陕西省西安市八校2019届高三下学期联考试题数学文

陕西省西安地区八校联考2019届高三下学期联考（三）数学（文）试题【试卷综述】本试卷注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的意图和宗旨。

注重基础知识的考查。

注重能力考查，要注重综合性，又兼顾到全面，更注意突出重点．试题减少了运算量、加大了思维量，降低了试题的入口难度，突出对归纳和探究能力的考查。

【题文】第I卷（选择题共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合，则实数a的值为A．0 B．1 C．2 D．4【知识点】并集及其运算．A1【答案】【解析】D 解析：根据题意，集合A={0，2，a}，B={1，a2}，且A∪B={0，1,2，4，16}，则有a=4，故选：D．【思路点拨】根据题意，由A与B及A∪B，易得a2=16，分情况求得A、B，验证A∪B，可得到答案．【题文】2．已知复数在夏平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．L4【答案】【解析】D 解析：z1z2=（2+i）（1﹣i）=3﹣i，该复数对应点为（3，﹣1），位于第四象限，故选D．【思路点拨】先对z1z2进行化简，从而可得其对应的点，进而得到答案．【题文】3．已知数列的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案】【解析】A 解析：若an，a n+1，a n+2（n∈N+）成等比数列，则a n+12=a n a n+2成立，当an=a n+1=a n+2=0时，满足a n+12=a n a n+2成立，但a n，a n+1，a n+2（n∈N+）成等比数列不成立，‘故an，a n+1，a n+2（n∈N+）成等比数列是“a n+12=a n a n+2”的充分不必要条件，故选：A【思路点拨】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【题文】4．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案】【解析】D 解析：∵|•|=||||•|cosθ|≤||||，∴A不正确，∵根据向量加法平行四边形法则，∴|+|=||+||，当向量不共线时，等号不成立，B不一定正确；∵（•）是向量，其方向与向量共线，（•）是向量，其方向与向量共线，∵，方向不一定相同，∴C错误；∵=||cos0°=||=||2|，∴D正确,故选：D.【思路点拨】本题考查向量的数量积运算公式及向量运算的几何意义，有关向量的式子代表的含义，理解仔细，认真【题文】5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A．870 B．30C．6 D．3【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】B 解析：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故选：B．【思路点拨】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算数列a n的各项值，并输出，模拟程序的运行结果，可得答案．【题文】6．把一根长度为7的铁丝截成3段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为【知识点】几何概型．K3【答案】【解析】A 解析：所有的“三段铁丝的长度”的情况共有：“1，1，5”、“1，2，4”、“1，3，3”、“2，2，3”，共计4种．其中能构成三角形的情况有2种情况：“1，3，3”；“2，2，3”则所求的概率是p（A）==．故选：A.【思路点拨】设构成三角形的事件为A，先求出基本事件数有4种，其中能构成三角形的情况有2种情况，从而可求能构成三角形的概率.【题文】7．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为【知识点】球的体积和表面积．G8【答案】【解析】B 解析：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，可将此四棱锥放到一个棱长为1的正方体内，可知，此正方体与所研究的四棱锥有共同的外接球，∴四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，外接球的直径是AC根据直角三角形的勾股定理知AC==，∴外接球的面积是4×π×（）2=3π，故选：B．【思路点拨】根据三视图判断几何体为四棱锥，利用四棱锥补全正方体，即四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，由此可得外接球的直径为，代入球的表面积公式计算.【题文】8．已知点的最小值是A．-2 B．0 C．-1 D．1【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】C 解析：由题意作出其平面区域，当y取最小值，x取最大值，即点A（1，0）时，u=y﹣x取得最小值u=﹣1；故选C．【思路点拨】由题意作出其平面区域，由u=y﹣x知当y取最小值，x取最大值，即点A（1，0）时u=y﹣x取得最小值，从而解得．【题文】9．定义行列式运算的图象向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4【答案】【解析】B 解析：将函数f（x）==cosx﹣sinx=2cos（x+）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得图象对应的函数的解析式为y=2cos（x+m+）．再根据所得图象关于y轴对称，可得m+=kπ，即m=kπ﹣，k∈z，则m的最小值是，故选：B．【思路点拨】由条件利用三角恒等变换、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=2cos（x+m+）图象关于y轴对称，可得m+=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．【题文】10．已知两点A（0，2）、B（2，0），若点C在函数的图像上，则使得的面积为2的点C的个数为A．4 B．3 C．2 D．1【知识点】抛物线的应用．H7【答案】【解析】A 解析：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y ﹣2=0,点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A【思路点拨】本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．【题文】11．函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．B9 B12【答案】【解析】B 解析：观察图象可知，该函数在（2，3）上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．所以各点处的导数在（2，3）上处处为正，且导数的值逐渐减小，所以故f′（2）＞f′（3），而f（3）-f（2）=()()3232f f--，表示的连接点（2，f（2））与点（3，f（3））割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在（2，3）之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则必有：0＜f′(3)＜()()3232f f--＜f′(2)．故选：B．【思路点拨】观察图象及导数的几何意义得，即函数在（2，3）上增长得越来越慢，所以导数值为正，且绝对值越来越小，故f′（2）＞f′（3），同时根据割线的性质，一定可以在（2，3）之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率，即其导数值等于割线的斜率，由此可得结论．【题文】12．已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若线段FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】C 解析：由题意可知，一渐近线方程为y=x ，则F 2H 的方程为 y ﹣0=k （x ﹣c ），代入渐近线方程 y=x ，可得H 的坐标为（，），故F 2H 的中点M （，），根据中点M 在双曲线C 上，∴=1，∴=2，故e==， 故选：C ．【思路点拨】设一渐近线方程为y=x ，则F 2H 的方程为y ﹣0=k （x ﹣c ），代入渐近线方程 求得H 的坐标，有中点公式求得中点M 的坐标，再把点M 的坐标代入双曲线求得离心率．【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【题文】13．已知数列，归纳出这个数列的通项公式为 。

陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合M={y|y=x-2}，P={y|y=}，那么M∩P=（）A. B. C. D.2.欧拉公式e ix=cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”D. “若为的极值点，则”的逆命题为真命题4.函数y=的图象大致是（）A. B.C. D.5.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.6.设函数y=f（x）=a x（a＞0，a≠1），y=f-1（x）表示f（x）的反函数，定义如框图表示的运算，若输入x=-2，输出y=；当输出y=-3时，则输入x=（）A. 8B.C. 6D.7.已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A. B. C. D.8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9.若实数x、y满足2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A. B. C. D.10.过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若=，则|AB|=（）A. 9B. 72C.D. 3611.已知△ABC外接圆O的半径为1，且•=-．∠C=，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则△ABC的形状为的形状为（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形12.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为______．14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为______．15.记S n为数列{a n}的前项和，若S n=2a n+1，则S10=______．16.设函数f（x）=，，＜，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，A=2B，sin B=，AB=23．（1）求sin A，sin C；（2）求•的值．18.近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．19.如图，三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的正三角形，且∠BAC=90°，O、D分别为BC、AB的中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求四棱锥S-ACOD的体积．20.已知F1、F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=-，求点P的坐标；（2）若直线l与圆O：x2+y2=相切，交椭圆C于A，B两点，是否存在这样的直线l，使得OA⊥OB？21.已知函数f（x）=e x-x2+2a+b（x R）的图象在x=0处的切线为y=bx．（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x R时，求证：f（x）≥-x2+x；（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．22.已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．23.已知a，b均为实数，且|3a+4b|=10．（Ⅰ）求a2+b2的最小值；（Ⅱ）若|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b R恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵={y|y＞0}，={y|y≥0}，∴M∩P={y|y＞0}=（0，+∞），故选：C．先化简这两个集合，利用两个集合的交集的定义求出M∩P．本题考查函数的值域的求法，两个集合的交集的定义，化简这两个集合是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：e2i=cos2+isin2，∵2，∴cos2（-1，0），sin2（0，1），∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．e2i=cos2+isin2，根据2，即可判断出．本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】D【解析】解：命题“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”，故A正确；已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，命题“若f（a）f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题，比如f（x）=x2在（-1，1）内有一个零点0，但f（-1）f（1）＞0，故B正确；命题“x R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“x R，均有x2+x+1≥0”，故C正确；“若x0为y=f（x）的极值点，则f'（x0）=0”的逆命题为假命题，比如f（x）=x3，有f′（0）=0，但x=0不为f（x）的极值点，故D错误．故选：D．由命题的逆否命题可判断A；由命题的逆命题和函数零点存在定理可判断B；由命题的否定形式可判断C；由命题的逆命题和函数极值点的定义可判断D．本题考查命题的真假判断，主要是四种命题，以及相互关系和命题的否定，以及函数零点定理和函数的极值点的定义，考查推理能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由图可知，该程序的作用是计算分段函y=的函数值．∵输入x=-2，输出y=，∴a-2=，a=2当输出y=-3时，只有：f-1（x）=-3⇔f（-3）=x⇒x=2-3=．故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.【答案】B【解析】解：∵=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3）∴=（cosα-3）•cosα+sinα（sinα-3）=-1得cos2α+sin2α-3（cosα+sinα）=-1∴，故sin（α+）=（sinα+cosα）=×=故选：B．由A，B，C的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin（α+）的值．此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算，灵活运用两角和的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．8.【答案】B【解析】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P-ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9.【答案】A【解析】解：由实数x、y满足2x+2y=1，根据基本不等式得，1=2x+2y≥2，故x+y≤-2．故选：A．由实数x、y满足2x+2y=1，根据基本不等式求得x+y的范围．本题考查基本不等式求范围，属于简单题．10.【答案】C【解析】解：如图，点B在第一象限．过B、A分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过B作EA的垂线，垂足为C，则四边形BDEC为矩形．由抛物线定义可知|BD|=|BF|，|AE|=|AF|，又∵=，∴|BD|=|CE|=2|AE|，即A为CE中点，∴|BA|=3|AC|，在Rt△BAC中，|BC|=2|AC|，k AB=2，F（1，0），AB的方程为：y=2（x-1），代入抛物线方程可得：2x2-5x+2=0，x1+x2=，则|AB|=x1+x2+2=+2=．故选：C．当点B在第一象限，通过抛物线定义及=，可知A为CE中点，通过勾股定理可知|BC|=2|AC|，利用直线与抛物线联立，通过弦长的性质计算可得结论．本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：∵•=-，圆的半径为1，∴cos∠AOB=-又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2-2abcosC=3，得a2+b2-ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．本题主要考查几何概型的应用，以及向量积的计算，利用余弦定理是解决本题的关键，本题综合性较强，有一定的难度．12.【答案】A【解析】解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13.【答案】16【解析】解：由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，所以三年级的学生数为；2000-373-377-380-370=500人，所占比例为所以应在三年级抽取的学生人数为64×=16故答案为：16由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，由此可计算三件及学生数和三年级学生所占的比例，按此比例即可求出三年级抽取的学生人数．本题考查分层抽样知识，抓住各层抽取的比例一致是解决分层抽样问题的关键．14.【答案】【解析】解：画出不等式组，表示的可行域，由图可知，当直线y=-过A（0，）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】-1023【解析】解：由于S n=2a n+1，①当n=1时，解得：a1=-1．当n≥2时，S n-1=2a n-1+1，②①-②得：a n=2a n-2a n-1，所以：（常数），故：数列{a n}是以-1为首项，2为公比的等比数列．所以：．所以：．故答案为：-1023首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】（，6）【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：若存在互不相的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=k，则k（-3，4），不妨令x1＜x2＜x3，则x1（，0），x2+x3=6，故x1+x2+x3（，6），故答案为：（，6）画出函数f（x）=的图象，令x1＜x2＜x3，由图象可得x1（，0），x2+x3=6，进而得到x1+x2+x3的取值范围．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，画出函数的图象后，数形结合分析出x1（，0），x2+x3=6，是解答的关键．17.【答案】解：（1）∵sin B=，B为锐角，∴cos B==，∵A=2B，∴sin A=sin2B=2sin B cosB=2××=，cos A=cos2B=cos2B-sin2B=-=，则sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=×+×=；（2）由正弦定理==，AB=23，sin C=，sin B=，sin A=，∴AC==9，BC==12，又cos C=-cos（A+B）=-cos A cos B+sin A sin B=-×+×=-，∴•=CA×CB×cos C=9×12×（-）=-80．【解析】（1）由sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，再由A=2B，得到sinA=sin2B，利用二倍角的正弦函数公式化简，将sinB与cosB的值代入求出sinA的值，同理求出cosA的值，利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；（2）利用正弦定理列出关系式，将sinC，sinB，sinA，AB的值代入求出CA与CB的值，由cosC=-cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式求出cosC的值，利用平面向量的数量积运算法则化简所求式子，即可求出值．此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18.【答案】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07•n，得到：n=100，故该组织有100人．…（3分）（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…（6分）（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．…（12分）【解析】（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者；（3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．19.【答案】（本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以，且AO⊥BC，又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且，从而OA2+SO2=SA2．所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）∵BO=CO，BD=AD，∴AC∥DO，∴DO⊥AD，．，由（Ⅰ）知SO⊥平面ABC，∴．…（12分）【解析】（Ⅰ）连结OA，△ABC为等腰直角三角形，由已知得AO⊥BC，SO⊥BC，SO⊥AO．由此能证明SO⊥平面ABC．（Ⅱ）由已知得DO⊥AD，．SO⊥平面ABC，由此能求出四棱锥S-ACOD的体积．本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20.【答案】解：（1）由椭圆方程为+y2=1，可知：a=2，b=1，c=，∴F1（-，0），F2（，0），设P（x，y），（x，y＞0），则•=，•，=x2+y2-3=-，又+y2=1，联立解得：，∴P，．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．①若l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程得：y2=，容易得出=x1x2+y1y2=-=-≠0，此时OA⊥OB不成立．②若l的斜率存在时，设l：y=kx+m，则由已知可得=，即k2+1=4m2．由，可得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，则x1+x2=-，x1•x2=．要OA⊥OB，则=0，即x1•x2+（kx1+m）（kx2+m）=km（x1+x2）+（k2+1）x1•x2+m2=0，即5m2-4k2-4=0，又k2+1=4m2．∴k2+1=0，此方程无实解，此时OA⊥OB不成立．综上，不存在这样的直线l，使得OA⊥OB．【解析】（1）设P（x，y），（x，y＞0），则•=x2+y2-3=-，又+y2=1，联立解出即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．①若l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程得：y2=，容易得出≠0，此时OA⊥OB不成立．②若l的斜率存在时，设l：y=kx+m，则由已知可得=．直线方程与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，要OA⊥OB，则=0，即x1•x2+（kx1+m）（kx2+m）=km（x1+x2）+（k2+1）x1•x2+m2=0，把根与系数的关系代入可得5m2-4k2-4=0，又k2+1=4m2．解出即可判断出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】（Ⅰ）解：f（x）=e x-x2+2a+b，f′（x）=e x-2x，由题意得，即a=-1，b=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，f（x）=e x-x2-1．令φ（x）=f（x）+x2-x=e x-x-1，φ′（x）=e x-1，由φ′（x）=0，得x=0．当x（-∞，0）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x（0，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）的最小值为φ（0）=0，从而f（x）≥-x2+x；（Ⅲ）解：f（x）＞kx对任意的x（0，+∞）恒成立，等价于＞k对任意的x（0，+∞）恒成立．令g（x）=，x＞0．∴=．由（Ⅱ）可知，当x（0，+∞）时，e x-x-1＞0恒成立，令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，∴g（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1），g（x）min=g（1）=e-2．∴k＜e-2．即实数k的取值范围为（-∞，e-2）．【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由题意可得，求解可得a，b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=e x-x2-1．令φ（x）=f（x）+x2-x=e x-x-1，利用导数求其最小值得答案；（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x（0，+∞）恒成立，等价于＞k对任意的x（0，+∞）恒成立．令g（x）=，x＞0．利用导数求其最小值可得实数k的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数的最值与函数单调性的判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）C1：（x+1）2+（y-3）2=1，C2：+y2=1C1为圆心是（-4，3），半径是1的圆C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆（Ⅱ）当t=时，P（-4，4），Q（cosθ，sinθ），故M（-2+cosθ，2+）C3为直线x-y-5=0，M到C3的距离d==|sin（θ-）+9|，从而当sin（θ-）=-1时，d取得最小值4．【解析】（Ⅰ）根据 sin2α+cos2α=1消参即可得到 C1，C2的普通方程，由普通方程可知C1为圆心是（-4，3），半径1的圆，C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆．（Ⅱ）根据题意求出P坐标，利用C2的参数方程设出Q的直角坐标，由题意可得PQ中点M坐标，结合点到直线的距离公式、辅助角公式求出最小距离（Ⅰ）椭圆的参数方程、圆的参数方程化为普通方程时，一般要利用同角三角函数的平方关系sin2α+cos2α=1消参得到普通方程（Ⅱ）曲线上的点，到直线上一点的距离的最小值的求法：在求点到直线最小距离时，先用参数形式写出点Q的直角坐标，代入点到直线的距离公式结合辅助角公式得到距离的最小值．23.【答案】解：（I）∵|3a+4b|=10，∴100=（3a+4b）2≤（32+42）（a2+b2）=25（a2+b2）∴a2+b2≥4，当且仅当即或时取等号即a2+b2的最小值4（II）由（I）知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b R恒成立，∴|x+3|-|x-2|≤4，∴ 或或解可得，x＜-3或-3∴实数x的取值范围（-∞，]【解析】（I）利用柯西不等式即可求解（II）由（I）知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b R恒成立⇔|x+3|-|x-2|≤（a2+b2）min，然后根据绝对值不等式的求解即可本题主要考查了柯西不等式在最值求解中的应用，还考查了绝对值不等式的解法及恒成立问题与最值求解相互转化思想的应用．。

绝密★启用前陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2018-2019学年高三下学期4月联考数学(文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}2M x y x -==，{P y y ==,那么M P ⋂等于（ ）A ．()0,+?B ．()1,+∞C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞ 2．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题 4．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）○…………装…………○…○…………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※※○…………装…………○…○…………线…………○……A．B．C．D．5．已知在三棱锥P ABC-中，1PA PB BC===，AB=，AB BC⊥，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A B C．2πD．3π6．设函数()()0,1xf x a a a=>≠，()1y f x-=表示()y f x=的反函数，定义如框图表示的运算，若输入2x=-，输出14y=；当输出3y=-时，则输入x为（）A．18B．6C．16D．87．已知点()3,0A，()0,3B，()cos,sinCαα，若1AC BC⋅=-u u u v u u u v，则sin4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A．23B．2C．3D．128．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）线…………○……线…………○……A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 9．若实数x 、y 满足221x y +=，则x y +的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．[]0,2 C ．[)2,-+∞D ．[]2,0-10．过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，若12AF FB =u u u v u u u v，则AB =（ ） A ．9B ．72C ．92D ．3611．已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，3C π∠=，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形12．定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1f x f x +>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e >+ 的解集为（ ）A ．(0,+∞)B ．(－∞,0)∪(3,+ ∞)C ．(－∞,0)∪(0,+∞)D ．(3,+ ∞)第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为．14．设变量,x y满足约束条件34 34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为__________．15．记n S为数列{}n a的前项和，若21n nS a=+，则10S_______．16．已知函数()266,034,0x x xf xx x⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x，2x，3x满足()()()123f x f x f x==，则123x x x++的取值范围是______.三、解答题17．在ABC∆中，2A B=，1sin3B=，23AB=.（Ⅰ）求sin sinA C,的值；（Ⅱ）求CA CB⋅u u u v u u u v的值.18．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.……○…………线…………○……_______班级：__________……○…………线…………○……（1）求该组织的人数；（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.19．如图，三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为边长为2的正三角形，且90BAC ∠=︒，O 、D 分别为BC 、AB 的中点.（1）证明：SO ⊥平面ABC ； （2）求四棱锥S ACOD -的体积.20．已知12,F F 分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点.（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF ⋅=-u u u v u u u u v ,求点P 的坐标.（Ⅱ）若直线l 与圆221:4O x y +=相切，交椭圆C 于,A B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA OB ⊥？21．已知函数()()22xf x e x a b x R =-++∈的图象在0x =处的切线为y bx =.（e 为自然对数的底数）. （1）求a ，b 的值；（2）当x ∈R 时，求证：()2f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.22．已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），2:sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数） （Ⅰ）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线33:2x tC y t=+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）距离的最小值. 23．已知,a b 均为实数，且3410a b += . （Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】对集合M P 、进行化简，再进行M P ⋂的运算。

陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，6，，，，则A.2， B. 6， C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，表示的复数所对应的点在复平面中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由利用平面向量几何运算的三角形法则，可得，化简即可得结果.【详解】因为，所以，可得，化为，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算，属于基础题．向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.5.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为，则A. k与r的符号相同B. b与r的符号相同C. k与r的符号相反D. b与r的符号相反【答案】A【解析】【分析】根据相关系数知相关系数的性质：，且越接近1，相关程度越大；且越接近0，相关程度越小为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果．【详解】相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，与r的符号相同．故选：A．【点睛】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于时，表示两个变量有很强的线性相关关系．7.如果对定义在R上的奇函数，对任意两个不相邻的实数，，所有，则称函数为“H函数”，下列函数为H函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．8.已知正三棱柱的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点，则该蚂蚁走过的最短路径为A. B. 25 C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．9.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到的图象若，且，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到的图象，故的最大值为2，最小值为0，若，则，或舍去．故有，即，又，，则，则取得最大值为．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．10.已知圆C：，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则｜PC｜的最大值为（）A. B. C. 2 D. 2【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二：设，则，记，令，得，，故选C．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．11.抛物线在第一象限内图像上一点处的切线与x轴交点的横坐标即为，其中，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．12.已知双曲线的右焦点为，若C的左支上存在点M，使得直线是线段的垂直平分线，则C的离心率为A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径等边的一边AB为圆C的一条弦，可得的最大值为直径，即可得出结论．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，即有，OP为的中位线，可得，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定的最大值为直径是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，且，则______．【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】10【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线：，再作一组平行于的直线l：，当直线l经过点A时，取得最大值，由，得点A的坐标为，所以．的最大值为：10．故答案为：10．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.设函数，则函数______．【答案】【解析】【分析】推导出函数，由此能求出结果．【详解】函数，函数．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．【答案】4【解析】【分析】设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理，得出，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．【详解】设正四棱柱的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．由勾股定理得，即，得，其中，所以，正四棱柱的体积为，其中，构造函数，其中，则，令，得．当时，；当时，．所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．【点睛】本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为，且．求角A的大小；求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，，E，F分别为PC，PA的中点，底面是直角梯形，，，，．求证：平面平面PBD；求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】过点B作于H，证明，通过直线与平面垂直的判定定理证明平面PBD；求出E到平面PAB的距离及三角形PBF的面积，利用等积法求三棱锥的体积．【详解】证明：在直角梯形ABCD中，过点B作于H，在中，有，．又在中，有，．，．，平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，平面ABCD，，又，平面PBD，平面PBD，平面PBD，又平面PBC，平面平面PBD；解：，且平面PAB，平面PAB，则平面PAB，在中，由，可得D到PA的距离为，即D到平面PAB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为．在中，由，，且F为PA的中点，可得．．【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值由测量表得到如下频率分布直方图补全上面的频率分布直方图用阴影表示；统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值及方差；当质量指标值位于时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．【答案】（1）见解析；（2），；（3）0.95.【解析】【分析】由频率分布直方图求出内的频率为，由此能补全频率分布直方图．由频率分布直方图求出质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差．求出质量指标值位于的频率，由此能求出该产品为合格品的概率．【详解】由频率分布直方图得：内的频率为：，由此能补全频率分布直方图如下：质量指标值的样本平均数为：．质量指标值的样本方差为．当质量指标值位于时，认为该产品为合格品，质量指标值位于的频率为：．该产品为合格品的概率为．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.已知椭圆C过点，两个焦点．求椭圆C的标准方程；设直线l交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由题意可设椭圆方程为：，半焦距可得，，联立解出即可得出．直线l与x轴平行时，把代入椭圆方程可得：，解得x，可得面积直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：，设，原点到直线AB的距离，化为：直线方程与椭圆方程联立化为：，利用根与系数的关系可得，令，可得面积．【详解】由题意可设椭圆方程为：，半焦距c．则，，．联立解得：，，．椭圆C的标准方程为：．直线l与x轴平行时，把代入椭圆方程可得：，解得，可得面积．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：，设，原点到直线AB的距离，化为：联立，化为：，，，．则，令，则面积，当且仅当，时，面积取得最大值．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数有两个零点．求实数a的取值范围；若函数的两个零点分别为，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a的范围；由，得，；得到所以；构造函数，求证即可．【详解】由，得，当时，在R上为增函数，函数最多有一个零点，不符合题意，所以．当时，，；所以在上为减函数，在上为增函数；所以；若函数有两个零点，则；当时，，；；由零点存在定理，函数在和上各有一个零点．结合函数的单调性，当时，函数有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为．证明：由得，；由，得，；所以；设，则，解得，；所以，当时，；设，则，当时，，于是在上为增函数；所以，当时，，即；所以．【点睛】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.（Ⅰ）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）对曲线的极坐标方程两边乘以，可化得其直角坐标方程为，这是顶点在原点，焦点为的抛物线；（2）根据直线参数方程的定义可知，直线过点，依题意直线又过点，由此求得直线方程为，倾斜角为，故直线的参数方程为，代入抛物线的直角坐标方程，写出韦达定理，利用求得弦长为.试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，故曲线是顶点为，焦点为的抛物线.（2）直线的参数方程为（为参数，），故经过点，若直线经过点，则. ∴直线的参数方程为（为参数）代入，得，设对应的参数分别为，则，，∴.23.已知函数的定义域为R．Ⅰ求实数m的取值范围．Ⅱ若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，6，，，，则A.2， B. 6， C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分的条形统计图（甲为黑色条框，乙为浅色条框），设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，表示的复数所对应的点在复平面中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，则（）A. B.C. D.。

陕西西安八校2019年高三联考试题数学文本试卷分第1卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共150分，考试时间120分钟。

本卷须知1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上 2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清晰3.请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效4.保持卡面清洁，不折叠，不破损5.假设做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题卡上对应的题号后填写第一卷〔选择题共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5努，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1.设a 、b 为实数，假设12i a bi++=1+i 〔i 为虚数单位〕，那么〔 〕A.1,3a b ==B.13,22a b ==C.3,1a b ==D.31,22a b ==2.计算sin43°cos347°—cos137°sin193°的值为〔 〕B.12D.23.数列{n a }满足1a =1，且对任意的正整数m 、n ，都有3m n m n a a a +=++，那么a 2018 - a 2017=〔 〕 A.3 B.2017C.4D.20184.函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩那么不等式()2f x ≤的解集是〔 〕 A.[0,+∞〕 B.[一l,2] C.[0,2]D.[1,+∞〕①α∥l m β⇒⊥；②α//l m β⊥⇒；,；③//l m ⇒αβ⊥；④l m ⊥⇒α//β 其中正确的两个命题是〔〕 A.③与④B.①与②C.①与③D.②与④6.设a 、b ∈R ，那么“a>b 且c>d ”是“a+c>b+d ”的〔〕 A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.必要不充分条件7.P 为抛物线24x y =上的动点，Q 是圆22(4)1x y -+=上的动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值为〔〕B.5C.8-18.假设定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当x ∈[0，1]时，()f x =x ，函数33log ,0,()log (),0,x x g x x x >⎧=⎨-<⎩那么方程f 〔x 〕-g 〔x 〕=0的解的个数为〔〕 A.1B.4.C.3D.29.点F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，假设△ABF 2是锐角三角形，那么该双曲线离心率的取值范围是〔〕 A.〔1，B.〔1C.，D.〔，+∞〕10.函数f 〔x 〕=2log (46)x x a b -+满足2(1)1,(2)log 6,f f ==a 、6为正实数()f x 的最小值为〔〕A.-3B.-6C.1D.0第二卷〔非选择题共100分〕【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.11.设函数()y f x =在其图像上任意一点〔00,x y 〕处的切线的方程为〕，0y y -=2000(36)()x x x x --，那么函数y=()f x 的单调减区间为〔〕12.某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图〔或称主视图〕是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图〔或称左视图〕是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.那么该几何体的体积为〔〕 13.假设执行如下图的程序框图，输入1231,2,3,2x x x x ====，那么输出的数S 等于〔〕14.P 、Q 为△ABC 内两点，且满足1111,,2442AP AB AC AQ AB AC =+=+那么APQABCS S ∆∆=〔〕15.〔考生注意：请在以下三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题评阅记分〕〔A 〕〔几何证明选做题〕PA 是圆D 的切线，切点为A ，PA=2，AC 是圆D 的直径，PC 与圆D 交于点B ，PB=1，那么圆O 的半径r 〔〕〔B 〕〔极坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，曲线4cos()3πρθ=-上任意两点间的距离的最大值为〔〕〔C 〕〔不等式选做题〕假设不等式|2||1|x x a -++≥关于任意x ∈R 恒成立，那么实数a 的取值范围为〔〕【三】解答题：本大题共6小题，共75分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.〔本小题总分值12分〕如图，在某港口A 处获悉，其正东方向20海里B 处有一艘渔船遇险等待营救，如今救援船在港口的南偏西30°据港口10海里的C 处，救援船接到救援命令马上从C 处沿直线前往B 处营救渔船。

2019届陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高三3月联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合2，3，6，，，，则A．2，B．6，C．D．【答案】D【解析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则A．B．C．D．【答案】A为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，表示的复数所对应的点在复平面中位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．设为所在平面内一点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由利用平面向量几何运算的三角形法则，可得，化简即可得结果.【详解】因为，所以，可得，化为，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算，属于基础题．向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）. 5．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为，则A．k与r的符号相同B．b与r的符号相同C．k与r的符号相反D．b与r的符号相反【答案】A越接近0，相关程度越小为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果．【详解】相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，与r的符号相同．故选：A．【点睛】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于时，表示两个变量有很强的线性相关关系．7．如果对定义在R上的奇函数，对任意两个不相邻的实数，，所有，则称函数为“H函数”，下列函数为H函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．8．已知正三棱柱的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点，则该蚂蚁走过的最短路径为A．B．25 C．D．31【答案】B【解析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法． 9．将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到的图象若，且，，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值．【详解】 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到的图象，故的最大值为2，最小值为0，若，则，或舍去．故有，即，又，，则， 则取得最大值为．故选：D ． 【点睛】 本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．10．已知圆C ：222430x y x y +--+=，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则｜PC ｜的最大值为（ ）A B C 、 D 、【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC ，BC ，设CAB θ∠=，连接PC 与AB 交于点D ，AC BC =∵，PAB △是等边三角形，∴D 是AB 的中点，PC AB ⊥∴，∴在圆C ：22(1)(2)2x y -+-=中，圆C||AB θ=，||CD θ=，∴在等边PAB △中，||||PD AB θ==，||||||PC CD PD =+∴θθ=π3θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤C ．方法二：设||(0AD x x =∈，，则||PC ，记()f x =，令()f x '0=，得(0]x =，max ()f x f ==⎝⎭∴，故选C ．【考点】圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由ACB ∆为等腰三角形，得出D 为中点，再由PAB ∆为等边三角形，得出PD AB ⊥，在ADC ∆中，将||AB 和||CD 用θ表示，从而求出||PD 的值，得到||||||PC CD PD =+的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD 的长x ，根据已知条件表示出||PC ，再利用导数求出函数的最值．11．抛物线在第一象限内图像上一点处的切线与x 轴交点的横坐标即为，其中，若，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．【考点】1．导数的几何性质；2．等比数列．12．已知双曲线的右焦点为，若C的左支上存在点M，使得直线是线段的垂直平分线，则C的离心率为A．B．2 C．D．5【答案】C【解析】化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径等边的一边AB 为圆C的一条弦，可得的最大值为直径，即可得出结论．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，即有，OP为的中位线，可得，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定的最大值为直径是关键．二、填空题13．已知F是抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，且，则______．【答案】【解析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】10【解析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线：，再作一组平行于的直线l：，当直线l经过点A时，取得最大值，由，得点A的坐标为，所以．的最大值为：10．故答案为：10．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15．设函数，则函数______．【答案】【解析】推导出函数，由此能求出结果．【详解】函数，函数．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O 底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．【答案】4【解析】设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理，得出，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h 的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．【详解】设正四棱柱的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．由勾股定理得，即，得，其中，所以，正四棱柱的体积为，其中，构造函数，其中，则，令，得．当时，；当时，．所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．【点睛】本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．三、解答题17．的内角A，B，C的对边分别为，且．求角A的大小；求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，，E，F分别为PC，PA的中点，底面是直角梯形，，，，．求证：平面平面PBD；求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】过点B作于H，证明，通过直线与平面垂直的判定定理证明平面PBD；求出E到平面PAB的距离及三角形PBF的面积，利用等积法求三棱锥的体积．【详解】证明：在直角梯形ABCD中，过点B作于H，在中，有，．又在中，有，．，．，平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，平面ABCD，，又，平面PBD，平面PBD，平面PBD，又平面PBC，平面平面PBD；解：，且平面PAB，平面PAB，则平面PAB，在中，由，可得D到PA的距离为，即D到平面PAB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为．在中，由，，且F为PA的中点，可得．．【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值由测量表得到如下频率分布直方图补全上面的频率分布直方图用阴影表示；统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值及方差；当质量指标值位于时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．【答案】（1）见解析；（2），；（3）0.95.【解析】由频率分布直方图求出内的频率为，由此能补全频率分布直方图．由频率分布直方图求出质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差．求出质量指标值位于的频率，由此能求出该产品为合格品的概率．【详解】由频率分布直方图得：内的频率为：，由此能补全频率分布直方图如下：质量指标值的样本平均数为：．质量指标值的样本方差为．当质量指标值位于时，认为该产品为合格品，质量指标值位于的频率为：．该产品为合格品的概率为．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．已知椭圆C过点，两个焦点．求椭圆C的标准方程；设直线l交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】由题意可设椭圆方程为：，半焦距可得，，联立解出即可得出．直线l与x轴平行时，把代入椭圆方程可得：，解得x，可得面积直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：，设，原点到直线AB的距离，化为：直线方程与椭圆方程联立化为：，利用根与系数的关系可得，令，可得面积．【详解】由题意可设椭圆方程为：，半焦距c．则，，．联立解得：，，．椭圆C的标准方程为：．直线l与x轴平行时，把代入椭圆方程可得：，解得，可得面积．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：，设，原点到直线AB的距离，化为：联立，化为：，，，．则，令，则面积，当且仅当，时，面积取得最大值．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数有两个零点．求实数a的取值范围；若函数的两个零点分别为，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a的范围；由，得，；得到所以；构造函数，求证即可．【详解】由，得，当时，在R上为增函数，函数最多有一个零点，不符合题意，所以．当时，，；所以在上为减函数，在上为增函数；所以；若函数有两个零点，则；当时，，；；由零点存在定理，函数在和上各有一个零点．结合函数的单调性，当时，函数有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为．证明：由得，；由，得，；所以；设，则，解得，；所以，当时，；设，则，当时，，于是在上为增函数；所以，当时，，即；所以．【点睛】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=，直线l 的参数方程为,{1x tcosa y tsina==+（t 为参数， 0a π≤<）.（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； （Ⅱ）若直线l 经过点()1,0，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）8【解析】试题分析：（1）对曲线C 的极坐标方程两边乘以ρ，可化得其直角坐标方程为24y x =，这是顶点在原点，焦点为()1,0的抛物线；（2）根据直线参数方程的定义可知，直线过点()0,1，依题意直线又过点()1,0，由此求得直线方程为1y x =-+，倾斜角为34π，故直线的参数方程为34{31142x tcosy tsin ππ===+=+，代入抛物线的直角坐标方程，写出韦达定理，利用12AB t t =-求得弦长为8.试题解析：（1）曲线C 的直角坐标方程为24y x =，故曲线C 是顶点为()00O ，，焦点为()10F ，的抛物线. （2）直线l 的参数方程为{1x tcos y tsin αα==+（t 为参数， 0απ≤<），故l 经过点()01，，若直线l 经过点()10，，则34πα=. ∴直线l的参数方程为342{31142x tcosy tsin ππ==-=+=+（t 为参数）代入24y x =，得220t ++=，设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则12t t +=- 122t t =， ∴128AB t t =-=.23．已知函数的定义域为R ．Ⅰ求实数m 的取值范围．Ⅱ若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g （x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。