山东省烟台二中2019-2020学年高一上学期冬学竞赛数学试题Word版含答案

冬季普通高中学业水平考试一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分） 1．已知全集{}c b a U ,,=，集合{}a A =，则=A C U （ ）A ．{}b a ,B ．{}c a ,C ．{}c b ,D ．{}c b a ,, 2．已知0sin <θ，0cos >θ，那么θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若实数3，a ，5成等差数列，则a 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．15 4．图像不经过第二象限的函数是（ ）A ．xy 2= B ．x y -= C ．2x y = D ．x y ln =5．数列1，32，53，74，95，…的一个通项公式是=n a （ ） A ．12+n n B ．12-n n C ．32+n n D ．32-n n6．已知点)4,3(A ，)1,1(-A ，则线段AB 的长度是（ ） A ．5 B ．25 C ．29 D ．297．在区间[]4,2-内随机取一个实数，则该实数为负数的概率是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41 8．过点)2,0(A ，且斜率为1-的直线方程是（ ）A ．02=++y xB ．02=-+y xC ．02=+-y xD ．02=--y x 9．不等式0)1(<+x x 的解集是（ ）A ．{}01|<<-x xB ．{}01|>-<x x x 或C ．{}10|<<x xD ．{}10|><x x x 或10．已知圆C ：036422=-+-+y x y x ，则圆C 的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．)3,2(-，16 B ．)3,2(-，16 C ．)3,2(-，4 D ．)3,2(-，411．在不等式22<+y x 表示的区域内的点是（ ） A ．)0,0( B ．)1,1( C ．)2,0( D ．)0,2(12．某工厂生产了A 类产品2000件，B 类产品3000件，用分层抽样法从中抽取50件进行产品质量检验，则应抽取B 类产品的件数为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．50 13．已知3tan =α，1tan =β，则=-)tan(βα（ ） A ．2- B ．21-C ．2D ．21 14．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1=a ，2=b ，41sin =A ， 则B sin 的值是（ ） A ．41 B ．21 C ．43D ．4215．已知偶函数)(x f 在区间[)+∞,0上的解析式为1)(+=x x f ，下列大小关系正确的是（ ）A ．)2()1(f f >B ．)2()1(->f fC ．)2()1(->-f fD ．)2()1(f f <-16．从集合{}2,1中随机选取一个元素a ，{}3,2,1中随机选取一个元素b ，则事件“a<b ”发生的概率是（ ） A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 17．要得到⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin πx y 的图像，只需将x y 2sin =的图像（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位18．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1=a ，2=b ，︒=∠60C ，则c 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．319．从一批产品中随机取出3件，记事件A 为“3件产品全是正品”，事件B 为“3件产品全是次品”，事件C 为“3件产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确的是（ ）A．A与C对立 B．A与C互斥但不对立 C．B与C对立 D．B与C互斥但不对立20．执行如图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）， 则输出S 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 21．2log 2的值为 ．22．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，931=⋅a a ，则=2a ．23．已知向量a )2,1(=，b )1,(x =，若a ⊥b ，则实数x 的值是 ．24．样本5，8，11的标准差是 ．25．已知一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为︒60，则该圆锥的 高是 ．三、解答题（本大题共3个小题，共25分） 26．（本小题满分8分）如图，在三棱锥BCD A -中，F E ,分别是棱AC AB ,的中点． 求证：//EF 平面BCD ．AECBDF27．（本小题满分8分）已知函数x x x f 22sin cos )(-=．求： （1）⎪⎭⎫⎝⎛12πf 的值； （2）)(x f 的单调递增区间．28．（本小题满分9分）已知函数41)(2++=ax x x f )(R a ∈． （1）当函数)(x f 存在零点时，求a 的取值范围； （2）讨论函数)(x f 在区间)1,0(内零点的个数．冬季普通高中学业水平考试参考答案：1-20 CDCDB ACBAD ABDBD CABAC 21、2122、3 23、2- 24、6 25、10 26、略 27、（1）2312=⎪⎭⎫⎝⎛πf ；（2）()Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,,2ππππ． 28、（1）1-≤a 或1≥a ； （2）当⎪⎭⎫⎝⎛--∈1,45a 时，函数)(x f 在区间)1,0(内有2个零点； 当1-=a 时，函数)(x f 在区间)1,0(内有1个零点；当()+∞-⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-∈,145, a 时，函数)(x f 在区间)1,0(内没有零点．。

烟台市2019-2020学年度第一学期期中学业水平诊断高一数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。

超出 答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。

在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

1.已知集合{1,2,3,4,5}U =，={1,3,4}A ，={4,5}B ，则()=UA BA .{3}B .{1,3}C .{3,4}D .{1,3,4}2.命题“x ∀∈R ，21x >”的否定是 A .x ∃∈R ，21x ≤ B .x ∃∈R ，21x < C .x ∀∈R ，21x <D .x ∀∈R ，21x ≤3.设a ∈R ，则“0a >”是“20a >”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 4.我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card()A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{,,}A x y z =，则card()=3A .若非空集合,M N 满足card()M =card()N ，且M N ⊆，则下列说法错误．．的是 A .M N M = B .M N N =C .M N N =D .M N =∅5.设102x <<，则(12)x x -的最大值为A .19B .29C .18D .146.下面各组函数中表示同一个函数的是A .()f x x =，2()g x =B .()f x x =，()g xC .21()1x f x x -=-，()1g x x =+D .()x f x x =，1,0,()1,0.x g x x ≥⎧=⎨-<⎩7.已知231,0,()21,0,x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩若()(1)8f a f +-=，则实数a 的值为 A .2-B .2C .2±D .3±8.若不等式2220mx mx +-<对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围为 A .(2,0)-B .(2,0]-C .(,0)-∞D .(,0]-∞9.某容器如右图所示，现从容器顶部将水匀速注入其中，注满为止. 记容器内水面的高度h 随时间t 变化的函数为()h f t =，则()h f t = 的图象可能是A .B .C .D .10.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数，(0,1)A ，(2,1)B -是其图象上的两点，则不等式(1)1f x ->的解集为 A .(1,1)-B .(,1)(1,)-∞-+∞ C .(1,3) D .(,1)(3,)-∞+∞11.下列结论正确的有A .函数0()(1)1f x x x =-++的定义域为(1,1)(1,)-+∞B .函数()y f x =，[1,1]x ∈-的图象与y 轴有且只有一个交点C .“1k >”是“函数()(1)+f x k x k =-（k ∈R ）为增函数”的充要条件D .若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)=0f12.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是 A .若0ab ≠且a b <，则11a b> B .若01a <<，则3a a < C .若0a b >>，则11b b a a+>+ D .若c b a <<且0ac <，则22cb ab < 13.我们把定义域为[0,)+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：（1）对任意的[0,)x ∈+∞，总有()0f x ≥；（2）若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，下列判断正确的是 A .若()f x 为“Ω函数”，则(0)0f =B .若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[0,)+∞上为增函数C .函数0,,()1,x g x x ∈⎧=⎨∉⎩Q Q在[0,)+∞上是“Ω函数” D .函数2g()+x x x =在[0,)+∞上是“Ω函数”。

2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学参考答案一、单项选择题1.C2.D3.C4.A5.C6. D7.B8.A二、多项选择题9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABC三、填空题13. 34π 14. 0.1 15. 16. 52π，4π四、解答题17.解：若选①：由正弦定理得 ()()()a b a b c b c +-=-， ………………………………2分即222b c a bc +-=， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， ……………………………………4分 因为(0,)A π∈，所以3A π=. …………………………………………6分 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =， …………………………………………8分所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= ……………………………10分 若选 ②：由正弦定理得 sin sin sin cos()6A B B A π=+. …………………………2分因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin cos sin 22A A A =-， ………………………………………4分即tan A =0A π<<，所以6A π=. …………………………6分 又因为2222cos 6a b c bc π=+-，所以22bc =，即24bc =- ……………8分所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- ………………10分 若选 ③：由正弦定理得 sin sinsin sin 2B C B A B +=， ……………………………2分 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sin sin 2B C A +=，又因为B C A π+=-， 所以cos 2sin cos 222A A A =， ………………………………………………4分 因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A ≠， ∴1sin 22A =，26A π=，所以3A π=. ……………………………6分 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =， ………………………………………8分所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= …………………………10分 18.解：（1）因为2(1)n n S n a =+，*n ∈N ，所以112(2)n n S n a ++=+，*n ∈N .两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得 1(1)n n na n a +=+，. ………………………………………………2分 即11n n a a n n +=+，*n ∈N ，所以{}n a n为常数列. 所以121n a a n ==， ………………………………………4分 所以 2n a n =. …………………………………………………5分（2）(1)2=(21)4n a n n n b a n =--. ……………………………………………6分所以 12314+34+54++(21)4n n T n =⨯⨯⨯-L231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-⋅+-⋅L . ……7分两式相减得： 23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--⋅L ， …………………9分 2+114434+2(21)414n n n T n +--=⨯--⋅-， …………………11分 化简得 120(65)4+99n n n T +-=. ……………………………………12分19.解：（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF .因为//AD BC ，所以AFD ∆与BCF ∆相似. 所以2BF BC FD AD==. ………………………………………………1分 又=2BE BF ES FD=，所以//EF SD . ……………………………………2分 因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊄平面ACE ，所以直线//SD 平面ACE . ……………………………………4分（2）平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD I 平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面SCD . …………………………………5分以C 为坐标原点，,CD CB u u u r u u u r 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与,CD CB u u u r u u u r 均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. ……6分则(0,0,0)C ，(1,1,0)S ，(0,2,2)A ，224(,,)333E ， (0,2,2)CA =u u u r ，(1,1,0)CS =u u u r ，224(,,)333CE =. ………7分 设平面SAC 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则 00CA CS ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r gm m ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 不妨令1z =，得1x =，1y =-，于是(1,1,1)=-m . …………………9分设平面EAC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00CA CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r gn n ，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 不妨令1z =，得1x =-，1y =-，于是(1,1,1)=--m . …………………11分设二面角S AC E --的平面角的大小为θ，则1cos 3θ==g m n m n . 所以二面角S AC E --的余弦值为13. ……………………………………12分 20.解：（1）设1F 为椭圆的左焦点，连接1F B ，由椭圆的对称性可知，1AF F B =， 所以128AF BF BF BF a +=+==，所以4a =， …………………2分又2c e a ==，222a b c =+，解得2b =，c =. ………………4分 所以椭圆的标准方程为221164x y +=. ……………………………………5分（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ，则11(3,)QA x y =-u u u r ，22(3,)QB x y =-u u u r ，……6分 联立221164x y k x y =⎧+=⎪⎨⎪⎩，得22(41)160k x +-=， 所以120x x += ，1221641x x k -=+， ……………………………………8分 因为AQB ∠为锐角，所以0QA QB >u u u r u u u r g . ……………………………………9分 所以1212(3)(3)QA QB x x y y =--+u u u r u u u r g12121293()x x x x y y =-+++2121293()(1)x x k x x =-+++ ……………………………10分2216(1)9041k k +=->+， 解得10k >或10k <-. ……………………………………12分 21．解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ， 则1(3,)3X B :. ……………………………………………………2分 因此112312124(1)()()=33279P X C ===. ……………………………………4分 （2）①当1n =时，设该企业每月的实际获利为1Y 万元. 若0X =，则1123135Y =⨯-=；若1X =，则1122+81131Y =⨯⨯-=；若2X =，则1121+81+01119Y =⨯⨯⨯-=；若3X =，则1120+81+0217Y =⨯⨯⨯-=； ……………………6分 又0033128(0)()()3327P X C ===，2213126(2)()()3327P X C ===， 3303121(3)()()3327P X C ===， ………………8分 此时，实际获利1Y 的均值1812617733531197=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ ………………9分 ②当2n =时，设该企业每月的实际获利为2Y 万元.若0X =，则2123234Y =⨯-=；若1X =，则2122+81230Y =⨯⨯-=；若2X =，则2121+82226Y =⨯⨯-=；若3X =，则2120+82+01214Y =⨯⨯⨯-=； ………………………11分28126180234302614=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯因为12EY EY <.于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用2n =. ………………………………………………12分22. 解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >.()2113'()ln ()222f x x a x x ax a x x =-+-⋅+-， ………………1分 ()(ln 1)x a x =--令()0f x '=，得x a =或e x =. ………………………………………… 2分因为0e a <<，当0x a <<或e x >时，()'0f x >，()f x 单调递增；当e a x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减.所以()f x 的增区间为()0,a ，()e,+∞，减区间为()e ,a . …………………………………………………………………4分（2）取=min{1,2}a δ，则当(0,)x δ∈时，102x a -<，ln 0x <，3204a x ->， 13()()ln (2)024f x x x a x x a x =-+->； 又因为0e a <<，由（1）可知()f x 在(0,)a 上单增，因此,当(0,]x a ∈，恒()0f x >，即()f x 在(0,]a 上无零点. …………………………5分下面讨论x a >的情况： ①当e 04a <<时，因为()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，且()0f a >，e (e)e()04f a =-<，241(e )=e 04f >， 根据零点存在定理，()f x 有两个不同的零点. ……………………6分 ②当e =4a 时，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，且(e)0f =， 此时()f x 有唯一零点e . ……………………………………7分 ③若e e 4a <<，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，e ()(e)e()04f x f a ≥=->， 此时()f x 无零点. ……………………………………………8分 综上，若e 04a <<，()f x 有两个不同的零点；若e =4a ，()f x 有唯一零点e ；若e e 4a <<，()f x 无零点.（3）证明：由（2）知，e 04a <<，且12e a x x <<<. 构造函数2e ()()()F xf x f x=-，(,e)x a ∈. ………………………………9分则()F x '=4232e e ()(ln 1)()(ln 1)x a x a x x x----- 43243e e (ln 1)x ax ax x x -+-=-. ……………………………………10分 令4324()e e g x x ax ax =-+-，(,e)x a ∈.因为当(,e)x a ∈时，22e 0x ax +->,22e 0x -<，所以43242222()e e =(e )(e )<0g x x ax ax x ax x =-+-+--又ln 1lne 10x -<-=，所以()0F x '>恒成立，即()F x 在(,)a e 单增.于是当e a x <<时，()(e)0F x F <=，即 2e ()()f x f x <. ………………11分 因为1(,e)x a ∈，所211e ()()f x f x <， 又12()()f x f x =，所以221e ()()f x f x <， 因为2e x >，221e e e ex >=，且()f x 在(e,)+∞单增， 所以由221e ()()f x f x <，可得221e x x <，即212e x x <. ………………………12分。

2019-2020学年山东省烟台市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．tan15︒=（ ） A．2B．2 C1 D1【答案】B【解析】将所求式子中的角15︒变形为4530︒-︒然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值. 【详解】()1tan 45tan 3012tan15tan 453021tan 45tan 306︒-︒-︒=︒-︒=====-+︒︒. 故选：B. 【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题. 2．方程3log 5x x =-的根所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】D【解析】构造函数()3log 5f x x x =+-，分析函数在定义域上的单调性，然后利用零点存在定理可判断出该函数零点所在的区间. 【详解】构造函数()3log 5f x x x =+-，则该函数在()0,∞+上为增函数， 所以，函数()3log 5f x x x =+-至多只有一个零点，()140f =-<，()32log 230f =-<，()310f =-<，()34log 410f =->，由零点存在定理可知，方程3log 5x x =-的根所在的区间为()3,4.故选：D. 【点睛】本题是一道判断方程的根所在区间的题目，一般利用零点存在定理来进行判断，考查推理能力，属于基础题. 3．已知a 是第一象限角，那么2a是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一或第三象限角【答案】D【解析】根据象限角写出2a 的取值范围，讨论即可知2a 在第一或第三象限角 【详解】依题意得22()2k a k k Z πππ<<+∈，则()24a k k k Z πππ<<+∈， 当2k n n Z =∈，时，2a是第一象限角当2+1k n n Z =∈， 时，2a是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题．4．一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案. 【详解】设扇形所在圆的半径为r ，由扇形的弧长为6，面积为6，可得26162l r S r αα==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得3α=，即扇形的圆心角为3rad .故选C. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（ ） A ．略有降低 B ．略有提高 C ．相等 D ．无法确定【答案】A【解析】先阅读题意，再列出现价，然后再比较大小即可. 【详解】设现价为b ，原价为a ，则()()()222110%110%10.01b a a a =+-=-<， 故选：A . 【点睛】本题主要考查的是函数的实际应用问题，重点考查的是阅读能力，考查学生的分析问题，解决问题的能力，是基础题.6．若02x π<<=（ ）A ．B ．-C ．0D ．2【答案】A【解析】根据半角公式化简原式，再根据x 的范围即可求得. 【详解】由半角公式可得：221cos 22cos ,1cos 22sin x x x x +=-=， 又02x π<<知，sin 0,cos 0x x >>，原式+==故选：A . 【点睛】本题主要考查的是二倍角余弦公式的应用，以及三角函数在给定的范围内的正负问题，要求学生熟练掌握半角公式，考查学生的计算能力，是基础题.7．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin 6y x k πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象可知当sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，进而即可求出k 的值；接下来根据正弦函数的性质可得当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 有最大值，据此进行解答即可 【详解】由图像可知：当sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，5k ∴=， 当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max 538y =+=. 故选：C. 【点睛】本题是一道关于三角函数图象应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握正弦函数的图象与性质，是基础题. 8．已知函数()3f x x x =+，()2log g x x x =+，()2x h x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案. 【详解】函数3()f x x x =+的零点为函数3y x =与y x =-的图象交点的横坐标，函数2()log g x x x =+的零点为函数2log y x =与y x =-的图象交点的横坐标，函数()2x h x x =+的零点为函数2x y =与y x =-的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系内作出函数3y x =，2log y x =，2x y =与y x =-的图象如图所示：由图可知：0,0,0a b c =><，c a b ∴<<， 故选：B. 【点睛】本题主要考查的是函数零点存在性定理，考查指数函数，对数函数，幂函数的图象的应用，数形结合思想的应用，是基础题.二、多选题 9．已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．2π为()f x 的一个周期B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【解析】利用余弦函数的周期性，对称性，单调性和诱导公式直接求解即可. 【详解】 根据函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确.当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；()76f x cos x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：AD .【点睛】本题主要考查的是三角函数的周期，三角函数的对称性，函数零点的概念，三角函数的单调性，熟练掌握余弦函数的图象和性质是解决本题的关键. 10．若0a b >>，01c <<，则（ ） A ．log log c c a b < B ．a b c c > C ．c ca b >D ．()log 0c a b +>【答案】AC【解析】利用指数与指数函数，对数和对数函数的图象和性质即可判断. 【详解】A 项，因为01c <<，所以log c y x =为单调递减函数，由0a b >>得log log c c a b <，故A 正确；B 项，因为01c <<，所以xy c=为单调递减函数，由0a b >>，得a b c c <，故B 错误；C 项，因为0a b >> ，01c <<，所以1ca b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以c ca b >，故C 正确； D 项，取1,22c a b =+=，则()12log log 210c a b +==-<，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】本题主要考查对数与对数函数的图象和性质、指数与指数函数的图象和性质以及不等关系与不等式，考查学生的分析能力，是基础题.11．如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）A．经过10min点P距离地面10mB．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的1倍2C．第17min和第43min时P点距离地面的高度相同D．摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70m的min时间为203【答案】ACD【解析】求出摩天轮的周期，设出时间，求出点P上升的高度，求出点P离地面的高度，再一一判断即可.【详解】由图形知，可以以点O为原点，OP所在直线为y轴，与OP 垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，设出时间为t，由题意：(),50P t h -，40A =，20T =可得20210ππω==，故点P 离地面的高度40sin 50102h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 即t 时刻点P 离地面的高度40sin 50102h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得40cos5010h t π=+；当10min t =时，10h =，故A 正确；若摩天轮转速减半，40T =,则其周期变为原来的2倍,故B 错误；第17min P 点距离地面的高度为()1731740cos5040501010h cos ππ=+=+， 第20min P 点距离地面的高度为()4334340cos5040cos 501010h ππ=+=+， 第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同，故C 正确；摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m ，即1040cos5070t π+≥， 即1cos 102t π≥，020t ≤≤，得0210t ππ≤≤，0103t ππ∴≤≤或52310tπππ≤≤，解得1003t ≤≤或50203t ≤≤，共20min 3，故D 正确. 故选：ACD . 【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立符合条件的坐标系，得出相应的函数模型,作出正确的示意图，然后由三角函数中的相关知识进行求解，是中档题.12．已知函数()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，y D ∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称函数()f x 为“M 函数”．下列所给出的函数中是“M 函数”的有（ ） A ．2yxB ．1y x =C ．12x y -=D ．()ln 1y x =+【答案】BD【解析】根据M 函数”的定义，逐一判断各函数是否为“M 函数”即可. 【详解】由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值()f x 与y 所对应的函数值()f y 互为相反数，即()()f y f x =-，故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“M 函数”的条件.对于A 中函数的值域为[)0,+∞，值域不关于原点对称，故A 不符合题意；对于B 中函数的值域为()(),00,-∞⋃+∞，值域关于原点对称，故B 符合题意；对于C 中函数的值域为()0,∞+，值域不关于原点对称，故C 不符合题意；对于D 中函数的值域为R ,值域关于原点对称，故D 符合题意. 故选：BD . 【点睛】本题主要考查的是函数的性质，考查学生对新定义的理解，以及会求给定的函数的值域，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.三、填空题13．函数()f x =________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.14．已知tan 3α=，则2sin sin 2αα-=______． 【答案】310【解析】利用二倍角公式将sin 2α化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得.【详解】tan 3α=，22sin sin 2sin 2cos sin ααααα-=-222sin 2cos sin cos sin ααααα-=+22tan 2tan tan 1ααα-=+9691-=+310=. 故答案为：310.【点睛】本题主要考查的是二倍角正弦公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题.15．已知函数()()3x af x a +=∈R 满足()()2f x f x =-，则实数a 的值为______；若()f x 在[),m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于______．（本题第一空2分，第二空3分） 【答案】1- 1【解析】根据题意取0x =，再利用指数函数性质即可求得实数a 的值；将函数()f x 用分段函数表示，根据()f x 的单调性即可得出实数m 的最小值. 【详解】 （1）()()2f x f x =-,取0x =得，()()02f f =，233aa+∴=，即2a a =+，解得：1a =-； （2）由（1）知()1113,133,1x x x x f x x ---⎧≥==⎨<⎩， ()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增.()f x 在[),m +∞上单调递增，1m ∴≥，m 的最小值为：1.故答案为：1-；1. 【点睛】本题主要考查的是函数的概念和性质，考查学生对分段函数的理解和应用以及对函数性质的应用，考查学生的理解能力，是中档题.16．在角1θ、2θ、3θ、…、30θ的终边上分别有一点1P 、2P 、3P 、…、30P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k ︒-︒︒+︒，130k ≤≤，k ∈N ，则12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______．【解析】利用诱导公式将点k P 的坐标变为()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒-，然后根据三角函数定义可得()cos sin 15k k θ=︒-，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果. 【详解】k P ()()()15,75sin k sin k ︒-︒︒+︒，即()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒︒-︒由三角函数定义知()cos sin 15k k θ=︒-︒12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=()()sin14sin13sin 14sin 15︒+︒++-︒+-︒sin14sin13sin14sin15=︒+︒+-︒-︒sin15=-︒ ()sin 4530=-︒-︒cos45sin30sin 45cos30=︒︒-︒︒4=【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.四、解答题17．求下列各式的值： （1）31log 493232log 2log 9+- （2）()1433101227--⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 【答案】（1）94；（2）2【解析】（1）利用对数的运算性质即可求得； （2）利用分数指数幂的运算性质即可求得. 【详解】 （1）原式331219224944log log ⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭； （2）原式=14333324311212344--⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【点睛】本题主要考查的是分数指数幂的运算性质以及对数运算的性质，考查学生的计算能力，熟练掌握并应用公式是解决本题的关键，是基础题.18．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点⎝⎭． （1）求()()23cos 22sin cos 222cos sin 22ππαπααπααπ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值； （2）已知02πβ-<<，且sin β=，求()cos αβ-的值．【答案】（1）3；（2）10【解析】（1）利用任意角三角函数的定义求得tan α，再利用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可求得要求的式子的值；（2）利用任意角三角函数的定义求得sin ,cos αα，再利用同角三角函数基本关系式求得cos β，再利用两角差的余弦公式即可求得()cos αβ-的值. 【详解】（1）依题意2tan α=， 原式()2222222sin sin sin sin cos sin sin sin sin sin cos ααααααααααα--+==--1123121cos sin tan sin cos tan αααααα+++====---；（2）因为α是第一象限角，且终边过点⎝⎭，所以sin cos αα==，因为02πβ-<<，且sin β=所以cos β==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+51051010⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查的是三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、正余弦的诱导公式以及两角差的余弦公式的应用，熟练掌握这些公式是解决本题的关键，是基础题. 19．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%． （1）现有三个奖励函数模型：①()0.038f x x =+，②()0.8200x f x =+，③()20100log 50f x x =+，[]3000,9000x ∈．试分析这三个函数模型是否符合公司要求？（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？ 【答案】（1）见解析；（2）投资收益至少要达到8000万元 【解析】（1）根据公司要求知函数()f x 为增函数，同时应满足()100f x ≥且()5xf x ≤，一一验证所给的函数模型即可； （2）由2010050350log x +≥，解不等式即可. 【详解】（1）由题意符合公司要求的函数()f x 在[]3000,9000为增函数，在且对[]3000,9000x ∀∈，恒有()100f x ≥且()5x f x ≤． ①对于函数()0.038f x x =+，当3000x =时，()300098100f =<，不符合要求；②对于函数()0.8200x f x =+为减函数，不符合要求； ③对于函数()2010050f x log x =+在[]3000,10000， 显然()f x 为增函数，且当3000x =时，()2030001002050100f log >+≥；又因为()()2020900010090005010016000050450f x f log log ≤=+<+=；而300060055x ≥=，所以当[]3000,9000x ∈时，()5max minx f x ⎛⎫≤⎪⎝⎭． 所以()5xf x ≥恒成立；因此，()2010050f x log x =+为满足条件的函数模型． （2）由2010050350log x +≥得：203log x ≥，所以8000x ≥， 所以公司的投资收益至少要达到8000万元． 【点睛】本题主要考查的是函数模型的选择与运用，考查函数的单调性和最值以及恒成立问题，对数不等式的解法，考查学生的分析问题解决问题的能力. 20．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的表达式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()()0f x g x a +-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）3,23⎡⎣ 【解析】(1)利用函数的图象得到,A T ，求出ω，利用函数图象经过的特殊点，求出ϕ，即可求出函数()f x 的解析式； （2）根据函数平移关系求出函数()g x 的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可. 【详解】（1）由题图可知2A =，11521212T ππ=-，所以T π=，所以222T ππωπ===， 将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()22f x sin x ϕ=+， 得()5262k k Z ππϕπ+=+∈，即()23k k Z πϕπ=-∈， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()223f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． （2）依题意()222263g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，方程()()0f x g x a +-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，即方程()()f x g x a +=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解．令()22223223h x sin x sin x sin x x π⎛⎫=-+=⎪⎝⎭12222sin x cos x ⎫=-⎪⎪⎭26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()h x 的值域为⎡⎣，所以实数a 的取值范围为⎡⎣．【点睛】本题主要考查的是三角函数的解析式的求法、三角函数图象变换以及正弦三角函数图象和性质的应用，方程根的存在性，体现了转化的数学思想，考查学生的计算能力，是中档题.21．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．22cos 15cos 15sin15︒︒︒+︒；()()22cos 80cos 50sin 50︒+-︒︒-︒； ()()22cos 170cos 140sin 140︒+-︒︒-︒．（1）求出这个常数；（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．【答案】（1）74；（2）见解析【解析】（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解. （2）根据30αβ+=︒将β用α表示，再利用两角差的余弦、正弦展开化简即可证明.【详解】（1）2215151515cos cos sin ︒+︒︒︒2221515cos =︒-︒)130130cos cos =+︒-︒7112224=+--=⎝⎭；（2）推广：当30αβ+=︒时，2274cos cos sin αβαβ+-=． 证明：∵30αβ+=︒，∴30βα=︒-，22cos cos sin αβαβ+()()223030cos cos sin αααα=+︒-︒-22112222cos sin cos sin αααααα⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222313442cos cos sin sin sin sin αααααααα=+++22777444cos sin αα=+=． 【点睛】本题主要考查的是二倍角公式，两角差的正弦、余弦公式，以及特殊角的三角函数值，归纳推理，考查的是学生的计算能力，要求学生熟练应用三角恒等变换，是中档题. 22．已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数． （1）求实数k 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m <<【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明； （3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为,22m m ln m ln m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+∞上递增，程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，可得m 的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性.【详解】（1）因为函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=， 即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln 1x f x x -=+的定义域关于原点对称． 所以1k =为满足题意的值．（2）结论：()f x 在(),1-∞，()1,+∞上均为增函数． 证明：由（1）知()1ln 1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-+∞，任取12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则()()()()()()11212222111111ln 111ln 1ln x x x x f x f x x x x x --+=+--=++--，因为()()()()()121212111120x x x x x x -+-+-=-<，又()()12110x x +->， 所以()()()()1212110111x x x x -+<<+-，所以()()()()()()12121211ln 011x x f x f x x x -+-=<+-， 即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上为增函数．同理，()f x 在(),1-∞上为增函数．（3）由（2）知()f x 在()1,+∞上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩， 即,αβ是方程112x m mx x -=-+的两实根， 问题等价于方程211022m m mxx ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根， 令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =- 则()201112414102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩， 即0205229m m m m >⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎩或，解得209m <<．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.。

山东省烟台二中2018-2019学年高一化学上学期冬学竞赛试题可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Fe 56 Cu 64 一．选择题（每题只有一个正确选项，每题3分共54分）1.下列说法正确的是( )A．人工可以将石墨转化为金刚石，该变化是物理变化B．氯、钠、氮、硫在自然界中既有游离态，又有化合态。

C．金刚石、石墨和C60是碳元素的同素异形体,它们的物理性质差别很大，是因为他们各自的原子排列不同D．硫单质俗称硫黄，通常状况下是一种易溶于酒精，不溶于水的淡黄色固体2.下列物质中，不能由单质直接化合生成的是（）①CuS ②FeS ③SO3④H2S ⑤FeCl2A．①③⑤B．①②③⑤C．①②④⑤D．全部3.下列有关物质保存方法不正确的是（）A．浓硝酸应保存在棕色试剂瓶中，并置于阴凉处B．钠、钾保存在煤油中。

C．保存FeCl3溶液时，通常在溶液中加少量的单质铁D．在储存铵态化肥时应密封包装并置于阴凉处4. 下列说法中不正确的是（）①将硫酸钡放入水中不能导电，所以硫酸钡是非电解质；②氨溶于水得到的溶液氨水能导电，所以氨水是电解质；③固态的纯醋酸不导电，液态的纯醋酸可以导电；④NaHSO4在水中电离出的阳离子有氢离子，所以是酸；⑤电解质放在水中一定能导电，非电解质放在水中一定不导电；⑥酸性氧化物都能与水反应生成相应的酸。

A. ①②③B. ①②③④⑤C. ①③④D. 全部5.根据下列反应的化学方程式，判断有关物质的还原性强弱顺序是（）I2＋SO2＋2H2O＝H2SO4＋2HI 2FeCl2＋Cl2＝2FeCl3 2FeCl3＋2HI＝2FeCl2＋2HCl＋I2A．I一>Fe2＋>C1一>SO2 B．SO2>I一>Fe2＋> C1一C．Fe2＋>I一> C1一>SO2 D． C1一> Fe2＋> SO2> I一6.下列说法正确的是（）A． Cl2、SO2均能使品红溶液褪色，说明二者均有氧化性B．常温下，铝片放入浓硝酸中，无明显变化，说明铝与浓硝酸不反应C． Fe与稀HNO3、稀H2SO4反应均有气泡产生，说明Fe与两种酸均发生置换反应D．分别充满HCl、NH3的烧瓶倒置于水中后液面均迅速上升，说明二者均易溶于水7.限用一种试剂，经过一次实验就能鉴别碳酸钠、硫酸铵、氯化铵、硝酸钾四种溶液（必要时可加热），这种试剂是（）A．硝酸银溶液 B．氢氧化钠溶液 C．氢氧化钡溶液 D．盐酸8.下列说法中正确的是（）。

2019-2020学年山东省烟台市第二中学高一4月月考数学试题一、单选题1．下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②相等的线段在直观图中仍然相等③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】根据棱柱、棱台、圆锥以及直观图的概念，逐项判断即可得解.【详解】对于①，有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；如图，该几何体满足①中条件，却不是棱柱；故①错误；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，例如正方形在直观图中是邻边不等的平行四边形，故②错误；对于③，一个直角三角形绕其一直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，故③错误；对于④，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故④错误.故选：A.【点睛】本题考查了棱柱、棱台、圆锥以及直观图的概念，解题关键是对于概念的准确理解，属于基础题.2．如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是A ．8cmB ．6cmC ．()213cm +D ．()212cm +【答案】A【解析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴，长度保持不变，已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度为原来一半，据此还原几何体确定其周长即可. 【详解】由斜二测画法的规则知与x '轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y '轴上，2cm ，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为22cm ，其原来的图形如图所示， 则其周长为：()22211228cm ⎛⨯+= ⎝. 故选A ．本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化． 3．以下命题正确的是（ ）（1）过一点一定存在和两条异面直线都平行的平面；（2）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，则另一条也必与这个平面平行；（3）各面都是三角形的多面体是三棱锥；（4）一条直线平行于一个平面，则夹在它们之间的平行线段长相等. A ．（1）（2）（3）（4） B ．（2）（3）（4） C ．（3）（4） D ．（4）【答案】D【解析】举出反例可判断（1）、（3）；根据空间线线平行、线面平行的几何特征可判断（2）；根据线面平行的性质，结合平行四边形的性质可判断（4）；即可得解. 【详解】对于（1），若该点在两条异面直线的其中一条上时，不存在符合要求的平面，故（1）错误；对于（2），两条平行线中的一条直线与一个平面平行，则另一条与这个平面平行或在这个平面内，故（2）错误；对于（3），各面都是三角形的多面体有可能是由两个底面重合的棱锥组成的组合体，故（3）错误；对于（4），根据线面平行的几何特征，当线面平行时，夹在它们之间的平行线段与直线和平面的四个交点构成平行四边形，对边相等，故夹在它们之间的平行线段长相等，故（4）正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了几何体的特征和线线、线面平行的特征，属于基础题. 4．一个圆锥的轴截面为正三角形，其边长为a ，则其表面积为（ ） A ．254a π B ．2a πC ．234a π D ．214a π 【答案】C【解析】由题意结合圆锥的特征可得圆锥的母线长和底面半径，代入圆锥表面积公式即可得解. 【详解】∴圆锥的母线长l a =，底面半径2a r =， ∴圆锥的表面积()23224a a S r r l a a πππ⎛⎫=+=⋅⋅+= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查了圆锥的结构特征和表面积的计算，属于基础题. 5．已知直线,a b ，平面α，β，则下列结论正确的是（ ） A ．若//,a b b α⊂，则//a α B ．若//,//,//a b a b αβ，则//αβ C ．若,//a ααβ⊂，则//a β D ．若,a b b α⊥⊥，则//a α【答案】C【解析】根据线面、面面平行的判定和性质，逐项判断即可得解. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，故A 错误；若//a b ，//a α，b β//，则//αβ或α与β相交，故B 错误；若a α⊂，//αβ，则由面面平行的几何特征可得α与β无交点，所以a 与β无交点即//a β，故C 正确；若a b ⊥r r，b α⊥，则//a α或a α⊂，故D 错误.故选：C. 【点睛】本题考查了线面、面面平行的性质和判定，关键是对于定理的掌握，属于基础题. 6．设,a b 为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//,a b l a ⊥，则l b ⊥；②若,,//,//m a n a m b n b ⊥⊥，则//a b ；③若//,l a l b ⊥，则a b ⊥r r；④若,m n 是异面直线，//,//m a n a ，且,l m l n ⊥⊥，则l a ⊥.其中真命题的序号是（ ）【解析】由线面、面面位置关系的性质和判定，逐项判断即可得解. 【详解】若//a b ，由面面平行的性质可得一定存在两组相交直线1l 、2l a ⊂，3l 、4l b ⊂使得13//l l 、24//l l ，由l a ⊥可得1l l ⊥、2l l ⊥，故3l l ⊥、4l l ⊥，即可得l b ⊥，故①正确；若m a ⊥，n a ⊥，//m b ，//n b ，则由线面平行的性质和面面垂直的判定可得a b ⊥r r，故②错误；若l a //，l b ⊥，则由线面平行的性质和面面垂直的判定可得a b ⊥r r，故③正确； 若m ，n 是异面直线，//m a ，//n a ，则由线面平行的性质可得存在相交直线5l 、6l a ⊂，使得5//m l 、6//n l ，由l m ⊥，l n ⊥可得5l l ⊥，6l l ⊥，由线面垂直的判定可得l a ⊥，故④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.7．已知P 是ABC V 所在平面外一点，,M N 分别是,AB PC 的中点，若4,43MN BC PA ===，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o【答案】A【解析】连接AC ，取中点Q ，连接QM 、QN ，则∠QNM 即为异面直线PA 与MN 的夹角，根据数据关系即可求得夹角大小． 【详解】根据题意，画出图形如下图所示则=1=22QM BC P，=1=232QN PA P 则在MNQ ∆中，由余弦定理可得()2222313cos 2223MNQ +-∠==⨯⨯ 所以30MNQ ∠=o所以选A 【点睛】本题考查了空间异面直线夹角的求法，三角形中位线定理及余弦定理的应用，关键是通过平移得到异面直线的夹角，属于中档题．8．如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，则以下结论：①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】①由正方体的性质得BD ∥11B D ，所以结合线面平行的判定定理可得答案； ②由正方体的性质得 AC ⊥BD ，，1C C ⊥BD ，再利用线面垂直可得答案.③由正方体的性质得 BD ∥11B D ，并且结合②可得1AC ⊥11B D ，同理可得11AC CB ^，进而结合线面垂直的判定定理得到答案. 【详解】解：由正方体的性质得BD ∥11B D ，所以结合线面平行的判定定理可得：BD ∥平面11CB D ；所以①正确.由正方体的性质得 AC ⊥BD ，C C ⊥BD ，可得BD ⊥平面CC A ，所以AC ⊥BD ，所由正方体的性质得 BD ∥11B D ，由②可得1AC ⊥BD ，所以1AC ⊥11B D ，同理可得11AC CB ^，进而结合线面垂直的判定定理得到：1AC ⊥平面11CB D ，所以③正确.故选：D. 【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与有关的判定定理，本题考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题. 9．如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面，底面三角形是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．AC ⊥平面11ABB A B ．1CC 与1B E 是异面直线 C ．111//AC B ED ．1AE BB ⊥ 【答案】D 【解析】【详解】因为三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点，所以对于A ,AC 与AB 夹角为60°,即两直线不垂直，所以AC 不可能垂直于平面ABB 1A 1；对于B ,CC 1与B 1E 都在平面CC 1BB 1中不平行，故相交；所以B 错误； 对于C ,A 1C 1，B 1E 是异面直线；故C 错误；对于D ,因为几何体是三棱柱,并且侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点，所以BB 1⊥底面ABC ,所以BB 1⊥AE ,AE ⊥BC ,得到AE ⊥平面BCC 1B 1,所以AE ⊥BB 1； 故选D.10．已知直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，22BC =，若球O 的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是( )A ．16B ．15C ．82D ．83【答案】A【解析】由题，棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，利用球的表面积求得球半径，再利用外接球求得棱柱的高，最后求得体积即可. 【详解】由题，2472,32S r r ππ=== ，因为2AB AC ==，22BC =，易知三角形ABC 为等腰直角三角形， 故三棱柱的高2212()82h r BC =-= 故体积1228162V =⨯⨯⨯= 故选A 【点睛】本题考查了棱柱的外接球的问题，解题的关键是找球心的位置，求出棱柱的高，属于中档题型.11．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有（ ）C ．HF AEF V ⊥所在平面D ．HG AEF ⊥V 所在平面【答案】B【解析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA 、HE 、HF 三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH 与平面HEF 的垂直． 【详解】根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确； ∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确；∵AG ⊥EF ，EF ⊥AH ，∴EF ⊥平面HAG ，∴平面HAG ⊥AEF ，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内， ∴C 不正确；∵HG 不垂直于AG ，∴HG ⊥平面AEF 不正确，D 不正确．故选B ． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线⇔线面⇔面面，垂直关系的相互转化判断．12．在三棱锥S ABC -中，ABC V 是边长为6的正三角形，15SA SB SC ===，平面DEFH 分别与AB 、BC 、SC 、SA 交于D 、E 、F 、H ，其中,D E 分别是AB 、BC 的中点，如果直线//SB 平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为（ ）45453【答案】A【解析】由线面平行和中位线的性质可得四边形DEFH 为平行四边形，取AC 的中点O ，连接SO 、BO ，证明AC ⊥面SBO 后即可得HD DE ^，即可得解.【详解】Q 直线//SB 平面DEFH ，D ，E 分别是AB 、BC 的中点，∴//SB DH ，//SB EF ，H ，F 分别是SA 、SC 的中点， ∴////HF AC DE ，∴四边形DEFH 为平行四边形且132DE AC ==，11522DH SB ==， 取AC 的中点O ，连接SO 、BO ，Q 15SA SC ==，6AB BC ==，∴SO AC ⊥，BO AC ⊥，由SO BO O ⋂=可得AC ⊥面SBO ，∴AC SB ⊥，∴HD DE ^，∴四边形DEFH 的面积为1545322HD DE??. 故选：A.【点睛】本题考查了线面平行的性质和线面垂直的性质、判定，属于中档题.13．如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A ．2B ．33C ．43D ．32【答案】A【解析】本题主要考查几何体体积的求法，解题的关键是将不规则的几何体分别分割成规则的几何体．如图，过A ，B 两点分别作AM ，BN 垂直于EF ，垂足分别为M ，N ，连接DM ，CN ，可证得DM ⊥EF ，CN ⊥EF ，多面体ABCDEF 分为三部分，多面体的体积为V ABCDEF ＝V AMD －BNC ＋V E －AMD ＋V F －BNC ．∵NF ＝12，BF ＝1，∴BN 3 作NH 垂直BC 于点H ，则H 为BC 的中点，则NH ＝22． ∴S △BNC ＝12·BC·NH ＝12×1×22＝24． ∴V F －BNC ＝13·S △BNC ·NF ＝224， V E －AMD ＝V F －BNC ＝224， V AMD －BNC ＝S △BNC ·MN 2 ∴V ABCDEF ＝23．二、填空题 14．已知正三棱柱111ABC A B C -中，11A B CB ⊥，则1A B 与1AC 所成的角为______.【答案】2π 【解析】取AB 、11A B 的中点D 、1D ，连接CD 、1B D 、11C D 、1AD ，由正三棱柱的性质可得1CD A B ⊥，111C D A B ⊥，进而可证1A B ⊥面1CDB 可得11A B DB ⊥，再由11A B AD ⊥可证明1A B ⊥面11AD C ，即可得解.【详解】取AB 、11A B 的中点D 、1D ，连接CD 、1B D 、11C D 、1AD ，Q 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，∴CD ⊥面11ABB A ，11C D ⊥面11ABB A ， ∴1CD A B ⊥，111C D A B ⊥，又 11A B CB ⊥，1CB CD C ⋂=，∴1A B ⊥面1CDB ，∴11A B DB ⊥，Q 11//B D AD 且11B D AD =，∴四边形11B D AD 为平行四边形，∴11//B D D A ，∴11A B AD ⊥，由1111C D AD D ⋂=，∴1A B ⊥面11AD C ，∴11A B AC ⊥，故1A B 与1AC 所成的角为2π. 故答案为：2π.【点睛】本题考查了正三棱柱的特征，考查了线面垂直的判定和性质，属于中档题.15．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的外接球与内切球的半径比为______．【答案】)3312【解析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进行求解.【详解】以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体，由2PA PB PC ===，可知此长方体即为正方体.设外接圆半径为R ，则44432R ++==，设内切圆半径为r ，则内切圆的圆心到四个面的距离均为r ，由()1133ACP APB PCB ABC PCB S S S S r S AP +++⋅=⋅⋅，解得33r =+ 所以()3313233Rr +==+， 故答案为：()3312+【点睛】 本题主要考查了多面体的内切球外接球问题、等体法求距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.16．下列各图中A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB//面MNP 的图形序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）【答案】①③【解析】试题分析：•因为MN NP 与分别平行于AB 所在正方形的边，即AB 所在的平面，所以面MNP 平行于AB 所在的平面，由面面平行则线面平行得AB//面MNP;ƒ因为MN NP 与分别平行于AB 所在三棱锥的底边，即AB 所在的平面，所以面MNP 平行于AB 所在的平面，由面面平行则线面平行得AB//面MNP ．故选 .【考点】面面平行则线面平行．17．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且22EF =，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值， 其中正确结论的序号是______．【答案】①②③【解析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．【详解】对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．综上知①②③正确，故答案为①②③【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题18．如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD ,BF DE =,点M 为棱AE 的中点.（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；（2）若1,2AB BF ==,求三棱锥A CEF -的体积.【答案】(1)见解析；（2）三棱锥A CEF -的体积为23. 【解析】【详解】试题分析：（1）设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，由三角形中位线的性质可得//MN 平面EFC ，由面面垂直的性质定理可得//BD EF ，则//BD 平面EFC .最后利用面面平行的判断定理可得平面//BDM 平面EFC .（2）连接,EN FN .由几何关系可证得AC ⊥平面BDEF ，且垂足为N ， 则11122223323A CEF NEF V AC S -∆=⋅⋅==. 试题解析：（1）证明：设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，∴//MN EC .∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ，∴//MN 平面EFC .∵BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且BF DE =，∴//BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF .∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∴//BD 平面EFC .又∵MN BD N =I ，∴平面//BDM 平面EFC .（2）连接,EN FN .在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF AC ⊥.∵BF BD B ⋂=,∴AC ⊥平面BDEF ，且垂足为N ， ∴11122223323A CEF NEF V AC S -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=, ∴三棱锥A CEF -的体积为23.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求证：1AN A B ⊥.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，通过中位线定理求证四边形1PMNB 是平行四边形，进而求证；（2）连接1AB ，，设法证明11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，进而证明1A B ⊥平面1AB N ，求得1A B AN ⊥.【详解】解：（1）如图，取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，,M P Q 分别是,AC AB 的中点，//PM BC ∴，且12PM BC =，在直三棱柱11t ABC A B C -中， 11//BC B C ，11BC B C =， N Q 是11B C 的中点，∴1PM B N =，且1//PM B N ， ∴四边形1PMNB 是平行四边形，1//MN PB ∴，而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，//MN ∴平面11ABB A .（2）如图，连接1AB ，由111ABC A B C -是直三棱柱，90ABC ︒∠=，1AB AA =可知，111B C BB ⊥，1111B C A B ⊥，1111BB B A B =I ，∴11B C ⊥平面11A B BA ，111B C A B ∴⊥，又Q 侧面11A B BA 为正方形，11A B AB ∴⊥，1111AB B C B ⋂=，1A B ∴⊥平面11AB C ，又AN ⊂平面11AB C ，1A B AN ∴⊥【点睛】本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题.20．如图，四边形ABCD 是直角梯形，其中1BC CD ==，2AD =，90ADC ∠=︒．点E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折起如图，使得'A E ⊥平面BCDE ．点M 、N 分别是线段'A B 、EC 的中点．（1）求证：MN BE ⊥；（2）求三棱锥E BNM -的体积【答案】(1)见证明；(2) 124V = 【解析】（1）由四边形BCDE 为正方形，且N 是EC 的中点，得N 是BD 的中点，又M 是'A B 的中点，得//'MN A D ，由已知连线线面垂直的判定证得BE ⊥平面'A ED ，可得'BE A D ⊥，则BE MN ⊥；（2）由'A E ⊥平面BCDE ，且M 是线段'A B 的中点，得M 到底面BEN 的距离为11'22A E =，求出三角形BNE 的面积，再由等积法求三棱锥E BNM -的体积． 【详解】（1）证明：2AD =Q ,且点E 是AD 的中点∴1ED =，∵四边形ABCD 是直角梯形，1BC = ∴//ED BC ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∵1BC CD DE ===，90ADC ∠=︒∴四边形BCDE 为正方形，∵N 是EC 的中点，∴N 是BD 的中点，又M 是'A B 的中点，∴//'MN A D ，∵'A E ⊥平面BCDE∴'BE A E ⊥，又∵BE ED ⊥，且'A E ED E =I ，∴BE ⊥平面'A ED ，∴'BE A D ⊥，则BE MN ⊥；（2）解：∵'A E ⊥平面BCDE ，且M 是线段'A B 的中点，∴M 到底面BEN 的距离为11'22A E =， 又BCDE 是边长为1的正方形，∴111144BNE S ∆=⨯⨯=. ∴三棱锥E BNM -的体积111134224M BENV V -==⨯⨯=.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．。

高一数学阶段检测题一､单选题1.下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（）A. α内有无穷多条直线都与β平行B. α与β同时平行于同一条直线C. α与β同时垂直于同一条直线D. α与β同时垂直于同一个平面【答案】C【解析】【分析】利用空间几何元素的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. α内有无穷多条直线都与β平行,则α还可能和β相交，所以该选项错误；B. α与β同时平行于同一条直线，则α还可能和β相交，所以该选项错误；C. α与β同时垂直于同一条直线，则α和β平行，所以该选项正确；D. α与β同时垂直于同一个平面，则α还可能和β相交，所以该选项错误.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（）A. 630B. 615C. 600D. 570【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可.【详解】高一年级共有学生1200人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，样本中共有男生42人，则高一年级的女生人数约为：8042120057080-⨯=. 故选：D .【点睛】本题主要考查了分层抽样的运用，属于基础题.3.已知某种产品的合格率是90%，合格品中的一级品率是20%.则这种产品的一级品率为（ ） A. 18% B. 19%C. 20%D. 21%【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接求解即可.【详解】设事件A 为合格品，事件B 为一级品，则()90%,(|)20%P A P B A == 所以()()(|)90%20%18%P B P A P B A ==⨯= 故选：A【点睛】本题考查条件概率，考查基本分析求解能力，属基础题.4. 2.5PM 是空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在3335/~75/g m g m μμ之间空气质量为二级，在375/g m μ以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日 2.5PM 日均值（单位：3/g m μ）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）A. 从5日到9日， 2.5PM 日均值逐渐降低B. 这10天的 2.5PM 日均值的中位数是45C. 这10天中 2.5PM 日均值的平均数是49.3D. 从这10天的日均 2.5PM 监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是25【答案】B 【解析】 【分析】由折线图数据可判断出A 正确；由数据可计算得到中位数和平均数，知B 错误，C 正确；根据古典概型可计算得到D 正确.【详解】A 选项：5日到9日，由折线图知 2.5PM 日均值每日逐渐降低，A 正确；B 选项：这10天 2.5PM 日均值的中位数为4549472+=，B 错误； C 选项： 2.5PM 日均值的平均数为4557324982735834303349.310+++++++++=，C 正确；D 选项：10天中，空气质量为一级的有4天，则随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率为42105=，D 正确. 故选：B【点睛】本题考查根据统计图表判断命题的问题，涉及到平均数、中位数和古典概型的相关知识，属于基础题.5.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中BCF 是正三角形，22AB BC EF ==，则以下两个结论：①//AB EF ；②BF ED ⊥，（ ）A. ①和②都不成立B. ①成立，但②不成立C. ①不成立，但②成立D. ①和②都成立【答案】B 【解析】 【分析】利用线面平行的性质及勾股定理即可判断.【详解】解：∵//AB CD ，CD 在平面CDEF 内，AB 不在平面CDEF 内， ∴//AB 平面CDEF ，又EF 在平面CDEF 内，由AB 在平面ABFE 内，且平面ABFE 平面CDEF EF =，∴//AB EF ，故①对；如图，取CD 中点G ，连接BG ，FG ，由AB ＝CD ＝2EF ，易知//DE GF ，且DE ＝GF ， 不妨设EF ＝1，则222BG BC EF ===，假设BF ⊥ED ，则222FG B G F B +=，即212FG +=，即FG ＝1，但FG 的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题.6.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A.23B.13C. 1 2D.56【答案】A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和．【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163==，P (B )2163==， 又小于5偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题． 7.现对,A B 有如下观测数据记本次测试中，,A B 两组数据的平均成绩分别为,A B x x ，,A B 两班学生成绩的方差分别为2A S ，2B S ，则（ ） A. A B x x <，22B A S S <B. >A B x x ，22B A S S <C. A B x x <，22B A S S =D. >AB x x ，22B A S S =【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数以及方差的计算公式即可求解. 【详解】3456755A x ++++==，1615131417155B x ++++==，()()()()()222222354555657525A S -+-+-+-+-==，()()()()()2222221615151513151415171525BS -+-+-+-+-==，故A B x x <，22B A S S = 故选：C【点睛】本题考查了平均数与方差，需熟记公式，属于基础题.8.如图，P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，AE PC ⊥垂足为E ，点F 是PB 上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒A. BC ⊥平面P ACB. AE EF ⊥C. AC PB ⊥D. 平面AEF ⊥平面PBC【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC 选项，由面面垂直的判定可判断D.【详解】对于A ，P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，而BC ⊂底面圆面，则PA BC ⊥， 又由圆的性质可知AC BC ⊥，且=PA AC A ∩， 则BC ⊥平面P AC .所以A 正确；对于B ，由A 可知BC AE ⊥，由题意可知AE PC ⊥，且BC PC C ⋂=，所以AE ⊥平面PCB ，而EF ⊂平面PCB ，所以AE EF ⊥，所以B 正确；对于C ，由B 可知AE ⊥平面PCB ，因而AC 与平面PCB 不垂直，所以AC PB ⊥不成立，所以C 错误.对于D ，由A 、B 可知，BC ⊥平面P AC ，BC ⊂平面PCB ，由面面垂直的性质可得平面AEF ⊥平面PBC .所以D 正确； 综上可知，C 为错误选项. 故选：C.【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.二 ､多选题9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】AB【解析】【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.故选：AB.【点睛】本题考查互斥事件，解题关键是要理解互斥事件的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.10.某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A. 女生身高的极差为12B. 男生身高的均值较大C. 女生身高的中位数为165D. 男生身高的方差较小【答案】AB【解析】【分析】从茎叶图上计算极差，中位数，而均值和方差可通过茎叶图估计即可（当做也可计算实际值）．【详解】女生的极差是173-161=12，A正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B正确；女生身高中位数是166，C错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，D错．（也可实际计算均值和方差比较）．故选：AB.【点睛】本题考查茎叶图，考查学生的数据处理能力．掌握样本数据特征如极差、方差、均值、中位数是解题基础．11.下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中AB平面MNP的图形是（）点，能得出//A. B.C. D.【答案】AD 【解析】 【分析】对每个图形进行分析，根据面面平行的性质定理对A 判断．由线面平行 判定定理对D 判断，由线面相交的定义对B ，C 判断．【详解】（下面说明只写主要条件，其他略）A 如图连接AC ，可得//,//AC MN BC NP ，从而得//AC 平面MNP ，//BC 平面MNP ，于是有平面ABC //平面MNP ，∴//AB 平面MNP ，B ．如图连接BC 交MP 于点O ，连接ON ，易知在底面正方形中O 不是BC 中点（实际上是四等分点中靠近C 的一个），而N 是AC 中点，因此AB 与ON 不平行，在平面ABC 内，AB 与ON 必相交，此交点也是直线AB 与平面MNP 的公共点，直线AB 与平面MNP 相交而不平行，C.如图，连接BN ，正方体中有//PN BM ，因此B 在平面MNP 内，直线AB 与平面MNP相交而不平行，D.如图，连接CD ，可得//AB CD ，//CD NP ，即//AB NP ，直线AB 与平面MNP 平行，故选：AD【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，掌握证明线面平行的方法是解题基础．12.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ︒∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A. 在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMBB. 异面直线AD 与PB 所成的角为90°C. 二面角P BC A --的大小为45°D. BD ⊥平面PAC 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.【详解】解：如图，对于A ，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，ABD ∴是等边三角形， AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂平面PMB ， AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确.对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90°，故B 正确.对于C ，∵平面PBC平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则3BM =，3PM =，在Rt PBM △中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ︒∠=，故二面角P BC A --的大小为45°，故C 正确.对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 故选：ABC【点睛】本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.三､填空题13.已知三个事件A ，B ，C 两两互斥且0.30.60.2()()()P A P B P C ===，，，则P (A ∪B ∪C )=__________. 【答案】0.9 【解析】 【分析】先计算()P B ，再计算()P AB C【详解】0.60.4()()P B P B =⇒=()()()()0.9P A B C P A P B P C =++=故答案为0.9【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.14.正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,1,AB BC AA ===则1AC 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为 ____ ． 【答案】【解析】试题分析：连接1AC ,则11AC A ∠为1AC 与平面1111D C B A 所成角，在11Rt AC A ∆中，11111111,22,3,sin .3AA AC AC AC A ==∴=∴∠= 考点：本小题主要考查直线与平面所成角的求法，考查学生的空间想象能力与运算求解能力. 点评：求直线与平面所成的角，一般分为两大步：（1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；（2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解. 15.某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为______________，80%分位数是______________.【答案】 (1). 7 (2). 8.5 【解析】 【分析】利用极差和百分位数的概念求解. 【详解】由题意知：数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是1037-=； 所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是898.52+=. 故答案为：7，8.5.【点睛】本题主要考查极差和百分位数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 16.在四棱锥S ABCD -中，底面四边形ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，P ，Q 分别是线段BS AD ，的中点，点R 在线段SD 上，若4AS =，2AD =，AR PQ ⊥，则AR =____________. 【答案】45【解析】 【分析】取SA 的中点E ，连接,PE QE ，则//PE AB ，可证AB ⊥平面SAD ，从而可得PE ⊥平面SAD ，即可得PE AR ⊥，进而可证AR ⊥平面PEQ ，可得AR EQ ⊥，在直角ASD 中，利用等面积法即可求出AR 的长.【详解】取SA 的中点E ，连接,PE QE ，则//PE AB因为SA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，所以SA AB ⊥，又AB AD ⊥，ADSA A =，所以AB ⊥平面SAD ，所以PE ⊥平面SAD ，又AR ⊂平面SAD ，所以PE AR ⊥. 又AR PQ ⊥，PEPQ P =，,PQ PE ⊂平面PEQ ,所以AR ⊥平面PEQ ，因为EQ ⊂平面PEQ ，所以AR EQ ⊥. 因为E Q ，分别为SA AD ，的中点，所以//EQ SD ，所以AR SD ⊥, 在直角ASD 中，42AS AD ==，，所以2216425SD AS AD =++=所以AD AS AR SD ⋅===.故答案为：5【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题.四､解答题17.为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min 仰卧起坐的成绩(次数)，测试成绩如下：30 35 42 33 34 36 34 37 29 40 （1）这10名学生的平均成绩x 是多少？标准差s 是多少？（2）次数位于x s -与x s +之间有多少名同学？所占的百分比是多少？(参考数据：3.82≈14.6)【答案】（1）平均成绩：35，标准差：3.82；（2）次数位于 x s -与x s +之间的有6位同学，60%.【解析】 【分析】（1）根据平均数公式以及标准差公式分别求解即可；（2）先求x s -，x s +，再确定位于x s -与x s +之间学生人数，最后求百分比. 【详解】（1）10名学生的平均成绩为：1(30354233343634372940)3510x =+++++++++=. 方差：21(25049411143625)14.610s =+++++++++=，即标准差 3.82s =≈.（2） 35 3.8231.18x s -=-=，35 3.8238.82x s +=+=， 所以次数位于 x s -与x s +之间的有6位同学， 所占的百分比是660%10=. 【点睛】本题考查平均数、标准差、百分比，考查基本分析求解能力，属基础题.18.某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a ，b 的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；(中位数保留两位小数)（2）现用分层抽样的方法从分数在130)[140，，]140[150，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.【答案】（1）0.020a =，0.026b =，中位数：112.31；（2）815. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1、这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人列式求解a ，b 的值，再根据中位数左右两边的面积均为0.5计算即可. （2）在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示， 在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示，再利用枚举法求解即可. 【详解】（1）依题意0.046a b +=， 1000()6b a -=， 解得0.020a =，0.026b =， 中位数()0.5100.0020.0080.0140.02110112.310.026-++++≈.（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示， 在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共15种，抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b 共8种，所以8()15P A =，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.19.国家射击队的某队员射击一次，命中7~10环的概率如表所示：求该射击队员射击一次 求: （1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率． 【答案】(1)0.6;(2)0.78;(3)0.22. 【解析】分析：（1）根据互斥事件概率加法得结果，（2）根据互斥事件概率加法得结果，（3）根据对立事件概率关系求结果. 详解：记事件“射击一次，命中k 环”为A k （k∈N ，k≤10），则事件A k 彼此互斥．（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P （A ）=P （A 9）+P （A 10）=0.32+0.28=0.60（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生.由互斥事件概率的加法公式得P （B ）=P （A 8）+P （A 9）+P （A 10）=0.18+0.28+0.32=0.78（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P （B ）=1-P （B ）=1-0.78=0.22点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B 互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).20.如图，四棱锥S ABCD -的侧面SAD 是正三角形，//AB CD ，且AB AD ⊥，24AB CD ==，E 是SB 中点.（1）求证：//CE 平面SAD ；（2）若平面SAD ⊥平面ABCD ，且42=SB SACE 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）833【解析】 【分析】（1）取SA 的中点F ，连接EF ，通过证明四边形EFDC 是平行四边形，证得CE FD ，由此证得CE平面SAD .（2）取AD 中点G ，连接SG ，通过割补法，由S ACE S ABCD S ACD E ABC V V V V ----=--计算出多面体SACE 的体积.【详解】（1）取SA 的中点F ，连接EF ， 因为E 是SB 中点，所以EF AB ∥，且2AB EF =， 又因为AB CD ∥，2AB CD =，所以EF DC ，EF DC =，即四边形EFDC 是平行四边形， 所以CEFD ，又因为CE ⊄平面SAD ，FD ⊂平面SAD ， 所以CE平面SAD ；（2）取AD 中点G ，连接SG ， 因为SAD 是正三角形，所以⊥SG AD ， 因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ， 所以SG ⊥平面ABCD ，因为AB AD ⊥，所以AB ⊥平面SAD ， 所以AB SA ⊥， 故224=-=SA SB AB ，23=SG ，因为E 是SB 中点，所以点E 到平面ABCD 的距离等于12SG ， 所以多面体SACE 的体积为：S ACE S ABCD S ACD E ABC V V V V ----=--11113332=⋅-⋅-⋅ABCD ACDABCS SG S SG S SG 124111234424432222+⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭ 83=.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查锥体体积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A ：“两数之和为8”，事件B ：“两数之和是3的倍数”，事件C ：“两个数均为偶数”． （I ）写出该试验的基本事件Ω，并求事件A 发生的概率； （II ）求事件B 发生的概率；（III ）事件A 与事件C 至少有一个发生的概率． 【答案】（I ）|Ω|=36，P （A ）=536 （II ）13（III ）1136【解析】 【分析】（I ）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件A 发生的概率.（II ）根据（I ）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件B 发生的概率.（III ）根据（I ）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件A 与事件C 至少有一个发生的概率.【详解】（I ）所有可能的基本事件为：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6 ()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6 ()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6 ()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6 ()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6 ()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共36种.其中“两数之和为8”的有()()()()()2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5种，故()536P A =. （II ）由（I ）得“两数之和是3的倍数”的有()()()()1,2,1,5,2,1,2,4,()()()()3,3,3,6,4,2,4,5()(),5,1,5,4()(),6,3,6,6共12种，故概率为121363=. （III ）由（I ） “两个数均为偶数”的有9种，“两数之和为8”的有()()()()()2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5种，重复的有 ()()()2,6,4,4,6,2三种，故事件A 与事件C 至少有一个发生的有95311+-=种，概率为1136. 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题. 22.如图1，等腰梯形ABCD 中，//,,60AD BC AB AD ABC ︒=∠=，E 是BC 的中点.将ABE △沿AE 折起后如图2，使二面角B AE C --成直二面角，设F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中 点.（1）求证：AE BD ⊥；（2）求证：平面PEF ⊥平面AECD ；（3）判断DE 能否垂直于平面ABC ，并说明理由.【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析（3）DE 与平面ABC 不垂直，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明AE BD ⊥，只需证明AE ⊥平面BDM ，利用ABE △与ADE E 是等边三角形，即可证明；（2）证明平面PEF ⊥平面AECD ，只需证明PN平面AECD ，只需证明BM ⊥平面AECD 即可；（3）DE 与平面ABC 不垂直.假设DE ⊥平面ABC ，则DE AB ⊥，从而可证明DE ⊥平面ABE ，可得DE AE ⊥，这与60AED ︒∠=矛盾.【详解】（1）证明：设AE 中点为M ，连接BM ，∵在等腰梯形ABCD 中， // AD BC ，AB AD =，60ABC ︒∠=，E 是BC 的中点，∴ABE △与ADE 都是等边三角形. ∴BM AE ⊥， DM AE ⊥.∵ BM DM M ⋂=，BM ､DM ⊂平面BDM ， ∴AE ⊥平面BDM .∵BD ⊂平面BDM ，∴AE BD ⊥.（2）证明：连接CM 交EF 于点N ，∵ // ME FC ， ME FC =，∴四边形MECF 是平行四边形，∴N 是线段CM 的中点. ∵P 是BC 的中点，∴//PN BM . ∵BM ⊥平面AECD ，∴PN 平面AECD .又∵PN ⊂平面PEF ， ∴平面PEF ⊥平面AECD . （3）解：DE 与平面ABC 不垂直.证明：假设DE ⊥平面ABC ，则DE AB ⊥，∵BM ⊥平面AECD ，∴BM DE ⊥. ∵=ABBM B ，AB ､BM ⊂平面ABE ，∴DE ⊥平面ABE .∵AE ⊂平面ABE ，∴DE AE ⊥，这与60AED ︒∠=矛盾. ∴DE 与平面ABC 不垂直.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查证明面面垂直，掌握面线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题关键，解题时注意定理的灵活运用，即线线垂直与线面垂直、面面垂直的相互转化.。

2019~2020学年度高一年级模块检测试题高一数学满分150分时间:120分钟第Ⅰ卷(选择题,共55分)一、选择题(本题共计13小题,1-10为单选题,只有一个正确选项,每题4分,11-13题为多选题,至少每一个正确选项,每题5分)1.(★)已知集合A={1,2,3,6,9},B={3x|x∈A},C={x∈N|3x∈A},则B∩C等于( )A.{1,2,3}B.{1,6,9}C.{1,6}D.{3}1.考点集合的交集运算.解析∵A={1,2,3,6,9},∴B={3x|x∈A}={3,6,9,18,27},C={x∈N|3x∈A}={1,2,3},∴B∩C={3}.答案 D2.(★)若1a <1b<0,则下列不等式:①ab<b2;②a2>b2;③a+b<ab.其中成立的个数是( )A.1B.2C.3D.02.考点不等式的性质.解析∵1a <1b<0,∴b<a<0,∴ab<b2,a2<b2,即①正确,②错误.∵a+b<0,ab>0,∴a+b<ab,∴③正确.故选B.答案 B3.(★)已知a,b∈R,则a>|b|是a|a|>b|b|的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.考点充分条件与必要条件的判断;不等式的性质.解析充分性:∵a>|b|,∴|a|>|b|.当|a|>|b|,a>b>0时,由不等式的性质可得,a|a|>b|b|;当|a|>|b|,a>0>b时,a|a|>0,b|b|<0,∴a|a|>b|b|,∴充分性成立.必要性:∵a|a|>b|b|,∴可取a=-1,b=-2,此时a<|b|,∴必要性不成立.综上,a>|b|是a|a|>b|b|的充分不必要条件.答案 A4.(★)已知命题p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是( )A.a<1B.a≤1C.a>1D.a≥14.思路分析p为假命题,则非p为真命题,写出非p,从而可求得a的取值范围.解析∵p为假命题,∴非p:∀x>0,x+a-1≠0为真命题.∵x+a-1≠0,∴x≠1-a.∵x>0,∴1-a≤0.∴a≥1.答案 D5.(★)如图所示,全集U是实数集R,M={x|x2>4},N={x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}5.考点Venn图思路分析先将图形语言转化为符号语言,再求阴影部分表示的集合.解析阴影部分表示的集合为N∩(∁UM).∵M={x|x2>4}={x|x>2或x<-2},∴∁U M={x|-2≤x≤2}.∵N={x|1<x<3},∴N∩(∁UM)={x|1<x<3}∩{x|-2≤x≤2}={x|1<x≤2}.即阴影部分表示的集合为{x|1<x≤2}.故选C.答案 C6.(★)已知-1<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C=11+a,比较A,B,C的大小,结果为( )A.A<B<CB.B<C<AC.A<C<BD.B<A<C6.考点 不等式性质的应用,作差法比较大小.思路分析 可先分析出A,B,C 的范围,不能比较大小的,再作差. 解析 ∵-1<a<0,∴0<a 2<1,0<1+a<1, ∴1<A=1+a 2<2,0<B=1-a 2<1,C=11+a >1. ∴B<A,B<C.下面比较A 与C 的大小: A-C=1+a 2-11+a =(1+a 2)(1+a)-11+a=a 3+a 2+a 1+a=a(a 2+a+1)1+a.∵-1<a<0,∴0<1+a<1,34<a 2+a+1<1, ∴a(a 2+a+1)1+a<0,即A<C.综上,B<A<C.故选D.答案 D小题巧解 本题可取特殊值验证.∵-1<a<0,∴可取a=-12,此时A=54,B=34,C=2,故B<A<C.故选D. 7.(★)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a +1b ≤1 C.√ab ≥2 D.1a 2+b 2≤18 7.考点 基本不等式. 解析 ∵a>0,b>0,a+b=4, ∴a+b=4≥2√ab ,∴√ab ≤2, 当且仅当a=b=2时取等号,故C 错误; ∵√ab ≤2,∴ab ≤4,∴1ab ≥14,故A 错误; 1a +1b =a+bab =4ab≥1,∴B 错误; 1a 2+b 2=1(a+b)2-2ab =116−2ab ,∵ab≤4,∴16-2ab≥8,∴116−2ab ≤18,故D正确.故选D.答案 D一题多解可取特殊值,利用排除法求解.∵a>0,b>0,a+b=4,∴可取a=1,b=3,此时1ab =13<12,排除A;1a+1b=43>1,排除B;√ab=√3<2,排除C.故选D.8.(★★)若两个正实数x,y满足1x +4y=1,且存在这样的x,y使不等式x+y4<m2+3m有解,则实数m的取值范围是( )A.-1<m<4B.-4<m<1C.m<-4或m>1D.m<-3或m>08.考点利用基本不等式求参数的取值范围.思路分析存在x,y使不等式有解→m2+3m>(x+y4)min→利用基本不等式求出x+y4的最小值→解关于m的一元二次不等式.解析存在x,y使不等式x+y4<m2+3m有解,∴m2+3m>(x+y4)min.∵x,y均为正实数,1x +4y=1,∴x+y4=(x+y4)(1x+4y)=2+y4x+4xy≥2+2√y4x·4xy=4,当且仅当x=2,y=8时,取等号.∴m2+3m>4,解得m<-4或m>1.故选C.答案 C9.(★★★)在R上定义运算“”:x y=x(1-y).若存在实数x,使得不等式(x-m)(x+m)>1成立,则实数m的取值范围是( )A.{m|-32<m<12}B.{m|-12<m<32}C.{m|-32<m<52}D.{m|m>32或m<-12}9.考点 新定义与一元二次不等式的解法.思路分析 先根据新定义运算将(x-m)(x+m)表示出来,再解不等式.解析 根据新定义得(x-m)(x+m)=(x-m)[1-(x+m)],故原不等式可化为(x-m)[1-(x+m)]>1,化简得x 2-x-m 2+m+1<0,即该不等式有解,∴该不等式对应的一元二次方程有两个不等的实根,即Δ=1-4(-m 2+m+1)>0,整理得4m 2-4m-3>0,解得m>32或m<-12.故选D. 答案 D易错警示 本题易错之处在于不等式x 2-x-m 2+m+1<0有解转化为对应的一元二次方程有两个不等的实根,而不是有实根.10.(★★)关于x 的不等式x 2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有3个正整数,则实数m 的取值范围为( )A.{m|5<m ≤6}B.{m|5<m<6}C.{m|2<m ≤3}D.{m|2<m<3} 10.考点 含参数的一元二次不等式.思路分析 x 2-(m+2)x+2m<0可化为(x-2)(x-m)<0,令y=(x-2)(x-m),作出图象,由图象得结果.解析 x 2-(m+2)x+2m<0可化为(x-2)(x-m)<0,令y=(x-2)(x-m),作出其图象,如图所示.由图可得,若使原不等式有3个正整数解,则必有m>2,这3个正整数解为3,4,5.∴5<m ≤6.故选A. 答案 A易错警示 注意端点值的取舍,弄不清时,可将端点值代入验证.11.(★★)已知不等式ax 2+bx+c>0的解集为x |-12<x<2,则下列结论正确的是( ) A.a>0 B.a-b+c>0 C.c>0 D.a+b+c>0 11.考点 三个二次之间的关系.解析 ∵ax 2+bx+c>0的解集为{x |-12<x <2},∴a<0,且-12,2为方程ax 2+bx+c=0的两个根. ∴-12×2=-1=ca <0,∴c>0.∴A 错误,C 正确.作出y=ax 2+bx+c 的图象,由图象可得当x=-1时,y<0,当x=1时,y>0,即a-b+c<0,a+b+c>0,故B 错误,D 正确.故选CD. 答案 CD思想方法 数形结合思想是解决本题的一个重要思想,如何将数与形进行合理转化是解决本题的一个关键,B 、D 选项是根据当x=-1与x=1时y 的值的情况进行判断的. 12.(★★)设a 、b 为正实数,下列命题正确的是( ) A.若a 2-b 2=1,则a-b<1 B.若1b -1a =1,则a-b<1 C.若|√a -√b |=1,则|a-b|<1D.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab| 12.考点 不等式的性质.解析 对于A,∵a 2-b 2=1,∴a 2-1=b 2,即(a+1)(a-1)=b 2. ∵a+1>a-1,∴a-1<b,即a-b<1.故A 正确.对于B,∵1b -1a =1,∴可取a=7,b=78,此时a-b=7-78>1,故B 错误. 对于C,∵|√a -√b |=1,∴可取a=9,b=4,此时|a-b|=5>1,故C 错误. 对于D,∵|a|≤1,|b|≤1,∴a 2≤1,b 2≤1. ∵|a-b|≥0,(1-ab)2≥0,(a-b)2-(1-ab)2=a 2+b 2-2ab-(1-2ab+a 2b 2) =a 2+b 2-a 2b 2-1=a 2(1-b 2)+b 2-1=(a 2-1)(1-b 2), ∵a 2≤1,b 2≤1,∴a 2-1≤0,1-b 2≥0, ∴(a 2-1)(1-b 2)≤0,∴(a-b)2≤(1-ab)2.∴|a-b|≤|1-ab|,故D 正确.故选AD. 答案 AD点评 对于小题来说,若是错误选项,可用特殊值法验证,若是正确选项,则必须有严谨的证明过程.13.(★★★)设a,b 是正实数,下列不等式中正确的是( ) A.√ab >2aba+b B.a>|a-b|-b C.a 2+b 2>4ab-3b 2 D.ab+2ab >2 13.考点 基本不等式解析 对于A,不妨取a=b=2,则√ab =2,2aba+b =2,此时√ab =2aba+b ,故A 错误.对于B,当a ≥b>0时,a>|a-b|-b ⇔a>a-b-b ⇔0>-2b.成立;当b>a>0时,a>|a-b|-b ⇔a>b-a-b ⇔2a>0,成立.故B 正确.对于C,不妨取a=2,b=1,则a 2+b 2=5,4ab-3b 2=5,此时a 2+b 2=4ab-3b 2,故C 错误. 对于D,∵a>0,b>0,∴ab+2ab ≥2√2>2,当且仅当ab=√2时,取等号,故D 正确. 答案 BD第Ⅱ卷(非选择题,95分)二、填空题本题共计4小题,每题5分14.(★)已知正实数x,y 满足xy+x+2y=4,则xy 的最大值为 . 14.考点 基本不等式.思路分析 用y 表示出x,由x>0得出y 的范围,表示出xy,再由基本不等式求解. 解析 ∵xy+x+2y=4,∴x=4−2y y+1,∵x>0, ∴4−2yy+1>0,又y>0,∴0<y<2. ∴xy=y(4-2y)y+1=-2y+1+3y+1+8≤-2×2√(y +1)·3y+1+8=8-4√3,当且仅当x=2√3-2,y=√3-1时,取等号,即xy 的最大值为8-4√3. 答案 8-4√3一题多解xy+x+2y=4≥xy+2√2xy,当且仅当x=2y时,取等号.令t=√xy,则t>0,有t2+2√2t-4≤0,解得0<t≤√6-√2,∴0<t2≤8-4√3,即0<xy≤8-4√3.故xy的最大值为8-4√3.15.(★★)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<2},则关于x的不等式ax+cx+b<0的解集为.15.考点一元二次不等式的解法.解析∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<2},∴a<0,且-1,2是方程ax2+bx+c=0的两个根,∴-ba =1,ca=-2,即a<0,b=-a,c=-2a.∴关于x的不等式ax+cx +b<0可化为ax-2ax-a<0,即x-2x-1>0.当x>0时,不等式可化为x2-x-2>0,解得x<-1或x>2,即x>2;当x<0时,不等式可化为x2-x-2<0,解得-1<x<2,即-1<x<0.综上,不等式ax+cx+b<0的解集为{x|-1<x<0或x>2}.答案{x|-1<x<0或x>2}解题关键解本题的关键是根据一元二次不等式与其对应的方程的关系,根与系数的关系得出a的范围及b、c与a的关系,进而可约去所求不等式中的参数.16.(★★)若“x∈{3,a}”是“不等式2x2-5x-3≥0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.16.考点充分条件与必要条件;一元二次不等式.思路分析由题意得,3与a均为不等式2x2-5x-3≥0的解集中的元素,进而求得a的取值范围. 解析∵“x∈{3,a}”是“不等式2x2-5x-3≥0”的充分不必要条件,∴3与a均为不等式2x2-5x-3≥0的解集中的元素.∵2x2-5x-3≥0的解集为x|x≥3或x≤−12,∴a∈x|x≥3或x≤−12,又集合中的元素具有互异性,∴a≠3,∴a的取值范围为a|a>3或a≤−12.答案a|a>3或a≤−12易错警示①由“x∈{3,a}”是“不等式2x2-5x-3≥0成立”的充分不必要条件得到的是3与a均为不等式2x2-5x-3≥0解集中的元素,而不是有且仅有一个是不等式2x2-5x-3≥0解集中的元素.②集合中的元素具有互异性,故a≠3.17.(★★)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒,65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,当保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.17.考点不等式的应用.思路分析(1)由题意可得顾客一次购买的总金额减去x,可得所求数值;(2)在促销活动中,设订单总金额为m元,可得(m-x)×80%≥m×70%,解不等式,结合恒成立思想,可得x的最大值.解析(1)当x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,可得60+80=140(元),即顾客需支付140-10=130(元).,由题意可得m≥(2)在促销活动中,设订单总金额为m元,可得(m-x)×80%≥m×70%,即x≤m8120,≤15,即x的最大值为15.∴x≤1208答案130;15解题关键在(2)中,重点是找到m的取值范围,进而可得出x的范围.三、解答题(本大题共6小题,满分75分)18.(★★)(10分)已知集合A={x|1<x<5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.A)∪B;(1)若m=3,求(∁R(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.18.考点已知集合间的关系,求参数的取值范围思路分析(1)由m=3得到集合B,再求(∁A)∪B.R(2)由A∪B=A得,B⊆A,从而得m的取值范围.解析(1)当m=3时,B={x|4≤x≤5}.(1分)∵A={x|1<x<5},∴∁RA={x|x≤1或x≥5}.(2分)∴(∁RA)∪B={x|x≤1或x≥5}∪{x|4≤x≤5}={x|x≤1或x≥4}.(4分)(2)∵A∪B=A,∴B⊆A.(5分)当B=⌀时,m+1>2m-1,得m<2;(7分)当B≠⌀时,{m+1≤2m-1,m+1>1,2m-1<5,∴{m≥2,m>0,m<3,即2≤m<3.(9分)综上,m的取值范围为{m|m<3}.(10分)易错警示本题易漏掉B为⌀的情况.19.(★★)(12分)求关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根中至少有一个负实数根的充要条件.19.考点含参数的一元二次方程的根的问题.思路分析先求出方程ax2+2x+1=0的实根中至少有一个负实数根的必要条件,再验证充分性即可.解析当a=0时,方程为2x+1=0,解得x=-12,满足条件.(2分)当a≠0时,若有两个相等的实数根,则Δ=4-4a=0,得a=1,此时方程为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,满足条件;(4分)若有两个不等的负根,则{Δ=4−4a>0,1a>0,-2a<0,得0<a<1;(6分)若有一正一负两根,则{Δ=4−4a>0,1a<0,得a<0.(8分)综上,a≤1.即a≤1是方程ax2+2x+1的实根中至少有一个负根的必要条件.(9分)经验证,当a≤1时,方程ax2+2x+1=0的实根中至少有一个负根,即a≤1是方程ax2+2x+1=0的实根中至少有一个负根的充分条件.(11分)综上,关于x的方程ax2+2x+1=0的实根中至少有一个负根的充要条件为a≤1.(12分)解题模板 解决这类问题的常规步骤为先求其必要条件,再验证其充分性,最后得出结论.其中,验证充分性是必不可少的一步.20.(★★)(12分)p:∃x ∈R,ax 2-2x-1>0;q:方程x 2+(a-3)x+a=0有两个不相等正实根.(1)若命题¬p 为真命题,求实数a 的取值范围;(2)若命题p 真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围.20.考点 命题的真假求参数的取值范围.思路分析 (1)写出¬p,由¬p 为真命题求a 的取值范围.(2)由p 为真命题求出满足条件的a,再由q 为假命题求出满足条件的a,最后两部分取交集. 解析 (1)∵p:∃x ∈R,ax 2-2x-1>0,∴¬p:∀x ∈R,ax 2-2x-1≤0.(1分)当a=0时,-2x-1≤0,得x ≥-12,不满足.(2分)当a ≠0时,有{a <0,Δ=4+4a ≤0,得a ≤-1.(4分) 综上,当¬p 为真命题时,a ≤-1.(5分)(2)由(1)知,当¬p 为真命题时,a ≤-1,∴当p 为真命题时,a>-1.(6分)当q 为真命题时,有{Δ=(a -3)2-4a>0,-(a -3)>0,a >0,解得0<a<1,(7分)∴当q 为假命题时,a ≤0或a ≥1.(9分)∴当p 真q 假时,有{a >−1,a ≤0或a ≥1,即-1<a ≤0或a ≥1.(11分) 故当p 为真命题,q 为假命题时,a 的取值范围为{a|-1<a ≤0或a ≥1}.(12分)易错警示 ①不要忘记讨论二次项系数为0的情况;②第(2)问中,最后a 应该满足2个条件,故应取两部分的交集,而不是并集.21.(★★★)(13分)已知关于x 的不等式ax 2-3x+2>0(a ∈R).(1)若不等式ax 2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},求a,b 的值;(2)解不等式ax 2-3x+2>5-ax(a ∈R).21.考点 一元二次不等式的解法.思路分析 (1)由题意得1,b 为方程ax 2-3x+2=0的解,将x=1代入方程得a 的值,再求b 的值.(2)对a的范围进行讨论,解不等式.解析(1)∵不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},∴1,b为方程ax2-3x+2=0的两个根,(1分)∴a-3+2=0,得a=1,∴不等式为x2-3x+2>0.解不等式x2-3x+2>0得x<1或x>2,∴b=2.(5分)(2)ax2-3x+2>5-ax⇒ax2+(a-3)x-3>0⇒(ax-3)(x+1)>0.(6分)当a=0时,不等式为-3(x+1)>0,得x<-1.(7分)当a>0时,不等式为(x-3a)(x+1)>0,∵3a >-1,∴x<-1或x>3a.(9分)当a<0时,不等式为(x-3a)(x+1)<0.令3a=-1,得a=-3,此时,不等式的解集为⌀;令3a >-1,得a<-3,此时-1<x<3a;令3a <-1,得-3<a<0,此时3a<x<-1.(12分)综上,当a<-3时,不等式的解集为{x|-1<x<3a}当a=-3时,不等式的解集为⌀;当-3<a<0时,不等式的解集为{x|3a<x<−1};当a=0时,不等式的解集为{x|x<-1};当a>0时,不等式的解集为{x|x<−1或x>3a}.(13分)思想方法分类讨论思想是解决本题必不可少的思想方法,分类讨论思想一方面可将复杂的问题分解为若干个简单的问题,另一方面恰当的分类可避免多值多解,从而提高全面考虑问题的能力.22.(★★★)(13分)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法限制50≤x≤100(单位:千米/小时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油(2+x 2360)升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用.22.考点 基本不等式的实际应用.思路分析 (1)总费用=油费+司机工资;(2)根据基本不等式求解.解析 (1)由题意得,行驶时间为130x 小时. 油费为130x ·(2+x 2360)·2元,(1分) 司机的工资为(130x·14)元,(2分) ∴y=130x ·(2+x 2360)·2+130x ·14 =2340x +13x 18(50≤x ≤100).(6分)(2)∵50≤x ≤100,∴y=2340x +13x18≥2√2340x ·13x 18=26√10,(10分) 当且仅当2340x =13x18,即x=18√10时,取等号.(12分)∴当x=18√10时,这次行车费用最低,为26√10元.(13分)素养提升 本题通过实际情况体现了数学建模及数学运算的核心素养.23.(★★★)(15分)已知关于x 的不等式kx 2-(k 2+4k+4)x+4k 2+16>0,k ∈R.(1)当k 变化时,试求不等式的解集A;(2)对于不等式的解集A,若满足A ∩Z=B,Z 为整数集,试探究集合B 能否为有限集?若能,求出使得集合B 中元素个数最少的k 的取值,并用列举法表示集合B;若不能,说明理由.23.考点 集合的基本运算;基本不等式;一元二次不等式.思路分析 (1)讨论k 的取值,分类求解.(2)由(1)可知,只有当k<0时,才会是有限集,再由基本不等式求出k 2+4k 的最大值,即可求出B 中元素最少时的情况,进而得解.解析 (1)kx 2-(k 2+4k+4)x+4k 2+16>0⇒[kx-(k 2+4)](x-4)>0.(1分)当k=0时,不等式为-4(x-4)>0,得x<4.(2分)当k>0时,不等式为(x-k 2+4k)(x-4)>0.令k 2+4k=4,得k=2,此时解得x≠4;令k 2+4k>4,即k>0且k≠2,此时解得x<4或x>k2+4k;令k 2+4k<4,无解.(5分)当k<0时,不等式为(x-k 2+4k)(x-4)<0,∵k 2+4k<0<4,∴k2+4k<x<4.(7分)综上,当k<0时,A={x|k 2+4k<x<4};当k=0时,A={x|x<4}; 当k=2时,A={x|x≠4};当k>0且k≠2时,A={x|x<4或x>k 2+4k}.(8分)(2)由(1)知,当k≥0时,A∩Z为无限集,∴k<0.(9分)∴k 2+4k=k+4k=-(-k+4-k)≤-2√(-k)·4-k=-4,(11分)当且仅当k=-2时,取等号.(12分)∴(k 2+4k)max=-4,∴A={x|-4<x<4},∴A∩Z={-3,-2,-1,0,1,2,3}.(14分)综上,当k=-2时,B中元素个数最少,且B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.(15分)主编点评本题综合性强,综合了集合的基本运算,基本不等式及一元二次不等式的内容,且用到了分类讨论的思想方法,体现了逻辑推理的核心素养.。

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若111tan tan tan A B C +=，则2223a b c++的最小值是（ ） A ．5 B ．8C ．7D ．62．已知，，，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知函数1ln ,01()ln ,1x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩，若函数()()g x a f x x =⋅-在(0.16]上有三个零点，则a 的最大值为（ ） A.2ln 2B.ln 22C.4ln 2D.ln 244．设函数222,1()32,1x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+≥⎩，若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1[2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,1(2,)2⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭5．已知是定义在R 上的单调函数，满足，且，若，则a 与b 的关系是 A ．B ．C ．D ．6．若函数()y f x =的图像位于第一、二象限，则它的反函数1()y f x -=的图像位于（ ） A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第二、三象限D ．第一、四象限7．若向量(sin 2,sin 1)a αα=-v，(1,1sin )b α=+v ，且tan()34πα+=-，则a b ⋅r r 的值是（ ）A ．1B ．35C ．53D ．1-8．已知，则（ ）A.B. C.D.39．点(2,5)P 关于直线1x y +=的对称点的坐标是( ) A.(5,2)--B.(4,1)--C.(6,3)--D.(4,2)--10．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于211．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP OA =+u u u v u u u v λAB ACAB AC ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v ，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．关于x 的不等式2322xxx -+>的解集为_________． 14．已知()sin[(1)]3cos[(1)]33f x x x ππ=+-+，则(1)(2)(2019)f f f +++=L ______.15．运行如图所示的程序，输出结果为___________.16．函数()sin 2y A x πωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭部分图象如图，则函数解析式为y =______.三、解答题17．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.18．已知在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，//AB CD ，2AB =，22BC =，4CD =，PD PC =，E 为PC 的中点.（1）求证：//BE 平面PAD ；（2）若PB 与平面ABCD 所成角（直线PB 与其在平面ABCD 上正投影相交形成不大于090的角）为045，求四棱锥P ABCD -的体积.19．等差数列{}n a 的各项均为正数，，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，，且．（1）求n a 与n b ；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 20．已知函数，设其最小值为（1）求；（2）若，求a 以及此时()f x 的最大值.21．已知函数()f x 的定义域为D ，对于给定的()k k ∈*N ，若存在[,]a b D ⊆，使得函数()f x 满足：① 函数()f x 在[,]a b 上是单调函数；② 函数()f x 在[,]a b 上的值域是[,]ka kb ，则称[,]a b 是函数()f x 的k 级“理想区间”.(1)判断函数21()f x x =，2()sin f x x =π是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）(2) 证明：函数()xf x e =存在3级“理想区间”；（ 2.71828e =L ）(3)设函数24()1xg x x =+，[0,1]x ∈，若函数()g x 存在k 级“理想区间”，求k 的值. 22．一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下： 温度/x C ︒ 20 25 30 35 产卵数y /个520100325（1）根据散点图判断y bx a =+与212kQqmgLμ=哪一个更适宜作为产卵数y 关于温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（数字保留2位小数）； （3）要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少C ︒以下？（最后结果保留到整数） 参考数据：27.5x =，112.5y =， 3.75z =，412375xy =，4412.5xz =，243025x =，4114975i ii x y==∑，41447.8i i i x z ==∑，4213150i i x ==∑，ln50 3.91=，一、选择题13．(,1)(3,)-∞-+∞U14．15．1 16．12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭三、解答题17．（1cos 1A C -=；（2）14. 18．（1）详略（2）4 19．（1）；（2）20．（1）（2），21．（1）略；（2）略；（3）2k =或3k = 22．（I ）选择bx ay e+=更适宜作为产卵数y 关于温度x 的回归方程类型； （II ）0.28 3.95x y e-=；（III ）要使得产卵数不超过50，则温度控制在28 C ︒以下.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-L L()()2462cos 112!4!6!2!n n x x x xx n -=-+-++-+L L其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯L ，例如：1!12!23!6===，，。

山东省烟台市2019-2020学年高一上学期数学第二次月考试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·淮南模拟) 若集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·海珠期末) 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·荔湾期中) 已知函数f（x）=，则（）．A .B .C .D .4. （2分）平面过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A， //平面CB1D1 ，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高一上·霍邱期末) 已知f（x）=3x+3﹣x ，若f（a）=3，则f（2a）等于（）A . 3B . 5C . 7D . 96. （2分） (2016高二上·杭州期中) 有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A . 棱台B . 棱锥C . 棱柱D . 都不对7. （2分）已知，则m,n之间的大小关系是（）A . m>nB . m<nC . m=nD .8. （2分） (2016高一上·上饶期中) 设f（x）= ，则f（f（﹣2））的值为（）A . 3B . 6C . 9D . 129. （2分） (2016高一上·成都期中) 设α∈{﹣3，﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，则使y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，若S△AEF=6cm2 ，则S△ADF为（）A . 54cm2B . 24cm2C . 18cm2D . 12cm211. （2分）函数f(x)=的零点所在的区间是（）A .B . （， 1）C . （1，）D . （， 2）12. （2分） (2016高一上·高青期中) f（x）= 是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A . [ ，）B . [0， ]C . （0，）D . （﹣∞， ]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·浙江期中) 设函数的定义域为A，函数y=ln（1-x）的定义域为B，则A=________；A∩B=________．14. （1分） (2016高一上·上杭期中) 若函数f（x）=logax（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x﹣1）＜f（2﹣x）的解集是________.15. （1分） (2018高二上·黄山期中) 在三棱锥中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD 与BC所成的角是，那么为________．16. （1分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图，则这块菜地的面积为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：（1） E、C、D1、F、四点共面；（2） CE、D1F、DA三线共点．18. （15分）已知集合A={x|ax2﹣4x+4=0，a∈R}至多有一个真子集，求a的取值集合．19. （5分）设y1＝，y2＝，其中a>0，且a≠1，试确定x为何值时，有：（1） y1＝y2；（2） y1>y2.20. （5分） (2015高一下·厦门期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）证明：平面EFG⊥平面PAD；（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．21. （10分） (2019高一上·荆州期中) 已知2≤x≤16，求函数的最大值与最小值．22. （10分） (2016高一上·澄海期中) 设a＞0，是R上的函数，且满足f（﹣x）=f（x），x∈R．（1）求a的值；（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。