补充2：求二次函数的解析式的专题(1)

2022年春北师大版九年级数学中考复习《二次函数与特殊平行四边形综合压轴题》专题突破训练（附答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线解析式；（2）点E为线段BD上的一个动点，作EF⊥x轴于点F，连接OE，当△OEF面积最大时．求点E的坐标；（3）G是第四象限内抛物线上一点，过点G作GH⊥x轴于点H，交直线BD于点K、且OH＝GK，作直线AG．①点G的坐标是；②P为直线AG上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥AG于点Q，取点M（0，），点N为平面内一点，若四边形MPNQ是菱形，请直接写出菱形的边长．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C 作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B （5，0），与y轴交于点C，D是抛物线对称轴上一点，纵坐标为﹣5，P是线段BC上方抛物线上的一个动点，连接BP、DP．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BDP的面积取得最大值时，求点P的坐标和△BDP面积的最大值；（3）将抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）沿着射线BD平移，使得新抛物线经过点D．新抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧），与y轴交于点G，M是新抛物线上一动点，N是坐标平面上一点，当以点E、G、M、N为顶点的四边形是矩形时，请直接写出所有满足条件的点N的横坐标．5．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”的形状为（不必写出证明过程）；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+mx（m＞0）的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A（4，0），另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC．（1）求m的值及该抛物线的对称轴；（2）已知该抛物线上有一点D（x，y）（x＞0，y＞0），使得S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；（3）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求A、C两点的坐标；（2）当△ABC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；（3）当△ABC关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有MN∥x轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点N（n，0）是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．①是否存在以P、C、G为顶点的三角形与△BNG相似？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；②过点P作PD⊥BC于点D，当△PDG≌△BNG时，求n的值．（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1．①点E在直线OB1上运动，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、B、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，请直接写出点N的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，若点E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值；（3）如图2，将抛物线C1先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线C2，点M为抛物线C2上一动点，点N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N使得四边形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）．（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的内部和边）有公共点，求t的取值范围．11．综合与探究：如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式．（2）点E在抛物线的对称轴上，则CE+OE的最小值为．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．①当△ANC面积最大时的P点坐标为；最大面积为．②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），则，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知抛物线的顶点为D（1，4），令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），∴直线BD的解析式为：y＝﹣2x+6，设点E的横坐标为m，则E（m，﹣2m+6），F（m，0），∴EF＝﹣2m+6，OF＝m，∴△OEF面积＝•EF•OF＝（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，△OEF面积的最大值为．此时E（，3）；（3）①设点G的横坐标为n，则G（n，﹣n2+2n+3），K（n，﹣2n+6），H（n，0），∴OH＝n，GK＝﹣2n+6﹣（﹣n2+2n+3）＝n2﹣4n+3，∵OH＝GK，∴n＝（n2﹣4n+3），解得n＝或n＝（舍），∴G（，﹣）．②若四边形MPNQ是菱形，则△MPQ是等腰三角形，且MP＝MQ，取PQ的中点N，则PQ⊥MN，由上可知，A（﹣1，0），G（，﹣）．∴直线AG的解析式为：y＝﹣x﹣．∵PQ⊥AG，PQ⊥MN，∴MN∥AG，∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+．设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+2t+3），直线PQ的解析式为：y＝2x+b，则2t+b＝﹣t2+2t+3，解得b＝﹣t2+3，∴直线PQ的解析式为：y＝2x﹣t2+3，令2x﹣t2+3＝﹣x﹣，解得x＝．∴Q（，﹣），∴PQ的中点N（，），∵直线MN的解析式为：y＝﹣x+．∴﹣•+＝，解得t＝2或t＝，∴P（2，3）或P（，）．∴MP的长为＝或＝．故菱形的长为：或．2．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），点A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2，∵抛物线交x轴于点A和点B，∴当y＝0时，x2+x+2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴B（4，0）；（2）存在最大值，由题知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴交BC于点G，∴CD∥EG，∴，∵直线y＝kx+1与y轴交于点D，∴D（0，1），∴CD＝2﹣1＝1，∴，设直线BC的解析式为y＝gx+r（g≠0），将B（4，0），C（0，2）代入，得，解得，∴直线BC得解析式为y＝﹣x+2，设点E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），且0＜t＜4，∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∴＝﹣（t﹣2）2+2，∵﹣＜0，∴当t＝2时，有最大值为2，此时E点的坐标为（2，3）；（3）存在点M和点N使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：设直线DE的解析式为y＝sx+d，将D（0，1），E（2，3）代入，得，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+1，设M（n，n+1），∵B（4，0），D（0，1），∴BM2＝（4﹣n）2+（0﹣n﹣1）2＝2n2﹣6n+17，DM2＝（0﹣n）2+（1﹣n﹣1）2＝2n2，BD2＝42+12＝17，∵以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形，故分以下两种情况：①当BD为边时，MN＝DM＝BD（如下图）或MN＝BM＝BD（如下图），∴DM2＝BD2＝17或BM2＝BD2＝17，即2n2＝17或2n2﹣6n+17＝17，解得n＝±或n＝0（舍去）或n＝3，∴M（，）或M'（﹣，）或M''（3，4）；②如下图，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则Q（2，），∵四边形BMDN是菱形，∴MN⊥BD，QB＝QD＝BD，∴QD2+QM2＝DM2，∴（2﹣0）2+（﹣1）2+（n﹣2）2+（n+1﹣）2＝2n2，解得n＝，∴M'''（，），综上，符合条件的M点的坐标为（，）或（﹣，）或（3，4）或（，）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），∴得，∴解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4，∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，设满足条件的点在抛物线上：①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥直线CD，垂足为F．则F（t，4），CF＝t，，根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，即，∴，解得t1＝0（舍去），t2＝3，∴；②当点E'位于直线CD上方时，过点E'作E'F'⊥直线CD，垂足为F'．则F'（s，4），CF'＝s，E'F'＝﹣s2+s+4﹣4＝﹣s2+s，根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，即，∴，解得s1＝0（舍去），s2＝1．∴，所以，点E的坐标为或；（3）①CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，∴P′M′＝P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC＝OB，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，∴∠P′M′C＝45°，设点P′（m，﹣m2+m+4），在Rt△P′M′Q′中，P′Q′＝m，P′M′＝m，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵P′N′∥y轴，∴N′（m，﹣m+4），∴P′N′＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴m＝﹣m2+2m，∴m＝0（舍）或m＝4﹣2，菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）＝4﹣4．②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ＝∠NCQ，∵∠OCB＝45°，∴∠NCQ＝45°，∴∠PCQ＝45°，∴∠CPQ＝∠PCQ＝45°，∴PQ＝CQ，设点P（n，﹣n2+n+4），∴CQ＝n，OQ＝n+4，∴n+4＝﹣n2+n+4，∴n＝0（舍），∴此种情况不存在．综上，菱形的边长为4﹣4．4．解：（1）由题意得，，解之得，，∴抛物线的函数表达式是：y＝﹣x2+4x+5；（2）如图1，∵抛物线的对称轴是x＝＝2，∴D（2，﹣5），∵B（5，0），∴直线BD的解析式是：y＝x﹣，过点P作PQ∥BD，∴可设PQ的解析式是：y＝x+b，由﹣x2+4x+5＝x+b得，x2﹣x+（b﹣5）＝0，∵△BPD面积最大，∴方程由两个相等实数根，∴（x﹣）2＝0∴x＝，当x＝时，y＝﹣（）2+5＝，∴P（，），如图2，∵B（5，0），∴直线PB的解析式是：y＝﹣x，∴当x＝2时，y＝，∴DE＝﹣（﹣5）＝，∴S△BDP＝×（5﹣）＝，即△BDP的最大面积是；（3）∵B（5，0），D（2，﹣5），∴y＝﹣（x﹣2）2+9平移后的关系式是y＝﹣（x+1）2+4，∴﹣（x+1）2+4＝0，∴x＝1或x＝﹣3，∴点E（﹣3，0），G（0，3），如图3，当点M落在抛物线y＝﹣（x+1）2+4的顶点（﹣1，4）时，∠EGM＝90°，根据MN∥EG，MN＝EG可得N（﹣4，1），∴NE的解析式是y＝﹣x﹣3，由﹣（x+1）2+4＝﹣x﹣3得，x＝2或x＝﹣3（舍去），∴M′（2，﹣5），∴N′（5，﹣2），当EG是对角线时，设点M1（m，﹣m2﹣2m+3），由M1E2+M1G2＝EG2得，（x+3）2+（﹣x2﹣2x+3）2+x2+（﹣x2﹣2x）2＝32+32，∴x1＝﹣3，x2＝0，x3＝，x4＝，∴N1横坐标是：﹣3﹣＝，N2横坐标是：﹣3﹣＝，综上所述点N的横坐标是：﹣4或5或或．5．解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．（2）当抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（，），满足＝（b＞0）．则b＝2．（3）存在．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，又∵AO＝AB，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB＝60°，作AE⊥OB，垂足为E，∴AE＝OE tan∠AOB＝OE．∴＝•（m＞0）．∴m＝2．∴A（，3），B（2，0）．∴C（﹣，﹣3），D（﹣2，0）．设过点O、C、D的抛物线为y＝mx2+nx，则，解得．故所求抛物线的表达式为y＝x2+2x．6．解：（1）把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：∴﹣16+12+m＝0，解得：m＝4，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴二次函数对称轴为直线x＝；（2）由（1）知，y＝﹣x2+3x+4，∴C（0，4），即OC＝4，令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（﹣1，0），∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，∵S△ABD＝S△ABC，点D（x，y）在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，∴﹣x2+3x+4＝4，解得：x＝0或3，∴只有（3，4）符合题意．∴点D的坐标为（3，4）；（3）存在，理由：①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，∵A（4，0），AB＝5，∴点Q′的坐标为（4，5）；②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，∵AB、PQ是正方形对角线，∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为，∴点Q的坐标为（，﹣），故点Q的坐标为（4，5）或（，﹣）．7．解：（1）在y＝x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣3，∴A点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（0，4）；（2）设B点坐标为（x，0），①当AC＝BC时，，解得：x＝﹣3（舍去）或x＝3，∴B点坐标为（3，0），将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，②当AB＝BC时，，解得：x＝，∴B点坐标为（，0），将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，③当AB＝AC时，，解得：x＝2或x＝﹣8，∴B点坐标为（2，0）或（﹣8，0），i）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，ii）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（﹣8，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c 中，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4，综上，当△ABC为轴对称图形时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝x2+x+4；（3）存在，理由如下：当△ABC关于y轴成轴对称时，则AC＝BC，此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，①当MN为正方形一边时，∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，∴此时点Q也位于x轴上，设Q点坐标为（k，0），由正方形性质可得则P点坐标为（﹣k，0），∴|2k|＝﹣k2+4，解得：k＝±或k＝±6，∴当MN在x轴上方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（，0）或（﹣，0），当MN在x轴下方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（6，0）或（﹣6，0），②当MN为正方形对角线时，∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，∴此时Q点位于y轴上，设Q点坐标为（0，k），∴||＝﹣×（）2+4，解得：k＝，∴当MN位于x轴上方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），当MN位于x轴下方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），综上，坐标平面内存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形，Q点坐标为（，0）或（﹣，0），或（6，0）或（﹣6，0）或（0，）或（0，）．8．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝﹣3，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，∵点N（n，0），∴P（n，n2﹣2n﹣3），G（n，n﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，当点N在y轴右侧，△BNG∽△CPG时，如图：∵PN⊥x轴，∴∠BNG＝∠CPG＝90°，∴PN＝OC＝3，∴n2﹣2n﹣3＝﹣3，解得：n＝2或0（与C重合，舍去），∴n＝2，∴点N的坐标为（2，0）；当点N在y轴右侧，△BNG∽△PCG时，如图：∵△BNG∽△PCG，∴∠BNG＝∠PCG＝90°，∠CPG＝∠OBC＝45°，，∴CG＝n，PG＝n﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，NG＝3﹣n，BG ＝＝（3﹣n），∴，解得：n＝1，∴点N的坐标为（1，0）；当点N在y轴左侧，△BNG∽△PCG时，如图：∵△BNG∽△PCG，∴∠BNG＝∠PCG＝90°，∠CPG＝∠OBC＝45°，∴CG＝|n|＝﹣n，PG＝（n2﹣2n﹣3）﹣（n﹣3）＝n2﹣3n，∴PG＝CG，即n2﹣3n＝×（﹣n），解得：n＝0或1（舍去），综上所述，点N的坐标为（2，0）或（1，0）；②当点N在y轴右侧时，由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，∴NB＝3﹣n＝NG，∴BG＝（3﹣n），∵△PDG≌△BNG，∴PG＝BG＝（3﹣n），∴PN＝3﹣n+（3﹣n）＝（3﹣n）（1+），∴点P的坐标为（n，（n﹣3）（1+）），将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（+1）＝n2﹣2n﹣3，解得n＝3（舍去）或n＝，∴n＝；当点N在y轴左侧时，同理可得：n＝﹣，综上所述，n＝±；（3）①存在，理由如下：AB为矩形的边时，如图：设OC的中点为R（0，﹣），由B、R的坐标得，直线BR的表达式为y＝x﹣，则将它向上平移个单位长度，得到直线OB1，此时函数的表达式为y＝x，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴E（3，）或（﹣1，﹣），∴F（﹣1，）或（3，﹣）；AB为矩形的对角线时，如图：连接EF交AB于G，作EH⊥x轴于H，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，GB＝GE＝2，OG＝1，∵直线OB1的表达式为y＝x，∴OH＝2EH，∵EH⊥x轴，四边形AFBE是矩形，∴∠AHE＝∠BHE＝∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠BEH，∴△AEH∽△EBH，∴，即，解得：EH＝或，∴OH＝或，∴OK＝OH﹣OG﹣OG＝或OK＝OH+1+1＝，∴F（，）或（，）；综上所述：存在，点F的坐标为（﹣1，）或（3，﹣）或（，）或（，）；②设线段NN1交OB1于点H，则OB1是NN1的中垂线，∵tan∠BOB1＝，则tan∠N1NB＝2，∵直线NN1的过点N（n，0），故直线NN1的表达式为y＝﹣2（x﹣n）②，联立①②并解得，故点H的坐标为（，），∵点H是NN1的中点，由中点坐标公式得：点N1的坐标为（，），将点N1的坐标代入抛物线表达式得：＝（）2﹣2×﹣3，解得n＝，故点N的坐标为（，0）或（，0）．9．解：（1）将A（0，8），B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+8；（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为直线x＝2，令y＝0，则﹣x2+x+8＝0，∴x＝﹣4或x＝8，∴C（8，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+4，过点E作EH⊥x轴交CD于点H，设E（m，﹣m2+m+8），F（2，n），则H（m，﹣m+4），∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，∴当m＝3时，S△ECD的面积有最大值25，此时E（3，），连接BE，交对称轴于点F，连接CF，∵B点与C点关于对称轴x＝2对称，∴BF＝CF，∴CF+EF＝BF+EF≥BE，当B、E、F三点共线时，EF+CF有最小值，最小值为BE，∴BE＝＝；（3）存在点M、N使得四边形DMCN为菱形，理由如下：平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣2）2+9﹣5＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，设M（t，﹣t2+2t），N（x，y），∵四边形DMCN为菱形，∴DC与MN为对角线，∴，∵CN＝CM，∴（x﹣8）2+y2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，∴x＝8+2或x＝8﹣2，∴N（8+2，10+2）或N（8﹣2，10﹣2）．10．解：（1）依题意，将点D（5，6）代入，得，解得k＝﹣2，∴抛物线的解析式为，令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）存在，设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（﹣1，0），D（5，6）两点坐标代入得，，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，如图1，设直线AD与y轴交于点E，令x＝0，得y＝1，∴OA＝OE＝1，∴∠DAB＝45°，过点D作DP1⊥x轴，过点A作AP2∥y轴，过点D作DP2∥x轴，AP2与DP2交于点P2，延长AP1至P3，使AP1＝P1P3，连接DP3，延长DP1至P4，使DP1＝P1P4，连接AP4，延长AP2至P5，使AP2＝P2P5，连接DP5，延长DP2至P6，使DP2＝P2P6，连接AP6，则△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D为所有符合题意的等腰直角三角形，∴P1（5，0），P2（﹣1，6），P3（11，0），P4（5，﹣6），P5（﹣1，12），P6（﹣7，6）；（3）如图2，由（2）可知，点E的坐标是（11，0），点F的坐标是（5，﹣6），直线AD的解析式是y＝x+1，设平移后的抛物线解析式为，结合图象可知，当抛物线经过点E时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最低位置，将点（11，0）代入，得，解得t＝﹣48，当抛物线与AD边有唯一公共点时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最高位置，将y＝x+1与联立方程组，，化简得x2﹣4x+2t﹣5＝0，∵只有唯一解，即此一元二次方程有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（2t﹣5）＝0，解得，∴t的取值范围．11．解：（1）将A（﹣4，0）代入y＝x+c，得c＝4，将A（﹣4，0）和c＝4代入y＝﹣x2+bx+c，得﹣16﹣4b+4＝0，解得b＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．（2）如图1，∵y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，由（1）得，直线AC的解析式为y＝x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），作点C关于直线x＝﹣的对称点G，则点G（﹣3，4）在抛物线上，∴OG＝＝5，连接OG交直线x＝﹣于点H，连接CH、EG，则CE＝GE，CH＝GH，∴GE+OE＝CE+OE，∵GE+OE≥OG，∴CE+OE≥OG，∴当点E与点H重合时，CE+OE＝CH+OH＝GH+OH＝OG＝5，此时CE+OE的值最小，∴CE+OE的最小值为5，故答案为：5．（3）①如图2，设点M的坐标为（x，0）（﹣4＜x＜0），则P（x，x+4），N（x，﹣x2﹣3x+4），∴PN＝﹣x2﹣3x+4﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，∴S△ANC＝PN•AM+PN•OM＝PN•OA＝×4（﹣x2﹣4x）＝﹣2（x+2）2+8，∴当x＝﹣2时，S△ANC最大＝8，此时P（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）；8．②存在，如图3，菱形BDCF以BC为对角线，连接BC、DF交于点I，DF交y轴于点R，当y＝0时，由﹣x2﹣3x+4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），∴CB＝＝，∵DF与BC互相垂直平分，∴I为BC的中点，∴I（，2），CI＝CB＝，∵∠CIR＝∠COB＝90°，∠RCI＝∠BCO，∴△ICR∽△OCB，∴＝，∴CR＝＝＝，∴OR＝4﹣＝，∴R（0，），设直线DF的解析式为y＝kx+，则k+＝2，解得k＝，∴直线DF的解析式为y＝x+，由得，∴F（，），∵点D与点F（，）关于点I（，2）对称，∴D（，）；如图4，菱形BCDF以CF为对角线，连接BD交CF于点J，连接AD，∵BD与CF互相垂直平分，∴∠AJB＝∠AJD＝90°，JB＝JD，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠JAB＝∠JBA＝45°，∴JB＝JA，∴JD＝JA，∴∠JAD＝∠JDA＝45°，∴∠DAB＝90°，∠ADB＝∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝1+4＝5，∴D（﹣4，5）；如图5，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的左侧，设DF交x轴于点T，∴CF＝CB＝，作FL⊥y轴于点L，作DK⊥FL于点K，交x轴于点Q，则∠CLF＝90°，∴∠LFC＝∠LCF＝45°，∴LC＝LF，∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，∴LF＝LC＝，∵FL∥OA，DF∥BC，∴∠DFK＝∠ATF＝∠CBO，∵∠DKF＝∠COB＝90°，DF＝CB，∴△DKF≌△COB（AAS），∴KF＝OB＝1，KD＝OC，∵QK＝OL，∴QD＝LC＝，LK＝﹣1＝，∴D（，）；如图6，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的右侧，作FL⊥y轴于点L，作DV⊥y轴于点V，作FK⊥DV于点K，则∠CLF＝90°，∵∠LCF＝∠OCA＝45°，∴∠LCF＝∠LFC＝45°，∴LF＝LC，∵CF＝CB＝，∴LF2+LC2＝2LF2＝2LC2＝CF2＝（）2＝17，∴LF＝LC＝，∵FK∥OC，FD∥CB，∴∠DFC＝∠BCA，∠KFC＝∠OCA，∴∠DFK＝∠BCO，∵DF＝BC，∴△DFK≌△BCO（AAS），∴FK＝CO＝4，KD＝OB＝1，∴DV＝1+＝，OV＝4+﹣4＝，∴D（，），综上所述，点D的坐标为（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．。

二次函数解析式的求法专题1.已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（-1，5）（1）求此二次函数的解析式；（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．2.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）点C（0，5），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MAB的面积．3.如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．4.二次函数的图象经过（3，1），且当x=2时有最大值为3．求此函数关系式．5.设二次函数的图象的顶点坐标为（-2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．6.已知抛物线对称轴是直线x=2，且图象经过点（2，1）和点（1，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．7.如图，已知二次函数y=1x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，-6）两点．2（1）求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴；（2）把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式．8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．，0）三点，求这个二次9.一个二次函数的图象经过（0，-1），（-2，0），（12函数的解析式．10.已知二次函数图象的顶点为（3，-1），与y轴交于点（0，-4）（1）求二次函数解析式；（2）求函数值y＞-4时，自变量x的取值范围．答案和解析1.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，把（-1，5）代入得a（-1-1）2+9=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）2+9；（2）当y=0时，-（x-1）2+9=0，解得x1=4，x2=-2，所以B、C两点的坐标为（-2，0），（4，0），×9×（4+2）=27．所以△ABC的面积=12【解析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）通过解方程-（x-1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．2.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），把C（0，5）代入得a•1•（-5）=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-x2+4x+5；（2）y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，则M（2，9）×（5+1）×9=27．所以△MAB的面积=12【解析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-5），然后把C（0，5）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先把解析式配成顶点式，然后写出M点的坐标，再利用三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．3.【答案】解；（1）设二次函数的解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3；（2）当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=0，x2=-2，则D（-2，3），观察函数图象得当x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值．【解析】（1）由于已知抛物线与x轴两交点，则设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C（0，3）代入求出a的值即可得到抛物线解析式；（2）通过解方程-x2-2x+3=3可得到D（-2，3），然后观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：由二次函数的交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数与不等式．4.【答案】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，把（3，1）代入得：a+3=1，解得：a=-2，则抛物线解析式为y=-2（x-2）2+3=-2x2+8x-5．【解析】根据题意找出顶点坐标，设出顶点式，把已知点坐标代入求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，以及二次根式的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5.【答案】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，，解得a=-19（x+2）2+2．所以这个函数的关系式为y=-19【解析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．6.【答案】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），把（2，1）代入得a•1•（-1）=1，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3；（2）由（1）得A（1，0），B（3，0），当x=0时，y=-x2+4x-3=-3，则C（0，-3），×（3-1）×3=3．所以△ABC的面积=12【解析】（1）利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-3），然后把（2，1）代入求出a的值即可；（2）由（1）可确定A点和B点坐标，再求出C点坐标，然后根据三角形的面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．7.【答案】解：（1）把A（2，0），B（0，-6）代入y=-12x2+bx+c得{c=−6−2+2b+c=0，解得{c=−6b=4，所以抛物线解析式为y=-12x2+4x-6，∵y=-12（x-4）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x=4，（2）y=-12x2-6．【解析】（1）把A点和B点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解关于b、c的方程组即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式得到对称轴；（2）利用顶点为（0，-6）写出抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.【答案】解：（1）由题意，得 {a −b +c =−4c =−2a +b +c =2，解这个方程组，得 a =1，b =3，c =-2，所以，这个二次函数的解析式是y =x 2+3x -2；（2）y =x 2+3x -2=（x +32）2-174，顶点坐标为（-32，-174），对称轴是直线x =-32．【解析】（1）把已知三点坐标代入求出a ，b ，c 的值，即可确定出解析式；（2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．9.【答案】解：设抛物线解析式为y =a （x +2）（x -12）， 把（0，-1）代入得a •2•（-12）=-1，解得a =1．所以抛物线解析式为y =（x +2）（x -12），即y =x 2+32x -1．【解析】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可设交点式y=a （x+2）（x-），然后把（0，-1）代入求出a 的值即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．10.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-3）2-1，，把（0，-4）代入得9a-1=-4，解得a=-13所以抛物线解析式为y=-1（x-3）2-1，3（x-3）2-1=-4，解得x1=0，x2=6，（2）y=-4时，-13所以当0＜x＜6时，y＞-4．【解析】（1）设顶点式y=a（x-3）2-1，然后把（0，-4）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）计算函数值为-4所对应的自变量的值，然后利用二次函数图象求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．第11页，共11页。

完整版)二次函数求解析式专题练习题1.已知抛物线经过点A(1,1)，求这个函数的解析式。

解析式为y = ax^2 + bx + c，代入点A得1 = a + b + c。

因为抛物线是二次函数，所以需要三个点才能确定解析式。

无法确定解析式。

2.已知二次函数的图象顶点坐标为(-2,3)，且过点(1,0)，求此二次函数的解析式。

设解析式为y = ax^2 + bx + c，代入顶点坐标得3 = 4a - 2b + c，代入过点(1,0)得0 = a + b + c。

解得a = -1，b = 1，c = 0，所以解析式为y = -x^2 + x。

3.抛物线过顶点(2,4)且过原点，求抛物线的解析式。

因为过顶点，所以解析式为y = a(x - 2)^2 + 4.因为过原点，所以代入(0,0)得0 = 4a - 4，解得a = 1.所以解析式为y = (x -2)^2 + 4.4.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为(1,5)，则它们的解析式为。

设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为顶点坐标为(1,5)，所以解析式为y = a(x - 1)^2 + 5.设两个交点的横坐标为p和q，且p < q，则有8 = |(p - 1)(q - 1)|/4，化简得4p + 4q = pq - 4.因为顶点在抛物线的对称轴上，所以p + q = 2.解得p = -2，q = 8.代入顶点坐标得a = 1/9.所以解析式为y = (x - 1)^2/9 + 5.5.已知二次函数当x = -1时有最小值-4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。

设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为在x轴上截得线段长为4，所以有b^2 - 4ac = 16.因为当x = -1时有最小值-4，所以有a < 0.代入最小值得-4 = a - b + c。

解得a = -1，b = 4，c = -1.所以解析式为y = -x^2 + 4x - 1.6.抛物线经过(0,0)和(12,0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式。

求二次函数的解析式专题练习题姓名：班级：1．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B和D(4，－23 )，求抛物线的解析式．2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求直线CM的解析式；(3)求△MCB的面积．3．已知一个二次函数，当x＝1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的解析式是( )A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋64．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(2，1)，求二次函数的解析式．2x …－4 －3 －2 －1 0 …y …－5 0 3 4 3 …(1)求此二次函数的解析式；(2)画出此函数图象；(3)结合函数图象，当－4＜x≤1时，写出y的取值范围．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点；(1)求此二次函数的解析式；(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3.(1)b＝____，c＝____；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式．10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x＝－1 2 .(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．答案:1. 解：y＝16x2－13x－22. 解：(1)y＝－x2＋4x＋5(2)y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，则M点坐标为(2，9)，可求直线MC的解析式为y＝2x＋5(3)把y＝0代入y＝2x＋5得2x＋5＝0，解得x＝－52，则E点坐标为(－52，0)，把y＝0代入y＝－x2＋4x＋5得－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，则B点坐标为(5，0)，所以S△MCB ＝S△MBE－S△CBE＝12×152×9－12×152×5＝153. D4. 解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y＝x＋1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y＝a(x－1)2＋2，再把(2，1)代入函数中可得a(2－1)2＋2＝1，解得a＝－1，故函数解析式是y＝－(x－1)2＋2，即y＝－x2＋2x＋15. 解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(－1，4)，设y＝a(x＋1)2＋4，把(0，3)代入得a(0＋1)2＋4＝3，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3(2)图象略(3)－5＜y≤46. 解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，由于抛物线的图象经过C(0，－3)，则有－3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x －3)，即y＝x2－2x－3(2)由(1)可知y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，则y的最小值为－4＞－5，因此无论m 取何值，点M都不在这个二次函数的图象上7. 解：∵抛物线的对称轴为x＝－1，在x轴上截得的线段长为4，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，设抛物线解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，把(－2，－6)代入得a·(－2＋3)·(－2－1)＝－6，解得a＝2，所以抛物线解析式为y＝2(x＋3)(x－1)，即y＝2x2＋4x－68. (1) 2 0(2)(－1，－1)(3)由平移知两个图象顶点之间的距离＝22＋32＝139. y＝－x2＋2x＋310. 解：(1)y＝－12x2－12x＋3(2)由y＝0得－12(x＋12)2＋258＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形，∴M点坐标为(0，0)；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝OC2＋OB2＝32，∴BM＝32，∴M点坐标(32－3，0)．综上所述，M点坐标为(32－3，0)或(0，0)。

二次函数专题(一):待定系数求解析式一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣82．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣23．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；=1，求点B的坐标．（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？二次函数专题(一):待定系数求解析式参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8 C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣8【分析】顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，﹣8）故二次函数的解析式为y=2（x﹣1）2﹣8故选D．【点评】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．2．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得2=a（0+2）2﹣2解得：a=1故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．3．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2【分析】首先由OC=2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC=2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y=ax2+bx+c，把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，得到：，解得：，则函数解析式是：y=﹣x2+x+2；同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y=x2﹣x﹣2．故这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2．故选C．【点评】求函数解析式的方法就是待定系数法，转化为解方程组的问题，这是求解析式常用的方法．二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为±6．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，∴顶点的纵坐标为零，即y===0，解得b=±6．【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．【分析】根据与x轴的另一交点到原点的距离为4，分这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0）两种情况，利用待定系数法求函数解析式解答即可．【解答】解：∵图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0），设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，①当这个交点坐标为（﹣4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=x2+2x，②当这个交点坐标为（4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=﹣x2+x，综上所述，二次函数解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．故答案为：y=x2+2x或y=﹣x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，注意另一个交点要分两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+5．【分析】根据图象可得抛物线经过的三个点的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可．【解答】解：根据题意得，抛物线经过点（0，5），（﹣4，2），（2，4），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．故答案为：y=﹣x2﹣x+5．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求函数解析式是常用的方法之一，根据图形找出图象经过的三个点的坐标是解题的关键．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．【分析】（1）把（﹣2，0）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；（2）利用表中数据求解．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S=1，求点B的坐标．△OAB【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；（2）把（1）中解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标及对称轴；（3）设B（t，t2﹣2t），根据三角形面积公式得到×2×|t2﹣2t|=1，则t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，然后分别解两个方程求出t，从而可得到B点坐标．【解答】解：（1）抛物线解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x；（2）因为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x=1；（3）设B（t，t2﹣2t），因为S=1，△OAB所以×2×|t2﹣2t|=1，所以t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，解方程t2﹣2t=1得t1=1+，t2=1﹣，则B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；解方程t2﹣2t=﹣1得t1=t2=1，则B点坐标为（1，﹣1），所以B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．【分析】（1）此题知道顶点坐标，适合用二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k来解答．（2）求出与坐标轴的交点坐标，结合已知的顶点坐标，描点、连线．【解答】解：（1）已知二次函数的顶点P（1，﹣4）可设解析式为y=a（x﹣1）2﹣4把A（0，﹣3）代入上式，得﹣3=a﹣4，即a=1∴解析式为y=（x﹣1）2﹣4化为一般式为y=x2﹣2x﹣3（2）当y=0时，原式化为：x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=﹣1，x2=3∴与x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）当x=0时，y=﹣3．因此与y轴交点坐标为：（0，﹣3）．如右图：【点评】解答此题要熟悉①二次函数的解析式：（1）一般式y=ax2+bx+c，（a，b，c为常数且a≠0）（2）顶点式y=a（x﹣h）2+k，（h，k）为顶点坐标，（3）交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．②描点法作图．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？【分析】（1）由OC与OD的长，求出MD的长，确定出M坐标，设y=a（x﹣2）2+6，把C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由抛物线解析式设出P坐标，过点P做x轴的垂线，交x轴于点E，利用表示出的点P的坐标确定出线段PE、DE的长，用梯形OCPE的面积减去直角三角形OCD的面积和直角三角形PDE的面积，进而得出S与x的函数解析式，利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可．【解答】解：（1）∵OC=4，OD=2，∴DM=6，∴点M（2，6），设y=a（x﹣2）2+6，代入（0，4）得：a=﹣，∴该抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+6；（2）设点P（x，﹣（x﹣2）2+6），即（x，﹣x2+2x+4），x＞0，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，则PE=﹣x2+2x+4，DE=x﹣2，S=x（﹣x2+2x+4+4）﹣×2×4﹣（x﹣2）（﹣x2+2x+4），即S=﹣x2+4x=﹣（x﹣4）2+8，∴当x=4时，S有最大值为8．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。

2019年中考复习《二次函数》求解析式专题训练1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；第1题图3. 在平面直角坐标系中，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过A ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；图①4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝-21x 2+bx +c (b 、c 为常数)的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限.(1)如图，若抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；5. 如图，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =2，OC =3.（1）求抛物线的解析式；第5题图6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，AB ∥OC ，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ，将∠DBC 绕点B 顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 、F .（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；7. 如图①，二次函数y =ax 2+bx +3的图象与x 轴相交于点A （-3，0）、B (1，0)，与y 轴相交于点C ，点G 是二次函数图象的顶点，直线GC 交x 轴于点H (3，0)，AD 平行GC 交y 轴于点D .（1）求该二次函数的表达式；图①8.如图①，关于x 的二次函数y = -x 2+bx +c 经过点A (-3，0)，点C (0，3)，点D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上.（1）求抛物线的解析式；图①9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴相交于点M .（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△P AB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；第4题图10.如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A (1，0)、B (4，0)、C (0，3)三点.（1）求抛物线的解析式；图①11. 如图，直线y =-21x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）.（1）求B 、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；12.已知正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，点B （4，4）.二次函数y = -61x 2+bx +c 的图象经过点A 、B .点P （t ，0）是x 轴上一动点，连接AP .（1）求此二次函数的解析式；13. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点左侧，B 点的坐标为（4，0），与y 轴交于C （0，-4）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式；15.如图，已知抛物线y ＝-m1（x +2）（x -m ）（m ＞0）与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点G （2，2），求实数m 的值.（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求△ABC 的面积.②在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH +CH 最小，并求出点H 的坐标.第1题图【答案】1.解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），解得⎩⎨⎧==3-4c b ， ∴抛物线的解析式为y =x 2-4x +3.（2）令x =0，则y =3，∴点C （0，3），又∵点A (3，0)，∴直线AC 的解析式为y = -x +3，设点P （x ，x 2-4x +3），∵PD ∥y 轴，且点D 在AC 上，∴点D (x ，-x +3)，∴PD =(-x +3)-(x 2-4x +3)=-x 2+3x =-(x-23)2+49， ∵a =-1<0，∴当x =23时，线段PD 的长度有最大值，最大值为49. 3.解：（1）对于直线y =x +4，令x =0，得y ＝4，令y =0，得x =-4，则A (-4，0)，C (0，4)，代入抛物线解析式得⎩⎨⎧==+404-8-c c b ， 解得⎩⎨⎧==4-1c b ， ∴抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4. 4.(1)解：设AC 与x 轴的交点为M ，∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0，-1)，C 的坐标为(4，3)， ∴直线AC 的解析式为y=x-1，∴直线AC 与x 轴的交点M (1，0).∴OM =OA ，∠CAO =45°.∵△CAB 是等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，∴BC ∥y 轴，又∵∠OMA =45°，∴∠OAB ＝90°，∴AB ∥x 轴，∴点B 的坐标为(4，-1).∵抛物线过A (0，-1)，B (4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=-141621--1c b c ，解得⎩⎨⎧==-12c b ， ∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+2x -1. 5.解：（1）∵OA =2，∴点A 的坐标为（-2，0）.∵OC =3，∴点C 的坐标为（0，3）.把A （-2，0），C （0，3）分别代入抛物线y = -21x 2+bx +c ， 得⎩⎨⎧=+=c c b 32--20， 解得⎩⎨⎧==312c b ， ∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+21x +3. 6.解：(1)由题意得A (0，2)、B (2，2)、C (3，0).设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +2(a ≠0)，将点B 、C 分别代入得⎩⎨⎧=++=++02392224b a b a ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432-b a ，∴抛物线的解析式为y = - 32x 2+ 34x +2. 7.(1)解：∵二次函数y =ax 2+bx +3过点A (-3，0)、B (1，0)，∴⎩⎨⎧=++=+03033-9b a b a ，，解得⎩⎨⎧==-2-1b a ， ∴二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3.8.解：（1）将A (-3，0)，C (0，3)代入y =-x 2+bx +c ，得⎩⎨⎧=+=03-9-3c b c ，解得⎩⎨⎧==3-2c b . ∴抛物线的解析式为y = -x 2-2x +3.9.解：（1）∵抛物线过点A （0，4）、B （1，0）、C （5，0），∴设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =a (x -1)·(x -5)(a ≠0)，∴将点A （0，4）代入y=a (x -1)(x -5)，得a =54， ∴此抛物线的解析式为y =54x 2-524x +4， ∵抛物线过点B （1，0）、C （5，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝251+=3. （2）存在，如解图①，连接AC 交对称轴于点P ，连接B P 、BA ， ∵点B 与点C 关于对称轴对称，∴PB =PC ，∴AB +AP +PB =AB +AP +PC =AB +AC ，∵AB 为定值，且AP +P C≥AC ，∴当A 、P 、C 三点共线时△P AB 的周长最小，∵ A （0，4）、C （5，0），设直线A C 的解析式为y =ax +b (a ≠0)， 第4题解图① 将A 、C 两点坐标代入解析式得⎩⎨⎧=+=054b a b ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==454-b a ，∴直线AC 的解析式为y = -54x +4. ∵在y = -54x +4中，当x ＝3时，y =58， ∴P 点的坐标为（3，58）， 即当对称轴上的点P 的坐标为（3，58）时，△ABP 的周长最小. 10.解：（1）∵点A （1，0），B （4，0）在抛物线上，∴设抛物线解析式为y =a (x -1)(x -4)，将点C （0，3）代入得a (0-1)(0-4)=3，解得a =43， ∴抛物线解析式为y =43(x -1)(x -4)， 即y =43x 2-415x+3. 11. 解：（1）令x =0，可得y =2，令y =0，可得x =4，即点B （4，0），C （0，2）.（2）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得，⎪⎩⎪⎨⎧==++=+204160-c c b a c b a ，解得b c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===22321- ， 即该二次函数的关系式为y=-21x 2+23x +2. 12.解：（1）∵B （4，4），∴AB =BC =4，∵四边形ABCO 是正方形，∴OA =4，∴A （0，4），将点A （0，4），B （4，4）代入y = -61x 2+bx +c ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=441661-4c b c ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==432c b ，∴二次函数解析式为y =-61x 2+32x +4. 13.解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得：⎩⎨⎧==++-40416c c b ，解得⎩⎨⎧==-4-3c b ， ∴二次函数的表达式为y =x 2-3x -4.14.解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2=-m1 (2+2)(2-m )， ∴m =4.(2)①y =0，- m 1 (x +2)(x -m )=0，解得x 1=-2，x 2=m ，∵m ＞0，∴A (-2，0)、B (m ，0)，又∵m =4，∴AB =6.令x =0，得y =2，∴C (0，2)，∴OC =2，∴S △ABC =21×AB ×OC =21×6×2＝6.第1题解图① ②∵m =4，∴抛物线y = -41(x +2)(x -4)的对称轴为x =1，如解图①，连接BC 交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知， 此时AH +CH =BH +CH =BC 最小.设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0).则⎩⎨⎧==+204b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221-b k ，∴直线BC 的解析式为y=-21x +2.当x =1时，y =23，∴H (1， 23).。

待定系数法求解析式一、知识要点近年高频考点中考频率所占分值1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式知识点回顾：二次函数的表达形式有那些？二、知识要点详解1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式什么叫做待定系数法？一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：（1）、找出符合方程的点；（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；（4）、解出方程或方程组得到相应的系数（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式如题：二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。

解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为：y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）解之得：a=-1 解方程（4）∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式例题一1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋24．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：若是已知条件是图像上的顶点（h，k）与另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题二1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为()A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－82．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－43．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)的求解方法：若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）与另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题三1．如图，抛物线的函数表达式是( )A．y＝12x2－x＋4B．y＝－12x2－x＋4C．y＝12x2＋x＋4D．y＝－12x2＋x＋42．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋24．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线的解析式为5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．3.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。

一般式法求二次函数解析式1①一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数，y=ax 2+bx+c 叫做二次函数的一般式 ②一般式形式为y=ax 2+bx+c （a ≠0），这个函数解析式的特征是，当题目中告诉了三个点的坐标，就可以直接带入这个式子中，求出a,b,c 的值，写出函数解析式，当已知抛物线上任意三点及其坐标时，通常选用这种方法。

例1：已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，求该函数的解析式解：设这个二次函数的解析式是y=ax 2+bx+c ，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：⎪⎩⎪⎨⎧==++=++20240c c b a c b a ，解之得a=1,b=-3,c=2,所以该函数的解析式是y=x 2-3x+2例2：已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式解：设所求的二次函数为y=ax 2+bx+c ，由条件得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a ，解方程得：a=2, b=-3, c=5，因此所求二次函数是y=2x 2-3x+5练一练:根据下列条件求二次函数解析式①已知一个二次函数的图象经过了点A （0，-1），B （1，0），C （-1，2）②二次函数图象经过点A （-1，0），B （3，0）C （4，10）③已知二次函数的图象过（1,0），（-1，-4），（0，-3）三点，求这个二次函数解析式。

④二次函数的图象经过点（1,0），（2,0），（3,4），求这个二次函数的解析式⑤若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式⑥如果抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，求a＋b＋c的值⑦抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点，求这个二次函数的解析式⑧已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，求此函数的关系式⑨二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－0.5，1.5，与y轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式⑩已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),若x=1时y=3；x=-1时y=4；x=-2时y=3.求这个二次函数关系式。

1．已知抛物线y＝ax2经过点A(1，1)．(1)求这个函数的解析式；2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．4．若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。

5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7.已知二次函数为x＝4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式。

9.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式．10．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．11．二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,1625求二次函数解析式．12．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．13．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)求△OAB 的面积；(4)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．14、在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这名男同学出手处A 点的坐标为（0,2），铅球路线的最高处B 点的坐标为（6,5）。