7.2 一元二次不等式及其解法练习题

一、一元二次不等式及其解法1．形如0)的不等式称为关于x的一元二次不等式．ax2bx c0(或0)(其中a2．一元二次不等式ax2bxc0(a0)与相应的函数y ax2bxc(a0)、相应的方程ax2bxc0(a0)之间的关系：判别式b24ac0002二次函数y ax bx cax2bx c 0a 0ax2bx c 0(a 0)的解集ax2bx c 0(a 0)的解集3、解一元二次不等式步骤：1、把二次项的系数变为正的。

〔如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正〕2、解对应的一元二次方程。

〔先看能否因式分解，假设不能，再看△，然后求根〕3、求解一元二次不等式。

〔根据一元二次方程的根及不等式的方向〕不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点 .②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>〞成立, 下方曲线对应区域使“<〞成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0x2-4x+1(2)3x2-7x+2≤1解:原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}.-5-42(2x-1)(x-1)(2)变形为(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为1 11112 {xx<3或2≤x≤1或x>2}.32稳固练习一、解以下一元二次不等式：1、x25x 6 0 2 、x25x 6 0 3 、x27x 12 04、x27x 6 0 5 、x2x 12 0 6 、x2x 12 07、x28x 12 0 8 、x24x 12 0 9 、3x25x 12 010、3x216x 12 0 11 、3x237x 12 0 12 、2x215x 7 013、2x211x 12 0 14 、3x27x 10 15 、2x26x 5 016、10x233x 20 0 17 、x24x 5 0 18 、x24x 4 0 19、 x22x 3 0 20 、6x2x 2 0 21 、x2 3x 5 022、3x27x 2 0 23 、6x2x 1 0 24 、4x24x 3 025、2x211x 6 0 26 、3x211x 4 0 27 、x24 028、5x214x 3 0 29 、12x27x 12 0 30 、2x211x 21 031、8x22x 3 0 32 、8x210x 3 0 33 、4x215x 4 034、37、2x2x 21 0 35 、4x28x 21 0 36 、4x28x 5 05x217x 12 0 38 、10x211x 6 0 39 、16x28x 3 040、16x28x 3 0 41 、10x27x 12 0 42 、10x2x 2 043、4x229x 24 0 44 、4x221x 18 0 45 、9x26x 8 046、12x216x 3 0 47 、4x29 0 48 、12x220x 3 049、6x225x 14 0 50 、20x241x 9 0 51 、(x 2)(x 3) 6二填空题1、不等式(x1)(12x)0的解集是；2．不等式6x25x4的解集为____________.3、不等式3x2x10的解集是；4、不等式x22x10的解集是；5、不等式4x x25的解集是；9、集合M{x|x24}，N{x|x22x30}，那么集合MIN=；10、不等式mx2mx20的解集为R，那么实数m的取值范围为；11、不等式(2x1)29的解集为。

(完整版)一元二次不等式解法练习题(四种
方法)
问题描述
本练题旨在帮助学生练解一元二次不等式的四种方法。

解法一：图像法
1. 首先，将不等式的两边都展开并移项，得到一个二次项不等式。

2. 接下来，通过绘制二次函数的图像，找到函数图像上的解。

3. 最后，将解转化为不等式的形式。

解法二：代数法
1. 首先，将不等式的两边都展开，并移项，得到一个二次项不等式。

2. 接下来，使用求解一元二次方程的常用公式，求出二次方程的解。

3. 最后，根据二次方程的解和不等式的性质，确定不等式的解集。

解法三：区间法
1. 首先，将不等式的两边都展开，并移项，得到一个二次项不等式。

2. 接下来，利用二次函数的凹凸性质，确定函数图像的开口方向。

3. 根据函数图像的开口方向，确定不等式的解集在实数轴上所处的区间。

解法四：符号法
1. 首先，将不等式的两边都展开，并移项，得到一个二次项不等式。

2. 接下来，利用符号法，根据不等式的性质进行求解。

3. 最后，根据符号法的结果，确定不等式的解集。

总结
通过以上四种方法，可以综合运用不同的思考方式来解决一元二次不等式的问题。

对于不同的题目情境，选择适合的解法，百利而无一害。

注意：本练题仅为练解题方法而设计，具体题目的解答需要根据实际情况进行分析和求解。

一元二次不等式及其解法练习题一、选择题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥32 2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}3．一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1＜x ＜13，则ab 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－5 D ．54．若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－235 5．对任意实数x ，不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D ．(2，＋∞)∪⎝⎛⎭⎫－∞，－23 6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12二、填空题7．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________．8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________.三、解答题9．(1)求函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域；(2)若不等式x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．10.m 为何值时，方程mx 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0满足下列条件： (1)没有实数解； (2)有实数解；(3)有两个不相等的实数解.11．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2≤0，a ∈R .参考答案与解析1． 【解析】选A.不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x （x －1）≥04x 2－4x －3<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32⇒－12<x ≤0或1≤x <32.2．【解析】选D.若a ＝0时符合题意．当a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D.3．【解析】选B.由已知得ax 2＋bx ＋1＝0的两个根为－1，13所以⎩⎨⎧－1＋13＝－b a，－1×13＝1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－2，所以ab ＝6.4．【解析】选A.根据题意，由于关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，可知a ＞－x 2＋2x ＝－x ＋2x 在[1，5]上有解，又由于函数y ＝－x ＋2x 在区间[1，5]上是减函数，故只需a大于函数的最小值即可，又y ＝－x ＋2x ≥－5＋25＝－235，故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A.5．【解析】选C.不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 等价于2x ＋2＞k (x 2＋x ＋1)，kx 2＋(k －2)x ＋(k －2)＜0对任意x ∈R 均成立；注意到k ＝0时该不等式不恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝（k －2）2－4k （k －2）＜0， 由此解得k ＜－23，因此k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－23. 6．【解析】选C.因为(x －a )⊗(x ＋a )＜1，所以(x －a )(1－x －a )＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0.因为此不等式对任意实数x 成立，则有1－4(－a 2＋a ＋1)＜0.所以－12＜a ＜32.故选C.7．【解析】x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.【答案】k ≥4或k ≤28．【解析】函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3＞0对一切x ∈R 恒成立．①当a 2＋4a －5＝0，即a ＝－5或a ＝1时，由a ＝－5，不等式化为24x ＋3＞0，不满足题意；由a ＝1，不等式化为3＞0，满足题意． ②当a 2＋4a －5≠0时，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）＜0， 解得1＜a ＜19.综合①②，a 的取值范围是1≤a ＜19.9．【解】(1)由－x 2＋2x ＋3＞0，得x 2－2x －3＜0， 即(x －3)(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜3，所以f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域为(－1，3)．(2)法一：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(k 2－1)≤0⇒k 2≥2⇒k ≥2或k ≤－ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．法二：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，即k 2≥－x 2＋2x ＋1对一切实数x 恒成立． 因为－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， 所以当k 2≥2时，x 2－2x ＋k 2－1≥0恒成立， 所以k ≤－2或k ≥ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．10．【解】当m ＝0时，原方程可化为x ＝0；当m ≠0时，Δ＝[－(2m ＋1)]2－4m 2＝4m ＋1＜0，即m ＜－14时，原方程没有实数解；由Δ＝4m ＋1＞0，得m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数根；Δ≥0时原方程有实数解．此时m ≥－14且m ≠0.综上，(1)当m ＜－14时，原方程没有实数解．(2)当m ≥－14时，原方程有实数解．(3)当m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数解．11．【解】原不等式可以变形为(ax －1)(x －2)≤0.(1)当a ＝0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为－(x －2)≤0，所以x ≥2. (2)当a ＜0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≥0. 所以x ≤1a或x ≥2.(3)当a ＞0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为(x －1a )(x －2)≤0，对应方程的两个根分别为1a 和2，①当1a ＞2，即0＜a ＜12时，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≤0⇒2≤x ≤1a；②当1a ＝2，即a ＝12时，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≤0⇒(x －2)2≤0，所以x ＝2； ③当0＜1a ＜2，即a ＞12时，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≤0⇒1a ≤x ≤2. 综上所述，当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤1a或x ≥2； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≥2}； 当0＜a ＜12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2≤x ≤1a ； 当a ＝12时，原不等式的解集为{x |x ＝2}；当a ＞12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a ≤x ≤2.。

一元二次不等式及其解法练习班级： 姓名： 座号：1 比较大小：（1）2 6+ （2）2 21)-；（3； （4）当0a b >>时，12log a _______12log b .2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d ><⇒--； （2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒；（3）0a b >>⇒ （4）22110___a b a b>>⇒.3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）.A ．220x a <<B ．22x ax a >>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化8.（1）已知1260,1536,aa b a b b<<<<-求及的取值范围.（2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.9. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）.A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π- 10.求下列不等式的解集.（1）2230x x +->； （2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤.（4）24410x x -+> （5）24415x x -> （6）21340x ->（7）23100x x --> （8）2450x x -+< （9）23710x x -≤（10）2250x x -+-< （11）23100x x --+> （12）(9)0x x ->11.（1）不等式230x x -<的解集是 . （2）不等式2524x x -<的解集是 . （3）不等式(5)(2)0x x --<的解集为 . 12.不等式12--x x ≥0的解集是（ ） A.［2,＋∞］ B.(－∞,1)∪［2,＋∞） C.(－∞,1) D.(－∞,1)∪［2,＋∞) 13、不等式13+-x x ≤ 3的解集为 .14 y =的定义域为 .15. 函数y =的定义域是（ ）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤ 16. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则AB =（ ）.A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤C ．{1，2，3，4}D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤17.2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.18.不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（ ）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞C ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞19.(1)若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.(2)当m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程2(1)0mx m x m --+=没有实数根.20. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（ ）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解21若不等式220ax bx +->的解集为1{|1}4x x -<<-，则,a b 的值分别是 .22设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a b .23.不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +等于（ ）.A ．-14B ．14C ．-10D ．1024.若方程20ax bx c ++=（0a <）的两根为2，3，那么20ax bx c ++>的解集为（ ）. A ．{|3x x >或2}x <- B ．{|2x x >或3}x <- C ．{|23}x x -<< D ．{|32}x x -<< 25已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（ ） A ．11{|}32x x -<< B ．11{|}32x x x <->或 C ．{|32}x x -<< D ．{|32}x x x <->或 26已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.27.二次不等式的解集是全体实数的条件是（1）20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为（ ） （2）20ax bx c ++<对一切x R ∈都成立的条件为（ ）A ．00a >⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩28.关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（ ）. A ．14c < B ．14c ≤ C ．14c > D ．14c ≥29.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是 30. 在下列不等式中，解集是∅的是（ ）.A ．22320x x -+>B ．2440x x ++≤C ．2440x x --<D ．22320x x -+-> 31. 关于x 的不等式2(1)10x a x ---<的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．3(,1]5-B ．(1,1)-C ．(1,1]-D ．3(,1)5-32. 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.33. 解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--<（a ∈R ）.34（1）. 设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.（2）若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.35.设函数2()(8),f x ax b x a ab =+---的两个零点分别是－3和2；（1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.1< < < < 2.> < > < 3B 4 ③5.ab ab a <<26 <7 A 8.35、解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3，0)、(2，0)∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0 ……⑴ 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0 ……⑵ ⑴ －⑵得：b ＝a ＋8 … ⑶ ⑶代入⑵得：4a ＋2a －a －a(a ＋8)＝0即a 2＋3a ＝0∵a≠0 ∴a ＝－3 ∴b ＝a ＋8＝5 ∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18 (2)由(1)得f(x)＝－3x 2－3x ＋18， 图象的对称轴方程是：21-=x ，且10≤≤x ∴12)1()(min ==f x f ， 18)0()(max ==f x f ∴f(x)的值域是[12,18]。

一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y =（2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。

一．二次项系数为常数例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？)（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122>+-x x ∴x ≠1（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11(){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解）解：()a a 422--=∆ （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆()()32432404222+=-==--=∆a a a a 或时当 （i ）13324-≠-=x a 时，解得：当（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当()()时或即当32432404232+>-<>--=∆a a a a 两根为()242)2(21aa a x --+-=，()242)2(22aa a x ----=.()()242)2(242)2(22aa a x aa a x --+->----<或此时解得：综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)； （4）当324-<a 或324+>a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0<a ，原不等式ax x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x ax )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a； （3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为： ①当0<a 时，{11><x ax x 或}； ②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{a x x 11<<}；④当1=a 时，φ；⑤当1>a 时，{11<<x ax}.例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为（2）当0>a 时， 此时 a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--aa a a x 242++-<< （3）当a<0时, 原式可化为：012>-+ax x aa 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ； ②当0=∆即4-=a 时，解得：21-≠x ; ③当0>∆即4-<a 时解得：或a a a a x 242+-->aa a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,aa a a 242++-)； （2）当04≤<-a 时，解集为R ；（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21); （4）当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242aa a a ). 上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个规律：参数a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如： 解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a解：033)1(22>++-ax x a )(* 1012=⇒=-a a 或1-=a ；203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；∴当2-<a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R ；当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )； 当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；当21<<a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当2=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；当2>a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R .综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 或21<<a 时，解集为 (223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。

§7.2 一元二次不等式及其解法(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1.已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是［-12 , -31］，则不等式x 2－bx －a <0的解集是 ( )A.(2,3)B.(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 2.不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为 ( )A.{x |0<x <3}B.{x |x <0，或x >3}C.{x |－2<x <1}D.{x |x <－2，或x >1}3.不等式4x －2≤x －2的解集是 ( ) A.(－∞，0］∪(2,4］ B.［0,2)∪［4，＋∞)C.［2,4)D.(－∞，2］∪(4，＋∞)4.(2010·全国Ⅱ)不等式x －3x ＋2<0的解集为 ( ) A.{x |－2<x <3} B.{x |x <－2}C.{x |x <－2，或x >3}D.{x |x >3}5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1 (a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈［－1,1］时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是 ( )A.－1<b <0B.b >2C.b <－1或b >2D.不能确定二、填空题(每小题6分，共24分)6.不等式2－x x －1≥0的解集是 . 7.(2010·全国Ⅰ)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是 . 8.若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x >0，y >0满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，则不等式f (x ＋6)＋f (x )<2f (4)的解集为 .9.在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y ).若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是 .三、解答题(共41分)10.(13分)解不等式：log 12(3x 2－2x －5)≤log 12(4x 2＋x －5).11.(14分)当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是全体实数？12.(14分)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.答案 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C6.(1,2］7. {}x | －2＜x ＜－1或x ＞28. (0,2)9. ⎝⎛⎭⎫－12，32 10. 解 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－2x －5≥4x 2＋x －5， ①4x 2＋x －5>0， ② 解①得x 2＋3x ≤0，即－3≤x ≤0.解②得x >1或x <－54. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3≤x <－54. 11. 解 ①当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立；若a ＝－1，原不等式为2x －1<0，即x <12，不符合题目要求，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集是全体实数的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1. 综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解集是全体实数. 12. 解 (1)依题意，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 又售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为x ∈［0,2］.(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是［12, 2］.。

一、一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax1、把二次项的系数变为正的。

（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。

（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。

（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2)x 2-4x+13x 2-7x+2≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.2-4-5(2)变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为 {x |x< 1 3 或 12≤x ≤1或x>2}.巩固练习一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x37、0121752≤-+x x 38、0611102>--x x 39、038162>--x x40、038162<-+x x 41、0127102≥--x x 42、02102>-+x x43、0242942≤--x x 44、0182142>--x x 45、08692>-+x x46、0316122>-+x x 47、0942<-x 48、0320122>+-x x49、0142562≤++x x 50、0941202≤+-x x 51、(2)(3)6x x +-<二填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________.3、不等式2310x x -++>的解集是 ；4、不等式2210x x -+≤的解集是 ；5、不等式245x x -<的解集是 ； 9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合MN = ；10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。

当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。

2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。

3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。

3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。

对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。

例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。

例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。

例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。

又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。

一元二次不等式及其解法（含详解）题组一 一元二次不等式的解法x ＋5(x －1)2≥2的解集是 ( ) A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3] 解析：法一：首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x ＋5≥2(x－1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 法二：特殊值检验法．首先x ≠1，排除B ，显然x ＝0，x ＝2是不等式的解，排除A 、C.答案：D2．解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)．解：由12x 2－ax －a 2>0⇔(4x ＋a )(3x －a )>0⇔(x ＋a 4)(x －a 3)>0， ①a >0时，－a 4<a 3， 解集为{x |x <－a 4或x >a 3}； ②a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a <0时，－a 4>a 3， 解集为{x |x <a 3或x >－a 4}． 题组二 一元二次不等式的实际应用y (万元)与产量x (台，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：依题意得25x ≥3 000＋20xx 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200，因为0＜x ＜240，所以150≤x ＜240，即最低产量是150台．答案：C4．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜xxx ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意得y ＝×x )－1×(1＋x )]×x )(0＜x ＜1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1000＞0，0＜x ＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x ＞0，0＜x ＜1. 解得0＜x ＜13. ∴投入成本增加的比例应在(0，13)范围内．ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2或a ≤－3B ．a ＞2或a ≤－3C ．a ＞2D ．－2＜a ＜2解析：原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋2＞0，且Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)＜0， 解得a ＞2.答案：C6．(2010·宁波模拟)设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，则t 的取值范围是________． 解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1，∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立，即t 2－2at ≥0恒成立，令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤0，t ≤－2或t ≥0， ∴t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24. ①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a 得a ≤73，∴a ∈∅. ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2. ③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a ＜－4.综上得a ∈[－7,2]．x 2－|x |－2<0 ( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}解析：原不等式⇔|x |2－|x |－2<0⇔(|x |－2)(|x |＋1)<0⇔|x |－2<0⇔－2<x <2. 答案：A9．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是{x |2＜x ＜3}，设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9. 答案：a ≤910．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅. 综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.。

一元二次不等式及其解法、选择题—x 2+3x, x<02 .2x + 2m 奸 m ...... ..................... 如果不等式4x2+6x+ 3 v 1对一切实数‘x 均成立，则实数 m 的取值范围是1.设集合 A= {x|x 2—2x —3<0} B= {x|1 <x<4},贝U An B=(2.3.A. {x|1 < x<3} C. {x|3<x<4} x- 2 不等式R7w 。

的解集是A.(―巴—1)U( —1,2] C.(―巴—1) U [2 , +oo)若不等式ax 2+ bx+c>0的解集是 B. D. {x|1 & x<3} {x|3 & x< 4}B. (-1,2]D. [—1,2](—4,1),则不等式 b(x 2—1)+a(x+「3)+c>0 的解集为A. (-1, 1)3 4.(一巴 1) U ( -,+00)3C. (-1,4).(—8, — 2) U (1 , +oo)4.在R 上定义运算:x*y = x(1 —y).若不等式(x —y)*( x+ y)<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是1 3 A (—2,2) C. (-1,1)D. (0,2)5.若函数f(x) = (a 2+4a — 5)x 2—4(.a —1) x+3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是 A. [1,19] B. (1,19) 6. C. [1,19)设 f (x) =x 2 + bx — 3D. (1,19]且f( - 2) = f (0),则f(x)<0的解集为 A. (―3,1) B. [-3,1] C. [-3, - 1] D. (-3, -1]二、填空题7. 已知函数 y=(m- 1)x 2- mx- m 的图象如图，则 m 的取值范围是8.已知f(x) x2，x>0,则不等式f(x)<f(4)的解集为9.三、解答题10.解下列不等式：(1) -x2 + 2x-2>0;3(2)8 x- 1<16x2r.11.已知函数 f (x) = —x2+ax+b2—b+1( ae R, be R),对任意实数x 者B有f(1—x)= f(1+x)成立，若当xC[—1,1]时，f(x)>0对xC [ —1,1]恒成立，求b的取值范围.12.某商品在最近30天内的销售价格f(t)与时间t (单位：天)的函数关系是f(t)=t十.10(0<tW30, tCN);销售量g(t)与时间t 的函数关系是g(t) = - t +35(0<t <30, tC N),记日销售金额为①(t)(单位：元)，若使该种商品日销售金额不少于450元，求时间t 满足的条件.详解答案一、选择题1.解析：由x2-2x- 3<0,得(x—3)( x+1)<0 ,即一1<x<3.A= {x| —1<x<3}.又< B= {x|1 <x<4},••.An B= {x|1 <x<3}.答案：A一,一x - 2 ，一一_.2.解析：••・F^wo 等价于(x —2)( x+1)W0, (xw—1) x I I—1<x<2.答案：B3.解析：由不等式ax2+bx+c>0的解集为( — 4,1)知a<0, —4和1是方程ax2 + bx+c=0的两根，，- 4+1 = —一，-4X1=-即b=3a, c= — 4a.故所求解的不等式为3a(x2a a—1)+a(x+ 3) -4a>0,即3x2+x-4<0,解得一4Vx<1.3答案：A4.解析：由题意知，(x —y)*( x + y) = (x—y)[1 -(x+y)]<1对一切实数x恒成立，，—x2+x + y - y - 1<0 对于x C R 恒成立,故A = 1 - 4X( - 1)x( y - y - 1)<0 ,• •4y2-4y- 3<0,解得—2<y<|.答案：A5.解析：函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2+4a— 5)x2—4(a—1) x+3>0对于一切x 6 R恒成立.(1)当a2+4a—5=0时，有a= —5或aa= —5,不等式化为24x+3>0,不满足题意;若a=1,不等式化为3>0,满足题意. 2(2)当a +4a —5wo时，应有a2+ 4a- 5>0,解得1<a< 19.综上可知, a的取值范围是16 a-1 2—12 a2+4a —5 <0K a<19.答案：C一一，一 - - b — 2+06.斛析：J f ( - 2) = f (0) , *. x= - -= 2—= - 1， 而 b = 2r ..•.f(x)<0? x2+2x -3<0? (x+3)(x —1尸0, • • — 3w xW 1.答案：B 二、填空题m- 1<0 2 mH 1 <04答案：0,-5当 x<0 时，由一x 2+3x<2, 得x<1或x>2,因此x<0. 综上，有0wx<4或x<0,即x<4, 故 f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}. 答案：｛x|x<4｝9 .解析：由于 4x 2+6x+3>0,所以不等式可化为2十 (6 -2m)x+ (3 - m) >0.依题息有(6 - 2m) -8(3 - m) < 0,解得 1V 3.答案：(1,3) 三、解答题10 .解：(1)两边都乘一3,彳导3x2-6x+2<0, •••3x 2-6x+2=0 的解是 3 3x= 1-y, x2= 1 + -3-,16x 2-8x+1>0,其相应方程为 16x 2—8x+1 = 0, △ = (—8)2-4X 16= 0.，上述方程有两相等实根结合二次函数y= 16x 2- 8x+ 1的图象知, 原不等式的解集为 R.，原不等式的解集为｛x|13 33 <x<1+ 3 }.7.解析：由图可知A<0 4 0<m<. 58.解析：f(4) =2, 即不等式为f(x)<2.,, ,x当x>0时，由2<2,得 0Wx<4;_ 2 _ . 2 22x+2m 奸 m< 4x+6x+3,即 2x(2)法一：二.原不等式即为法二：8x-1<16x2? 16x2-8x+1>0 ? (4\-1)2>0,・•.xC R,，原不等式的解集为R.- ....... a -11.解：由f (1 — x) = f(1 + x),知f (x)的对称轴为x=2=1,故a=2.又f(x)开口向下，所以当x€ [ -1,1]时，f(x)为增函数，f(x)min=f( — 1) = 一1 一2+b — b+1=b — b一2, f(x)>0 对xC[ — 1,1]恒成立，即f (x)min=b2— b— 2>0 恒成立，解彳导b<- 1或b>2.12.解：由题意知①(t) = f(t)g(t) = (t + 10)( -t +35)=—t2+25t+350(0<t W30, tCN),由①(t) >450 得—t2+25t +350>450? t2—25t +100<O ? 5< t<20..所以若「使该种商品日销售金额不少于450元，则时间t满足tC[5,20]( tCN).、选择题（每题3分，共30分）1.若方程(m 2)x㈣3mx 1A. 0B. 2C.2. 方程X2X的根是（3.4.5.6.7.8.次方程单元测试班级姓名成绩0是关于x的一元二次方程，则m =（D.B. C. X D.一、 (2)若X1、X2是方程XB.已知关于X的方程以分解为（A. (x 1)(x+2) x20的两根，则(X1X I2) (X22 X2 2）的值为（对于任意实数x,多项式A.非负数若a b+c=0, awQC. 1D. 1pX + q = 0的两根是X1 =1, X2 = 2,则二次三项式X2PX +qB. (x 1)(x 2)X2- 5X+8的值是B.正数贝历程ax2bxB. 0如果关于x的方程ax 2+x-1= 0有实数根，则A.方程A.C. (x +1)(x 2)C.负数0必有一个根是（ C. - 1a的取值范围是（D.D.(x +1)(x+2)无法确定D,不能确定C. a> 一且aw04D. a > ——J E La w O4x2+ ax+1=0 和x2-x—a=0 有一个公共根, 则a的值是（B. 1C. 2D.29. 一兀二次万程m 2 x4mx 2m 6 0有两个相等的实数根，则m等于x(x+4)=8x+1215 . 在实数范围内分解因式 ：x 22志x + 2 =16 .关于x 的代数式x 2（m 2）x 9中，当m=时，代数式为完全平方式17 .若一个等腰三角形的三边长均满足方程x 26x+8=0,则此三角形的周长为18 .已知方程x 2-b x + 22 = 0的一根为5 6 则b=,另一根为= . 19 .当k<1时，方程2 （k+1） x 2+ 4kx+2k 1=0的根的情况为 . 20 .从正方形的铁皮上， 截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是 ____________________A. -6B. 1C. 2D.-6 或 110.某化肥厂第一季度增产 a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产 x%,则第三季度化肥增产的吨数为（ 2 A. a(1 x) B . a(1 x )2 2 C.(1 x%)2 2D. a a( x%)二、填空题（每题 3分，共 30 分）: 11.下列方程中， ① 2x 2 5 = 0, 2x 2+- 3 = 0,x 2x + 81 =0,x 2~2x73 ,⑤ x 2+2x+2 x 22x 30,次方程12若关于y 的方程ky 24y 33y + 4有两个实根，的取值范围. 、 一2 次方程（a 1）x x2 - - .a 1 0的一个根是 0,三、解关于X 的方程（每小题5分，共20分）2221 . 5x 3 x 1方法)2x 2 3 7x23224 . x 517 x 530 0四、解答题（第 25、26题6分，第27题8分）：25 .如图所示，某地有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为 120平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪 BC 边的长.26 .某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆 -的株数构成一定的关系.每盆22.(配3x 2+5(2x+ 1)=0植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株?27.在日常生活中，我们经常有目的地收集数据，分析数据，作出预测.根据图中提供的信息，回答下列问题：①2009年小芳家月用电量最小的是月，四个季度中用电量最大的是第季度；②求2009年5月至6月用电量的月增长率；(2)今年小芳家添置了新电器.已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据2009年5月至7 月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时.假设今年5月至6月用电量月增长率是6月至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时？27.答案一、选择题：1.B5.B6.C7.B8.C9. D 10.B二、填空题：……2 一 一 .11 .①③12 . x 4x 12 013 . k 15. (x 君 1)(x 33 1) 16, 4 或 8 17. 1019.有两个不相等的实数根20. 64cm 2三、解关于x 的方程,1 c 1 1321. 1,一 22. 3,—23. 5,1324. 20, 73 23四、解答题：解得：x 1 12, X2 20, ••-20> 16,x 2 20不合题意，舍去,得 x 3 3 0.5x10.化简，整理，的x 23x 2 0. 解这个方程，得x 1 1,x 2 2.25. .解：设BC 边的长为 x 米，根据题意得32 x120,26.解：设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有x 3株，平均单株盈利为 3 0.5xZ 且 k w 0 418. 10, 5 + J3答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株27.解①5,三•②胃泮x 100% = 65%霹，2009年5月至6月用电量的月增长率是65%.而■设6月至7月用电量月R长率为N.flff月至6月用电量月第长率是IN二由M意得E2OU + 1.5］乂14•外2“ 化施1113f+5 工- 2。

（完整版）一元二次不等式及其解法练习题预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制一元二次不等式及其解法练习班级：姓名：座号：1 比较大小：（1）2 6+ （2）2 21)-；（3；（4）当0a b >>时，12log a _______12log b .2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）,____a b c d a c b d >><（3）0a b >>? （4）22110___a b a b>>?.3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（）.A ．220x a <<B ．22x ax a >>C ．20x ax <<D ．22x a ax >>4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11a b<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化8.（1）已知1260,1536,aa b a b b<<<<-求及的取值范围.（2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.9. 已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（）.A ．(,0)2π-B ．[,0]2π-C ．(,0]2π-D ．[,0)2π- 10.求下列不等式的解集.（1）2230x x +->；（2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤.（4）24410x x -+> （5）24415x x -> （6）21340x ->（7）23100x x --> （8）2450x x -+< （9）23710x x -≤（10）2250x x -+-< （11）23100x x --+> （12）(9)0x x ->11.（1）不等式230x x -<的解集是 . （2）不等式2524x x -<的解集是 . （3）不等式(5)(2)0x x --<的解集为 . 12.不等式12--x x ≥0的解集是（） A.［2,＋∞］ B.(－∞,1)∪［2,＋∞） C.(－∞,1) D.(－∞,1)∪［2,＋∞) 13、不等式13+-x x ≤ 3的解集为 .14 y =的定义域为 .15. 函数y =的定义域是（）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤ 16. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则A B I =（）. A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤ B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤ C ．{1，2，3，4} D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤17.2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ?，求a 的取值范围.18.不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞UC ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞U19.(1)若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.(2)当m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程2(1)0mx m x m --+=没有实数根.20. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解21若不等式220ax bx +->的解集为1{|1}4x x -<<-，则,a b 的值分别是 .22设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a b g .23.不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +等于（）.A ．-14B ．14C ．-10D ．1024.若方程20ax bx c ++=（0a <）的两根为2，3，那么20ax bxc ++>的解集为（）. A ．{|3x x >或2}x <- B ．{|2x x >或3}x <- C ．{|23}x x -<< D ．{|32}x x -<< 25已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（） A ．11{|}32x x -<< B ．11{|}32x x x <->或 C ．{|32}x x -<< D ．{|32}x x x <->或 26已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.27.二次不等式的解集是全体实数的条件是（1）20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为（）（2）20ax bx c ++<对一切x R ∈都成立的条件为（）A ．00a >>?B ．00a >C ．00a ?D ．00a28.关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（）.A ．14c <B ．14c ≤C ．14c >D ．14c ≥29.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是 30. 在下列不等式中，解集是?的是（）.A ．22320x x -+>B ．2440x x ++≤C ．2440x x --<D ．22320x x -+-> 31. 关于x 的不等式2(1)10x a x ---<的解集为?，则实数a 的取值范围是（）.A ．3(,1]5-B ．(1,1)-C ．(1,1]-D ．3(,1)5-32. 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.33. 解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--<（a ∈R ）.34（1）. 设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.（2）若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.35.设函数2()(8),f x ax b x a ab =+---的两个零点分别是－3和2；（1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域.1< < < < 2.> < > < 3B 4 ③5.ab ab a <<26 <7 A 8.35、解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3，0)、(2，0)∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0 ……⑴ 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0 ……⑵ ⑴ －⑵得：b ＝a ＋8 … ⑶ ⑶代入⑵得：4a ＋2a －a －a(a ＋8)＝0即a 2＋3a ＝0∵a≠0 ∴a ＝－3 ∴b ＝a ＋8＝5 ∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18 (2)由(1)得f(x)＝－3x 2－3x ＋18，图象的对称轴方程是：21-=x ，且10≤≤x ∴12)1()(min ==f x f ，18)0()(max ==f x f ∴f(x)的值域是[12,18]。

专题7.2 一元二次不等式及其解法【基础巩固】一、填空题1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【答案】92．对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．【答案】{x |x <1或x >3}【解析】x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【答案】{x |－1<x <2}【解析】∵2x 2－x <4＝22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0,4]【解析】由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________．【答案】{x |x ＞1}【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 6．(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－1,4]7．(2017·扬州期末)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 【解析】由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1＝m ＋12＋m m ＋1－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 二、解答题9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【能力提升】11．(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－3212．(2017·南通调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．【答案】{x |－ln 2<x <l n 3}【解析】法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－l n 2<x <ln 3. 法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 13．(2017·无锡模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．解原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.。

专题7.2 一元二次不等式及其解法【考纲解读】内容要求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划√基本不等式√【直击考点】题组一常识题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3. 若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>13，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.题组二 常错题5．不等式x (2－x )>0的解集为________．【解析】由不等式x (2－x )＞0，得不等式x (x －2)＜0，则0＜x ＜2. 6．不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．【解析】当a <0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x ＜1a或x >2；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.7．不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1.题组三 常考题8． 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________________．【解析】集合A ＝(1，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.9． 不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【解析】因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，则m 的取值范围是 ________． 【解析】要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0， 所以m 的取值范围为－4＜m ≤0.【知识清单】考点1 一元二次不等式的解法对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅考点2 一元二次不等式恒成立问题由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式20axbx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值． 考点3 一元二次不等式的应用构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题.【重点难点突破】考点1 一元二次不等式的解法【1-1】不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，则______,a b == .【答案】a =－4，b =－9【解析】Q 不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，12,4∴--为方程220ax bx +-=的两根，则根据根与系数关系可得1122(),(2)()44b a a-+-=--⋅-=-，4,9a b ∴=-=-. 【1-2】已知不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则不等式022<++a bx x 的解集为 .【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x解为211<<-x ； 【1-3】已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)0,+∞【解析】1()121a a f a ≤⎧≥⇒⎨≥⎩或21451a a a >⎧⎨-+≥⎩，∴10a a ≤⎧⎨≥⎩或1a x R >⎧⎨∈⎩，∴01a ≤≤或1a >，∴0a ≥.【1-4】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4. 【1-5】解不等式2221x ax a -≤-+【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【温馨提醒】注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当0∆>时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论. 考点2 一元二次不等式恒成立问题【2-1】不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【答案】[－1,4]【解析】x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 【2-2】若不等式的解集是R ，则m 的范围是 .【答案】【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x 的取值范围是 .【答案】【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x 的范围是.【2-4】若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为 . 【答案】11a ≥【解析】记2()23f x x x a =-+-，因为(0),(4)f f 不同时为0，所以仅需(0)011(4)0f a f ≤⎧⇒≥⎨≤⎩. 【2-5】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是 . 【答案】1322a -<< 【解析】根据定义可得不等式()()1x a x a -⊗+<为()[1()]1x a x a --+<即2(1)10x x a a -+-+>，此不等式对任意实数x都成立，所以214[(1)1]04430(21)(23)0a a a a a a ∆=--+<⇒--<⇒+-<，从中解得1322a -<<.【思想方法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【温馨提醒】二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x 轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.考点3 一元二次不等式的应用【3-1】有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 【答案】(8]403，【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【思想方法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4 不等式性质的应用【易错试题常警惕】1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．。

7.2 一元二次不等式及其解法一、填空题1.若a<0,则不等式22230x ax a --<的解集是 .解析 ∵22230x ax a --=, ∴123x a x a =,=-. 又a<0,∴不等式的解集为{x|3a<x<-a}.答案 {x|3a<x<-a}2．设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝ . 解析 由x 2－2x －3<0，得(x －3)(x ＋1)<0，即－1<x <3.∴A ＝{x |－1<x <3}．又∵B ＝{x |1≤x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |1≤x <3}．答案 {x |1≤x <3}3.已知不等式ax 2＋bx ＋1≥0的解集为{x|－5≤x≤1}，则a ＋b 等于 .解析 由题意得，a ＜0且－5＋1＝－b a ，－5×1＝1a， ∴a ＝－15，b ＝－45，∴a ＋b ＝－1. 答案 －14．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0 即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．答案 (2,3)5．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝ (x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)．答案 (－2,1)6．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是________．解析 由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤ a5，而5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，所以4≤ a5＜5，所以80≤a ＜125.答案 [80,125)7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ≤0，x ＋1，x ＞0，则f (x )＞x 的解集为________．解析 由题意知⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＞x 或⎩⎨⎧ x ＞0，x ＋1＞x ，解得x ＜0或x ＞0，即x ≠0.答案 {x |x ≠0}8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋2ax ，x ≥22x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析 由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2， 则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案 (－1,3)9．不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，则a 的取值集合为________． 解析 不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，所以a ＝0时满足题意，当a ＜0时，判别式Δ＜0，得a ＜0，故a ∈(－∞，0]．答案 (－∞，0]10．不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞2}，则a ，b 的值依次为________．解析 由题意，1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0两根，所以a ＝－3，b ＝2. 答案 －3,211．函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ＋1， x ＜0，x －1， x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析 若x ＜－1，则f (x ＋1)＝－x ，于是由x －x (x ＋1)≤1，得x 2≥－1， 所以x ＜－1.若x ≥－1，则f (x ＋1)＝x ，于是由x ＋x (x ＋1)≤1，得x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，所以－1≤x ≤2－1.综上得x ≤ 2－1. 答案 (－∞，2－1]12．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ e 2x ＋13－x ＜1，则A ∩B ＝________. 解析 由|2x －1|＜3，得－3＜2x －1＜3，即－1＜x ＜2，A ＝{x |－1＜x ＜2}．由e2x ＋13－x ＜1，得2x ＋13－x ＜0，即(2x ＋1)(x －3)＞0，所以x ＜－12或x ＞3， B ＝{x |x ＜－12或x ＞3}．故A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1＜x ＜－12. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1＜x ＜－12 13．三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”．乙说：“不等式两边同除以x 2，再作分析”．丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是________． 解析 采用丙的方法：由xy ≤ax 2＋2y 2，得ax 2≥xy －2y 2，a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2.因为x ∈[1,2]，y ∈[2,3]， 所以1≤yx ≤3.所以y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18. 当yx＝1，即x ＝2，y ＝2时取最大值－1，所以a ≥－1. 答案 [－1，＋∞)二、解答题14.已知不等式2364ax x -+>的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式2()ax ac b x -++bc<0.解析 (1)因为不等式2364ax x -+>的解集为{x|x<1或x>b},所以x=1与x=b 是方程2ax -3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系数的关系,得3121b a b a ⎧+=,⎪⎨⎪⨯=.⎩解得 12a b =,⎧⎨=.⎩ 所以 12a b =,⎧⎨=.⎩(2)原不等式2()ax ac b x -++bc<0,可化为2(2)x c x -++2c<0,即(x-2)(x-c)<0.①当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.综上所述:当c>2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为∅.15．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．思路分析 第(2)问将不等式f (x )＜5－m ，x ∈[1,3]恒成立转化为m ＜g (x )， x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值即可．解析 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧ m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0 ⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]．(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]， 记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67， ∴m ＜67. 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【点评】 本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.16．已知集合A ＝{x |x 2－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)＜0，x ∈R }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x －a x －a 2＋1＜0，x ∈R . (1)当4∉B 时，求实数a 的取值范围；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解析 (1)若4∈B ，则4－a 3－a 2＜0⇔a ＜－3或3＜a ＜4. ∴当4∉B 时，实数a 的取值范围为[－3，3]∪[4，＋∞)．(2)∵A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋1}．①当a ＜13时，A ＝(3a ＋1,2)， 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧ a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时－1≤a ≤－12②当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在． ③当a ＞13时，A ＝(2,3a ＋1)， 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧ a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时2≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围是[2,3]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 17．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b .(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解析 (1)由f (1)＞0，得－3＋a (6－a )＋b ＞0，即a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式解集为∅.②当Δ＞0时，即b ＞－6时，方程有两根x 1＝3－6＋b ，x 2＝3＋6＋b ，所以不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．综上所述：b ≤－6时，原不等式解集为∅； b ＞－6时，原不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．(2)由f (x )＞0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0，即3x 2－a (6－a )x －b ＜0.因为它的解集为(－1,3)，所以－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝a 6－a 3，－1×3＝－b 3，解得⎩⎨⎧ a ＝3－3，b ＝9，或⎩⎨⎧ a ＝3＋3，b ＝9.18．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解析 (1)x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.所以a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2<－2，g －2≥0，即错误!⇔错误! 此不等式组无解．③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2>2，g 2≥0，即错误!⇔⎩⎨⎧ a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7，⇔－7≤a ≤－6.综合①②③得a ∈[－7,2]．。

一元二次不等式及其解法练习题比较大小：1) $(3+2)^2>2^6$；(2) $(3-2)^2(6-1)^2\log_b 1$，其中$a>b>1$；(4) 当$a>b>1$时，$\frac{\log_a 1}{\log_b1}<\frac{2}{3}$。

用不等号“>”或“<”填空：1) $a>b,cb>0,cb>0$，则$3a>3b$；(4) $a>b>0$，则$\log_a 1>\log_b 1+\frac{1}{2}\log_b a$。

已知$x<a<b$，则一定成立的不等式是$x^2<a^2<b^2$。

如果$a>b$，则成立的不等式有：①$a^2>b^2$；②$\frac{1}{a}3b$；④$\log_a 1>\log_b 1$。

设$a<b<0$，则$a<ab<ab^2$。

比较$(a+3)(a-5)$与$(a+2)(a-4)$的大小，可以展开式子得到$a^2-2a-15$和$a^2-2a-8$，因为$a^2-2a-15<(a+3)(a-5)<a^2-2a-8$，所以$(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4)$。

若$f(x)=3x^2-x+1$，$g(x)=2x^2+x-1$，则当$x\in\mathbb{R}$时，$f(x)>g(x)$。

已知$12<a<60$，$15<b<36$，则$a-b\in(12-15,60-36)=(3,24)$，$\frac{a}{b}\in(\frac{12}{36},\frac{60}{15})=(\frac{1}{3},4)$。

已知$-4\leq a-b\leq -1$，$-1\leq 4a-b\leq 5$，则$-3\leq3a\leq 4$，即$-1\leq a\leq\frac{4}{3}$，$-2\leqb\leq\frac{1}{3}$，所以$-2\leq 9a-b\leq\frac{11}{3}$。