上海市位育中学2021届高三第一学期数学十月月考卷(有答案)

2021年高三10月月考试卷（数学）一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1、原命题：“设”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有个.2、已知命题，命题，则命题p是命题q的条件3、若向量满足且，则实数k的值为4、若不等式的解集为，求的值5、已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于6、若复数满足，且在复平面内所对应的点位于轴的上方，则实数的取值范围是。

７．已知、、是三角形的三个顶点，，则的形状为。

８．在条件的最大值为 .9．把实数a，b，c，d排成形如的形式，称之为二行二列矩陈。

定义矩阵的一种运算·，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点，若点A在矩阵的作用下变换成点（2，4），则点A的坐标为 .10、把一条长是6m的绳子截成三段，各围成一个正三角形，则这三个正三角形的面积和最小值是m2.11、对，记，按如下方式定义函数：对于每个实数，.则函数最大值为．12、已知函数，直线：9x＋2y＋c＝0．若当x∈[－2，2]时，函数y＝f(x)的图像恒在直线的下方，则c的取值范围是________________________二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只．有．一项．．是符合题目要求的．13 定义集合与的运算，则等于（A）（B）（C）（D）（）14．根据表格中的数据，可以断定函数的一个零点所在的区间是15、函数（）是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D.（ ） 16．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f (x )，另一种平均价格曲线y=g(x )，如f (2)=3表示股票开始卖卖后2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元。

下面给出了四个图象，实线表示y=f (x )，虚线表示y=g(x )，其中可能．．正确的是 （ ）三、解答题：本大题共６小题，共８0分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设函数． （I ）解不等式；（II ）若关于的不等在恒成立，试求的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知等差数列的前4项和为10，且、 、成等比数列． （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和． 19．（本小题满分12分）设函数，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC 的面积为，求的值.ABCD20．（本小题满分1４分）为迎接xx年的奥运会，某厂家拟在xx年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟第I卷选择题（共50分）一．选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的,请将正确答案填到答题卡的相应位置）1.设集合},yy=x-A x则<xxB22,]2,0[{},={∈1=(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)2.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是A. B. C. D.3. “，”是“函数的图象过原点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域为(A) (B) (C) (D)5.已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是,.（A）（B）（C）（D）6.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f （x）＜07.若对任意的恒成立，则的最大值是（A）4（B）6（C）8（D）108.已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是(A) (B) (C) (D)9.已知函数，则函数的大致图象为10.直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二．填空题（每小题5分，共25分。

请把答案填在答题卡上）11.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为________12.已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是________13.若，则= ___________．14.已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．15.已知函数在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.三．解答题（满分75分。

2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B 是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R} C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R} D．{x|﹣2＜x＜1，x ∈R}2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．=1+S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；与1+b1+b2+…+b n的（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1大小．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}+1的通项公式．xx学年北京交大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R}C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：由x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．所以A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1}，又B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，所以A∩B={x|0＜x＜1，x∈R}∩{x|﹣2＜x＜2，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}．故选B．2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通过复数的分母实数化，即可得到结果．【解答】解：===i．故选：C．3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件求出的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是的充分但不必要条件．【解答】解：依题意，∥⇔3﹣（x﹣1）（x+1）=0⇔x=±2，所以“x=2”是“∥”的充分但不必要条件；故选A4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．【考点】数列的求和．【分析】先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到﹣1|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，【解答】解：q=a n﹣a n﹣1所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）【考点】特称命题．【分析】由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．a的取值范围为f（x）在（﹣∞，0）的值域．【解答】解：由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．已知在（﹣∞，0）上均为增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．所以0＜f（x）＜f（0）=2，a的取值范围是（0，2）．故选C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为﹣2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，可得=2+t=0，由此求得t的值．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则=2+t=0，t=﹣2，故答案为：﹣2．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角形内角和定理化简即可得到答案！【解答】解：∵B+A+C=π，∴A+C=π﹣B那么cos（A+C）=cos（π﹣B）=﹣cosB．则：cos2B+3cos（A+C）+2=0⇔cos2B﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣3cosB+1=0⇔（2cosB﹣1）（cosB﹣1）=0解得：cosB=1，此时B=0°，不符合题意．或cosB=，此时B=60°，符合题意．那么：sinB=sin60°=．故答案为：．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．【解答】解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），∴x=3a，y=4a，r==5|a|=﹣5a，则cosα===﹣，故答案为：﹣．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】由a n=an2+n是二次函数型，结合已知条件得，由此可知答案．【解答】解：∵a n=an2+n是二次函数型，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a n＞a n对n≥8恒成立，+1∴，解得﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是0≤a＜1或a＞3．【考点】分段函数的应用．【分析】由任意x1≠x2，都有＜0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有＜0成立∴函数f（x）在定义域上为减函数，则满足，得0≤a＜1或a＞3，故答案为：0≤a＜1或a＞3．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=S3=9，得，解出a1，d，由等差数列通项公式即可求得答案；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=a2可得b1，由b4=S4可得q，由等比数列前n项和公式可得答案；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a3=S3=9，所以，解得a1=﹣3，d=6，所以a n=﹣3+（n﹣1）•6=6n﹣9；（II）设等比数列{b n}的公比为q，因为b1=a2=﹣3+6=3，b4=S4=4×（﹣3）+=24，所以3q3=24，解得q=2，所以{b n}的前n项和公式为=3（2n﹣1）．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（Ⅱ）因为，所以，…所以．…所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合平方关系求得sinB=，再由正弦定理求得AC的长；（Ⅱ）由sinC=sin（B+60°）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），又sin2B+cos2B=1，解得sinB=．由正弦定理得：，即，∴AC=4；（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°==．∴=．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由a n+1=1+S n（n∈N*），当n≥2时可得a n+1=2a n，当n=1时，=2，利用等比数列即可得出；（II）利用等差数列的通项公式可得：b n=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1.1+b1+b2+…+b n=n2+1．通过作差即可比较出大小．【解答】解：（I）∵a n+1=1+S n（n∈N*），∴当n≥2时，a n=1+S n﹣1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，当n=1时，a2=1+a1=2，∴=2，综上可得：a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，∴．（II）数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，公差为=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1．1+b1+b2+…+b n=1+=n2+1．∴n2+1﹣（2n+1）=n（n﹣2）＞0，∴b n+1＜1+b1+b2+…+b n．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．【考点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【分析】（I）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到结论．（Ⅱ）根据题意得到关于x0的方程，解方程可得x0的值；（Ⅲ）将a与b代入函数f（x）=lg（﹣＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（）的值，从而证得结论．【解答】解：（I）f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为（﹣1，1）关于原点对称；又∵f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅱ）∵f（x）=lg（﹣1＜x＜1）．∴由f（）+f（）=f（x0）得到：lg+lg=lg，整理，得lg3×2=lg，∴=6，解得x0=；（Ⅲ）证明：∵f（x）=lg（﹣＜x，1）．∴f（a）+f（b）=lg+lg=lg•=lg，f（）=lg=lg，∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．得证．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（I）令x=y=0得出f（0），令y=﹣x得出f（x）f（﹣x）=f（0）；（II）求出g（x）的定义域，计算g（﹣x）并化简得出结论；（III）设x1＜x2，根据f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2）得出=f（x1﹣x2）＞1，得出结论；（IV）根据f（﹣x）f（x）=1得出a n+1﹣a n﹣2=0得出结论．【解答】解：（I）令x=y=0得f（0）=f2（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1．令y=﹣x得f（x）f（﹣x）=f（0）=1．（II）∵f（x）f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=，∵x＜0时，f（x）＞1，∴x＞0时，0＜f（x）＜1，由g（x）有意义得f（x）≠1，∴x≠0，即g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．∴g（﹣x）====﹣g（x），∴g（x）是奇函数．证明：（III）设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，∵f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2），∴=f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．（IV）∵f（a n+1）=，∴f（a n+1）f（﹣2﹣a n）=1，∵f（x）f（﹣x）=1，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n+1﹣a n=2，又a1=f（0）=1，∴{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．精品文档xx年11月30日39234 9942 饂cCK23691 5C8B 岋39065 9899 颙g29049 7179 煹34685 877D 蝽31197 79DD 秝&25755 649B 撛28880 70D0 烐实用文档。

2021年高三数学上学期10月月考试题理（含解析）新人教A版【试卷综析】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：每小题5分，共10题，50分．【题文】1．已知集合＝{0,1, 2,3}，集合，则=（）A．{ 3 } B．{0，1，2} C．{ 1，2} D．{0，1，2，3}【知识点】交集的运算.A1【答案解析】B 解析：因为，所以={0，1，2}，故选B.【思路点拨】先解出集合B，再求即可.【题文】2．若，则（）A． B． C． D．【知识点】导数的概念.B11【答案解析】B 解析：，故选B.【思路点拨】利用导数的概念解之即可.【题文】3．函数的定义域为（）A. B. C. D.【知识点】函数的定义域.B1【答案解析】C 解析：若使原函数有意义，则，解得或，即函数的定义域为，故选C. 【思路点拨】若使原函数有意义，解一元二次不等式即可.【题文】4．已知函数，，若，则（）A.1B. 2C. 3D. -1【知识点】函数的值.B1【答案解析】A 解析：由题意得：，所以，解得，故选A.【思路点拨】先由题意得，然后解方程即可.【题文】5．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（）A. B. C. 1 D. 3【知识点】奇函数、偶函数的性质.B4【答案解析】C 解析：因为分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，，又因为，故，即，则1，故选C.【思路点拨】先由题意的，，再结合可求出，进而得到结果.【题文】6．已知集合={2，0，1，4}，={|，，}，则集合中所有元素之和为（）A．2 B．-2 C．0 D．【知识点】集合中元素的特性.A1【答案解析】B 解析：因为，所以有下列情况成立：（1）=2，解得,当时，不满足题意，舍去，故；（2）=0，解得，经检验满足题意；（3）=1，解得，经检验满足题意；（4）=4，解得，经检验满足题意；所以集合中所有元素之和为，故选B.【思路点拨】由分情况讨论即可得到结果.【题文】7．曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）A． B． C．2 D．1【知识点】导数的几何意义.B11【答案解析】C 解析：因为，所以，则，故选C.【思路点拨】先对原函数求导，再利用导数的几何意义求出斜率即可.【题文】8．若则（）A. B. C. D.1【知识点】定积分.B13【答案解析】 B 解析：设，则，()11112300011()2()2233f x dx x f x dx dx x mx m m=+=+=+=⎰⎰⎰，所以.故选B.【思路点拨】本题考查了定积分以及微积分基本定理的应用.【题文】9．下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A B C D【知识点】函数的图像；函数的性质.B8【答案解析】C 解析：令，则原函数转化为，此函数为奇函数，关于坐标原点对称，可排除A,D;又因为当时，函数值为正值，故排除B,则答案为C.【思路点拨】借助于函数的性质结合排除法即可.【题文】10．如图所示的是函数的大致图象，则等于（）A．B． C．D．【知识点】导数的几何意义.B11【答案解析】C 解析：由图象知的根为0,1,2，d=0，，的两根为1和2，，，，为的两根，，，，故选C.【思路点拨】由图象知的根为0,1,2，求出函数解析式，为的两根，结合根与系数的关系求解.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：每小题5分，共5题，25分．11．物体运动方程为，则时瞬时速度为【知识点】导数的几何意义.B11【答案解析】解析：由题意得：，当时瞬时速度为，故答案为：。

2021年高三上学期10月月考试题数学（文）含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1、已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．2、复数z ＝a ＋i 1－i 为纯虚数，则实数a 的值为 ．3、抛物线的焦点到准线的距离是 ．4、“”是“”的 条件．5、向量(1,2)、(－3,2)，若()∥()，则实数k ＝_________．6、已知m 为任意实数，则直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．7、若关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ．8、将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的最小值为_______．9、若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________． 10、已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．11、已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC ＝ ．12、已知椭圆的左右焦点分别为，点 P 是椭圆上某一点，椭圆的左准线为，于点，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是13、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ．14、已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f(x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分14分） 已知直线和．问：m 为何值时，有：（1）； （2）．16、（本小题满分14分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．17、（本小题满分15分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， （1）k a －b 与a －k b 垂直；（2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．18、（本小题满分15分）如图①，一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km．（1）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（2）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE＝θ(0≤θ≤π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y的最小值．19、（本小题满分16分）已知椭圆的两个焦点为，离心率为，点是椭圆上某一点，的周长为，（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，设直线的斜率为（），求所有满足要求的．20、（本小题满分16分）已知a为实数，函数f(x)＝a·ln x＋x2－4x．（1）是否存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g(x)＝2a ln x＋x2－5x－1＋ax，若存在x0∈[1, e]，使得f(x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．高三数学(文科)月考试卷 答案xx.10.61、(0,1)2、13、4、充分不必要”5、－136、 (9,－4)7、[－4,4]8、π69、[12,＋∞) 10、411、3 12、 13、 (－∞,4) 14、⎣⎡ln33,⎭⎫1e15、解：（1）∵，∴，得或；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去． 当时，即 ∴当时，． ………7分 （2）由得或； ∴当或时，． ………14分16、解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分 ∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分17、解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分18、解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD .过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分 又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分 （2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π 3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π 3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分 19、解：（1）由题意得，椭圆的标准方程为： ---------------------6分 （2）设的直线方程为设，（不妨设） 由得，----------------------8分AB ∴==由得，即，即或 注：求出给2分20、解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝ax ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a2或x ＜1－1－a 2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增， ∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，因为，所以； ………12分 ②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； ………14分 ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以，，故 此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分~31922 7CB2 粲kw25948 655C 敜37280 91A0 醠22014 55FE 嗾39428 9A04 騄d27288 6A98 檘33985 84C1 蓁37111 90F7 郷23438 5B8E 宎@25055 61DF 懟。

2021年高三数学上学期10月模块考试试题理（含解析）【试卷综析】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。

试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。

整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。

第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

1.若a、b为实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．L4【答案解析】B 解析：若a、b为实数，，令a=﹣1，b=1，ab=﹣1＜1，推不出，若，可得b＞0，∴0＜，⇒，∴”是“必要不充分条件，故选B．【思路点拨】令a=﹣1，b=1特殊值法代入再根据必要条件和充分条件的定义进行判断.【题文】2.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（）A． B.C. D.【知识点】指数函数的图像与性质．L4【答案解析】A 解析：∵实数满足，∴x＞y，A．当x＞y时，，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但不成立．C．若，则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【题文】3．下列四个图中,函数的图象可能是（）【知识点】函数的图象．L4【答案解析】C 解析：当x＞0时，y＜0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D 项．故选：C．【思路点拨】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．【题文】4.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则的最小值是（）A． B．1 C． D．2【知识点】奇偶性与单调性的综合．L4【答案解析】C 解析：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴，等价为f（log2a）+f（﹣log2a）=2f（log2a）≤2f（1），即f（log2a）≤f（1）．∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，∴f（log2a）≤f（1）等价为f（|log2a|）≤f（1）．即|log2a|≤1，∴﹣1≤log2a≤1，解得，故a的最小值是，故选：C【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论．【题文】5.已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是（）A． B． C． D．【知识点】数量积表示两个向量的夹角．L4【答案解析】A 解析：设两个向量的夹角为θ∵，∴，∴，即∴，∵θ∈[0，π]，∴，故选A【思路点拨】利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．【题文】6.把函数的图象适当变化就可以得的图象，这个变化可以是（）A．沿轴方向向右平移 B．沿轴方向向左平移C．沿轴方向向右平移 D．沿轴方向向左平移【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．L4【答案解析】C 解析：∵函数=sin（3x﹣）=sin3（x﹣），∴把函数的图象沿x轴方向向右平移个单位，可得的图象，故选：C．【思路点拨】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【题文】7.已知等差数列的前n项和为，又知，且，，则为（）A．33 B．46 C．48 D．50【知识点】等差数列的性质；定积分的简单应用．L4【答案解析】C 解析：=（xlnx﹣x）=e﹣e﹣（﹣1）=1∵等差数列中，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20为等差数列，即1，17﹣1，S 30﹣17为等差数列，∴32=1+S 30﹣17，∴S 30=48，故选 C 。

2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。

2021年高三上学期10月阶段检测数学文试题含答案一、 选择题（每小题5分，共50分）1、设集合 ,,则（ ）A ．B ．C ．D ． 2、已知角α的终边经过点(－3，4)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－453、设，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≥b ”是“sin A ≥sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件5、曲线在点A(1, －1)处的切线的斜率是( )A ．4B ． 3C ．2D ．16、将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 D ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称 7、设是定义在R 上的周期为2的函数，当时，，则 （ ）A ． 1B ．C ． －23D ．8、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3b ＝2a ，则的值为( )A ．－ B. C ．1 D.729、 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝3x －2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．B ．1C ．－1D ．010．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，且，则不等式的解集是 ( ）A ．(－∞，－2)∪(0，2)B ．(－2，0)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，+∞)D ．(－2，0)∪(2，+∞)二、 填空题（每题5分，共25分）11、函数的单调递减区间是____________．12、在△ABC 中，A ＝60°4，AC ＝，BC ＝23，则AB 等于_____．13．函数f(x)=cosx －log 8x 的零点个数为_____________.14、函数y ＝cos 2x －2cos x 的最小值为________．15、设是定义在（-∞,+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有，当＜1时，则当时，函数的解析式为 。

位育中学高三期中数学试卷2020.11一.填空题1.设集合A={x|-1≤x ≤2},B={x|0≤x ≤4},则A ∩B=____.2.计算:1lim 31n n n →∞-+=- ____. 3.已知复数z,i =,i 为虚数单位,则z=____. 4.已知函数3,y x =则此函数的反函数是____.5. 已知x ､y 满足20230,0x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z=y- 2x 的最大值为____.6.已知行列式129300a b c d =,则a b c d＝____. 7.某单位现有职工52人,将所有职工编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号､32号､45号职工在样本中,则另一个在样本中的职工编号为____.8.已知数列{}n a 是无穷等比数列,其前n 项和记为,n S 若233433,,2a a a a +=+=则lim n n S →∞=____. 9.在停课不停学期间,某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动,每位教师任选一项,则每个项目都有该校教师参加的概率为______. (结果用数值表示)10. 已知12F F 、是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左､右焦点,过原点O 且倾斜角为60°的直线与椭圆C 的一个交点为M,若|212|||MF MF MF MF +=-,则椭圆C 的长轴长为____.11.已知点M ､N 在以AB 为直径的圆上,若AB=5, AM=3, BN=2,则AB MN ⋅=____.12. 已知球O 是三棱锥P- ABC 的外接球,PA= AB= BC=CA=2,PB =点D 为BC 的中点,且PD =则球O 的体积为____.二.选择题13.下列不等式恒成立的是( )22.2A a b ab +≤22.2B a b ab +≥-22.C a b +≥ 22.D a b +≥-14. 若函数f(x)= sinx + acosx 的图像关于直线4x π=对称,则a 的值为()A.1B. -1 .C .D -15.对于函数*1(1)()()2nf n n +-=∈N ,我们可以发现f(n)有许多性质,如: f(2k)= 1(k ∈N *)等,下列关于f(n)的性质中一定成立的是( )A. f(n+1)- f(n)=1B.*()()()f n k f n k +=∈N().(1)()(f n C f n f n ααα=++≠0 ) (1).(1)()(f n D f n αααα+=-+≠0)16. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x-1)为偶函数,当x ∈[0,1]时,()f x =g(x)= f(x)-x-m 有三个零点,则实数m 的取值范围是( )11.(,)44A - .(11)B11.(4,4)()44C k k k -+∈Z .(4141)()D k k k ++∈Z三.解答题 17. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°, AB=2AC=2, D 是AB 的中点.(1)若三棱柱111ABC A B C -的体积为求三棱柱111ABC A B C -的高;(2)若12,C C =求二面角111D B C A --的大小.18. 已知函数4()31x f x a =-+(a 为实常数). (1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2) 当f(x)为奇函数时,对任意的x ∈[1,5],不等式,()3xu f x ≥恒成立, 求实数u 的最大值.19.某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年,在一个半径为米､圆心为60°的扇形OAB 草坪上,由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案,已知红旗为矩形,其四个顶点中有两个顶点M ､N 在线段OB 上,另两个顶点P ､Q 分别在弧AB ､线段OA 上.(1)若组成的红旗是长PN 与宽MN 的长度比为3: 2的国旗图案,求此国旗的面积; (2)求组成的红旗图案的最大面积.20.已知抛物线22(0),y px p =>其准线方程为x+1=0,直线l 过点T(t,0)(t>0)且与抛物线交于A ､B 两点, O 为坐标原点.(1)求抛物线方程;(2)证明:OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关;(3)若P 为抛物线上的动点,记|PT|的最小值为函数d(t),求d(t)的解析式.21. 设数列{}n a 的各项都是正数,若对于任意的正整数m,存在*,k ∈N 使得m m k a a +、、2m k a +成等比数列,则称数列{}n a 为“k D 型”数列.(1)若{}n a 是“1D 型”数列,且1311,,4a a ==求12lim()n x a a a →∞+++的值;(2)若{}n a “2D 型”数列,且12381,8,a a a a ====求{}n a 的前n 项和n S ；(3)若{}n a 既是“2D 型”数列,又是“3D 型”数列,求证:数列{}n a 是等比数列.参考答案一.填空题1. {x|0≤x ≤2}12.3- 3.1-2i4.y =5.36.37.198.8 49.910.11.12二.选择题13. B14. A15. C16. C三.解答题17. (1) 6;(2)18. (1) f(x)是奇函数; max (2) 3.u =2219.(1)(2).220.(1)4y x = (2)证明略;022(3)()t d t t t ⎧≥<<⎪=⎨⎪⎩ 21. (1) 2; 221222(2)122n n n n n S n n -⎧-+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩，为偶数，为奇数 (3)证明略.。

2021年高三上学期10月月考文科数学试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，集合，则( )A．(-) B．(- C．-) D．-2．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱4. 已知直线平面,直线平面,则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 函数的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）6．.若，满足约束条件，则的最小值是 ( )（A）-3 （B）0 （C）（D）37.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π8.已知等差数列的前n项和为，且满足则的值是（）A、，B、，C、D、9. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位10.数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S xx等于（）A.1008B.2015C.0D.-111．函数的图像大致是（）A. B. C. D.12．设函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围为( )A．(-∞，2) B．(-∞， C．(0,2) D．,2)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．.不等式x2-5x+6≤0的解集为______14．已知,且在第二象限,则15．设，则大小关系是_______________.16．在中,是的中点,,点在上,且满足,则三．解答题：(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且(1)求角C；(2)若，且ΔABC的面积为，求的值.18.(本题满分12分）如图所示，在棱锥P-ABC D中，平面，底面为直角梯形，且//，，PA=AD=DC=2，AB=4.（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）若F为PB的中点，求证：CF//平面PAD.19．本题满分12分已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前项和；（1）求数列和的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，证明：；20．本题满分12分设∈（0，），且（1）求及，的值；（2）设①求的最小正周期和图象的对称中心坐标；②求在区间上的值域.21．本题满分12分如图,四边形是边长为2的正方形,为等腰三角形,,平面平面,点在上,且平面.(Ⅰ)证明:平面平面;22．本题满分12分设函数，曲线在点处的切线方程为。

2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁B）（）UA．∅B．{5} C．{3} D．{3，5}2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量，满足=1， =2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）5．把函数的图象上所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]8．如图，|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C．甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止．设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是．10．复数+的虚部是．11．已知，，则在方向上的射影长为．12．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为．13．已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=（用a表示），若，则a=．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l ∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是（填序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．16．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：日产量x 80 81 82 (x)…98 99 100次品率p …P（x）…其中P（x）=（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元（k为给定常数）．（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？17．函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．18．设函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．20．函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．xx学年北京首都师大附中育新学校高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A．∅B．{5}C．{3}D．{3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选D．2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据象限角的定义，结合充要条件的定义，可得结论．【解答】解：“α为第二象限角”时，“为锐角”不一定成立，“为锐角”时，“α为第二象限角”一定成立，故“α为第二象限角”是“为锐角”的必要不充分条件，故选：B3．已知平面向量，满足=1，=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的数量积公式，结合=1，=2，且（+）⊥，即可求得结论．【解答】解：∵=1，=2，且（+）⊥，∴（+）•=1+1×2×cos＜，＞=0∴cos＜，＞=﹣∵＜，＞∈[0，π]∴＜，＞=故选B．4．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0） B．（0，）C．（，） D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，根据零点存在定理，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3在R上是增函数，求解：f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x﹣4的零点所在的大致区间是（，）故选：C．5．把函数的图象上所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规则对函数的解析式进行变换即可，由题设条件知，本题的变换涉及到了平移变换，周期变换，振幅变换．【解答】解：由题意函数y=sin（2x﹣）的图象上各点向右平移个单位长度，得到y=sin（2x﹣﹣）=sin（2x﹣），再把横坐标缩短为原来的一半，所得图象的表达式是：y=sin（4x﹣）．故选：D．6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，且，代入要求的式子化简可得答案．【解答】解：由题意可得：，且，∴===﹣4故选A7．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【考点】其他不等式的解法．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D8．如图，|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C．甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止．设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】由题意，所围成的面积的变化可分为两段研究，一秒钟内与一秒钟后，由题设知第一秒内所围成的面积增加较快，一秒钟后的一段时间内匀速增加，一段时间后面积不再变化，由此规律可以选出正确选项【解答】解：由题设知，|OA|=2（单位：m），OB=1，两者行一秒后，甲行到B停止，乙此时行到A，故在第一秒内，甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）的值增加得越来越快，一秒钟后，随着甲的运动，所围成的面积增加值是扇形中AB所扫过的面积，由于点B是匀速运动，故一秒钟后，面积的增加是匀速的，且当甲行走到C后，即B与C重合后，面积不再随着时间的增加而改变，故函数y=S（t）随着时间t 的增加先是增加得越来越快，然后转化成匀速增加，然后面积不再变化，考察四个选项，只有A符合题意故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是m≤﹣5．【考点】一元二次不等式的应用；函数恒成立问题．【分析】①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论对称轴x=﹣＞或＜时f（x）的单调性，得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f（x）＜0，由此则可求出m的取值范围【解答】解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，①当图象对称轴x=﹣≤时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．②同理当﹣＞时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使x∈（1，2）时f（x）＜0．由f（1）≤0解得m≤﹣5．综合①②得m范围m≤﹣5法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立即解得即m≤﹣5故答案为m≤﹣510．复数+的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：复数+===．故其虚部为．故答案为．11．已知，，则在方向上的射影长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】在方向上的射影长为：，代入计算可得答案．【解答】解：∵，，∴在方向上的射影长为：==，故答案为：12．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和公式展开后求得cosα+sinα的值，进而利用诱导公式可知sin（α+）=﹣sin（α+），把cosα+sinα的值代入求得答案．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣（sinα+cosα）=﹣．故答案为：﹣13．已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=2a（用a表示），若，则a=1．【考点】函数的值．【分析】由函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且，知f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；由=，知f（2）=2a=2，由此能求出a．【解答】解：∵函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且，∴f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；∵=，∴f（2）=2a=2，∴a=1．故答案为：2a，1．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l ∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是②③（填序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据高调函数的定义证明条件f（x+1）≥f（x）是否成立即可．【解答】解：①∵函数f（x）=（）x为R上的递减函数，故①不正确，②∵sin2（x+π）≥sin2x∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确，③如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，则，解得m ≥2，即实数m的取值范围[2，+∞），∴③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．【考点】解三角形；余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，然后求△ABC的面积；（Ⅱ）通过余弦定理求出c，利用正弦定理求出sinA，同角三角函数的基本关系式求出cosA，利用两角和的正弦函数求sin（C﹣A）的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，所以．…所以，．…（Ⅱ）由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2ab•cosC==9所以，c=3．…又由正弦定理得，，所以，．…因为a＜b，所以A为锐角，所以，．…所以，sin（C﹣A）=sinC•cosA﹣cosC•sinA=．…16．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：日产量x 80 81 82 (x)…98 99 100次品率p …P（x）…其中P（x）=（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元（k为给定常数）．（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）首先根据列表求出a的值，然后列出P（x）的关系式，整理即可．（2）令108﹣x=t，t∈[8，28]，t∈N*，把函数转化为关于t的等式，利用基本不等式求解【解答】解：（1）根据列表数据可得：a=108由题意，当日产量为x时，次品数为：正品数：∴y=整理得：（80≤x≤100，x∈N*）（2）令108﹣x=t，t∈[8，28]，t∈N*==当且仅当t=即t=12时取得最大盈利，此时x=9617．函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用函数的图象，求出A，T，然后求出ω，利用f（）=2，求出φ，即可求出函数的解析式．（2）通过g（x）=f（x）﹣2cos2x，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过[0，]求出相位的范围，然后求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）由图可得A=2，，所以T=π．因为所以ω=2．…当时，f（x）=2，可得，因为，所以．…所以f（x）的解析式为．…（2）==…=．…因为，所以．当，即x=时，函数g（x）有最大值，最大值为：2 …当，即x=0时，函数g（x）有最小值，最小值为﹣1．…18．设函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）已知函数f（x）=x﹣ae x，对其进行求导，利用导数研究其单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈R，f（x）≤0成立，只要f（x）的最大值小于等于0即可，利用导数研究函数的最值问题，从而求解；【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=1﹣ae x．…当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数．…当a＞0时，令f′（x）=0，得x=﹣lna．…若x＜﹣lna则f′（x）＞0，从而f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数；若x＞﹣lna则f′（x）＜0，从而f（x）在区间（﹣lna，+∞）上是减函数．综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数；当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在区间（﹣lna，+∞）上是减函数．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立．又因为当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在区间（﹣lna，+∞）上是减函数，所以f（x）在点x=﹣lna处取最大值，且f（﹣lna）=﹣lna﹣ae﹣lna=﹣lna﹣1．…令﹣lna﹣1≤0，得，故f（x）≤0对x∈R恒成立时，a的取值范围是．…19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣（1﹣a）x，利用导数求函数的最值，利用最值证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）利用导数确定函数的取值情况，确定函数y=f（x）零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为，…f（1）=﹣a+1，所以切线斜率k=f'（1）=1﹣a，所以切线l的方程为y﹣（1﹣a）=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x．…（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（1﹣a）x=lnx﹣x+1，x＞0，则F'（x）==0，解得x=1．x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x）+0 ﹣F（x）↗最大值↘…F（1）＜0，所以∀x＞0且x≠1，F（x）＜0，所以f（x）＜（1﹣a）x，即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．…（Ⅲ）令f（x）=lnx﹣ax+1=0，则a=．令g（x）=，则g'（x）=，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当x=1时，g（x）的最大值为g（1）=1．所以若a＞1，则f（x）无零点；若f（x）有零点，则a≤1．…若a=1，f（x）=lnx﹣ax+1=0，由（Ⅰ）知f（x）有且仅有一个零点x=1．若a≤0，f（x）=lnx﹣ax+1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f（x）有且仅有一个零点（或：直线y=ax﹣1与曲线y=lnx有一个交点）．若0＜a＜1，解f'（x）=，得x=，由函数的单调性得知f（x）在x=处取最大值，f（）=ln，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时f（x）＜0，即f（x）在单调递减区间（，+∞）有且仅有一个零点；又因为f（=﹣，所以f（x）在单调递增区间（0，）有且仅有一个零点．综上所述，当a＞1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．…20．函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【分析】（1）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n=0，易得f（0）的值；（2）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n，即可得到结论；（3）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=2n=2x，即可得到结论．【解答】解：（1）令m=n=0∴f2（0）=0∴f（0）=0（2）令m=n∴∴对于任意的t∴即证（3）令m=2n=2x∴=f2（x）+xf（x）当f（x）=0时恒成立，当f（x）≠0时有，∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）∴f（x）=x．xx年11月19日22990 59CE 姎C25669 6445 摅35938 8C62 豢34961 8891 袑30411 76CB 盋29965 750D 甍d26031 65AF 斯:3s38002 9472 鑲527455 6B3F 欿。

2021届上海市位育中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，(3,cos )m b c C =-,(,cos )n a A =,//m n ,则cos A 的值为（ ）A ．36B ．3 C ．34D ．33【答案】D【分析】先根据向量共线得边角关系，再根据正弦定理求解 【详解】因为//m n ，所以(3)cos cos (3sin sin )cos sin cos b c A a C B C A A C -=∴-=3sin cos sin cos sin cos B A A C C A ∴=+ 33sin cos sin()sin cos B A A C B A ∴=+=∴=，选D. 【点睛】本题考查向量共线坐标表示以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．若点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中异于A 的一个顶点，则AP AB ⋅的所有可能值的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据立方体的八个顶点分成两类：一类是：当P 点是1A ，D ，1D 中的一个时；另一类是：当P 点是11,,,B C C B 中的一个时，分别根据向量的乘积的几何意义进行求解即可【详解】如图所示，分成两类：一类是：当P 点是1A ，D ，1D 中的一个时，此时，AP AB ⊥，0AP AB ∴⋅=；另一类是：当P 点是11,,,B C C B 中的一个时，此时AP 在AB 方向上的投影是AB ，根据向量的乘法的几何意义得：21||AP AB AB =⋅=，则AP AB ⋅的所有可能值的个数是0或1 故选：B【点睛】本题考查向量在几何中的应用以及立体图形的性质，得出立方体的八个顶点分成两类是解决问题的关键3．若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．⎛ ⎝⎭C．⎛⎫⎪⎝⎭ D．13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据题意，得到22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，联立直线与曲线方程，设两交点为()11,x y ，()22,x y ，结合韦达定理，以及判别式，即可得出结果.【详解】因为22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，由2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()2226x kx -+=，整理得()2214100k x kx ---=， 设直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>的两交点为()11,x y ，()22,x y ，其中1>0x ，20x >，则1221221001401x x k k x x k ⎧=->⎪⎪-⎨⎪+=>⎪-⎩，解得1k <-，又()22164010k k∆=+->，解得k <<，综上，13k -<<-. 故选：D.【点睛】本题主要考查由直线与双曲线位置关系求参数，属于常考题型.4．在锐角ABC 中，2A B ∠=∠，B ､C ∠的对边长分别是b ､c ，则bb c+的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】确定B 的范围,利用正弦定理化简表达式,求出范围即可. 【详解】在锐角ABC 中,()2,030,4522A B A C B ππ︒︒∠=∠<<<<∴∠∈，0，cos ,22B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭,213cos ,24B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 而()()sin sin sin 3sin3C A B B B ππ=--=-=，()()22sin3sin +2sin cos 2+cos sin 2sin 2cos 1+2sin cos B B B B B B B B B B B===-，所以()223sin34cos sin sin 41sin sin sin 3sin 4sin B B B B B B B B B =-=--=-， 所以由正弦定理可知:32sin sin sin 111,sin sin sin sin(3)sin 3sin 4sin 4cos 32b B B B b c B C B B B B B B π⎛⎫====∈ ⎪+++-+-⎝⎭, 故选：D【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用,注意锐角三角形中角的范围的确定,是本题解答的关键,考查计算能力,逻辑推理能力,属于中档题.二、填空题5．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R =，则实数a 的取值范围是______________________ . 【答案】1a ≤【分析】由并集的定义及数轴表示可得解. 【详解】在数轴上表示出集合A 和集合B ,要使AB R =，只有1a ≤.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题. 6．若虚数12i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则24b c -的值为_________. 【答案】16-【分析】根据题中条件，得到()()212i 12i 0b c ++++=，b R ∈，R c ∈，由复数的运算，以及复数相等的条件，求出52c b =⎧⎨=-⎩，即可得出结果.【详解】因为虚数12i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根， 所以()()212i 12i 0b c ++++=，b R ∈，R c ∈， 即214420i i b bi c +++++=，b R ∈，R c ∈， 即()()3420b c b i +-++=，b R ∈，R c ∈，则30420b c b +-=⎧⎨+=⎩，解得52c b =⎧⎨=-⎩，所以2442016b c -=-=-. 故答案为：16-.【点睛】本题主要考查复数的运算，考查由复数相等求参数，属于基础题.7．函数22lg(21)x x y x -=-的定义域是_________.【答案】1,1(1,2]2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】因为22lg(21)x x y x -=-，所以220210211x x x x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩，解得122x <≤且1x ≠，即函数lg(21)y x =-的定义域是1,1(1,2]2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：1,1(1,2]2⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，涉及不等式的解法，属于基础题. 8．若a ､b 都是正数，且1a b +=，则(1)(1)a b ++的最大值是_________. 【答案】94【分析】根据题中条件，由211(1)(1)2a b a b +++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】因为a ､b 都是正数，且1a b +=， 所以2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当11a b +=+，即12a b ==时，等号成立. 故答案为：94. 【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，属于基础题型.9．若矩阵111113⎛⎫⎪-⎝⎭是线性方程111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵，则这个线性方程组的解x y ⎛⎫⎪⎝⎭可用矩阵表示为___________ 【答案】21⎛⎫⎪-⎝⎭【分析】先由题意，得到方程组为13x y x y +=⎧⎨-=⎩，求解即可得出结果.【详解】因为矩阵111113⎛⎫⎪-⎝⎭是线性方程111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵，所以方程组为13x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即这个线性方程组的解x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭可用矩阵表示为21⎛⎫⎪-⎝⎭.故答案为：21⎛⎫⎪-⎝⎭.【点睛】本题主要考查由方程组的增广矩阵求方程的解，属于基础题型.10．已知指数函数12log xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内为减函数，则实数a 的取值范围_________.【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据指数函数单调性，得到120log 1a <<，求解，即可得出结果.【详解】因为指数函数12log xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内为减函数，所以120log 1a <<，则111222log 11l 2og log a <<， 又函数12log y x =单调递减，所以112a <<. 故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查由指数函数单调性求参数，涉及对数函数单调性，属于基础题型.11．已知函数()f x =]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1gx -的定义域为__________．【答案】2,⎡⎣【分析】根据互为反函数的关系，即求()g x 的值域【详解】()()[1,9],[1,3]f x x g x x =∈=∈,()g x 在[1,3]为增函数，()g x ∴的值域为2,⎡⎣，即为()1gx -的定义域.故答案为:2,⎡⎣.【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.12．某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，则最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不连续播放的概率是_________.【答案】310【分析】本题是一个等可能事件的概率，满足条件的事件是首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，余下的三个元素在三个位置全排列，共有33A 种结果，得到概率． 【详解】解：由题意知本题是等可能事件的概率，所有事件数是55120A =满足条件的首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置，有122C =种结果， 两个奥运广告不能连放，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，有3种结果，余下的三个元素在三个位置全排列，共有33A 种结果，共有332336A ⨯⨯=种结果，∴要求的概率是36312010=， 故答案为：310【点睛】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是做出符合题意的事件数，这里要应用排列组合的原理来解出结果，属于中档题．13．已知51()(2)a x x x x+-的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为_________． 【答案】D【解析】试题分析：令可得，即，则51()(2)a x x x x+-，分别求出的展开式中的含和和的项的系数分别为，所以展开式中的常数项为. 【考点】二项式展开式的通项公式及待定系数法．14．若12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，则1211MF MF +的最小值为_____ 【答案】1【分析】由椭圆定义可将所求式子化为124MF MF ⋅，利用基本不等式可求得12MF MF ⋅的最大值，代入即可求得所求式子的最小值.【详解】由椭圆定义可知：1224MF MF a+==12121212114MF MFMF MF MF MF MF MF+∴+==⋅⋅2121242MF MFMF MF⎛+⎫⋅≤=⎪⎝⎭（当且仅当12MF MF=时取等号）12111MF MF∴+≥，即1211MF MF+最小值为1故答案为1【点睛】本题考查椭圆中最值问题的求解，涉及到椭圆定义和基本不等式的应用；关键是能够利用椭圆定义将问题转化为两个焦半径乘积的形式，进而利用基本不等式求得积的最大值.15．在平行四边形ABCD中，4AB=，2AD=，60DAB∠=︒，M是线段DC上一点，且满足14DM DC=，若N为平行四边形ABCD内任意一点(含边界)，则AM AN⋅的最大值为_________.【答案】13【分析】建立如图的平面直角坐标系，则可得23AM AN x y⋅=+，令23z x y=+，观察图形可知过()5,3C时z取得最大值.【详解】建立如图的平面直角坐标系，则可得((3,3M C，设(),N x y，(()3,23AM AN x y x∴⋅=⋅=，令23z x=，则3333y x z=-+，则当直线33y x z =-+过(C 时，z取得最大值为max 2513z =⨯=.故答案为：13.【点睛】本题考查平面向量的数量积，建立直角坐标系是解决此题的有效方法，属于中档题.16．已知函数2131()1log 12x x kx f x xx ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()ln(2)()1xg x a x a x =++∈+R ，若对任意的{}12,,2x x xx x ∈∈>-R ∣，均有()()12f x g x <，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【分析】可求得11(){,}42max f x max k =+-，1()2min g x =-，根据题意()()(2)max min f x g x x <>-，由此得到1142k +<-，解该不等式即可求得实数k 的取值范围．【详解】解：对函数()f x ，当1x 时，11()()24max f x f k ==+；当1x >时，1()(1)2max f x f ==-，()f x ∴在(2,)-+∞上的最大值11(){,}42max f x max k =+-；对函数()g x ，函数()g x 若有最小值，则0a =，即2()1xg x x =+， 当(2x ∈-，0)(0⋃，)+∞时，1()1g x x x=+，易知函数1()2min g x =-； 又对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x <， ()()(2)max min f x g x x >-<∴，即111,422max k ⎧⎫+-<-⎨⎬⎩⎭，∴1142k +<-， ∴34k <-，即实数k 的取值范围为3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故答案为：3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是的PC 中点，已知2AB =，22AD =，2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小. 【答案】（1）23（2）45︒.【分析】（1）先证明三角形PCD 为直角三角形，然后再求其面积；（2）取PB 的中点F ，连接EF ，AF ，则//EF BC ，AEF ∠（或其补角）是异面直线BC 与AE 所成的角．由此能求出异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 【详解】（1）∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， ∴PA CD ⊥． 又底面ABCD 是矩形， ∴AD CD ⊥，∵PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ． 又PD ⊂平面PAD ， ∴CD PD ⊥，∴PCD 是直角三角形， 又2CD AB ==，2223PD PA AD =+=∴112232322PCDSCD PD =⋅=⨯⨯=； （2）取PB 的中点F ，连接EF ，AF ，AC ，则//EF BC ，AEF ∴∠（或其补角）是异面直线BC 与AE 所成的角．在AEF 中，122EF BC ==由（1）可得，224PC PD DC =+=，PA AC ⊥，则122AE PC ==， 同理2211222AF PB PA AB ==+=， 因此AEF 是等腰直角三角形，90AFE ∠=︒，45AEF ∴∠=︒，∴异面直线BC 与AE 所成的角的大小是45︒．【点睛】本题主要考查空间中三角形的面积，考查线面垂直的应用，考查求异面直线所成的角，属于常考题型.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 22A B-·cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝2，b ＝5，求BA 在BC 方向上的投影. 【答案】（1）－35（2）22【解析】 (1)由2cos 22A B -⎛⎫⎪⎝⎭cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35， ∴cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a b sin A sin B ＝，所以，sin B ＝ 2bsin A a =. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝4π，根据余弦定理，有)2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫⎪⎝⎭， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B＝2. 19．已知()lg(1)f x x =+.（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =，[1,2]x ∈的反函数.【答案】（1）21{|}33x x -<<；（2）310x y =-，[0,lg2]x ∈. 【分析】（1）先求出对数函数的定义域，由对数的运算性质有22(12)()lg(22)lg(1)lg1x f x f x x x x ---=--+=+，则220lg11xx -<<+，再根据对数函数的图象分析可得221101xx -<<+，从而可得x 的取值范围； （2）根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得()(2)(2)(2)y g x g x g x f x ==-=-=-，代入函数的解析式即可得答案.【详解】(1) (12)lg(22)f x x -=-，由22010x x ->⎧⎨+>⎩得11x -<<，由220lg(22)lg(1)lg 11xx x x -<--+=<+， 得221101x x -<<+，因为10x +>，所以1221010x x x +<-<+，解得2133x -<<， 由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩，得2133x -<<， ∴x 的取值范围为21{|}33x x -<<；(2)当[1,2]x ∈时，2[0,1]x -∈，因此()(2)(2)(2)lg(3)y g x g x g x f x x ==-=-=-=-，[1,2]x ∈，[]lg(3)0,lg2x ∴-∈，则()y g x =的反函数为310x y =-，[0,lg2]x ∈.【点睛】本题考查对数函数的图象以及对数不等式的解法，以及根据函数周期性与奇偶性求函数的解析式，属于中档题. 20．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数.（1）求a 的值； （2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k的取值范围.【答案】(1) 1a =- (2) 1m ≥- (3) []1,1- 【分析】（1）利用奇函数的定义可求a 的值.（2）先计算出12()log (1)f x x +-，再求出它在(1,)+∞上的最大值后可求m 的取值范围.（3）根据()()12log f x x k =+可得211k x x =-+-，令()211g x x x =-+-，求出该函数在[2,3]的值域后可求k 的取值范围.【详解】（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-， 即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----， 整理得到：222a x x =恒成立，解得1a =-或1a =（舍）. （2）()()()()111122221log 1log log 1log 11xf x x x x x ++-=+-=+- 当1x >时，()12log 11x +<-，∴1m ≥-.（3）由（1）知，()()12log f x x k =+，即()()11221log log 1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-即211k x x =-+-在[]2,3上有解， ()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减，()g x 的值域为[]1,1-，∴[]1,1k ∈-.【点睛】本题考查奇函数的定义，还考查了与对数函数有关的函数的最值或值域的求法，注意不等式的恒成立问题可以转化为函数的最值问题，方程有解问题可以转化为新函数的值域问题，本题属于中档题.21．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，长轴两端点为A ，B ，短轴的上端点为C .（1）若椭圆焦点坐标为1F､2(F -，点M 在椭圆上运动，当ABM 的最大面积为3时，求其椭圆的方程；（2）对于（1）中的椭圆方程，作以C 为直角顶点的内接于椭圆的等腰三角形CDE ，设直线CE 的斜率为(0)k k <，试求k 满足的关系等式；（3）过C 任作CP 垂直于CQ ，点P ､Q 在椭圆上，试问在y 轴上是否存在一点T 使得直线TP 的斜率与TQ 的斜率之积为定值，如果存在，找出点T 的坐标和定值，如果不存在，说明理由.【答案】（1）2219x y +=；（2）()2(1)810k k k +++=；（3）存在，(0,)T b -，定值为44b a-.【分析】（1）根据题中条件，得到c =1(2)32a b =，求出a ，b ，即可得出椭圆方程；（2）依题意设CE 所在的直线方程为1(0)y kx k =+<，与椭圆方程联立，根据弦长公式，以及题中条件，列出方程求解，即可得出结果；（3）由题意得：(0,)T b -，又知(0,)C b ，CP CQ ⊥，设()11,P x y ，()22,Q x y ，得到()()1212x x y b y b =---，结合题中条，计算TP TQ k k ，即可得出结果.【详解】（1）因为椭圆焦点坐标为1F､2(F -，点M 在椭圆上运动，ABM 的最大面积为3，所以易知：c =1(2)32a b =，由221(2)32c a b a b ⎧==-⎪⎨=⎪⎩解得3a =，1b =，所求方程为：2219x y +=.（2）依题意设CE 所在的直线方程为1(0)y kx k =+<，代入椭圆方程并整理得：()2219180k x kx ++=，则21819C E kx x k+=-+，0C E x x =，所以218||||19k CE k ==+，同理218||9CD k =+. 由||||CE CD =得329910k k k +++=，即()2(1)810k k k +++=.（3）由题意得：(0,)T b -，又知(0,)C b ，CP CQ ⊥，设()11,P x y ，()22,Q x y ，()()()()11221212,,0CP CQ x y b x y b x x y b y b ⋅=-⋅-=+--=，()()1212x x y b y b =---，又由22221x y a b +=得2221121y x a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2222221y x a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()()()2242241212112222411y y a x x a b y b y b y b y b b b⎛⎫⎛⎫=--=-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.从而得()()()()412124a y b y b y b y b b++=--，所以()()()()412412y b y b b y b y b a ++=--，而()()()()4121241212TP TQy t y t y t y t b k k x x y b y b a----=⋅=-=---(为定值).对比上式可知：选取(0,)T b -，则得直线TP 的斜率与TQ 的斜率之积为44b a-.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中的定值问题，属于椭圆的标准方程，以及椭圆中的简单性质即可，属于常考题型，计算量较大.。

2024学年第一学期位育中学阶段练习试卷高一年级数学学科（考试时间100分钟，总分100分）一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 用列举法写出所有小于13的素数组成的集合__________.【答案】{}2,3,5,7,11【解析】【分析】找出所有小于13的素数，即可用列举法表示集合.【详解】小于13的素数有2,3,5,7,11，所以所有小于13的素数组成的集合为{}2,3,5,7,11.故答案为：{}2,3,5,7,112. 已知{}240,2,a a∈，则实数a =___________.【答案】2-【解析】【分析】讨论24a =、24a =，结合集合的性质求参数a 即可.【详解】由题设，当24a =时2a =，则24a =，此时22a a =，不符合互异性；当24a =时2a =±，由上2a =不符合，而2a =-时24a =-，此时集合为{0,4,4}-.综上，2a =-.故答案为：2-3.集合{{}2,A x y B y y x ====，则A B = ____________.【答案】{0x x ≥或}1x ≤-【解析】【分析】先分别求出集合,A B ，再根据并集定义即可得解.【详解】{{}{2101A x y x x x x ===-≥=≥或}1x ≤-，{}{}20B y y x y y ===≥，所以{0A B x x ⋃=≥或}1x ≤-.的故答案为：{0x x ≥或}1x ≤-.4. 不等式2111x x -≥-+的解集为______．【答案】()[),10,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由分式不等式的解法求解即可.【详解】由2111x x -≥-+可得：21101x x -+≥+，即211011x x x x x -++=≥++，所以()1010x x x ⎧+≥⎨+≠⎩，解得：0x ≥或1x <-.故答案为：()[),10,-∞-⋃+∞.5. 已知集合A 中元素x 满足2x ＋a>0，a ∈R.若1∉A ，2∈A ，则实数a 的取值范围为________．【答案】42a -<≤-【解析】【分析】根据已知条件列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】因为1∉A ，2∈A ，所以210220a a ⨯+≤⎧⎨⨯+>⎩，即42a -<≤-.故答案为：42a -<≤-6. 用反证法证明命题“若2x y +>，则1x >或1y >”的过程中，应当作出的假设是______________．【答案】1x ≤且1y ≤【解析】【分析】根据反证法的基本思想求解即可.【详解】用反证法证明命题“若2x y +>，则1x >或1y >”，应假设1x ≤且1y ≤.故答案为：1x ≤且1y ≤.7. 若11x y -<<<，则x y -的取值范围是__________．【答案】()20-，【解析】【分析】根据已知条件利用不等式乘法和加法性质计算得结论．【详解】因为11x y -<<<，所以1<<11<<1<x y x y --⎧⎪⎨⎪⎩，则1<<11<<1<0x y x y ----⎧⎪⎨⎪⎩，得20x y -<-<，因此x y -的取值范围是()20-，，故答案为：()20-，．8. 若不等式22230kx kx +-<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是____________.【答案】60k -<≤【解析】【分析】分情况讨论，当0k =时，满足题意；当0k ≠时，只需要满足()20Δ4830k k k <⎧⎨=-⨯-<⎩解不等式组即可.【详解】不等式22230kx kx +-<对一切实数x 都成立，当0k =时，30-<对一切实数x 都成立，满足题意；当0k ≠时，只需要满足()20Δ4830k k k <⎧⎨=-⨯-<⎩解得60k -<<综上结果为：60k -<≤.故答案为： 60k -<≤9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{1x x <-或2}x >，则不等式20bx ax c +-≤的解集是________．【答案】{}1|2x x -≤≤【解析】【分析】依题意可得1-、2为关于x 的方程20ax bx c ++=的两根且0a <，利用韦达定理，即可得到=-b a ，2c a =-，再代入目标不等式，解得即可.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{1x x <-或2}x >，所以1-、2为关于x 的方程20ax bx c ++=的两根且0a <，所以12120b a c a a ⎧-+=-⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，则=-b a ，2c a =-，所以不等式20bx ax c +-≤，即220ax ax a -++≤，即220x x --≤，解得12x -≤≤，所以不等式20bx ax c +-≤的解集是{}1|2x x -≤≤.故答案为：{}1|2x x -≤≤10. 已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是___________.【答案】14m >【解析】【分析】α是β的必要条件，即B A ⊆，分31m m ->-，31m m -≤-两种情况讨论分析，即得解【详解】设{|31A x x m =<-或}x m >-，{|2B x x =<或4}x ≥若α是β的必要条件，则B A⊆（1）当31m m ->-时，即14m >，此时A R =，B A ⊆成立；（2）当31m m -≤-时，即14m ≤，若B A ⊆，此时3124m m -≥⎧⎨-<⎩，无解.综上：14m >故答案为：14m >11. 已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________【答案】2或32【解析】【分析】先求得方程的解为123,1,1x a x x a ===-，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解.【详解】由方程2()(1)0x a x ax a --+-=，可得化为()(1)[(1)]0x a x x a ----=，解得123,1,1x a x x a ===-，当1a =时，此时{1,0}M =，可得103+≠，不符合题意，舍去；当11a -=时，即2a =时，可得{2,1}M =，此时213+=，符合题意；当1a ≠且2a ≠时，可得113a a ++-=，解得32a =，符合题意，所以实数a 的值为2或32.故答案为：2或32.12. 若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．【答案】2549,916⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【详解】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax 2等价于2(4)410a x x -+-+<，其中40a ∆=>且有40a ->，故有04a <<x <<，所以1142<<解集中一定含有1,2,3，可得，所以5374≥≤，解得2549916a ≤≤.考点：含参数的一元二次方程的解法.二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13. 如图表示图形阴影部分的是（ ）A. ()()A CBC B. ()()A B A C C. ()()A B B C D. ()A B C⋃⋂【答案】B【解析】【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B 的元素且C 的元素，或是A 的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案．【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A 中的元素，或者是B 与C 的公共元素故可以表示为()A B C ，也可以表示为：()()A B A C .故选：B ．14. 已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ）A. 若,a b c d >>，则a d b c+>+ B. 若,a b c d >>，则ac bd >C. 若,0a b c d >>>，则a b d c > D. 若0,0ab bc ad >->，则c d a b >【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质结合反例说明选项A 、B 、C 错误，利用作差法说明选项D 正确.【详解】A.令4,3,2,1a b c d ====，则a d b c +=+，选项A 错误.B.令7,3,1,2a b c d ===-=-，则7,6ac bd =-=-，ac bd <，选项B 错误.C. a b ac bd d c cd--=.由0c d >>得0cd >.令1,2,7,3a b c d =-=-==，则7(6)10ac bd -=---=-<，此时0ac bd cd -<，即0a b d c -<，a b d c<，选项C 错误.D. c d bc ad a b ab --=.由0,0ab bc ad >->得，0bc ad ab ->，即0c d a b ->，c d a b>，选项D 正确.故选：D.15. 对于x ∀∈R ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，例如：[]π3=，[]2.13-=-，则“[][]x y >”是“x y >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解.【详解】当x y >时，如 3.2x =， 3.1y =，不能得到[][]x y >，由[][]x y >，则[][]x y y >≥，又[]x x ≥，所以一定能得到x y >，所以“[][]x y >”是“x y >”成立的充分不必要条件.故选：A .16. 对于集合{}()12,,,Z,3n A a a a n n =∈≥ ，A 中每个元素均为正整数，如果去掉A 中任意一个元素()11,2,,a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合()1,2,,i A i n = ，并且i A 都能分成两个集合B 和C ，满足,i B C B C A =∅= ，且B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.以下命题中，①{}1,2,3不是“可分集合”；②三元集{}123,,a a a 可能是“可分集合”；③{}1,2,3,4是“可分集合”；④四元集{}1234,,,a a a a 可能是“可分集合”；⑤五元集{}12345,,,,a a a a a 一定不是“可分集合”.真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用集合“可分集合”的定义，结合,i B C B C A =∅= ，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，集合{}1,2,3，当去掉元素1时，剩余元素组成的集合为{}2,3，此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{}1,2,3不是“可分集合”，所以①正确；对于②，对于三元集{}123,,a a a ，若去掉元素3a ，剩余的元素组成的集合为{}12,a a ，把集合{}12,a a 分成两个非空集合，可得集合{}1a ，{}2a ，根据集合元素的互异性，可得12a a ≠，所以分成两个的集合的元素之和不相等，所以三元集{}123,,a a a 可能“可分集合”，所以②不正确；对于③中，集合{}1,2,3,4，若去掉元素3，剩余元素组成集合{}1,2,4，此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{}1,2,3,4不是“可分集合”，所以③不正确；对于④中，若四元集{}1234,,,a a a a 是“可分集合”，不妨设1234a a a a <<<，若去掉1a ，则234a a a +=；若去掉2a ，则134a a a +=，所以12a a =，显然与12a a <矛盾，所以集合{}1234,,,a a a a 不可能是“可分集合”；对于⑤中，假设五元集{}12345,,,,a a a a a 是“可分集合”，不妨设123450a a a a a <<<<<，则必能将集合{}1245,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等，所以1534a a a a +=+或1345a a a a ++=，也必能将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等，所以有2534a a a a +=+或2345a a a a ++=，由1534a a a a +=+和2534a a a a +=+，可得12a a =，矛盾；由1534a a a a +=+和2345a a a a ++=，可得12a a =-，矛盾；由1345a a a a ++=和2534a a a a +=+，可得12a a =-，矛盾；由1345a a a a ++=和2345a a a a ++=，可得12a a =，矛盾，是所以假设不成立，所以五元集{}12345,,,,a a a a a 一定不是“可分集合”，所以⑤正确.综上可得，只有①⑤正确.故选：B.【点睛】方法点拨：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 求关于x 的不等式的解集：()21210m x mx m +-+-≥.【答案】答案见解析【解析】【分析】将不等式变形为()()(1)110x m x m -+--≥⎡⎤⎣⎦，然后根据12111m m m -=-++与1的关系进行分类讨论，求解即可．【详解】不等式()21210m x mx m +-+-≥，即()()(1)110x m x m -+--≥⎡⎤⎣⎦，当1m =-时，不等式为220x -≥，解得1x ≥，则不等式的解集[)1,+∞；当1m >-时，不等式变形为1(1)01m x x m -⎛⎫--≥ ⎪+⎝⎭，由于121111m m m -=-<++，解得1x ≥或11x m m ≤-+，故此时不等式的解集为[)1,1,1m m ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎦-+⎝；当1m <-时，不等式变形为1(1)01m x x m -⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭，由于121111m m m -=->++，解得111x m m ≤≤-+，故此时不等式的解集为11,1m m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．综上所述，当1m =-时，不等式的解集为[)1,+∞；当1m >-时，不等式的解集为[)1,1,1m m ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎦-+⎝；当1m <-时，不等式的解集为11,1m m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．18. 某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A 的年产销量减少10p 万件，同时将商品A 的销售金额的%p 作为新产品开发费（即每销售100元提出p 元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数p 的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发）【答案】26p ≤≤【解析】【分析】由题可得关于p 的不等式，解一元二次不等式即可得答案.【详解】由题，商品的年销量为()800000100000p -件，又每件售价80元，则()80000010000080%9600000p p -⋅⋅≥，即()80108096100p p -≥，所以()8896p p -≥，所以28120p p -+≤，解得26p ≤≤.19. 已知集合{}{}280,,10,A x x x m m B x ax a =-+=∈=-=∈R R ，且A B A = ．（1）若12m =，求实数a 组成的集合．（2）若全集为A ，{3}B =，求m ，a 的值．【答案】（1）110,,62⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （2）115,5m a ==【解析】【分析】（1）12m =，可得{}2,6A =，由A B A = 得B A ⊆，对B 分类讨论即可求；（2）由全集为A ，{3}B =，即{3}A B =ð得3,3A B ∈∉，代入280x x m -+=可得m ，{}3,5A =，即5∈B ，代入10ax -=可得a【小问1详解】12m =，{}{}281202,6A x x x =-+==，由A B A = 得B A ⊆，当B =∅，则0a =；当{}2B =，则12a =；当{}6B =，则16a =.综上可得实数a 组成的集合为110,,62⎧⎫⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】由全集为A ，{3}B =，即{3}A B =ð得3,3A B ∈∉，∴2383015m m -⨯+=⇒=，∴{}{}281503,5A x x x =-+==，∴155105B a a ∈⇒-=⇒=.综上，115,5m a ==20. （1）已知关于x 和y 的方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）.当1k =时，求该方程组的解集；（2）记关于x 和y 方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）的两组不同的解分别为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，判断()121232y y y y +-是否为定值.若为定值，求出该值；若不是定值，说明理由；（3）已知12x x 、是关于x 的一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根.若满足12212Z x x x x +-∈，求整数k 的值.【答案】（1）10x y =-⎧⎨=⎩和1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）是定值，定值为4；（3）2-或3-或5-.【解析】【分析】（1）消去y 求出所对应的一元二次方程的解，从而求出方程组的解；（2）消去y 整理得()222210k x kx ++-=，利用韦达定理得到12x x +，21x x ，即可求出12y y +、12y y ，从而得解；（3）首先可根据已知条件得出0k <，然后根据韦达定理得出1214k x x k +=、12414k x x k-+=-=，可将12212Z x x x x +-∈转化为4Z 1k -∈+，再根据k 为整数以及0k <即可得出结果.的【详解】（1）当1k =时22221x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得23210x x +-=，解得1x =-或13x =，当1x =-时，0y =，当13x =时，43y =，因此，方程组的解为10x y =-⎧⎨=⎩和1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（2）关于x 和y 的方程组22221x y y kx ⎧+=⎨=+⎩（其中k ∈R ）的两组不同的解分别为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，消去y 整理得()222210k x kx ++-=，显然220k +≠，且2880k ∆=+>，其两根为12x x 、，由韦达定理得12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，所以()12122422y y k x x k +=++=+，()2212121222212k y y k x x k x x k -+=+++=+，所以()2121222124432422k y y y y k k -++-=-=++，因此，()121232y y y y +-是定值，且定值为4.（3）因为1x 、2x 是关于x 的一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根，所以()()2044410k k k k ≠⎧⎪⎨--⨯⨯+≥⎪⎩，解得0k <，1214k x x k +=，12414k x x k-+=-=，则()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，因为12212Z x x x x +-∈，所以4Z 1k -∈+，因为k 为整数，所以11k +=±、2±、4±，因为0k <，所以整数k 的值为2-或3-或5-.21. 已知集合{}()12,,2,k A a a a k k N =≥∈ ，其中()Z 1,2,i a i k ∈= ，且满足：对任意的x A ∈，有x A -∉，则称集合A 具有性质G .由A 中元素可构成两个点集P 和Q ：和集(){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈，差集(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈，其中P 中有m 个元素，Q 中有n 个元素.（1）已知集合{}0,1,2,3J =，集合{}1,2,3K =-和集合{}222L y y x x ==-+，判断它们是否具有性质G .若是，则直接写出其对应的集合P 和集合Q ；若否，请说明理由；（2）试判断“集合A 具有性质G ”是“m n =”的什么条件，并证明.【答案】（1）集合,J L 不具有性质G ；集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；（2）充分不必要条件.【解析】【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合P ，Q .（2）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合P 与Q 集合个数的大小关系，推理得证.【小问1详解】①集合0J ∈，不符合定义故J 不具有性质G ；②集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；③集合L 不是整数集所以不具有性质G .【小问2详解】当集合A 具有性质G 时，①对于(),a b P ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈+∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a Q +∈，如果(),a b ，(),c d 是P 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d +=+中至少有一个不成立，故(),a b b +和(),c d d +也是Q 中不同元素，可见P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，②对于(),a b Q ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈-∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b b Q -∈，如果(),a b ，(),c d 是Q 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d -=-中至少有一个不成立，故(),a b b -和(),c d d -也是P 中不同元素，可见Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，由①②可知m n=集合{1,1,2,3}A =-，则{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,1),(1,2),(2,1)}P =----，{(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,1),(3,1),(2,1)}Q =--，满足m n =，而集合A 不具有性质G ，所以集合A 具有性质G 是m n =的充分不必要条件.的的。

2021年高三上学期10月月考数学试卷 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、已知函数，则该函数的定义域为__________．2、不等式的解集是 ．3、若，则的取值范围是 _________．4、函数在区间[，]上的最小值为m ，最大值为M ，则M+m 的值为___6_______．5、函数)(1)(3R x x x x f ∈++=，若，则__0____．6、已知集合只含有一个元素，则 0 或1 ．7、展开式中的系数为_____28_____．8、计算：_______3_2222210n n n n n n n C C C C =++++ ． 9、在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ．（结果用分数表示）10、若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为，则此圆锥的体积为________．（答案保留）11、若是R 上的减函数, 且的图象过点A(0,3), B(3,－1)，则不等式的解集是___________．12、已知函数242(1)()log (1)ax ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，在区间上是减函数，则的取值范围为______________.13、由函数、的图象及直线、所围成的封闭图形的面积是 10 ．14、设定义域为的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=--11121x ax x f x ，若关于的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则满足题意的的取值范围是___________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸上的相应位置，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15、下列函数中，与函数相同的函数是（ C ）（A ）． （B ） ． （C ） ． （D ） ．16、已知平面和直线、，且，则“”是“”的（ A ）(A)充分不必要条件．(B)必要不充分条件． (C)充要条件． (D)既不充分也不必要条件．17、设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的“差集”为{}P x M x x P M ∉∈=-且|，则等于（ B ）（A ）P ． （B ）． （C ）． （D ）M ．18、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：个数据的中位数为，众数为；②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为，则肯定进入夏季的地区有（ C ）(A)个． (B)个． (C)个． (D)个．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、(本题满分14分) 本题共有2个小题。

上海市2021届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一.填空题1.已知复数z 满足()117i z i +=-（i 是虚数单位），则z = ． 【答案】5 【解析】 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【详解】由（1+i ）z=1﹣7i ， 得()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，则5=． 故答案为：5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2.设{|}M x x a =≤，{2,0,1}N =-，若{2,0}M N =-，则实数a 的范围是________【答案】[0,1) 【解析】 【分析】由已知集合M ，N ，以及M 交N ，可得到实数a 的取值范围． 【详解】解：∵集合M ＝{x |x ≤a }，N ＝{﹣2，0，1}， 又M ∩N ＝{﹣2，0}，∴实数a 的取值范围是：0≤a ＜1． 故答案为：[0，1）．【点睛】本题考查了交集及其运算，利用好数轴是解题的关键，是基础题．3.已知定义域在[-1，1]上的函数y =f （x ）的值域为[-2，0]，则函数y =f （）的值域是______． 【答案】[-2，0]【分析】可以看出-11≤≤，从而对应的函数值([]2,0f ∈-，这便得出了该函数的值域．-1，1]；∴([]2,0f ∈-； 即y ∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]． 故答案为：[-2，0]．【点睛】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令t ，-1≤t ≤1，从而得出f （t ）∈[-2，0]．4.若3sin()45πα-=，则cos()4πα+的值是________【答案】35【解析】 【分析】利用诱导公式即可得到结果. 【详解】∵3sin()45πα-=， ∴cos()=cos ()442πππαα⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦3sin()45πα--=- 故答案为：35【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查学生恒等变形的能力，属于常考题型. 5.设6(x-（0a >）展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a =________ 【答案】2 【解析】首先写出二项展开式的通项，化简后按照要求确定字母的指数，得到特征项．【详解】解：二项式6()x x -（a ＞0）的展开式，通项为366266()()k k k k k kC x C a x x---=-， 令632k -=3，得到k ＝2，所以x 3系数为A 226C a ==15a 2； 令632-k ＝0，k ＝4，所以常数项为B 446()C a =-=15a 4，又B ＝4A ，所以15a 4＝4×15a 2，a ＞0，解得a ＝2； 故答案为：2【点睛】本题考查了二项展开式的特征项的求法，关键是正确写出通项，考查学生的计算能力．6.向量(3,4)a =在向量(1,1)b =- 方向上的投影为________. 【答案】22- 【解析】 【分析】根据向量在向量方向上的投影公式计算即可.【详解】依题意得·1,2a b b =-=，因此向量a 在向量b 方向上的投影为·22a b b=-. 【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题.7.已知函数224,0(){4,0x x x f x x x x +≥=-<若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 _____________. 【答案】【解析】解：因为根据函数图像可知，分段函数在整个定义域上单调递增，因此原不等式等价于2-a 2>a ，解得a 的范围是-2<a<1.8.设21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，有下列命题：①对任意实数a ，1P 是2P 的子集；②对任意实数a ，1P 不是2P 的子集；③存在实数a ，使1P 不是2P 的子集；④存在实数a ，使1P 是2P 的子集；其中正确的有________ 【答案】①④ 【解析】 【分析】运用集合的子集的概念，令m ∈P 1，推得m ∈P 2，可得对任意a ，P 1是P 2的子集，从而作出判断. 【详解】对于集合P 1＝{x |x 2+ax +1＞0}，P 2＝{x |x 2+ax +2＞0}， 可得当m ∈P 1，即m 2+am +1＞0，可得m 2+am +2＞0， 即有m ∈P 2，可得对任意a ，P 1是P 2的子集； 显然①④正确 故答案为：①④【点睛】本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．9.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax=+的图像经过点6(,)5P p 、1(,)5Q q -，若216p q pq +=，则a =________ 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值．【详解】函数f （x ）=22xx ax+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q pq ap aq +=-=++， 整理得：22222222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq+++++++++=1，解得：2p+q =a 2pq ， 由于：2p+q=16pq ， 所以：a 2=16， 由于a ＞0， 故：a=4． 故答案为：4【点睛】本题主要考查函数的性质和指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数211()521x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩，若方程()f x m =有两个不等实根1x 、2x ，且121x x +<-，则实数m 的取值范围为________【答案】(3,13) 【解析】 【分析】作出函数f （x ）的图象，根据分段函数的关系，结合一元二次函数的对称性，利用数形结合进行求解即可．【详解】解：作出函数f （x ）的图象如图： 由x 2+x +1＝5x ﹣2得x 2﹣4x +3＝0得x ＝1或x ＝3， 即y ＝x 2+x +1与y ＝5x ﹣2的交点坐标为（1，3），（3，12）， 当x ≤1时，y ＝x 2+x +1＝（x 12+）234+，抛物线的对称轴为x 12=-， 若方程f （x ）＝m 有两个不相等的实数根x 1、x 2， 则m 34＞， 若x 1+x 2＜﹣1， 则12122x x +-＜， 即两个函数的交点（x 1、f （x 1）），（x 2、f （x 2））的中点在x 12=-的左侧， 即当x ＞1时，x 2+x +1＜5x ﹣2，即1＜x ＜3， 此时3＜f （x ）＜13，即3＜m ＜13， 故答案为：（3，13）【点睛】本题主要考查分段函数的应用，利用一元二次函数的对称性，利用数形结合是解决本题的关键．11.若()f x 是R 上单调函数，且对任意x 都有21[()]222xf f x +=+，则2(log 5)f =_____ 【答案】57【解析】 【分析】设f （x ）222x +=+t ，（t 为常数），则f （x ）＝t 222x -+，f （t ）12=，从而t 21222t-=+， 令g （x ）＝x 222x -+，推导出f （x ）＝1222x -+，由此能求出f （log 25）．【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f [f （x ）222x ++]12=，∴可设f （x ）222x +=+t ，（t 为常数），∴f （x ）＝t 222x -+，∴f （t ）12=，∴t 21222t -=+，令g （x ）＝x 222x -+，∵g （x ）在R 上单调递增，且g （1）12=，∴t ＝1， f （x ）＝1222x -+，f （log 25）＝12525227log -=+． 故答案为：57．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知两定点(3,2)E 和(3,2)F -，若对于实数λ，函数|2||2|4y x x =++--（44x -≤≤）的图像上有且仅有6个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，则λ的取值范围是________ 【答案】9(,1)5-- 【解析】 【分析】画出函数y ＝|x +2|+|x ﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P 在AB 上，设P （x ，﹣2x ﹣4）；若P 在BC 上，设P （x ，0）；若P 在CD 上，设P （x ，2x ﹣4）．求得向量PE ，PF 的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围． 【详解】解：函数y ＝|x +2|+|x ﹣2|﹣442420222424x x x x x ---≤≤-⎧⎪=-≤⎨⎪-≤⎩，，＜，＜， （1）若P 在AB 上，设P （x ，﹣2x ﹣4），﹣4≤x ≤﹣2． ∴PE =（3﹣x ，6+2x ），PF =（﹣3﹣x ，6+2x ）． ∴PE PF ⋅=x 2﹣9+（6+2x ）2＝5x 2+24x +27， ∵x ∈[﹣4，﹣2]，∴由二次函数的性质可得：当9λ15-<≤-时有两解； （2）若P 在BC 上，设P （x ，0），﹣2＜x ≤2． ∴PE =（3﹣x ，2），PF =（﹣3﹣x ，2）． ∴PE PF ⋅=x 2﹣9+4＝x 2﹣5， ∵﹣2＜x ≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解； （3）若P 在CD 上，设P （x ，2x ﹣4），2＜x ≤4． PE =（3﹣x ，6﹣2x ），PF =（﹣3﹣x ，6﹣2x ）， ∴PE PF ⋅=x 2﹣9+（6﹣2x ）2＝5x 2﹣24x +27， ∵2＜x ≤4，∴∴由二次函数的性质可得：当9λ15-<<-时有两解； 综上，可得有且只有6个不同的点P 的情况是9λ15-<<-．故答案为：9(,1)5--．【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，二次函数的根的个数判断，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．二.选择题13.设R θ∈，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性，得到答案. 【详解】当6πθ=,可以得到1sin 2θ=, 反过来若1sin 2θ=，至少有6πθ=或56π，所以6πθ=为充分不必要条件故答案选A.【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题型.14.下列命题正确的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【答案】D 【解析】 【分析】由直线与直线位置关系，可判断出A 错；由线面垂直的判定定理，判断B 错；由直线与平面位置关系判断C 错；从而选D 。

2021-2021中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）数学高三第一学期期末20XX-2021中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：，且：，据此有：.本题选择D选项.2．若集合,集合,则图中阴影部分表示A.B.C.D.【答案】A 【解析】将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合表示元素的范围计算结果.【详解】因为阴影部分是：；又因为，所以或，所以或，所以，又因为，所以，故选：A.【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.3．设，是非零向量，“”是“”的（）A.充分而不必要条B.必要而不充分条C.充分必要条D.既不充分也不必要条【答案】A 【解析】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条，故选A.【考点】充分必要条、向量共线.4．设,,则A.B.C.D.【答案】A 【解析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.【详解】因为，，，所以，故选：A.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：.5．若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（）A．9B．4C．D．【答案】A 【解析】圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得 =（）（a+b）=5+≥5+2 当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．故选：A．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6．函数在的图像大致是( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果.【详解】因为定义域关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、C；又因为，所以，所以时对应的切线斜率大于零，所以排除D，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般.辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.7．如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是A.B.C.D.【答案】D 【解析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.【详解】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则可得，，设异面直线与所成的角为, 则，故选D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B 【解析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2，转化为cosA，整理即可判断△ABC的形状．【详解】在△ABC中，∵cos2，∴ ∴1+cosA1，即cosA，∴cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝0，∵sinA≠0，∴cosC＝0，∴C为直角．故选：B．【点睛】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【详解】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．10．如图，在中，已知，，，，则A.-45B.13C.-13D.-37 【答案】D 【解析】先用和表示出再根据，用用和表示出，再根据求出的值，最后将的值代入，从而得出答案．【详解】∵，∴ 整理可得：，∴，∴ 故选：D．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．11．定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，，再由且，得在上递增，因此，即，故选A．【考点】1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．12．设函数的定义域为，若满足条：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是A.（﹣∞，ln2﹣1）B.（﹣∞，ln2﹣1]C.（1﹣ln2，+∞）D.[1﹣ln2，+∞）【答案】C 【解析】∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[]，∴f （x）在[a，b]上是增函数；∴ ，即在（0，+∞）上有两根，即y=t和g（x）=﹣lnx 在（0，+∞）有2个交点，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故g （x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，故选C：．点睛：由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决二、填空题13．已知向量,的夹角为,且,则=______．【答案】【解析】将待求向量的模长平方后再开方，中间根据数量积计算公式计算.【详解】.【点睛】本题考查向量模长的计算，难度较易.计算两个向量相加或者相减所得到的向量的模长，可通过先将模长平方再开方，中间利用数量积公式和已知条去计算结果.14．若x，y满足约束条，则z=3x﹣4y的最小值为________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．【详解】由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点A（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将A的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2＝b2+c2bc，sinC＝2cosB，则B的大小为________________ 【答案】【解析】先根据余弦定理求解的值，然后利用三角恒等变换求解的大小.【详解】因为，所以，所以，所以；又，所以，所以，所以，因为，所以.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形以及三角恒等变换的应用，难度一般.三角形中已知一个角，给出另外两个角的三角函数关系时，可通过将角度统一然后利用辅助角公式等完成角度的求解.16．已知函数,则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号函数的单调递增区间是；函数的图像关于点对称；函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于y轴对称,则m的最小值是；若实数m使得方程在上恰好有三个实数解,,,则．【答案】①③④ 【解析】先利用辅助角公式将函数化简，然后再从单调区间、对称中心、图象平移、函数与方程四个方面逐项分析.【详解】，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；因为，所以不是对称中心，故错误；的图像向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，所以时，，故正确；因为，作出在上的图象如下图所示：与有且仅有三个交点：所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；故填写：①③④.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的综合应用，难度一般.（1）的对称中心处所对应的函数值为，对称轴处所对应的函数值为最值；（2）分析方程的解的个数时，可以借助两个函数图象的交点个数来分析.三、解答题17．已知,,且函数．求的对称轴方程；在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,求b的值．【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）根据向量坐标形式下的数量积运算写出表达式，然后再根据对称轴公式求解对称轴；（2）先根据条计算的值，再根据正弦定理计算的值.【详解】解：,令, 可得,即的对称轴方程为,；,,得, 当时,,,, 由正弦定理可得,．【点睛】本题考查向量数量积、三角恒等变换、解三角形的综合应用，难度一般.（1）辅助角公式的运用要熟练：；（2）利用正、余弦定理去解三角形时注意边角关系的对应.18．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁 80 年龄大于50岁10 合计 70100（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率.附：，0.100 0.050 0.025 0.0102.7063.841 5.024 6.635 【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关（3）【解析】试题分析：（1）根据条中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．（2）假设不同年龄与支持申办奥运无关没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事，即可求出概率．试题解析：（1）（2）所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关.（3）记5人为，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事是：，，，，，，，，，共10个，其中至多1为教师有7个基本事：，，，，，，所以所求概率是.19．在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线L：,曲线C 的参数方程为（为参数）求直线L和曲线C的普通方程；在曲线C上求一点Q,使得Q到直线L的距离最小,并求出这个最小值【答案】（1）直线L的普通方程为：；曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1；（2）点Q坐标为，距离最小值为2.【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化得到的普通方程，根据圆的参数方程相关知识得到的普通方程；（2）设出点的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数有界性计算点到直线距离的最小值.【详解】解：（1）∵直线L：ρcosθ-ρsinθ+1=0，∴直线L的普通方程为：，∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1．（2）设Q（5+cosα，sinα），Q到直线L的距离：，当时，即，dmin=2，此时点Q坐标为．【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化以及求曲线上一点到直线距离的最值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式；（2）求解曲线上一点到直线的距离最值，常用的方法是：设出点的参数形式（三角函数形式更方便），利用点到直线的距离公式结合三角函数中的辅助角公式即可计算出对应的距离最值，同时注意取等号的条.20．已知函数，．（）解不等式．（）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或．【解析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【详解】（）由，得，∴，得不等式的解为．故解集为：（）因为任意，都有，使得成立，所以，又，，所以，解得或，所以实数的取值范围为或．【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，∴ ．∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．∴点O到直线AB的距离为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的,．【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

2022-2023学年上海市位育中学高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．已知集合，则______．{}2,{|1}A x xB x x =<=≥-A B = 【答案】{}12x x -≤<【分析】计算，再计算交集得到答案.{}22A x x =-<<【详解】，，故.{}{}222A x x x x =<=-<<{|1}B x x =≥-{}12A B x x ⋂=-≤<故答案为：{}12x x -≤<2．平面直角坐标系中坐标轴上所有点的坐标组成的几何可以用描述法表示______________【答案】或{(,)|0x y x =0}y =【分析】根据坐标轴上点的特点横坐标或纵坐标为0求解即可.【详解】因为轴上点的坐标的纵坐标为0，轴上点的坐标的横坐标为0，x y 所以坐标轴上点的集合为：或.{(,)|0x y x =0}y =故答案为：或{(,)|0x y x =0}y =3．事件“对任意实数与，都有成立”的否定形式为________．x y 222x y xy +≥【答案】存在实数与，使得成立.x y 222x y xy +<【分析】“任意，则 ”的否定形式为“存在，则 ”x M ∈()p x x M ∈()p x ⌝【详解】全称命题的否定为特称命题， 故“对任意实数与，都有成立”的否定形式x y 222x y xy +≥为“存在实数与，使得成立”.x y 222x y xy +<故答案为：存在实数与，使得成立.x y 222x y xy +<4．设，若，则为真命题，则的取值范围是_____．a ∈R 1x >x a >a 【答案】1a ≤【分析】根据命题的真假性，得到两个范围作为集合的关系，进而求出的取值范围即可.a 【详解】解：由题知，则为真命题，1x >x a >则，故.{}{}1x x x x a >⊆>1a ≤故答案为：1a ≤5．集合，，若，则实数的取值范围是_____.1{|0}2x A x x +=≤-{|40}B x x p =+<B A ⊆p 【答案】4p ≥【分析】先化简集合或，，根据，列出不等式，即可得{2A x x =>}1x ≤-4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭B A ⊆出结果.【详解】因为或，，{1{|0}22x A x x x x +=≤=>-}1x ≤-{|40}4p B x x p x x ⎧⎫=+<=<-⎨⎬⎩⎭又，所以，解得.B A ⊆14p-≤-4p ≥故答案为4p ≥【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，熟记集合间的基本关系，以及分式不等式的解法即可，属于常考题型.6．设是方程的两个实数根，则=_____________12x x 、230x x +-=2122020x x -+【答案】2024【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出，再将转化后求出．12x x +2122020x x -+【详解】，是方程的两个根，1x 2x 230x x +-=，，121x x ∴+=-123x x =-又，21130x x +-=，2113x x ∴=-21212122020320202023()2024x x x x x x ∴-+=--+=-+= 故答案为： 20247．不等式的解集是，则不等式的解集为___________20ax bx c ++>1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭20cx bx a ++<【答案】{x |﹣2＜x}．13＜【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得 a ＜0，且3，×3，由此12-+b a =-12-c a =化简要求的不等式为 3x 2+5x ﹣2＜0，从而求出它的解集．【详解】∵不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是，∴a ＜0，且3，×3，132⎛⎫- ⎪⎝⎭，12-+52b a ==-12-32c a =-=∴b ＞0，c ＞0，，，53b c =23a c=-∴不等式cx 2+bx +a ＜0，即 x 20，即 x 20，即 3x 2+5x ﹣2＜0，b a x cc ++＜5233x +-求得它的解集为 {x |﹣2＜x}，13＜故答案为{x |﹣2＜x }．13＜【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．8．若不等式的解集为，则实数的取值范围是______．210ax ax --<R a 【答案】(]4,0-【分析】考虑与两种情况，根据根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围.0a =0a ≠a 【详解】当时，，满足要求，0a =10-<当时，要想满足解集为R ，0a ≠210ax ax --<则要，解得：，()20Δ40a a a <⎧⎪⎨=-+<⎪⎩40a -<<综上：实数的取值范围是.a (]4,0-故答案为：(]4,0-9．运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，每人至多报两个项目．15人参加游泳，8人参加田径，14人参加球类．同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，则只参加一个项目的有______人．【答案】19【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的，同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次，所以就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，1581433283++---=所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人．∵同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，∴只参加一个项目的有人，2833319---=故答案为19【点睛】本题主要考查集合关系的应用，根据人数关系求出同时参加田径比赛和球类比赛的有3人是解决本题的关键．10．设为实数，关于的不等式组的解集为，若，则的取值范围是k x 221040x kx kx x k ⎧++>⎪⎨-≤⎪-⎩A 2A ∉k _______．【答案】(]5,2,42⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦【分析】根据，判断或 或即可得解.2A ∉22210k ++≤22402k k ->-220k -=【详解】由题意的解集不包含，或的解集不包含2，210x kx ++>2240kx x k -≤-所以或 或，22210k ++≤22402k k ->-220k -=解得，或或，52k ≤-24k <<4k =故答案为：.(]5,2,42⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦11．若，则，则称是“对偶关系”集合，若集合的所有非空子集x A ∈2x A -∈A {},4,2,0,2,4,6,7a --中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数的取值集合为__________a 【答案】{}1,5-【分析】根据定义，列举集合，，，0，2，4，6，的所有的“对偶关系”的集合，再去考{a 4-2-7}查实数的取值即可．a 【详解】解：集合，，，0，2，4，6，的所有的“对偶关系”{a 4-2-7}有与6，与4，2与0，则与7，4-2-a 这些组合的“对偶关系”有4对，集合有个．42115-=那么，可得．27a -=5a =-当时，则，也满足“对偶关系”．1a =21a -=可得实数的取值集合为．a {}1,5-故答案为：．{}1,5-【点睛】本类问题通常以选择和填空出现，考查集合和元素之间的关系，有时也出现在以其他知识为背景的综合题中，渗透集合的思想，体现基础性与应用性．属于基础题12．已知关于的不等式有唯一解，则实数的取值集合为_______x 22232x kx k x -≤+≤-k【答案】【解析】不等式化为，讨论、和时，不等式有唯一解时对应的取2223kx x k ++ 0k =0k >0k <k 值．【详解】不等式可化为；22232x kx k x -+- 2223kx x k ++ 若，不等式可化为，不满足有唯一解；0k =2223kx x k ++ 223x 若，则若不等式，0k >2223kx x k ++ 令，解得24434k k -=k =即k 若，则若不等式组，0k <2223kx x k ++ 令，解得，24424k k -=1=k 即1k =综上知，的取值集合是．k {1故答案为：．{1【点睛】本题考查了一元二次不等式有唯一解的应用问题，也考查了二次函数有最值的应用问题，是中档题．二、单选题13．“”是“”的（ ）条件1x >11x <A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据充分不必要条件，利用作差法以及不等式性质，可得答案.【详解】由，则，即，故；1x >10x ->1110xx x --=<11x <由，则或，故推不出；11x <0x <1x >1x >所以“”是“”的充分不必要条件.1x >11x <故选：A.14．下列选项是真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，，则a b <22ac bc<a b <c d <a c b d-<-C ．若，，则D ．若，则0a b >>0c d <<ac bd >0b a <<11a b<【答案】D【解析】取特殊值可判断ABC 错误，根据不等式的性质可判断D 正确.【详解】对于A ，若，当时，，故A 错误；a b <0c =22ac bc =对于B ，令，此时，故B 错误；1,4,0,3a b c d ====a c b d -=-对于C ，令，此时，故C 错误；2,1,2,1a b c d ===-=-ac bd <对于D ，若，则，故D 正确.0b a <<11a b <故选：D.15．对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）A B {|A B x x A -=∈}x B ∉；（2）；（3）若，则；()()A B B A -⋂-=∅()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂A B =A B -=∅则其中所有正确结论的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）【答案】D【分析】由韦恩图分别表示集合，，，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选A B -A B ⋂B A -项.【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，，A B A B -A B ⋂B A -若，具有包含关系，不妨设是的真子集，A B A B对于（1）: 图中，，图中，所以，1()()A B B A -⋂-=∅2A B -=∅()()A B B A -⋂-=∅故（1）正确；对于（2）：图中，成立，1()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂图中，，，2()()A B B A B A -⋃-=-()()A B A B B A ⋃-⋂=-所以成立，故（2）正确；()()()()A B B A A B A B -⋃-=⋃-⋂对于（3）：若，则；故（3）正确；A B =A B -=∅所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3），故选：D.16．定义为不小于的最小整数（例如：，），则不等式的解{}x x {5.5}6={4}4-=-2{}5{}60x x -+≤集为（ ）A ．B ．C ．D ．[2,3][2,4)(1,3](1,4]【答案】C【分析】先根据已知二次不等式求出，进而可求x 的范围{}x 【详解】解得，为不小于的最小整数，所以.2{}5{}60x x -+≤{}23x ≤≤{}x x 13x <≤故选：C三、解答题17．已知a ，，比较与的大小．b ∈R 22a b +245a b --【答案】.22245a b a b +≥--【解析】利用作差法：作差、配方，从而可得答案.【详解】，，a b ∈R()()22245a b a b ∴+--- 222144a a b b =-++++，22(1)(2)0a b =-++≥，22245a b a b ∴+≥--当且仅当，时，等号成立，两式相等．1a =2b =-18．某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示）【答案】{}110,120,130,140【分析】设每床每晚的租金提高10的倍，由题意可得，解不等式可n ()()50102001015000n n +->得的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解.n 【详解】设每床每晚的租金提高10的倍，即为元，n ()5010n +出租的床位会减少10的倍张，即为张，n ()20010n -由题意可得该旅社每晚的收入为，()()50102001015000n n +->整理可得：215500n n -+<解得：，510n <<因为，所以可取6，7，8，9，n ∈Z n 此时每个床位的定价即为110，120，130，140，5010n +所以每个床位的定价的取值范围是，{}110,120,130,140故答案为：.{}110,120,130,14019．解关于不等式: ().x 220x x a a -+-<R a ∈【答案】见解析【分析】先因式分解，比较，分三种情况讨论解得不等式的解集.,1a a -【详解】原不等式可化为：，()()10x a x a --+<令，则或，()()10x a x a --+=x a =1x a =-①当即时，原不等式的解集为； 1a a <-12a <{|1}x a x a <<-②当即时，原不等式的解集为； 1a a =-12a =∅③当即时，原不等式的解集为.1a a >-12a >{|1}x a x a -<<20．设实数，集合．0a >{||2|}A x x a =-<(1)若集合中含有且仅含有3个整数，求实数的取值范围;A a (2)设集合，若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围．{}2||3|2B x x =-<x A ∈x B ∈a【答案】(1)(1,2](2)2]【分析】（1）解得，由集合中含有且仅含有3个整数可限制与{}|22A x a x a =-<<+A 2a -的范围求解即可；2a +（2）若“”是“”的充分非必要条件，则 ，列出关于的不等式组求解即可.x A ∈x B ∈A B a 【详解】（1）由得，集合中含有且仅含有3个整数，这个整数只能是|2|x a -<22a x a -<<+A 1，2，3，不能有0，4等其它整数，故满足，解得.324021a a <+≤⎧⎨≤-<⎩(1,2]a ∈（2）因为，故集合一定是非空集合，由得，因为“”是0a >A 232x -<()(1x ∈-⋃x A ∈“”的充分非必要条件，x B ∈所以是的真子集，所以，解得.A B 212a a +≤-⎧⎪⎨-≥⎪⎩221a a ⎧+⎪⎨-≥⎪⎩2]a ∈21．若集合具有以下性质：（i ）且；（ⅱ）若，则，且当时，A 0A ∈1A ∈,x y A ∈x y A -∈0x ≠，则称集合为“闭集”.1A x ∈A (1)试判断集合是否为“闭集”，并说明理由；{}1,0,1B =-(2)设集合是“闭集”，求证：若，则；A ,x y A ∈x y A +∈(3)若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由.M x M ∈2x M ∈【答案】(1)不是，理由见解析(2)证明详见解析(3)真命题，理由见解析【分析】（1）根据“闭集”的性质进行判断.（2）根据“闭集”的性质证得结论成立.（3）根据“闭集”的性质进行判断.【详解】（1），，但，{}1,0,1B =-1,1,,x y x A y A=-=∈∈2x y A -=-∉所以集合不是“闭集”.B （2）依题意，集合是“闭集”，A 所以(),,0,0,x A y A A y y A x y x y A∈∈∈-=-∈--=+∈（3）依题意集合是一个“闭集”，M 所以,1,1,x M M x M ∈∈-∈若，则；0x M =∈20x M =∈若，则；1x M =∈21x M =∈若且，则，0x ≠1x ≠()11111,,111M M M x x x x x x ∈∈-=∈---所以.()()21,1x x M x x x x M-∈-+=∈所以命题“若，则”是真命题.x M ∈2x M ∈22．对于给定集合，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是M M M M “封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭,p q 0q ≠{|,N,1}C x x p nq n n ==+∈≥C集合”的充要条件是：存在整数，使得．2m ≥-p mq =【答案】证明见详解【分析】根据“封闭集合”的定义从充分性和必要性两个方面分别证明.【详解】对，12,x x C ∀∈不妨设，则11221212,,,N ,x p qn x p qn n n n n *=+=+∈≠，()()121212p x x p qn p qn p q n n q ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭若集合为“封闭集合”，即，则，C 12x x C +∈12N p n n q *++∈∵，12,N n n *∈∴，Z p q ∈设，即，Z p m q =∈p mq =又∵对，均有，则1212,N ,n n n n *∀∈≠121n n m ++≥123n n +≥∴；()1212m n n ≥-+≥-故存在整数，使得；2m ≥-p mq =若存在整数，使得，则，2m ≥-p mq =()121212p x x p q n n p q n n m q ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭∵，则，且，1212,N ,,Z,2n n n n m m *∈≠∈≥-121231n n n n m +≥++≥，12N n n m *++∈∴；12x x C +∈综上所述：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得.C 2m ≥-p mq =。

2021年高三上学期10月阶段考试文科数学试题 Word 版含答案一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应．．．．．位置上．．．.．1.已知全集集合则____________2.命题“”的否定是_________3.已知幂函数的图像经过，则= 34.已知函数的零点，其中满足，则k = 15.已知向量满足,,则向量的夹角的大小为______.6.函数的图象的相邻两对称轴之间的距离是_________7.已知等比数列的前项和为，若，则的值是8.已知且，则9.设函数，若，则实数的取值范围是10.已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是11.将一个长宽分别是的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是12.已知{a n }是首项a 1＝－52，公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，b n ＝1＋a n a n . 则当取得最大值是，n= 413.若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为_______3514.若函数有两个极值点，其中，且，则方程的实根个数为 5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(本小题满分14分)已知，且．（1）求的值；（2）若，，求的值．解：（1）∵，且，∴，∵ ∴．（2）∵，，∴，且，∴又由（1）有，；∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+= 16(本小题满分14分)已知, ，，（1），当时，求使不等式成立的x 的取值范围；（2）求使不等式成立的x 的取值范围.16.解析：（Ⅰ）当时，，..∵ ,∴ 又 解得.或∴ 当时，使不等式成立的x 的取值范围是.（Ⅱ）∵ 22(1)(1)() (1)0x m x m x m x x m a b m x x x+-++--⋅=-++==>, ∴ 当m <0时, ；当m =0时, ；当时， ； 当m ＝1时，；当m >1时，.17(本小题满分14分)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R （x ）万元，且．（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）解：（1）当0<x≤10时，10301.8)7.210()(3--=+-=x x x x xR W 当x >10时，x xx x xR W 7.23100098)7.210()(--=+-= ……………5分 （2）①当0<x≤10时，由;0,)9,0(.90101.82>'∈==-='W x x x W 时且当得 当∴当x=9时，W 取最大值，且 ……………10分②当x>10时，W=98387.2310002987.231000=⨯-≤⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x 当且仅当 综合①、②知x=9时，W 取最大值．所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大． ……………15分 18(本小题满分16分)已知数列的前项和为．（Ⅰ）若数列是等比数列，满足, 是的等差中项，求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有即……3分由 得 ，解得或.当时，不合题意舍；当时，代入(2)得，所以， . …………………7分（Ⅱ）假设存在满足条件的数列，设此数列的公差为，则方法1： 211(1)[(1)][]2(1)2n n a n d a n d n n ++-+=+，得 222222111331()()222222d n a d d n a a d d n n +-+-+=+对恒成立， 则22122112,232,2310,22d a d d a a d d ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩…………………10分解得或此时，或．故存在等差数列，使对任意都有．其中，或． …………………15分方法2：令，，得，令，得， …………………9分①当时，得或，若，则，，，对任意都有；若，则，，，不满足．…………………12分②当时，得或，若，则，，，对任意都有；若，则，，，不满足．综上所述，存在等差数列，使对任意都有．其中，或． …………………15分19. (本小题满分16分)已知函数．（1）求函数的零点的个数；（2）令，若函数在(0，)内有极值，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，对任意，求证：.(1)的一个零点是)(00)0(x f y x f ==∴= . …………………1分x x x x x x x f x 11)(),11()(022--=--=>ϕ设时，当 ）上单调递增，）在（∞+∴>+='0(,0212)(3x x x x ϕϕ）上有唯一零点在（，2,1)x (.0213)2(01)1(ϕϕϕ∴>-=<-= [)个零点上有且仅有，在20)(y ∞+=∴x f (4)（2）x x a x x x x x ax x x x ax ax x ln 1ln )1)(1()1(ln )(g 32+-=+-++=+-+= 定义域为22222)1(1)2()1(12)1(1)(g -++-=--+-=--='∴x x x a x x x ax x x x a x x (5)4004)2(,,x 01)2()(h )e10()(,1)2()(22122-<>∴>-+=∆∴=++-=∴=++-=a a a x x a x x x g y x a x x h 或有两个不同的实根上有极值，，在要使设 (8)21211e 10,1x ,10)e 10(x ex x e x <<<<∴=<<又因为间，不妨设，而且一根在 2101e 12(e 1,0)1(h ,1)0(h 2-+>∴<++-<∴=ee a a e ）即只需 (10)（3）单调递减则时，）知，由（)(,0)(g ),1(x 22x g x x <'∈ (11)单调递增又当)(0)(),,0(1x g x g x x ∴>'∈单调递减当)(,0)(),,(1x g x g x x ∴<'+∞∈ (12)),e ),1,0(,1,2212121+∞∈∈∴=+=+（又x ex x x a x x 1ln 1ln )()()()(g 112212----+=-≥-∴x a x x a x x g x g s g t (13)ee e k x k x k 12)()(),e )(-+=>∴+∞∴上单调递增，在（ (16)20(本小题满分16分)已知函数，，图象与轴异于原点的交点M 处的切线为，与轴的交点N 处的切线为， 并且与平行.（1）求的值； （2）已知实数t ∈R ，求函数的最小值；（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.解: 图象与轴异于原点的交点，，图象与轴的交点，由题意可得，即，∴，…………3分 （2）=…………………4分令，在 时，，∴在单调递增， ……………5分图象的对称轴，抛物线开口向上①当即时， …………………………………6分②当即时， ………………………………7分 ③当即时，22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=-…………8分 ,所以在区间上单调递增……9分∴时，①当时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得，同理，………………１０分∴ 由的单调性知、，从而有，符合题设.……………………………11分②当时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由的单调性知 ，∴，与题设不符…12分③当时，同理可得，得，与题设不符.…14分∴综合①、②、③得 ……………………………………16分t21364 5374 却!31718 7BE6 篦20025 4E39 丹27784 6C88 沈 30463 76FF 盿25383 6327 挧39755 9B4B 魋35206 8986 覆34759 87C7 蟇( 7。

开 是输入秘密★启用前2021年高三10月月考试题 数学文 含答案一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知，则的值为 A.B.C.D.2.“”是“”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 3.函数的定义域是A ．B ．C ．D ．4.已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则A ．2B ．4C ．5D ．7 5．已知等差数列中，是方程的两根，则A ．B ．C ．1007D ．xx 6. 函数的零点所在的一个区间是 A ． B ． C ． D ．7.在中，角的对边分别为，已知命题若，则；命题若，则为等腰三角形或直角三角形，则下列的判断正确的是为真 B.为假 C.为真 D.为假8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ． B ． C ．16 D ．329.设对任意实数，不等式总成立．则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ．10.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点．若，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）11.复数（是虚数单位），则 .12.设为定义在上的奇函数，当时，（为实常数），则 .13.不等式组所表示的平面区域面积为 .14．如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数， 则输出的大于的概率为 .设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上 是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]A B MC D P上是“关联函数”，则的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.某公司近年来科研费用支出万元与公司所获得利润万元之间有如下的统计数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=42017.已知．（1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若 求函数的单调区间.18.先将函数的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）若为锐角三角形的内角，且，求的值.19.已知三棱锥中，⊥，,为的中点，为的中点，且△为正三角形． （1）求证：⊥平面； （2）若，，求三棱锥的体积．20.已知数列中，点在直线上，其中. （1）求证：为等比数列并求出的通项公式； （2）设数列的前且，令的前项和。