中考数学十大解题思路之初中换元法经典例题讲解及答案解析

初中数学竞赛辅导资料（52）换元法甲内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.乙例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）.例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x 解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .丙练习52解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x . 14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____ (1989年泉州市初二数学双基赛题)18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.(1987年全国初中数学联赛题)参考答案练习52 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－1 11.－32,－35 12.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=442 18. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。

初三换元法例题一、题目：计算下列等式的值1. 17a + 8b - 3c，其中a = 2，b = 5，c = 3。

2. 4x + 2y - 5z，其中x = 3，y = 7，z = 2。

1. 代入a = 2，b = 5，c = 3，得：17(2) + 8(5) - 3(3)= 34 + 40 - 9所以，17a + 8b - 3c 的值为74。

2. 代入x = 3，y = 7，z = 2，得：4(3) + 2(7) - 5(2)= 12 + 14 - 10所以，4x + 2y - 5z 的值为16。

二、题目：写出下列等式的换元表达式。

1. 5a + 3b - 2c，a = x + 1，b = 2y，c = z - 3。

2. 2x + 4y - 3z，x = a - 1，y = b + 2，z = c + 3。

1. 代入a = x + 1，b = 2y，c = z - 3，得：5(x + 1) + 3(2y) - 2(z - 3)= 5x + 5 + 6y - 2z + 6= 5x + 6y - 2z + 11所以，换元后的表达式为 5x + 6y - 2z + 11。

2. 代入x = a - 1，y = b + 2，z = c + 3，得：2(a - 1) + 4(b + 2) - 3(c + 3)= 2a - 2 + 4b + 8 - 3c - 9= 2a + 4b - 3c - 3所以，换元后的表达式为 2a + 4b - 3c - 3。

三、题目：用换元法解下列问题。

1. 有一个长方形，长是x + 3，宽是x - 2，求其周长和面积。

2. 小明的体重是a - 10kg，小明增加了b kg，现在的体重是多少？1. 周长 = 2(长 + 宽) = 2(x + 3 + x - 2) = 4x + 2面积 = 长× 宽 = (x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6所以，长方形的周长为4x + 2，面积为x^2 + x - 6。

备战2020中考数学解题方法专题研究专题4 换元法专题【方法简介】解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

换元法又称变量替换法, 是我们解题常用的方法之一。

利用换元法, 可以化繁为简, 化难为易, 从而找到解题的捷径。

【真题演练】1. 若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1【解析】：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．2. 用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣1【解析】：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．3. 若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b=．【解析】设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．4. 阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．【解析】：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【名词释义】概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

例说换元法在初中数学中的应用【专题综述】 利用换元法解题，具有极大的灵活性。

关键在于根据问题的结构特征，恰当地引入辅助未知数，达到以简驭繁，化难为易的目的。

在具体应用时，换元的具体形式也是多种多样的。

要在解题的实践中，不断摸索规律，积累经验，掌握有关的变换技巧，提高运用换元法解题的能力。

【方法解读】下面举例说明换元法在初中数学中应用。

一、用换元法分解因式例1 把(4)(2)(1)(1)72x x x x ---+-分解因式。

本题如果把括号、合并同类项以后，会得到关于x 的四次式，分解起来比较困难。

认真观察题目的结构，可以发2(4)(1)34,x x x x -+=--2(2)(1)32x x x x --=-+，它们的二次项、一次项完全相同，这就具备了换元的条件，选用换元法进行降次处理，就使得分解变得简单易行。

在设辅助未知数时，方法比较灵活，如可设23y x x =-，或设234y x x =--等，一般地，设y 等于234x x --和232x x -+的算术平均式比较简捷。

解 ：22(4)(2)(1)(1)72(34)(32)72x x x x x x x x ---+-=---+-设231y x x =--，则22343,323x x y x x y --=--+=+原式=2(3)(3)72972(9)(9)y y y y y -+-=--=+-=22(38)(310)x x x x -+--=2(38)(5)(2)x x x x -+-+总结提示 当在一个多项式中出现相同的部分时，一般可采用换元法来解决问题。

二、换元法在解方程中作用 掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求而在解高次方程、分式方程、无理方程时，要注意方程的特点创造运用换元法的条件往往会简化求解过程。

例2 解下列方程:①222(23)64x x -+=解 原方程变形为222(23)2(23)0x x ---=。

知识点拨【知识提要】1. 方程中变量的换元；2. 三角换元；3. 特殊换元。

【基本题型】1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；3. 求某些难以直接求出来表达式的值。

【解题技巧】1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；3. 有时候甚至可以联想三角函数。

快乐热身【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。

求abc 的值。

【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。

有没有简单一些的方法呢？解 因为23y x =+，所以32y x -=。

所以，22239232424y y y x x y -⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭。

因此，119942432abc ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭。

第五讲 换元法热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 求1111111...++++（无穷多个）的值。

【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？解 设原式x =，则11x x=+，也就是说210x x --=。

解得12x +=（负根舍去）。

说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。

关于极限的概念，以后会学到。

【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。

【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。

解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。

显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。

设1y x x=-，则有220y ay b +++=。

248a b ∆=--。

⑴若0∆>，则方程的解为1y =2y =。

代回1y x x =-得到1,2x =，3,4x =。

⑵若0∆=，则方程的解为1,22a y =-，于是有1,34a x -+=，2,44a x -=。

初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－111.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=44218. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。

初中数学竞赛专题讲解换元法1.换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3.换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4.解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5.倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x)+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x=y 2－2,原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为(x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0，这是四次倒数方程. 形如ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.一、基础过关1.计算：111111111111111123423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.计算：245111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.36363638⨯4.计算：44+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5.6.7.计算：2222004200312004200220042004++ 8.计算：)60596058602601(54535251434241323121+++++++++++++++ ）（）（）（二、例题讲解题型一 用换元法化简或求值 例1.L练习1：计算()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++练习2：已知,a b 是整数，方程02=++b ax x 有一个实数根为347-，则a b +=( )A 、3-B 、 3C 、 5D 、5-练习3：已知,,a b c 为实数，且51,41,31=+=+=+a c ca c b bc b a ab ，那么cabc ab abc++的值（） A 、31- B 、 3 C 、 61- D 、61练习4：aa a aa a aa a aa a++++++++98989393929299的值是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 练习5：计算：()()()()()()320152014201520121052013201420152014201420152013201420132013--+--+--题型二 用换元法分解因式例2：分解因式：()()()()21236x x x x x +++++练习1：分解因式：()()10342424+++-+x x x x练习2：()()()xy y x y x xy 2212-+-++-练习3：()()228781515a a aa +++++练习4：已知实数,a b 满足3331a b ab ++=，求a b +的值题型三 用换元法解方程例3x =例4： 解方程：()444626x x +-=例5：解方程：4322316320x x x x +-++=例6：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x练习1：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-040422x y y y x x 在实数范围内（ ）A 、有1组解B 、有2组解C 、有4组解D 、有多于4组的解练习2：求方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++511141113111y x z x z y z y x 的解练习3:解方程021331812164132222=-++-+--+++x x x x x x x x练习4：如果0abc ≠，且a b b c a cc a b +++==，求()()()a b b c a c abc+++的值练习5:解方程组843356180x y zx y z ==⎧⎨+-+=⎩练习61=练习7：设nn b a b a b a b a ==== 332211（所有字母均为正数）.求证：n n b a b a b a +++ 2211))((2121n n b b b a a a ++++++=题型四 用换元法解综合问题例7：若[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3.7]=3,[3]=3,则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+656=（ ） A 、10580 B 、10581 C 、10582 D 、10583例8：已知关于x 的方程()()011721122=+-+-⎪⎭⎫⎝⎛--x x a x x a 有实数根 ⑴求a 的取值范围；⑵若原方程的两个实数根为21,x x ，且113112211=-+-x x x x ，求a 的值。

初一换元法例题及答案1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（52）换元法一、内容提要1.换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3.换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4.解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5.倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒数方程a2、x4+bx3+cx2+bx+a=0.两边都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0.设x+=y,那么x2+=y22,原方程可化为ay2+by+c2=0.对于一元五次倒数方程ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0，必有一个根是1.原方程可化为(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0，这是四次倒数方程.形如ax4bx3+cx2bx+a=0的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以x2,可化为a(x2+)b(x)+c=0.设x=y,则x2+=y2+2,原3、方程可化为ay2by+c+2=0.二、例题例1.解方程=x.解：设=y,那么y2=2x+2.原方程化为：yy2=0.解得y=0；或y=2.当y=0时，=0(无解)当y=2时，=2，解得，x=.检验（略）.例2.解方程：x4+(x4)4=626.解：（用平均值代换，可化为双二次方程.）设y=x2，则x=y+2.原方程化为(y+2)4+(y2)4=626。

1.2 恰当换元一些看上去很复杂的代数式，通过观察与比较，如果可以发现相同或相似之处，此时可以用另一个变量来代替较复杂的代数式，从而起到简化计算的目的，这种方法叫做换元法，它大量运用于计算、化简、解方程、证明题中.例1计算：12012201120102009+⨯⨯⨯【解】 令n ＝2010，则 原式＝11)(2)(1)2)(1()1(2222-+=++-+=+++-n n n n n n n n n n因为n ＝2010，所以原式＝4 042 109.【注】 运用换元法可以使计算显得简洁，例2 比较⋅⋅⋅+++111与⋅⋅⋅+++11111的大小.【解】 令M =⋅⋅⋅+++111，N =⋅⋅⋅+++11111则M M +=1，NN 11+=所以，M 2 －M －1＝0，N 2 －N －1＝0，因为M ＞0，N ＞0，所以M ＝N ＝251+ 【注】 在循环算式的计算和化简中经常采用本例中的处理方法．例3 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x 【解】 设u y x =+1，v y x =-+3（u ＞0，v ≥0，且u ＞v ），则原方程组可化为⎩⎨⎧=+=-3322v u v u ，解得⎩⎨⎧==03v u ，代入原方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0331y x y x 解得⎩⎨⎧==12y x 或⎩⎨⎧-==14y x ，经检验，原方程组的解为⎩⎨⎧==12y x 或⎩⎨⎧-==14y x 【注】分式方程（组）和无理方程（组）最后要检验是否为增根．例4 已知：(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2，试求：)1)(1)(1()1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值． 【解】 令a ＝x －y ，b ＝y －z ，c －z －x ，则条件转化为a 2 ＋b 2＋c 2＝(c －a )2＋(a －b )2＋(b －c )2,化简得 a 2 ＋b 2 ＋c 2－2ab －2bc －2ca ＝0． ①又 a ＋b ＋c ＝(x －y )＋(y －z )＋(z －x )＝0所以 (a ＋b ＋c )2＝ a 2 ＋ b 2＋ c 2 ＋ 2ab ＋2bc ＋2ca ＝ 0, ②由①＋②得a 2 ＋b 2＋c 2＝0，故a ＝b －c ＝0，即x －y ＝y －z ＝z －x ＝0所以，x ＝y ＝z ，原式1)1)(1)(1()1)(1)(1(222222=++++++z y x z y x ． 【注】换元法更能够体现问题的代数结构，突显出问题的实质，例5若m 是整数，且m ≠0，求证：m335252++-有理数． 【证明】 令352+=x ，352-=y ，则X 3 ＋y 3＝4，且xy ＝－1，从而x 3＋y 3＝(x ＋y )3－3xy (x ＋y )＝4进而(x ＋y )3－1＋3(x ＋y )－3＝0即 (x ＋y －1)[(x ＋y )2＋(x ＋y )＋4]＝0，又由于 0415214)()(22>+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++++y x y x y x 所以x ＋y －1＝0，x ＋y ＝1，因为m 是整数且m ≠0，所以mm 1525233=++- 是有理数．【注】此题运用换元法，结合x 3 ＋y 3＝4，且xy ＝－1，可以比较方便地进行等式的变形，以达到计算x ＋y 的目的．例6 解方程1164533=-++x x 【解】设345x u +=，316x v -=，则⎩⎨⎧=+=+61133v u v u 又u 3＋v 3＝(u ＋v )3－3uv (u ＋v )，所以61＝1－3uv ，得uv ＝－20，因此u ，v 是方程y 2 －y －20＝0的两根，解得y 1＝5，y 2＝－4，即5453=+x 或－4，解得x 1＝－109，x 2＝80，经检验，x 1＝－109，x 2＝80都是原方程的根．【注】此题的另一种解法如下： ． 令345x a +=，316x b -=，31-=c ，则a ＋b ＋c ＝0．故a 3 ＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b ＋c )(a 2 ＋b 2 ＋c 2－ab －bc －ca )＝0即 0164531164533=-⋅++--++x x x x 化简得20)16)(45(3-=-+x x ，解得x 1＝－109，x 2＝80.经检验，x 1＝－109，x 2＝80都是原方程的根．【注】换元法经常需要和一些公式合起来用，所以考察代数式经过换元后可以适用哪个公式成为解题的关键，这需要对公式十分熟练地运用，例7 解方程31)342(32)342(5252=++-+-++++x x x x x x【解】 令a ＝x ＋2，342++=x x b ，则⎩⎨⎧=-=--+②1①31)(32)(2255b a b a b a 由②知（a ＋b ）（a －b ）＝1，代入①得()03132155=---⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a ， 32(a －b )10 ＋31(a －b )5 －1＝0，即[32(a － b )5 －1][(a － b )5＋1]＝0 故以21=-b a 或a －b ＝－1，分别代人②得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+212b a b a 或⎩⎨⎧-=--=+11b a b a 得45=a 或－1，故x 1＝43-，x 2＝－3，经检验，x 1＝43-，x 2＝－3都是原方程的解．例8 求所有5元正整数组(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)，使之满足x 1＞x 2＞x 3＞x 4＞x 5，且383333254243232221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x x x x x x x x 这里[x ]表示不超过x 的最大整数. 【解】 设2542432322213,3,3,3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x d x x c x x b x x a ，则 a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋d 2＝38,由于x 5≥1，x 4≥2，所以a ≥b ≥c ≥d ≥1，从而438≤a 2≤35，即3＜a ＜6， 下面讨论如下：(1)若a ＝5，则b 2＋c 2＋d 2＝13，经枚举可知不存在满足题意的正整数；(2)若a ＝4，则b 2 ＋c 2＋d 2＝22，经枚举可知满足题意的仅有b ＝3，c ＝3，d ＝2；由于12≤x 1＋x 2＜ 15，9≤x 2＋x 3＜12，9≤x 3＋x 4＜12，6≤x 4＋x 5 ＜9，从而根据x 2≥x 4＋2可知必有x 2＋x 3＝11，x 3 ＋x 4 ＝9且x 2＝x 4 ＋2，从而可得x 2＝x 3 ＋1，x 3＝x 4＋1，因此x 2＝6，x 3＝5，x 4＝4． 于是7≤x 1＜9，2≤x 5＜4．经检验可知，满足题意的(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)为(8,6,5,4,3),(8,6,5,4,2),(7,6,5,4,3),(7,6,5,4,2)．【注】 利用整体换元实现对局部范围的约束是关键．练习21.已知81≥a ，求证：13183********=-+-+-++a a a a a a2.计算：∑∑==-+9919911010n n nn 的值．3.试求所有正整数n ，使得对于四个不同的正整数a 、b 、c 、d ，在))(())((d a c b d b c a ----，))(())((d b c a d a c b ----，))(())((c b d a c d b a ----，))(())((d c b a d b c a ---- 中至少有2个等于n4.证明：方程x 2＋y 5＝z 3有无穷多组非零整数解.5.设正整数k ，n ≥2，试求：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅⋅⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=-+-+-+1113131212),(111111n n n n n n k k n k S 的值练习1.21.设318-=a A ，则8132+=A a ，左边＝3223228)3(8138)3(813+-+++++A A A A A A ==-++=12121A A 右，所以原等式成立 2.设∑=+=99110n n S ，∑=-=99110n n T ，注意到，对正实数a 、b 有b a ab b a +=++2,特别的，对于每一个固定n (1≤n ≤99)，选择a 、b 使得a ＋b ＝20，ab ＝n ，则n n n --+-+=+1001010010220，所以∑=+=9912202n n ST S n n n n n n +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+∑∑==99199110101001010010，从而12121+=-=T S 3.令()()()()d a c b d b c a k ----=，则()()()()k d b c a d a c b 1=----，因此()()()()()()d a c b bc bd ac ad c b d a c d b a --+--=---- ()()()()()()k d a c b d b c a d a c b -=-------1，()()()()()()()()()()()()c d b a c b d a d a c b d b c a d c b a d b c a ----⋅----=---- k k --=1。

八年级数学巧用换元法解题1．精选妙题： 计算()()()()()()()()()()()()222222y x z x z y x y x z y z x z y x y z x y z y z x y z x x z y ------+++-+-+-+-+-+-． 2．常规策略：一般可用全部通分解． 3．巧妙解法：设x y a -=，y z b -=，z x c -=．原式()()()()()()ac ab bca b b c b c c a c a a b =--------- ()()()()()()ac c a ab a b bc b c a b b c c a -+-+-=----()()()()()()1a b b c c a a b b c c a ---==---．4．画龙点睛：通过观察发现，()()2x y z y z z x +-=---，()()2x z y x y y z +-=---，()()2y z x z x x y +-=---，从而启发我们可用换元法．5．相关链接：⑴计算()()3223233223231231x y x yy x x y x y x y -----+--+--．⑵求证：()()()()()()222b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a---++=++---------． ⑶已知3x y z a ++=，且0a ≠，x 、y 、z 不全相等．求()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值．⑷化简()2221114111a b ab a b a b ab⎛⎫+-- ⎪⎝⎭-⎛⎫-- ⎪⎝⎭．⑸已知222199719992001x y z ==，0x >、0y >、0z >且1111x y z++=，八年级数学巧用换元法解题参考答案1．设23x y t -=． 原式()()()232221************t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫-⎛⎫=--+=--+=-+=+--= ⎪ ⎪+-+-+-+-+-⎝⎭⎝⎭．()()()211tt t t --=+-．把23x y t -=代入上式，得原式()()()()()22364231231231231x y y xx y x y x y x y ---==-+---+--．2．设a b m -=，b c n -=，c a l -=．左边()()()222n l m n l m m l n m l n mnl++=++=-⋅-⋅-⋅-．因为0m n l ++=， 所以()20m n l ++=，即2222220m n l mn nl lm +++++=．所以()2222m n l mn nl lm ++=-++，整体代入上式，得：原式()2222mn nl lm mnl m n l++=++，再将所设代入此式得原式222a b b c c a++---． 3．设x a m -=，y a n -=，z a t -=，不全相等．原式222mn nt tmm n t ++=++．因为3x y z a ++=，所以0x a y a z a -+-+-=，故0m n t ++=，即()22220m n t mn nt tm +++++=， 所以原式22212mn nt tm m n t ++=-++． 4．原式()()()22222222111414331111a b a a ab ab ab a b a b a b a b aba b ab-⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--==-⎛⎫---⎪⎝⎭．设a b m -=，1n ab=． 原式()()()()()()22222242222222242222431443444111m n n m n m n a b ab m n m n ab a b m n m n n m m n m n a b nm m n a b a b +--+-++-+⎛⎫====+=+== ⎪----⎝⎭--． 5．令()222219971999200120010x y y z k k ====>，则． 又因为21997k x =，21999k y =，22001k z =．所以=，。

初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－111.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=44218. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。

中考数学十大解题思路之换元法中学数学中换元法的应用与常见错误分析目录第一章引言 (4)第二章在因式分解中的应用 (4)第三章在化简二次根式中的应用 (5)3.1设元代数，化已知为未知 (5)3.2设元代式，无理变有理 (5)第四章在解方程中的应用 (6)4.1分式方程 (6)4.2一元二次方程 (7)4.3三角有理方程 (7)第五章在证明不等式中的应用 (8)5.1三角换元法 (8)5.2改变换元后中间变量的范围 (9)第六章换元法常见错误分析 (9)6.1将复合函数与原函数混为一谈 (9)6.2改变换元后中间变量的范围 (10)6.3换元的选择不恰当 (11)结论 (12)参考文献 (12)第一章 引言换元法是中学数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变量来代替原式的一部分或改造原来的式子，使其简化，问题便于解决。

之所以说换元法重要，是因为换元思想是中学教学中要求掌握并熟练应用的。

在中考、高考的试卷也常出现运用换元法的试题。

之所以说换元法应用广泛，是因为在因式分解、化简二次根式、解方程、证明不等式等许多题型中都会运用到换元的思想。

同时，由于学生概念不清，在换元过程中往往会出现这样那样的错误，因此需要对常见错误进行分析，防止犯错。

本文探讨了换元法运用的最为常见也是最为重要的几个问题，还指出了换元法运用中的常见错误以及如何解决这些错误的方法。

第二章换元法在因式分解中的应用因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方程以及三角函数的基础。

学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意义。

除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。

例1.分解因式：()()442++-+y x y x （济南市 2007）分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。

换个角度考虑，可以将y x +看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式。

换元法 知识定位很多时候，我们遇到的问题直观比较复杂，在这种情况下把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

知识梳理知识梳理1：换元法在因式分解中的运用利用换元法分解因式，就是将多项式中的某一部分用一个新字母（元）来代替，进行变量替换，将问题转化，从而起到化繁为简、化隐为显、化难为易的作用。

知识梳理2：换元法在解方程中的运用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的 效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。

例题精讲【试题来源】【题目】分解因式：()()a a a a a 22216112++-++【答案】【解析】直接换元设a m 21+=，则原式=+-+()()m a m a a 6122=-+=--=+-+-=-+-m am a m a m a a a a a a a a 22222256231213311()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a ----24 【答案】【解析】双元换元设b c m c a n -=-=，则a b m n -=-+()，原式=-+-[()]m n mn 24=-=---=+-()[()()]()m n b c c a a b c 2222【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b ab a b ab +-+-+-2212【答案】【解析】和积换元设a b m ab n +==，原式=--+-()()()m n m n 2212=---+=--=+--=--()()()()()()m n m n m n a b ab a b 22222211111【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()ab a b ab a b --+---1222 【答案】【解析】和差换元设a b ab m n +-=+22--=-a b m n则m ab n a b ab =-=+--11， 原式=-+-m m n m n 2()()=--=m m n n 2222()=+--=--()()()a b ab a b 111222【知识点】换元法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：a a a 42200320022003+++【答案】【解析】常值换元设2003=m ，则20021=-m ，原式=++-+a ma m a m 421()=-+++()()a a m a a 421=++-+=++-+()()()()a a a a m a a a a 2222112003【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()()x m x m x m x m m +++++2344 【答案】【解析】均值换元 原式=+++++()()x mx m x mx m m 222245456 设n x mx m x mx m =+++++1254562222[()()] =++x mx m 2255则原式=-++()()n m n m m 224==++n x mx m 222255()【知识点】换元法 【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】分解因式：291492432a a a a -+-+【答案】【解析】倒数换元 原式=-+-+a a a a a 222291492()=+-++a a a a a 222219114[()()] 设a a m +=1，则原式=--+a m m 2222914[()]=-+=--a m m a m m 2222910225()()()=+-+-=-+-+=---a a a a a a a a a a a a 222212225212521221()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a abc ++++【答案】【解析】变形后换元原式=++-++-++-+()()()a b c c a b c a a b c b abc设a b c m ++=，则原式=---+()()()m c m a m b abc =-+++++-+=-+++=++++m a b c m ab bc ca m abc abcm m m ab bc ca mab bc ca a b c 3232()()()()()·【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()a a a 212472----【答案】【解析】整体换元原式=+----[()()][()()]a a a a 141272 =---+-()()a a a a 22343272设a a m 232-+=，则原式=--()m m 672=--=-+=-+--++=+--+m m m m a a a a a a a a 222267212632123262538()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()12323+++-m m m m【答案】【解析】局部换元设12++=m m a ，则原式=+-()a m m 323 =++-=++-=++-=++-=++++++a am m m a am m m a am m m aa a m m m m m m m m m 23632333233343223422121211()()()()()【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：x 4+(x －4)4=626.【答案】x=5；或x=－1.【解析】（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .【答案】x=－2+3；x=－2－3； x=2；或x=21. 【解析】∵这是个倒数方程，且知x ≠0， 两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25.由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x 【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x . 【解析】（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】 【题目】解方程=++++)7(27x x x x 35－2x. 【答案】【解析】7=x x t ++则原式变为2t 420t +-=，解得t = -7 或 6【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2. 【答案】【解析】可以换元令16x 2－9 = a ，9x 2－16 = b ，25x 2－25 = a + b 则原式变为 ()222a ab b a b++=+化简得ab = 0即【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(2115-+x )4+(2315-+x )4=16.【答案】1，3【解析】【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程x x x x 112+++=223.【答案】无实数解【解析】x x x x 112+++=223 即111x x x x +++=223.令1x x + = t原方程变为1t t +=223.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2， 那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.【答案】-2【解析】【知识点】换元法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】 【题目】解方程1112---++x x x =x. 【答案】45 【解析】设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。

换元法解题技巧和方法
换元法是数学问题解决中常用的策略之一，旨在将复杂的问题转化为更简单的形式，从而更容易解决。

在解题过程中，正确选择合适的换元方法非常重要。

以下是几种常见的换元法解题技巧和方法：
1. 代入法：将题目中给出的数据或条件分别表示为一个或多个新的变量，然后利用这些新的变量重新表述问题，并解决它。

2. 平移法：引入一个新的变量，通过平移给定函数或方程的坐标系，使得原来的问题变得更容易处理。

3. 三角换元法：如果题目中涉及到三角函数，可以利用三角换元法将其转化为更简单的形式。

常见的三角换元包括正弦换元、余弦换元及正切换元。

4. 对称换元法：当题目中存在对称性时，可以选择合适的新变量，利用对称性质将原问题转化为较简单的形式。

5. 递推换元法：对于递归或迭代的问题，可以引入一个新的变量，利用递推关系将原问题转化为关于新变量的直接求解问题。

6. 迭代换元法：对于需要多次迭代的问题，可以通过引入新的变量，将原问题转化为一个迭代问题，然后使用逐次逼近的方法求解。

7. 反向换元法：当题目给出的问题较难处理时，可以考虑反向思维，使用一个合适的换元将该问题转化为更易解决的问题。

在应用换元法解题时，需要根据题目的特点和所给条件进行灵活选择，并合理确定新的变量。

此外，需要注意换元后问题的合法性和简化程度，避免引入复杂度较高的新问题。

通过熟练掌握换元法解题技巧和方法，可以提高问题解决的效率和准确性。