高中数学新人教a版必修5学案 2.1 数列的概念与简单表示法(第1课时)

《数列的概念与简单表示法》教案（1）
教学目标
1．理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
2．通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.
3．通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学重点难点
1．重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用;
2．难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
教法与学法
1．教法选择：“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；
2．学法指导：类比、联想、猜想、求证.
教学过程
一、设置情境，激发学生探索的兴趣
三、思维拓展，课堂交流
四、归纳小结，课堂延展
1．教材地位分析
根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.
作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端.教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题).
2．学生现实状况分析
学生目前已经学习了函数的知识，本课时的内容是数列的定义，通项公式及运用；
本课是在学习映射、函数知识基础上研究数列.。

第一课时 2.1.1 数列的概念与简单表示法（一）教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：一、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数.二、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. ② 数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a L L ，简记为{}n a .④ 数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.2. 教学数列的表示方法：① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系：1，12，14，18，、、、；1,3,6,10，、、、；1,4,9,16，、、、. （数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.）② 数列的通项公式：如果数列的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）③ 数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法.3. 例题讲解：例、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函数表示）③－1，12，－14，18，、、、 思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？4. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.三、巩固练习：1. 练习：、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,……；(2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 18, －54, 162, …….2. 作业：教材P38页 第1①②、2题第二课时 2.1.2 数列的概念与简单表示法（二）教学要求：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：一、复习准备：1. 复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.2. 提问：已知数列{}n a 满足11211(2)n n a a n a -=⎧⎪⎨=+≥⎪⎩，能写出这个数列的前5项吗？（学生讨论→个别回答→教师点评）二、讲授新课：1. 教学数列的递推公式：① 提问：在上述问题中，虽然没有直接告诉这个数列的每一项，但是仍可根据已知条件写出前5项，这种方法是否也是数列的一种表示方法？这种表示法与数列的通项公式有什么关系呢？ ② 数列的递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 如：数列3，5，8，13，21，34，55，89的递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n . ③ 数列的表示法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法.2. 例题讲解：例1、已知数列{}n a 的首项1112,1(1)n n a a n a -==->，求出这个数列的第5项.（学生口答） 例2、已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．（学生练→教师点评）思考题、已知数列{}n a 为3,7,11,15L ，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通项公式.3. 小结：我们可根据数列的递推公式写出这个数列的前几项，继而结合前几项的特征写出它的一个通项公式，即由递推公式可到通项公式，也可反过来，由数列的通项公式写出它的一个递推公式. 通项公式和递推公式都有可能不是唯一存在的.三、巩固练习：1. 练习：根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；(2)1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).2. 教材P39页 B 组 第3题3. 作业 教材P38－P39页 A 组 第4题、第6题。

第二章数列课题: §2.1数列的概念与简单表示法（第1课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

《数列的概念与简单表示法》1、知识与技能（1）理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

2、过程与方法（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观（1）通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验。

理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用。

【教学难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。

（一）新课导入传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了,我将答应你的任何要求。

”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，……依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。

”国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！到底有多少麦粒呢？你认为国王有能力满足上述要求吗？每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍，总共有63个格子：得数为：18446744073709551615传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字。

上图中各三角形表示的数排列有规律吗？由于这些数可以用三角形点阵表示，故称其为三角形数。

下图中各正方形分别表示哪些数？这些数与相应正方形的序号有什么关系？因为这些数能够表示成正方形，故称为正方形数。

一、有关复复 1：函数y3x，当x挨次取1，2，3，⋯，其函数有什么特色？复 2：函数 y=7x+9，当 x 挨次取 1，2，3，⋯，其函数有什么特色？二、新学◆ 学研究研究任：数列的观点⒈ 数列的定：的一列数叫做数列 .⒉ 数列的：数列中的都叫做个数列的 .反省：⑴ 假如成两个数列的数同样而摆列序次不一样，那么它是同样的数列？⑵ 同一个数在数列中能够重复出？3.数列的一般形式：a1, a2 , a3 , ,a n ,4.数列的通公式：假如数列 a n a n 与n之的关系能够用，或a n，此中a n是数列的第.的第 n来表示，那么就叫做个数列的通公式 .反省：⑴全部数列都能写出其通公式？⑵一个数列的通公式是独一？⑶数列与函数有关系？假如有关系，是什么关系？5．数列的分：1）依据数列数的多少分数列和数列；2）依据数列中的大小化状况分数列，数列，数列和数列.◆ 典型例例 1 写出下边数列的一个通 公式，使它的前 4 分 是以下各数：⑴ 1，－1，1，－1；234⑵ 1， －1， 1， －1； （ 3） -1, 1，-1， 1； （ 4）1 ，0， 1， 0；（ 5）1，4， 9 ，16；251017（6） 12， -13 ，1，-41 ； 123 45（7）15, 24 , 35 , 48 , 63 , , 2 5 10 17 26小 ：要由数列的若干 写出数列的一个通 公式， 只需 察剖析数列中的 的组成 律，将 表示 数的函数关系 .例 2 已知数列 2，72，2，⋯的通 公式 a nan b，求 个数列的第四 和4cn第五 .式：已知数列5 ， 11， 17 ， 23 ， 29 ，⋯， 5 5 是它的第 .小 ：已知数列的通 公式， 只需将数列中的 代入通 公式， 就能够求出 数和 .例 3 在数列 { a n } 中， a 1=2,a 17=66，通 公式是 数 n 的一次函数 .(1)求数列 { a n }(2)88 是不是数列 { a n } 中的 .◆ 手练 1 写出下边数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是以下各数：（1） 1， 1，1， 1；3 5 7（ 2）1， 2， 3，2 .（ 3）－１，２，－３，４； （ 4）２，４，６，８；（ 5）１，４，９，１６； （6） 11 ， 1 1 ， 1 1 ， 1 12 23 34 4 5练 2 写出数列 { n 2 n} 的第 20 项，第 n ＋1 项 .练 3 已知数列｛ a n ｝的通项公式 a nn 2 8n 5 ．（１）写出这个数列的前５项，并作出前５项的图象； （２）这个数列全部项中有没有最小的项？三、学习小结1. 关于比较简单的数列，会依据其前几项写出它的一个通项公式；2. 会用通项公式写出数列的随意一项 .◆ 当堂检测1.以下说法正确的选项是（ ） .A. 数列中不可以重复出现同一个数B.1，2，3，4 与 4， 3， 2， 1 是同一数列C.1，1，1，1⋯不是数列D.两个数列的每一同样，数列同样2.以下四个数中，哪个是数列{ n(n1)} 中的一（）.A. 380B. 392C. 321D. 232已知数列a n，a n 1(n N )，那么1是个数列的第（）.3.n(n2)120A. 9B. 10C.11D. 124.在横上填上适合的数：（ 1） 3， 8， 15，，35，48.（ 2），111 4，，16，32；（ 3）351733 2，4，，16，32，5.写出数列1，1，1，1的21222324一个通公式.。

2.1《数列的概念与简单表示法》（第1课时）普通高中课程标准实验教科书A版数学（必修5 ）一、教材分析：1、教材的地位和作用《数列的概念与简单表示法》是“数列”一章中的重要组成部分；一方面它是前面函数知识的延伸及应用，另一方面为后面学习等差数列、等比数列的通项、求和等知识作铺垫，所以本节课在教材中起到了“承上启下”的作用；有利于学生思维拓展；况且数列是历年高考命题的热点之一，命题的方向主要是以能力考查为主，通过减少计算量，增加思维量，突出体现数列在实际生活中的应用价值。

2、教学目标知识目标：理解数列的有关概念，及通项公式的意义。

能力目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等分析问题的能力。

情感目标：培养学生敢于实践，勇于发现，大胆探究的合作创新精神；体会数学源于生活又服务于生活；激发学习数学兴趣。

3、教学重点与难点教学重点：理解数列的概念与通项公式的意义；能根据数列前几项的特点，归纳出数列的通项公式。

教学难点：根据数列前几项的特点，归纳出数列的通项公式。

二、教法学法1、教法分析：根据主编寄语：“数学是自然的；数学是清楚的；数学是有用的”,和本节课的内容与结构以及本班学生的实际情况，本节课教学主要采用以下方法：①观察分析法：通过对生活事例的观察，引导学生的思维在“最近发展区”内，自然合理地感受到数学源于生活又服务于生活，对学习数学产生浓厚的兴趣。

②提问法：以恰时恰点的问题引导学生活动，培养问题意识，孕育创新精神。

③动手实践法：让学生通过动手实践，解决发现的问题，激发探究新知的的欲望。

④启发式法：通过不同内容的联系与启发，提高数学思维能力，培育理性精神。

2、教学媒体：多媒体平台。

3、学法分析：“动手实践，自主探究、合作交流”。

由于新课标精神在于以学生发展为本，能力培养为主，把学习的主动权还给学生。

因此，根据本节课的内容与结构，采用“动手实践、自主探究、合作交流”的学法。

三、教学过程：四、教学评价：本节课的教学设计要真正体现出学生的主体地位，以学生活动、学生探究为主，把数学与实际生活联系起来，具体说来，新课程的理念有如下体现：本节课的组织与实施，充分体现了教师的主导和学生的主体性相结合的原则；教师扮演的是组织者、引导者、参与者，学生是学习的主体，通过大量实例激发学生的学机动机和学习兴趣。

2.1数列的观点与简单表示法（第 1 课时）一、课标要求：（1）理解数列及其相关观点，认识数列的简单分类；（2）认识数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的随意一项；（3）关于比较简单的数列，会依据其前几项写出它的个通项公式；（4）认识数列是一种特别的函数；（5）借助函数的背景和研究方法来研究相关数列的问题，能够进一步让学生领会数学知识间的联系，培育用已知去研究未知的能力。

二、教课要点、难点：要点：理解数列的观点，认识数列是反应自然规律的基本数学模型，探究并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。

难点：认识数列是一种特别的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

三、设计思路：新课标重申数学知识产生、发展、和应用。

教课过程中注意生活实质的引入，使学生体会数学根源于生活，提升数学学习的兴趣。

重视对学生学习数列的观点及表示法的过程。

本节课经过三角形数与正方形数引入数列的观点；经过类比函数的思想认识数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。

所以设计流程以下：给出数列观点数列的分类数列的通项公式数列是特别的函数，领会数列与函数的关系典范解说归纳与小结四、教课 程：（一） 情形， 入(1)多媒体展现三角形数、正方形数，提 ： 些数有什么 律？与它所表示的 形的序号有什么关系？三角形数： 1， 3， 6， 10，⋯正方形数： 1， 4， 9， 16， 25，⋯（ 本）象 ，按必定序次摆列的一列数叫做数列（教 板 ）（二） 授新 (2)三角形数与正方形数同数集中元素的特色有何不一样？ 引 学生回 、比 ，并 ：⑴数列的数是按必定序次摆列的，所以，假如 成两个数列的数同样而摆列序次不一样，那么它 就是不一样的数列；⑵定 中并无 定数列中的数必 不一样，所以，同一个数在数列中能够重复出.归纳数列的观点：(1) 依据必定 序摆列着的一列数称 数列，数列中的每一个数叫做 个数列的 。

各 挨次叫做 个数列的第 1 （或首 ），第 2 ，⋯，第 n ，⋯ .(2) 数列的一般形式：a 1 , a 2 , a 3 , ,a n ,，或a n ，此中 a n 是数列的第n(3) 析数列的观点： 1 “1， 1 ,1 , 1 , 1”与 2 “1, 1 ,1 , 1,1”是同一个数列 ？○○23455432合上述例子，帮助学生理解数列及 的定. （它 不是同一个数列；且○1 中，它的首 是“ 1”，“ 1”是 个数列的第“3” ，等等）3数列的分 ：（ 1）依据数列 数的多少分：有 数列： 数有限的数列. 比如数列 1， 2，3， 4， 5， 6。

2.1.1 数列的概念与简单表示法一、教学目标（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。

同时了解数列的几种分类。

（2）了解数列是一种特殊的函数了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。

二、教学重点与难点（1）教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。

（2）教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。

三、教学过程<1>创设情境，实例引入1、引导学生观察P26章节前的知识背景图片，构建自然现象中体现出的数的规律。

留下问题思考：你能发现下面这一列数的规律吗1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...（我们先一起来观察一下课本P26的这幅大图，大家来数数这些花各有几片花瓣。

我们发现，第一朵花有3片花瓣，第二朵花有5片花瓣，第三朵花有8片花瓣，第四朵花有13片花瓣。

那大家来观察一下书上的那一组数：1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...，你能发现它们有什么规律吗？带着这个问题，我们要来探讨一个有关数的新问题。

）2、引导学生观察课本P28的两幅图-三角形数与正方形数，进而引出数列的概念。

（大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明，它的数学文化同样值得我们去探究。

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分，即三角形数与正方形数。

大家一起来观察一下，在三角形数这幅图中每个图形分别对应着数1，3，6，10....，而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数1，4，9，16...，大家能发现它们的共同特点吗？每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什么联系呢？这样的一组数我们在数学上称之为数列。

现在我们一起来认识这个全新的概念：数列。

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法（第一课时）(帅亚军)一、教学目标1．核心素养通过学习数列的含义和表示,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标（1）通过实例,了解数列的概念.（2）理解数列的通项公式,会用通项公式写出数列的任意一项．（3）通过观察简单数列,会根据前几项写出它的通项公式．3．学习重点理解数列有关概念．4．学习难点理解数列的通项公式,根据前几项写出它的通项公式．二、教学设计（一）课前设计1.课前预习任务:预习教材P29—P30.思考:数列的概念是什么?通项公式是什么?如何根据前几项写出它的通项公式?（二）课堂设计1．问题探究问题探究一、数列的含义.●观察与思考:毕达哥拉斯学派数字神秘主义的外壳里包含了理性的内核,其关于“形数”的研究,强烈地反映了他们将数化作为几何思维元素的精神.图（1）—（4）中的点分别围成了边长为4的“正三角形”、“正方形”、“正五边形”和“正六边形”,按照这种方式给出的点的个数称为边长为的正边形数,那么边长为8的正10边形数为__________.想一想:在以前的数学学习中,我们接触了哪些具体的数列?阅读与举例:请大家阅读教材中所列举的数列例子,并试着列举生活与学习中的数列例子．（鞋子尺码的转化,棋盘中数学）问一问:（1）2,4,6,8与8,6,4,2是同一个数列吗?（2）-1,1,-1,1…是一个数列吗?想一想:请大家根据以上结论,思考什么叫做数列?一般地,按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项．●数列与集合的区别与联系:（1）作为一个集合的元素,必须是_________的,同样,作为一个数列的项,同样是明确的．（2）对于给定的集合,其中的元素一定是_________的．集合中的任意两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．而数列中的项可以相同,甚至所有的项都可以是同一个数（即常数列）．（3）对于给定的集合,其中的元素是不考虑__________的,而数列中的每一项都有固定的顺序,如果两个数列的项一样但项的顺序不同,那么这两个数列就不是同一个数列．●数列的分类:1．根据数列的项数的多少分类有穷数列:项数有限的数列.(如1,3,5,7是有穷数列)无穷数列:项数无限的数列.（如-1,1,-1,1…是无穷数列）2.根据项的大小变化分类递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列.递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列.常数数列:各项都相等.摆动数列:从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项.问题探究二、数列的通项公式●数列的通项公式结合上面的知识点以及数列与集合之间的联系与区别,能有如下的规律如果数列{}n a 的第_________项与________之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫作这个数列{}n a 的_________. ● 数列通项公式与函数的关系对于数列{}n a 每一项的_________与这一项的对应关系可以看做序号集合到另一个数集的_________.由此可见,数列可以看成特殊的函数.数列通项公式的作用:①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. ●对数列的通项公式的认识:（1）表达式n a 的两层含义①_________,②_________.（2）与所有函数关系不一定有解析式一样,并不是所有数列都有通项公式.（3）数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如数列0,1,0,1,0,1……,你能给出多少种不同通项公式呢?问题探究三 数列的项数、项、通项公式之间有何联系?例1、写成下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.()(1);(2)11nn n n a a n n ==-⋅+ 【知识点:数列的通项公式；数学思想:特殊到一般】()()()()()()()12111; 22cos211321; 41n nn n n n a a nn a n a n π+-+==+-=-=+详解：点拨:在求解数列的通项公式时,需从已知条件中分析项与项之间的联系以及项与项数之间的联系,寻求合理的表达式（表达式不唯一）. 例2根据下面数列{}n a 的通项公式,写出前5项:(1)n a n na n n n ⋅-=+=)1()2(;1【知识点:数列的项与通项公式】分析:由通项公式定义可知,只要将通项公式中n 依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项解:（1） (2) ;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n ;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n点拨:根据通项公式求项时,需注意项数与项的对应,同时注意计算（符号） 例3数列{}n a 中,452+-=n n a n ． ⑴18是数列中的第几项?⑵n 为何值时,n a 有最小值?并求最小值． 【知识点:数列的通项公式】详解:⑴由0145184522=--⇒=+-n n n n ,解得7=n ,∴18是数列中的第7项．⑵49)25(4522--=+-=n n n a n ,+∈N n∴2=n 或3=n 时,25242)(2min -=+⨯-=n a ．点拨:在求解项中最值时,需利用函数的性质,然需注意项数是正整数.在取最值时要留心. 2．课堂总结 【知识梳理】（1） 数列的概念:一般地,按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.（2） 数列的分类:按照项数的多少与项之间的变化这两种方式分类. （3）数列的通项公式:项数与项之间的关系. 【重难点突破】（1）数列中的数是按一定次序排列的,因此如果两个数列中的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同数列.同时应注意,在数列定义中,并没有规定数列中的数必须不同.（2）数列可以看作是定义域为*N （或它的有限子集{}n ,,2,1⋯）的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列,如果这个对应关系能用一个表达式表示,则这个表达式即这个数列的通项公式. 3．随堂检测1.数列1,0,1,0,1,……的一个通项公式是（ ）A.a n =2)1(11+--nB.a n =2)1(11+-+nC.a n =21)1(--nD.a n =2)1(1n---【知识点:数列的通项公式；数学思想:归纳总结】解:B 将数列{21}与{2)1(1+-n }对应项相加得到的数列即是.故选B.2.设数列11,22,5,2,……则25是这个数列的（ ）A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项【知识点:数列的项】解:B 可观察所给数列的通项公式是a n =13-n ,由5213=-n 得n =7 故选B. 3.已知a n =n 2+n ,那么（ ）A.0是数列中的一项B.21是数列中的一项C.702是数列中的一项D.30不是数列中的一项【知识点:数列的通项公式；数学思想:一般到特殊】解:C 由n 2+n =702即n 2+n －702=0得:n =26或n =－27(舍去)故选C 4.函数f (n )=2)1()1(+-n n 当自变量依次取正整数1,2,3,…,n ,…时对应的函数值,以数列形式表示为（ ） A.－1,1,－1,1B.－1,－1,1,1,－1,－1C.－1,－1,1,1,－1,－1,…,2)1()1(+-n n D.－1,－1,1,1,－1,－1,…,2)1()1(+-n n ,…【知识点:数列的项,通项公式】 解:D 显然数列{f (n )}为无穷数列5.已知数列{a n }的通项公式为a n =9n (32)n ,则此数列的前4项分别为______.【知识点:数列的通项公式】 解:6,8,8,964 a 1=6,a 2=8,a 3=8,a 4=964 （三）课后作业 基础型 自主突破1.根据下面数列的通项公式,写出前5项: （1）n a n na n n n ⋅-=+=)1()2(;1【知识点:数列的通项公式】解:（1）;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n（2）;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n2.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:（1）1,3,5,7； （2）515;414,313;2122222---- ；（3）-211⨯,321⨯,-431⨯,541⨯. 【知识点:数列的项与通项公式】解:（1）12-=n a n （2）1)1(2+-=n n n a n （3）)1(1)1(+-=n n a n n3.已知数列的第1项是1,以后的各项由公式111-+=n n a a 给出,写出这个数列的前5项.【知识点:数列的通项公式】 解:3211,211,123121=+==+==a a a a a ,58,3511534==+=a a a 4.已知数列{}n a 中,n a a a a a n n n (3,2,12121--+===≥3）,试写出数列的前4项.【知识点:数列的通项公式】解:233,73,2,123412321=+==+===a a a a a a a a 能力型 师生共研 5.在数列{a n }中,,,,,c b a cbn ana n 其中+=均为正实数,则n a 与1+n a 的大小关系是（ ） A ．1+<n n a aB ．1+>n n a aC ．1+=n n a aD ．不能确定【知识点:数列的通项公式,大小比较】 解:答案A6.k 为正偶数,)(k p 表示等式)214121(21114131211kk k k k +++++=--++-+-则)2(p 表示等式 ,)4(p 表示等式 .【知识点:数列的通项公式】 解:)441241(24131211;2212211+++=-+-+⨯=-7.已知数列{}n a 中,11=a ,1211+=--n n n S S S ,求{}n a 的通项公式．【知识点:数列的通项公式与前n 项和】 解:21121111+=+=---n n n n S S S S ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1)32)(12(2---n n ∴⎪⎩⎪⎨⎧---=3211211n n a n )2()1(≥=n n8.已知数列{}a n :…，…，…，，，1001001002100133323122211++++++ ①求证:()12121221≥=+-+=-+n n n a a n n ． ②设()N n a a b n n n ∈=+11,求n b b b +++…21 【知识点:数列的通项公式】解:①由条件,()212122121+=+=+++=+++=n n n n n n n n n a n …… ∴221+=+n a n ；∴()12121221≥=+-+=-+n n n a a n n②()()()(),214421122211++=++=++=n n n n n n b n ·∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=21114n n b n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++2121421114413143121421n n n b b b n ………。

第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法(1)【学习目标】1. 使学生理解数列的定义、能够区分项与项数这两个不同概念；2.使学生掌握通项公式概念，能够用不完全归纳法写出一些数列的通项公式.【重点难点】重点:数列的定义、通项公式.难点:应用不完全归纳法推导出数列的通项公式. 【学习过程】一、自主学习：任务1: 函数x y 3=，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？任务2: 函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、合作探究归纳展示数列的概念⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5．数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列，数列，数列和数列.三、讨论交流点拨提升例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14；⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵ 1，－1， 1，－1；小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项四、学能展示课堂闯关知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考：设()f n＝1＋12＋13＋…＋131n-（n∈*N）那么(1)()f n f n+-等于（）A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++1. 下列说法正确的是（）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列C. 1，1，1，1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同2. 下列四个数中，哪个是数列{(1)}n n+中的一项（）.A. 380B. 392C. 321D. 2323. 在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48.4.数列(1)2{(1)}n n--的第4项是 .5. 写出数列121-⨯，122⨯，123-⨯，124⨯的一个通项公式 .五、学后反思1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；2. 会用通项公式写出数列的任意一项.【课后作业】1. 写出数列｛2n｝的前5项.2. （1）写出数列2212-，2313-，2414-，2515-的一个通项公式为 .（2）已知数列3，7，11，15，19，…那么311是这个数列的第项.。