以为矩形〕②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.〔×〕〔应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行〕 ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.〔×〕〔只能推出对角线相等,推不出底面为矩形〕④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. 〔两条边可能相交,可能不相交,若两条边相交,则应是充要条件〕2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.〔不是等边三角形〕ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形〔即侧棱相等〕；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =〔底面周长为C ,斜高为'h 〕 ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =〔侧面与底面成的二面角为α〕 附： 以知c ⊥l ,b a =⋅αcos ,α为二面角b l a --.l abc则l a S ⋅=211①,b l S ⋅=212②,b a =⋅αcos ③⇒①②③得αcos 底侧S S =. 注：S 为任意多边形的面积〔可分别多个三角形的方法〕.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等〔它叫做正棱锥的斜高〕. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球,球心0是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球,球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.〔×〕〔各个侧面的等腰三角形不知是否全等〕 ii. 若一个三角锥,两条对角线互相垂直,则第三对角线必然垂直.简证：A B ⊥CD,AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,, 得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,,已知()()0,0=-⋅=-⋅c a b b c a0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC . iii. 空间四边形OABC 且四边长相等,则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取AC 中点'O ,则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等,则EFGH FG EF ⇒=为正方形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. ⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P.②经度：地球上B A ,两点的经度差,是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数,特别地,当经过点A 的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是B 点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=〔r 为半径,h 为高〕②圆锥体积：h r V 231π=〔r 为半径,h 为高〕 ③锥形体积：Sh V 31=〔S 为底面积,h 为高〕 4. ①内切球：当四面体为正四面体时,设边长为a,a h 36=,243a S =底,243a S =侧 O rOR得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体,可如图建立关系式.六. 空间向量.1. 〔1〕共线向量：共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线.〔×〕 [当0=b 时,不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.〔×〕 [可能异面] ③若a ∥b ,则存在小任一实数λ,使b a λ=.〔×〕[与0=b 不成立] ④若a 为非零向量,则00=⋅a .〔√〕[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]〔2〕共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ〔具有唯一性〕,使b a λ=. 〔3〕共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内,则a 与α的关系是平行,记作a ∥α.〔4〕①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线,则向量P 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．,则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ABC 四点共面的充要条件.〔简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面〕注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．,那么对空间任一向量P ,存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ,使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=<这里隐含x+y+z≠1>.注：设四面体ABCD 的三条棱,,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心,则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=3. 〔1〕空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴〔对应为横坐标〕,y 轴是纵轴〔对应为纵轴〕,z 轴是竖轴〔对应为竖坐标〕.①令a =<a 1,a 2,a 3>,),,(321b b b b =,则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥D B)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==<a a =⇒⋅=> ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.〔2〕法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作α⊥a ,如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.〔3〕用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图,设n 是平面α的法向量,AB 是平面α的一条射线,其中α∈A ,则点B 到平面α||n ②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量,则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小〔21,n n 方向相同,则为补角,21,n n 反方,则为其夹角〕.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α,α∈⋅∈⋅D C a B A ,,且CDE 三点不共线,则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.〔常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕,若μλ,不存在,则直线AB 与平面相交〕.II. 竞赛知识要点一、四面体.1. 对照平面几何中的三角形,我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点,这一点叫做此四面体的外接球的球心；②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点,这一点叫做此四面体的内接球的球心；③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点,这一点叫做此四面体的重心,且重心将每条连线分为3︰1； ④12个面角之和为720°,每个三面角中任两个之和大于另一个面角,且三个面角之和为180°.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体,相当于平面几何的直角三角形. 〔在直角四面体中,记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径与侧面上的高〕,则有空间勾股定理：S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体,好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体,反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.〔在等腰四面体ABCD 中,记BC = AD =a,AC = BD = b,AB = CD = c,体积为V,外接球半径为R,内接球半径为r,高为h 〕,则有 ①等腰四面体的体积可表示为22231222222222c b a b a c a c b V -+⋅-+⋅-+=； ②等腰四面体的外接球半径可表示为22242c b a R ++=；③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等,且可表示为22232c b a m ++=； ④h = 4r.O A B CD二、空间正余弦定理.空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D 空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D立体几何知识要点一、知识提纲〔一〕空间的直线与平面⒈平面的基本性质⑴三个公理与公理三的三个推论和它们的用途．⑵斜二测画法．⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．⑴公理四〔平行线的传递性〕．等角定理．⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．⑶异面直线所成的角：定义〔求法〕、X围．⒊直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．⒋直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．⑵三垂线定理与逆定理．5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．6.平面和平面垂直互相垂直的平面与其判定定理、性质定理．〔二〕直线与平面的平行和垂直的证明思路〔见附图〕〔三〕夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角．⑵二面角：①定义、X围、二面角的平面角、直二面角．②互相垂直的平面与其判定定理、性质定理．8.距离⑴点到平面的距离．⑵直线到与它平行平面的距离．⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线与其性质、公垂线段．〔四〕简单多面体与球9.棱柱与棱锥⑴多面体．⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．10.多面体欧拉定理的发现⑴简单多面体的欧拉公式．⑵正多面体．11.球⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．⑵球的体积公式和表面积公式．二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中,AE ⊂ M,BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ,异面直线AE 与BF 所成的角为θ,则;cos cos cos 21θθθ=3.立平斜公式：如图,AB 和平面所成的角是1θ,AC 在平面内,BC 和AB 的射影BA 1成2θ,设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ； 4.异面直线所成角的求法：〔1〕平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线；〔2〕补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段与斜线段在平面上的射影.通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键；6.二面角的求法〔1〕定义法：直接在二面角的棱上取一点〔特殊点〕,分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性；〔2〕三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 〔3〕垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直；〔4〕射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小,此法不必在图形中画出平面角； 特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法〔尤其要考虑射影法〕.7.空间距离的求法〔1〕两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算； 〔2〕求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解；〔3〕求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为θ,则S 侧cos θ=S 底；9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα因此有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F －E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；12.柱体的体积公式：柱体〔棱柱、圆柱〕的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.13.直棱柱的侧面积和全面积S 直棱柱侧= c <c 表示底面周长, 表示侧棱长> S 棱柱全=S 底+S 侧14．棱锥的体积:V 棱锥=Sh 31,其中S 是棱锥的底面积,h 是棱锥的高. BC AD A 1α。

，【课题】平面的基本性质【教学目标】知识目标：（1）了解平面的概念、平面的基本性质；（2）掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．$【教学重点】平面的表示法与画法．【教学难点】对平面的概念及平面的基本性质的理解．【教学设计】教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平面的表示法与画法．注意，平面是原始概念，原始概念是不能定义的，教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面．在教学中要着重指出，平面在空间是可以无限延展的．在讲“通常用平行四边形表示平面”时要向学生指出：(1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出去；$(2) 有时根据需要也可用其他平面图形，如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，故加上“通常”两字；(3) 画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45 °，横边画成邻边的2倍．但在实际画图时，也不一定非按上述规定画不可；在画直立的平面时，要使平行四边形的一组对边画成铅垂线；在画其他位置的平面时，只要画成平行四边形就可以了；(4) 画两个相交平面，一定要画出交线；(5) 当用字母表示平面时，通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内，并且不被其他平面遮住的地方；(6) 在立体几何中，被遮住部分的线段要画成虚线或不画．“确定一个平面”包含两层意思，一是存在性，即“存在一个平面”；二是唯一性，即“只存在一个平面”．故“确定一个平面”也通常说成“有且只有一个平面”.【教学备品】(教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为】学生行为教学意图时间*揭示课题平面的基本性质*创设情境兴趣导入—观察平静的湖面（图9−1 (1)）、窗户的玻璃面（图9−1 (2)）、黑板面、课桌面、墙面等，发现它们都有一个共同的特征：平坦、光滑，给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．（1） (2)图9−1介绍~质疑`引导分析了解《思考、&启发学生思考，！8*动脑思考探索新知【新知识】平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形．平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，~讲解说明>思考*《母来命名，如图9−过 程行为 学生 行为意图 间 【说明】如图9−3所示的正方体一般写作正方体1111ABCD A B C D ，也可以简记作正方体1A C .图9−3解 这6个面可以分别表示为：平面AC 、平面11A C 、平面1AB 、平面1BC 、平面1CD 、平面1DA ． 【试一试】请换一种方法表示这6个面． 强调`引领 讲解说明]&思考 主动 求解）通过例题进一步领会…！27*运用知识 强化练习1.举出生活中平面的实例．（2.画出一个平面，写出字母并表述出来．提问 指导思考 口答·领会知识32*创设情境 兴趣导入 【实验】把一根铅笔平放在桌面上，发现铅笔的一边就紧贴在桌面上．也就是铅笔紧贴桌面的一边上的所有的点都在桌面上（如图9−4）．…质疑$引导 分析—思考启发 学生思考$…37桌子BA铅笔过 程行为学生 行为意图间/图9−4 *动脑思考 探索新知 【新知识】直线与平面都可以看做点的集合．点A 、B 在直线l 上，记作A l B l ∈∈、；点A 、B 在平面α内，记作A B αα∈∈、．（如图9−5）由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质1：如果直线l 上的两个点都在平面α内，那么直线l 上的所有点都在平面α内．此时称直线l 在平面α内或平面α经过直线l ．记作l α⊆．￥画直线l 在平面α内的图形表示时，要将直线画在平行四边形的内部（如图9−5）．。

【课题】9.1 平面的基本性质【教学目标】知识目标：（1）了解平面的概念、平面的基本性质；（2）掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】平面的表示法与画法．【教学难点】对平面的概念及平面的基本性质的理解．【教学设计】教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平面的表示法与画法．注意，平面是原始概念，原始概念是不能定义的，教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面．在教学中要着重指出，平面在空间是可以无限延展的．在讲“通常用平行四边形表示平面”时要向学生指出：(1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出去；(2) 有时根据需要也可用其他平面图形，如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，故加上“通常”两字；(3) 画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45 °，横边画成邻边的 2 倍．但在实际画图时，也不一定非按上述规定画不可；在画直立的平面时，要使平行四边形的一组对边画成铅垂线；在画其他位置的平面时，只要画成平行四边形就可以了；(4) 画两个相交平面，一定要画出交线；(5) 当用字母表示平面时，通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内，并且不被其他平面遮住的地方；(6) 在立体几何中，被遮住部分的线段要画成虚线或不画．“确定一个平面”包含两层意思，一是存在性，即“存在一个平面”；二是唯一性，即“只存在一个平面”．故“确定一个平面”也通常说成“有且只有一个平面”.【教学备品】教学课件．【课时安排】2 课时．( 90 分钟)【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间*揭示课题介绍了解9.1 平面的基本性质*创设情境兴趣导入观察平静的湖面（图9- 1 ( 1) ）、窗户的玻璃面（图9- 1 ( 2) ）、黑板面、课桌面、墙面等，发现它们都有一个共同的特征：平坦、光滑，给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．质疑思考启发学生思考（1）( 2)引导8分析图9- 1*动脑思考探索新知【新知识】平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面讲解思考是指光滑并且可以无限延展的图形．说明平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面的一部分．我们知道，直线是可以无限延伸的，通常画出直线的一部分来表示直线．同样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．理解引领通常用平行四边形表示平面，并用小写的希腊字母带领分析学生教学教师学生教学时过程行为行为意图间分析、、、来表示不同的平面．如图9- 2，记作平面、平面．也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对顶点的字母来命名，如图9- 2（1）中的平面也可以记作平面ABCD，平面AC或平面BD．【说明】根据具体情况，有时也用其他的平面图形表示平面，如圆、三角形等．仔细记忆分析当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°，关键横边画成邻边的 2 倍长（如图9- 2（1））．当平面正对我们竖直语句放置的时候，通常把平面画成矩形（如图9- 2（2））．DC20A B（1）（2）图9- 2*巩固知识典型例题例1 表示出正方体ABCD A1B1C1D1 （如图9- 3）的 6 个1面．【说明】说明观察如图9-3 所示的正方体一般写作正方体强调ABCD A B C D ，也可以简记作正方体A1C .1 1 1 1通过例题思考引领进一步领会主动讲解教学教师学生教学时过程行为行为意图间说明求解图9- 3解这6 个面可以分别表示为：平面AC 、平面A1C1 、平面A B 、平面BC1、平面CD1 、平面DA1 ．1【试一试】请换一种方法表示这 6 个面．27 *运用知识强化练习提问思考领会1. 举出生活中平面的实例．指导口答知识9.2 画出一个平面，写出字母并表述出来．32 *创设情境兴趣导入【实验】质疑把一根铅笔平放在桌面上，发现铅笔的一边就紧贴在桌面启发思考上．也就是铅笔紧贴桌面的一边上的所有的点都在桌面上（如学生思考图9- 4）．引导分析铅笔桌B子 A37图9- 4*动脑思考探索新知【新知识】讲解思考直线与平面都可以看做点的集合．点A、B 在直线l 上，说明记作 A l、B l；点A、B 在平面α内，记作 A 、B ．（如图9-5 ）过程行为行为意图间由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质1：带领如果直线l 上的两个点都在平面α内，那么直线l 上的所有点学生都在平面α内．分析引领理解此时称直线l 在平面α内或平面α经过直线l．记作l ．分析画直线l 在平面α内的图形表示时，要将直线画在平行四边形的内部（如图9-5 ）．图9-542 * 创设情境兴趣导入带领【观察】质疑思考学生观察教室里墙角上的一个点，它是相邻两个墙面的公共分析点，可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并且45 这些公共点的集合就是这两个墙面的交线．* 动脑思考探索新知【新知识】由上述观察和大量类似的事实中，归纳出平面的性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图9- 6）．此时称这两个平面相交，并把所有公共点组成的直线l 叫讲解思考说明做两个平面的交线．平面与平面相交，交线为l ，记作带领l .学生【说明】分析理解本章中的两个平面是指不重合的两个平面，两条直线是指引领不重合的两条直线．分析过程行为行为意图间仔细记忆分析图9-6讲解关键词语引导式启发学生得出结果图9-7画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线. 图形中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图9-7 （1）），或者不画55 （如图9-7 （2））.【试一试】请画出两个相交的平面，并标注字母．*创设情境兴趣导入带领【实验】质疑思考学生在桌面上只放一颗或两颗尖朝上的图钉，是否能将一块硬分析纸板架起？如果在桌面上放置三颗尖朝上的图钉，那么结果会60 怎样？*动脑思考探索新知【新知识】由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质3：讲解不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（如图9-8 ）．说明【说明】思考“确定一个平面”指的是“存在着一个平面，并且只存在过程行为行为意图间着一个平面”．带领学生分析图9-8引领利用三角架可以将照相机放稳（图9- 9），就是性质 3 的应用．分析理解仔细分析记忆讲解关键图9-9词语根据上述性质，可以得出下面的三个结论．1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面（如图9-10（1））.2．两条相交直线可以确定一个平面（如图9-10 （2））．3．两条平行直线可以确定一个平面（如图9-10 （3））.A(1) l(2)引导l引领分析理解式启发学生得出结（3）果教学教师学生教学时过程行为行为意图间【试一试】请用平面的性质说明这三个结论．工人常用两根平行的木条来固定一排物品（如图9- 11（1））；营业员用彩带交叉捆扎礼品盒（如图9- 11（2）），都是上述结论的应用．仔细分析记忆讲解关键词语（1）（2）图9-11【想一想】70如何用两根细绳来检查一把椅子的 4 条腿的下端是否在同一个平面内？*巩固知识典型例题例2 在长方体ABCD A1B1C1D1 （如图9- 12）中，画出由说明观察通过A、C 、D1 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线．强调例题分析画两个相交平面的交线，关键是找出这两个平面的进一两个公共点．步领解点A 、D1 为平面与平面ADD1A1 的公共点，点A 、C 会思考为平面与平面ABCD的公共点，点 C 、D1为平面与平面引领CC D D 的公共点，分别将这三个点两两连接，得到直线1 1AD 、AC、CD 就是为由A、C、D1 三点所确定的平面γ与长方1 1体的表面的交线（如图9-12 （2））．主动讲解求解说明注意教学教师学生教学时过程行为行为意图间观察学生是否理解知识点图9-12【想一想】思考78为什么这三条连线都画成虚线？*运用知识强化练习了解提问思考学生1．“平面与平面只有一个公共点”的说法正确吗？巡视求解知识2．梯形是平面图形吗？为什么？指导掌握3．已知A、B、C是直线l 上的三个点，D不是直线l上的点．判83情况断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内．*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：质疑及时平面的基本性质？了解结论：学生回答性质1：如果直线l上的两个点都在平面α内，那么直线知识l上的所有点都在平面α内．性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他归纳掌握情况强调公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线．86 性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面．*归纳小结强化思想引导回忆本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测提问反思检验本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？学生你的学习效果如何？巡视动手学习画出两个相交平面．指导求解效果教学教师学生教学时过程行为行为意图间89 *继续探索活动探究( 1) 读书部分：教材说明记录分层次要( 2) 书面作业：教材习题9.1 A 组（必做）；9.1 B 组（选求做）( 3) 实践调查：寻找生活中的实例，用平面的性质解释90 【教师教学后记】项目反思点学生是否真正理解有关知识；学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生是否参与有关活动；学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；学生思维情况是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生是否善于与人合作；学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；学生实践的情况在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解两条直线的位置关系；（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质．【教学难点】异面直线的想象与理解．【教学设计】本节结合正方体模型，通过观察实验，发现两条直线的位置关系除了相交与平行外，在空间还有既不相交也不平行，不同在任何一个平面内的位置关系．由此引出了异面直线的概念．通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力，逐步建立空间的立体观念．空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始，又是学习后两种位置关系的基础．因此，要让学生树立考虑问题要着眼于空间，克服只在一个平面内考虑问题的习惯．通过观察教室里面墙与墙的交线，引出平行直线的性质，在此基础上，提出问题“空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．”这样安排知识的顺序，有利于学生理解和掌握所学知识．要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的所有的直线”，教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识．平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的．【教学备品】教学课件．【课时安排】2 课时．( 90 分钟)【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间*揭示课题介绍了解9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质*创设情境兴趣导入观察图9-13 所示的正方体，可以发现：棱A B 与A D 所1 1在的直线，既不相交又不平行，它们不同在任何一个平面内．质疑思考启发学生思考图9- 13引导分析观察教室中的物体，你能否抽象出这种位置关系的两条直线？ 2 *动脑思考探索新知在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是共面直线．不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 图9－13 所示的正方体中，直线A B 与直线AD 就是两1 1条异面直线．讲解思考这样，空间两条直线就有三种位置关系：平行、相交、异说明面．将两支铅笔平放到桌面上( 如图9-14 ) ，抬起一支铅笔的一端（如 D 端），发现此时两支铅笔所在的直线异面．两支铅笔A BC 桌子D带领学生引领理解分析分析图9 - 14（请画出实物图）受实验的启发，我们可以利用平面做衬托，画出表示两条异面直线的图形（如图9 - 15）．记忆仔细分析5 关键(1) (2)语句图9- 15利用铅笔和书本，演示图9- 15（2）的异面直线位置关系．*创设情境兴趣导入我们知道，平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行．那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行质疑呢？观察教室内相邻两面墙的交线（如图9-16 ）．发现：AA ∥1启发BB ，CC1 ∥BB1 ，并且有AA1∥CC1 ．1思考学生思考引导分析7图9-16*动脑思考探索新知由上述观察及大量类似的事实中，归纳出平行线的性质：讲解思考平行于同一条直线的两条直线平行．说明带领我们经常利用这个性质来判断两条直线平行．学生引领【想一想】理解分析分析空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角10 的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．*创设情境兴趣导入将平面内的四边形ABCD 的两条边AD 与DC，沿着对角线AC 向上折起，将点 D质疑折叠到D1 的位置( 如图带领思考学生9- 17)．此时A、B、C、D1 四个点不在同一个平面内．分析图9- 17引领分析13 *动脑思考探索新知这时的四边形AB C D 叫做空间四边形．1带领讲解理解学生【想一想】说明分析折叠过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？15 *巩固知识典型例题例1 已知空间四边形ABCD中，E 、F 、G 、H 分别为说明观察AB、BC 、CD 、DA 的中点（如图9-18 ）．判断四边形EFGH强调是否为平行四边形？通过例题解联结BD ．因为 E 、H 分别为AB 、DA 的中点，所进一以EH 为ABD 的中位线．于是思考引领步领EH // BD 且 1EH BD ．2会同理可得FG // BD 且1FG BD ．2讲解主动20因此EH // FG 且EH FG ．图9- 18求解说明故四边形EFGH 是平行四边形．*运用知识强化练习1．结合教室及室内的物品，举出空间两条直线平行的例及时子.提问思考学生2．把一张矩形的纸对折两次，然后打开（如第 2 题图），巡视解答知识说明为什么这些折痕是互相平行的？指导掌握情况22*创设情境兴趣导入引导将铅笔放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点；质疑思考学生抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有 1 个公共点；把铅笔放分析25 到文具盒(文具盒在桌面上)上面，铅笔与桌面就没有公共点了．*动脑思考探索新知在9.1 中，我们曾经介绍，直线l 与平面有无穷多个公共点时，直线l 在平面内，其图形如图9-19 （1）所示．讲解如果一条直线与一个平面只有一个公共点，那么就称这条说明直线与这个平面相交，画直线与平面相交的图形时，要把直思考线延伸到平行四边形外（如图9-19 （2））.如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线带领与这个平面平行. 直线l与平面平行，记作l ∥. 画直线与学生分析平面平行的图形时，要把直线画在平行四边形外，并与平行四边形的一边平行（如图9-19 （3））．引领分析l理解l引导式启（1）（2）仔细生得l分析出结记忆讲解果关键（3）30 词语这样，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外．* 创设情境兴趣导入在桌面上放一张白纸，在白纸上画出两条平行直线，沿着其中的一条直线将纸折起（如图9-20 ）．观察发现：在折起的引导各个位置上，另一条直线始终与桌面保持平行．质疑思考学生分析图9-2032* 动脑思考探索新知带领从大量实验中归纳出判定直线与平面平行的方法:讲解理解学生如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这35说明记忆分析条直线与这个平面平行.* 巩固知识典型例题例2 如图9- 21，长方体ABCD A1B1C1D1 中, 直线DD12 平行于平面BCC1B1 吗？为什么？说明观察强调通过图9- 212为了叙述简便起见，将线段D D 所在的直线，直接写作直线DD1 ，本章教材中都采用这种表述方法．1解在长方体ABCD A B C D 中，因为四边形DCC1D1边1 1 1 1 引领思考例题进一是长方形，所以DD1∥CC1，又因为CC1在平面BCC1B1内，DD 1步领在平面BCC1B1外，因此直线DD1平行于平面BCC1B1．会40讲解主动识说明求解点*创设情境兴趣导入将铅笔放到与桌面平行的位置上，用矩形硬纸片的面紧贴铅笔，矩形硬纸片的一边紧贴桌面（如图9-22 ），观察铅笔质疑启发及硬纸片与桌面的交线，发现它们是平行的．思考学生思考引导分析铅笔42图9- 22（请画出实物图）*动脑思考探索新知从大量的实验与观察中，归纳出直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.讲解思考如图9-23 所示，设直线l 为平面与平面的交线，直线说明m 在平面内且m∥，则m ∥l ．带领学生分析理解引领45分析图9-23*巩固知识典型例题例 3 在如图9-24 所示的一块木料中，已知BC ∥平面说明观察A B C D ，BC ∥B1C1，要经过平面A1C1 内的一点P 与棱BC 将1 1 1 1强调木料锯开，应当怎样画线？通过分析设点P和棱BC确定的平面，则EF是与平面例题A B C D 的交线，由于BC∥平面1 1 1 1思考引领进一A B C D ，故EF∥BC，1 1 1 1 步领会B C ∥BC ．所以EF ∥B1C1 ．1 1主动讲解解画线的方法是：在平面48求解说明A B C D 内，过点P作直线B1C1 的1 1 1 1图9- 24平行线EF，分别交直线A1B1 及直线D1C1与点E、F，连接EB和FC ．*运用知识强化练习及时提问思考了解1．试举出一个直线和平面平行的例子．巡视求解学生2．请在黑板上画一条直线与地面平行，并说出所画的直指导知识线与地面平行的理由．掌握3．如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线是不是得情和这个平面内所有的直线都平行？况50 4．说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由．引导*创设情境兴趣导入学生教室中的墙壁与地面相交于一条直线，而天花板与地面，质疑思考52分析没有公共点．*动脑思考探索新知如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．平面与平面平行，记做∥．画两个互相平行平面讲解思考带领说明学生的图形时，要使两个平行四边形的对应边分别平行（如图WORD文档分析9-25 ）．理解引领图9-25分析55这样，空间两个平面就有两种位置关系：平行与相交．*创设情境兴趣导入进行乒乓球或台球比赛时，必需要保证台面与地面平行．技术人员利用水准器来进行检测．水准器内的玻璃管装有水，管内的水柱相当于一条直线，水准器内的水泡在中央，表示水准器所在的直线与地平面平行．把水准器在平板上交叉放引导置两次（如图9-26 ），如果两次检测，水准器内的水泡都在中质疑思考学生央，就表示台面与地面平行，可以进行比赛，否则就需要进行分析调整．图9- 2657 *动脑思考探索新知实例中，技术人员使用的方法就是我们常用的判定平面与思考平面平行的方法：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个讲解带领平面平行，那么这两个平面平行．说明学生分析【想一想】如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面内的一条60 理解直线, 那么这两个平面是否一定平行*巩固知识典型例题例4设平面内的两条相交直线m，n 分别平行于另一说明观察个平面内的两条直线k，l （如图A m强调n通过9-27 ），试判断平面，是否平行？解因为m 在外、l 在内，且l图9-27 k引领思考例题进一m∥l，所以步领主动讲解会直线m∥平面．求解说明同理可得直线n∥平面．65 由于m、n 是平面内两条相交直线，故可以判断∥．质疑思考引导*创设情境兴趣导入学生将一本书放在与桌面平行的位置，用作业本靠紧书一边，分析绕着这条边移动作业本，观察作业本和书的交线与作业本和桌放到不同面的交线之间的关系（如图9-28 ）．位置的本70书桌子图9- 28（请画出实物图）*动脑思考探索新知由大量的观察和实验得到讲解思考两个平面平行的性质：如果一个说明平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．如图9-29 所示，如果带领图9-29学生∥，平面与、都相交，引领分析交线分别为m、n，那么m∥n．分析理解75 *运用知识强化练习1．画出下列各图形：（1）两个水平放置的互相平行的平面．（2）两个竖直放置的互相平行的平面．及时（3）与两个平行的平面相交的平面．提问思考了解9.4 如图所示，// ，M 在与同侧，过M 作直线 a 与巡视求解学生b ，a 分别与、相交于 A 、B ，b 分别与、相交于C 、D ．指导知识⑴判断直线AC 与直线BD 是否平行；掌握⑵如果MA 4 cm，AB 5cm，MC 3 cm，求MD 的得情长.况MA CDBba 80第2 题图*理论升华整体建构及时质疑思考并回答下面的问题：了解回答异面直线的定义？学生结论：归纳知识掌握不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.强调情况83*归纳小结强化思想引导回忆本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？85 *自我反思目标检测提问反思检验本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？学生你的学习效果如何？巡视动手设空间中四条直线a、b、c、d，满足a//b，b//c，c// d，学习指导求解效果试判断 a 与d 的关系．87 *继续探索活动探究说明记录分层( 1) 读书部分：教材( 2) 书面作业：教材习题9.2 A 组（必做）；9.2 B 组（选次要求做）( 3) 实践调查：寻找生活中的线线、线面、面面平行的实例90【教师教学后记】项目反思点学生是否真正理解有关知识；学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生是否参与有关活动；学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；学生思维情况是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生是否善于与人合作；学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；。