熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算方法105页PPT

不能采用拉氏变换终值定理的缘故。因此，利用式(356)来计算稳态误差是普遍成立的，而利用拉氏变换终 值定理的式(3-60)求稳态误差时，应注意使用条件。
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess

N (s)
I型系统：ν=1
1 1, 2 0 1 0, 2 1
➢对参考输入，都是I型系统。 ➢抗扰动的能力却完全不同。
1 1, 2 0
阶跃信号 N(s) R / s 斜坡信号 N (s) R / s2
essn
lim s0
s2K2 s K1K2 K3
R s
0
essn
lim s2K2 s0 s K1K2 K3
所求开环传递函数为
G(s)
s(s2
2 3s
4)
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五、扰动作用下的稳态误差
扰动不可避免
扰动稳态误差
负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动 和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。
扰动稳态误差的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。
R(s)
-
E(s) G1(s)
N(s) C(s)
斜坡稳态误差只与G1(s)、H(s)中的增益K1 K3成反比。 至于扰动作用点后的G2(s) ，其增益的大小K2和是否有 积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的稳态误差没
有什么作用。
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II型系统：ν=2
1 2, 2 0
三种可能的组合 1 1, 2 1
1 0, 2 2
➢第一种组合的系统具有II型系统的功能，即对于阶跃和
1]
N
(s)
系统的输出量完全不受扰动的影响 Cn (s) 0
G2 (s)[Gn (s)G1(s) 1] 0
Gn (s)
1 G1 (s)
(对于扰动实现 全补偿的条件)
➢引入前馈后，系统的闭环特征多项式没有发生任何
变化，即不会影响系统的稳定性
➢由于G1(s)分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故

sGK
(s)
令：Kv

lim
s0
sGK
(s)
Kv 称为为系统的静态速度误差系数，于是系统在单位斜坡函数作用 下的稳态误差为：
1 ess Kv


0，即0型系统，Kv

lim
s0
sGK
(s)

lim
s0
s

K s
G0 (s) 0 ess

1 Kv




1,
即1型系统，K v
(s)

lim
s0
s2

K s
G0 (s) K
ess

1 Ka

1 K
（4）输入信号为单位阶跃、斜坡、加速度信号时的稳态误差
设输入信号为
r(t) 1 t 1 t 2 2

R(s)

1 s

1 s2

1 s3
利用线性系统的叠加原理，可得系统的稳态误差为
ess
1 1 Kp

1 Kv
lim s0
sE(s)
4．稳态误差分析
设系统开环传递函数如下，并表示为归一化（时间常数）形式
G(s)

b0sm a0sn
b1sm-1 a1sn-1

bm-1s bm an-1s an

K
(1s

1)(
2 2
s2

2
2
2s

1)
s (T1s 1)(T22s2 2T22s 1)

lim
s0
sGK
(s)

知识点三：静态速度误差系数Kv
结论：
（1）Kv的大小反映了系统在斜坡输入下消除误差的 1 Kv越大，稳态误差越小； e ss es K
v
（2）0型系统在稳态时，无法跟踪斜坡输入信号；
（3）I型系统在稳态时，输出与输入速度相等，但有 1 1 的常值位置误差； ess Kv K （4）II型或II型以上系统在稳态时，可完全跟踪斜坡
结论：
（1）Kp的大小反映了系统在阶跃输入下消除误差的 1 Kp越大，稳态误差越小； e ss e ss 1 K p 1 （2）0型系统对阶跃输入引起的稳态误差为常值，大 K越大，稳态误差越小，但总有差，所以把0型系统
（3）在阶跃输入下，若要求系统稳态误差为零，则 或高于I型系统。
问题：如果输入信号不是阶跃信号，那么系统稳态误
后的传递函数无关。
函数的结构及参数有关 ，但与干扰作用
改善系统稳态精度的途径
从上面稳态误差分析可知，采用以下途径来 系统的稳态精度：
＊1. 提高系统的型号或增大系统的开环增益， 定性变差，甚至导致系统不稳定。
＊ 2. 增大误差信号与扰动作用点之间前向通 的稳态误差。但同样也有稳定性问题。 ＊ 3. 采用复合控制，即将反馈控制与扰动信 馈或与给定信号的顺馈相结合。
1 ess R Kv
例2： 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为
5 G (s) s(s1 )(s2)
试求系统输入为1(t),10t,3t2时系统的稳态误差。
解题步骤：
（1）判断系统稳定（省略）
例3： 已知两个系统如图(a)(b)所示。输入 试分别计算两个系统的稳态误差。
R () s
第9讲 静态误差系数与 误差计算
知识点一：系统的类型

1
s11 0.5
s10 1
劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号 改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系 统在垂直线 s = 1的右边有一个根。
14
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3.6 稳态误差的定义及一般计算公式
3.6.1 误差的基本概念
1. 误差的定义
R(s)
E(s)
C(s)
误差的定义有两种：
共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：
10
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用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。
s4 1
3
2
s3 1
1
s2 2
2 F(s) = 2s2+ 2
s1 4
F(s)= 4s
s0 2
由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系
统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，
可解辅助方程求出。得 s1=1 和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为
s3=1 和 s4= 2 。
11
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（2）分析参数变化对稳定性的影响
例3-8 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K 的取值范围。
R(s)
+﹣
K
C(s)
s(s+1)(s+2)
解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0
解：劳斯表 s4 1
35
s3
2
4
s2 1 5
s1 6
s0
5
第一列元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平 面有2个根。

1 2
1 essa Ka
例：某控制系统的结构图为
r(t) 51(t)
10
C(s)
- s2 2s 1
H (s)
试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时，系统的稳态误 差(定义在输出端)。
解:当H(s)=1时，系统的开环传递函数为
G(s)
s2
10 , k 2s 1
10,
0
则系统稳态误差 当H(s)=0.5时,
G(s)H (s)
K1
P(s) Q(s)
1
Q(s) K1P(s) 0
K1
Q(s) P(s)
由于根轨迹上的分离点与特征方程式的重根相对应，
即满足： D(s) Q(s) K1P(s) 0
D(s) Q(s) K1P(s) 0
利用上两式消去K1，可得
P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0 以上分析没有考虑K10(且
2、0＜K1＜0.25 时，两个互异负实根 3、K1=0.25时，s1=s2=－0.5 4、0.25＜K1＜∞时，s1，2=－0.5±0.5j√4k－1
K1
j
K1=0 -1
K1=0.25 K1=0 -0.5 0
K1
所谓根轨迹图，即以系统根轨 迹0→增∞益时K，1为系参统变闭量环，极当点K在1s由平 面上变化的轨迹。
如果实轴上相邻的开环极点、零点之间存在 根轨迹，则或者无分离点，或者存在成对的分 离点。
m
G(s)H (s)
K1
n
(s
i 1
(s
p
zi ) j)
K1
P(s) Q(s)
,
其中P(s)
m
(s zi )，Q(s)
i 1

开环系统的输出只受输入信号的影响，不反馈到输入端，因此无法 自动调节或修正输出误差。
开环系统对稳态误差的影响
由于开环系统的输出无法自动修正误差，因此当系统受到外部干扰 或输入信号变化时，稳态误差会较大。
闭环系统的影响
闭环系统的定义
01
闭环系统是指系统中各环节之间存在反馈连接，信息流是双向
的。
闭环系统的特点
优化系统结构
总结词
通过优化系统结构，可以减小稳态误差 。
VS
详细描述
优化系统结构包括改变系统的开环传递函 数、增加或减少系统的极点等。通过优化 系统结构，可以改善系统的性能，减小稳 态误差。但需要注意的是，优化系统结构 需要综合考虑系统的稳定性和性能要求。
04
稳态误差的测量与评估
测量方法
直接测量法
02
闭环系统的输出会反馈到输入端，通过比较期望输出与实际输
出之间的误差来调整系统参数，从而减小或消除误差。
闭环系统对稳态误差的影响
03
闭环系统能够自动调节和修正误差，因此在受到外部干扰或输
入信号变化时，稳态误差较小。
系统参数对稳态误差的影响
系统参数的调整
系统参数的调整会影响系统的动态特性和稳 态特性，从而影响稳态误差的大小。
详细描述
系统增益是影响系统性能的重要参数，增大系统增益可以提高系统的开环增益，使得系统的输出更接近理想值， 从而减小稳态误差。但需要注意的是，过大的系统增益可能导致系统不稳定。
采用PID控制
总结词
通过采用比例、积分、微分控制，可以有效减小稳态误差。
详细描述
PID控制是一种常用的控制策略，通过调整比例、积分和微分系数，可以减小系统的稳态误差。具体 来说，比例控制可以调整系统的输出与输入之间的比例关系，积分控制可以消除系统的静态误差，微 分控制可以减小系统的动态误差。

K v1
r(t) t
1 ess K 0.1
K10
D ( s ) s ( s 1 ) 2 s ( 1 ) K ( 0 . 6 s 1 ) 2 s 3 3 s 2 ( 1 0 . 6 K ) s K 0
s3 Routh s2
s1
s0
2
1+0.6K
3
K
3(1+0.6K)-2K 0 3
有差系统
essa
1 Ka
i1
24
I型系统的稳态误差
m
K(is 1)
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1) i1
V=1
I型有差系统
Kpls i0m G (s)H (s)
1 essp 1Kp 0
K vls i0sm G (s)H (s)K
es
sv
1 Kv
1 K
Kals i0m s2G (s)H (s)0
43
干扰信号作用下的稳态误差与 系统结构的关系
扰动信号n(t)作用下的误差函数为：
En(s)1G G 1(2s()sG )H 2((ss))H(s)N(s)
44
e ss n ls i0s m n E (s ) ls i0s m 1 G 1 G (s 2 ) ( G s ) 2 H (s ( )s H )(s )N (s )
第六章：控制系统的误差分 析和计算
1
6.1误差和偏差的概念
2
3
6.2输入引起的稳态误差
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Time (sec)
从图形中体会误差和稳态误差
单位斜坡函数输入时的稳态误差 1 当输入为R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s sR ( s ) 1 1 1 e lim ss s 0 K 1 G ( s ) lim s G ( s ) lim K k k v G ( s ) s 0 0 1 s 0 s K lim s G s )称为速度误差系数； 式中： v k(
r(t)=1(t)
R(t) E(s)
0.8
N(s)
C(t)
G1 ( s)
+ G ( s) 2
H(s)=2
C(s)
Amplitude
B(s)
H ( s)
System: untitled1 Final Value: 0.5
0.6
0.4
System: untitled1 Settling Time (sec): 7.37
1.8 1.6 1.4 1.2 System: untitled2 Settling Time (sec): 6.81
1 0 GG G 1 2 s 1 .6 7 s 1
R(t) E(s)
N(s)
-
G1 ( s)
+ G ( s) 2
C(s)
B(s)
H ( s)
System: untitled2 Final Value: 1
0.2
etC tC r
5 0 GG G 1 2 s 1 .6 7 s 1
0 5 10 15 Time (sec) 20 25 30
r 1 Cr (t ) H 2
(t)
0
35
非单位反馈情况：
>> step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),2),0:.01:35)

x2 y2 1 0 [w] 虚轴 u 0 2 2 ( x 1) y
内 z平面单位圆 外 的点
2 2
x 2 y 2 1 [z] 单位圆
u 0 对应w平面 u 0
1 x y 1
例１ 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。
D( z ) 45z 3 117z 2 119z 39 0
( z 1) K 1 1 1 ( z 1) K Tz z z Z 2 2 T z s s s 1 z ( z 1 ) z 1 z e
(T 1 e T ) z (1 e T TeT ) T 1 0.368K ( z 0.718) K T ( z 1)(z e ) ( z 1)(z 0.368)
D( z ) z 2 (0.368K 1.368)z (0.264K 0.368) 0
z w 1 w 1
(
w 1 2 w 1 ) (0.368K 1.368)( ) (0.264K 0.368) 0 w 1 w 1
( w 1)2 (0.368K 1.368)(w 1)(w 1) (0.264K 0.368)(w 1)2 0
0.264 K 0.368 1
K 0 2.736 K 26.36 0.1038 1 0.368 K 2.394 0.264
0 K 2.394
例4 系统结构图如图所示, T=0.25, 求使系统稳定的K值范围。
1 e Ts Ke 2Ts G( z ) Z s s 1 K ( z 1) Tz KT 1 2 K (1 z ) z Z 2 2 3 2 z ( z 1) z ( z 1) s