(黄冈名师)202x版高考数学大一轮复习2.1函数及其表示理新人教A版

第一节 函数及其表示2024考纲考题考情1．函数与映射的概念函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y ＝f (x )，x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做值域。

3．函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。

4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。

分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。

1．一种优先意识 函数定义域是探讨函数的基础依据，对函数的探讨，必需坚持定义域优先的原则。

2．两个关注点(1)分段函数是一个函数。

(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集。

3．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点。

一、走进教材1．(必修1P 18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数。

故选B 。

答案 B2．(必修1P 25B 组T 1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________。

答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 二、走近高考3．(2024·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________。

2021年高考数学一轮复习 2.1 函数及其表示课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠kπ，k ∈Z ，故A不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．答案：D2．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1. 答案：B3．已知函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝( )A ．8B ．9C ．11D ．10解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.答案：C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4 D ．±2或4 解析：(1)当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝2； (2)当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4. 答案：C5．(xx·山东泰安高三第二次模拟)函数y ＝x 22－x＋lg(2x ＋1)的定义域是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 解析：由解析式知⎩⎪⎨⎪⎧2－x >02x ＋1>0解得－12<x <2，选B.答案：B6．(xx·山东潍坊市高考模拟)某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：由题意可得余数从7开始就应增加一名代表名额，故选B. 答案：B 二、填空题7．(xx·湛江市普通高考测试题(二))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 3x ，x >0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＝－1，f (－1)＝2－1＝12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12. 答案：128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f []f1>3a 2，则a的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3, f []f 1＝f (3)＝32＋6a ，若f []f1>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于________．解析：由已知可得M ＝N ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根， 故a ＋b ＝4. 答案：4 三、解答题 10．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有惟一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba， 又因方程有惟一解，故1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－1，x <0，求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．解：当x ≥0时，g (x )＝x 2， f [g (x )]＝2x 2－1， 当x <0时，g (x )＝－1， f [g (x )]＝－2－1＝－3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3，x <0.∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g [f (x )]＝(2x －1)2，当2x －1<0，即x <12时，g [f (x )]＝－1，∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12，x ≥12，－1，x <12.12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元． [热点预测]13．(1)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有① (2)(xx·安阳模拟)函数y ＝x ＋1＋x －1lg2－x的定义域是________．解析：(1)①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )满足．②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0＝－f (x )， x >1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足．故选B.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1所以定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}．答案：(1)B (2){x |－1≤x <1或1<x <2} 31234 7A02 稂9238825 97A9 鞩28386 6EE2 滢30788 7844 硄28555 6F8B 澋29364 72B4 犴19987 4E13 专u;?R27216 6A50 橐。

第二章　函数、导数及其应用第一节　函数及其表示【知识梳理】1.函数与映射的概念函数映射两集合A,B A,B是两个_________A,B是两个_________非空数集非空集合函数映射对应关系f:A→B 按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的_____一个数x,在集合B中都有_________的数f(x)和它对应按照某一个确定的对应关系f,对于集合A中的_____一个元素x,在集合B中都有_________的元素任意唯一确定任意唯一确定函数映射名称那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x),x∈A 对应f:A→B是一个映射2.函数的三要素函数由_______、_________和_____三个要素构成,对函数y=f(x),x∈A,其中①定义域:自变量x的取值范围;②值域:函数值的集合____________.定义域对应法则值域{f(x)|x∈A}3.函数的表示法表示函数的常用方法有:_______、_______、_______.4.分段函数若函数在定义域的不同子集上,因_________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.解析法列表法图象法对应关系【特别提醒】1.判断同一函数的依据(1)两个函数的定义域相同.(2)对应关系相同.2.分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.3.判断函数图象的常用结论与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.【小题快练】链接教材 练一练的1.(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)= 定义域为　( )A.[0,2)B.(2,+∞)C.[0,2)∪(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)解得x≥0且x≠2.【解析】选C.由题意得2.(必修1P23T2改编)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是　( )【解析】选D.由y与x的关系知,在中间时间段y值不变,只有D符合题意.感悟考题 试一试3.(2017·石门模拟)设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤ y≤2},从M到N有四种对应如图所示:其中能表示为M到N的函数关系的有　( )A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选B.①中定义域为[0,1],不符合题意;④中对应关系为一对二,不符合题意,②③正确.4.(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是　( ) A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y= 【解题提示】对数lgx中x为正数,函数y=10lgx不是最简形式,需化简,化简后再比较.【解析】选D.y=10lgx=x,其定义域与值域均为(0,+∞).函数y=x的定义域和值域都是R;函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R;函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);函数y= 的定义域与值域均为(0,+∞).的定义域是5.(2016·江苏高考)函数y=________.【解析】由3-2x-x2≥0得x2+2x-3≤0,即(x-1)(x+ 3)≤0,解得-3≤x≤1.答案:[-3,1]考点一　求函数的定义域的定义【典例1】(1)函数f(x)= 域为　( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6](2)若函数f(x2-1)的定义域为[0,3],则函数f(x)的定义域为________.【解题导引】(1)根据根式、分式的意义及对数函数的性质构建不等关系求解.(2)根据复合函数的定义域求法求解.【规范解答】(1)选C.由函数y=f(x)的表达式可知,函解得数的定义域应满足条件:16-x2≥0,-4≤x≤4,x>3或2<x<3,即函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].(2)因为0≤x≤3,所以-1≤x2-1≤8,所以f(x)的定义域为[-1,8].答案:[-1,8]【规律方法】函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)抽象函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.易错提醒:1.不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化.2.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间连接.表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”【变式训练】1.(2017·长沙模拟)函数的定义域为　( )A.{x|x>0}B.{x|x≥1}C.{x|x≥1或x<0}D.{x|0<x≤1}【解析】选B.要使函数有意义,应满足故x≥1.所以2.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是　( )A.[-3,7]B.[-1,4]C.[-5,5]D.【解析】选D.由x∈[-2,3]得x+1∈[-1,4],由2x-1∈[-1,4],解得【加固训练】的定义域为　( )1.函数A.(1,+∞)B.(1,2)C.(-∞,2)D.(1,2]【解析】选B.由log(x-1)>0,得0<x-1<1,0.5所以1<x<2,所以定义域为(1,2).2.设函数f(x)= 的定义域为M,函数g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则　( )A.M∩N=(-1,1]B.M∩N=RC. =[1,+∞)D. =(-∞,-1)【解析】选C.由题意可知1-x>0,解得x<1,所以M=(-∞,1).由1+x>0,解得x>-1,所以N=(-1,+∞),所以M∩N=(-1,1),A,B错;=[1,+∞),C正确;=(-∞,-1],D错.的定义域为________.3.函数f(x)=【解析】要使函数f(x)有意义,必须使解得所以函数f(x)的定义域为答案:考点二　求函数的解析式则f(x)=________.【典例2】(1)已知(2)函数f(x)满足方程2f(x)+ =2x,x∈R且x≠0.则f(x)=________.【解题导引】(1)利用换元法,即设求解.(2)利用解方程组法,将x换成 求解.【规范解答】(1)设t= +1,则x=(t-1)2(t≥1),代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)【一题多解】因为所以即f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)(2)因为2f(x)+ =2x,①将x换成 ,则 换成x,得 +f(x)= ②由①②消去得3f(x)=所以f(x)= (x∈R且x≠0).答案: (x∈R且x≠0)【母题变式】1.若本例题(2)条件变为2f(x)+f(-x)=2x,求f(x).【解析】因为2f(x)+f(-x)=2x,①将x换成-x得2f(-x)+f(x)=-2x,②由①②消去f(-x),得3f(x)=6x,所以f(x)=2x.2.若本例题(2)条件变为f(x)是一次函数,且2f(x)+ f(x+1)=2x,求f(x).【解析】因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=kx+b(k≠0),由2f(x)+f(x+1)=2x得,2(kx+b)+k(x+1)+b=2x,即3kx+k+3b=2x,解得 因此所以f(x)=【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误:题目利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围,从而造成求出的函数定义域扩大而致误.【规律方法】求函数解析式常用的四种方法(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(4)解方程组法:已知关于f(x)与 或f(-x)的解析式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).。

2021年高考数学大一轮总复习 2.1 函数及其表示高效作业 理 新人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个解析：当－sin x ＝0时，sin x ＝0，x 可取0，π，2π；当－sin x ＝12时，sin x ＝－12，x可取7π6、11π6，故集合A 中的元素最多有5个，故选B.答案：B3．(xx·邯郸模拟)函数f (x )对于任意实数x 满足f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))等于( )A ．2B ．5C ．－5D ．－15解析：f (5)＝1f 3＝f (1)＝－5，f (－5)＝1f －3＝f (－1)＝1f 1＝－15.答案：D4．定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b ，b a ＜b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x＋1)的大致图象是( )解析：f (x )＝2x⊗(3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x x ＜1，2xx ≥1，作出f (x )的图象，再将其向左平移一个单位即为f (x ＋1)的图象，应选B.答案：B5．(xx·山东聊城期末质检)具有性质：f (1x)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：①f (1x )＝1x－x ＝－f (x )满足．②f (1x )＝1x＋x ＝f (x )不满足．③0＜x ＜1时，f (1x)＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f (1x)＝0＝－f (x )，x ＞1时，f (1x )＝1x＝－f (x )满足．故选B.答案：B6．(xx·福建)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．A ＝N *，B ＝NB ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}C ．A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q解析：对选项A ，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”，应排除A ；对选项B ，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1x ＋1，－1＜x ≤0x 2＋1，0＜x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}是“保序同构”，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan(πx －π2)(0＜x ＜1)，所以A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝R 是“保序同构”，应排除C ，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．有以下判断： (1)f (x )＝|x |x与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0表示同一函数．(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个． (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数． (4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f (f (12))＝0.其中正确判断的序号是________． 解析：对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数，对于(4)，由于f (12)＝|12－1|－|12|＝0，∴f (f (12))＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)，(3)． 答案：(2)(3)8．(xx·乌鲁木齐一中月考)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b 为整数)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，得0≤|x |≤2.满足条件的整数数对有(－2,0)、(－2,1)、(－2,2)、(0,2)、(－1,2)，共5个．答案：59．(xx·焦作质检)若一系列函数解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有________个．解析：值域为{1,4}，则定义域中必须至少含有1，－1中的一个且至少含有2，－2中的一个．当定义域含有两个元素时，可以为{－1，－2}，或{－1,2}，或{1，－2}，或{1,2}； 当定义域中含有三个元素时，可以为{－1,1，－2}，或{－1，1,2}，或{1，－2,2}，或{－1，－2,2}；当定义域含有四个元素时，为{－1,1，－2,2}． 所以同族函数共有9个． 答案：910．(xx·沈阳二模)定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，其中a ，b ∈R ，则函数f (x )＝2⊕xx ⊗2－2的解析式为________．解析：由2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝x －22＝|x －2|.所以f (x )＝4－x2|x －2|－2，由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，|x －2|≠2，解得－2≤x ＜0或0＜x ≤2，由此可得x －2≤0，则f (x )＝4－x2－x，x ∈[－2,0)∪(0,2]．答案：f (x )＝4－x2－x，x ∈[－2,0)∪(0,2]三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费．解：设y 表示本季度应缴纳的水费(元)， 当0＜x ≤5时，y ＝1.3x .当5＜x ≤6时，应将x 分成两部分：5与(x －5)分别计算，第一部分为基本消费1.3×5，第二部分由基本消费与加价消费组成，即1．3×(x －5)＋1.3(x －5)×200%＝3.9x －19.5，此时y ＝1.3×5＋3.9x －19.5＝3.9x －13.当6＜x ≤7时，同理y ＝6.5x －28.6. 综上可知：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.3x ， 0＜x ≤5，3.9x －13， 5＜x ≤6，6.5x －28.6， 6＜x ≤7.12．(xx·北京海淀期末)已知函数y ＝1＋2x＋a ·4x的定义域为(－∞，1]，求实数a 的取值范围．解：依题意，1＋2x＋a ·4x≥0的解集恰为(－∞，1]． 即[(12)x ]2＋(12)x＋a ≥0的解集是(－∞，1]．由于(12)x ≤－1－1－4a 2(不合题意，舍去)，或(12)x ≥－1＋1－4a 2，∴x ≤log 12－1＋1－4a2，因此有log 12－1＋1－4a 2＝1，解得a ＝－34.即实数a 的取值范围是a ＝－34.13．(xx·江西五校联考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．解：①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a ＞0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝(－∞，－b a]∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a ＞0不符合条件；③若a ＜0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝[0，－b a]，由于此时f (x )max ＝f (－b 2a )＝b 2－a ，故f (x )的值域为[0，b 2－a]， 则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a ＜0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述：a 的值为0或－4.n vM23081 5A29 娩36391 8E27 踧JE28439 6F17 漗27461 6B45 歅38262 9576 镶37815 93B7 鎷V39432 9A08 騈A。

第二单.元 函数 导数 积分2.1 函数的概念及表示一、选择题1． 设集合A 和B 都是自然数集合，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由已知2n ＋n ＝20检验可知选n ＝4. 答案：C2． 下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lgx 100解析：∵y ＝x －1与y ＝(x －1)2＝|x －1|的对应法则不同，故不是同一函数；y ＝x －1(x ≥1)与y ＝x －1x －1(x ＞1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x (x ＞0)与y＝2lg x 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x ＞0)与y ＝lgx100＝lg x －2(x ＞0)有相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数． 答案：D3． 设函数f (x )＝⎩⎨⎧23x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1) 解析：易知f (a )>a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 23a －1>a a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1a >aa <0，解之即得不等式的解集．答案：B4． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1，的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：当x =12时，f (12)=-2，g (12)=-1，∴f (12) < g (12)．∴f (x )和g (x )的图象为共有三个交点．答案：B 二、填空题5． 设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )．那么A 中元素(1,3)的象是________；B 中元素(1,3)的原象是 ________．解析：当x ＝1，y ＝3时，x ＋y ＝4，x －y ＝－2， ∴A 中元素(1,3)的象是(4，－2)．令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1， ∴B 中元素(1,3)的原象是(2，－1)． 答案：(4，－2) (2，－1)6． 设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，则f (－2)＝________；若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．解析：f (－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6，|2x －1|＋x ＋3≤5⇔|2x －1|≤2－x⇔x －2≤2x －1≤2－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥x －2，2x －1≤2－x ，∴－1≤x ≤1.答案：6 －1≤x ≤17． 定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)有－x ∈(－1,1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)① 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1) ∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1＜x ＜1)．答案：f(x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1＜x ＜1)三、解答题8． 某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地，到达B 地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A 地，试将此人驱车走过的路程s (千米)表示为时间t 的函数．⎩⎪⎨⎪⎧ 52t ，260，260＋(t －6.5)65，0<t ≤5，5<t <6.5，6.5≤t ≤10.5.解答：s ＝＝0<x <c ，c ≤x <1满足f (c 2)＝98.9． 已知函数f (x )(1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 解答：(1)∵0<c <1，所以c 2<c .由f (c 2)＝98，即c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1， 0<x <12，2－4x＋1， 12≤x <1，由f (x )>28＋1，得当0<x <12时，解得24<x <12； 当12≤x <1时，解得12≤x <58，∴f (x )>28＋1的解集为{x |24<x <58}． 10．记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求： (1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N . 解答：(1)M ＝{x |2x －3>0}＝{x |x >32}，N ＝{x |1－2x －1≥0}＝{x |x －3x －1≥0}＝{x |x ≥3，或x <1}；(2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝{x |x <1，或x >32}．1． 已知定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1，x ≠0}的函数f (x )，满足f ⎝⎛⎭⎫11－x ＝12f (x )＋1，则f (3)＝________.解析：将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x ＝12f (x )＋1①中x 换为1－1x 得f (x )＝12 f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1.② 将②式中x 换为1－1x 得 f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝12 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x ＋1.③③代入②整理得f (x )＝14 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x ＋32，④①代入④得f (x )＝18 f (x )＋74，∴f (x )＝2，则f (3)＝2.答案：22． 已知定义域为R 的函数f (x )满足f [f (x )－x 2＋x ]＝f (x )－x 2＋x(1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式． 解答：(1)令x ＝2，则由f (2)＝3可得f (1)＝1，又f (0)＝a ，令x ＝0，f [f (0)]＝f (0)，即f (a )＝a .(2)对任意的实数x ，f (x )－x 2＋x ＝x 0，令x ＝x 0，则x 20－x 0＝0，解得x 0＝0，或x 0＝1. 所以，f (x )＝x 2－x 或f (x )＝x 2－x ＋1.。

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核心素养提升练四函数及其表示（25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分）1。

下列所给图象是函数图象的个数为( ）A.1 B。

2 C。

3 D。

4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象，②中当x=x0时，y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.2。

已知A=｛x｜x=n2，n∈N｝,给出下列关系式:①f(x）=x；②f（x)=x2；③f(x）=x3;④f(x)=x4;⑤f(x)=x2+1，其中能够表示函数f：A→A的个数是( )A.2 B。

3 C。

4 D.5【解析】选C。

对于⑤,当x=1时，x2+1A，故⑤错误,由函数定义可知①②③④均正确.3.（2019·郑州模拟）函数f(x)=ln+的定义域为( ）A.（0,+∞）B.(1,+∞）C。

(0，1） D.(0,1)∪(1，+∞）【解析】选B.要使函数f（x)有意义,应满足解得x〉1，故函数f(x)=ln+的定义域为（1,+∞）.4.（2018·衡阳模拟）已知f（x）=则f等于（）A。