第四章4.3.2角的比较与运算知识点1:角的大小比较1.叠合法:把要比较的两个角的顶点重合,并将其中一边也重合,并使另一边都放在重合边的同侧,就可明显看出角的大小关系.例如:比较∠AOB和∠CED的大小时,先让顶点O与E重合,再让OA与EC重合,并且使另一边OB、ED在OA的同侧.(1)如果OB与ED重合,则表示这两个角相等,如图,记作∠AOB=∠CED;(2)如果ED落在∠AOB的外部,则表示∠AOB小于∠CED,如图,记作∠AOB<∠CED;(3)如果ED落在∠AOB的内部,则表示∠AOB大于∠CED,如图,记作∠AOB>∠CED.2.度量法:用量角器量出两个角的度数,因为角的大小与它们的度数大小是一致的,因此度数大的角就大.知识点2：两角的和与差下图中共有三个角,分别是∠1、∠2、∠BAD.它们之间的关系是:∠BAD是∠1与∠2的和,记作∠BAD=∠1+∠2;∠1是∠BAD与∠2的差,记作∠1=∠BAD-∠2;∠2是∠BAD与∠1的差,记作∠2=∠BAD-∠1.角的和与差的度数就是它们度数的和与差.(1)求角的和与差时,要认真分析图形,根据图形提供的角的和差关系进行解答,没有给出图形时,要先画出图形再进行解答;(2)进行角的和差计算,单位要保持一致;(3)角的和与差的几何意义是根据图形求两角的和与差,代数意义是利用角的度数进行加减运算.知识点3：角平分线1.定义:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.如图,OC是从∠AOB的顶点O出发的一条射线,若∠AOC=∠BOC,则OC叫做∠AOB的平分线.2.符号语言:如图,OC平分∠AOB,则∠AOC=∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.考点1：角度计算【例1】如图,∠DOE∶∠BOE=1∶2,∠DOC∶∠COA=1∶2,如果∠AOB=120°,那么∠EOC是多少度?解:解法1：因为∠DOE∶∠BOE=1∶2,∠DOC∶∠COA=1∶2,所以∠BOE=2∠DOE,∠COA=2∠DOC,所以∠BOD=3∠DOE,∠AOD=3∠DOC.又因为∠AOB=∠BOD+∠AOD=3∠DOE+3∠DOC=3(∠DOE+∠DOC)=3∠EOC,所以∠EOC=∠AOB=40°.解法2:设∠DOE=x,∠COD=y,由题意得∠BOE=2x,∠COA=2y.因为∠AOB=∠DOE+∠COD+∠BOE+∠COA,所以∠AOB=3x+3y.因为∠AOB=120°,所以3x+3y=120°,即x+y=40°.所以∠EOC=40°.点拨：第二种方法体现了方程思想,比第一种方法更直观.弄清各个角之间的关系,尤其是∠EOC和∠AOB的倍分关系很重要.考点2:角平分线的有关计算【例2】如图,∠AOB=90°,OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,求∠MON的度数.解：解法1：:因为ON平分∠AOC(已知),所以∠AON=∠CON(角平分线的定义).设∠CON=x°,所以∠AON=∠CON=∠AOC=x°.又因为∠AOB=90°,所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2x°.又因为OM平分∠BOC,所以∠MOC=∠BOC=45°+x°(角平分线的定义).因为∠MOC=∠MON+∠NOC,所以∠MON=∠MOC-∠NOC=45°+x°-x°=45°.解法2:因为ON平分∠AOC,OM平分∠BOC(已知),所以∠MOC=∠BOC,∠NOC=∠AOC(角平分线的定义).因为∠AOB=90°,所以∠MON=∠MOC-∠NOC=∠BOC-∠AOC=(∠BOC-∠AOC)=∠AOB=45°.考点3:实际问题中的角度计算【例3】在飞机飞行时,飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的,如图,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角,从A到B的飞行方向角为35°,从A到C的飞行方向角为60°,从A到D的飞行方向角为145°,则AB与A C之间夹角为多少度?AD与AC之间夹角为多少度?并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线.解:由题意可知∠NAB=35°,∠NAC=60°,∠NAD=145°.故AB与AC之间夹角为∠BAC=∠NAC-∠NAB=60°-35°=25°,AD与AC之间夹角为∠CAD=∠NAD-∠NAC=145°-60°=85°.以A为顶点,AN为一边作105°角,另一边为AE,如图,AE即为从A飞出且方向角为105°的飞行线.点拨：此题是一道材料分析题,解答时要认真阅读,明确题目条件,找到南北线与飞行线之间顺时针方向夹角是解题关键.。
