华师大版九年级上册知识点

1 / 11 / 1 第21章 二次根式
1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式．
2. 二次根式的性质：
（1）=2)(a （a ≥0）；（2a 0(a≥0)；（3）⎪⎩
⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a
3. 二次根式的乘除：
计算公式：___(0,0)
___(0,0)a b a b a a b b ⎧≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩
乘法运算：除法运算： 4. 概念： 1.2.⎧⎨⎩最简二次根式：(1) (2) (3)
同类二次根式：
5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式．
6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：
根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母．
7. 二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．
（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。

华师大九年级数学上知识点华师大九年级数学上的重要知识点数学作为一门重要的学科，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要手段。

华师大九年级的数学教材包含了许多重要的知识点，掌握这些知识点对于学生打好数学基础，提高综合素质非常重要。

下面将重点介绍华师大九年级数学上的几个重要知识点。

一、代数ic745ic745代数是数学中非常重要的一部分，也是中学数学的重点内容之一。

在代数中，学生将学习如何用字母表示数，进而掌握各种数的加减乘除运算和代数式的展开与因式分解等技巧。

1. 代数式的运算代数式是数学中的核心概念之一，掌握代数式的运算是解决各种问题的基础。

学生需要掌握代数式的加减乘除运算规则，并能在实际问题中应用这些技巧。

2. 一元二次方程一元二次方程是数学中的经典问题之一，也是考查学生解决实际问题能力的常见题型。

掌握一元二次方程的解法，对于学生在构建模型求解实际问题时十分有帮助。

二、几何几何是数学中的一个重要分支，通过几何的学习，学生将培养空间想象和图形分析能力，进而解决与形状、位置、方向等相关的问题。

1. 平面图形的相关性质学生需要掌握平面图形的基本性质，如线段、角、三角形、四边形等的定义和性质。

特别是对于三角形和四边形，需要熟练掌握各种判定等著名定理和公式的使用。

2. 空间图形的相关性质学生需要了解立体图形的基本性质，如立方体、圆柱体、圆锥体、球体等的定义和性质。

掌握这些性质能够帮助学生解决立体图形的计算和判定问题。

三、概率统计概率统计是数学中比较实用的一门学科，通过学习概率统计，学生将掌握分析数据、做出统计推断和预测的技巧。

1. 数据的收集和整理学生需要学会有效地收集数据，并分析和整理数据。

采用合适的统计方法，能够更好地描述和总结数据，进而做出科学的推断。

2. 概率的计算和应用学生需要掌握概率的基本概念和计算方法。

理解事件发生的可能性和概率的性质，能够帮助学生在预测和决策中做出更合理的选择。

以上介绍了华师大九年级数学上的一些重要知识点，对于学生来说，掌握这些知识点将对他们的数学学习和应用能力有很大帮助。

华师大九年级上科学知识点华师大九年级上科学课程是学习生活中的一门重要课程，它涵盖了各个学科领域的基础知识和概念，让学生们拓宽视野，了解更多关于自然界和科学原理的奥秘。

本文将对华师大九年级上科学的一些重要知识点进行探讨。

1. 物质与能量物质与能量是科学研究中的两个核心概念。

物质是构成我们周围一切物体的基本单位，包括固体、液体和气体。

能量是使物质发生变化和运动的物理量，它可以存在于各种形式，如热能、光能等。

了解物质与能量的概念和相互转化关系，有助于我们理解自然界的各种现象和科学实验。

2. 细胞和生物分类在生物学中，细胞是构成所有生物的基本单位。

细胞能够进行代谢活动、分裂繁殖，并具有自我修复的能力。

生物可以按照许多特征进行分类，如是否有细胞核、有无细胞壁等。

了解细胞的结构和功能，以及生物的分类方法，有助于我们更好地认识生物多样性和进化原理。

3. 光和声的传播光和声是我们日常生活中经常遇到的两种物理现象。

光是一种电磁辐射，能够以直线传播，可以被折射和反射。

声音是由物体振动引起的机械波，需要空气、液体或固体传播。

了解光和声的传播原理，有助于我们理解光的折射和反射规律，以及声音的传播速度和音色特点。

4. 地球运动与季节变化地球是我们生活的家园，它有自转和公转两个运动。

地球自转是指地球绕自身轴线旋转一周所需的时间，其结果是昼夜交替。

地球公转是指地球沿椭圆轨道绕太阳运动，导致季节的变化。

了解地球运动对季节的影响，有助于我们理解为什么夏天炎热，冬天寒冷，以及春秋两季的特点。

5. 动量和力的作用动量是物体的运动状态的量度，它由物体的质量和速度决定。

力是导致物体发生运动或形状变化的原因，它可以改变物体的动量。

了解动量和力的概念和相互作用关系，有助于我们理解牛顿的三大运动定律，以及力对物体运动和平衡状态的影响。

通过以上对华师大九年级上科学知识点的探讨，我们可以看到科学在我们日常生活中的重要性。

科学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的方法。

第一章化学反应第一节（P2）一、质量守恒定律（1）定义：参加化学反应的各物质的质量总和等于反应后生成的各物质的质量总和，这个定律叫质量守恒定律。

（2） a.必须是真正参加反应的物质b.各物质的质量总和相等（3）质量守恒定律的解释宏观元素种类元素质量物质的总质量原子种类没有变化微观原子数目没有增减原子质量没有增减进行有关的计算应用推测一些物质的组成解释一些实验事实（3）化学反应前后一定不变的量：①原子种类②元素种类③原子数目④物质总质量用质量守恒定律解释下面两种现象：1、镁带在空气中燃烧后，生成物的质量比镁带的质量增加了，为什么？2、煤燃烧后留下的煤灰的质量，比煤的质量减少了，为什么？小练1.6克碳与一定量的氧气恰好完全反应，生成二氧化碳22克，有______克氧气参加了反应。

二、化学方程式（1）定义：用化学式来表示化学反应的式子（2）化学方程式的书写原则：一是以客观事实为依据；二是要遵守质量守恒定律（3）书写化学方程式的方法和步骤写：写出反应物和生成物的分子式配：配平化学方程式等：将短线改为等号注：注明反应条件，生成物的状态（4）化学方程式表示的意义①表示反应物和生成物的种类②表示反应的条件③表示反应物、生成物间原子、分子个数比④表示反应物、生成物间的质量练习:试写出下列反应的化学方程式(1)硫在氧气中燃烧生成二氧化硫(2)磷在氧气中燃烧生成五氧化二磷(3)氢气与灼热的氧化铜反应生成铜和水三、化学方程式的配平1.最小公倍数法配平方法是：求出方程式两边相同原子前系数的最小公倍数，然后用该最小公倍数除以各自的原子个数，所得的值就是对应物质的系数。

2.用奇数配偶数法用这一方法配平的化学方程式的特点是：某元素在式子里出现的次数较多，且各端的原子总数是一奇一偶。

配平方法：选定该元素作为配平的起点，先把奇数变为最小的偶数（即乘以2），再确定其它化学式的系数。

3.观察法配平方法是：（1）通过观察，从化学式比较复杂的一种生成物推求出有关各反应物和生成物的系数。

第一章化学反应第一节（P2）一、质量守恒定律（1）定义：参加化学反应的各物质的质量总和等于反应后生成的各物质的质量总和，这个定律叫质量守恒定律。

（2） a.必须是真正参加反应的物质b.各物质的质量总和相等（3）质量守恒定律的解释宏观元素种类元素质量物质的总质量原子种类没有变化微观原子数目没有增减原子质量没有增减进行有关的计算应用推测一些物质的组成解释一些实验事实（3）化学反应前后一定不变的量：①原子种类②元素种类③原子数目④物质总质量用质量守恒定律解释下面两种现象：1、镁带在空气中燃烧后，生成物的质量比镁带的质量增加了，为什么2、煤燃烧后留下的煤灰的质量，比煤的质量减少了，为什么小练克碳与一定量的氧气恰好完全反应，生成二氧化碳22克，有______克氧气参加了反应。

二、化学方程式（1）定义：用化学式来表示化学反应的式子（2）化学方程式的书写原则：一是以客观事实为依据；二是要遵守质量守恒定律（3）书写化学方程式的方法和步骤写：写出反应物和生成物的分子式配：配平化学方程式等：将短线改为等号注：注明反应条件，生成物的状态（4）化学方程式表示的意义①表示反应物和生成物的种类②表示反应的条件③表示反应物、生成物间原子、分子个数比④表示反应物、生成物间的质量练习:试写出下列反应的化学方程式(1)硫在氧气中燃烧生成二氧化硫(2)磷在氧气中燃烧生成五氧化二磷(3)氢气与灼热的氧化铜反应生成铜和水三、化学方程式的配平1.最小公倍数法配平方法是：求出方程式两边相同原子前系数的最小公倍数，然后用该最小公倍数除以各自的原子个数，所得的值就是对应物质的系数。

2.用奇数配偶数法用这一方法配平的化学方程式的特点是：某元素在式子里出现的次数较多，且各端的原子总数是一奇一偶。

配平方法：选定该元素作为配平的起点，先把奇数变为最小的偶数（即乘以2），再确定其它化学式的系数。

3.观察法配平方法是：（1）通过观察，从化学式比较复杂的一种生成物推求出有关各反应物和生成物的系数。

+6第一章化学反应第一节质量守恒定律1.质量守恒定律是指在化学反应中，参加化学反应的各物质的质量总和等于反应后生成的各物质的质量总和2.质量守恒定律的微观解释：化学反应前后，原子的种类，数目，质量保持不变，只是原子进行了重新组合，所以化学反应前后各物质的质量总和必定相等一定改变：分子种类，物质种类，可能变：分子数目，一定不变：原子的种类，数目，质量，元素种类注意：质量守恒定律的理解要注意“化学变化”和“参加”这两个词。

首先，质量守恒定律只适用于化学变化，不适用于物理变化。

其次，之所以强调“参加”，是因为某物质未必全部参与反应。

如2g氢气和8g氧气反应只生成9g水，因为只有1g氢气参加反应3.化学方程式的书写注意事项：①配平（根据反应前原子的总数=反应后原子的总数）②反应条件“点燃”、“加热（或者用“Δ”）”、催化剂③只有生成物中有气体或者沉淀生成时，用“↑”、“↓”4.书写化学方程式，我们要遵循以下两条原则：（1）化学方程式必须以客观事实为依据（2）遵循质量守恒定律，反应前后各种原子的数目必须相等5.微观模型图：6.化合价口诀表7.常见的元素符号第二节化合反应和分解反应8.化合反应：字母表达式A+B→C （多变一）9.分解反应：字母表达式C→A+B （一变多）10.第三节用分解反应的方法制取氧气11.工业上制取氧气：空气冷冻分离法。

利用了液态氧和氮的沸点不同12.实验室制取氧气的化学方程式ClO32-氯酸根MnO4-高锰酸根MnO42-锰酸根催化剂是改变反应速度的物质，但在化学反应前后，质量和化学性质都不会变13.14.收集气体的实验装置图1 图2 图3图1排水法：适用于难溶于水的气体（例如O2,H2）图2 向上排空气法：适用于气体密度大于空气（例如O2,CO2)图3 向下排空气法：适用于气体密度小于空气（例如H2)密度大小可以用相对分子质量来比较，空气的相对分子质量为29，气体的相对分子质量大于29为密度大于空气，相对分子质量小于29为密度小于空气第四节用化学方程式的简单计算15.计算题的步骤：①设未知量为X②写出化学方程式，注意要配平③根据化学方程式写出有关物质的式量比，已知量，未知量④列比例式，求解⑤简明地写出答案16.已知量的确定：生成物①有气体或者沉淀生成，可以用气体或者沉淀作为已知量代入计算化学计算题已知量一般都是以生成的气体作为条件比较多17.18.19.常见的化学方程式+7第二章酸和碱第一节生活中的酸和碱1.2.PH<7呈酸性，PH值越小，酸性越强;PH=7呈中性；PH>7呈碱性，PH值越大，碱性越强。

第21章 二次根式知识点1 二次根式（重点）知识解读1)0a ≥a 称为被开方数（式）．要点精析：（1）二次根式的定义是从代数式的结构形式．．．．上界定的，必须含有二次根号的根指数为22”一般省略不写．（2）被开方数a 可以是一个数．．．，也可以是一个含有字母的式子．．；但前提是．．．a 必须大于或等于0．（3）形如)0a ≥的式子也是二次根式．2．易错警示：（1（2()10a ≥这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式． 知识点2 二次根式有意义的条件（重点）知识解读1．二次根式有意义．．．的条件是被开方数（式）为非负数．．．；反之也成立，0a ⇔≥． 2．二次根式无意义．．．的条件是被开方数（式）为负数．．；反之也成立，0a ⇔<． 要点精析：（1）如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．．．．．．．．．．．； （2）如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的．．．．．．被开方数是非负数．．．．．．．．；分式的分母不等于．．．．．．．．0．； （3）如果一个式子中含有零指数或责整数指数，那么它有意义的条件是：底数不为．．．．0．．方法规律（1）本例通过式子有意义的隐含条件，求出点的横、纵坐标的符号，从而确定点在平面直角坐标系中所处的象限；这种由“数”确定符号到“形”确定位置的过程，体现了“数形结合思想”．（2）当题中指出式子有意义或说式子是什么式子时，都表示这个式子一定具备定义中的条件，解这类题一般都是先根据定义建立关于未知数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定未知数的值或范围．知识点3 二次根式的性质（重难点）知识解读1．二次根式的性质：（1a≥≥即一个非负数的算术平方根是一个非负数；（2）()2a a=≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；（3()()0,0,a aaa a≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值．要点精析：（1．．．．．：①0a≥≥．（22的区别与联系：区别：a为全体实数，2中0a≥；先平方后开方，2是先开方后平方；③运算结果不同：()()0,0,a aaa a≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩2a=．联系2均为非负数，且当0a≥2=．2．易错警示a=化简时，易忽略字母a的取值范围．方法规律本例与前面的例3都属于“数形结合思想”的经典例题，它们的不同点：例3是由“数”的符号确定“形”的位置；而本例则由“形”的位置来确定“数”（式）的符号；它充分体现了“数”与“形”是一个互相依存、不可分割的有机结合体；解答利用二次根式的性质化简题的关键是确．保去掉根号后的结果是非负数．．．．．．．．．．．．．．方法规律常见的非负数的类型有三种：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们的和．为．0．时，必须满足其中的每一项．．．都等于．．．0．．方法规律形如（4）这类题目应充分运用分类讨论思想．另外，此类题中并不是所有的非负数都得写成二次根式的平方（不一定带根号）的形式，如242=，2164=，()22211x x x++=+等．方法规律解这类题的依据是二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．．．．．．．．，，它是限制字母取值范围的重要条件，也是易被忽略的隐含条件；b（其中被开方数x a-与a x-互为相反数）的式子的值是b．方法规律此题运用转化思想，把二次根式问题转化为绝对值问题，去绝对值符号时运用了分类讨论思想．当绝对值符号内的代数式大于或等于0时去掉绝对值符号后是它本身，当绝对值符号内的代数式小于o 时去掉绝对值符号后是它的相反数．此题有两处绝对值，故要分三种情况讨论，即：两个都小于0；一个大于0，另一个小于0；两个都大于0．等于0和这三种情况中任何一种合并都可以，只不过分段讨论时，同一个数不重复讨论，在一处出现即可．方法规律先通过二次根式的定义求自然数n 的范围，再由二次根式的性质确定12n -是一个完全平方数，最后通过分类讨论思想求出自然数n 的值．方法规律a =进行化简时，其关键步骤是去绝对值符号．．．．．．，而去绝对值符号的关键是判．断绝对值符号内的代数式的符号．．．．．．．．．．．．．．；因此一定要结合具体问题：如数轴、几何图形特征等，先确定其符号，然后进行化简．21.2 二次根式的乘除知识点1 二次根式的乘法（重点）知识解读1)0,0a b =≥≥．这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．要点精析：（1）法则中被开方数a 、b 既可以是数．，也可以是代数式．．．，但都必须是非负数．．．； （2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数（式）之积作为根号外因数（式），被开方数之积作为被开方数；（3）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式；（4）如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数．．．．．．．．．． 拓展：（1）几个二次根式相乘，把被开方数相乘，)0,0,0a b c =≥≥≥；（2）几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便．（3）易错警示：不要把字母表示正数误认为含该字母的式子就是正数．知识点2 积的算术平方根（难点）知识解读1)0,0a b ≥≥，这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．要点精析：（1）积的算术平方根的性质的实质是逆用．．．．．二次根式的乘法法则，它对两个以上的积的算术平方根同样适用；（2）应用积的算术平方根的性质的前提条件．．．．是乘积中的每个因数（式）必须是非负数；应用此性质的作用是化简二次根式；（3）在进行化简运算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外．2．易错警示：积的算术平方根性质中的每个因式可以是数，也可以是代数式，但无论是数还是代数式都必须满足因数（式）都是非负数，才能运用性质进行化简或计算． 知识点3 二次根式的除法（重点）知识解读1)0,0a b =≥>．这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根．要点精析：（1）法则中的被开方数a 、b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的．．．且．b ．不．为．0．；（2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比．．单项式除以单项式的法则进行运算；将根号外因数（式）之商作为根号外商的因数（式）；被开方数之商作为被开方数．2．易错警示：（1)0,0a b =≥>中，特别注意0b >，若0b =，则代数式无意义；（2）二次根式的运算结果要尽量化到最简；（3这样的错误；（4）如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计算．方法规律利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．知识解读1)0,0a b=≥>．这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．要点精析：（1）商的算术平方根的性质的实质是逆用．．．．．二次根式的除法法则； （2）应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数；（3）商的算术平方根的性质的作．用是化简二次根式．．．．．．．．，将分母中的根号化去． 2．分母有理化：（1）定义：要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了，通常这种化简过程称为分母有理化；（2）依据：分式的基本性质及()20a a =≥；（3）方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．拓展：（1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；（2）常用的有理化因式a a ；3．易错警示：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数应不含开得尽的因数（式），同时分母不含二次根式．方法规律分每有理化一般经历如下三步：“一移．．”，即将分子、分母中能尽方的因数（式）移到根号外；“二乘．．”，即将分子、分母同时乘以分母的有理化因数（式）；“三化．．”，即化简计算．知识点5 最简二次根式（重点）知识解读1．定义：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．要点精析：最简二次根式必须满足：（1）被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数（式）；（2）被开方数中每个因数（式）的指数都小于根指数2；即每个因数（式）的指数都是1．2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：（1）“一分”，即利用因数（式）分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（式）的幂的乘积形式；（2）“二移”，即把能开得尽方的因数（式）用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；（3）“三化”，即将分母有理化一化去被开方数中的分母．3．易错警示：（1）分母中含有根式的式子不是最简二次根式；（2）去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外；（3）去根号后漏掉括号．方法规律二次根式乘除法的混合运算与整式乘除法的混合运算方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中同样适用．．．．，在运算中要注意符号和顺序；最后的结果要注意将所含的二次根式化为最简二次根式．．．．．．．．．．．．．．．．．，且分母中不含二次根式说明：对于二次根式的混合运算，也可先对每一个二次根式进行化简，再计算，能使计算简便，请读者试一试．方法规律本例利用探究规律法将蕴涵在数中内在的排列规律，猜想探究问题的结果用代数式表示．21.3 二次根式的加减知识点1 同类二次根式知识解读1．我们把像、-要点精析：（1）同类二次根式必须符合两个条件：①最简二次根式；②被开方数相同．（2）判断是否为同类二次根式时，先将二次根式都化为最简二次根式，然后比较被开方数，它与根号前面的系数无关．2．易错警示：判断两个二次根式是否为同类二次根式，不化简而直接判断易出错．方法规律判断几个二次根式是否为同类二次根式的步骤是：（1）将各二次根式化为最简二次根式；（2）看被开方数是否相同．知识点2 二次根式的加减知识解读1．法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．=+即：(m n2．二次根式加减运算的步骤：（1）“化”：将每个二次根式化成．．最简二次根式；（2）“找”：找出．．同类二次根式；（3）“并”：将同类二次根式合．并．成一项．3．整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的运算中仍然适用．4．易错警示：（1）合并同类二次根式时，根号外的因数与因数合并，剩下的部分保持不变，一定不要丢掉；（2）不能合并的二次根式不能丢掉，因为它们也是结果的一部分；（3）二次根式根号外的因数是带分数的要化为假分数．方法规律二次根式的加减法运算的步骤：（1）将每个二次根式都化为最简二次根式．．．．．．，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数成分数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；（2）原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．．．．．方法规律本例是一道集“数”与“形”为一体的经典题，解答本例经过由非负数之和为零得方程（组），从方程（组）得到三条线段的长；再由任意两线段之和大于第三条线段；任意两线段之差小于第三条线段；得出这三条线段符合组成三角形的条件；最后求三角形的周长． 知识点3 二次根式的混合运算（难点）知识解读1．二次根式的混合运算：（1）运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算．（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．要点精析：（1）二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式（或整式）的形式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，并且分母中不含二次根式；（2）进行二次根式的开方运算时应使开出的因数（式）是非负数（式）．2．二次根式的运算律：（1）实数运算中的运算律（交换律、结合律、分配律）和整式乘法中的乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用．（2）在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律．3．易错警示：（1）对被开方数相同的二次根式理解不透彻导致合并不彻底．（2）在计算过程中，忽略隐含已知条件中的字母的取值范围，导致出现符号错误． 方法规律二次根式的混合运算顺序与整式运算类似，先乘方．．．，再乘除．．．，最后再加减．．．．．，在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非同类二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用． 方法规律=，即它们是可以合并的二次根式，也就是说它们是被开方数相同的二次根式．．．．．．．．．．．，利用这一特征解决问题，如按思维习惯把已知等式两边平方，这样一个等式两个未知量是无法求出a 、b 的．方法规律由5x y +=-，6xy =解出x ，y 的值比较困难，因此可以考虑用整体思想求解． 方法规律本题运用数形结合思想．先根据实数所对应的点在数轴上的位置，得出每个数的正负情况以及大小关系，再运用二次根式的性质和绝对值的性质来解决问题．方法规律本题运用了“．0．”点取值法．．．．．，即令要讨论的每个代数式等于0，求出字母的值，然后分情况化简．体现了分类讨论思想的运用．方法规律参数法的实质是．．．在解题过程中，适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系量（参数），以此作为媒介．．，再进行分析和综合，从而解决问题．例如本例中的y 就是一个参数． 方法规律此例体现了从特殊到一般的思想，采用了归纳法来解题．仔细观察，找出规律是关键． 方法规律此例运用了反向推理法，对于一些题目，当我们从正面．．不好解答时，不妨从它的反面．．来考虑，可能有意想不到的效果．第22章 一元二次方程知识点1 一元二次方程的概念知识解读1．定义：整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．要点精析：（1）理解定义：要掌握三个关键点：整式、未知数个数及最高次数；“一元”是指整个方程中只含有一个未知数；“二次”是指该未知数的最高次数是2．（2）一元二次方程的识别方法：整理前：①整式方程，②只含一个未知数；整理后：未知数的最高次数是2．2．易错警示：在判断一个式子是否是一元二次方程时常出现以下几种错误：（1）不整理合并直接判断；（2）不看是不是整式方程；（3）未知数的个数不是1或未知数的最高次数不是2．方法规律判断一个方程是否是一元二次方程，有两个关键点：（1）整理前足整式方程且只含一个未知数；（2）整理后未知数的最高次数是2；本例⑤()222322x x x -=-中易出现不整理就下结论，误认为是一元二次方程的错误．方法规律已知某方程为一元二次方程，则此方程必须符合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；未知数的最髙次数是2．当二次项系数是待定系数时还要考虑二次项系数不等于0．知识点2 一元二次方程的一般形式（重点）知识解读1．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：()200ax bx c a ++=≠．这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 次项系数，c 是常数项．2．理解要点：（1）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程才是一元二次方程，但b ，c 可以是0．（2）将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．（3）指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一起．（4）二次项系数不等于零既是一元二次方程的必要条件，也是一个隐含条件．3．易错警示：（1）忽略一元二次方程20ax bx c ++=中二次项系数0a ≠的条件．（2）确定一元二次方程各项系数时，不要忽略各项前面的符号．方法规律1．化一般形式一般要经历一去（去分母去括号）二移三并这三步；2．当整理为一般形式后，如果二次项系数是负数，一般要把它转化为正数，若有关系数是分数，一般要把它转化为整数．方法规律在一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=中，0a ≠是确定该方程为一元二次方程的唯一标准，在应用一元二次方程的定义求待定字母的值时，既要考虑未知数的最高次数是2，又要考虑二次项系数不为零．方法规律在由一元二次方程的定义求有关待定字母的值时，先要把方程整理成一元二次方程的一般形式，再由题中给出的条件及二次项系数不为0列式求出．知识点3 建立一元二次方程的模型知识解读1．一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．2．建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x ；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．3．常用一元二次方程来建模的问题有：圆形的面积、增长（利润）率、行程问题、工程问题等．4．易错警示：一元二次方程求得实际问题的解要检验，看其是否符合实际意义． 知识点4 一元二次方程的根（解）（难点）知识解读1．定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根（解）． 要点精析：（1）判断方程的根的必要条件是：使方程左右两边相等．（2）根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否正确．（3）一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是方程的根．方法规律检验一个数是否为方程的根，只要把这个数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否相等．在找根时注意使一元二次方程左右两边相等的未知数的值不一定只有一个． 方法规律如果0x 是方程20ax bx c ++=的根，则有式子2000ax bx c ++=成立．当求含有0x 的代数式的值时，找出该代数式与2000ax bx c ++=相类似的结构进行整体代入求值． 方法规律判断未知数的值是否为所给一元二次方程的根的方法是将这个数代入原方程，判断方程左右两边的值是否相等．22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法知识点1 用直接开平方法解一元一次方程（重点）知识解读1．定义：利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方法求方程的解的方法：（1）()20x p p x =≥→=2）()()20x a p p x a +=≥→=；（3）()()20,0mx n p p m x +=≥≠→= 3．易错警示：直接开平方法是利用平方根的意义，所以要注意两点：（1）常常只取正的平方根而遗漏负的平方根；（2）只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提条件是2x p =中0p ≥． 方法规律用直接开方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的意义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．知识点2 用因式分解法解一元二次方程知识解读1．定义：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）整理方程，使其右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的乘积；（3）令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．3．常用的因式分解的方法：（1）提取公因式法；（2）公式法；（3）()()()2x a b x ab x a x b +++=++．4．易错警示：（1）当方程没有化成一般形式时，不能把左边进行因式分解；（2）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解．方法规律用因式分解法解一元二次方程时，不要急于将方程化为一般形式，要结合方程特点适当变形，发现并提取公因式或运用公式．方法规律采用因式分解法解一元二次方程的技巧为：右化零，左分解，两因式，各求解． 方法规律用直接开平方的方法解一元二次方程，如果方程化成()20x p p =≥的形式，则方程的两根互为相反数．方法规律本题运用了换元法，运用换元法解方程时，要'注意还元．如本题最后是要解出未知数x ，而不是未知数t ，所以先换元然后再还元．方法规律元二次方程的两个根，就可以知道用因式分解法求解的过程，即()()120,x a x b x a x b --=⇔==．方法规律确定三角形的三边长时，要考虑三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．22.2.2 配方法知识点1 用配方法解一元二次方程知识解读1．定义：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．要点精析：（1）配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方（二次项_系数必须为1）．（2）用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化成直接开平方法所需要的形式．配方是为了降次，利用平方根的定义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．2．用配方法解一元二次方程的步骤：简言之：一化二移三配四开方，即（1）化：①将方程化成一般形式；②将二次项系数化为1．（2）移：将常数项移到方程的另一边．（3）配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程变为()2x m n ±=的形式．（4）开方：如果n 为非负数，直接开平方求根．3．易错警示：利用配方法解一元二次方程时：易忘记二次项系数化为1或方程的两边同时加上一次项系数一半的平方．方法规律（1）二次项系数为1时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍．注意有两个．（2）当二次项系数不为1时，则先化二次项系数为1，然后再配方．方法规律方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方法的关键，将二次项系数化成1是进行这一关键步骤的重要前提．方法规律当一个方程出现多个未知数，且方程中具备完全平方式的雏形时，可以考虑凑完全平方式，将方程化成几个非负数的和为零的情形，从而将一个方程化成多个方程来分别求解．22.2.3 公式法22.2.4 一元二次方程根的判别式知识点1 公式法解一元二次方程知识解读1．求根公式的定义：方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为)240x b ac =-≥，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式．2．用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式；（2）确定公式中a 、b 、c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）若240b ac -≥，则把a 、b 及24b ac -的值代入求根公式求解，当240b ac -<时，方程无实数解．方法规律用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了a 、b 、c 后，先计算24b ac -的值，当240b ac -≥时，再用求根公式解．方法规律解含字母系数的一元二次方程时，与解一般的一元二次方程一，一，先将方程化成一般形式，然后利用公式法求出方程的解．方法规律利用公式法因式分解的理论依据：若一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则方程可化成()()()1200a x x x x a --=≠的形式，因此()()()2120ax bx c a x x x x a ++=--≠，所以利用公式法进行代数式()20ax bx c a ++≠的因式分解时，可以先构造一元二次方程20ax bx c ++=，然后求出一元二次方程的两根，再代入()()()120a x x x x a --≠完成因式分解．知识点2 一元二次方程根的判别式知识解读1．式子24b ac -叫做方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式，通常用符号∆表示，即24b ac ∆=-．2．一元二次方程根的个数的判断方法：（1）当0∆>时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根．（2）当0∆=时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根．（3）当0∆<时，方程没有实数根．要点精析：（1）利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反之，已知方程根的情况可以确定方程待定字母系数的取值范围；（2）计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定a 、b 、c 后再计算；（3）一元二次方程有实数根包括有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，即0∆≥． 方法规律（1）关于一元二次方程根的情况的问题一般都与24b ac -有关，抓住24b ac -与零的大小关系推出一元二次方程根的三种不同情况是解题的关键．（2）判断方程根的情况的方。

华东师大版数学九年级上知识点小结第21章二次根式1、二次根式的意义形如)0(a a 的式子叫二次根式。

二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0a当a0时，a 在实数范围内没有意义。

2、最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）；③分母不含根式。

3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

4、二次根式的主要性质（1）双重非负性：)0(0a a（2）还原性：（a 2)=a )0(a 。

＊（3）绝对性：)0()0(0)0(2aa a aa aa5、二次根式的运算（1）因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。

反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

（2）有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（3）二次根式的加、减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

步骤：一化二找三合并（4）二次根式的乘、除法二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根式。

(0,0).a b ab a bb b aa(0,0)b a （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

附：1、根式)0,0(a ba b 的化简方法（1）把a b 化为,ab 然后分母有理化为.a ab （2）把ab 化为aa ab，然后化为.a ab 2、分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：(1)根据（a ）a 2)0(a可知a 的有理化因式是;a (2)根据平方差公式，可知b a 的有理化因式为b a，y b xa 的有理化因式是yb x a 第22章一元二次方程：1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02cbx ax（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

知识梳理：事件的可能性知识点1：随机事件类型的划分1.必然事件：生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件.如:一个玻璃杯从10层高楼落到水泥地面会摔碎.2.不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.如:明天太阳从西方升起.3.确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件.4.随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为不确定事件，也称为随机事件.例1：⑴用长为5cm，6cm，7cm的三条线段围成三角形的事件是〔〕A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.以上都不是⑵以下事件是随机事件的是〔〕A.购置一张彩票，中奖B.在一个标准大气压下，加热到100℃，水沸腾C.奥运会上，百米赛跑的成绩为5秒D.掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是8分析:区分事件发生的可能性,应注意积累生活经历,掌握各科知识间的渗透以及合理的推断.⑴长为5cm，6cm，7cm的三条线段一定能围成三角形,因为它满足三角形的三边关系定理,它为必然事件,应选C;⑵B是必然事件, C, D是不可能事件, A可能发生也可能不发生是随机事件,应选A.点拨:如何判断事件发生的可能性,我们可以凭直觉判断出有些事件发生的可能性大小，有时要结合日积月累的生活经历,或者经过严谨的推理得到事实等事件,事先可以确定其可能发生或可能不发生.知识点2：随机事件发生的可能性是有大小的,不同的事件发生的可能性的大小有可能一样例2：九年级〔1〕班准备在“五四〞青年期间组织10名团员为敬老院做义务劳动，现已选定9名团员，还需在积极响应的小强和小亮中再选一名，大家一致同意以掷硬币的方式决定人选.小强抢先提出自己的方案:把一枚均匀的硬币连续掷两次,假设两次掷出的结果朝上的面一样〔即同正面或同反面〕,那么自己去;假设两次朝上的面不同〔即一正一反〕,那么小亮去.小强认为朝上的面一样有两种情况,而异面朝上只会有一种情况,这样他自己参加义务劳动的时机大写,请你帮小强判断一下,他的想法对吗?简要说明理由.分析:此题是考察随机事件发生的可能性大小的,应把两次抛掷这枚硬币面朝上的可能性都列出来,观察发生的时机是否均等,再判断小强的想法是都正确.〔正,正〕、〔正，反〕、〔反，正〕、〔反，反〕4种情况，而“朝上的面不同〞其实也包含两种情况：“一正一反〞和“一反一正〞，它们发生的可能性与“朝上的面一样〞是均等的，都各占一半，所以小强的想法是不正确的.说明:判断事件发生的可能性大小时,应考虑随机事件发生的时机是否均等,可能性大的获胜的时机就大,千万不要凭直觉判断,被外表现象所迷惑,而应认真分析其中的道理,才能准确判断事件发生的可能性大小.例3在图1所示的图案中,黑白两色的直角三角形都全等,图1将它作为一个游戏盘,游戏规那么是:按一定距离向盘中投镖一次,扎在黑色区域为甲胜,扎在白色区域为乙胜.你认为这个游戏公平吗?为什么?分析:游戏是否公平,应该根据事件发生的可能性大小确定,观察黑白两色直角三角形大小是否一样,个数是否一样多,说明向盘中投镖一次,扎在黑色区域或白色区域的时机是否均等，再确定甲和乙获胜的时机是否一样.解:这个游戏是公平的.因为黑白两色的直角三角形都全等,且个数也相等,所以黑白两色直角三角形面积之和也分别相等,又因为黑白两色的弓形的弦长都是直角三角形的斜边,所以黑白两色弓形面积之和也分别相等,因此黑白两色区域面积各占圆面积的一半,即扎在黑白区域的可能性相等.点拨:判断游戏的公平性,在一样的条件下,应考虑随机事件发生的可能性是否一样,可能性大的获胜时机就大.。

华师大九年级科学上知识点华师大九年级科学知识点华师大九年级科学课程的主要内容涵盖了物理、化学和生物三个学科，这三个学科科学知识点的学习对学生的科学素养和综合能力的提升非常重要。

以下是对这三个学科的知识点进行深入探讨。

一、物理知识点1. 运动和力学：学生需要了解物体的运动形式，如匀速直线运动、匀变速直线运动等，并能够运用速度、加速度等概念进行运动分析。

此外，力学知识包括质量、力、力矩等内容，学生需要掌握力的作用和力的变化对物体运动的影响。

2. 光学和光的特性：学习光的传播和折射规律，了解光的直线传播和反射现象，以及镜子、透镜等光学元件的原理和应用。

3. 电学和电流：学生需要掌握电流的概念、电压和电阻的关系，以及欧姆定律和基础电路的分析。

此外，学习电磁感应知识，了解电磁感应现象和电动势的产生条件。

二、化学知识点1. 物质的结构和性质：学生需要了解物质的组成和结构，掌握化学元素、化合物以及混合物的区别和特性。

此外，学习化学键的形成和断裂原理，理解分子间的相互作用以及化学反应的基本规律。

2. 酸碱和盐：学生需要了解酸碱指示剂的作用和酸碱中和反应的原理，掌握酸碱溶液浓度的计算方法。

此外，学习盐的成因和化学性质，了解盐的应用领域和生活中的相关实践。

3. 化学与能量：学习化学反应中能量的转化和守恒，了解燃烧、发酵等常见化学反应与能量的关系。

此外，学生还需要了解化学反应速率和化学平衡的基本概念和调节条件。

三、生物知识点1. 细胞和遗传：学生需要了解细胞是生命的基本单位，了解原核细胞和真核细胞的结构和功能。

此外，学习遗传的基本原理，了解基因的组成和遗传信息的传递规律。

2. 植物与动物的组成和功能：学生需要掌握植物和动物的组织结构、生长发育过程和生物功能，了解植物光合作用和动物呼吸过程的基本原理。

3. 生态系统和环境保护：学生需要了解生物多样性和生态系统的组成，理解物种之间的相互关系和物质循环过程。

此外，学习环境保护的基本概念和方法，了解人类活动对生态环境的影响和保护措施。

初三数学上册知识点（华师大版）第22章二次根式1、二次根式定义：2、最简二次根式：3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

4、二次根式的性质5、二次根式的加减法二次根式的加减，与整式的加减相似，先把各个二次根式化简，再合并同类二次根式6、二次根式的乘除法二次根式乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据为上述性质（3）（4）7、二次根式混合运算二次根式的混合运算顺序同整式，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（先算小括号，再算中括号，最后算大括号）第23章一元二次方程1、一元二次方程定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，且a≠0)，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。

2、一元二次方程解法（1）直接开平方法：（2）因式分解法利用将方程左边分解成几个因式乘积形式求解的方法叫因式分解法。

此法为一元二次方程常用解法。

（3）配方法将方程变形为（x±a）2=b （b≥0）的形式求解的方法。

（4）公式法3、一元二次方程根的判别式当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根。

4、一元二次方程根与系数的关系5、利用一元二次方程解应用题列方程解应用题的关键是:找出相等关系.（1）列方程解应用题的一般步骤是:审：审清题意：已知条件，隐含条件，及求解问题，已,未知之间有关系；设：设未知数：设求解量的未知数，有单位(统一)的要注明单位，并语句完整；列：列方程：由题意列出关于所设未知数的方程；解：解方程：求解所列的方程的跟；验：检验：检验所列方程的根；及是否符合题意；答:：作答：针对所求问题得出的答案作答。

.（2）典型应用题数字与一元二次方程、几何与一元二次方程、路程与一元二次方程、工程与一元二次方程、销售与一元二次方程、增长率与一元二次方程等第24章图形的相似1、相似图形：具有相同形状的图形2、成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a/b=c/d （或a:b=c:d），那么这四条线段叫做成比例线段。