多元统计分析期末复习

第一章：多元统计分析研究的内容（5点）1、简化数据结构（主成分分析）2、分类与判别（聚类分析、判别分析）3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析）4、多维数据的统计推断5、多元统计分析的理论基础第二三章：二、多维随机变量的数字特征1、随机向量的数字特征随机向量X 均值向量：随机向量X 与Y 的协方差矩阵：当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。

随机向量X 与Y 的相关系数矩阵：2、均值向量协方差矩阵的性质(1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵E （AX ）=AE （X ）；E （AXB ）=AE （X ）B;D(AX)=AD(X)A ’;Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’;(2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。

例2.见黑板三、多元正态分布的参数估计2、多元正态分布的性质(1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . )',...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='= )')((),cov(EY Y EX X E Y X --=qp ij r Y X ⨯=)(),(ρ),(~∑μP N X μ∑p X X X ,,,21特别地，当 为对角阵时， 相互独立。

(2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量，ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布．(3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立．(4).多元正态分布的不相关与独立等价．例３．见黑板．三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面．(2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ(3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计；(4)估计的性质是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ；Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立；第五章 聚类分析：一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。

22121212121~(,),(,),(,),,1X N X x x x x x x ρμμμμσρ⎛⎫∑==∑=⎪⎝⎭+-1、设其中则Cov(,)=____.10312~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ='∑=--∑、设则=服从。

()1234433,492,3216___________________X x x x R -⎛⎫ ⎪'==-- ⎪ ⎪-⎝⎭=∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵4、__________， __________，________________。

215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。

(),123设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为211X h =的共性方差111X σ=的方差21X g =1公因子f 对的贡献121330.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.1032013R ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441,2142X x x x N x x x x x μμ-⎛⎫⎪'=∑=-∑=-- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫+ ⎪⎝⎭、设其中试判断与是否独立？11262(90,58,16),82.0 4.310714.62108.946460.2,(5)( 115.6924)14.6210 3.17237.14.5X S μ--'=-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭0、对某地区农村的名周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得相关数据如下,根据以往资料,该地区城市2周岁男婴的这三个指标的均值现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。

多元统计分析期末试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：22121212121~(,),(,),(,),,1X N X x x x x x x ρμμμμσρ⎛⎫∑==∑=⎪⎝⎭+-1、设其中则Cov(,)=____.10312~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ='∑=--∑L 、设则=服从。

()1234433,492,3216___________________X x x x R -⎛⎫ ⎪'==-- ⎪⎪-⎝⎭=∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵4、__________， __________，________________。

215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。

12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441,2142X x x x N x x x x x μμ-⎛⎫⎪'=∑=-∑=-- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫+ ⎪⎝⎭、设其中试判断与是否独立？(),123设X=xx x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为211X h =的共性方差111X σ=的方差21X g =1公因子f 对的贡献121330.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.1032013R ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭11262(90,58,16),82.0 4.310714.62108.946460.2,(5)( 115.6924)14.6210 3.17237.14.5X S μ--'=-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭0、对某地区农村的名周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得相关数据如下,根据以往资料,该地区城市2周岁男婴的这三个指标的均值现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。

第一章、多元正态分布的参数估计二、判断题1.多元分布函数是单调不减函数，而且是右连续的。

（√ ）()x F 2.设是维随机向量，则服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合X p X 都是一元正态分布。

（X ）()p R X ∈'αα3.是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质：μ（1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B （√ ）4．若P 个随机变量X1，…XP 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X1，…XP 是相互独立的。

（√ ）5．一般情况下，对任何随机向量，协差阵是对称阵，也()'=p X X X ,,1 ∑是正定阵。

（X ）6．多元正态向量的任意线性变换仍然服从多元正态分布。

()'=p X X X ,,1 （√）7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。

（ X ）8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。

（√）9．多元正态总体参数均值的估计量具有无偏性、有效性和一致性。

（√）μX 10．是的无偏估计。

（ X ）S n 1∑11.Wishart 分布是分布在维正态情况下的推广。

（√）2χp 12.若，，且相互独立，则样本离差阵()()∑,~μαp N X n ,,1 =α。

（√）()()()()()∑-'--=∑=,1~1n W X X X X S n p ααα13．若，为奇异矩阵，则。

（ X ）()∑,~n W X p C ()c c n W C CX p '∑',~第二章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验二、判断题1．设，，，则称统计量的分布为()∑,~μp N X ()∑,~n W S p p n ≥X S X n T 12-'=非中心分布，记为。

（ X ）2HotellingT ()μ,,~22n p T T 2．在协差阵未知的情况下对均值向量进行检验，需要用样本协差阵去代∑S n1替。

一、填空题（20分）1、若),2,1(),,(~)(n N X p =∑αμα 且相互独立，则样本均值向量X2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。

3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。

4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。

5、设样品),2,1(,),,('21n i X X X X ip i i i ==，总体),(~∑μp N X ，对样品进行分类常用的距离有：明氏距离，马氏距离2()ijd M =)()(1j i j i x x x x -∑'--，兰氏距离()ij d L=6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。

7、一元回归的数学模型是：εββ++=x y 10，多元回归的数学模型是：εββββ++++=p p x x x y 22110。

8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。

9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。

二、计算题（60分）1、设三维随机向量),(~3∑μN X ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑200031014，问1X 与2X 是否独立？),(21'X X 和3X 是否独立？为什么？解： 因为1),cov(21=X X ，所以1X 与2X 不独立。

把协差矩阵写成分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑∑=∑22211211，),(21'X X 的协差矩阵为11∑因为12321),),cov((∑='X X X ，而012=∑，所以),(21'X X 和3X 是不相关的，而正态分布不相关与相互独立是等价的，所以),(21'X X 和3X 是独立的。

2、设抽了五个样品，每个样品只测了一个指标，它们分别是1 ,2 ,4.5 ,6 ,8。

多元统计分析期末考试考点The following text is amended on 12 November 2020.二名词解释1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广2、聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。

将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。

使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化3、随机变量：是指的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。

它是由于随机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。

即每个分量都是随机变量的向量为随机向量。

类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。

4、统计量：多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量三、计算题解：答：答：题型三解答题1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤答：第一，提出待检验的假设和H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。

2、简述一下聚类分析的思想答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。

把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。

直到把所有的样品（或指标）聚合完毕.3、多元统计分析的内容和方法答：1、简化数据结构,将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。

（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等2、分类与判别,对所考察的变量按相似程度进行分类。

多元统计分析期末复习第一章:多元统计分析研究的内容(5点)1、简化数据结构(主成分分析)2、分类与判别(聚类分析、判别分析)3、变量间的相互关系)(典型相关分析、多元回归分析)4、多维数据的统计推断5、多元统计分析的理论基础第二三章：二、多维随机变量的数字特征1、随机向量的数字特征随机向量X均值向量：随机向量X与Y的协方差矩阵：当X=Y时Cov(X，Y) =D(X)；当Cov( X，Y)=0，称X，Y不相关。

随机向量X与Y的相关系数矩阵：2、均值向量协方差矩阵的性质(1) .设X，Y为随机向量，A，B为常数矩阵E ( AX)二AE( X);E ( AXB =AE (X)B;D(AX)=AD(X)A ';Cov(AX,B Y)二ACov(X, Y)EX ' ( EX^EX?, , EX p) ( 2,…，P )'cov( X ,Y ) E ( X EX )( YEY )' (2) .若X，Y独立，则Cov(X,Y) =0,反之不成立.(X,Y) (r j)pq(3) .X的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。

例2.见黑板三、多元正态分布的参数估计2、多元正态分布的性质特别地，当为对角阵时，相互独立。

(2) .若，、为sxp阶常数矩阵，d为s阶向量，AX+ d?即正态分布的线性函数仍是正态分布.(3) .多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立.(4) .多元正态分布的不相关与独立■等价.,X pX ~ N p(,) '例3 .见黑板.N s( A d , A A )三、多元正态分布的参数估计⑴“为来自p兀总体X的(简单)样本”的理解---独立同截面.X(1),,X(n)(2)多兀分布样本的数字特征- —常见多兀统计量X n(X i,X2,,X p)' 1(X (i)X )( X (i) X )' —样本均值向量i 1X样本离差阵S = 样本协方差阵V = S ;样本相X X X ~ N p(,-)关阵R W p(n1,)X n(3) , V分别是和的最大似然估计；⑷估计的性质是的无偏估计；，V分别是和的有效和一致估计;S?，与S相互独立；第五章聚类分析：一、什么是聚类分析：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。

多元统计期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在多元线性回归中，如果一个变量的系数为0，这意味着什么？A. 该变量对因变量没有影响B. 该变量与因变量完全相关C. 该变量与因变量无关D. 该变量是多余的2. 主成分分析（PCA）的主要目的是什么？A. 减少数据的维度B. 增加数据的维度C. 找到数据的均值D. 找到数据的中位数3. 以下哪个不是聚类分析的优点？A. 可以揭示数据的内在结构B. 可以用于分类C. 可以减少数据的维度D. 可以找到数据的异常值4. 在因子分析中，如果一个因子的方差贡献率很低，这通常意味着什么？A. 该因子对数据的解释能力很强B. 该因子对数据的解释能力很弱C. 该因子是多余的D. 该因子是重要的5. 以下哪个是多元统计分析中常用的距离度量？A. 欧氏距离B. 曼哈顿距离C. 切比雪夫距离D. 所有以上选项二、简答题（每题10分，共30分）6. 解释什么是多元线性回归，并简述其在实际问题中的应用。

7. 描述主成分分析（PCA）的基本原理，并举例说明其在数据分析中的作用。

8. 简述聚类分析的过程，并讨论其在商业数据分析中的应用。

三、计算题（每题25分，共50分）9. 假设有以下数据集，包含两个变量X和Y，以及它们的观测值：| 观测 | X | Y |||||| 1 | 2 | 3 || 2 | 3 | 4 || 3 | 4 | 5 || 4 | 5 | 6 |请计算X和Y的协方差，并解释其意义。

10. 给定以下数据集，进行聚类分析，并解释聚类结果：| 观测 | 变量1 | 变量2 |||-|-|| 1 | 1.5 | 2.5 || 2 | 2.0 | 3.0 || 3 | 3.5 | 4.5 || 4 | 4.0 | 5.0 |多元统计期末考试题答案一、选择题1. A2. A3. C4. B5. D二、简答题6. 多元线性回归是一种统计方法，用于分析两个或两个以上的自变量（解释变量）与一个因变量之间的关系。

多元数据分析练习题第二章多元正态的参数估计一. 判断题（1）若∑∑=),,(~),,,(21μp T p N X X X X 是对角矩阵，则p X X X ,,,21 相互独立。

（ ）（2）多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之也成立。

（ ）（3）对任意的随机向量T p X X X X ),,,(21 =来说，其协方差矩阵∑是对称矩阵，并且总是半正定的。

（ ）（4）对标准化的随机向量来说，它的协方差矩阵与原来变量的相关系数阵相同。

（ ） （5）若),,(~),,,(21∑=μp T p N X X X X S X ,分别为样本均值和样本协差阵，则S nX 1,分别为∑,μ的无偏估计。

（ ） 二.计算题1. 假设随机向量TX X X X ),,(321=的协方差矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=∑9232443416，试求相关系数矩阵R 。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=131413112141211R 2. 假设随机向量Tx x x ),(21=的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑20119，令212211,2x x y x x y -=+=，试求T y y y ),(21=的协方差矩阵。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑2733603.假设⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑5.005.05.015.0),,(~3A N X μ，其中T)1,2,1(-=μ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∑411121112，试求Ax y =的分布。

)2224,02(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-N 三.证明题1.设)()2()1(,,,n X X X 是来自),(∑μp N 的随机样本，X 为样本均值。

试证明：μ=)(X E ，∑=nX D 1)(。

2.设)()2()1(,,,n X X X 是来自),(∑μp N 的随机样本，S n 11-为样本协差阵。

试证明：∑=-)11(S n E 。

3．证明：若p 维正态随机向量),,,(21'=p X X X X 的协差阵为对角矩阵，则X 的各分量是相互独立的随机变量。

多元统计分析期末考试考点标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]多元统计分析题型一定义、名词解释题型二计算（协方差阵、模糊矩阵）题型三解答题一、定义二名词解释1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广2、聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。

将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。

使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化3、随机变量：是指的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。

它是由于随机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。

即每个分量都是随机变量的向量为随机向量。

类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。

4、统计量：多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量三、计算题解：答：答：题型三解答题1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤答：第一，提出待检验的假设和H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。

2、简述一下聚类分析的思想答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。

把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。

直到把所有的样品（或指标）聚合完毕.3、多元统计分析的内容和方法答：1、简化数据结构,将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。

多元统计期末试题及答案一、选择题1. 在多元统计中，什么是协方差矩阵？A. 描述两个变量之间的线性关系的矩阵B. 描述两个变量之间的非线性关系的矩阵C. 描述多个变量之间的线性关系的矩阵D. 描述多个变量之间的非线性关系的矩阵答案：C2. 多元方差分析适用于以下哪种情况？A. 只有一个自变量和一个因变量B. 有一个自变量和多个因变量C. 有多个自变量和一个因变量D. 有多个自变量和多个因变量答案：C3. 多元线性回归分析中的残差是指什么？A. 因变量的观测值与估计值之间的差异B. 自变量的观测值与估计值之间的差异C. 因变量的观测值与真实值之间的差异D. 自变量的观测值与真实值之间的差异答案：A4. 主成分分析的目标是什么？A. 减少变量的数量B. 识别主要影响因素C. 降低模型复杂度D. 提高预测准确率答案：A5. 判别分析的目标是什么？A. 最小化类内方差B. 最大化类间方差C. 最小化类间方差D. 最大化类内方差答案：B二、填空题1. 多元正态分布的概率密度函数用符号____表示。

答案：f(x)2. 多元统计分析中的数据通常以矩阵的形式表示，其中每行代表____，每列代表____。

答案：样本，变量三、计算题假设有一组学生数据，包括他们的数学成绩（变量X1）、英语成绩（变量X2）和科学成绩（变量X3）。

1. 计算变量X1和X2之间的协方差。

答案：可使用协方差公式计算:Cov(X1,X2) = Σ[(X1-μ1)(X2-μ2)] / (n-1)其中，Σ表示求和符号，μ1和μ2分别为X1和X2的均值，n为样本数量。

2. 假设已经进行了主成分分析，计算数据的前两个主成分和对应的方差解释比例。

答案：主成分分析会得到一组主成分，可以通过对应的特征值来计算方差解释比例。

假设前两个特征值为λ1和λ2，总特征值和为Σλi。

则前两个主成分的方差解释比例为:(λ1 + λ2) / Σλi四、简答题1. 解释多元统计分析中的共线性问题。

第一章:多元统计分析研究的内容(5点)1、简化数据结构(主成分分析)2、分类与判别(聚类分析、判别分析)3、变量间的相互关系)(典型相关分析、多元回归分析)4、多维数据的统计推断5、多元统计分析的理论基础第二三章：二、多维随机变量的数字特征1、随机向量的数字特征随机向量X均值向量：随机向量X与Y的协方差矩阵：当X=Y时Cov(X，Y) =D(X)；当Cov( X，Y)=0，称X，Y不相关。

随机向量X与Y的相关系数矩阵：2、均值向量协方差矩阵的性质(1) .设X，Y为随机向量，A，B为常数矩阵E ( AX)二AE( X);E ( AXB =AE (X)B;D(AX)=AD(X)A ';Cov(AX,B Y)二ACov(X, Y)EX ' ( EX^EX?, , EX p) ( 2,…，P )'cov( X ,Y ) E ( X EX )( YEY )' (2) .若X，Y独立，则Cov(X,Y) =0,反之不成立.(X,Y) (r j)pq(3) .X的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。

例2.见黑板三、多元正态分布的参数估计2、多元正态分布的性质特别地，当为对角阵时，相互独立。

(2) .若，、为sxp阶常数矩阵，d为s阶向量，AX+ d〜即正态分布的线性函数仍是正态分布.(3) .多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立.(4) .多元正态分布的不相关与独立■等价.,X pX ~ N p(,) '例3 .见黑板.N s( A d , A A )三、多元正态分布的参数估计⑴“为来自p兀总体X的(简单)样本”的理解---独立同截面.X(1),,X(n)(2)多兀分布样本的数字特征- —常见多兀统计量X n(X i,X2,,X p)' 1(X (i)X )( X (i) X )' —样本均值向量i 1X样本离差阵S = 样本协方差阵V = S ;样本相X X X ~ N p(,-)关阵R W p(n1,)X n(3) , V分别是和的最大似然估计；⑷估计的性质是的无偏估计；，V分别是和的有效和一致估计;S〜，与S相互独立；第五章聚类分析：一、什么是聚类分析：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。

多元复习1、多元统计分析是运用数理统计方法来解决多指标问题的理论和方法。

2、多元分析研究的是多个随机变量及相关关系的统计总体。

3、如果A与B是两个P×P维的方阵，则AB与BA有完全相同的特征值。

4、随机向量X的协方差矩阵一定是非负定矩阵。

5、若A为P阶对称矩阵，则存在正交矩阵T与对角矩阵∧，则三者的关系有A=T∧T’。

6、设x是多元向量，服从正太分布即X～，a为P维常熟向量，则其线性型a’x服从一元正态分布，即a’x～。

7、方差相同的两个随机变量的差与和是不相关关系。

8、协方差和相关系数是变量间离散程度的一种变量，并不能刻画变量间可能存在的关联程度的关系。

9、变量的类型按尺度划分为间隔变量、有序变量、名义变量类型。

10、公共因子方差与特殊因子方差之和为1。

11、聚类分析是建立一种分析方法，它将一批样品或变量按照它们在性质上的亲疏关系进行科学的分类。

12、聚类分析是分析如何对样品或变量进行量化分析，通常分为Q型聚类和R型聚类。

13、聚类分析中Q型聚类是对样品进行聚类，R型聚类是对变量进行聚类。

14、进行判别分析时，通常指定一种判别规则用来判定新样品的归属，常见的判别准则有：费希尔判别准则、贝叶斯判别准则。

15、费希尔判别法就是要找P个变量组成的线性判别函数使得各组内点的离差尽可能接近，而不同组间的点尽可能疏远。

16、当X～，则-)服从卡方分布，即-) ～。

17、威尔克斯统计量表达式：∧=。

18、霍特林统计量表达式：。

19、两个变量间的平方马氏距离：；总体的马氏距离：。

20、方差相等的两个随机变量的关系：。

21、几个变量间服从正态分布，各自独立，样品的均值向量服从正态分布。

22、从代数观点看主成分是P个原始相关变量的线性组合。

23、变量共同度是指因子载荷矩阵中的第i行元素的平方和。

24、因子分析是指把每个原始变量分为两部分因素，一部分是公共因子，另一部分是特殊因子。

1、判别分析的目标。

答：判别分析的目标有两个：一是根据已知所属组的样本给出判别函数，并制定判别规则，再依此判断（或预测）每一新样品应归属的组别。

多元统计分析期末复习题参考1、设其中，设，求 3(,)X N μ∑:2 1 1 13, 1 3 21 1 2 2μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-∑= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(-1 2 3)a =1）；(')(')E a X D a X 及2） 求。

123123(|,)(|,)E X X X D X X X 及2、已知，为来自X 的两个样品观测得其观21 1 0.9,10.9 1X N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭:12,X X 测值为：，求12,x x 的马氏距离。

1221,12x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3、设抽了5个样品，每个样品只测了一个指标，它们分别是1, 2, 4.5, 6, 8, 若样品间距离用欧氏距离来度量，试用最短距离法对其进行聚类，要求画出聚类图。

4、设抽了5个有序样品，每个样品只测了一个指标，它们分别是1, 2, 3.5, 6, 8, 试用最优分割法对该5个样品分为3类。

5、设有两个总体的分布分别为：12, G G 221018 122020 -7,, ,,1512 3225-7 5N N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭试问样品分别按以下两种准则各应判归哪一类？ (1)(2)2015,2020X X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1）按距离判别准则；2）按贝叶斯判别准则(取)。

121=,(2|1)10,(1|2)752q q C C ===先验概率误判损失为6、在某中学随机抽取某年级30名学生，测量其身高（X1），体重（X2），胸围（X3）和坐高（X4）四个指标，这四个变量的相关系数矩阵的特征根及单位特征向量分别为：113.541, (0.497, 0.5146, 0.4809, 0.5069)u λ'==220.3133, (0.5432, 0.2102, 0.7246, 0.3683)u λ'==--330.0794, (0.4496, 0.4623, 0.1752, 0.7439)u λ'==--440.0661, (0.5057, 0.6908, 0.4615, 0.2323)u λ'==--1） 写出四个主成分的表达式；2） 计算每个主成分的方差贡献率，并结合碎石图适当选取主成分个数；3） 主成分分析有哪些应用？7、对纽约股票市场上的五种股票的周回升率X1，X2，X3，X4，X5进行了因子分析，其中X1，X2，X3分别表示三个化学工业公司的股票回升率，X4，X5表示两个石油公司的股票回升率，试这5个变量的相关系数矩阵的前两个特征根和对应的单位特征向量为112.857, (0.464,0.457,0.47,0.421,0.421)u λ'==221.024, (0.24,0.509,0.26,0.526,0.582)u λ'==--1） 取公共因子个数为2，求因子载荷阵A ；2） 用F1，F2表示选取的公共因子，表示特殊因子，写出因子模型；12,εε3） 说明因子载荷矩阵中元素的统计意义。