沪教版(上海)数学高三上册-16.2 排列 课件精品课件PPT
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高中数学沪教版高三上册《排列》课件(2)
一位数 五位数
5
二位数 4 4 三位数 4 P42
四位数 4 P43
4 P44
将这些无重复的自然数按由小到大次序排列2314是第 ______ 109P32
2 1
例6、将数字1， 2， 3， 4填入标号为一，二，三，四的4个方格里，每格填一个
资料来源：3A备课网--整册备课资料打包下载
https:///
12 例1、用 1， 2， 3， 4四个数字组成无重复数字的四位奇数的个数是______ 2 3! 例2、从6名运动员中选4人参加4 100米接力，如果甲、乙两人都不能跑
240 种不同的参赛方法. 第一棒，那么共有 ______
4
3 1直接法 4 P 5
P53 3 2间接法 P64 2 P 5
10在1， 3之间 22或4在1， 3之间
1 2 4 3
1
0
3
2 3 ！ 2 2 2 2！
例10、书架上有6本书排成一列，现放上3本书，要保持原有书的相对顺序 9! 504 种不同的方法. 不变，则有______ 6!
210 种. 若后放入3本书都不相邻的有______
P73
2、小结： 求解排列数的基本方法。
2 位数. 1卡片6不出现 7 P 7 2 )2 2卡片6出现 ( 8 P 8
例8、若将互不相同的4本语文书， 3本数学书和2本外语书随机地并列排在书
1728 架上，则语文书相邻，数学书互不相邻，外语书也不相邻的放法有______
种；
3 ！ ！ 23 4！
例9、若用0， 1， 2， 3，这五个数字组成没有重复的五位数，则得到的五位数恰有 4 30 个. 一个偶数数字夹在两个奇数之间的有______
5
二位数 4 4 三位数 4 P42
四位数 4 P43
4 P44
将这些无重复的自然数按由小到大次序排列2314是第 ______ 109P32
2 1
例6、将数字1， 2， 3， 4填入标号为一，二，三，四的4个方格里，每格填一个
资料来源：3A备课网--整册备课资料打包下载
https:///
12 例1、用 1， 2， 3， 4四个数字组成无重复数字的四位奇数的个数是______ 2 3! 例2、从6名运动员中选4人参加4 100米接力，如果甲、乙两人都不能跑
240 种不同的参赛方法. 第一棒，那么共有 ______
4
3 1直接法 4 P 5
P53 3 2间接法 P64 2 P 5
10在1， 3之间 22或4在1， 3之间
1 2 4 3
1
0
3
2 3 ！ 2 2 2 2！
例10、书架上有6本书排成一列，现放上3本书，要保持原有书的相对顺序 9! 504 种不同的方法. 不变，则有______ 6!
210 种. 若后放入3本书都不相邻的有______
P73
2、小结： 求解排列数的基本方法。
2 位数. 1卡片6不出现 7 P 7 2 )2 2卡片6出现 ( 8 P 8
例8、若将互不相同的4本语文书， 3本数学书和2本外语书随机地并列排在书
1728 架上，则语文书相邻，数学书互不相邻，外语书也不相邻的放法有______
种；
3 ！ ！ 23 4！
例9、若用0， 1， 2， 3，这五个数字组成没有重复的五位数，则得到的五位数恰有 4 30 个. 一个偶数数字夹在两个奇数之间的有______
沪教版(上海)数学高三上册-16.2 排列 教案
教学教案
课题排列
课时1课时课型新授课
教学目标知识与技能：能解决有限制条件的排列问题
过程与方法:通过实际问题，体验“特殊元素、特殊位置优先排，插空法，捆绑法”，加深对排列问题的理解
情感态度与价值观：体验数学源于生活，进一步培养数学兴趣，提高学生分析和解决问题的能力，培养学生勇于探究的精神，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。
教学重点解决有限制条件的排列问题
教学难点解决有限制条件的排列问题时，各种方法的灵活应用
教具多媒体（PPT）
教学方法探究、引导式教学法
教学内容
一、复习旧知
二、1、排列的定义：
从n个不同元素中，任取m( )个元素（m个元素不可重复取）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.。
沪教版——16.2排列(2)
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的 排列数,用 Pnm 表示.
Pnm =n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1) m个相邻正整数的积
=
n! (n-m)!
规定:0!=1 特别的,当m=n时的排列数 Pnn 叫做全排列,则
16.2 排列(2)
学习目标
1.理解并掌握排列、排列数阶乘的概念
2.掌握排列式的计算公式与推理过程，并能解决有 关排列数的计算问题与证明问题
复习回顾:
排列: 一般的,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素,按照一定的次序排成一列,叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列; 特别的,m=n时的排 列叫全排列.
例2.解方程P24n1 140Pn3.
练4.解方程P23n 28Pn2.
排列数的公式证明: 例3(1) 求证：(n 1)! n! n n!，并求11! 2 2! 1010!。
证明：(1) (n 1)! n! (n 1) n! n! n n! 原式 (2!1!) (3! 2!) (4! 3!) (11!10!)
∴Pnn =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!(读做n的阶乘)
n个相邻正整数的积
如:1!=1, 2!=2×1=2, 3!=3×2×1=6, 4!=4×3×2×1=24
Pmn =n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1)
=
n(n-1)(n-2)…(n-m+2)(n-m+1).[(n-m)(n-m-1)…2.1] (n-m)(n-m-1)…2.1
11!1
例3 求证：Pnk nPnk11 (n 2) 证明：nPnk11 n (n 1)(n 2) [(n 1) (k 1) 1]
Pnm =n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1) m个相邻正整数的积
=
n! (n-m)!
规定:0!=1 特别的,当m=n时的排列数 Pnn 叫做全排列,则
16.2 排列(2)
学习目标
1.理解并掌握排列、排列数阶乘的概念
2.掌握排列式的计算公式与推理过程，并能解决有 关排列数的计算问题与证明问题
复习回顾:
排列: 一般的,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素,按照一定的次序排成一列,叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列; 特别的,m=n时的排 列叫全排列.
例2.解方程P24n1 140Pn3.
练4.解方程P23n 28Pn2.
排列数的公式证明: 例3(1) 求证：(n 1)! n! n n!，并求11! 2 2! 1010!。
证明：(1) (n 1)! n! (n 1) n! n! n n! 原式 (2!1!) (3! 2!) (4! 3!) (11!10!)
∴Pnn =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!(读做n的阶乘)
n个相邻正整数的积
如:1!=1, 2!=2×1=2, 3!=3×2×1=6, 4!=4×3×2×1=24
Pmn =n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1)
=
n(n-1)(n-2)…(n-m+2)(n-m+1).[(n-m)(n-m-1)…2.1] (n-m)(n-m-1)…2.1
11!1
例3 求证：Pnk nPnk11 (n 2) 证明：nPnk11 n (n 1)(n 2) [(n 1) (k 1) 1]
沪教版(上海)数学高三上册-16.2 《 排列(第二课时)——排列的应用》 教案
《16.2 排列（第二课时）——排列的应用》教案【教学目标】1.知识与技能目标：熟练掌握排列数公式，熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法；能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题；2.过程与方法目标：通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，正确地解决实际问题；3.情感态度与价值观目标：会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度；【教学重难点】1.教学重点：理解排列的概念，熟练掌握排列数公式，分析和解决排列问题的基本方法，对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中；2.教学难点：分析和解决排列问题的基本方法，对于有约束条件的排列问题的解答；【教学方法分析】分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用他们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习问题的始终。
排列的应用题是本节的难点，通过本节例题的分析，注意培养学生解决应用问题的能力（在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生做题时也尽量采用），在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求（教学中指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序，教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通）。
【教学过程】环节一：复习回顾知识点1：排列：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，并按一定顺序排成一列，叫作从n 个元素中取出m 个元素的一个排列；知识点2：排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同排列的个数叫作从n 个元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示；知识点3：排列数公式：)1()2)(1()1(+---=m n n n n A m n)!(!)2(m n n A A A m n m n n n mn-==-- [请学生回答，并大声朗读大屏幕上的总结]环节二：典例分析[例1]：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？[分析]从4个元素中取出3个元素按顺序排成一列，一共有多少种排列方法。
沪教版(上海)数学高三上册16.2组合课件
系) ;
(1)将这5人组成导游组,有多少种不同的选法?
(4)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线有多少种不同的票价?
组合问题
三.推导组合数公式
引例： 3个不同元素选取2个不同元素,求有多少种不同的排 列数?
将3个不同元素选取2个不同元素的不同的排列,分两步完成:
第一步,选取2个元素有C32 个 第二步,选出的元素进行排列,不同的排列数有P22 个
将3个不同元素选取2个不同元素的不同的排列,分两步完成: 而组合却选出的元素“不管怎样的顺序组成一组”,如(a,b)与(b,a)是同一个组合;
n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1) (4)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线有多少种不同的票价?
= Cn+1
组合 根(根“(n(=③系判一C又第第(将变又((=第(排2221121(n)))))))n据据“)断般由二二n式由一让 数 让 将 计 让 集表列组-个;1乘 乘 下 的 排 步 步 ： 排 步这集这这算这合示合”)不与(法法列,列,,赵列,nCC5A555A从.选选选”-同“中人人人C人nn==2组原原问数、数n出出取++){{7元的分分组分…1a个11合理理题的钱的的的m,,素2b关别别成别(不”是定、定,,n个,,元元的3c选不不键-担担导担同,排义孙义m,元d素素4区取同同性任任游任,+元,列、::e素5PP进进别3m的的}动}组555素nn),还李,有则行行(与则个 个 个个排排n词,中是四有C-集排排联集小小小不m列列:n取“组人多选合列列系合组组组+同数数个出2合聚少出A,,:A的的的元)CC不不(m的会的?种n”3n导导导素同同的(-含3,mm不PP见游游游的个的的元2m≤+有同面,,,n不1不排排素有有有3))的时个同个同列列“多多多组选相元的元元数数少少少成法互素排素素有有种种种”?一握组列的作PP不不不22组(成,子为一同同同分个个(一集函元次的的的两组有数素)选选选步手,多y叫之法法法完致=少做间?a??成意x个从无2:,+?共n顺b个①x握序+不它c手)的同;们多“系排元的少数列素共次值”中同中?,取不点的出同是关m的:键n个个函性元不数动素同有词的元多:“一选素少个出中个组”选?的合取元;m素所个“排有元成组素”合;一的列个(元数素叫之做间组有合顺数序,用关
(1)将这5人组成导游组,有多少种不同的选法?
(4)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线有多少种不同的票价?
组合问题
三.推导组合数公式
引例： 3个不同元素选取2个不同元素,求有多少种不同的排 列数?
将3个不同元素选取2个不同元素的不同的排列,分两步完成:
第一步,选取2个元素有C32 个 第二步,选出的元素进行排列,不同的排列数有P22 个
将3个不同元素选取2个不同元素的不同的排列,分两步完成: 而组合却选出的元素“不管怎样的顺序组成一组”,如(a,b)与(b,a)是同一个组合;
n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1) (4)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线有多少种不同的票价?
= Cn+1
组合 根(根“(n(=③系判一C又第第(将变又((=第(排2221121(n)))))))n据据“)断般由二二n式由一让 数 让 将 计 让 集表列组-个;1乘 乘 下 的 排 步 步 ： 排 步这集这这算这合示合”)不与(法法列,列,,赵列,nCC5A555A从.选选选”-同“中人人人C人nn==2组原原问数、数n出出取++){{7元的分分组分…1a个11合理理题的钱的的的m,,素2b关别别成别(不”是定、定,,n个,,元元的3c选不不键-担担导担同,排义孙义m,元d素素4区取同同性任任游任,+元,列、::e素5PP进进别3m的的}动}组555素nn),还李,有则行行(与则个 个 个个排排n词,中是四有C-集排排联集小小小不m列列:n取“组人多选合列列系合组组组+同数数个出2合聚少出A,,:A的的的元)CC不不(m的会的?种n”3n导导导素同同的(-含3,mm不PP见游游游的个的的元2m≤+有同面,,,n不1不排排素有有有3))的时个同个同列列“多多多组选相元的元元数数少少少成法互素排素素有有种种种”?一握组列的作PP不不不22组(成,子为一同同同分个个(一集函元次的的的两组有数素)选选选步手,多y叫之法法法完致=少做间?a??成意x个从无2:,+?共n顺b个①x握序+不它c手)的同;们多“系排元的少数列素共次值”中同中?,取不点的出同是关m的:键n个个函性元不数动素同有词的元多:“一选素少个出中个组”选?的合取元;m素所个“排有元成组素”合;一的列个(元数素叫之做间组有合顺数序,用关
沪教版数学高三上册-16.2 排列 课件
排列方法总结： • 1、特殊元素优先法 • 2、相邻元素捆绑法 • 3、不相邻元素插空法 • 4、减法——某个元素不在某个位置（全排
列后减去不符合条件的方法） • 5、除法——某些元素有顺序（全排列后除
这几个元素的顺序数）
沪教版数学高三上册-16.2 排列 课件【精品】
沪教版数学高三上册-16.2 排列 课件【精品】
三.排列数的公式计算与证明: 沪教版数学高三上册-16.2 排列 课件【精品】
排列数的公式:
∴Pnm=n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1)
=
n! (n-m)!
从大到小,连续m个整数的积
练1. 计算: (1) P154
(2) P44
(3)
(n-1)! (n-3)!
练2. 若mN*,且m<27,则(27-m)(28-m)…(34-m)= Pst
问题2.从1,2,3,4这4个不同的数字中选出3个不同数字组 成没有重复数字的三位数,这样的三位数有多少个?
用树型图或枚举法解决:
3 24
2 1 34
3
2
2
14
14
1 3 共有不同三位
2
1 34
3
1 244
1 23
数4×6=24个
1
1
4 2
4 3
用分步策略完成:
1 4
2
1 3
2
432
第1步,从4个数中选一个数放在百位数位置上, 有4种选择;
课堂训练：
4男3女排成一排照相，求下列不同条件下的排列方法 1、男生甲必须排在中间； 2、男生必须排在队伍的两端； 3、女生必须排在一起； 4、男生必须排在一起； 5、从高到低的顺序排列， 共有多少种不同的排法？
列后减去不符合条件的方法） • 5、除法——某些元素有顺序（全排列后除
这几个元素的顺序数）
沪教版数学高三上册-16.2 排列 课件【精品】
沪教版数学高三上册-16.2 排列 课件【精品】
三.排列数的公式计算与证明: 沪教版数学高三上册-16.2 排列 课件【精品】
排列数的公式:
∴Pnm=n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1)
=
n! (n-m)!
从大到小,连续m个整数的积
练1. 计算: (1) P154
(2) P44
(3)
(n-1)! (n-3)!
练2. 若mN*,且m<27,则(27-m)(28-m)…(34-m)= Pst
问题2.从1,2,3,4这4个不同的数字中选出3个不同数字组 成没有重复数字的三位数,这样的三位数有多少个?
用树型图或枚举法解决:
3 24
2 1 34
3
2
2
14
14
1 3 共有不同三位
2
1 34
3
1 244
1 23
数4×6=24个
1
1
4 2
4 3
用分步策略完成:
1 4
2
1 3
2
432
第1步,从4个数中选一个数放在百位数位置上, 有4种选择;
课堂训练：
4男3女排成一排照相，求下列不同条件下的排列方法 1、男生甲必须排在中间； 2、男生必须排在队伍的两端； 3、女生必须排在一起； 4、男生必须排在一起； 5、从高到低的顺序排列， 共有多少种不同的排法？
沪教版(上海)数学高三上册-16.2 排列 课件
（1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘
（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）以圆上的10个点为端点作弦 （6）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
（7）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
Anm
=
n! (n- m)!
排列数公式：
常用于计算含有数字的
Am
n
(n
1)
(n
排列数的值
2) (n m 1)
n
(m n, m, n常用N于) 对含有字母的排列数
Anm
(n
n! m)!
的式子进行变形和论证
(m n,m,n N)
规定：0！ 1
所有排列的个数，是一个数；所以符号 Anm 只表示
排列数，而不表示具体的排列。
问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的
排列数，记为 A32
,
A32 3 2 6
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的
排列数，记为 A43 ，已经算出
A43 4 3 2 24
探究：从ｎ个不同元素中取出２个元
A41 A42 A43 A44 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 64
5A53 4A42 5 5 4 3 4 4 3 348
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地
上进行试验，有 24 种不同的种植方法？
A43 4 3 2 24
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）以圆上的10个点为端点作弦 （6）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
（7）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
Anm
=
n! (n- m)!
排列数公式：
常用于计算含有数字的
Am
n
(n
1)
(n
排列数的值
2) (n m 1)
n
(m n, m, n常用N于) 对含有字母的排列数
Anm
(n
n! m)!
的式子进行变形和论证
(m n,m,n N)
规定：0！ 1
所有排列的个数，是一个数；所以符号 Anm 只表示
排列数，而不表示具体的排列。
问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的
排列数，记为 A32
,
A32 3 2 6
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的
排列数，记为 A43 ，已经算出
A43 4 3 2 24
探究：从ｎ个不同元素中取出２个元
A41 A42 A43 A44 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 64
5A53 4A42 5 5 4 3 4 4 3 348
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地
上进行试验，有 24 种不同的种植方法？
A43 4 3 2 24
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
沪教版(上海)数学高三上册-16.2 (3)排列 教案
16.2（3）排列上课时间：上课班级：教师：教学目标：1. 掌握排列的概念、排列数、阶乘公式，能用排列数公式解决一些简单的排列问题；2. 能用乘法原理和排列数公式，解决一些有一至两个限制条件的排列问题；3. 在解决排列问题的过程中，培养阅读、交流、表述、分析的能力.教学重难点：用乘法原理、排列的概念分析解决具体问题.教学过程：一、复习回顾1. 什么叫排列？2. 排列的符号表示3. 排列数的计算公式问题1: 某班15名同学两两互通一封信，共通多少封信？问题2: 十名学生排成两排照相，每排五人，共有多少种不同的排列方式？设计说明：问题1是排列应用题的起点题，可先用乘法原理解决，但不能仅停留在乘法原理上认识该题，应提升到用mP模型来认识；问题2是学生熟悉的排队照相问题，由于分步程序、思考方法n的不同，常见有两种不同的列式，但本质是一致的.二、例题讲解【例1】七个学生排成一排，在下列情况下，共有多少种不同的排法？（1）甲在排头；（2）甲不在排头（3）甲不在排头，也不在排尾；（4）乙和丙要排在一起；（5）乙和丙不要排在一起.设计说明：解有限制条件的排列问题，应优先处理特殊元素或特殊位置，再考虑其余元素和其余位置. 其中，（1）、（2）、（3）的限制条件表现为某个（或某些）位置只能放某些元素、某些元素不能在某个（或某些）位置，因此解决问题时优先处理这些特殊要求；（4）、（5）的限制条件是某些元素相邻或某些元素不相邻，一般地，解决相邻问题用捆绑法；不相邻问题用插空法.【例2】用0到9这十个数字可以组成多少个分别满足下列条件的数？（1）没有重复数字的三位数；（2）没有重复数字的三位数的奇数.设计说明：（1）注意到百位数字不能为0，这是题中隐含的限制条件，这样就可以用前面的方法即优先考虑特殊位置来解决问题；（2）是两个限制条件的排列问题，对于多个限制条件的排列问题，关键是根据问题的条件设计好分步顺序，可以适当画出框图，以辅助解题.三、课堂反馈1. 用0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成______个没有重复数字的四位数的奇数？2. 要排一张有6个歌唱节目和2个舞蹈节目的演出单，要求两个舞蹈节目不得相邻，那么共有______种不同的排法？3.有8本各不相同的教科书排成一排放在书架上，其中数学书3本、英语书2本、物理书3本.如果3本数学书要排在一起，2本英语书也要排在一起，那么有______种不同的排列法？4. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，现派5名队员参加比赛。
沪教版(上海)数学高三上册16.2排列与排列数课件
叫做n个不同元素的一个全排列。
n ! m a叫做bn个d不同元素的一个全排列。 A (n m)! ，常用来证明或化简. n
(4)m＜n时的排列叫选排列,m＝n时的排列叫全 排列.
(5)为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树形图”.
2.排列数定义 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素
的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的排列数，用符号 A 表示. m
第1位 第2位
(4)m＜n时的排列叫选排列,m＝n时的排列叫全排列.
排列与排列数 a b c
=n(n-1)(n-2) (2)“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。
注:许多计数问题可归结为求这种排列有多少个的问题.
叫做n个不同元素的一个全排列。
(2)“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。
acd
第1位 第2位 第3位
abc
n –( m – 1)
n
全排列： n个不同的元素全部取出的一个排列
An3 =n(n-1)(n-2)
(1)元素不能重复.
排a 列c 问d题:从a,b第,c,d1这位4个第字母2位中,每第次取3位出3个按顺序排成一第列m，位共有多少种不同的排法？
公式右端是m个连续正整数之积，起、终因式分别是n、n-m+1。
前面我们认识了计数的两个基本原理，下面来研究
关于计数的一类常见问题:
问题 1.从 5 人的数学兴趣小组中选 2 人分别担任
正、副组长，有多少种不同的选法？20
问题 2.用 1,2,3,4,5 这五个数字组成没有重复数
字的两位数，共有多少个？20
沪教版(上海)数学高三上册-16.2《排列》课件
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一 定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列． 注意： 1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有 重复元素，也没有重复抽取相同的元素． 2.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是 “按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也 是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．
3.根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元 素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说，如 果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的 排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同， 那么也是不同的排列．
4.如果m＜n，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列）， 叫做选排列；如果m＝n，这样的排列（也就是取出所有元素 作排列），叫做全排列．
【总结提炼】 排列问题，是取出m个元素后，还要按一 定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只 要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不 同的方法（两个不同的排列）． 由排列的定义可知，排列与元素的顺序有 关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排 列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义 写出所有的排列．
A 例3．证明：
m n+1
=Anm
+mAnm-1
证明：右边
(n
n!。 m)!
m
。
(n
n! m
1)!
A
m n=Βιβλιοθήκη n! (n-m)!n ! (n m 1) n ! (n m 1)!
m
(n (n
1)n ! m 1)!
(n [(n
1)! 1) m]!
Am n 1
左
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2、排列数： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号 Anm表示。
“排列”和“排列数”有什么区别？
“一个排列”是指：n从个不同元素中，任取 m 个元素
按照一定的顺序排成一列，不是数；
“排列数”是指n从个不同元素中，任取 m 个元素的
第１步，确定百位上的数字，有4种方法 第２步，确定十位上的数字，有3种方法 第３步，确定个位上的数字，有2种方法 根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2＝24 种不同的排法。如下
图所示
1 23 4
2 1 34
3 4 2 4 2 3 3 41 41 3
有此可写出所有的三位数：
3
1 24 2 41 4 1 2
4 12 3
2 31 31 2
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
同样，问题２可以归结为：
从４个不同的元素a，b，c，d中任取３个，
然后按照一定的顺序排成一列，共有多少 种不同的排列方法？
2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。
4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “树形图”。
例1.下列问题中哪些是排列问题？
Ann n(n 1)(n 2)3 2 1
No 就是说，ｎ个不同元素全部取出的排列数，
等于正整数１到ｎ的连乘积，
Image 正整数１到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，
用ｎ!表示，
所以ｎ个不同元素的全排列数公式可以写成
Ann n！
另外，我们规定 0!＝1
排列数公式（2）：
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n n (n 1) (n m 1)(n m) 2 1 (n m) 2 1 n! (n m)!
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
思考？上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？
(1)有顺序的 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等，
排列
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
上面两个问题有什么共同特征？可以用 怎样的数学模型来刻画
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？
说明：
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
2、对于 m n这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
小结：
【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定 的顺序排成一列. 【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)
2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分) 【排列数】所有排列总数
下午 乙 丙 甲 丙 甲 乙
相应的排法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙
把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题１就可以叙述为：
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定 的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
ab, ac, ba, bc, ca, cb
问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排 成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
推广到一般 排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ
（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
排列问题实际包含两个过程： （1）先从n个不同元素中取出m个不同的元素。 （2）再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。
注意：
1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。
所有排列的个数，是一个数；所以符号 Anm 只表示
排列数，而不表示具体的排列。
问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的
Hale Waihona Puke 排列数，记为 A32,
A32 3 2 6
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的
排列数，记为 A43 ，已经算出
A43 4 3 2 24
探究：从ｎ个不同元素中取出２个元
（1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘
（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）以圆上的10个点为端点作弦 （6）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
（7）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？
分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名， 按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的 顺序排列，求一共有多少种不同的排法？
第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法. 第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法
根据分步计数原理：3×2=6 即共6种方法。
上午 甲 乙 丙
素的排列数 An2是多少？ An3 ，Anm (n m)
又各是多少？
第1位
第2位
A2 n
n (n 1)
n
n-1
第1位 n
第2位 n-1
第3位 n-2
A3 n (n 1)(n 2) n
第1位 第2位 第3位
第m
······ 位
n n-1 n-2
n-(m-1)
n (m 1) n m 1
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
排列数公式（1）：
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)(m, n N*, m n)
观察排列数公式有何特征： （1）第一个因数是n，后面每一个因数比它 前面一个因数少1． （2）最后一个因数是n－m＋1． （3）共有m个因数．
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个 元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有