三维势箱中粒子能量的表达式为当a=bc时,

第三章 量子力学初步3.1 波长为οA 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：动量为：12410341063.6101063.6----∙∙⨯=⨯==秒米千克λhp 能量为：λ/hc hv E ==焦耳151083410986.110/1031063.6---⨯=⨯⨯⨯=。

3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：meVh 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--⨯=⨯=e m把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：οοολA A A V 1225.01000025.1225.12===对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--⨯=⨯=e m ，代入波长的表示式，得：ολA 319273410862.2100001060.11067.1210626.6----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。

因而原来ολA V25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。

试证明之。

证明：德布罗意波长：p h /=λ对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：222022c p c Km K =+而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =2200222/)(22)(c eV eV m p eV m ceV p +=+=∴因此有：2002112/c m eV eVm h p h +⋅==λ一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。

所以，可以将上式的根式作泰勒展开。

只取前两项，得：)10489.01(2)41(260200V eVm h cm eVeVm h -⨯-=-=λ由于上式中οA VeV m h 25.122/0≈，其中V 以伏特为单位，代回原式得：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。

，即
1
2
[cos n ( 2 ) i sin n ( 2 )]
必须有 n 0,1,2,
n 必须为整数。
综上，方程的解为：
1 i n e (n 0, 1, 2 ) 2
n2 2 2ma 2
又
n
2ma 2 E
2
E
(n 0 , 1 , 2
1.28. 写出一个被束缚在半径为 a 的圆周上运动的质量为 m 的粒子的薛定锷方程，求其解。 解：
H T V
2
2
2m
2 V ( r )
2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 cot x y z r r r r 2 2 r 2 r 2 sin 2

2
R( r ) ， ( ) 均为实数函数

2 2 2ma 2 E 即 E 0 2 2ma 2 2 2
2
上式即为满足题意的薛定锷方程。 上式属于二阶齐次线性微分方程，其特解为：
Ae
i n
A(cos n i sin n )
c

392mb2c 392 9.11 1031 (4 1010 )2 2.998 108 2.37 107 m 237nm 109h 109 6.626 1子里，按一维势阱计算（势阱宽度 10cm） （1）氧分子的基态能量是多少 （2）设该分子 T＝300K 时平均热运动能量等于 3/2kT，相应量子数 n 为多少？ (3) 第 n 激发态与第 n+1 激发态能量相差多少？
解：⑴一维势阱的能量表达式为 E
n 2h 2 其中：l 0.1m, m 32m p 5.3525 1026 kg 8ml 2 当 n 1时，体系处于基态，能量为 E 1.025 1040 J 3 23 21 ⑵ T＝300K 时分子具有的能量为 E kT 1.5 1.381 10 300 6.2145 10 J 2 8ml 2 E 9 7.785 10 故n h2 (3) [(n 1)2 n 2 ]h 2 (2n 1)h 2 E 1.6 1030 J 2 2 8ml 8ml

x nx ( x) B sin( 2mE ) B sin
对
nx 确定B值 ( x ) B sin
因为箱内粒子不能越过势箱，则粒子在箱内各处出现的几 率总和应满足根据归一化条件： ∫∞∣Ψ∣2dτ = 1 对一维势箱有： 所以
b


0
( x) dx 1
ψ3 0
E3
n=3
0
n=3
ψ3* ψ3
ψ2 0 ψ1 0
n=2 n=1
E2
0
n=2 n=1
ψ2* ψ2
E1
0
ψ1* ψ1
5.状态能量高低与波函数节点数之间 的关系 ------节点数（n – 1）越多，能量越高。
节点： 除边界外，Ψ = 0的点。
量子数 波函数 节点数 能量
n=1
n=2 n=3 … n=n
一维势箱的应用
粒子在箱中的平均位置 粒子的动量x轴分量PX
粒子的动量平方PX2
共轭体系中π电子的运动
箱中粒子出现的几率
1．粒子在箱中的平均位置
因为
X X , X X
X * X dx
0 ^
^
^
所以无本征值，只能求平均值。
x dx
2 0
解法二： 因为势箱中位能 V = 0 2 2 所以 n h
E T
8m
2
P T 2m
所以
2 x
n h P 2 4
2 x
2
2
共轭体系中π电子的运动
例1．丁二烯的离域效应
假定有两种情况：（ a ） 4 个 π 电子形成两个定
域 π 键；（ b ） 4 个 π 电子形成 π44 离域 π 键，每 两个碳原子间距离为ι。分析其能量。

E = T +V
n 2h 2 1 1 2 px = =T = × 2m 2m 4l 2 n 2h 2 = 8 ml 2
量子力学处理微观体系的一般步骤： 量子力学处理微观体系的一般步骤： 根据体系的物理条件，写出势能函数， ①根据体系的物理条件，写出势能函数，进 而写出Schrödinger方程； Schrödinger方程 而写出Schrödinger方程； 解方程， ②解方程，由边界条件和品优波函数条件确 定归一化因子及E 求得ψ 定归一化因子及En，求得ψn ③描绘ψn， ψn*ψn 图 ，讨论 描绘ψ ； 用力学量算符作用于ψ ④用力学量算符作用于ψn，求各个对应状态各 种力学量的数值，了解体系的性质； 种力学量的数值，了解体系的性质； 联系实际问题，应用所得结果。 ⑤联系实际问题，应用所得结果。
当n=2时，体系处于第一激发态 。 时
当n=3时，体系处于第二激发态。 时 体系处于第二激发态。
讨 论
（ 3）波函数可以有正负变化 ， 但概率密度总是非负的 . ） 波函数可以有正负变化，但概率密度总是非负的. 概率密度为零的点或面（边界处除外）称为节点或节面， 概率密度为零的点或面（边界处除外）称为节点或节面，一 般说来，节点或节面越多的状态，波长越短，频率越高， 般说来，节点或节面越多的状态，波长越短，频率越高，能 量越高. 量越高.
π4 4
C
C
4/9E1
♠花菁燃料的吸收光谱
[R2N¨－(CH＝CH－)r ¨ ＝ － CH＝N+R2] ＝ l l 定域键 l
1/9E1
3l 离域键
•势箱总长l＝248r+565pm，共有 ＋2＋2个π电子，基态时需占 势箱总长l 势箱总长 ，共有2r＋ ＋ 个 电子，基态时需占r+2个分子轨 个分子轨 当电子由第（ 道，当电子由第（r+2）个轨道跃迁到第（r+3）个轨道时，需吸收光的频率为 ）个轨道跃迁到第（ ）个轨道时， c/ν h/8ml c/ 8ml h ν=△E/h h/8ml2)[(r+3)2-(r+2)2]=(h/8ml2)(2r+5), 由λ=c/ν，λ=8ml2c/(2r+5)h △E/h=(h/8ml

2 l 1 x l l 2 0 2 n
2 n x l x sin l 0 2 n
[解]（1）不同粒子的质量m的数值约为（a）电子 9.11031 kg， （b）质子 1.7 1027 kg ，（c）H原子 1.7 1027 kg ，（d）H 2 分子 3.4 1027 kg，（e） O2 5.3 1026 kg 。 x 的数值约为： H 2 分子 3 1010 m，C原子核 11015 m ，纳米管 1109 m ，5米箱5m。 从 x px h 出发，考虑 px mvmin 。 vmin可按下式估算：


2axe 6axe 6a
ax 2 ax 2
4axe
ax 2
4a x e
2
3 ax 2
4a x e
2
3 ax 2
因此，本征值为 6a 。
2 [1.12] 下列函数哪几个是算符 d 的本征函数？若是， 2 dx 求出本征值。
e x , sin x,2 cos x, x3 , sin x cos x
[1.15] 已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：
2 nx n ( x) sin l l
n 1,2,3,...
式中 l 是势箱的长度，x是粒子的坐标（0﹤x﹤ l ）。 计算： （a） 粒子的能量； （b） 粒子坐标的平均值； （c） 粒子动量的平均值。
[解]：(a) 由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用 下列两种方法计算粒子的能量： ①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能 量： 2 2
vmin h / m x vmin 由小到大的次序为： (e) d b a c （2） （a） H 2 分子中的电子 vmin 为

【市级联考】山东省日照市2024届高三下学期3月模拟理科综合全真演练物理试题（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题“气泡室”是早期研究带电粒子轨迹的重要实验仪器，如图为一些不同的带电粒子在气泡室里运动的轨迹照片．现选择A、B两粒子进行分析，它们的轨迹如图．测量发现初始时B粒子的运动半径大于A，若该区域所加的匀强磁场方向垂直于纸面，则（）A．洛伦兹力对A做正功B．粒子B在做逆时针的转动C．粒子A、B的电性相同D．B粒子的速度一定大于A第(2)题如图所示，ABCD-A＇B＇C＇D＇为一立方体木箱，O点为底面A＇B＇C＇D＇中心，M点为DD＇中点，N点为BCC＇B＇面的中心。

AO、MO、NO为三个光滑轻杆，三个完全相同的小球套在轻杆上，分别从A、M、N三点由静止沿轻杆滑下。

关于三个小球的运动，下列说法正确的是（）A．三个小球滑到O点时的速度大小相等B．三个小球滑到O点所用的时间相等C．从A点滑下的小球到达O点时的速度最大D．从M点滑下的小球到达O点所用时间最短第(3)题下列说法正确的是（）A．所有的核反应都具有质量亏损B．β衰变本质是原子核中一个质子释放一个电子而转变成一个中子C．光子既具有能量，又具有动量D．宏观粒子不具有波动性第(4)题如图所示，有一束单色光入射到极限频率为的金属板K上，具有最大初动能的某出射电子，沿垂直于平行板电容器极板的方向，从左侧极板上的小孔入射到两极板间的匀强电场后，到达右侧极板时速度刚好为零．已知电容器的电容为，带电量为，极板间距为，普朗克常量为，电子电量的绝对值为，不计电子的重力．关于电容器右侧极板的带电情况和入射光的频率，以下判断正确的是（）A．带正电，B．带正电，C．带负电，D．带负电，第(5)题图为交流发电机的模型图，下列说法正确的是（ ）A．仅对调磁极N和S，发电机将输出直流电B．仅增加线圈匝数，产生电动势将增大C．仅提高线圈转速，输出电流频率不变D．仅采用更粗的导线制作的线圈产生电动势更大第(6)题如图所示，互相垂直的两组平行金属板P、Q和M、N，板P、Q水平，板M、N竖直，板P、Q长度为板M、N长度的2倍。

1 x
2
时能量的平均值。 1.32. 求处于下列波函数所描述的状态的自由粒子的动量平均值。运动区间为 (, ) 。 (1) eikx (2) cos kx (3) e x 1.33. 设有一个质量为 m 的自由粒子（势能 V=0） ，给出下列 3 种情况的薛定谔 方程，并指出描述其状态的波函数各是哪些变量的函数。 (1) 在三维空间中运动； (2) 被束缚在半径为a的球面上运动（球面上势能为零，球内外势能为无穷 大） ； (3) 被束缚在半径为a的圆周上运动（圆周上势能为零，圆周内外势能为无 穷大） 。 1.34. 写出平面刚性转子，即被束缚在一圆周上的粒子的薛定谔方程，并求其解。 1.35. 求被束缚在半径为 a 的圆周上运动的粒子处于状态 ( ) cos 时角度 的 平均值。 （状态 ( ) cos 未归一化） 1.36. 将一维箱中粒子的波函数归一化时，得 B 2 何只取 B
2 x a sin 的一维箱中的粒子，出现在 x 处的几率是 a a 2 a 2 a 2 12 ( ) ( sin . ) 2 ，这种说法对吗？ 2 a a 2 a 求处于基态的一维箱中的粒子出现在 0.25a x 0.75a 内的几率。a 是一维 箱的长。 一质量为 m 的粒子，在长为 a 的一维箱中运动，若将箱长平均分为 3 段， 求该粒子处于第一激发态时出现在各段的几率。 一电子在长为 0.6 nm 的一维箱中运动，由能级 n=5 跃迁到 n=4 所发出的光 子的波长是多少？ 一维箱中的电子的最低跃迁频率为 2.0 1014 s 1 ，求箱长。 4 x 2 x 求处于状态 ( x) 的一维箱中的粒子的能量。若无确定 sin cos a a a 值，求其平均值。 2 x 2 2 x sin 3 sin 函数 ( x) 2 是否一维箱中粒子的一个可能状态？ a a a a 如果是，其能量有没有确定值？如果有，其值是多少？如果没有，其平均 值是多少？ 验证一维箱中粒子的波函数 1 和 2 正交。

三维立方势箱的零点能三维立方势箱是研究量子力学中的一个重要模型，它被用来描述粒子在一个有限大小的立方势箱内的运动行为。

零点能是指粒子在基态下的能量，即在温度为绝对零度时，粒子仍具有的能量。

本文将围绕三维立方势箱的零点能展开讨论。

我们来了解一下三维立方势箱的基本结构。

三维立方势箱是一个边长为L的立方体，粒子被限制在这个空间内运动。

在势箱内，粒子受到无穷高的势垒限制，即在势箱的边界上，粒子的势能趋于无穷大，而在势箱内部，粒子的势能为零。

在量子力学中，粒子的运动行为由波函数来描述。

对于三维立方势箱，波函数的形式可以由三个方向的定态波函数的乘积来表示。

每个方向上的定态波函数可以用正弦或余弦函数来表示，其波长与势箱边长的整数倍有关。

根据波函数的性质，我们可以得到三维立方势箱中的能级结构。

在讨论零点能之前，我们先来看一下三维立方势箱中的能级。

由于粒子在势箱内受到限制，它的能量只能取离散的值，即只能存在于特定的能级上。

每个能级都对应着一个波函数，而波函数的形状决定了粒子在势箱内的运动行为。

对于三维立方势箱，每个能级的能量由三个方向上的能量之和决定。

而每个方向上的能量与波函数的波数有关，波数与波长的倒数成正比。

因此，能级的能量与波长有关，可以用波长的倒数来表示。

根据这一关系，我们可以得到三维立方势箱中的能级公式。

现在，让我们来讨论一下三维立方势箱的零点能。

零点能是指粒子在基态下的能量，即在温度为绝对零度时，粒子仍具有的能量。

在三维立方势箱中，基态对应着能级最低的状态，即粒子的能量最小。

根据量子力学的原理，基态对应着波函数的基态。

在三维立方势箱中，基态波函数是由三个方向上的基态波函数的乘积构成的。

而基态波函数的形状决定了粒子在势箱内的运动行为，从而决定了粒子的能量。

由于在基态下，粒子的能量最小，因此零点能可以看作是粒子在基态下的能量。

根据计算，三维立方势箱的零点能与势箱的边长有关。

当势箱的边长较小时，粒子受到的限制较大，零点能较高；而当势箱的边长较大时，粒子受到的限制较小，零点能较低。

2 2 n2 h 2 nx n y z En ( 2 2 2 ) 8m a a c 2 h2 2 2 2 a ( n x n y nz 2 ) 2 8m a c
(n为能级顺序，nx,ny,nz为量子数，
a/c < 1）
h2 a2 nx n y nz 1 E1 (2 2 ) 2 8m a c h2 4a 2 nx n y 1, nz 2 E2 (2 2 ) 2 8m a c
第三个能级：有三种可能情况 2 2 h 9 a a） nx n y 1, nz 3 E3 (2 2 ) 2
8m a c h2 a2 n n 1, n y 2; n y nz 1, nx 2 E (5 2 ) 8m a2 c b） x z 2 2 a 9 a ' c） E3 E3 5 2 2 2 a 3 c c c 2 2
求平均值: <A> = *Âd /*d = ci2Ai/ ci2 ˆ T ˆP ˆ 2 / 2m H (ni 1,2,3,...) 2 p 2mE

i 13
2 n x sin i i li li
ni2 h2 E 8m i 13 li2
第一章作业情况总结：
Brief Summary of Chapter 1 微观粒子波动性-- 粒子 运动在空间出现的几率
波粒二象性 能量量子化
p = h/
) nh (atomicvibrat ion E h (photon) - RZ2 / n 2 (one- electron at om)
测不准原理：xp or Et ħ 1. 几率密度分布函数 ||2 2. 正交归一性： i*jd = ij

结构化学章节习题（含答案）第⼀章量⼦⼒学基础⼀、单选题： 1、32/sinx l lπ为⼀维势箱的状态其能量是：（ a ） 22229164:; :; :; :8888h h h hA B C D ml ml ml ml 2、Ψ321的节⾯有（ b ）个，其中（ b ）个球⾯。

A 、3 B 、2 C 、1 D 、03、⽴⽅箱中2246m lh E ≤的能量范围内,能级数和状态数为( b ). A.5,20 B.6,6 C.5,11 D.6,174、下列函数是算符d /dx的本征函数的是：（ a ）；本征值为：（ h ）。

A 、e 2xB 、cosXC 、loge xD 、sinx 3E 、3F 、-1G 、1H 、2 5、下列算符为线性算符的是：（ c ）A 、sine xB 、C 、d 2/dx 2D 、cos2x6、已知⼀维谐振⼦的势能表达式为V = kx 2/2，则该体系的定态薛定谔⽅程应当为（ c ）。

A [-m 22 2?+21kx 2]Ψ= E ΨB [m 22 2?- 21kx 2]Ψ= E Ψ C [-m 22 22dx d +21kx 2]Ψ= E Ψ D [-m 22 -21kx 2]Ψ= E Ψ 7、下列函数中，22dx d ,dxd的共同本征函数是（ bc ）。

A cos kxB e –kxC e –ikxD e –kx2 8、粒⼦处于定态意味着:（ c ）A 、粒⼦处于概率最⼤的状态B 、粒⼦处于势能为0的状态C 、粒⼦的⼒学量平均值及概率密度分布都与时间⽆关系的状态.D 、粒⼦处于静⽌状态9、氢原⼦处于下列各状态 (1)ψ2px (2) ψ3dxz (3) ψ3pz (4) ψ3dz 2 (5)ψ322 ，问哪些状态既是M 2算符的本征函数，⼜是M z 算符的本征函数?( c )A. (1) (3)B. (2) (4)C. (3) (4) (5)D. (1) (2) (5) 10、+He 离⼦n=4的状态有（ c ）（A ）4个（B ）8个（C ）16个（D ）20个 11、测不准关系的含义是指（ d ） (A) 粒⼦太⼩，不能准确测定其坐标； (B)运动不快时，不能准确测定其动量(C) 粒⼦的坐标的动量都不能准确地测定；（D ）不能同时准确地测定粒⼦的坐标与动量12、若⽤电⼦束与中⼦束分别作衍射实验，得到⼤⼩相同的环纹，则说明⼆者（ b ） (A) 动量相同 (B) 动能相同 (C) 质量相同13、为了写出⼀个经典⼒学量对应的量⼦⼒学算符，若坐标算符取作坐标本⾝，动量算符应是(以⼀维运动为例) （ a ）(A) mv (B) i x ?? (C)222x ?-? 14、若∫|ψ|2d τ=K ，利⽤下列哪个常数乘ψ可以使之归⼀化：（ c ）(A) K (B) K 2 (C) 1/K15、丁⼆烯等共轭分⼦中π电⼦的离域化可降低体系的能量，这与简单的⼀维势阱模型是⼀致的，因为⼀维势阱中粒⼦的能量（ b ）(A) 反⽐于势阱长度平⽅ (B) 正⽐于势阱长度 (C) 正⽐于量⼦数16、对于厄⽶算符, 下⾯哪种说法是对的（ b ）(A) 厄⽶算符中必然不包含虚数 (B) 厄⽶算符的本征值必定是实数(C) 厄⽶算符的本征函数中必然不包含虚数17、对于算符?的⾮本征态Ψ（ c ）(A) 不可能测量其本征值g . (B) 不可能测量其平均值.(C) 本征值与平均值均可测量，且⼆者相等18、将⼏个⾮简并的本征函数进⾏线形组合，结果（ b ）(A) 再不是原算符的本征函数(B) 仍是原算符的本征函数，且本征值不变 (C) 仍是原算符的本征函数，但本征值改变19. 在光电效应实验中，光电⼦动能与⼊射光的哪种物理量呈线形关系：( B )A .波长B. 频率C. 振幅20. 在通常情况下，如果两个算符不可对易，意味着相应的两种物理量( A)A ．不能同时精确测定B ．可以同时精确测定C ．只有量纲不同的两种物理量才不能同时精确测定 21. 电⼦德布罗意波长为(C )A ．λ=E /h B. λ=c /ν C. λ=h /p 22. 将⼏个⾮简并的本征函数进⾏线形组合，结果( Ａ） A ．再不是原算符的本征函数B ．仍是原算符的本征函数，且本征值不变C ．仍是原算符的本征函数，但本征值改变23. 根据能量-时间测不准关系式，粒⼦在某能级上存在的时间τ越短，该能级的不确定度程度ΔE （Ｂ）A ．越⼩ B. 越⼤ C.与τ⽆关24. 实物微粒具有波粒⼆象性, ⼀个质量为m 速度为v 的粒⼦的德布罗意波长为:A .h/(mv)B. mv/hC. E/h25. 对于厄⽶算符, 下⾯哪种说法是对的 ( B )A ．厄⽶算符中必然不包含虚数B ．厄⽶算符的本征值必定是实数C ．厄⽶算符的本征函数中必然不包含虚数 26. 对于算符?的⾮本征态Ψ (A ) A ．不可能测得其本征值g. B ．不可能测得其平均值.C ．本征值与平均值均可测得，且⼆者相等 27. 下列哪⼀组算符都是线性算符：( C )A ． cos, sinB ． x, logC ． x d dx d dx,,22⼆填空题1、能量为100eV 的⾃由电⼦的德布罗依波波长为( 122.5pm )2、函数：①xe ，②2x ，③x sin 中，是算符22dxd 的本征函数的是（ 1，3 ），其本征值分别是（ 1，—1；）3、Li 原⼦的哈密顿算符，在（定核）近似的基础上是:（()23213212232221223222123332?r e r e r e r e r e r e mH +++---?+?+?-= ）三简答题1. 计算波长为600nm(红光),550nm(黄光),400nm(蓝光)和200nm(紫光)光⼦的能量。

被迭加的函数ψi 对其贡献为 ci2,故
习题：
1. 氢原子波函数
中是算符 的本征函数A 是2 p z， AB BC2 p x ， ，C 算符211
的本征函数Hˆ有 A B C ，算符
的本征函数 Mˆ 2
有 AC .
Mˆ Z
2.
是否分别为：
, , 4px 4py 4pz
(b) Mn： [Ar]4s23d5 2 1 0 1 2
m s 5 2 ,S 5 2 ;m L 0 ,L 0 ;J L S 5 2 ;
6 S 5
2
(c) Br：[Ar]4s24p5 1 0 1
m s 1 2 ,S 1 2 ;m L 1 ,L 1 ;J L S 2 3 ;2 P 2 3
ψ= c1 ψ1+ c 2ψ2
假如体系处于ψ1所描述的状态下，测量某力学量A所得结 果是个确定值a，又假设在ψ2所描述的状态下，测量A的结果 为另一确定值b，则在ψ状态下测量A的结果，绝对不是a、b 以外的新值，而可能为a，也可能为b，究竟是哪一个值，不 能肯定，但测到a或b的几率则完全确定，分别为|c1|2或|c2|2 。 量子力学中态的叠加导致在叠加态下测量结果的不确定性。
9. 基态Ni原子可能的电子组态为：（a）[Ar]3d84s2； (b)[Ar]3d94s1，由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为3F4。 试 判断它是哪种组态。
(a)
2 1 0 12 0
3F4
m s 1 ,S 1 ; m L 3 ,L 3 ; L S 4
根据态M叠加2 原理1和正交0 归 一3化条2件2
4
4
M


3

《结构化学》课程重点难点Part1第一章量子力学基础和原子结构第一节经典物理学的困难和量子论的诞生本节重点：1.与经典物理学理论相矛盾的实验现象，旧量子理论的内容与优缺点；2.量子论的建立；3.德布罗依关系式；4.不确定关系。

本节难点：1.区分旧量子论和量子论。

旧量子论本质上仍属于经典物理学分范畴。

2.光和微观实物粒子都有波动性（波性）和微粒性（粒性）两重性质。

第二节实物微粒运动状态的表示法及态叠加原理本节重点：1.波函数的性质；2.量子力学态叠加原理。

本节难点：量子力学是描述微观粒子运动规律的科学，它包含若干基本假设。

由此出发可以建立一个体系，推导出许多重要结论，解释和预测实验。

这些假设不能用逻辑方法加以证明，其正确性只能由实践检验。

其中波函数和量子力学态叠加原理都属于量子力学的基本假设。

第三节实物微粒的运动规律-薛定谔方程本节重点：1.Schrödinger方程；2.箱中粒子的Schrödinger方程及其解。

本节难点：以一维势箱粒子为例，用量子力学原理去求解其状态函数Ψ及其性质，以了解用量子力学解决问题的途径和方法。

由一维势箱粒子实例及量子力学基本原理可得到受一定势场束缚的微观粒子的共同特性，即量子效应：（1）粒子可存在多种运动状态Ψi；（2）能量量子化；（3）存在零点能；（4）粒子按几率分布，不存在运动轨道；（5）波函数可为正值、负值和零值，为零值的节点越多，能量越高。

第四节定态Schrödinger 的算符表达式本节重点：1.算符和力学量的算符表示；2.能量算符本征方程、本征值和本征函数。

本节难点：假设：在量子力学中每一个力学量和一个算符Â相应，当ÂΨ=a Ψ时，则Ψ所代表的状态，对于力学量A 来说具有确定的数值，反之，则无。

a 称为物理量算符Â的本征值，Ψ称为Â的本征态或本证函数。

在这一假设中把量子力学数学表达式的计算值与实验测量的数值沟通起来，当Ψ是Â的本征态，在这个状态下，实验测定的数值将与Â的本征值a 对应。

第十五届Chemy化学奥林匹克竞赛联赛试题答案（2020年1月18日12:30 ~ 17:30）第1题（14分）1-1高温时，氮化硼可在气态以基态BN分子的形式存在，它是顺磁性分子。

1-1-1基态B原子和N原子何者的2p轨道能量更低？1-1-2 气态BN中的HOMO轨道为σ轨道。

写出BN的价电子组态和键级。

1-1-3解释BN呈现顺磁性的原因，计算其磁矩。

1-1-4以下哪种方法可以比较气态的BN中2σ轨道和1π轨道能量的高低？a)红外光谱b)拉曼光谱c)紫外光电子能谱d)X-射线光电子能谱e)X-射线衍射1-2一氧化氮NO的第一电离能为I1 = 9.2 eV，若用能量为E = 11.0 eV光子激发该电子其电离，计算电离出的电子的德布罗意波长。

电离后N-O键键长如何变化？解释原因。

1-3当钠蒸气通过NaCl晶体时，钠原子在表面电离，过多的电子扩散到晶体内部占据Cl-的空位(形成色心)；同时等量Cl-移向晶体表面保持电中性。

将电子占据的空位视为a = b = c = 650 pm的三维势箱，计算从基态跃迁至第一激发态所吸收的波长，并据此解释为什么这样的NaCl晶体是有颜色的。

1-1-1 N（1分）1-1-2 1σ21σ*21π32σ1（2分）键级为2（1分）答1σ22σ21π33σ1也可得分1-1-3由于电子进入1π轨道所需的一定的成对能，导致电子进入1π轨道所需的总能量高于进入2σ轨道的能量，因此电子填入2σ轨道而呈现顺磁性（1分）μ = 2.83 μB（1分）1-1-4 c)（1分）1-2由E = mv2/2和λ = h/(mv)得：λ = 0.91 nm（2分）电离后键长变短（1分），因为失去了反键轨道的电子，键级升高，键长变短（1分）。

1-3 三维势箱能级公式为：E = h28m(n x2a2+n y2b2+n z2c2)将(2, 1, 1)和(1, 1, 1)代入上式得：λ = 464 nm（2分）色心的电子发生能级跃迁吸收的光处于可见光区，因此具有颜色（1分）第2题（16分）M为金属元素，A为含M的1:1型盐，摩尔质量223.0 g/mol。

结构化学1.14 三维势箱中的粒子箱内V =0，粒子被束缚在边长分别为a 、b 、c 的箱内在箱外V = ∞三维箱中粒子的Schrödinger 方程：()()()()()2222222,,,,,,,,02x y z x y z x y z E V x y z m x y z ψψψψ∂∂∂+++−= ∂∂∂ 在箱外，V = ∞，(),,0x y z ψ=在箱内，V = 0，()()22222222,,,,0mEx y z x y z x y z ψ ∂∂∂+++=∂∂∂用分离变量法来解此方程()()()()123,,x y z x y z ψψψψ=⋅⋅x y zE E E E =++将三维箱中粒子Schrödinger 方程分解成三个一维箱中粒子Schrödinger 方程211222()()0xmE d x x dx ψψ+=222222()()0ymE d y y dy ψψ+=23322()2()0zd z mE z dz ψψ+=2222,,2228x y zyx z n n n x y z n n n h E E E E m a b c =++=++⋅==c z n b y n a x n abc z y x z y x z y x n n n z y x πππψψψψsin sin sin 8)()()(),,(321,,;,2,1 ,8 sin 2)(222==⋅=y yn y n n mb h n E b y n b y y y ，πψ ,2,1 ,8 sin 2)(222==⋅=z zn z n n mc h n E c z n c z z z ，πψ长方箱中，每一组确定一个状态，并对应一个能量，将这些状态记为，一个能量只能对应一个状态。

,,x y z n n n ,,(,,)xyzn n n x y z ψ,,xyzn n n E 如果箱子是立方的，即a =b =c ，则其解为⋅==c z n b y n a x n abc z y x z y x z y x n n n z y x πππψψψψsin sin sin 8)()()(),,(321,, ⋅==a z n a y n a x n a z y x z y x z y x n n n z y x πππψψψψsin sin sin 8)()()(),,(3321,,()2222n n n h E ++=++=++=2222222,,8c n b n a n m h E E E E z yx z y x n n n zy x立方箱中，每一组就确定一个状态，与长方箱不同的是，不同的组合，只要保持值相等，就具有相同的能量。

半经典描述三维粒子能量
三维自由粒子的能量的经典表达式为空间中，若粒子能量在0~E 范围内变化，则表征粒子运动状态的代表点所能到达的相体积为的积分范围为884 间中能量E的相体积为这就是说，从量子力学观点得到的量子态数，等于相同粒子用经典力学观点描述的空间中的相体积除以态密度D：在体积于是，在体积V内，动量大小在范围内的自由粒885在体积V内，动量大小在空间中的球壳)内自由粒子的微观态数为可得，在体积V内，能量在表示在单位能量间隔内的可能的微观态数，称为态密度。

通用版带答案高中物理必修三第十三章电磁感应与电磁波初步微公式版知识集锦单选题1、如图所示，在空间三维直角坐标系中过x轴上x1=a、x2=−a两点，沿平行于y轴方向放置两根长直导线，导线中均通有相等的沿y轴负方向的恒定电流I。

已知通电长直导线周围某点磁场的磁感应强度B与电流I成正比，。

则下列描述坐标轴上各点磁场磁感应强度的图像中一定错误的是（）与该点到导线的距离r成反比，即B=k⋅IrA．B．C．D．答案：C根据安培定则以及磁场的叠加可知，O点的磁感应强度一定为零，图像C一定错误；在x方向，在x<-a范围内磁场方向沿-z方向，在-a0范围磁场方向沿+z方向，在0<x<a范围磁场方向沿-z方向，在x>a范围磁场方向沿+z方向，若选择+z方向为正方向，则图像可能为A；若选择-z方向为正方向，则图像可能为B；沿z轴方向，由叠加原理可知，O点的磁场为零，无穷远处磁场也为零，则从O点沿z轴正向和负向，磁场应该先增强后减弱，则图D正确。

此题选择错误的选项，故选C。

2、如图所示为一边长为d的正方体，在FE、ND两边放置足够长直导线，通有相等的电流I，电流方向如图所示。

若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中C、O两点处的磁感应强度大小分别为（）A．2B、0B．2B、2BC．0、√2B D．√2B、√2B答案：D根据右手螺旋定则，放置在FE边的电流在C点产生的磁场大小为B、方向沿CM，放置在ND边的电流在C点产生的磁场大小为B、方向沿FC，故C点处的磁感应强度大小为√2B；放置在FE边的电流在O点产生的磁场大小为B、方向沿NO，放置在ND边的电流在C点产生的磁场大小为B、方向沿OP，故O点处的磁感应强度大小为√2B。

故选D。

3、如图，电池给螺线管供电，不计地磁场影响，则（）A．通电前，螺线管就有磁性B．断电后，螺线管周围依然有磁场C．通电后，螺线管上端为N极D．通电后，螺线管下端为N极答案：CA．通电前，螺线管导线中无电流，没有磁性，故A错误；B．断电后，螺线管部分导线不构成闭合回路，无电流，没有磁性，故B错误；CD．由安培定则可知，通电后，螺线管上端为N极，故C正确，D错误。

2022届河南省信阳市普通高中高三上学期第一次教学质量检测物理高频考点试题一、单选题 (共6题)第(1)题列车在平直轨道上由静止开始启动，启动过程受到的合外力F随时间变化的关系图像如图所示，列车达到额定功率后保持该功率不变，若列车所受阻力恒定，则（）A．时刻，列车刚达到额定功率B．时间内，列车的功率随时间增大得越来越慢C．时间内，列车的合力的功率随速率均匀减小D．时间内，列车先后做匀加速直线运动和匀速直线运动第(2)题质点以某一初速度做匀加速直线运动，加速度为a，在时间t内速度变为初速度的3倍，则该质点在时间t内的位移为（ ）A．B．C．D．第(3)题匀强磁场中一带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其运动轨迹上速度方向相反的两点之间距离d与粒子速率v的关系如图所示，则该粒子经过这两点的时间间隔可能为（）A．B．C．D．第(4)题如图所示为一定质量的理想气体状态变化过程中的三个状态，图中ba的延长线过原点，则下列说法正确的是（）A．a→b过程，由于气体分子密度增大，压强增大B．b→c过程，气体分子速率分布中各速率区间的分子数占总分子数的比例均增加C．c→a过程，气体放出的热量小于气体内能的减小量D．a→b→c→a过程，气体从外界吸收热量第(5)题放射性同位素钍232经α、β衰变会生成氡，其衰变方程为。

下列说法正确的是（ ）A．衰变方程中B．α射线的电离作用较强，穿透能力较弱C．钍核α衰变的半衰期等于其放出一个α粒子所经历的时间D．核反应中放出的β粒子来自于原子核外第(6)题图1为一列简谐波在t=0.10s时刻的波形图，P是平衡位置在x＝1.0m处的质点，Q是平衡位置在x＝4.0m处的质点；图2为质点Q的振动图像。

下列说法正确的是（ ）A．在t＝0.10s时、质点Q向y轴正方向运动B．在t＝0.25s时，质点P的加速度沿y轴负方向C．从t＝0.10s到t＝0.25s，质点Q通过的路程为30cmD．从t＝0.10s到t＝0.25s，该波沿x轴负方向传播了8m二、多选题 (共4题)第(1)题如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B＝，一群比荷为的带正电粒子以相同速度在CD范围内垂直AC边射入，从D点射入的粒子恰好不从AB边射出。