内心、外心、重心、垂心定义及性质总结讲解学习

三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重心: 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心: 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心: 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心: 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．
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内心、外心、重心、垂心定义及性质总结1.内心：（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3重心：（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2 倍。

4垂心：三条高所在直线的交点。

5重心：三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好.6垂心：三角形上作三高，三高必于垂心交.高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.7内心：三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然.8外心：三角形有六元素，三个内角有三边.作三边的中垂线，三线相交共一点.此点定义为“外心”，用它可作外接圆.“内心” “外心”莫记混，“内切” “外接”是关键.保安员服装管理规定一、目的为加强保安队伍的职业化、正规化建设，规范公司保安制服的领用、发放和管理，特制定以下规定:二、范围本规定明确了公司保安制服领用、发放范围，收费及折旧办法等。

三、职责1.财务部负责公司制服的采购。

2.管理部内勤负责公司制服的保管、发放及制服发放名单的统计核实工作。

3.管理部负责员工着装的检查工作。

四、管理内容与要求1.保安制服分类：共分夏装、春秋装、冬装三种，其中含附件有：帽子1顶,腰带1条，领带1条；配饰有：硬肩章、软肩章、胸号、胸徽、帽徽及领带夹等。

1）夏装包括：短袖衬衣、夏裤。

2）春秋装包括：长袖衬衣、春秋套装。

3）冬装包括：棉衣。

2.特勤服分类：共分夏装、春秋装、冬装三种，其中含附件有：帽子1顶；配饰有：肩章、背章、胸号、胸徽、腰带、帽徽等八件套。

1）夏装包括：短袖衬衣、夏裤。

内⼼、外⼼、重⼼、垂⼼定义及性质总结-外⼼的定义内⼼、外⼼、重⼼、垂⼼定义及性质总结
1.内⼼：
（1）三条⾓平分线的交点，也是三⾓形内切圆的圆⼼。

（2）性质：到三边距离相等。

2外⼼：
（1）三条中垂线的交点，也是三⾓形外接圆的圆⼼。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重⼼：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂⼼：三条⾼所在直线的交点。

5 重⼼: 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重⼼”，重⼼性质要明了，
重⼼分割中线段，数段之⽐听分晓；
长短之⽐⼆⽐⼀，灵活运⽤掌握好．
6 垂⼼: 三⾓形上作三⾼，三⾼必于垂⼼交．
⾼线分割三⾓形，出现直⾓三对整，
直⾓三⾓形有⼗⼆，构成六对相似形，四点共圆图中有，细⼼分析可找清.
7内⼼: 三⾓对应三顶点，⾓⾓都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内⼼”有根源；
点⾄三边均等距，可作三⾓形内切圆，
此圆圆⼼称“内⼼”如此定义理当然．
8外⼼: 三⾓形有六元素，三个内⾓有三边．
作三边的中垂线，三线相交共⼀点．
此点定义为“外⼼”，⽤它可作外接圆．
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内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。

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内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1. 内
心：（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2 外
心：1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重
心：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍
4 垂心：三条高所在直线的交点
5 重心: 三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心: 三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直
角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.
7 内心: 三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根
源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定
义理当然．
8 外心: 三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心” ，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。

三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）=++；（2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。

内心、外心、重心、垂心定义及性质在三角形中，有四个非常重要的点，它们是：内心、外心、重心和垂心。

这些点的性质在几何学和三角学中都非常重要。

在本文中，我们将对这些点进行定义和它们的性质。

内心内心是一个三角形内部的点。

它是由三条角平分线所确定的点，也就是说，它到三角形三条边的距离相等。

性质1.内心是三角形的唯一的内接圆心。

2.内心到三角形三边的距离相等。

3.连接内心与三角形三个顶点的线段分别垂直于三边。

4.内心和三角形顶点的连线相交于三角形的垂心。

5.内心是三角形的重心、外心和垂心的欧拉线的交点之一。

外心外心是一个三角形外部的点，它是由三边中垂线的交点所确定的点。

外心是三角形外接圆的圆心。

性质1.外心是三角形的唯一的外接圆心。

2.连接外心与三角形三个顶点的线段分别垂直于相应的边。

3.外心到三角形三个顶点的距离相等。

4.三角形的角上的中垂线恰好交于外心。

5.外心到三角形三边的距离相等。

重心重心是由三条中线的交点所确定的点。

性质1.重心到三角形三个顶点的距离相等。

2.连接重心和三角形三个顶点的线段相等。

3.重心将每条中线分成两个部分，中心到三角形各边上的点的距离之和相等。

4.重心是三角形垂心和外心的中点。

5.连接重心与三个角平分线的交点构成的三角形是原三角形的等价三角形。

垂心垂心是由三边的垂线所交的点。

性质1.垂心到三角形三个顶点的线段中，最短的是对应于最大角的那一段。

2.垂心到三角形三个顶点的线段之和是定值，即为三角形的半周长。

3.三角形的顶点与对面边上的垂足之间的线段互相垂直。

4.三角形的三个垂直平分线相交于垂心。

5.垂心是三角形内心、外心和重心的欧拉线的交点之一。

内心、外心、重心和垂心是三角形中非常重要的点。

它们有许多有趣的性质，这些性质在解决各种几何问题时非常有用。

正三角形重心中心垂心外心内心的知识点一、知识概述《正三角形重心、中心、垂心、外心、内心》①基本定义：- 重心：说实话，这就像是正三角形的平衡点。

如果把正三角形看作是一块均匀的薄板，从重心这个点吊起来，薄板会水平平衡。

它是三条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）的交点。

- 中心：在正三角形里，重心、垂心、外心、内心这四个心是重合的，这个重合的点就叫做中心。

- 垂心：想象一下，从正三角形的每个顶点向对边作垂线，三条垂线的交点就是垂心，这就好比是三角形三条高线（过顶点作对边的垂线段）相交的地方。

- 外心：它是正三角形外接圆的圆心，这个点到三个顶点的距离是相等的。

就像用一个圆刚好把正三角形圈在里面，这个圆的圆心就是外心。

- 内心：这是正三角形内切圆的圆心，内心到三条边的距离相等。

就好像在正三角形里面画一个正好能挨着三条边的圆，这个圆的圆心就是内心。

②重要程度：在三角形相关的几何知识里，这些概念非常重要。

无论是解决几何证明题，还是计算三角形的一些数值，它们都是关键的要素。

就像建房子的基石一样，如果这些概念不清楚，很多关于正三角形更复杂的问题就做不了。

③前置知识：得先把三角形的基础概念搞清楚，像三角形的边、角、顶点这些。

另外，得知道线段的中点怎么找，垂线怎么作，还有圆的一些基本概念，像圆心、半径什么的。

④应用价值：在建筑设计里，如果要设计一个正三角形结构的建筑，这些心的位置可以帮助确定建筑的力学结构平衡点，稳定性布局等。

在机械制造中，处理正三角形形状的零件，这些概念有助于精准定位和设计加工工艺。

二、知识体系①知识图谱：在几何学科里，正三角形的这几个心是三角形性质这一板块的重要内容，和三角形的全等、相似等概念也有着千丝万缕的联系。

②关联知识：和三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识是紧密相联的。

比如说，正三角形内角都是60度，这一性质在研究这几个心的位置关系或者计算与这几个心相关的线段长度时有时候也会用到。

③重难点分析：- 掌握难度：我觉得对于初学者来说还是有点难度的。