2012全国高中数学联赛广东预赛试题及解答

山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛（及答案）一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)1.函数f(x)=题)解:f(x)=立,所以,f(x)最大=.2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________. (王继忠供题)解:设x1x2 xm为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得44Cm+2个吉(x1-1)+x2+…+xm=4,所以,x1x2 xm为第Cm+3个吉祥数.1x2 xm为第的最大值是________________ ; (王泽阳供≤,=即x=12时成祥数.由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共C54C6=154=5个,三位吉祥数共个,=15因以1为首位的四位吉祥数共C64数为:个,以2为首位的前两个四位吉祥2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,f(n)=nn+1.则f(2012)=______; (王林供2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 1 页交流学习提高题)解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012个根, 设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011). 取x=-1,则1=2012!a.故a=12012!,x(x-1)(x-2) (x-2011)2012!(x+1)2012!2012!2013+20122013=20132013f(x)=+xx+1,f(2012)==1.4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈供题)解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.5.如图，设O,I分别为∆ABC的外心、内心，且∠B=60 ，AB＞BC，∠A的外角平分线交⊙O于D，已知AD=18,则OI=_____________.(李耀文供题)解: 连接BI并延长交⊙O于E,则E为弧AC的中点.连OE、AE、CE、OC，由∠B=60 ，易知∆AOE、∆COE均为=IE=CE正三角形.由内心的性质得知：AEA,所以、O、I、C四点共圆,且圆心为E.再延长AI交⊙O于F,=2∠OAI由题设知D、O、F共线，于是∠OEI,∠AOD=2∠AFD=2∠OAI,2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 2 页交流学习提高又OA=OD=OE=IE, 从而∆OAD≌∆EOI, 故OI=AD=18.二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)6.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).(陈永高供题)证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知2(p-1)k⇔(p-1)k∙2(p-1)k≡1(modp),所以, p|(n2n-1)≡1(modp)⇔(p-1)k≡1(modp)⇔k≡-1(modp).2(p-1k)取k=pr-1(r∈N*),即n=(p-1)(pr-1),就有(p-1)k∙p|(n2n-1).≡1(mopd)即7.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，延长DP交AB 于F，延长CP中豪供题)证法1: 设CG交AD于Q,由∠∠AGB＝∠CGD知△ABG∽△QDG交于R，由AD∥BR, AD=BC得AFFB=BCBR①BCBR=QEED又由△CPB∽△QPE及△RPB∽△DPE得由①,②得AFFB=QEED②,表明F,E是△ABG,△QDG的相似对应点,故得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即GE⊥GF. 2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 3 页交流学习提高证法2:联结GB,GD,令∠GCB=α,∠GCD=β, 由正弦定理得:=BFsin∠BFPGBGD⋅=sinαsinβ=BPsin∠PBCDPsin∠PDCBFDEsin∠PBCDEsin∠DEPsin∠PDC=,由∠GBF＝∠GDE得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即GE⊥GF.8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2,…,A10满足: (1)|Ai|=36,i=1,2,…,10; (2)A1∪A2∪…∪A10=A;(3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.请说明理由. (刘裕文供题) 解:答案:存在.3考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有C10=120个,每个作为集合A的一个元素.2对每个j=1,2,…,10,第j项为1的0,1数列恰有C9=36个,它们是集合Aj的36个元素.对每对i,j∈{1,2,…,10}(i<j),第i项与第j项均为11的0,1数列恰有C8=8个,它们是Ai∩Aj的元素.综上知,存在满足条件的10个子集.9.求最小的正整数m,n(n≥2),使得n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形. (邹明供题)解:依题意n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 4 页交流学习提高1,2,…,n的正方形⇔12+22+…+n2=nm2,即6m2=(n+1)(2n+1),则(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6),由n2≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6).若6|n+1,设n=6k-1(k∈N),得m2=k(12k-1),因(k,12k-1)=1,所以k与12k-1都是完全平方数,但12k-1≡3 (mod4)矛盾!若6|n-1,设n=6k+1(k∈N),得m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,3k+1=v2,4k+1=u2,消去k得4v2-3u2=1,v=u=1时,k=0,n=1,但n≥2,故u>1,v>1.由4v2-3u2≡1(mod8)知u,v为奇数,直接计算得umin=15,vmin=13,k=56,所以,m最小=15³13=195,n最小=337.10.设实系数三次多项式p(x)=3x+ax+bx+c32有三个非零实数根.求证:6a3+10(a2-2b)2题) -12ab≥27c. (李胜宏供证明:设α,β,γ为p(x)=0的三个根,由根与系数关系⎧α+β+γ=-a⎪⎨αβ+βγ+γα=b⎪αβγ=-c⎩222得: 3a-2b=α+β+γ.原式⇔6a(a-2b)+10(a-2b)2≥27c3222222222⇔6(α+β+γ)(α+β+γ)-10(α+β+γ)2≤27αβγ ①.222若α+β+γ=0,则①成立.2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 5 页交流学习提高若α2+β2+γ2>0,不妨设|α|≤|β|≤|γ|,由①的齐次性,不妨设α+β+γ222=9,则γ2≥3,2αβ≤α+β22=9-γ2≤6.①⇔2(α+β+γ)-αβγ≤10.因[2(α+β+γ)-αβγ]=[2(α+β)+(2-αβ)γ]≤[4+(2-αβ)][(α+β)+γ]232 =[8-4αβ+(αβ)](9+2αβ)=2(αβ)+(αβ)-20(αβ)+72 22222=(αβ+2)(2αβ-7)+100≤100,所以,2(α+β+γ)-αβγ≤10.故原式2成立.二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012 年6 月24 日上午9:00-11:30)考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题( 本题满分56 分,每小题7 分)1. 空间四点 A ，B ，C ，D两两间的距离均为1，点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运动，则点 P 与点Q间的最小距离为____________；⎧⎪0≤OP⋅OA≤1,则点2.向量OA=(1,0),OB=(1,1),O为坐标原点，动点P(x,y)满足⎨⎪⎩0≤OP⋅OB≤2Q(x+y,y)构成的图形的面积为3. 设有非空集合A⊆{1,2,3,4,5,6,7}且当a∈A时，必有8-a∈A，这样的集合A的个数是_____________；⎧⎪x-[x],x≤0,其中[x]表示不超过x的最大整数，4.设f(x)=⎨若f⎪⎩f(x-1),x>0(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是5. 11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4 个数字只能是1、3 、5 且都至少出现1 次, 这样的手机号码有___________个；6.若tanx1⋅tanx2⋅⋅tanx2012=1,则sinx1⋅sinx2⋅⋅sinx2012的最大值是2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 6 页交流学习提高7.设函数f:R→R，满足f(0)=1且对任意x,y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)= ；8.实数x,y,z满足x2+y2+z2=1，则xy+yz的最大值为二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题14 分，第11、12 题每题18 分)9.已知数列{an}满足an+1+an-1an+1-an+1=n(n∈N*)，且a2=6。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A 卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U =ðA ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA = ，则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ． ln(2)y x =+B y =C ． 1()2xy =D ． 1y x x=+5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-16．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ 和βα 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________． 10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答） 11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________． 12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为_______．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的 参数方程分别为⎩⎨⎧==ty t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆上三点，且满足︒=∠30ABC ，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交与点P ，则PA= ．图3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)6cos(2)(πω+=x x f （其中R x ∈>,0ω）的最小正周期为π10．（1） 求ω的值；（2） 设,56)355(,2,0,-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈παπβαf 1716)655(=-πβf ，求)cos(βα+的值． 17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n N ∈，且123,5,a a a +成等差数列． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3． （1） 求椭圆C 的方程（2） 在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．）21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B = ． （1） 求集合D （用区间表示）；（2） 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学A 卷参考答案一、选择题：1. D2. C3. A4. A5. B6. C7. D8. C 二、填空题：9.12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭ 10. 20 11. 2n-1 12. y=2x+1 13. 814. （1，1） 15.三、解答题：16. 解：（1）由f(x)得： 其最小正周期（2）由（1）得：同理由：又17. 解：（1）由图得：（2）由图得：由题知：21105T w w ππ==⇒=15w ∴=0,w >又1()2cos()56f x x π=+515(5)2cos 53536f παπαπ⎡⎤⎛⎫∴+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦62cos 25πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭3sin 5α⇒=5168(5)cos 61717f βπβ-==得：,0,παβ⎡⎤∈⎢⎥4cos 5α∴==15sin 17β=cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=-483151351751785=⨯-⨯=-()0.0060.0060.010.0540.006101x +++++⨯=0.018x ⇒=()()8090100.18901000.006100.06P X x P X ≤<==≤<=⨯=[)8090∴⨯在，的学生人数为：0.1850=9[)90100⨯在，的学生人数为：0.0650=30,1,2ξ=()()()2122993322212121212910,1,2222222C C C C P P P C C C ξξξ=========18. 解： （1）证明：（2）由（1）得：在矩形ABCD 中，如图所示建立直角坐标系，由（1）知，所以，二面角B-PC-A 的正切值为：3。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）【详解人】佛山市南海区石门中学 黄伟亮参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题01. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=（ ） A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i --解析：D .56i65i i-=--. 02. 设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，则U C M =（ ）A .UB .{}1,3,5C .{}3,5,6D .{}2,4,6解析：C .{}3,5,6U C M =.3.（向量）若向量()2,3BA = ，()4,7CA =，则BC = （ ）A .()2,4--B .()2,4C .()6,10D .()6,10--解析：A .()2,4BC BA CA =-=--.4.（函数）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A .()ln 2y x =+B.y =C .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .1y x x=+解析：A .()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数.5.已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1-解析：B .画出可行域，可知当代表直线过点A 时，取到最大值.联立21y y x =⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值为11. 6.（立体几何）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）A .12πB .45πC .57πD .81π解析：C .该几何体下部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为23545V ππ=⨯⨯=，上部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为2134123V ππ=⨯⨯⨯=，所以体积为57π.7.（概率）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）A .49B .13C .29D .19解析：D .两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为51459=. 8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅ αβαβββ，若平面向量a 、b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则= a b （ ）A .12B .1C .32D .52解析：C .⋅==⋅ a a b a b b b b 1cos 2k θ=，= b b a a 2cos 2k θ=，两式相乘，可得212cos 4k kθ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1k 、2k 都是正整数，于是2121cos 124k k θ<=<，即1224k k <<，所以123k k =.而0≥>a b ，所以13k =，21k =，于是32= a b . 二、填空题（一）必做题（9—13题）9.（不等式）不等式21x x +-≤的解集为__________________.解析：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.2x x +-的几何意义是x 到2-的距离与x 到0的距离的差，画出数轴，先找出临界“21x x +-=的解为12x =-”，然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10.（二项式定理）621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.（用数字作答）解析：20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1233k -=，解得3k =，所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =.11.（数列）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =______________.解析：21n -.设公差为d （0d >），则有()21214d d +=+-，解得2d =，所以21n a n =-. 12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.解析：210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=，所以切线方程为()321y x -=-，即210x y -+=.13.（算法）执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为______.解析：8.第一次循环，()11221s =⨯⨯=，4i =，2k =；第二次循环，()12442s =⨯⨯=，6i =，3k =；第三次循环，()14683s =⨯⨯=，8i =，4k =.此时退出循环，输出s 的值为8.（二）选做题（14—15题）线1C 和14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，曲2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨⎪⎩t 为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.解析：()1,1.法1：曲线1C 的普通方程是2y x =（0y ≥），曲线2C 的普通方程是222x y +=，联立解得11x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,1.法2：联立t θθ⎧=⎪22sin θθ=，即22cos 20θθ-=，解得cos θ=cos θ=（舍去），所以11t =⎧⎪，交点坐标为()1,1.15.（几何证明选讲）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=︒，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA =__________.连接OA ，则60AOC ∠=︒，90OAP ∠=︒，因为1OA =，所以PA =三、解答题16.（三角函数）（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>x ∈R ）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值.解析：（Ⅰ）210T ππω==，所以15ω=.（Ⅱ）515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3sin 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4c 1s 5α，15sin 17β=，所以()4831513co s co s c o s s in s i51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.17.（概率统计）（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.（Ⅰ）求图中x 的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中数学期望.成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的解析：（Ⅰ）由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=，解得0.018x =.（Ⅱ）分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====，()113921227916622C C P C ξ====，()20392123126622C C P C ξ====，所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.18.（立体几何）（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值.解析：（Ⅰ）因为PC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥.而PC PA P = ，PC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BD ⊥平面PAC ，而AC ⊂平面PAC ，所以BD AC ⊥，而ABCD 为矩形，所以ABCD 为正方形，于是2AB AD ==.z 轴，建立法1：以A 点为原点，AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、空间直角坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ，于是()0,2,0BC = ，()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ，从而2020y x z =⎧⎨-=⎩，令1x =，得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =- .所以二面角B PC A--的余弦值为cos ,⋅<>==121212n n n n n n ，于是二面角B P C --的正切值为3.法2：设AC 与BD 交于点O ，连接OE .因为PC ⊥平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，所以PC OE ⊥，PC BE ⊥，于是O E ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ，所以OEB ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得OE PAOC PC=，而2A B A D ==，所以AC =OC =1PA =，所以3PC =，于是13PA OE OC PC =⨯=而OB =于是二面角B PC A --的正切值为3OB OE=.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3a 成等差数列. （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 解析：（Ⅰ）由()()12123213232725a a a a a a a a ⎧=-⎪+=-⎨⎪+=+⎩，解得11a =.（Ⅱ）由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+（2n ≥），两式相减，可得122n n n n a a a +=--，即132n n n a a +=+，即()11232n n n n a a +++=+，所以数列{}2n n a +（2n ≥）是一个以24a +为首项，3为公比的等比数列.由1223a a =-可得，25a =，所以2293n n n a -+=⨯，即32n n n a =-（2n ≥），当1n =时，11a =，也满足该式子，所以数列{}n a 的通项公式是32n n n a =-.（Ⅲ）因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=，所以1323n n n --≥，所以1113n n a -≤，于是112111111131331113323213nnn n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- .点评：上述证法实质上是证明了一个加强命题1211131123nn a a a ⎡⎤⎛⎫+++≤-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为q 的等比数列{}n b ，其前n 项和为()111n n b q T q-=-，希望能得到()1121111312nn b q a a a q -+++≤<- ，考虑到()11111n b q b q q-<--，所以令1312b q =-即可.由n a 的通项公式的形式可大胆尝试令13q =，则11b =，于是113n n b -=，此时只需证明1113n n n b a -≤=就可以了.当然，q 的选取并不唯一，也可令12q =，此时134b =，132n n b +=，与选取13q =不同的地方在于，当1n =时，1n nb a >，当2n ≥时，1n n b a <，所以此时我们不能从第一项就开始放缩，应该保留前几项，之后的再放缩，下面给出其证法.当1n =时，11312a =<；当2n =时，121113152a a +=+<；当3n =时，12311111315192a a a ++=++<. 当4n ≥时，1n nb a <，所以 31231132211111113311151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<- . 综上所述，命题获证.下面再给出1211132n a a a +++< 的两个证法. 法1：（数学归纳法） ①当1n =时，左边111a ==，右边32=，命题成立. ②假设当n k =（2k ≥，k ∈N ）时成立，即113322ki ii =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立，我们首先证明不等式：1111132332i i i i++<⋅--（1i ≥，i ∈N ）. 要证1111132332i i i i++<⋅--，只需证1111132332i i i i +++<--⋅，只需证11132332i i i i +++->-⋅，只需证1232i i +->-⋅，只需证23->-，该式子明显成立，所以1111132332i i i i++<⋅--. 于是当1n k =+时，111211111113311323232332322k k ki ii i i i i i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑，所以命题在1n k =+时也成立.综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识. 法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供） 当1n =时，11312a =<显然成立.当2n =时，121113152a a +=+<显然成立. 当3n ≥时，()32122nn n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-()12211221222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅++⋅>⋅=- ，又因为()252221a =>⨯⨯-，所以()21n a n n >-（2n ≥），所以()111112121n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭（2n ≥），所以 123111111111111311112234122n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++<+-+-++-=+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ . 综上所述，命题获证.20.（解析几何）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.解析：（Ⅰ）因为e =，所以2223c a =，于是223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ，则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b ⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭（b y b -≤≤）.当01b <<时，2PQ 在y b =-时取到最大值，且最大值为244b b ++，由2449b b ++=解得1b =，与假设01b <<不符合，舍去.当1b ≥时，2PQ 在1y =-时取到最大值，且最大值为236b +，由2369b +=解得21b =.于是23a =，椭圆C 的方程是2213x y +=. （Ⅱ）圆心到直线l 的距离为d =，弦长AB =，所以O A B ∆的面积为12S A B d =⋅=，于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.而(),M m n 是椭圆上的点，所以2213m n +=，即2233m n =-，于是22221132d m n n==+-，而11n -≤≤，所以201n ≤≤，21323n ≤-≤，所以2113d ≤≤，于是当212d =时，2S 取到最大值14，此时S 取到最大值12，此时212n =，232m =.综上所述，椭圆上存在四个点⎝⎭、⎛ ⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 点评：此题与2012年南海区高三8月摸底考试的试题相似度极高.（2012年南海区高三8月摸底考试）已知椭圆C 的两焦点为()11,0F -、()21,0F ，并且经过点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O ：221x y +=，直线l ：1mx ny +=，证明：当点(),P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.21.（不等式、导数）（本小题满分14分）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，(){}223160B x R x a x a =∈-++>，D A B = . （Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 解析：（Ⅰ）考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦，且1a <，所以可分以下三种情况： ①当113a <<时，0∆<，此时B =R ，()0,D A ==+∞.②当13a =时，0∆=，此时{}1B x x =≠，()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时，0∆>，此时()223160x a x a -++=有两根，设为1x 、2x ，且12x x <，则1x =2x ={}12B x x x x x =<>或.当103a <<时，()123102x x a +=+>，1230x x a =>，所以210x x >>，此时()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，1230x x a =≤，所以10x ≤，20x >，此时()2,D x =+∞.综上所述，当113a <<时，()0,D A ==+∞；当13a =时，()()0,11,D =+∞ ；当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，()2,D x =+∞.其中11x -，2x =（Ⅱ）()()26616f x x a x a '=-++，令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <，所以()0f x '=有两根1m a =和21m =，且12m m <.①当11a <<时，()0,D A ==+∞，此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =，列表可得所以()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a . ②当1a =时，()()0,11,D =+∞ ，此时()0f x '=在D 内只有一根11m a ==，列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点. ③当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ，此时1201a x x <<<<（可用分析法证明），于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =，列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.④当0a ≤时，()2,D x =+∞，此时21x >，于是()f x '在D 内恒大于0，()f x 在D 内没有极值点. 综上所述，当113a <<时，()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a ；当103a <≤时，()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.当0a ≤时，()f x 在D 内没有极值点.。

2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。

设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。

由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。

2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。

若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。

−−→ AF1
·
−−→ AF2
+
−−→ BF1
·
−−→ BF2
=
0,
则
|AB| |F1F2|
的值为
．
3.
设a
>
0，函数 f (x)
=
x+
100 x
在区间 (0, a] 上的最小值为 m1，在区间 [a, +∞) 上的
最小值为 m2，若 m1m2 = 2020，则 a 的值为 .
4.
设z
为复数，若
z−2 z−i
为实数（i 为虚数单位），则 |z + 3| 的最小值为
.
5. 在 △ABC 中，AB = 6，BC = 4，边 AC 上的中线长为 √10，则 sin6 A + P − ABC 的所有棱长均为 1，L, M, N 分别为棱 P A, P B, P C 的中点，则该 正三棱锥的外接球被平面 LM N 所截的截面面积为 ．
2011 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2020 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2020 年全国高中数学联赛二试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2019 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2019 年全国高中数学联赛一试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2016 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2016 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2015 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2015 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2014 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2014 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2013 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2013 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 2012 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 2012 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 2011 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 2011 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k . 答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--24222(54)(2).n n n n =+-+=-2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 .答案：1 解：因为()sin coscos sinsin coscos sincos 36666cos 32sin()3,6f x x x x x x x x x πππππ=++--+=-+=-+所以)(x f 的最小值为1.3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 .答案：1.4解：由于222211(1)()()222(4)2bx b x bx b x bk f x f x x a ax ax a x a+++++=⋅=⋅=+++++是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =.4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 .答案：9(,2).4--解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=. 根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.431.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22U . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--.5. 将25个数排成五行五列：11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11-解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-；若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-.6.设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.ln 2)-.函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称.函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种. 所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k满足||k >.解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =，有a =，即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a ab a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩ 所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22a bQ θθ.||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-.sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分22222222222)cos (sin )(2AQAQ AQ AQ k a a k a b k b b ak +<+=+⋅+≤⇒θθ||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分2．（本小题满分20分） 设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求222222()()()S a ab b b bc c c ca a =-+-+-+的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得2222223662255433()()9223344()4()()12.229333ab ab S a b a ab b a ab b ababa b a b c a ab b ≤-+=⋅⋅⋅-++++++-+≤=≤=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y*N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除.解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除. 因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)1f f +>-，所以(1)10f -=，(1)1f =.……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。

2012年全国高中数学联赛模拟试题一一、选择题：每题6分，满分36分1、设函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数)2,2(ππ-∈x ，x x f 2sin )(tan =，则)sin 2(x f 的最大值为（ ）A 0 B21 C 22 D 123E 到平面4M (A) 5(A) 36(A) (C)78、设n 是子集S ，模范910为 .11．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .12．设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +- 的最小值为___________________．三、解答题：每小题20分，满分60分13、如图，已知三角形ABC 的内心为I ，AC ≠BC ，内切圆与边AB,BC,CA 分别相切于点D,E,F ，EF CI S =，连结CD 与内切圆的另一个交点为M ，过M 的切线交AB 的延长线于点G .求证： （1）CDI ∆∽DSI ∆；（2）CI GS ⊥14、设c b a ,,是正整数，关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 的两实数根的绝对值均小于31，求c b a ++的最小值.15.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p （01p <<），乙获胜的概率为1q p =-．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经ξ次结束，求ξ的期望E ξ的变化范围．2012年全国高中数学联赛模拟试题二一、选择题：每题6分，满分36分1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知nmx =50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ）2、若A 223、P 别为A A 294(A) (5(A) 6（A ）78O 对9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为1+n 的点为n ，横坐标为n的点为+n .记坐标为（1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x .10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .11．设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +- 的最小值为___________________．12．已知ABC ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且564035aGA bGB cGC ++=0，则B ∠=__________．三、解答题：每小题20分，满分60分13、设集合A 和B 都是由正整数组成的集合，|A|＝10，|B|＝9，并且集合A 满足如下条件：若v u y x A v u y x +=+∈,,,,，则},{},{v u y x =.令},|{B b A a b a B A ∈∈+=+ 求证：|A+B|≥50. （|X|表示集合X 的元素个数）14已,B D15为1322012年全国高中数学联赛模拟试题三一、选择题1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有（）个A.360B.252C.720D.2402.已知数列{na}(n≥1)满足2+n a=1+n a-n a，且2a=1,若数列的前2005项之和为2006，则前3.604．设（A）5．,a（A）6．∆是（（A）1．设2m=34.的积为随机变量ξ，则ξ的数学期望Eξ=________________5.在锐角三角形ABC中，设tanA,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为_______________6.∑=++++1001)]910)(710)(310)(110[(iiiii的末三位数是_______三、解答题1.三个等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3,两两外切且均内切于⊙O，从⊙O上任意一点向三个小圆引三条切线，求证：其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.2.设3.2012年全国高中数学联赛模拟试题四一、填空题1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．程成，2．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．3. （，试求,A M2012年全国高中数学联赛模拟试题五一、填空题1. 从集合{}1,2,3,,2009M = 中，去掉所有3的倍数以及5的倍数后，则M 中剩下的元素个数为 ．2. 函数322()(1)x x f x x -=+的值域是 ．数，C，且(P2. （25分）如图，AB 、CD 、EF 是一个圆中三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为,,M N P ；证明：,,M N P 三点共线．3. （25分）n 项正整数列12,,,n x x x 的各项之和为2009，如果这n 个数既可分为和相等的41个组，又可分为和相等的49个组，求n 的最小值．。

PA ⋅ PB = 1 x - (x + 2) 0 0 x 02 2 PA ⋅ PB = PA PB cos 3π42 2 2 x x A D 0 0 x ⎝ 0 ⎭ 0一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）2012 年全国高中数学联合竞赛第一试 1. 设 P 是函数 y = x + 2(x > 0) 图像上的任意一点，过 P 分别向直线 y = x 和 y 轴作垂线，垂足分别为xA 、B ．则 PA ⋅ PB = ． 答案：-1．解法 1 设 P ⎛ x , x + 2 ⎫，则l: y - ⎛ x + 2 ⎫ = -(x - x ) ，即 y = -x + 2x + 2 ．⎝ 0 ⎭ PA 0 x ⎪ 0 0 x 上式与 y = x 联立解得点 A ⎛ x + 1 , x+ 1 ⎫ ．又点 B ⎛ 0, x + 2 ⎫ ，则 PA = ⎛ 1 , - 1 ⎫ ，PB = (-x ,0) ，0 x 0 x ⎪ 0 x x x ⎪⎝ 0 0 ⎭ 故 (-x ) = -1 ． ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 0 ⎭0 0⎛ 2 ⎫解法 2 如图 3，设 P x 0 , x 0 + ⎝⎪(x 0 > 0) ．则点P 到直线 x - y = 0 和 y x 0 ⎭ PA = = ， PB = x ． 0因为 O 、A 、P 、B 四点共圆，所以， ∠APB = π - ∠AOB = 3π ．4图 3 故= -1． 2. 设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、c ，且满足a cos B - b cos A = 3 c .则 tan A= ．5tan B答案：4．c 2 + a 2 - b 2b 2 +c 2 - a 2 3 2 23 2 解法 1由题设及余弦定理得a ⋅- b ⋅ = c ⇒ a - b = c ．tan A = sin A ⋅ cos B = a ⋅ 2cac 2 + a 2 - b 22ca 2bc 5 5=c + a - b = 故 tan B sin B ⋅ cos A b 2 + c 2 - a 2 b ⋅2bcc 2 + b 2 - a 24 C 解法 2 如图 4，过点 C 作CD ⊥ AB ，垂足为 D .则a cos B = DB ， b cos A = AD ．由题设得 DB - AD = 3c ．B5CD 图 4 又 DB + DA = c ，联立解得 AD = 1 c ， DB = 4c .故tan A = AD = DB = 4 ． 5 解法 3 由射影定理得a cos B + b cos A = c5 tan B CD ADDB 又 a cos B - b cos A = 3 c ，与上式联立解得a cos B = 4 c ， b cos A = 1c5 5 5故 tan A = sin A ⋅ cos B = a cos B = 4 tan B sin B ⋅ cos A b c os AMNABAF BF⎛ 2π ⎫ AB π AF + BF AB AF + BFMN AB AF + BF AF + BF MN AB⎫ 2 3. 设 x 、y 、z ∈[0,1] .则 M =的最大值是 ．答案： +1．解：不妨设0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1.则 M =⇒ M ≤ ( 2 + 2+1．当且仅当 x = 0 ， y = ， z = 1 时，上式等号同时成立．24. 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，准线为 l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π. 3设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N .则的最大值是 ．答案：1．解法 1 设∠ABF = θ ⎛0 < θ < 2π ⎫ .则由正弦定理得 = = ． 3 ⎪ sin θ ⎝ ⎭ sin ⎝ 3- θ ⎪ ⎭ sin3 sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫3 ⎪ ⎛ π ⎫ 故 = ，即= ⎝ ⎭ = 2 c os θ - ⎪． sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫ sin π sin π ⎝ 3 ⎭ 3⎪ 3 3 ⎝ ⎭如图 5，由抛物线的定义及梯形的中位线定理得： MN =①2 则 = cos ⎛θ - π ⎫ ．故当θ = π 时，取得最大值 13 ⎪ 3 ⎝ ⎭解法 2 同解法 1 得式①在△AFB 中，由余弦定理得AB 2= AF 2+ BF 2- 2 AF BF cos π3= ( AF + BF )2- 3 AF BF⎛ ⎫2≥ ( AF + BF )2 - 3 ⎪⎝ 2 ⎭⎛ 2= 2 ⎪= MN . ⎝ ⎭当且仅当 AF = BF 时，上式等号成立．故 的最大值为 1．2 MN AB⎣⎨ 5. 设同底的两个正三棱锥 P - ABC 和Q - ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P - ABC 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成角的正切值是 ．答案：4．解：如图 6，联结 PQ .则 PQ ⊥平面 ABC ，垂足 H 为正△ABC 的中心，且 PQ 过球心 O ．联结 CH 并延长与 AB 交于点 M .则 M 为边 AB 的中点，且CM ⊥ AB .易知，∠PMH 、∠QMH 分别为正三棱锥 P - ABC 、正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成二面角的平面角．则∠PMH = 45°⇒ PH = MH = 1AH .2由∠PAQ = 90°， AH ⊥ PQ ⇒ AH 2 = PH ⋅ QH1 ⇒ AH 2= AH ⋅ QH2⇒ QH = 2 AH = 4MH .故 tan ∠QMH = QH= 4MH图 66. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 2 ．若对任意的 x ∈[a , a + 2]，不等式 f (x + a ) ≥ 2 f (x )恒成立，则实数 a 的取值范围是．⎧⎪x 2 , x ≥ 0;解：由题设知 f (x ) = 2⇒ 2 f (x ) = f ( 2x )⎪⎩-x , x < 0 故原不等式等价于 f (x + a ) ≥ f ( 2x )．由 f (x ) 在 R 上是增函数知x + a ≥ 2x ⇒ a ≥ ( 2 -1)x ⇒ a ≥ ( 2 -1)(a + 2) ⇒ a ≥ 2. 即 a 的取值范围为 ⎡ 2, +∞)7. 满足 1 < sin π < 1的所有正整数 n 的和是．4 n 3解：由正弦函数的凸性，知当 x ∈(0, π )6 时， 3x < sin x < x ． π 故sin π < π < 1 ， sin π > 3 ⨯ π = 1 ， sin π < π < 1 ， sin π3 π 1 ．> ⨯ = 13 13 4 12 π 12 4 10 10 39 π 9 3因此，满足 1 < sin π < 1的正整数 n 的所有值分别为 10、11、12，其和为 33．4 n 3⎨8. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用 A 种密码.那么，第七周也使用 A 种密码的概率是 （用最简分数表示）． 解：用 P k 表示第 k 周用 A 种密码本的概率.则第 k 周未用 A 种密码的概率为1 - P k ．故P = 1(1 - P )(k ∈ N ) k +1 3 k +⇒ P - 1 = - 1 (P - 1)k +14 3 k 4 ⇒ P - 1 = 3 (- 1)k -1k⇒ P k⇒ P 7 4 4 3 = 3 (- 1)k -1 + 14 3 4= 61 . 243二、解答题（共 56 分）9. （16 分）已知函数 f (x ) = a s in x - 1 cos 2x + a - 3 + 1，其中，a ∈ ，且a ≠ 0 ． 2 a 2（1）若对任意 x ∈ ，都有 F (x ) < 0 ，求 a 的取值范围．（2）若a ≥ 2 ，且存在 x ∈ ，使 f (x ) ≤ 0 ，求 a 的取值范围．解：（1） f (x ) = sin 2 x + a sin x + a - 3 . 令t = sin x (-1 ≤ t ≤ 1) .则 g (t ) = t 2 + at + a - 3a a⎧g (-1) = 1 - 3 ≤ 0, 由题设知⎪ a 3 ⎪g (1) = 1 + 2a - ≤ 0． ⎩⎪ a解得 a 的取值范围为(0,1]．（2）因为a ≥ 2 ，所以， - a≤ -1 ．2故 g (t ) min= g (-1) = 1 - 3 ． a从而， f (x ) min= 1 - 3 ． a 由题设知1 - 3≤ 0 ．a解得0 < a ≤ 3 ．故 a 的取值范围是[2,3]．⎩10. （20 分）已知数列{a n } 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 n 都有(a + a + …+ a )2 = a 3 + a 3 + …+ a 3．12n12n（1）当n = 3时，求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n } ，使得a 2013 = -2012 ？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．解：（1）当n = 1时， a 2 = a 3 ．由a ≠ 0 ，得a = 1．1111当 n = 2 时， (1+ a )2= 1+ a 3．由a ≠ 0 ，得a = 2 或-1 ．2222当 n = 3时， (1+ a + a )2= 1+ a 3 + a 3．若a = 2 ，得a = 3 或-2 ；若a = -1，得a = 1 ．23232323综上，满足条件的三项数列有三个：1，2，3 或 1，2， -2 或 1， -1 ，1． （2）令 S = a + a + …+ a .则 S 2 = a 3 + a 3 + …+ a 3 (n ∈ N ) ． n1 2 n n 1 2 n +故(S + a)2= a 3 + a 3 + …+ a3.两式相减并结合a≠ 0 ，得2S = a 2- a ．nn +112n +1n +1nn +1n +1当 n = 1时，由（1）知a 1 = 1； 当 n ≥ 2 时， 2a = 2(S - S ) = (a 2 - a)- (a2 - a )，nnn -1即(a n +1 + a n )(a n +1 - a n -1) =0 ．所以， a n +1 = -a n 或a n + 1 ．又 a 1 = 1， a 2013 = -2012 ，则n +1n +1nn⎧⎪n ,1 ≤ n ≤ 2012; a n = ⎨⎪(-1)n2012, n ≥ 2013. 11. （20 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的边长为 4，且 OB = OD = 6 .（1）证明： OA OC 为定值；（2）当点 A 在半圆 M : (x - 2)2 + y 2 = 4(2 ≤ x ≤ 4) 上运动时，求点 C 的轨迹.解：（1）由 AB = AD = CB = CD ， OB = OD ，知 O 、A 、C 图 7，联结 BD.则 BD 垂直平分线段 AC ．设垂足为 K ， OA OC= ( OK - AK )(OK + AK )故 = OK 2- AK 2= (OB 2- BK2)- ( A B 2- BK 2)= OB 2 - AB 2= 20(定值).（2）设C (x , y ) ， A (2 + 2cos α, 2sin α ) ，其中， α = ∠xMA ⎛ - π ≤ α ≤ π ⎫．2 2 ⎪ ⎝ ⎭则∠xOC = α． 2又 OA 2 = (2 + 2cos α )2 + (2sin α )2 = 8(1 + cos α ) = 16cos 2 α ， 2所以， OA = 4 cos α．2由（1）的结论得 OC cos α= 5 ．2则 x = OC cos α= 5 ．2故 y = OC sin α = 5 t an α∈[-5,5] ．2 2因此，点 C 的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5,5) ， (5, -5) ．⎨ ++ 加试一、（40 分）如图 2，在锐角△ABC 中，AB > AC ，M 、N 是边 BC 上不同的两点，使得∠BAM = ∠CAN .设△ABC 和△AMN 的外心分别为O 1 、O 2 .证明： O 1 、O 2 、A 三点共线.图2证明：如图 8，联结 AO 1 、 AO 2 ，过点 A 作 AO 1 的垂线 AP 与 BC 的延长线交于点 P .则 AP 是 O 1 的切线.故∠B = ∠PAC .因为∠BAM = ∠CAN ，所以， ∠AMP = ∠B + ∠BAM = ∠PAC + ∠CAN = ∠PAN ． 从而，AP 是△AMN 外接圆 O 2 的切线.故 AP ⊥ AO 2 ． 因此， O 1 、O 2 、A 三点共线．二、（40 分）试证明：集合 A = {2, 22 ,…, 2n ,…}满足图 8（1）对每个a ∈ A 及b ∈ N + ，若b < 2a -1，则b (b +1) 一定不是 2a 的倍数；（2）对每个a ∈ A （ A 表示 A 在N + 中的补集），且a ≠ 1，必存在b ∈ N + ，b < 2a -1，使b (b +1) 是 2a 的倍数．解：（1）对任意a ∈ A ，设a = 2k (k ∈ N ) .则2a = 2k +1． 若 b 是任意一个小于2a -1的正整数，则b +1 ≤ 2a -1 ．由于 b 与b +1中，一个为奇数，它不含质因子 2，另一个为偶数，它含质因子 2 的幂的次数最多为 k 、因此， b (b +1) 一定不是 2a 的倍数．（2）若a ∈ A ，且a ≠ 1，设a = 2k m ，其中， k ∈ N ，m 为大于 1 的奇数． 则 2a = 2k +1 m ． 下面给出三种证明方法．方法 1 令b = mx ， b +1 = 2k +1 y ．消去 b 得2k +1 y - mx = 1.由(2k +1 , m )= 1，知方程必有整数解⎧⎪x = x + 2k +1t ,⎨ 0⎪⎩ y = y 0 + mt , 其中， t ∈ Z ， (x 0 , y 0 ) 为方程的特解． 记最小的正整数解为(x ', y ') .则 x ' < 2k +1 ．故b = mx ' < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a 的倍数．方法 2 注意到， (2k +1 , m )= 1，由中国剩余定理，知同余方程组⎧⎪x ≡ 0(mod 2k +1 ), ⎪⎩x ≡ m -1(mod m )在区间(0, 2k +1 m ) 上有解 x = b ，即存在b < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a的倍数． 方法 3 由(2, m ) = 1 ，总存在r (r ∈ N + , r ≤ m -1) ，使得2r ≡ 1(mod m )取t ∈ N ，使得tr > k +1 .则2tr≡ 1(mod m ) ． 存在b = (2tr -1)- q (2k +1 m )> 0(q ∈ N ) ， 使得0 < b < 2a -1.此时， m b ，2k +1 (b +1) .从而， b (b +1) 是 2a 的倍数．0 k⎛d ⎫3三、（50 分）设P，P1，…，Pn是平面上n +1 个点，其两两间的距离的最小值为d(d > 0) ．证明：P P P P …P P>d n0 1 0 2 0 n(3)证法1 不妨设PP1≤PP2≤…≤PPn．先证明：对任意正整数 k 都有 P P >.0 k3显然， P P ≥d ≥ 对k = 1, 2 ，…，8 均成立，只有当k = 8 时，上式右边取等号.0 k3所以，只需证明：当k ≥ 9 时，有 P P >即可．0 k3以点P (i = 0,1,…k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切；以点 P 为圆心、 PP +di 2 0 0 k2为半径画圆，此圆覆盖上述k +1 个圆．则π⎛P Pd ⎫2+⎪2>(k +1)π ⎪ ⇒P0P k>d (1)．由k ≥ 9 ，易知>．⎝ 2 ⎭⎝2 ⎭ 2 2 3所以， P P >对k = 9 ，10，…，n 也成立．0 k3综上，对任意的正整数 k 都有 P P >．0 k3⎛d ⎫n故PP1PP2…PPn> ⎪⎝⎭．证法 2 所设同证法1．以P (i = 0,1,…, k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切．i设Q 是2Pi上任意一点．PQ ≤PPi+PiQ由=P P +1d0 i2≤P P +1P P =3P P ,0 k 2 0 k 2 0 k知以P 为圆心、3PP 为半径的圆覆盖上述k +1 个圆．0 2 0 k⎛3 ⎫2 ⎛d ⎫2则π2PPk⎪ > (k + 1)π 2 ⎪ ，即 P0P k>k = 1, 2,…, n)．⎝⎭⎝⎭四、（50 分）设S =1+1+…+1n 是正整数）.证明：对满足0≤a<b≤1的任意实数a、b，数列{S-[S]}（n 2 n n n 中有无穷多项属于(a,b)，（[x]表示不超过实数x 的最大整数）．证法1（1）对任意n ∈N+，S =1 +1+1+…+12n 2 3 2n=1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+1)有 2 21 +1222n-1 +12n>1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+12 22 222n 2n= 1 +1+1+…+1>1n.2 2 2 212iN0 令 N =⎡ 1 ⎤+ 1 ， m = [S]+1.则1< N ，1< b - a ，S< m ≤ m + a ． 0⎢⎣b - a ⎥⎦N 0b - a 0N 0又令 N 1 = 22(m +1) .则 S N = S2( m +1)> m +1 ≥ m + b ．从而，存在n ∈ N + ， N 0 < n < N 1 ，使得m + a < S n < m + b ⇒ S n - [S n ]∈(a ,b ) ．否则，存在 N 0 < k ，使得 S k -1 ≤ m + a ， S k ≥ m + b ．于是 S - S ≥ b - a ，与 S - S = 1 < 1 < b - a 矛盾．k k -1 k k -1k N 0故一定存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,b ) ． （2）假设只有有限个正整数 n 1 ， n 2 ，…， n k ，使得 S n - ⎡S n ⎤ ∈(a ,b )(1 ≤ j ≤ k ) ．j ⎣ j ⎦令c = min {S n j - ⎡S n j⎤}则a < c < b ．1≤ j ≤k⎣ ⎦ 故不存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,c ) 与（1）的结论矛盾．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ． 综上，原命题成立．证法 2 由证法 1，知当 n 充分大时， S n 可以大于任何一个正数．令 N = ⎡ 1 ⎤+ 1 .则 N > 1 ．⎢⎣b - a ⎥⎦b - a当 k > N 时， S - S= 1 < 1 < b - a ．0 k k -1k N 0同证法 1 可证，对于任何大于 S 0m + a < S n < m + b ．的正整数 m ，总存在n > N 0 ，使得 S n - m ∈(a ,b ) ，即令m i = ⎡S N ⎤ + i (i = 1, 2,…).则m i > S N .⎣ 0 ⎦ 0故一定存在n i > N 0 ，使得m i + a < S n < m i + b ．从而， a < S n - m i = S n - ⎡S n ⎤ < b ．i i ⎣ i ⎦这样的 i 有无穷多个．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ．N。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：主体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。

锥体的体积公式为13V sh=，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设i为虚数单位，则复数56ii-=A．65i+B．65i-C．65i-+D．65i--2．设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4 } 则UC M=A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}3．若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=A．（-2,-4）B．(2,4) C．(6,10) D．(-6,-10) 4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A．ln(2)y x=+B．y=C．y=12x⎛⎫⎪⎝⎭D．1y xx=+25．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1- 6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是 A.49 B. 13 C. 29 D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12 B.1 C. 32 D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案2012年全国高中数学联赛一试及加试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．21.设P 是函数y x （x 0 ）的图像上任意一点，过点P 分别向x直线y x 和y 轴作垂线，垂足分别为 A B ，则PA PB 的值是_____________. 32.设ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ，且满足a cos B b cos A c ，5 tan A则的值是_____________. tan B3.设x y z 01 ，则M x y y z z x 的最大值是_____________.4.抛物线y 2 px p 0 的焦点为F ，准线为l ， A B 是抛物线上的2两个动点，且满足AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，3 MN 则的最大值是_____________. AB 5．设同底的两个正三棱锥P ABC 和Q ABC 内接于同一个球．若正三棱锥P ABC 的侧面与底面所成的角为45 ，则正三棱锥Q ABC 的侧面与底面所成角的正切值是_____________.6.设f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，f x x ．若对任意的x a a 2 ，不等式f x a 2 f x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 1 17．满足sin 的所有正整数n 的和是_____________. 4 n 38．某情报站有A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．1 3 19．（本小题满分16分）已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2（1）若对任意x R ，都有f x 0 ，求 a 的取值范围；（2）若 a 2 ，且存在x R ，使得f x 0 ，求a 的取值范围．10．（本小题满分２０分）已知数列an 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有a1 a2 an 2 a13 a2 an 3 3（1）当n 3 时，求所有满足条件的三项组成的数列a1 a2 a3 （2）是否存在满足条件的无穷数列an ，使得a2013 2012 若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为 4 ，OB OD 6 ．且（1）求证：OA OC 为定值；（2）当点A在半圆x 2 y 4 （2 x 4 ）上运动时，求2 2点C 的轨迹．2012 年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40 分）如图，在锐角ABC 中，AB AC M N 是BC 边上不同的两点，使得BAM CAN . 设ABC 和AMN 的外心分别为O1 O2 ，求证：O1 O2 A 三点共线。

3．如图，在⊙O 中， C D D A AB==，给出下列三个结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30°时，∠D A B =80°．其中正确的个数是【 D 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解：因为 C D AB =，所以DC =AB ；因为 AD AB =，AO 是半径,所以AO ⊥BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -︒+=︒，解得80x =︒．4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 B 】（A ）34（B ）23（C ）13（D ）21解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3264=.5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共有【 D 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2=225126-=，可得)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ．6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 A 】yO第6题图xyOABC 1C 2C 3 C 4C 5 第5题图第3题图ODCBA（A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+（C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+解：221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ，设4bx -=，882b y -=，由4b x -=得x b 4-=，所以222218)4(888x x b y -=--=-=．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为 7 ． 解：71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ． 8方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 120,4x x ==-解：11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++11213(1)(3)x x x x =-=++++.∴22(1)(3)3x x =++，解得 120,4x x ==-.9．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1,0）， 若点A 的坐标为（a ，b ），将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段B A '，则点A '的坐标是 (1,1)b a +-+ ．解：分别过点A 、A '作x 轴的垂线，垂足分别 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的坐标是(,)a b ，所以O D O B B D =+1O B A C b =+=+，1A D B C a '==-，所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AM =1， DE 是以点A 为圆心2为半径的41圆弧， N B 是以点M 为圆心2为半径的41圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 2 ．解：连接MN ，显然将扇形AED 向右平移CDN D C A'B AOyx第9题图可与扇形MBN 重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积，等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为 -2 ． 解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴212αα=-． ∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-， 又 ∵2,αβ+=-∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 36 个．解：利用抽屉原理分析，设最多有x 个小朋友，这相当于x 个抽屉，问题变为把145颗糖放进x 个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145，解得x ≤36，所以小朋友的人数最多有36个．14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =．∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤ 依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩，∴4,1x k=-∴ 41 3.1k-≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分（2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分QP xyDCBAO又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22， ∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分15. 如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角是90°．点B 是 MN 上一动点， BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ，试说明223PQ O A +是定值．解：（1）证明：如图①， ∵∠AOC =90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//．∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点， ∴.,//GC AE GC AE =∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB ， ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点， ∴ GF ∥OB ，DE ∥OB ， ∴ PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED =90°时，□EPGQ 是矩形． 此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°，∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AE BEBC=．设OA =x ，AB =y ，则2x∶2y =2y ∶x ，得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=，即2221x y +=． ∴2221x x +=，解得33x =．A B C OD E F GPQ MN 图②A BCO D EFGPQM N图①∴当OA 的长为33时，四边形EPGQ 是矩形．………………………………12分（3）如图③，连结GE 交PQ 于O '，则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '． 由△PCF ∽△PEG 得，2,1PG PE G E PFPC FC ===∴ P A '=23A B ''=13AB ， GA '=13GE =13OA ，∴1126A O G E G A O A'''=-=．在Rt △PA O ''中，222PO PA A O ''''=+，即 2224936PQ AB O A =+， 又 221AB OA +=，∴ 22133PQ AB =+，∴2222143()33O A PQ O A AB +=++=．……………………………………18分B'N M A'QP O'GF E DC BAO图③。

２ ０ １ ２年全国高中数学联赛加试试题
考试时间： ２ ０ １ ２年 １ ０月 １ ４日上午 ９ ： ４ ０ １ ２ ： １ ０
一、 （ 本题满分 ４ ０分） 如图， 在锐角 △Ａ Ｂ Ｃ中， Ａ Ｂ＞Ａ Ｃ ， Ｍ、 Ｎ是 Ｂ Ｃ边上两个不同的 Ａ Ｍ ＝∠Ｃ Ａ Ｎ ． 设 △Ａ Ｂ Ｃ和 △Ａ Ｍ Ｎ的外心分别为 Ｏ 、 Ｏ ， 点， 使得 ∠Ｂ １ ２ 求证： Ｏ 、 Ｏ 、 Ａ三点共线． １ ２
｛ Ｓ ［ Ｓ ］ ｝ 中有无穷多项属于（ ａ ， ｂ ） ． 这里， ［ ｘ ］ 表示不超过实数 ｘ 的最大整数． ｎ－ ｎ
２ ０ １ ２年全国高中数学联赛加试试题㊀㊀第 １页（ 共 １页）
（ 考生注意： 答题时， 应在答题纸上另行画图， 所标字母必须与右图中的字 ） 母完全一致．
二、 （ 本题满分 ４ ０分）
２ ｎ 试证明： 集合 Ａ＝{２ ， ２ ， …， ２ ， … }满足 （ １ ） 对每个 ａ ， 及ｂ ， 若ｂ ＜ ２ ａ － １ ， 则ｂ （ ｂ ＋ １ ） 对每个 ａ （ 其 中 Ａ表 示 Ａ在 Ｎ 中 的 补 集 ） ， 且ａ ， 必存在 ｂ ｂ ＜ ２ ａ－ １ ， ∈Ａ ≠１ ∈ Ｎ ， 使ｂ （ ｂ ＋ １ ） 是２ ａ的 倍 数 ． 三、 （ 本题满分 ５ ０分） 设Ｐ ， Ｐ ， Ｐ ， …， Ｐ ＋ １个点， 它们两两间的距离的最小值为 ｄ （ ｄ ＞ ０ ） ． 求证： ０ １ ２ ｎ 是平面上 ｎ ｄｎ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀ ｜ Ｐ Ｐ ·｜ Ｐ Ｐ ·…· ｜ Ｐ Ｐ ＞ （ ） （ ｎ ＋ １ ） ！． ０ １｜ ０ ２｜ ０ ｎ｜ ３ 槡 四、 （ 本题满分 ５ ０分） 设Ｓ １＋ ｎ＝ １ １ ＋… ＋ ， ｎ是 正 整 数． 证 明： 对满足 ０ 、 ｂ ， 数列 ≤ ａ＜ｂ ≤ １的 任 意 实 数 ａ ２ ｎ

)
)
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因此， Ｐ Ａ Ｍ＝ Ｐ Ａ＋ Ｍ Ｂ ． 所以 Ａ Ｍ＝ Ｍ Ｂ １ ０分 故Ｍ Ｎ Ｂ ． ⊥Ａ 连结 Ｑ Ｉ 并延长， 交Ａ Ｎ于 Ｃ ， 则Ｃ Ｑ Ｂ ． ⊥Ａ １ １ 因而 Ｍ Ｎ Ｑ ２ ０分 ∥Ｃ １ 因此， Ｃ Ｑ＝ Ｎ Ｍ＝ Ｐ Ｑ ． ∠Ａ ∠Ａ ∠Ａ １ 故Ａ 、 Ｐ 、 Ｃ 、 Ｑ四点共圆 ３ ０分 １ 从而∠Ａ Ｐ Ｃ １ ８ ０ ° － Ｑ Ｃ ９ ０ ° ＝ Ｐ Ｃ ． ∠Ａ ∠Ａ １＝ １＝ 所以点 Ｃ 即Ｃ 、 Ｉ 、 Ｑ三点共线 １ 与点 Ｃ重合， 二、 （ 本题满分 ４ ０分） 给定整数 ｎ ＞ １ ， 设ａ ， ａ ， …， ａ 记集合 １ ２ ｎ 是互不相同的非负实数， Ａ＝{ ａ ａ Ｂ＝{ ａ ａ }， } │１ ≤ｉ ≤ｊ ≤ｎ │１ ≤ｉ ≤ｊ ≤ｎ． ｉ＋ ｊ ｉ ｊ 求 │Ａ │ 的最小值． 这里， │Ｘ │表示集合 Ｘ中元素的个数． │Ｂ │
２ ０ １ ２年全国高中数学联赛加试试题（ Ｂ卷） 参考答案及评分标准
说明：
１ 、 评阅试卷时， 请严格按照本评分标准的评分档次给分； ２ 、 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理， 步骤正确， 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评 分， １ ０分为一个档次， 不要再增加其他中间档次．
一、 （ 本题满分 ４ ０分） 如图， 圆Ｉ 内切于圆 Ｏ ， 切点为 Ｐ ， 圆 Ｏ的弦 Ａ Ｂ切圆 Ｉ 于点 Ｑ ， Ｐ Ｑ的延长线交圆 Ｏ于点 Ｍ， Ｍ Ｎ为圆 Ｏ的直径． 过点 Ｐ作 Ｐ Ａ的 垂线交 Ａ Ｎ于点 Ｃ ． 求证： Ｃ 、 Ｉ 、 Ｑ三点共线． 证明： 作圆 Ｏ ， 圆Ｉ 的公切线 Ｐ Ｄ ， 则∠Ｍ Ｐ Ｄ＝ Ｑ Ｐ ． ∠Ａ
２ ｜ ｘ １－ Ａ ｜ ｎ － １＋ ｜ ｘ Ａ ｜ ＝｜ ｘ ＋ １－ Ａ ｜ ＝ ０分 ３ ｎ－ ｎ － １ 槡 ｘ １＋ Ａ ｎ － １＋ 槡 ２ 由 Ａ满足方程①知， １－ Ａ ＝－ Ａ ． 又槡 ｘ １＋ Ａ＞ Ａ＞ １ ， ｎ － １＋

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A 卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．试卷分析 陈功文一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --解：分子分母同乘以-i ，得D 选项为正确答案。

2．设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U =ðA ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}解：选C3．若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA = ，则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--解：BC =BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4)，选A 4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ． ln(2)y x =+B 1y x =-+C ． 1()2xy =D ． 1y x x=+解：B 、C 为减函数，D 为双钩函数，双钩函数在(0,)+∞上先减后增，选A 分析：前4题难度都不大，掌握概念和基本方法就可以拿到分。

5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-1解：可行域如图：所3z x y =+的最大值为3*3+2=11，选B6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π解：根据三视图可知，该几何体上部分为圆锥，下部分为圆柱，选C7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．19解：个位数为0且“个位+十位=奇数”的两位数是10 30 50 70 90 共5个 若十位数为奇数，则个位数为偶数，共有C （5，1）*C （5，1）=25 若十位数为偶数，则个位数为奇数，共有C （4，1）*C （5，1）=20 5/（25+20）=1/9选D分析：5-7题难度中等，考察的方法较简单，计算量比前4题大些。