中考数学综合题专题复习[几何中的动点问题]专题解析

中考动点问题解析所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。

射线或弧线上运动的一类开放性题目。

这类问题一般是中考这类问题一般是中考的重点和难点，由于综合性比较强，题目比较灵活，与其他知识点的关联性比较强，所以一般都是作为压轴题出现的。

所以一般都是作为压轴题出现的。

但是也并不是说这但是也并不是说这类题就放弃不做了，只要掌握这类题目的规律，有针对性的练习，也是可以解决的。

解决这类问题的关键是动中求静，解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学灵活运用有关数学知识解决问题。

解这类问题要综合运用到分类讨论思想、函数思想、方程思想、数形结合思想等。

大多题目涉及到二次函数、圆、三角形等重点知识，也很难将他们进行分类，这里也就不分了，但是在解题过程中尽量做到一题多解，侧重讲解题思路。

希望该资料对学生能有所启发。

1.1.（（2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt Rt△△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（的坐标为（33，3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA PA＋＋PC 的最小值为【】A ．132B ．312C C．．3192+ D D．．27【答案】【答案】B B解析：此类题目结果是求两个线段的和的问题，此类题目结果是求两个线段的和的问题，一般的解题思路一般的解题思路是将两条线段变成一条线段，利用两点之间线段最短来解题。

来解题。

此题还涉及到一个重要的知识点：特殊三角形。

这个要熟记在心，主要是直角三角形：①有个角为3030°的直角三角形，三边的比为°的直角三角形，三边的比为1:3:2；②等腰直角三角形，三边的比为1:1:2；③等边三角形，三个角都是6060°。

本题中顶点°。

本题中顶点B 的坐标为（的坐标为（33，3），很容易想到Rt Rt△△OAB 是个特殊三角形。

中考数学复习专题动点综合问题含中考真题解析 The document was prepared on January 2, 2021专题36 动点综合问题解读考点知识点名师点晴动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题数图象问题2年中考【2015年题组】1．（2015牡丹江）在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与坐标原点O的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A．考点：动点问题的函数图象．2．（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S 随着时间t变化的函数图象大致是（）A． B． C．D．【答案】B．【解析】试题分析：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP 的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；故选B．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数；3．分类讨论；4．压轴题．3．（2015资阳）如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）A． B．C． D．【答案】B．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．4．（2015广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发．按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A． B． C． D．【答案】D．【解析】考点：1．动点问题的函数图象；2．压轴题；3．动点型；4．分段函数．5．（2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A． B． C．D．【答案】C．【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=12BPBQ，解y=123xx=232x；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=12BQBC，解y=12x3=32x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=12APBQ，解y=12（9﹣3x）x=29322x x；故D选项错误．故选C．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．6．（2015邵阳）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t 的函数关系的图象是（）A． B． C．D．【答案】B．考点：1．动点问题的函数图象；2．数形结合．7．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：43y kx =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB=30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A ．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义；4．动点型；5．综合题．8．（2015乐山）如图，已知直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是（ ）A ．8B ．12C ．212D ．172【答案】C ．【解析】试题分析：∵直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，﹣3），34120x y --=，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴点C （0，1）到直线34120x y --=的距离是223041234⨯-⨯-+=165，∴圆C 上点到直线334y x =-的最大距离是1615+=215，∴△PAB 面积的最大值是121525⨯⨯=212，故选C ．考点：1．圆的综合题；2．最值问题；3．动点型．9．（2015庆阳）如图，定点A （﹣2，0），动点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ．【答案】（﹣1，﹣1）．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．垂线段最短；3．动点型；4．最值问题；5．综合题．10．（2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______ ．【答案】1．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．动点型；3．最值问题；4．综合题．．11．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（233-，23-）．【解析】试题分析：连接ED ，如图，∵点B 的对称点是点D ，∴DP=BP，∴ED 即为EP+BP 最短，∵四边形ABCD 是菱形，顶点B （2，0），∠DOB=60°，∴点D 的坐标为（13点C 的坐标为（33OC 的解析式为：3y x =，∵点E 的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED 的解析式为：(13)1y x =+-，∵点P 是直线OC 和直线ED 的交点，∴点P 的坐标为方程组33(13)1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：23323x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以点P 的坐标为（233，23-故答案为：（33，23-）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG＞GE ；②AE=BF；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为51-．其中正确的说法是 ．（把你认为正确的说法的序号都填上）【答案】②④．由于OC 和OG 的长度是一定的，因此当O 、G 、C 在同一条直线上时，CG 取最小值，22OB BC +14+5CG 的最小值为OC ﹣51，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故答案为：②④．考点：1．四边形综合题；2．综合题；3．动点型；4．压轴题．13．（2015江西省）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO 上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．【答案】23或27或2．图（3）中，∠APB=90°，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2，又∠AOC=60°，∴△APO是等边三角形，∴AP=2；故答案为：23或27或2．考点：1．勾股定理；2．含30度角的直角三角形；3．直角三角形斜边上的中线；4．分类讨论；5．动点型；6．综合题；7．压轴题。

中考数学综合专题训练【动点专题】精品专题解析专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P ,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH中, 22236xPH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==.在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,xx =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1xy综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. 解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BDCE AB =,∴11x y =, ∴x y 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式x y 1=成立.例3如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P ,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP .(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP .又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP , ∴△ADE ∽△AEP . (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴AEDCB 图2A3(2)3(1)OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x58. ∵△ADE ∽△AEP , ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 585458=. ∴xy 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP , ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,ABCO 图8HC在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-.②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x .此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.专题二：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

中考数学动点题讲解中考数学动点题主要考察考生对平面几何中动点的理解和应用能力。

在这种题型中，需要考生根据动点的特点和运动轨迹，推导出动点所在的图形的性质和相关参数。

以下是中考数学动点题的讲解。

1. 直线上动点问题直线上动点问题是动点题中最简单的一种，通常需要考生根据动点的移动轨迹，推导出线段长度、角度等相关量的变化规律。

例如，有一条长度为10的线段AB，动点P沿着这条线段从A点开始匀速向B点移动，求当P点到达B点时，线段AB的中点O的位置。

解题思路：由于P点是匀速移动的，可以通过构建等速度线段来找到P点在到达B点前所处的位置。

具体地，我们可以在AB上构造以A点和B点为端点、长度为5的等速度线段CD和EF，分别与P点的轨迹相交于C点和E点。

根据线段AB的中点公式，可以得出线段OB的长度为5，因此，当P点到达B点时，线段OB的位置位于B点的左侧5个单位长度处。

2. 圆上动点问题圆上动点问题通常需要考生根据动点所在的圆的性质，推导出相关的几何关系和参数。

例如，有一条固定的半径为3的圆和一个动点P沿着这个圆的周长运动，当P点从起始位置出发后，经过圆心O点后，再走过180度后又回到起始位置，求动点P所走的路径长度。

解题思路：由于P点沿着圆的周长匀速运动，因此，当P点运动经过180度后，它所走的路径长度就是圆的周长的一半，即3π。

又因为P点在运动过程中经过圆心O点，因此，P点所在的运动轨迹是一条弧线，其长度等于圆心角的对应弧长。

根据圆心角的定义，当P 点运动经过180度时，它所对应的圆心角为π，因此，P点所在弧线的长度为圆的周长的一半，即3π。

3. 平面内任意图形上动点问题平面内任意图形上的动点问题通常需要考生根据所给图形的几何特征，推导出动点所处的位置和相关参数。

例如，有一个正方形ABCD和一个动点P沿着正方形边界从A点开始匀速运动，当P点回到A点时，求P点所在的轨迹。

解题思路：由于P点沿着正方形边界匀速运动，它所在的轨迹应为一条四边形，其四个顶点分别为A、B、C、D。

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年²上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236xPH OPOH -=-=, ∴2362121xOH MH -==.在Rt △MPH 中,.2222233621419xxxMHPHMP +=-+=+=HMNGPOAB图1xy∴y =GP=32MP=233631x+ (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x=+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年²山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CEAB=,∴11x y=, ∴xy 1=.(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立.例3(2005年²上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠AEDCB 图2A3(2)3(1)ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58.∵△ADE ∽△AEP, ∴AE ADAP AE =, ∴xxyx585458=. ∴xy 516=(8250≤<x ).(3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x .可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年²上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-.②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x .此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.ABCO 图8HC动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

专题十动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1（2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O.与∠α 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于⊙O 的半径 r （r ＞0）变化的函数图象大致 是（ ）A ．B ．C ．D ． 1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强，能力要求 高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊 位置。

重难点几何动点及最值、存在性问题目录题型01将军饮马问题题型02胡不归问题题型03阿氏圆问题题型04隐圆问题题型05费马点问题题型06瓜豆原理模型题型07等腰(边)三角形存在问题题型08直角三角形存在问题题型09平行四边形存在问题题型10矩形、菱形、正方形存在问题题型11全等/相似存在性问题题型12角度存在性问题【命题趋势】动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题．随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题．【基本原理】1)基本原理(定点到定点)：两点之间，线段最短.2)三角形两边之和>第三边3)基本原理(定点到定线)：垂线段最短.4)平行线的距离处处相等.5)基本原理(定点到定圆)：点圆之间，点心线截距最短(长).6)基本原理(定线到定圆)：线圆之间，心垂线截距最短.7)基本原理(定圆到定圆)：圆圆之间，连心线截距最短(长).【解题思路】1)动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题．有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等．根据其运动的特点，又可分为(1)动点类(点在线段或弧线上运动)也包括一个动点或两个动点；(2)动直线类；(3)动图形问题．2)解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论．解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注--些不变量和不变关系或特殊关系．3)动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等腰(边)三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题．全等三角形存在问题，相似三角形存在问题等．题型01 将军饮马问题1(2023·辽宁盘锦·中考真题)如图，四边形ABCD 是矩形，AB =10，AD =42，点P 是边AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接PB ，PC ．点M ，N 分别是PB ，PC 的中点，连接MN ，AM ，DN ，点E 在边AD 上，ME ∥DN ，则AM +ME 的最小值是()A.23B.3C.32D.42【答案】C【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得AM =12BP ，DN =12CP ，通过证明四边形MNDE 是平行四边形，可得ME =DN ，则AM +ME =AM +DN =12BP +CP ，作点C 关于直线AD 的对称点M ，则BP +CP =BP +PM ，点B ，P ，M 三点共线时，BP +PM 的值最小，最小值为BM ．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP =∠CDP =90°，AD ∥BC ，∵点M ，N 分别是PB ，PC 的中点，∴AM =12BP ，DN =12CP ，MN =12BC ，MN ∥BC ，∵AD ∥BC ，MN ∥BC ，∴MN ∥BC ，又∵ME ∥DN ，∴四边形MNDE 是平行四边形，∴ME =DN ，∴AM +ME =AM +DN =12BP +CP ，如图，作点C 关于直线AD 的对称点M ，连接PM ，BM ，则BP +CP =BP +PM ，当点B ，P ，M 三点共线时，BP +PM 的值最小，最小值为BM ，在Rt △BCM 中，MC =2CD =2AB =210，BC =AD =42，∴BM =BC 2+MC 2=42 2+210 2=62，∴AM +ME 的最小值=12BM =32，故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．2(2023·广东广州·中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上，且BE =1，F 为对角线BD 上一动点，连接CF ，EF ，则CF +EF 的最小值为．【答案】17【分析】连接AE 交BD 于一点F ，连接CF ，根据正方形的对称性得到此时CF +EF =AE 最小，利用勾股定理求出AE 即可．【详解】解：如图，连接AE 交BD 于一点F ，连接CF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴点A 与点C 关于BD 对称，∴AF =CF ，∴CF +EF =AF +EF =AE ，此时CF +EF 最小，∵正方形ABCD 的边长为4，∴AD =4,∠ABC =90°，∵点E 在AB 上，且BE =1，∴AE =AB 2+BE 2=42+12=17，即CF +EF 的最小值为17故答案为：17．【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．3(2023·四川宜宾·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 3，0 ，顶点A 、B 6，m 恰好落在反比例函数y =k x第一象限的图象上．(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =6，y =-1x +4(2)在x 轴上存在一点P 5,0 ，使△ABP 周长的值最小,最小值是25+42．【分析】(1)过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，证明△ACE ≌△CBD AAS ，则CD =AE =3,BD =EC =m ，由OE =3-m 得到点A 的坐标是3-m ,3 ，由A 、B 6，m 恰好落在反比例函数y =k x第一象限的图象上得到33-m =6m ，解得m =1，得到点A 的坐标是2,3 ，点B 的坐标是6,1 ，进一步用待定系数法即可得到答案；(2)延长AE 至点A ，使得EA =AE ，连接A B 交x 轴于点P ，连接AP ，利用轴对称的性质得到AP =A P ，A2,-3 ，则AP +PB =A B ，由AB =25知AB 是定值，此时△ABP 的周长为AP +PB +AB =AB +A B 最小，利用待定系数法求出直线A B 的解析式，求出点P 的坐标，再求出周长最小值即可．【详解】(1)解：过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，则∠AEC =∠CDB =90°，∵点C 3，0 ，B 6，m ，∴OC =3,OD =6, BD =m ，∴CD =OD -OC =3，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB =90°,AC =BC ，∵∠ACE +∠BCD =∠CBD +∠BCD =90°，∴∠ACE =∠CBD ，∴△ACE ≌△CBD AAS ，∴CD =AE =3,BD =EC =m ，∴OE =OC -EC =3-m ，∴点A 的坐标是3-m ,3 ，∵A 、B 6，m 恰好落在反比例函数y =k x第一象限的图象上．∴33-m =6m ，解得m =1，∴点A 的坐标是2,3 ，点B 的坐标是6,1 ，∴k =6m =6，∴反比例函数的解析式是y =6x，设直线AB 所对应的一次函数的表达式为y =px +q ，把点A 和点B 的坐标代入得，2p +q =36p +q =1 ，解得p =-12q =4 ,∴直线AB 所对应的一次函数的表达式为y =-12x +4，(2)延长AE 至点A ，使得EA =AE ，连接A B 交x 轴于点P ，连接AP ，∴点A 与点A 关于x 轴对称，∴AP =A P ，A 2,-3，∵AP +PB =A P +PB =A B ，∴AP +PB 的最小值是A B 的长度，∵AB =2-6 2+3-1 2=25，即AB 是定值，∴此时△ABP 的周长为AP +PB +AB =AB +A B 最小，设直线A B 的解析式是y =nx +t ，则2n +t =-3 ，解得n =1t =-5 ，∴直线A B 的解析式是y =x -5，当y =0时，0=x -5，解得x =5，即点P 的坐标是5,0 ，此时AP +PB +AB =AB +A B =25+2-6 2+-3-1 2=25+42，综上可知，在x 轴上存在一点P 5,0 ，使△ABP 周长的值最小，最小值是25+42．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．题型02 胡不归问题1(2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)如图，在△ABC 中，AB =AC =4，∠CAB =30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ．则PA +2PB 的最小值为．【答案】42【分析】在∠BAC 的外部作∠CAE =15°，作BF ⊥AE 于F ，交AD 于P ，此时PA +2PB =212PA +PB=12PF +PB =2BF ，通过解直角三角形ABF ，进一步求得结果．【详解】解：如图，在∠BAC 的外部作∠CAE =15°，作BF ⊥AE 于F ，交AD 于P ，此时PA +2PB 最小，∴∠AFB =90°∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD =∠BAD =12∠BAC =12×30°=15°，∴∠EAD =∠CAE +∠CAD =30°，∴PF =12PA ，∴PA +2PB =212PA +PB =12PF +PB =2BF ，在Rt △ABF 中，AB =4，∠BAF =∠BAC +∠CAE =45°，∴BF =AB •sin45°=4×22=22，∴(PA +2PB )最大=2BF =42，故答案为：42．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．2(2023·湖南湘西·中考真题)如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，其半径为4．过点B 作BE ⊥AC 于点E ，点P 为线段BE 上一动点(点P 不与B ，E 重合)，则CP +12BP 的最小值为．【答案】6【分析】过点P 作PD ⊥AB ，连接CO 并延长交AB 于点F ，连接AO ，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到OA =OB =4，CF ⊥AB ，然后利用含30°角直角三角形的性质得到OE =12OA =2，进而求出BE =BO +EO =6，然后利用CP +12BP =CP +PD ≤CF 代入求解即可．【详解】如图所示，过点P 作PD ⊥AB ，连接CO 并延长交AB 于点F ，连接AO∵△ABC 是等边三角形，BE ⊥AC∴∠ABE =∠CBE =12∠ABC =30°∵⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，其半径为4∴OA =OB =4，CF ⊥AB ，∴∠OBA =∠OAB =30°∴∠OAE =∠OAB =12∠BAC =30°∵BE ⊥AC∴OE =12OA =2∴BE =BO +EO =6∵PD ⊥AB ，∠ABE =30°∴PD =12PB ∴CP +12BP =CP +PD ≤CF ∴CP +12BP 的最小值为CF 的长度∵△ABC 是等边三角形，BE ⊥AC ，CF ⊥AB∴CF =BE =6∴CP +12BP 的最小值为6．故答案为：6．【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，按下列步骤作图：①在AC 和AB 上分别截取AD 、AE ，使AD =AE ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点M ．③作射线AM 交BC 于点F ．若点P 是线段AF 上的一个动点，连接CP ，则CP +12AP 的最小值是．【答案】23【分析】过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出∠BAF =30°，然后利用含30°的直角三角的性质得出PQ =12AP ，则CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，利用含30°的直角三角的性质和勾股定理求出AB ，BC ，最后利用等面积法求解即可．【详解】解：过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，由题意知：AF 平分∠BAC ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，∴∠BAC =60°，∴∠BAF =12∠BAC =30°，∴PQ =12AP ，∴CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，∴当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，∴AB =2AC =8，∴BC =AB 2-AC 2=43，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CH ，∴CH =AC ⋅BC AB =4×438=23，即CP +12AP 最小值为23．故答案为：23．【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．题型03 阿氏圆问题1(2023·山东烟台·中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +5与x 轴交于A ,B 两点，与y 轴交于点C ,AB =4．抛物线的对称轴x =3与经过点A 的直线y =kx -1交于点D ，与x 轴交于点E ．(1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使得△ADM 是以AD 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为⊙B 上一个动点，请求出PC +12PA 的最小值．【答案】(1)直线AD 的解析式为y =x -1；抛物线解析式为y =x 2-6x +5(2)存在，点M 的坐标为4,-3 或0,5 或5,0(3)41【分析】(1)根据对称轴x =3，AB =4，得到点A 及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；(2)先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当∠DAM =90°时，求出直线AM 的解析式为y =-x +1，解方程组y =-x +1y =x 2-6x +5 ，即可得到点M 的坐标；②当∠ADM =90°时，求出直线DM 的解析式为y =-x +5，解方程组y =-x +5y =x 2-6x +5 ，即可得到点M 的坐标；(3)在AB 上取点F ，使BF =1，连接CF ，证得BF PB =PB AB ，又∠PBF =∠ABP ，得到△PBF ∽△ABP ，推出PF =12PA ，进而得到当点C 、P 、F 三点共线时，PC +12PA 的值最小，即为线段CF 的长，利用勾股定理求出CF 即可．【详解】(1)解：∵抛物线的对称轴x =3，AB =4，∴A 1,0 ,B 5,0 ，将A 1,0 代入直线y =kx -1，得k -1=0，解得k =1，∴直线AD 的解析式为y =x -1；将A 1,0 ,B 5,0 代入y =ax 2+bx +5，得a +b +5=025a +5b +5=0 ，解得a =1b =-6 ，∴抛物线的解析式为y =x 2-6x +5；(2)存在点M ，∵直线AD 的解析式为y =x -1，抛物线对称轴x =3与x 轴交于点E ．∴当x =3时，y =x -1=2，∴D 3,2 ，①当∠DAM =90°时，设直线AM 的解析式为y =-x +c ，将点A 坐标代入，得-1+c =0，解得c =1，∴直线AM 的解析式为y =-x +1，解方程组y =-x +1y =x 2-6x +5 ，得x =1y =0 或x =4y =-3 ，∴点M 的坐标为4,-3 ；②当∠ADM =90°时，设直线DM 的解析式为y =-x +d ，将D 3,2 代入，得-3+d =2，解得d =5，∴直线DM 的解析式为y =-x +5，解方程组y =-x +5y =x 2-6x +5 ，解得x =0y =5 或x =5y =0 ，∴点M 的坐标为0,5 或5,0综上，点M 的坐标为4,-3 或0,5 或5,0 ；(3)如图，在AB 上取点F ，使BF =1，连接CF ，∵PB =2，∴BF PB =12，∵PB AB =24=12，、∴BF PB =PB AB，又∵∠PBF =∠ABP ，∴△PBF ∽△ABP ，∴PF PA =BF PB =12，即PF =12PA ，∴PC +12PA =PC +PF ≥CF ，∴当点C 、P 、F 三点共线时，PC +12PA 的值最小，即为线段CF 的长，∵OC =5,OF =OB -1=5-1=4，∴CF =OC 2+OF 2=52+42=41，∴PC +12PA 的最小值为41．【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．2(2023·山东济南·一模)抛物线y =-12x 2+a -1 x +2a 与x 轴交于A b ,0 ，B 4,0 两点，与y 轴交于点C 0,c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若S △PMB S △AMB=14，求点P 的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E 'B ，E C ，求E B +34E C 的最小值．【答案】(1)a =2，b =-2，c =4(2)P 3,52(3)3374【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)过点P 作PD ⊥x 轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，求得l BC 的解析式，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D m ,-m +4 ，利用相似三角形的判定与性质可得答案；(3)在y 轴上取一点F ，使得OF =94，连接BF ，由相似三角形的判定与性质可得FE =34CE ，可得E B +34E C =BE +E F ，即可解答．【详解】(1)解：将B 4,0 代入y =-12x 2+a -1 x +2a ，得-8+4a -1 +2a =0，∴a =2，∴抛物线的解析式为y =-12x 2+x +4，令x =0，则y =4，∴c =4，令y =0，则0=-12x 2+x +4，∴x 1=4，x 2=-2，∴A -2,0 ，即b =-2；∴a =2，b =-2，c =4(2)过点P 作PD ⊥x 轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，设l BC ：y =kx +b ，将0,4 ，4,0 代入得b =44k +b =0 解得：b =4，k =-1，∴l BC ：y =-x +4，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D m ,-m +4 ，PD =y P -y D =-12m 2+m +4--m +4 =-12m 2+2m ，∵PD ∥HA ，∴△AMH ∽△PMD ，∴PM MA =PD HA，将x =-2代入y =-x +4，∴HA =6，∵S △PMB S △AMB =12PM ⋅h 12AM ⋅h =PM AM =14，∴PD HA =PD 6=14，∴PD =32，∴32=-12m 2+2m ，∴m 1=1(舍)，m 2=3，∴P 3,52 ；(3)在y 轴上取一点F ，使得OF =94，连接BF ，根据旋转得性质得出：OE =OE =3，∵OF ⋅OC =94×4=9，∴OE 2=OF ⋅OC ，∴OE OF =OC OE，∵∠COE =∠FOE ，∴△FOE ∽△E OC ，∴FE CE =OE OC =34，∴FE =34CE ，∴E B +34E C =BE +E F ，当B 、E '、F 三点共线时，此时E B +34E C 最小=BF ，最小值为：BF =42+94 2=3374．【点睛】此题考查的是二次函数的综合题意，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数与面积的问题、待定系数法求解析式，旋转的性质等知识．正确的作出辅助线是解此题的关键．题型04 隐圆问题1(2022·山东泰安·中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.5B.12C.13-3D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD=90°，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆∵四边形ABCD为矩形∴∠BAP+∠MAD=90°∵∠ADM=∠BAP∴∠MAD+∠ADM=90°∴∠AMD=90°∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短∵BO2=AB2+AO2，AO=12AD=2∴BO2=9+4=13∴BO=13∵BN=BO-AO=13-2故选：D．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．2(2022·安徽蚌埠·一模)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为()A.325B.2C.213-6D.213-4【答案】D【分析】结合题意推导得∠APB=90°，取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得OP=OA=OB=12AB=4；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的⊙O上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得OC，通过线段和差计算即可得到答案．【详解】∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP，∴OP=OA=OB=12AB=4∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，当点O、点P、点C三点共线时，PC最小在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=6，OB=4，∴OC=BO2+BC2=42+62=213，∴PC=OC-OP=213-4∴PC最小值为213-4故选：D．【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．3(20-21九年级上·江苏盐城·期末)如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(5,12)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为．【答案】18【分析】由RtΔAPB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最小值，据此求解可得．【详解】解：连接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=5，MQ=12，∴OM=13，又∵MP'=4，∴OP'=9，∴AB=2OP'=18，故答案是：18．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．4(2021九年级·全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(7，0)．(1)对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB=45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．①设A 、B 、P 三点所在圆的圆心为C ，直接写出点C 的坐标和⊙C 的半径；②y 轴正半轴上是否有线段AB 的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；(2)当点P 在y 轴正半轴上运动时，∠APB 是否有最大值？如果有，说明此时∠APB 最大的理由，并求出点P 的坐标；如果没有请说明理由．【答案】(1)①(4，3)或(4,-3)，半径为32；②存在，(0，3+2)或(0，3-2)，见解析；(2)有，见解析，(0，7)【分析】(1)①在x 轴的上方，作以AB 为斜边的等腰直角三角形△ACB ，易知A ，B ，P 三点在⊙C 上，圆心C 的坐标为(4,3)，半径为32，根据对称性可知点C (4，-3)也满足条件；②当圆心为C (4，3)时，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，则D (0，3)，CD =4，根据⊙C 的半径得⊙C 与y 轴相交，设交点为P 1，P 2，此时P 1，P 2在y 轴的正半轴上，连接CP 1、CP 2、CA ，则CP 1=CP 2=CA =r =32，得DP 2=2，即可得；(2)如果点P 在y 轴的正半轴上，设此时圆心为E ，则E 在第一象限，在y 轴的正半轴上任取一点M (不与点P 重合)，连接MA ，MB ，PA ，PB ，设MB 交于⊙E 于点N ，连接NA ，则∠APB =∠ANB ，∠ANB 是△MAN的外角，∠ANB >∠AMB ，即∠APB >∠AMB ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，连接EA ，EP ，则AF =12AB =3，OF =4，四边形OPEF 是矩形，OP =EF ，PE =OF =4，得EF =7，则OP =7，即可得．【详解】(1)①如图1中，在x 轴的上方，作以AB 为斜边的等腰直角三角形△ACB ，易知A ，B ，P 三点在⊙C 上，圆心C 的坐标为(4,3)，半径为32，根据对称性可知点C (4,-3)也满足条件；②y 轴的正半轴上存在线段AB 的“等角点“。