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第三章 量子力学初步3.1 波长为οA 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：动量为：12410341063.6101063.6----∙∙⨯=⨯==秒米千克λhp 能量为：λ/hc hv E ==焦耳151083410986.110/1031063.6---⨯=⨯⨯⨯=。
3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：meVh 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--⨯=⨯=e m把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：οοολA A A V 1225.01000025.1225.12===对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--⨯=⨯=e m ，代入波长的表示式，得：ολA 319273410862.2100001060.11067.1210626.6----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。
因而原来ολA V25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。
试证明之。
证明：德布罗意波长：p h /=λ对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：222022c p c Km K =+而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =2200222/)(22)(c eV eV m p eV m ceV p +=+=∴因此有：2002112/c m eV eVm h p h +⋅==λ一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。
所以，可以将上式的根式作泰勒展开。
只取前两项，得：)10489.01(2)41(260200V eVm h cm eVeVm h -⨯-=-=λ由于上式中οA VeV m h 25.122/0≈，其中V 以伏特为单位，代回原式得：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。
【市级联考】山东省日照市2024届高三下学期3月模拟理科综合全真演练物理试题（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题“气泡室”是早期研究带电粒子轨迹的重要实验仪器，如图为一些不同的带电粒子在气泡室里运动的轨迹照片．现选择A、B两粒子进行分析，它们的轨迹如图．测量发现初始时B粒子的运动半径大于A，若该区域所加的匀强磁场方向垂直于纸面，则（）A．洛伦兹力对A做正功B．粒子B在做逆时针的转动C．粒子A、B的电性相同D．B粒子的速度一定大于A第(2)题如图所示，ABCD-A＇B＇C＇D＇为一立方体木箱，O点为底面A＇B＇C＇D＇中心，M点为DD＇中点，N点为BCC＇B＇面的中心。
AO、MO、NO为三个光滑轻杆，三个完全相同的小球套在轻杆上，分别从A、M、N三点由静止沿轻杆滑下。
关于三个小球的运动，下列说法正确的是（）A．三个小球滑到O点时的速度大小相等B．三个小球滑到O点所用的时间相等C．从A点滑下的小球到达O点时的速度最大D．从M点滑下的小球到达O点所用时间最短第(3)题下列说法正确的是（）A．所有的核反应都具有质量亏损B．β衰变本质是原子核中一个质子释放一个电子而转变成一个中子C．光子既具有能量，又具有动量D．宏观粒子不具有波动性第(4)题如图所示，有一束单色光入射到极限频率为的金属板K上，具有最大初动能的某出射电子，沿垂直于平行板电容器极板的方向，从左侧极板上的小孔入射到两极板间的匀强电场后，到达右侧极板时速度刚好为零．已知电容器的电容为，带电量为，极板间距为，普朗克常量为，电子电量的绝对值为，不计电子的重力．关于电容器右侧极板的带电情况和入射光的频率，以下判断正确的是（）A．带正电，B．带正电，C．带负电，D．带负电，第(5)题图为交流发电机的模型图，下列说法正确的是（ ）A．仅对调磁极N和S，发电机将输出直流电B．仅增加线圈匝数，产生电动势将增大C．仅提高线圈转速，输出电流频率不变D．仅采用更粗的导线制作的线圈产生电动势更大第(6)题如图所示，互相垂直的两组平行金属板P、Q和M、N，板P、Q水平，板M、N竖直，板P、Q长度为板M、N长度的2倍。
三维立方势箱的零点能三维立方势箱是研究量子力学中的一个重要模型，它被用来描述粒子在一个有限大小的立方势箱内的运动行为。
零点能是指粒子在基态下的能量，即在温度为绝对零度时，粒子仍具有的能量。
本文将围绕三维立方势箱的零点能展开讨论。
我们来了解一下三维立方势箱的基本结构。
三维立方势箱是一个边长为L的立方体，粒子被限制在这个空间内运动。
在势箱内，粒子受到无穷高的势垒限制，即在势箱的边界上，粒子的势能趋于无穷大，而在势箱内部，粒子的势能为零。
在量子力学中，粒子的运动行为由波函数来描述。
对于三维立方势箱，波函数的形式可以由三个方向的定态波函数的乘积来表示。
每个方向上的定态波函数可以用正弦或余弦函数来表示，其波长与势箱边长的整数倍有关。
根据波函数的性质，我们可以得到三维立方势箱中的能级结构。
在讨论零点能之前，我们先来看一下三维立方势箱中的能级。
由于粒子在势箱内受到限制，它的能量只能取离散的值，即只能存在于特定的能级上。
每个能级都对应着一个波函数，而波函数的形状决定了粒子在势箱内的运动行为。
对于三维立方势箱，每个能级的能量由三个方向上的能量之和决定。
而每个方向上的能量与波函数的波数有关，波数与波长的倒数成正比。
因此，能级的能量与波长有关，可以用波长的倒数来表示。
根据这一关系，我们可以得到三维立方势箱中的能级公式。
现在，让我们来讨论一下三维立方势箱的零点能。
零点能是指粒子在基态下的能量，即在温度为绝对零度时，粒子仍具有的能量。
在三维立方势箱中，基态对应着能级最低的状态，即粒子的能量最小。
根据量子力学的原理，基态对应着波函数的基态。
在三维立方势箱中，基态波函数是由三个方向上的基态波函数的乘积构成的。
而基态波函数的形状决定了粒子在势箱内的运动行为，从而决定了粒子的能量。
由于在基态下，粒子的能量最小，因此零点能可以看作是粒子在基态下的能量。
根据计算，三维立方势箱的零点能与势箱的边长有关。
当势箱的边长较小时，粒子受到的限制较大，零点能较高；而当势箱的边长较大时，粒子受到的限制较小，零点能较低。
结构化学章节习题（含答案）第⼀章量⼦⼒学基础⼀、单选题： 1、32/sinx l lπ为⼀维势箱的状态其能量是：（ a ） 22229164:; :; :; :8888h h h hA B C D ml ml ml ml 2、Ψ321的节⾯有（ b ）个，其中（ b ）个球⾯。
A 、3 B 、2 C 、1 D 、03、⽴⽅箱中2246m lh E ≤的能量范围内,能级数和状态数为( b ). A.5,20 B.6,6 C.5,11 D.6,174、下列函数是算符d /dx的本征函数的是：（ a ）；本征值为：（ h ）。
A 、e 2xB 、cosXC 、loge xD 、sinx 3E 、3F 、-1G 、1H 、2 5、下列算符为线性算符的是：（ c ）A 、sine xB 、C 、d 2/dx 2D 、cos2x6、已知⼀维谐振⼦的势能表达式为V = kx 2/2，则该体系的定态薛定谔⽅程应当为（ c ）。
A [-m 22 2?+21kx 2]Ψ= E ΨB [m 22 2?- 21kx 2]Ψ= E Ψ C [-m 22 22dx d +21kx 2]Ψ= E Ψ D [-m 22 -21kx 2]Ψ= E Ψ 7、下列函数中，22dx d ,dxd的共同本征函数是（ bc ）。
A cos kxB e –kxC e –ikxD e –kx2 8、粒⼦处于定态意味着:（ c ）A 、粒⼦处于概率最⼤的状态B 、粒⼦处于势能为0的状态C 、粒⼦的⼒学量平均值及概率密度分布都与时间⽆关系的状态.D 、粒⼦处于静⽌状态9、氢原⼦处于下列各状态 (1)ψ2px (2) ψ3dxz (3) ψ3pz (4) ψ3dz 2 (5)ψ322 ，问哪些状态既是M 2算符的本征函数，⼜是M z 算符的本征函数?( c )A. (1) (3)B. (2) (4)C. (3) (4) (5)D. (1) (2) (5) 10、+He 离⼦n=4的状态有（ c ）（A ）4个（B ）8个（C ）16个（D ）20个 11、测不准关系的含义是指（ d ） (A) 粒⼦太⼩，不能准确测定其坐标； (B)运动不快时，不能准确测定其动量(C) 粒⼦的坐标的动量都不能准确地测定；（D ）不能同时准确地测定粒⼦的坐标与动量12、若⽤电⼦束与中⼦束分别作衍射实验，得到⼤⼩相同的环纹，则说明⼆者（ b ） (A) 动量相同 (B) 动能相同 (C) 质量相同13、为了写出⼀个经典⼒学量对应的量⼦⼒学算符，若坐标算符取作坐标本⾝，动量算符应是(以⼀维运动为例) （ a ）(A) mv (B) i x ?? (C)222x ?-? 14、若∫|ψ|2d τ=K ，利⽤下列哪个常数乘ψ可以使之归⼀化：（ c ）(A) K (B) K 2 (C) 1/K15、丁⼆烯等共轭分⼦中π电⼦的离域化可降低体系的能量，这与简单的⼀维势阱模型是⼀致的，因为⼀维势阱中粒⼦的能量（ b ）(A) 反⽐于势阱长度平⽅ (B) 正⽐于势阱长度 (C) 正⽐于量⼦数16、对于厄⽶算符, 下⾯哪种说法是对的（ b ）(A) 厄⽶算符中必然不包含虚数 (B) 厄⽶算符的本征值必定是实数(C) 厄⽶算符的本征函数中必然不包含虚数17、对于算符?的⾮本征态Ψ（ c ）(A) 不可能测量其本征值g . (B) 不可能测量其平均值.(C) 本征值与平均值均可测量，且⼆者相等18、将⼏个⾮简并的本征函数进⾏线形组合，结果（ b ）(A) 再不是原算符的本征函数(B) 仍是原算符的本征函数，且本征值不变 (C) 仍是原算符的本征函数，但本征值改变19. 在光电效应实验中，光电⼦动能与⼊射光的哪种物理量呈线形关系：( B )A .波长B. 频率C. 振幅20. 在通常情况下，如果两个算符不可对易，意味着相应的两种物理量( A)A ．不能同时精确测定B ．可以同时精确测定C ．只有量纲不同的两种物理量才不能同时精确测定 21. 电⼦德布罗意波长为(C )A ．λ=E /h B. λ=c /ν C. λ=h /p 22. 将⼏个⾮简并的本征函数进⾏线形组合，结果( Ａ） A ．再不是原算符的本征函数B ．仍是原算符的本征函数，且本征值不变C ．仍是原算符的本征函数，但本征值改变23. 根据能量-时间测不准关系式，粒⼦在某能级上存在的时间τ越短，该能级的不确定度程度ΔE （Ｂ）A ．越⼩ B. 越⼤ C.与τ⽆关24. 实物微粒具有波粒⼆象性, ⼀个质量为m 速度为v 的粒⼦的德布罗意波长为:A .h/(mv)B. mv/hC. E/h25. 对于厄⽶算符, 下⾯哪种说法是对的 ( B )A ．厄⽶算符中必然不包含虚数B ．厄⽶算符的本征值必定是实数C ．厄⽶算符的本征函数中必然不包含虚数 26. 对于算符?的⾮本征态Ψ (A ) A ．不可能测得其本征值g. B ．不可能测得其平均值.C ．本征值与平均值均可测得，且⼆者相等 27. 下列哪⼀组算符都是线性算符：( C )A ． cos, sinB ． x, logC ． x d dx d dx,,22⼆填空题1、能量为100eV 的⾃由电⼦的德布罗依波波长为( 122.5pm )2、函数：①xe ，②2x ，③x sin 中，是算符22dxd 的本征函数的是（ 1，3 ），其本征值分别是（ 1，—1；）3、Li 原⼦的哈密顿算符，在（定核）近似的基础上是:（()23213212232221223222123332?r e r e r e r e r e r e mH +++---?+?+?-= ）三简答题1. 计算波长为600nm(红光),550nm(黄光),400nm(蓝光)和200nm(紫光)光⼦的能量。
1.27 当粒子处在三维立方势箱中(a=b<c),试求能量最低的前3个能级简并度。
解：
三维势箱中粒子能量的表达式为 当a=b<c 时， ①当1x y z n n n ===时体系处于基态 （非简并态） ②当1,2x y z n n n ===时体系处于第一激发态 （非简并态） ③ i. 2,1;2,1x y z y x z n n n n n n ======
（二重简并态） ii. 1,3x y z n n n ===
（非简并态） 当 即
时为i 情况； 当
即
时为ii 情况； 当
即 时体系为三重简并。
1.28. 写出一个被束缚在半径为a 的圆周上运动的质量为m 的粒子的薛定锷方程，求其解。
解：
22
22222
111[()(sin )]()2sin sin r V r E m r r r r r θψψψθθθθφ∂∂∂∂∂-+++=∂∂∂∂∂ 其中(,,)()()()r R r ψθφθφ=ΘΦ
()0;;2V r r a πθ===
∴()R r ，()θΘ均为实数函数 ∴ 22222E ma ψψφ∂-=∂ 即222220ma E ψψφ
∂+=∂ 上式即为满足题意的薛定锷方程。
上式属于二阶齐次线性微分方程，其特解为：(cos sin )i n Ae A n i n φψφφ±==±
2222222()8y x z x y z n h n n E E E E m a b c =++=++22222(2())8x z h a E n n ma c =+22
02248h h E ma mc =+(1)a c <2212242h h E ma mc =+22
222588h h E ma mc
=+22222
94h h E ma '=+22E E '<1a <<22E E '>c <22E E '=a c =2
2()2H T V V r m =+=-
∇+2222222222222222
2111cot sin x y z r r r r r r θθθθφ∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++=++++∂∂∂∂∂∂∂∂
通过波函数归一化可求得
A 值，即：
222222000()21i n i n i n i n d A
e e d
A e e d A π
ππφφφφφφφπ±±±**ΦΦ====
⎰⎰⎰
故：A =
由边界条件知：()(2)ψφψφπ=+
sin )(2)sin (2)]n i n n i
n φφφπφπ±=+±+
∴必须有0,1,2,n =
，即n 必须为整数。
综上，方程的解为：i n φψ±= (0,1,2)n =±± 又
2n = ∴222
2n E ma = (0,1,2)n =±± 1.30 一个氧分子封闭在一个盒子里，按一维势阱计算（势阱宽度10cm ）
（1）氧分子的基态能量是多少
（2）设该分子T ＝300K 时平均热运动能量等于3/2kT ，相应量子数n 为多少？
(3) 第n 激发态与第n+1激发态能量相差多少？
解：⑴一维势阱的能量表达式为 其中： 当 时，体系处于基态，能量为
⑵ T ＝
故 (3)
1.32 若用二维箱中粒子模型, 将蒽(C 14H 10)的π电子限制在长700pm, 宽400pm 的长方箱中,计算基态跃迁到第一激发态的波长.
解： 二维势箱中粒子能量的表达式为： 对于蒽分子共有14个π电子，基态要占据能量最低的7个轨道，那么基态跃迁到第一
激发态即为轨道78→的跃迁。
22222222224()[()]887
y x x y x y n h n h E E E n n m a b mb =+=+=+22
28n h E ml
=260.1,32 5.352510p l m m m kg -===⨯1n =401.02510E J -=⨯23213 1.5 1.38110300 6.2145102E kT J --==⨯⨯⨯=⨯97.78510n ==⨯2222
3022[(1)](21) 1.61088n n h n h E J ml ml -+-+∆===⨯
根据粒子能量表达式，可以得到蒽分子在二维箱中，能级图为：
22109392c h h mb
λ=即
22222872244109[()51()94]877392h h E E E mb mb ∆=-=⨯+-⨯-=c E h λ∆
=∴2311028
7343923929.1110(410) 2.99810 2.3710237109109 6.62610mb c m nm h λ----⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯。
