2019-2020学年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例教学设计 新人教版必修1.doc

函数模型的运用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的运用实例的第一课时。

经过对例3，例4的教学让先生学习领会利用已知的函数模型解决成绩和建立确定的函数模型解决理论成绩，进而掌握建立数学模型解决理论成绩的普通步骤。

二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，发掘隐含条件，建立函数模型；2.领会分段函数模型的理论运用，规范分段函数的标准方式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与理论情况能否吻合的方法及运用数学模型进行预测。

5.会利用建立的函数模型解决理论成绩，掌握求解函数运用题的普通步骤；6.培养先生浏览理解、分析成绩、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养先生读图的能力；2.经过实例使先生感受函数的广泛运用，领会建立函数模型解决理论成绩的普通过程；3.浸透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.经过切身感受数学建模的过程，让先生体验数学在理论生活中的运用，领会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决理论成绩中的价值和作用，激发学习数学的兴味与动力，加强学好数学的认识。

2.培养先生的应意图识、创新认识和勇于探求、勤于考虑的精神，优化先生的理性思想和求真务虚的科学态度。

三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决理论成绩；例4 是利用已知的确定的函数模型解决理论成绩，并验证求解出的数学模型与理论情况的吻合程度及用数学模型进行预测。

分别在汽车和人口成绩这两种不同运用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决理论成绩.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决理论成绩.2.用待定系数法求解函数模型并运用.3.将理论成绩转化为数学成绩的过程。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《函数模型的应用实例》教学设计一、教学内容普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的应用实例.二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；2.会利用建立的函数模型解决实际问题；3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程；2.渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心；2.培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度；3.经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点.三、教材分析本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题.四、学情分析学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型.五、教学过程（一）交流成果提出课题学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题.【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力，也很自然地引入课题.（二）分析探究解决实例【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如图1所示.（1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s (km )与时间t (h )的函数解析式，并作出相应的图象.【教学活动1】第（1）题：阴影部分面积为五个小矩形的面积之和，那么只要知道求其中一个矩形的面积并知道其实际意义，就能解决整个问题.因此，我借助多媒体设置动画，引导学生对第一个矩形进行分析，让学生说出它的长度、宽度各是多少？其实际意义分别是什么？根据“矩形面积＝长×宽＝速率×时间＝路程”，学生就能很快说出第一个矩形的面积及其实际意义，整个问题也就迎刃而解了.【设计意图】利用从“局部到整体”、“特殊到一般”的思想分析问题, 从而化解难点, 教会学生分析问题的方法.【教学活动2】第（2）题：重点分析如何建立s 与t 的函数关系式.由于“汽车里程表读数s ＝2010 ＋汽车行驶路程”，而汽车行驶的路程＝速率×时间，分析v 与t 的图象，得v 是t 的分段函数，从而s 是t 的分段函数.求这个分段函数的解析式，关键是求出前两段的函数解析式.其中求第二段函数解析式是难点.由第一问可知“路程”的几何意义为“图形的面积”，于是可以将求路程转化为求图形的面积.设置多媒体动画重点分析：t 在0至2小时内变化时，s 与t 的函数解析式变化，使得有效突破难点.然后让学生自主完成整个题目的解答，并利用实物投影仪展示学生的解答过程，师生共同点评，得出下列结论：（1）阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1+65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km .(2)据v 与t 的关系图，有这个函数的图象如图2所示.【设计意图】通过本例的教学，让学生体会建立分段函数模型的思维过程，培养学生读图、识图、解图、画图的能力，渗透数形结合、分类整合的数学思想，养成自主探究与合作交流相结合的学习习惯.【例2】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5销售单价/元6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？【教学活动】对本例的教学，重点解决如下三个问题：（1）指导学生审题后提炼出题目中的已知条件与要解决的任务.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤+<≤+<≤+<≤+=.54,204565,43,200575,32,196090,21,198080,10,201050t t t t t t t t t t s已知：固定成本为200元；每桶水的进价是5元；销售单价与日均销售量之间的数据表格；任务：定价为多少时利润最大？（2）指导学生分析表格数据，建立日均销售量与销售单价之间的函数模型；从而建立利润与售价之间的函数关系；（3）实际问题中自变量取值范围的确定.为此我设计了下列问题，引导学生自主探究、讨论交流：①利润与哪些量有关？试用等式表示.利润＝销售的金额－销售成本－固定成本（或利润＝单桶水的销售利润×销售量－固定成本）.②分析表格数据，日均销售量随销售单价的变化规律是什么？销售单价在6元基础上每涨价1元销售量就减少40桶.③当销售单价为x元/桶时，销售量为多少？销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).④销售单价x受哪些条件的制约？其取值范围是什么？x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18.在解决上述问题后要求学生自主完成本例的解答，再用实物投影仪展示学生的解题作品.考虑到本例的自变量还可以是每桶水在进价基础上的增加量，因而我设置了链接，以达到预设与生成的和谐统一.【设计意图】让学生体验解决实际问题的过程和方法.培养学生分析归纳、概括能力. 从而初步体验解应用题的规律和方法.通过上述分析，预设学生得出以下两种解法：解法一：设每桶水定价为x元时，日均销售利润为y元.因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则日均销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).由于x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18，所以y＝(720－40x)(x－5)－200＝－40x2＋920x－3800，5＜x＜18.易知，当x＝11.5时，y有最大值. 故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.解法二：设每桶水在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y 元.因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则日均销售量＝480－40(x－1)＝520－40x(桶).由于x＞0且520－40x＞0，即0＜x＜13，所以y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.易知，当x＝6.5时，y有最大值. 故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.【设计意图】通过本例的教学，使学生感知提取数表信息、抽象函数关系的思维过程，领悟建立函数模型解决最值问题的基本方法，渗透化归转换的数学思想.（三）反思过程发现规律【教学活动】通过比较、概括上述两个实例的求解过程，我引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程：【设计意图】 学会归纳、总结解决数学问题的思维方法，掌握建立函数模型解决实际问题的一般规律，提高理性思维能力.（四）反馈调控 方法迁移【练习】某上市公司股票在30天内每股的日交易均价P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，且点(t ，P )落在图中的两条线段上.该股票在30天内（含30天）的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：（1）写出这支股票每股的日交易均价P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；（3）求这30天中第几天的日交易额最大，最大值为多少万元？【教学活动】通过前面的学习与思考，学生对解决这类问题已有一定的方法基础，面对本题表现出一种一展身手的亢奋状态.我要求学生以自主探索与合作交流相结合的方式对本问题求解，老师巡视答疑，再抽取几份不同解答的答卷作实物投影展示，师生一起评价、纠错，形成共同解答.【解析】 (1) 当N t t ∈<≤且,200时,设11b t k P +=,由图象得⎩⎨⎧=+=6202111b k b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==25111b k ，即251+=t P ； 同样的方法可求得当N t t ∈≤≤且,3020时，8101+-=t P . 综上可得，).(3020,8101200,251N t t t t t P ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<≤+= (2)设b kt t Q +=)(,由题意知：⎩⎨⎧==30)10(36)4(Q Q ，即⎩⎨⎧=+=+3010364b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=401b k . 所以：),300(40)(N t t t t Q ∈≤≤+-= 第t 天 4 10 16 22Q (万股) 36 30 24 18（3）设第t 天的日交易额为f (t )万元，则 )(,3020),40)(8101(,200),40)(251()(N t t t t t t t Q P t f ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-+-<≤+-+=⋅= 即)(,3020,40)60(101,200,125)15(51)(22N t t t t t t f ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤+--= 当N t t ∈<≤且,200时，;125)15()(max ==f t f当N t t ∈≤≤且,3020时，;120)20()(max ==f t f所以这30天中第15天的日交易额最大，最大日交易额为125万元.【设计意图】选择一个既有图形，又有数表的实例，能有效地检测、反馈学生对两类建立函数模型的应用问题的掌握程度，同时培养学生在综合问题情境中对知识和方法的迁移能力.（五）归纳小结 深化认识引导学生从总结解题方法，提炼数学思想等方面对本节课所学内容进行归纳小结.（1）建立函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？（2）在本节课的学习过程中，运用到了哪些数学思想方法？【设计意图】启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程.（六）布置作业 巩固提高课外作业：必做题：教材P 106练习第1题，P 107习题3.2A 组第3，4题.选做题：P 108习题3.2B 组第2题.【设计意图】让学生巩固函数建模的思想方法，并进行自我检测与评价.通过分层作业，体现对不同能力层次的学生有不同学习要求.。

§3.2.2函数模型的应用实例一、教学目标：1、能够收集图表数据信息，建立适合函数解决实际问题，体验收集图表数据信息的过程与方法，能建立适合函数解决实际问题二、教学重难点1、重点：将收集图表数据信息，建立函数模型解决实际问题。

2、难点：建立起函数模型，并进行模型修正三、教学过程（一）复习旧知，揭示课题.解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题将问题抽象化数学模型解决问题现实生活中有些实际问题给出了图表数据信息,对这类问题就要求我们能够收集图表数据信息，建立适合的函数模型来解决问题。

请看下面的例子：（二）实例尝试，探求新知例1(见P104例5)、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：请根据以上根据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为480－40（x－1）＝520－40x（桶）由于x＞0，所且520－40x＞0，即0＜x＜13于是得：y＝（520－40x）x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13由二次函数的性质，易知，当x＝6.5时，y有最大值。

所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。

1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。

2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？先让学生探索以下问题：1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图；2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系比较合适？4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可考虑用y ＝a ·b x作为刻画这个地区未成年男性体重ykg 与身高xcm 关系的函数模型。

2019-2020年高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用4教案新人教A版必修1教学分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》第三章的3.2.2“函数模型的应用实例”，即建立拟合函数模型解决实际问题．函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，它主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，建立拟合函数模型解决实际问题．而建立拟合函数模型解决实际问题是其重点，也是难点．函数模型的应用教学，既有不可替代的位置，又有重要的现实意义．本节通过实例来说明函数模型的应用，是因为函数模型本身就来源于现实，能给学生提供更多从实际问题中发现或建立数学模型的机会，并体会数学在实际问题中的应用价值．因此在中学教学中有重要的地位．学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了函数的图象和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了3.2.1几类不同的函数增长模型和3.2.2函数模型的应用实例．学会了如何利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，已经具备了一定的函数模型应用能力．这为理解建立拟合函数模型解决实际问题提供了基础，也为深入理解如何建立合适的拟合函数模型提供了依据．但学生对于动态数据认识薄弱，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难．因此，在教学时应该为学生创设熟悉的问题情境，充分利用学生熟悉的函数图象来选择合适的模型．引导学生观察、计算、思考和理解问题的本质．教学目标知识与技能：了解函数拟合的基本思想，学会建立拟合函数模型解决实际问题．过程与方法：借助信息技术，利用数据画出函数图象，从拟合简单的一次函数模型入手，掌握多角度观察函数图象的技能，探究出各种合适的拟合函数模型．在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想．情感、态度与价值观：体验探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，培养学生分析解决问题的能力．重点与难点重点：将实际问题化为函数模型，建立合适的拟合函数模型解决简单的实际问题．难点：如何建立适当的函数模型来解决实际问题．教学过程设计思想一、创设应用情境，引出问题前面我们学习过两种函数模型的应用，分别是利用给定函数模型解决实际问题，建立确定性的函数模型解决问题，那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下，又该如何解决实际问题呢？二、组织探究例1下表是我校从实施研究性学习以来，高一年级段学生的研究性学习小论文在我市每析式．设计意图以学生熟悉的实际问题为背景，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值．探究：(1)组织学生读、议，小组讨论该如何分析题目？图1③根据点的分布特征，可以考虑以一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)作为描绘篇数与年份的变化趋势．取(1,14)，(4,35)，有⎩⎪⎨⎪⎧14＝k ·1＋b ，35＝k ·4＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7b ＝7.这样，我们就得到函数模型y ＝7x ＋7.作出此模型函数图象如下：图2 根据上述图象，我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地图3由前三组数据，用计算器确定函数模型：；x＋92.5.图4可见，乙同学选择的模型较好.此变式训练是为进一步巩固例1的拟合函数思想，培养学生的应用数学意识与提高解决问题能力．体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高的同学体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常？设计意图本例题以学生熟悉的问题出发再创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生构建自身基础上的“再创造”，并通过小组合作学习，培养学生解决问题的能力，应用数学的意识．问题(1)的探究：①通过学生自主活动分析数据，发现本题只给出了通过测量得到的数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机，画出它们的散点图．教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．图5由图可发现指数型函数y＝a×b x的图象可能与散点图的吻合较好，可选之．③教师再问：如何确定拟合函数模型中a，b值．④教师把学生每4人分成一小组合作探究，求出拟合函数模型中a，b的值，然后画出图形，得到的拟合函数效果如何？⑤教师下去巡视后，请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解．组1：选取(150,42.9)，(154,46.5)两组数据，用计算器得a＝0.918，b＝1.026.从而得函数解析式为y＝0.918×1.026x，画出这个函数图象与散点图．图6我们发现，函数y＝0.918×1.026x不能很好地反映我校学生身高与体重的关系．组2：选取(168,61.4)，(172,66.2)两组数据，用计算器算出a＝3.065，b＝1.018.这样得到函数模型为y＝3.065×1.018x，画出这个函数图象与散点图．图7我们发现，函数y＝3.065×1.018x不能很好地反映我校学生身高与体重关系．组3：选取(154,46.5)，(168,61.4)两组数据，用计算器算出a＝2.2，b＝1.02.这样得出函数模型为y＝2.2×1.02x，画出这个函数图象与散点图．图8我们发现，散点图上的点基本上或大多数接近函数y＝2.2×1.02x的图象，所以函数y＝2.2×1.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系．教师引导学生回顾问题的特点及解决问题的过程与方法．本题需要判断选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样，需不断修正．当然本题若运用计算器或计算机的拟合功能，那么获得的函数模型会更精确，下课后同学们自己试一试，并且本例题体现了一个完整的建立函数模型进而解决问题的过程．在教师引导下，请一学生归纳解决问题的基本过程：设计意图引导学生进行反思和总结，并将之一般化，用流程的形式表达出来，培养了学生的反思能力及总结提升的能力．问题(2)探究：由于是研究学生自身的体重问题，因而学生的兴趣很高，每人很快都编好了自己的问题，解答起来．如一男生身高175 cm，体重80 kg，他的计算如下：将x＝175代入y＝2.2×1.02x，得y＝2.2×1.02175≈70.4.由于80÷70.4≈1.136<1.2.所以，该男生体重正常．设计意图采用师生平等对话交流，学生单独完成的模式．因为本题是测算自己本身体重的问题，所以学生兴趣很高．本题问题难度不大，但意义重大，是培养数学应用意识的重要素材，即用拟合函数来预测自己关心的日常生活问题，学生体验过程方式教学，体现了新课程的理念．三、练习反馈教材本节练习1.学生完成后在小组中互相批改、交流．设计意图本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的理念，使学生及时巩固所学知识、方法，以达到教学目标．四、小结反思以小组中1人总结，3人倾听的方式，对本课内容进行自主小结，教师归纳强调建立拟合函数模型解决实际问题的基本过程．设计意图提高学习主动性，培养学生表达、交流的数学能力，自主小结的形式是将课堂还给学生，是对所学内容的回顾与梳理．五、课外作业教材习题3.2A组1题，B组1题．六、课外实践通过拟合函数模型看温州经济发展．上网收集1995～xx年温州的国内生产总值、财政收支、对外经济三项数据，建立适当的拟合函数模型，画出拟合函数模型的图象，并通过拟合函数图象来预测温州在xx年的经济发展状况．设计意图课外作业为巩固作业，课外实践为拓展作业，培养学生应用数学知识、提高解决问题的能力，培养学生的探究和再创造能力．教学流程创设情境——实际问题引入，激发学生兴趣．↓组织探究——画出散点图，建立模型，体会不同函数模型拟合的准确程度．↓探索研究——由数据画出散点图，建立拟合函数模型，尝试选择不同的函数拟合数据并不断修正．↓巩固反思——师生交流共同小结，归纳建立拟合函数模型应用题的求解方法与步骤．↓作业回馈——强化基本方法及过程，规范基本格式．↓课外实践——收集生活中的具体实际问题，运用拟合函数思想来解决，培养问题意识及提高应用数学的能力．知识结构问题探讨(1)第三章的3.2.2函数模型的应用实例是否可以设置为3课时，给定的函数模型、建立确定性函数模型、建立拟合函数模型解决实际问题各设置1课时，这样可以让学生感受到函数的广泛应用，真实体验到数学是有用的；体现新课程的问题性，应用性特点；培养学生的问题意识，更加拓展学生数学活动的空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．(2)在函数模型的应用中，建立拟合函数模型解决实际问题是实际应用最广泛、学生最陌生、也是难度最大的，尤其是如何建立适当的拟合函数模型来解决实际问题．建议在教材中是否可安排更多的建立拟合函数模型解决实际问题的例题，加深学生对如何建立适当拟合函数模型的理解．并在练习中多安排渗透拟合函数思想的思考题．学习资源.。

3．2.2 函数模型的应用实例[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．[预习导引]1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．解决学生疑难点要点一用已知函数模型解决问题例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0＜x ≤10，59，10＜x ≤16，－3x ＋107，16＜x ≤30.(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 解 (1)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x ≤30时，f (x )单调递减，f (x )＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min. (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f (5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些． (3)当0＜x ≤10时，令f (x )＝55， 则－0.1×(x －13)2＝－4.9，(x －13)2＝49. 所以x ＝20或x ＝6.但0＜x ≤10， 故x ＝6.当16＜x ≤30时，令f (x )＝55，则－3x ＋107＝55. 所以x ＝17 13.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 13－6＝11 13＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 解决此类型函数应用题的基本步骤是： 第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为：y ＝112 800x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ 解 当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫112 800×403－380×40＋8×2.5＝28.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升． 要点二 建立函数模型解决实际问题例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x －x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13x 2＋2003x ＝－13(x 2－200x )＝－13(x －100)2＋10 0003，所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 规律方法 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M (亿元)和N (亿元)，它们与投资额t (亿元)的关系有经验公式：M ＝13 t ，N ＝16t ，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x 亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y 亿元． (1)写出y 关于x 的函数表达式； (2)求总利润y 的最大值．解 (1)当甲项目投资x 亿元时，获得利润为M ＝13x (亿元)，此时乙项目投资(3－x )亿元，获得利润为N ＝16(3－x )(亿元)，则有y ＝13x ＋16(3－x )，x ∈[0,3]．(2)令x ＝t ，t ∈[0，3]，则x ＝t 2， 此时y ＝13t ＋16(3－t 2)＝－16(t －1)2＋23.∵t ∈[0，3]，∴当t ＝1，即x ＝1时，y 有最大值为23.即总利润y 的最大值是23亿元．1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元 答案 B解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )答案 D3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到细胞的个数y 与x 的函数关系是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1C ．y ＝2xD ．y ＝2x ＋1答案 D解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x 次后y ＝2x ＋1个．4．长为3，宽为2的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．答案 12解析 S ＝(3＋x )(2－x 2)＝－x 22＋x2＋6＝－12(x －12)2＋498，∴x ＝12时，S max ＝498.1.函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．一、基础达标1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b ＜a )，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )答案 C解析 由题意可知，s 是关于时间t 的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．2．国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表：( ) A ．5.00元 B ．6.00元 C ．7.00元 D ．8.00元 答案 C解析 由题意可知，当x ＝1 200时，y ＝7.00元．3．某机器总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( ) A ．30 B ．40 C ．50 D ．60 答案 C解析 设安排生产x 台，则获得利润f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x＝－(x －50)2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x ＜A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16 答案 D解析 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 5．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( ) A ．a ＝45，b ＝－30 B ．a ＝30，b ＝－45 C ．a ＝－30，b ＝45 D ．a ＝－45，b ＝－30 答案 A解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x ＞0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.∴⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.6．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．答案 甲解析 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解 设报摊主每天买进报纸x 份，每月利润为y 元(x 为正整数)． 当x ≤250时，y ＝0.1×30×x ＝3x . 当250≤x ≤400时，y ＝0.1×20×x ＋0.1×10×250－(x －250)×0.32×10＝2x ＋250－3.2x ＋800 ＝1 050－1.2x . 当x ≥400时，y ＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x －400)×0.32×20－(x －250)×0.32×10＝800＋250－6.4x ＋2 560－3.2x ＋800 ＝－9.6x ＋4 410.当x ≤250时，取x ＝250，y max ＝3×250＝750(元)． 当250≤x ≤400时，取x ＝250，y max ＝750(元)． 当x ≥400时，取x ＝400，y max ＝570(元)．故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．二、能力提升8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50 答案 C解析 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49501.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e－kt 1， ∴827＝(e －k)t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49501t， ∴t 150＝32，t 1＝75. 9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当N ＝40时，t ＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)． 答案 36.72解析 当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144lg 59＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72. 10.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2； ③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等． 其中正确的命题序号是________．答案 ①②解析 由图象知，t ＝2时，y ＝4， ∴a 2＝4，故a ＝2，①正确．当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，②正确， 当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23.t 2－t 1＝log 23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额． (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L ，则由题设得：L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000.①由销量图易得：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20＜P ≤26，代入①式得 L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋P －－5 600，14≤P ≤20，－32P ＋P －－5 600，20＜P ≤26，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450(元)， 此时P ＝19.5(元)；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503(元)，此时P ＝613(元)．故当P ＝19.5(元)时，月利润余额最大，最大余额为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．三、探究与创新12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h t，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多少时间？ 解 由题意知40－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 20， 即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12h 20，解得h ＝10.故T －24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t . 当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1210t ＝1164. 两边取对数，用计算器求得t ≈25.因此，约需要25 min ，可降温到35℃.13．今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P ＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0.于是有90%P 0＝P 0e －5k .解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)．(2)由(1)得，知P＝tP⎪⎪⎭⎫⎝⎛0.9In51e.当P＝40%P0时，有0.4P0＝tP⎪⎪⎭⎫⎝⎛0.9In51e.解得t＝ln 0.41 5ln 0.9≈－0.9215－＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．。

2019-2020学年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例教学过程（二）新人教A版必修1环节教学内容设计师生双边互动创设情境由此可见我们所学过的方程、函数，在现实生活中都有着广泛的应用，怎样才能从实际问题入手，运用所学知识，通过抽象概括，建立数学模型来解决实际问题呢？师：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”。

这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35=12；鸡数就是：35－12=23。

激发学生学习兴趣，增强其求知欲望．生：用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题．组织探究材料一：一次函数、二次函数的应用举例例1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程．探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程．例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：1）买一只茶壶赠送一只茶杯；2）按总价的92%付款．某顾客需买茶壶4只，茶杯若干（不少于4只），若购买茶杯x（只）付款y（元），试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？师：引导学生独立思考，完成解答．引导学生分析自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义．生：独立思考，完成解答，并进行讨论、交流、评析．师：本例从现实生产、生活实际出发，要引导学生认识到数学与实际的联系，体会数学的实用价值，享受数学的应用美．生：正确理解题意，认真思考、讨论，交流做例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？探索：1）本例涉及到哪些数量关系？2）应用如何选取变量，其取值范围又如何？3）应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？4）“总收入最高”的数学含义如何理解？[略解：]设客房日租金每间提高x个2元，则每天客房出租数为300-10x，由x>0，且300-10x>0得：0<x<30设客房租金总收入元，则有：老派)10300)(220(xxy-+=8000)10(202+--=x（0<x<30）由二次函数性质可知当x=10时，y max=8000．所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元．师：注意引导学生分析题目中所涉及的各数量关系，及其之间的关系．生：思考如何选取变量，建立不同的函数模型．师：引导学生注意本例由于客房间数不太多，为了理解本应用题，可以选用列表法求解．师：注意引导学生恰当选取变量，简化函数模型，如可设客房日租金每间提高x个2元．生：仔细分析题意，根据老师的引导启发，选取适当的变量，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析．环节呈现教学材料师生互动设计组织探究例4．教材P123例5．（仿照例3给出例4的解答过程）生：仿照例3给出例4的解答过程，然后讨论、交流，并进行评析．探究与发现根据前面例题的探索研究，总结运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法：1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题；2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题．师：引导学生注意在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系．抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制．巩固与反思尝试练习：1）某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？2）某商店如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售100件，现在商店用提高出售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品涨价1元，其销售量就减少10件，问该商店将出售价定为多少才能使每天赚得的利润最大？并求出最大利润．3）要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价．小结与反思：共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．环节呈现教学材料师生互动设计作业与回馈教材P127习题32（A组）第6、7题；课外活动设计并解决一个生活中的一次函数或二次函数的应用性问题．运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，了解函数模型的广泛应用．。

§3.2.2函数模型的实际应用教学目标：知识与技能：将实际问题转化为函数模型．过程与方法：能够借助函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）解决实际问题，了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学过程例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x－250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x－250)－30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3－2－1－15解：(1)依题意，得y =⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.101,32032,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则32-t 1+320=4，t 1=4.因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32-t 2+32032-(t 2－4)+320=4，解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00； 设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32-(t 2－4)+32032-(t 2－9)+320=4，解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f (x )表示学生接受概念的能力〔f (x )的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式： f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0<x ≤10时，f (x )=－0.1x 2+2.6x +43=－0.1(x －13)2+59.9，由f (x )的图象，知当x =10时，［f (x )］max =f (10)=59；当10<x ≤16时，f (x )=59；当16<x ≤30时，f (x )=－3x +107，由f (x )的图象，知f (x )<－3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.(2)∵f (5)=－0.1×(5－13)2+59.9=53.5，f (20)=－3×20+107=47<53.5，∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练. 拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式.②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3－2－1－18(1)、图3－2－1－18(2)、图3－2－1－18(3)所示.其中图3－2－1－18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图3－2－1－18(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段.3.回忆函数最值的求法.解：(1)f (t )=⎩⎨⎧≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g (t )=203-t 2+6t (0≤t ≤40).(2)每件A 产品销售利润h (t )=⎩⎨⎧≤≤≤≤.4020,60,200,3t t t . 该公司的日销售利润F(t )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t ， 当0≤t ≤20时，F(t )=3t (203-t 2+8t )，先判断其单调性. 设0≤t 1＜t 2≤20，则F(t 1)－F(t 2)=3t 1(203-t 12+8t 1)－3t 2(203-t 22+8t 2)=209-(t 1+t 2)(t 1－t 2)2. ∴F(t )在［0，20］上为增函数.∴F(t )max =F(20)=6 000<6 300.当20<t ≤30时，令60(203-t 2+8t )>6 300，则370<t <30; 当30<t ≤40时，F(t )=60(203-t 2+240)<60(203-×302+240)=6 300， 故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，t =20，t =30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了:幂函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本P 107习题3.2A 组3、4.。

《函数模型的应用实例》一、教课内容分析：本节课选自人民教育第一版社 A 版的一般高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2 函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的要点内容之一，函数模型自己就根源于现实，并用于解决实质问题．本节课的内容是在《几类不一样增添的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容以后，关于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了必定的学习，本节课是对以上两节内容的持续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确立性函数模型的实质问题进行建模和应用．这节课的内容持续经过一些实例来感觉函数模型的成立和应用，逐渐领会实质问题中建立函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包含成立确立性函数模型解决问题及选择或成立拟合函数模型解决问题．例 5 所给的问题的特色是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律成立数学模型，注意变化范围和查验结果的合理性，同时使用这类有规律的简单数据实例供给了建立数学模型的方法．例 6 与例 5 有所差别，表中数据的变化规律特色不是和显然，需要自己依据对数据的理解选择模型，这反应一个较为完好的成立函数模型解决问题的过程，让学生逐渐感觉和明确这一点．整节课要修业生分析数据，比较各个函数模型的好坏，选择靠近实质的函数模型，并应用函数模型解决实质问题．增强读图、读表能力；优化学生思想，提升学生研究和解决问题的能力；增强学生数学应企图识，感觉数学的适用性；锻炼学生的吃苦精神，提升学生的团队合作能力．二、教课目的：知识与技术： 1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或成立的函数模型．3．会运用函数模型解决实质问题．过程与方法： 1．经过对给出的数据的分析，抽象出相应确实定性函数模型，并考证函数模型的合理性．2．经过采集到的数据作出散点图，并经过察看图像判断问题所合用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出详细的满意的函数分析式，并应用模型解决实质问题．感情、态度和价值观：1．经历成立函数模型解决实质问题的过程，意会数学源自生活，服务生活，领会数学的应用价值．2．培育学生的应企图识、创新意识和研究精神，优化学生的理性思维和求真求实的科学态度．3．提升学生研究学习新知识的兴趣, 培育学生 , 勇于研究的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的有关知识，有相应的数学基础知识贮备．2．在前面的学习中，初步领会了利用给定函数模型解决实质问题的经历，为本节课累积解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转变较弱；应企图识和应用能力不强；抽象归纳和局部办理能力单薄．四、教课要点、难点要点：依据采集的数据作出散点图，并经过察看图像选择问题所合用的函数模型，利用演算或计算机数据成立详细的函数分析式．难点：如何合理分析数据选择函数模型和成立详细的函数分析式．五、教课策略分析：鉴于新课程标准倡议以学生为主体进行研究性学习，教师应成为学生学习的指引者、组织者和合作者的教课理念和近来发展区理论，联合本节课的教课目的，采纳以下教课方法：1．问题教课法．在例 1 的教课中，提出如何能更为直观的发现函数模型，指引学生思虑，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，进而让学生有收获，有成就感．在例 2 的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的分析，直抵问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创建”过程，并使学生从中领会学习的兴趣．这样能够充分调换学生学习的主动性、踊跃性，使讲堂氛围更为活跃，同时培育了学生自主学习，着手研究的能力．2．分组议论法．在例 2 的教课中，碰到难以选择模型时，经过小组议论，拓展思想，增强合作，解决问题；在获取函数模型后和讲堂总结中，组织小组议论，互相沟通成就，扩大成就影响力．这样不单能够培育学生对数学知识的研究精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培育其学习的主动性．3．多媒体协助教课法：在教课过程中，采纳多媒体教课工具，经过动向演示有益于惹起学生的学习兴趣，激发学生的学习热忱，增大信息的容量，使内容充分、形象、直观，提升教课效率和教课质量。

3.2.2 函数模型的应用实例[目标] 1.会用分段函数模型或自建函数模型解决一些简单的实际问题；2.会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合．[重点] 根据给定的函数模型解决实际问题．[难点] 建立数学模型解答实际问题.知识点一解函数模型应用题的一般步骤[填一填]1．函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．2．解函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关系．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．[答一答]1．常见的函数模型有哪些？提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．知识点二函数拟合与预测的一般步骤[填一填](1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问题；若不符合实际情况则从(3)重新开始．[答一答]2．如何根据收集到的数据解决实际问题？提示：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步．若符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．以上过程可用程序框图表示如下：3．数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示：因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选用其他函数模型．类型一建立函数模型的应用题[例1] 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元．市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？[分析] 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价．[解] (1)因为y＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．(2)z＝(8＋x0.5×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．故当x＝1.5时，z max ＝50.所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.[变式训练1] 据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数的顶点．(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？。