高考二轮考点专题突破检测：集合、简易逻辑、函数与导数、不等式专题(含详细答案)

1.2城东蜊市阳光实验学校简易逻辑考纲解读：1.理解逻辑联结词“或者者〞、“且〞、“非〞的含义，并能用逻辑联结词正确表达相关内容；2.理解命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题之间的关系.能利用互为逆否命题是等价命题来断定有关命题的真假.3.理解充分、必要、充要条件的意义，并会断定命题P是命题Q的什么条件.考点回忆：逻辑是研究思维形式及规律的一门根底学科，根本的逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，在近年高考中，本节以考察四种命题、逻辑联结词为主，难度也比较小；预计在2021年高考中本节内容仍会有所表达，题型以选择题为主，另外，本节知识可以作为工具考察三角、立体几何、解析几何等的知识点，平时学习要注意这些知识的联络与应用.根底知识过关：逻辑联结词：1.命题：〔1〕、定义：可以的语句叫命题.〔2〕、分类：按命题的正确与否，命题可分为、.按是否含有逻辑联结词命题可分为、.2.逻辑联结词：这些词叫做逻辑联结词.3.根据真值表判断命题的真假：〔1〕、非P形式的复合命题：当P为真时，非P为，当P为假时，非P为.〔2〕、P且q形式的复合命题：当p、q都为真时，p且q为；时，p且q为假.〔3〕、P 或者者q 形式的复合命题：当p 或者者q 至少有一个为真时，p 或者者q 为；当时，p 或者者q 为假.四种命题1、四种命题：原命题：假设p 那么q ，那么逆命题为；否命题为；逆否命题为.2、四种命题的关系：假设原命题为真，那么它的逆否命题；原命题与它的逆否命题；同一个的命题的逆命题和否命题.3、反证法：欲证“假设p 那么q 〞为真命题，需从否认其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而断定原命题为真，这样的方法称为反证法．充要条件1、 从逻辑关系上看：〔1〕、假设p q ⇒，但qp ，那么p 是q 的条件； 〔2〕、假设q p ⇒，但p q,那么p 是q 的条件； 〔3〕、假设p q ⇒且q p ⇒，那么p 是q 的条件；〔4〕、假设pq 且q p ，那么p 是q 的条件. 2、从集合与集合之间的关系看：〔1〕、假设A B ⊆,那么A 是B 的条件； 〔2〕、假设A B ⊇，那么A 是B 的条件；〔3〕、假设A=B,那么A 是B 的条件；〔4〕、假设B A A B 且,那么A 是B 的条件.答案：逻辑联结词：1.〔1〕、判断真假〔2〕、真命题假命题简单命题复合命题2、或者者且非3、〔1〕、假真〔2〕、真当p 或者者q 至少有一个为假〔3〕、真当p 和q 都为假四种命题：1、假设q 那么p 假设p q⌝⌝则q p ⌝⌝若则2、真等价等价3、结论充要条件：1、〔1〕、充分不必要〔2〕、必要不充分〔3〕、充要〔4〕、既不充分也不必要2、〔1〕、充分不必要〔2〕、必要不充分〔3〕、充要〔4〕、既不充分也不必要高考题型归纳：简易逻辑题型1.判断复合命题的真假此类问题主要是考察真值表的应用，常以选择题的形式出现。

专题一 会合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第 1 讲 会合与简单逻辑用语1. 命题 “若 α＝ π，则 tan α ＝ 1”的逆否命题是______________________________ ． 4π答案：若tan α ≠ 1，则 α≠42. 会合 M ＝ {x|lgx>0} ，N ＝{x|x 2≤ 4} ，则 M ∩N ＝________． 答案： (1， 2]分析：∵ M ＝(1，＋ ∞)，N ＝ [－2， 2]，∴ M ∩N ＝(1， 2]．3. 若命题 “$ x ∈ R ，使得 x 2 ＋ (a － 1)x ＋ 1<0”是真命题，则实数 a 的取值范围是______________．答案： (－ ∞，－ 1)∪ (3，＋ ∞) ＝ (a － 1)2－ 4＞0.分析：不等式对应的二次函数张口向上，则1 ， － 2≤ x ≤ 2}， B ＝ y y ＝2－ 1， 0<x ≤1 ， 则 A ∪ B ＝ 4. 若 集 合 A ＝ {y|y ＝ x 3x______________．答案： (－ ∞，32]分析：会合 A ＝[－ 3 2， 32]， B ＝(－∞，1]，∴ A ∪B ＝(－∞， 32]．5. 某班有 36 名同学参加数学、 物理、化学课外研究小组， 每名同学至多参加两个小组． 已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13，同时参加数学和物理小组的有 6 人， 同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 ____________人 .答案： 8分析：画韦恩图． 设同时参加数学和化学小组的有x 人，则 20－ x ＋ 11＋ x ＋ 4＋9－ x ＝ 36，x ＝ 8.6. 设 p ：|4x － 3| ≤1，q ：x 2 － (2a ＋ 1)x ＋ a(a ＋ 1) ≤0，若非 p 是非 q 的必需不充足条件，则实数 a 的取值范围是 ________________ ．1答案：0， 2分析： p ： |4x － 3| ≤1 －1≤4x －3≤1，∴1≤ x ≤ 1；2q ：x 2 －(2a ＋ 1)x ＋ a(a ＋ 1) ≤0 (x － a)[x － (a ＋ 1)] ≤0，∴ a ≤x ≤ a ＋ 1.11 1 由题意知 p 是 q 的充足不用要条件，故有 a ≤ ， 或 a ＜ ，22 则 0≤a ≤a ＋ 1＞ 1，a ＋ 1≥1，2.4 ， B ＝ 1 7. 已知 a 、 b 均为实数，设会合 A ＝ x≤ x ≤a＋ x － ≤ x ≤5 3 ，且 A 、B 都是集合 {x|0 ≤x ≤的1}子集．假如把 n － m 叫做会合 {x|m ≤x ≤n}的 “长度 ”，那么会合 A ∩B 的 “长度 ”的最小值是 ________．答案： 215a ≥0，1 分析：40≤ a ≤ 1，b －3≥0， 1≤ b ≤ 1，利用数轴分类议论可得会合A ∩B 的 “长a ＋ ≤153b ≤ 15度 ”的最小值为 1－1＝ 23 515.8. 已知 M ＝ （ x ， y ） |y － 3＝ a ＋ 1 ，N ＝ {(x ，y)|(a 2 － 1)x ＋ (a －1)y ＝ 15} ，若 M ∩N＝ ? ，x－ 2a 的 ________．5答案： 1，－ 1， 2，－ 4M ∩N＝ ? 知，分析：会合 M 表示挖去点 (2， 3)的直 ，会合N 表示一条直 ，所以由点 (2， 3)在会合 N 所表示的直 上或两直 平行，由此求得a 的 1，－ 1，5，－ 4.2 9. n ∈ N ＋ ， 一 元 二 次 方 程 x 2 － 4x ＋ n ＝ 0 有 正 整 数 根 的 充 要 条 件 是 n ＝ ________________ ．答案：3或4分析：令 f(x) ＝ x 2－ 4x ＋ n ，n ∈ N * ，f(0) ＝ n ＞ 0，∴ f(2) ≤0即 n ≤4，故 n ＝1，2，3，4，， n ＝ 3， 4 合适，或直接解出方程的根， x ＝ 2± 4－ n ， n ∈ N * ，只有 n ＝ 3， 4 合适．10. 随意两个会合M 、 N ，定 ： M － N ＝ {x|x ∈ M ，且 xN} ， M*N ＝ (M － N)∪ (N －M) ， M ＝ {y|y ＝ x 2， x ∈R } ， N ＝ {y|y ＝ 3sinx ， x ∈ R } ， M*N ＝ ____________ ．答案： {y|y>3 或－ 3≤y<0}分析：∵ M ＝ {y|y ＝ x 2， x ∈R } ＝ {y|y － N ＝ {y|y>3} ， N － M ＝ {y| － 3≤y<0}，∴{y|y>3 或－ 3≤ y<0}．≥ 0}， N ＝ {y|y ＝ 3sinx ， x ∈ R } ＝ {y| － 3≤y ≤3}，∴ M M*N ＝ (M － N) ∪ (N － M) ＝ {y|y>3} ∪ {y| － 3≤y<0} ＝11. 函数 f(x) ＝ x ＋ 3的定 域A ， g(x) ＝ lg[(x － a － 1)(2a － x)](a<1) 的定 域2－x ＋ 1B.(1) 求会合 A ；(2) 若 B íA, 求 数 a 的取 范 ．解： (1) 2－x ＋ 3≥ 0 T 2x ＋ 2－（ x ＋ 3） ≥ 0 Tx － 1≥0 T(x － 1)(x ＋1) ≥0且 x ≠－x ＋ 1 x ＋ 1x ＋ 11 T x ≥ 1 或 x ＜－ 1.∴ 会合 A ＝ {x|x ≥1或 x ＜－ 1} ．(2) (x － a － 1)(2a － x)＞ 0(a<1) (x － a － 1)(x － 2a)＜ 0.∵ a ＜ 1，∴ 2a ＜ a ＋1.∴ 2a ＜ x ＜ a ＋1.∴ 不等式的解 2a ＜ x ＜a ＋ 1.∴ 会合 B ＝ {x|2a ＜ x ＜ a ＋ 1} ．∵ B A ，∴ 2a ≥1 或 a ＋ 1≤－ 1，∴ a ≥ 1或 a ≤－ 2.í 21又 a<1， 数 a 的取 范 是 (－ ∞，－ 2]∪ 2， 1 .12. 已知会合 A ＝ {x|x 2 － 3x ＋ 2≤0}，会合 B ＝ {y|y ＝ x 2－ 2x ＋ a} ，会合 C ＝ {x|x 2 － ax －4≤ 0}．命 p ： A ∩B ≠ ?í；命 q ： A C.(1) 若命 p 假命 ，求 数 a 的取 范 ；(2) 若命 p ∧ q 真命 ，求 数 a 的取 范 ．解： (1) A ＝ [1， 2]， B ＝ [a － 1，＋ ∞)，若 p 假命 ， A ∩B＝ ? ，故 a － 1＞ 2，即 a ＞ 3.(2) 命 p 真， a ≤ 3.命 q 真，即 化 当 x ∈ [1，2] ， f(x) ＝x 2 －ax － 4≤0恒建立，f （ 1）＝ 1－ a － 4≤0，(解法 1) 解得 a ≥0.f （ 2）＝ 4－ 2a － 4≤0，4 (解法 2)当 x ∈ [1， 2] ， a ≥ x － x 恒建立，4 4而 x － x 在 [1， 2]上 增，故 a ≥x －x max ＝ 0.故 数 a 的取 范 是 [0， 3]．13. 数列 {a n } 的各 都不 零，求 ： 随意n ∈ N * 且 n ≥2，都有1 ＋ 1＋⋯＋1 a aa an －1 na a＝n－1建立的充要条件是 {a n} 等差数列． a1a n明： (充足性 )若 {a n} 等差数列，其公差d，1＋1＋⋯＋1＝1[(1－1)＋(1－1)＋⋯＋(1－1)]a1a2a2a3a n－1a n d a1a2a2 a3a n－1 a n1 1－1a n－ a1n－ 1＝d a1a n＝da1a n＝a1a n.1＋1 ＋⋯＋1＝ n－ 1，(必需性 )若a1a2a2a3a n－1a n a1 a n1＋1＋⋯＋1＋1＝n，a1a2a2a3a n－1a n a n a n＋1a1a n＋1两式相减得1＝n n－ 1a1＝ na n－(n－ 1)a n＋1.①a a－a a a1a nn n＋1 1 n＋1于是有 a1＝ (n＋ 1)a n＋1－na n＋2，②由①②得 na n－ 2na n＋1＋ na n＋2＝ 0，所以 a n＋1－ a n＝ a n＋2－ a n＋1 (n ≥ 2)．又由1＋1＝2a3－ a2＝ a2－ a1，所以 n∈N*，2a n＋1＝a n＋2＋ a n，故 {a n} 等差数列．a1a2a2a3a1a3。

高三数学二轮复习 专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式训练一、选择题1．(2011·辽宁)已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2} 2．(2010·山东)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x －1|≤2}，则∁U M ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1≤x ≤3}C ．{x |x <－1或x >3}D ．{x |x ≤－1或x ≥3}3．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 4．(2011·山东)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝35．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“綈p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．a >1 6．(2011·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则( ) A ．E FB ．E FC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅二、填空题 7．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝{－1，0,1}，B ＝{－2，－1,0}，则A ∩(∁U B )＝______.8．(2011·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．9．下列命题中，假命题的个数是________．①若A ∩B ＝∅，则A ＝∅或B ＝∅；②命题P 的否定就是P 的否命题；③A ∪B ＝U (U 为全集)，则A ＝U ，或B ＝U ；④A B 等价于A ∩B ＝A .10．若集合A ＝{x |(k ＋1)x 2＋x －k ＝0}有且仅有两个子集，则实数k 的值是________．三、解答题11．设集合A＝{2,8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}，且A B，求a的值．12.已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求实数m 的取值范围．13．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．答案1．D 2．C 3．A 4．A 5．D 6．A7．{1}8．39．310．－1或－1211．解 因为AB ，所以a 2－3a ＋4＝8或a 2－3a ＋4＝a . 由a 2－3a ＋4＝8，得a ＝4或a ＝－1； 由a 2－3a ＋4＝a ，得a ＝2.经检验：当a ＝2时集合A 、B 中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为－1、4.12．解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{x |－2≤x ≤5}，当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，解得m <2.当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可知，m ∈(－∞，3]．13．解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．即命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真命题．。

专题限时训练(五) 导数的简单应用(时间：45分钟 分数：80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2015·菏泽模拟)已知函数f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )A ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6)B ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5)C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6) 答案：A解析：因为f (－x )＝(－x )2－cos(－x ) ＝x 2－cos x ＝f (x )， 所以f (x )是偶函数； 所以f (－0.5)＝f (0.5)； 又因为f ′(x )＝2x ＋sin x ， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0,1)上是增函数， 所以f (0)<f (0.5)<f (0.6)； 即f (0)<f (－0.5)<f (0.6)．2．(2015·大同模拟)已知直线m ：x ＋2y －3＝0，函数y ＝3x ＋cos x 的图象与直线l 相切于P 点，若l ⊥m ，则P 点的坐标可能是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－3π2B.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π2答案：C解析：设点P (x 0，y 0)，因为l ⊥m ，所以k l ＝2， 又y ′＝3－sin x ，故3－sin x 0＝2， 即sin x 0＝1，验证选项知C 成立．3．(2015·江西八校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0,1)D ．(0，＋∞)答案：B解析：∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由题可知f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x，令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln x x2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0<2a <1⇒0<a <12.4．(2015·江西南昌一模)已知点P (x 1，y 1)是函数f (x )＝2x 图象上的点，点Q (x 2，y 2)是函数g (x )＝2ln x 图象上一点，若存在x 1，x 2使得|PQ |≤255成立，则x 1的值为( )A.15B.25C.12 D ．1答案：A解析：因为g ′(x )＝(2ln x )′＝2x，且函数f (x )＝2x 的图象是斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1，从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)， 又直线y ＝2(x －1)与直线f (x )＝2x 平行，且它们之间的距离为222＋－12＝255，如图所示．因为|PQ |的最小值为255，所以|PQ |最小时，Q 点的坐标为(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2x 1，y 1－0x 1－1×2＝－1，解得x 1＝15.故选A.5．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案：D解析：A 错，因为极大值未必是最大值；B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点；C 错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点；D 正确，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点．二、填空题(每小题5分，满分15分)6．(2015·河南郑州质检)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案：0解析：由题图可知，直线l 与曲线y ＝f (x )交于点(3,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋2＝1，f 3＝1，故k ＝－13， 又直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线， 故f ′(3)＝k ＝－13.由g (x )＝xf (x )知，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 故g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝0.7．(2015·唐山质检)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于________．答案：2解析：∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数， ∴a2≥1，即a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －a x，依题意g (x )′≥0在x ∈(1,2)上恒成立， 得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.8．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________．答案：9解析：∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0， ∴a ＋b ＝6，又a >0，b >0， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，等号成立， ∴ab 的最大值为9.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．(2015·绍兴模拟)已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋b )＋a e x－2x －4 ＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4，∵y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4， ∴f ′(0)＝a ＋b －4＝4，f (0)＝b ＝4， ∴a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2(x ＋2)＝2(x ＋2)(2e x－1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或ln 12，列表：x (－∞，－2) －2⎝⎛⎭⎪⎫－2，ln 12 ln 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，＋∞ f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值∴y ＝f (x )在(－∞，－2)，⎝ ⎭⎪ln 2，＋∞上单调递增；在⎝⎛⎭⎪⎫－2，ln 12上单调递减．故f (x )极大值＝f (－2)＝4－4e －2. 10.已知函数f (x )＝(1－x )e x －1. (1)求函数f (x )的最大值； (2)设g (x )＝f xx，求证：g (x )有最大值g (t )，且－2<t <－1. 解：(1)f ′(x )＝－x e x.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以f (x )max ＝f (0)＝0.(2)证明：g (x )＝1－x e x－1x，g ′(x )＝－x 2－x ＋1e x＋1x2. 设h (x )＝－(x 2－x ＋1)e x ＋1，则h ′(x )＝－x (x ＋1)e x. 当x ∈(－∞，－1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x ∈(－1,0)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )<0时，h (x )单调递减． 又h (－2)＝1－7e 2>0，h (－1)＝1－3e <0，h (0)＝0，所以h (x )在(－2，－1)有一零点t .当x ∈(－∞，t )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(t,0)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 由(1)知，当x ∈(－∞，0)时，g (x )>0； 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )<0.因此g (x )有最大值g (t )，且－2<t <－1.11．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0. 因此，a的取值范围是(0,1)．。

集合、常用逻辑(luó jí)用语、不等式、函数与导数本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试(kǎoshì)时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目(tímù)要求的)1．(2021·高考(ɡāo kǎo))函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，那么f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2【解析】 当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 【答案】 A2．(2021·高考)“φ＝π〞是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点〞的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，此时曲线y ＝sin(2x ＋φ)必过原点，但曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ“φ＝π〞是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点〞的充分而不必要条件．【答案】 A3．(2021·模拟)设a ＝log2，b ＝log3，c ＝2，d 2，那么这四个数的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c ＜d B ．b ＜a ＜d ＜c C ．b ＜a ＜c ＜dD ．d ＜c ＜a ＜b【解析(jiě xī)】 由函数(hánshù)y ＝log x 是减函数(hánshù)知， log3＜log2＜0.又22＜1，所以(suǒyǐ)b ＜a ＜d ＜c . 【答案】 B4．以下函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x ，x ∈R B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0 C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R【解析】 A 中，y ＝cos 2x 在(0，π2)上递减，A 不满足题意．C 中函数为奇函数，D 中函数非奇非偶．对于B ：y ＝log 2|x |(x ≠0)是偶函数，在(1,2)内是增函数． 【答案】 B5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，那么目的函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影局部所示．又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处获得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)． 此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10. 【答案(dá àn)】 B6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，那么(nà me)不等式f (x )＜2的解集为( ) A ．(10，＋∞) B ．(－∞，1)∪[2，10) C ．(1,2]∪(10，＋∞)D ．(1，10)【解析(jiě xī)】 原不等式等价(děngjià)于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，log 3(x 2－1)＜2，或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，2e x －1＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，0＜x 2－1＜9，或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x －1＜0，解得2≤x ＜10或者x ＜1. 【答案】 B7．(2021·模拟)符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，那么函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C．3 D．4【解析】当x>1时，ln x>0，sgn(ln x)＝1，∴f(x)＝1－ln2x，令f(x)＝0，得x＝e.当x＝1时，ln x＝0，sgn(ln x)＝0，∴f(x)＝－ln2x，令f(x)＝0，得x＝1满足．当0<x<1时，ln x<0，sgn(ln x)＝－1，∴f(x)＝－1－ln2x<0，f(x)＝0无解．∴函数f(x)的零点为x＝1与x＝e.【答案】 B8．(2021·高考)函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为()【解析(jiě xī)】函数(hánshù)y＝x cos x＋sin x为奇函数，那么(nàme)排除B；当x 时，y＝1＞0，排除(páichú)C；当x＝π时，y＝－π＜0，排除A，应选D.＝π2【答案】 D9．(2021·模拟)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x＋1)是偶函数，(x－1)f′(xx1＜x2，且x1＋x2＞2，那么f(x1)与f(x2)的大小关系是()A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)＞f (x 2)D ．不确定【解析】 由(x －1)f ′(x )＜0可知，当x ＞1时，f ′(x )＜0函数递减，当x ＜1时，f ′(x )＞0函数递增，因为函数f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (1－x )，f (x )＝f (2－x )，即函数的对称轴为x ＝1.所以假设1＜x 1＜x 2，那么f (x 1)＞f (x 2)．假设x 1＜1，那么必有x 2＞1，那么x 2＞2－x 1＞1，此时由f (x 2)＜f (2－x 1)，即f (x 2)＜f (2－x 1)＝f (x 1)，综上f (x 1)＞f (x 2)，选C.【答案】 C10．(2021·高考)假设S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，那么S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【解析(jiě xī)】 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以(suǒyǐ)ln 2<73<e(e－1)，即S 2<S 1<S 3.【答案(dá àn)】 B11．小王从甲地到乙地往返的时速(shí sù)分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，那么( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】 设甲、乙两地之间的间隔 为s .∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .【答案】 A12．(2021·高考)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图1－1所示，那么以下结论中一定成立的是( )图1－1A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数(hánshù)f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数(hánshù)f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【解析(jiě xī)】 当x ＜－2时，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，得f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜1时，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，得f ′(x )＜0； 当1＜x ＜2时，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，得f ′(x )＜0； 当x ＞2时，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，得f ′(x )＞0，∴f (x )在(－∞，－2)上是增函数(hánshù)，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)． 【答案】 D第二卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上)13．(2021·模拟)第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，那么代数式2a ＋3b 的最小值为________．【解析】 由题意知2a ＋3b ＝1，a ＞0，b ＞0，那么2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab≥13＋26b a ·6a b ＝25，当且仅当a ＝b ＝15时取等号，即2a ＋3b的最小值为25. 【答案】 2514．y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，假设g (x )＝f (x )＋2，那么g (－1)＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1， ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3. 因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 【答案】 －115．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，那么(nà me)f (2 013)＝________.【解析(jiě xī)】 当x ＞0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，∴f(x＋6)＝f(x)，即当x＞0时，函数(hánshù)f(x)的周期(zhōuqī)是6.又∵f(2 013)＝f(335×6＋3)＝f(3)，由得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝0－1＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1－0＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，∴f(2 013)＝0.【答案】016．函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，假设f(x)在x＝a处获得极大值，那么a 的取值范围是________．【解析】假设a＝0，那么f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；假设a＝－1，那么f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；假设a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处获得极小值；假设－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处获得极大值；假设a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处获得极小值，所以a∈(－1,0)．【答案】(－1,0)三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分(mǎn fēn)是10分)集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}．(1)假设(jiǎshè)A ∩B ＝∅，求a 的取值范围(fànwéi)；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立(chénglì)的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 【解】 A ＝{y |y ＜a 或者y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或者a ≤－ 3.∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0， ∴－2≤a ≤2. ∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或者y ＞5}． ∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}． ∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．18．(本小题满分是12分)函数f (x )＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R . (1)假设函数f (x )为奇函数，务实数k 的值；(2)假设对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )＞2－x 成立，务实数k 的取值范围． 【解】 (1)∵f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，∴(1＋k )＋(k ＋1)·22x ＝0对一切x ∈R 恒成立， ∴k ＝－1.(2)∵x ∈[0，＋∞)，均有f (x )＞2－x ， 即2x ＋k ·2－x ＞2－x 成立(chénglì)， ∴1－k ＜22x 对x ≥0恒成立(chénglì)， ∴1－k ＜(22x )min ，∵y ＝22x 在[0，＋∞)上单调(dāndiào)递增， ∴(22x )min ＝1， ∴k ＞0.∴实数(shìshù)k 的取值范围是(0，＋∞)．19．(本小题满分是12分)(2021·高考)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 【解】 (1)设f (x )＝ln xx ，那么f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，那么除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．20．(本小题满分是12分)(2021·模拟)函数f (x )＝13ax 3＋(a －2)x ＋c 的图象如图1－2所示．图1－2(1)求函数y ＝f (x )的解析(jiě xī)式；(2)假设(jiǎshè)g (x )＝kf ′(x )x－2ln x 在其定义域内为增函数，务实(wù shí)数k 的取值范围(fànwéi)．【解】 (1)∵f ′(x )＝ax 2＋a －2，由图可知函数f (x )的图象过点(0,3)，且f ′(1)＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝3，2a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＝1.∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)∵g (x )＝kf ′(x )x －2ln x ＝kx －k x －2ln x ，∴g ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2＋k －2x x 2. ∵函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴假设函数y ＝g (x )在其定义域内为单调增函数，那么函数g ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx 2＋k －2x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．即k ≥2x x 2＋1在区间(0，＋∞)上恒成立． 令h (x )＝2x x 2＋1，x ∈(0，＋∞)， 那么h (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤1(当且仅当x ＝1时取等号)． ∴k ≥1.∴实数k 的取值范围是[1，＋∞)．21．(本小题满分是12分)(2021·模拟)某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y 元．(1)试写出y 关于(guānyú)x 的函数(hánshù)关系式，并写出定义域；(2)当k ＝50米时，试确定座位的个数，使得(shǐ de)总造价最低？【解】 (1)设转盘(zhuànpán)上总一共有n 个座位，那么x ＝k n 即n ＝k x，y ＝3k 2x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 2x ， 定义域⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ≤k 2，k x ∈Z . (2)y ＝f (x )＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋(128x ＋20)25， y ′＝－125＋64x 3225x 2k 2，令y ′＝0得x ＝2516. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2516时，f ′(x )＜0，即f (x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，2516上单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫2516，25时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈⎝⎛⎭⎫2516，25上单调递增， y 的最小值在x ＝2516时取到，此时座位个数为502516＝32个． 22．(本小题满分是12分)(2021·模拟)函数f (x )＝13x 3－ax ＋1. (1)求x ＝1时，f (x )获得极值，求a 的值；(2)求f (x )在[0,1]上的最小值；(3)假设对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围．【解】 (1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )获得极值(jí zhí)，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1.又当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以(suǒyǐ)f (x )在x ＝1处获得(huòdé)极小值，即a ＝1符合(fúhé)题意．(2)当a ≤0时，f ′(x )＞0对x ∈(0,1)成立，所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1，当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－a，x2＝a，当0＜a＜1时，a＜1，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处获得最小值f(a)＝1－2a a3.当a≥1时，a≥1，x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处获得最小值f(1)＝4－a.3综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处获得最小值f(a)＝1－2a a；3－a.当a≥1时，f(x)在x＝1处获得最小值f(1)＝43(3)因为∀m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，所以－a＞－1，即a＜1.所以(suǒyǐ)a的取值范围(fànwéi)是(－∞，－1)．内容总结。

第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

第1讲集合与常用逻辑用语考情解读(1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年也出现一些集合的新定义问题．(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断．1．集合的概念、关系(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．4．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．5．基本逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．6．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川改编)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________.(2)(2013·广东改编)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列命题正确的是________．①(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S；②(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；③(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S；④(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S.思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1){－1,0,1,2}(2)②解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}．(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除①③④，故②正确．思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则M∩N＝________.(2)(2013·山东改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案(1){2,3}(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津改编)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件．(2)(2014·江西改编)下列叙述中正确的是________．①若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”；②若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”；③命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”；④l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β.思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．答案(1)充要(2)④解析(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|.(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，①错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，②错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，③错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．(2)“log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案(1)若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数(2)充分不必要解析(1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log3M>log3N，又因为对数函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M>N；当M>N 时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不一定有意义．故不能推出log3M>log3N，所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件．热点三逻辑联结词、量词例3(1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，sin x<x，则下列命题正确的是________．①命题p∨q是假命题②命题p∧q是真命题③命题p ∧(綈q )是真命题 ④命题p ∨(綈q )是假命题(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是_________________________________________________________________．思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要理解量词含义，确定参数范围．答案 (1)③ (2)[1，＋∞)解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故③正确．(2)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②，得m ≥1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列命题中正确的是________．①p 真q 假 ②p 假q 真③“p ∧q ”为假 ④“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)③ (2)(1，＋∞)解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题．(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝________.答案{2}解析因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．2．(2014·重庆改编)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．①p∧q②綈p∧綈q③綈p∧q④p∧綈q答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故④为真命题．押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.2．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中正确的命题是________．答案 ②解析 命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．3．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由x ＋210－x≥0，得－2≤x <10，即p ：－2≤x <10； 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0，所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m .又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3， 又m <0，所以实数m 的取值范围是－3≤m <0.(推荐时间：40分钟)1．(2014·陕西改编)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1)解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为_______________________________________________________________． 答案 13解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________．答案 7解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的________条件．答案 必要不充分解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，a <1.log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件．5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是________． 答案 ∀x ∈(0，π2)，使得cos x >x 解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”．6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的________条件． 答案 充要解析 在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角，所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充要条件．7．(2013·湖北改编)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝________.答案 {x |0≤x <2或x >4}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是_________________________________________________________________．答案 2解析 集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1消去y 得x 2＋x ＝0， 由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有2个元素．9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．答案 ③解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.答案 (1，＋∞)解析 由x (x －1)≥0可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x －1>0可得x >1，则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________.答案 －4解析 由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.答案 1解析 根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x，y)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈(0,1)，因为(kx)3＋(ky)3－(kx)2·(ky)＝0⇒x3＋y3－x2y＝0，所以(kx，ky)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，故④是具有性质P的点集．综上，具有性质P的点集是②④.。

训练　函数、导数、不等式的综合问题 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )． A. B．－ C. D．－或 2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )． A．1 B. C. D. 3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，xR，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )． A. B. C. D. 4．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )． A．1 B．2 C．0 D. 5．设aR，若函数y＝eax＋3x，xR有大于零的极值点，则( )． A．a＞－3 B． a＜－3 C．a＞－ D．a＜－ 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________． 7．函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________． 8．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． 三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，bR)的导函数f′(x)的图象过原点． (1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； (2)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值． 10．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t[m， M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由． 11．(12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值； (2)对一切的x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－.参考答案 1．D　[f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，f′(x)的图象开口向上，若图象不过原点，则a＝0时，f(－1)＝，若图象过原点，则a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，a＝－1，f(－1)＝－.] 2．D　[|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.] 3．A　[因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.] 4．B　[函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，≥1，得a≥2.又g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x(1, 2)上恒成立，有a≤2，a＝2.] 5．B　[令f(x)＝eax＋3x，可求得f′(x)＝3＋aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln.由x＞0，解得a＜－3，a的取值范围为(－∞，－3)．] 6．解析　由题得f′ (x)＝12x2－2ax－2b＝0，f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6.a＋b≥2，6≥2，ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到最大值． 答案　9 7．解析　f(x)＝x3－x2＋ax－5，f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或f′(－1)＝3＋a≤0且f′(2)＝a≤0，a≥1或a≤－3.于是满足条件的a(－3,1)． 答案　(－3,1) 8．解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以，解得－4＜a＜0. 答案　(－4,0) 9．解　由已知，得f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b. 由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)． (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1， f′(3)＝3. 所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)， 即3x－y－8＝0. (2)存在x＜0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7. 所以a的最大值为－7. 10．解　(1)由f(e)＝2，得b＝2. (2)由 (1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x. 从而f′(x)＝aln x. 因为a≠0，故 当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0得， 0＜x＜1； 当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1，由f′(x)＜0得，x＞1. 综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x. 由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x1(1，e)ef′(x) －0 ＋f(x)2－单调递减极小值1单调递增2又2－＜2， 所以函数f(x)的值域为[1,2]． 据此可得，若则对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点； 并且对每一个t(－∞，m)(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)都没有公共点． 综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点． 11．(1)解　f′(x)＝ln x＋1. 当x时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 则当0＜t＜t＋2＜时，t无解； 当0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时， [f(x)]min＝f＝－； 当≤t＜t＋2，即t≥时， f(x)在[t，t＋2]上单调递增． 所以[f(x)]min＝f(t)＝tln t.所以[f(x)]min＝ (2)解　2f(x)≥g(x)，即2xln x≥－x2＋ax－3， 则a≤2ln x＋x＋.设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)， h′(x)＝. 当x(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因为对一切x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立， 所以a≤[h(x)] min＝4.故实数a的取值范围是(－∞，4]． (3)证明　问题等价于证明xln x＞－，x(0，＋∞)． 由(1)可知f(x)＝xln x，x(0，＋∞)的最小值为－， 当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]max＝m(1)＝－. 从而对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－成立．。

集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式[时间120分钟，满分150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·吉安模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{1,5}，则A ∩(∁U B )等于A ．{2,4}B ．{1,2,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析 ∁U B ＝{2,3,4}，所以A ∩(∁U B )＝{2,4}，选A. 答案 A2．(2013·潮州一模)集合A ＝{x ||x －2|≤2}，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则A ∩B 等于 A ．RB ．{x |x ≠0}C ．{0}D ．∅解析 A ＝[0,4]，B ＝[－4,0]，所以A ∩B ＝{0}． 答案 C3．(2013·烟台一模)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为A.12B ．－12C ．2D ．－2解析 设幂函数为f (x )＝x a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，解得a ＝12，所以f (x )＝x ，所以f (2)＝2，即log 2f (2)＝log 22＝12，选A. 答案 A4．函数f (x )＝log 2(x －1＋1)的值域为 A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，1)∪(0，＋∞)解析 x －1＋1＝1x ＋1≠1，所以f (x )＝log 2(x －1＋1)≠log 21＝0，即y ≠0，所以f (x )＝log 2(x －1＋1)的值域是 (－∞，0)∪(0，＋∞)，选C. 答案 C5．(2013·青浦模拟)对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是 A ．逆命题为“单调函数不是周期函数” B ．否命题为“周期函数是单调函数” C ．逆否命题为“单调函数是周期函数” D ．以上三者都不对解析 周期函数不是单调函数得逆命题为“不是单调函数的函数，就是周期函数”，A 错．否命题为“不是周期函数的函数是单调函数”，B 错．逆否命题为“单调函数不是周期函数”，C 错，所以选D.答案 D6．(2013·铁岭模拟)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是 A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab ＞2D.b a ＜1解析 由1a ＜1b ＜0可知，b ＜a ＜0，所以ba ＞1，选D. 答案 D7．设a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ＝1，b ＝3，A ＝30°，由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝32，a ＜b ，B ＝60°或B ＝120°，反之，a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则sin A ＝a b sin B ＝12，a ＜b ，A ＝30°，故选B.答案 B8．在坐标平面内，点的纵、横坐标都是整数时，称该点为整点．则由不等式⎩⎨⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示的区域内整点的个数是A ．1B ．3C ．9D ．6解析 本题考查了线性规划的基本知识，根据线性约束条件画出可行域是关键． 答案 C9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋2，x ≤0，ln x ， x ＞0，若k ＞0，则函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是A ．1B ．4C ．3D ．2解析 由y ＝|f (x )|－1＝0，得|f (x )|＝1.若x ＞0， 则|f (x )|＝|ln x |＝1，所以ln x ＝1或ln x ＝－1，解得x ＝e 或x ＝1e .若x ≤0，则|f (x )|＝|kx ＋2|＝1，所以kx ＋2＝1或kx ＋2＝－1，解得x ＝－1k ＜0或x ＝－3k ＜0成立，所以函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是4个，选B.答案 B10．(2013·济南一模)设a ＝⎠⎛121x d x ，b ＝⎠⎛131x d x ，c ＝⎠⎛151x d x ，则下列关系式成立的是A.a 2＜b 3＜c5 B.b 3＜a 2＜c 5 C.c 5＜a 2＜b 3D.a 2＜c 5＜b 3解析 a ＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2，b ＝⎠⎛131x d x ＝ln x |31＝ln 3，c ＝⎠⎛151x d x ＝ln x |51＝ln 5，所以a 2＝ln 22＝ln 2，b 3＝ln 33＝ln 33，c 5＝ln 55＝ln 55.因为(2)6＝23＝8，(33)6＝32＝9，所以2＜33.(2)10＝25＝32，(55)10＝52＝25，所以55＜2，即55＜2＜33，所以c 5＜a 2＜b3，选C.答案 C11．(2013·黄浦模拟)若f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则下列结论： ①y ＝|f (x )|是偶函数；②对任意的x ∈R 都有f (－x )＋|f (x )|＝0；③y ＝f (－x )在(－∞，0]上单调递增；④y ＝f (x )f (－x )在(－∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4解析 取f (x )＝x 3，x ＝－1，则f (－x )＋|f (x )|＝f (1)＋|f (－1)|＝2≠0，故②错．又f (－x )＝－x 3在(－∞，0]上单调递减，故③错．对于①，设x ∈R ，则|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|⇒y ＝|f (x )|是偶函数，所以①对；对于④，设x 1＜x 2≤0，则－x 1＞－x 2≥0，∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (－x 1)＞f (－x 2)≥f (0)＝0⇒f 2(－x 1)＞f 2(－x 2)⇒f 2(x 1)＞f 2(x 2)，∴f (x 1)f (－x 1)＝－f 2(x 1)＜－f 2(x 2)＝f (x 2)f (－x 2)⇒y ＝f (x )f (－x )在(－∞，0]上单调递增，故④对．所以选B.答案 B12．(2013·临沂一模)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y＝e x －2}．其中是“垂直对点集”的序号是 A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析 ①y ＝1x 是以x ，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，满足“垂直对点集”的定义；对任意(x 1，y 1)∈M ，在另一支上也不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}，如图在曲线上，两点构成的直角始终存在，所以M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}是“垂直对点集”．对于③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，如图取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}，如图在曲线上两点构成的直角始终存在，满足“垂直对点集”的定义，故正确．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．如果不等式5－x ＞7|x ＋1|和不等式ax 2＋bx －2＞0有相同的解集，则a ＋b ＝________. 解析 由不等式5－x ＞7|x ＋1|可知5－x ＞0，两边平方得(5－x )2＞49(x ＋1)2，整理得4x 2＋9x ＋2＜0，即－4x 2－9x －2＞0. 又两不等式的解集相同，所以可得a ＝－4，b ＝－9， 则a ＋b ＝－13. 答案 －1314．(2013·顺义模拟)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则不等式f (2x )＞2的解集为________．解析 因为函数为定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，且函数在(0，＋∞)上递增．所以由f (2x )＞2得2x ＞12，即x ＞－1， 所以不等式f (2x )＞2的解集为(－1，＋∞)． 答案 (－1，＋∞)15．(2013·滨州一模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2.作出不等式组对应的平面区域，如图，平移直线y ＝－12x ＋z2，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋z 2经过点F 时，直线y ＝－12x ＋z2的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧ x －y ＋2＝02x －y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝7y ＝9，即F (7,9)，代入z ＝x ＋2y 得z ＝x ＋2y ＝7＋2×9＝25.答案 2516．(2013·德州一模)已知锐角α，β满足3tan α＝tan(α＋β)，则tan β的最大值为________． 解析 tan β＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝2tan α1＋3tan 2α，即tan β＝21tan α＋3tan α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0.所以tan β＝21tan α＋3tan α≤221tan α·3tan α＝33，当且仅当1tan α＝3tan α，即tan 2α＝13，tan α＝33时，取等号，所以tan β的最大值是33. 答案 33三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B .(1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解析 (1)A ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |(x －3)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1，或x ＞3}， B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a ＜y ≤4－a }．(5分) (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴4－a ＜－1或－a ≥3，∴a ≤－3或a ＞5，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．(10分)18．(12分)设命题p ：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2mx ＋1在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立；若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．解析 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝x 2－2mx ＋1在区间(1，＋∞)上是增函数，由于该函数是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝m ，所以m ≤1；因为a ∈[－1,1]，(3分)由根与系数关系知 |x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3，所以m 2＋5m －3≥3，解得m ≥1，或m ≤－6，(6分) 若(綈p )∧q 为真命题，则p 是假命题，q 是真命题，(8分) 故⎩⎨⎧m ＞1m ≥1，或m ≤－6，即m ＞1.(11分) 所以使(綈p )∧q 为真的实数m 的取值范围是m ＞1.(12分)19．(12分)(2013·宝山模拟)已知函数f (x )＝log 2(4x ＋b ·2x ＋4)，g (x )＝x . (1)当b ＝－5时，求f (x )的定义域； (2)若f (x )＞g (x )恒成立，求b 的取值范围． 解析 (1)由4x －5·2x ＋4＞0，即(2x －1)(2x －4)＞0， 所以2x ＜1，或2x ＞4，解得f (x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(5分) (2)由f (x )＞g (x )得4x ＋b ·2x ＋4＞2x ， 即b ＞1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋42x .令h (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋42x ，因为2x＋42x ≥22x·42x ＝4，当且仅当2x ＝42x ，即x ＝1时等号成立，则h (x )≤－3，∴当b ＞－3时，f (x )＞g (x )恒成立．(12分)20．(12分)(2013·马鞍山模拟)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f (x )＋ax ，求函数y ＝g (x )的单调区间．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝x －1x －2ln x ，则f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝0.(5分)(2)由条件知g (x )＝ax －2ln x ， 则函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以g ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ，(i)当a ≤0时，g ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数y ＝g (x )的单调区间为(0，＋∞)； (ii)当a ＞0时，由g ′(x )＞0，得x ＞2a ， 由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2a ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a .(12分)21．(12分)某工厂生产A 、B 两种配套产品，其中每天生产x 吨A 产品，需生产x ＋2吨B 产品，已知生产A 产品的成本与产量的平方成正比，经测算，生产1吨A 产品需要4万元，而B 产品的成本为每吨8万元．(1)求生产A 、B 两种配套产品的平均成本的最小值；(2)若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产A 产品的产量x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2,8]范围内，那么在这种情况下，该工厂应生产A 产品多少吨，才可使平均成本最低．解析 (1)因为生产A 产品的成本与产量的平方成正比，则生产x 吨A 产品需t ＝kx 2万元，又当x ＝1时，t ＝4，所以k ＝4，故t ＝4x 2，(2分)设生产A 、B 两种产品的平均成本为y ，据题意有 y ＝4x 2＋8(x ＋2)x ＋x ＋2＝4x 2＋8x ＋162x ＋2＝2x 2＋4x ＋8x ＋1＝(2x 2＋2x )＋(2x ＋2)＋6x ＋1＝2x ＋6x ＋1＋6＝2(x ＋1)＋6x ＋1＋4≥22(x ＋1)×6x ＋1＋4 ＝43＋4， 当且仅当2(x ＋1)＝6x ＋1，即x ＝3－1时，等号成立．(6分)(2)由(1)知，生产A 、B 两种产品的平均成本为 y ＝2x ＋6x ＋1＋6，则y ′＝2－6(x ＋1)2，(7分) 令y ′＞0，解得x ＞3－1，令y ′＜0，解得x ＜3－1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2,8]，所以函数y ＝2x ＋6x ＋1＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递减，在[2,8]上单调递增，当x ＝12时，y ＝11，当x ＝2时，y ＝12.(11分)所以该工厂应生产A 产品12吨，才可使平均成本最低，为11万元．(12分)22．(12分)(2012·山东)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2. 解析 (1)由f (x )＝ln x ＋ke x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(3分)(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0. 又e x ＞0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(8分) (3)证明 因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 因此，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e－2等价于1－x －x ln x ＜e xx ＋1(1＋e －2)．由(2)知h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，φ(x)＞φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)＞0，即e xx＋1＞1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2＜e xx＋1(1＋e－2)．因此对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.(12分)。

第一部分 知识与能力专题一 集合、简易逻辑、函数与导数第一讲 集合、简易逻辑一、选择题1．(2010·课标全国)已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R}，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}解析：由已知A ＝{x ||x |≤2，x ∈R}＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R}，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z}＝ {x |0≤x ≤16，x ∈Z}，则A ∩B ＝{x |0≤x ≤2，x ∈Z}＝{0,1,2}，故选D.答案：D2．下列命题中的假命题是 ( )A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析：当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 命题是假命题．答案：B3．(2010·天津)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R}，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R}．若A ⊆B ，则实 数a 、b 必满足 ( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R}＝{c |a －1<x <1＋a }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R}＝{x |x >2＋b 或x <b －2}．∵A ⊆B ，∴b ＋2≤a －1⇒a －b ≥3，或b －2≥1＋a ⇒a －b ≤－3， ∴|a －b |≥3.答案：D4．(2010·福建)对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b 2＝1，c 2＝b ，时，b ＋c ＋d 等于 ( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1， c 2＝－1，∴c ＝±i ，又“对任意x ，y ∈S 必有xy ∈S ”知－i ∈S ，即d ＝∓i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋i ＋(－i)＝－1，故选B.答案：B5．(2010·浙江丽水)若函数f (x )和g (x )的定义域、值域都是R ，则不等式f (x )>g (x )有解的充要条件是 ( )A ．∃x ∈R ，f (x )>g (x )B ．有无穷多个x (x ∈R)，使得f (x )>g (x )C ．∀x ∈R ，f (x )>g (x )D ．{x ∈R|f (x )≤g (x )}＝∅解析：f (x )>g (x )有解⇔∃x 0∈R ，使f (x 0)>g (x 0)成立，故选A.答案：A二、填空题6．(2010·浙江改编)设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1的________条件． 解析：0<x <π2，∴0<sin x <1， 若x ·sin x <1，∴x sin 2x <1成立，必要性成立.若x sin 2x <1，则x sin 2x sin x <1sin x . ∴x ·sin x <1sin x ，而1sin x>1. 故充分性不成立．答案：必要不充分7．(2010·重庆)设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.解析：∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，即方程x 2＋mx ＝0的两根为0和3，∴m ＝－3.答案：－38．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，则使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x 2＋2mx ＋1.则由f (0)>0，且－b 2a>0， 且Δ>0，求得m <－1，∴p ：m ∈(－∞，－1)．q ：Δ＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0⇒－2<m <3. 由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 一真一假．①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≤－2或m ≥3，即m ≤－2；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，－2<m <3即－1≤m <3. ∴m 的取值范围是m ≤－2或－1≤m <3.答案：(－∞，－2]∪[－1,3)9．(2010·四川)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：∵集合S 为复数集，而复数集一定为封闭集，∴①是真命题．②由封闭集定义知②为真命题．③是假命题．如S ＝{0}符合定义，但是S 为有限集．④是假命题．如S ＝Z ，T 为整数和虚数构成集合，满足S ⊆T ⊆C ，但T 不是封闭集， 如3＋2i ，3－2i 都在T 中，但(3＋2i)＋(3－2i)＝23∉T .答案：①②三、解答题10．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y＝x 2－3x ，x ∈R}，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R}，求A ⊕B .解：由y ＝x 2－3x (x ∈R)，即y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－94≥－94，得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－94. 对y ＝－2x (x ∈R)，∵2x >0，∴－2x <0，∴y <0，∴B ＝{y |y <0}．∴A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y <－94， ∴A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)． 11．已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R.如果“p或q ”为真，且“p 且q ”为假，求c 的范围．解：由c >0，p ：函数y ＝c x 在R 上递减，则0<c <1；设f (x )＝x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c 2c ， x <2c 则f (x )的最小值为2c ，∴2c >1，即c >12. 由“p 或q ”为真，且 “p 且q ”为假，得“p 真q 假”或“p 假q 真”．若p 真q 假，则c ∈(0,1)∩⎝⎛⎦⎤0，12，即c ∈⎝⎛⎦⎤0，12； 若p 假q 真，则c ∈[1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎫12，＋∞，即c ∈[1，＋∞)．因此所求c 的范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 12．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3. (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 解：A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2， ∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y <－2或y >5.}∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}．∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}。

专题一 集合与简易逻辑考向一 集合的运算【高考改编☆回顾基础】1．【补集运算】【2017·改编】已知U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >2}，则∁U A ＝________. 【答案】 [－2,2]【解析】因为A ＝{x |x <－2或x >2}，所以∁U A ＝∁R A ＝{x |－2≤x ≤2}，即∁U A ＝[－2,2]．2. 【集合与不等式相结合】【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则（ ） A ．{|0}A B x x =<B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<， 所以{|1}{|0}{|0}AB x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.3.【集合元素的属性】【2017课标3，理1】已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B4.【集合运算】【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1AB =，则B =（ ）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5 【答案】C 【解析】【命题预测☆看准方向】集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查函数、不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.预计2018年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题形式会更加灵活、新颖．试题类型一般是一道选择题或填空题，多与函数、方程、不等式、解析几何等综合考查．【典例分析☆提升能力】【例1】设A ={}2430x x x -+≤，B ={}230x x -<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3[1,)2D ．3(,3)2【答案】C【趁热打铁】【2017某某，理1】设函数x 2y=4-的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=（ ） （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.【例2】【2018届某某省鄂东南联盟期中】对于任意两集合，定义且，记，则__________．【答案】 【解析】，，所以【趁热打铁】设R U =，已知集合}1|{≥=x x A ，}|{a x x B >=，且R B A C U = )(，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．)1,(-∞B ．]1,(-∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 【答案】A【解析】由}1|{≥=x x A 有{}1U C A x x =<，而R B A C U = )(，所以1a <，故选A.【方法总结☆全面提升】在进行集合的交、并、补运算中可依据元素的不同属性采用不同的方法求解,常用到的技巧有: (1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解; (2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若已知的集合是抽象集合,用Venn 图求解;(4)注意转化关系(U C A)∩B=B ⇔B ⊆U C A,A ∪B=B ⇔A ⊆B,U C (A ∩B )=(U C A )∪(U C B ), U C (A ∪B )=(U C A )∩(U C B )等.注意两个问题:(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果． (2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．【规X 示例☆避免陷阱】【典例】已知集合23100,121{|}{|,}A x x x B x m x m A B A =--≤=+≤≤-⋃=若,某某数m 的取值X 围. 【规X 解答】,.A B A B A ⋃=∴⊆23{|}{10025,|}A x x x x x =--≤=-≤≤【反思提高】造成本题失分的根本原因是易于忽视“空集是任何集合的子集”这一性质.当题目中出现,,A B A B A A B B ⊆⋂=⋃=时,注意对A 进行分类讨论,即分为A φ=和A φ≠两种情况讨论.【误区警示】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．(2) 空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．在解决有关A B ⋂∅＝的问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑()A B ∅或＝是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（3）五个关系式U UA B A B A A B B B A ⊆⋂⋃⊆，＝，＝，以及()U A B ⋂∅＝是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．考向二 简易逻辑 【高考改编☆回顾基础】1．【四种命题及其关系】【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【解析】2. 【三角函数与充要条件相结合】【2017·某某卷改编】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的条件.（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】充分而不必要条件 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但10,sin 2θθ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件.3.【全称命题与复合命题】【2017某某卷改编】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是.①∧p q ②⌝∧p q ③⌝∧p q ④⌝⌝∧p q 【答案】②故填②.4.【全称命题与特称命题】【2016某某卷改编】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是 . A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故填*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <．【命题预测☆看准方向】常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式、立体几何中的线面关系、平面解析几何中的线线关系、直线与圆的位置关系等为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大．预测2018年将对其中的一或二个知识点予以考查.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届某某省某某市12月模拟】已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m α⊥，l 与m 无交点”是“//l m ，l α⊥”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【趁热打铁】设R y x ∈,，则"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的（）.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由"22"≥≥y x 且可得"4"22≥+y x ，但"4"22≥+y x 不一定能够得到"22"≥≥y x 且 故选A ．【例2】命题：“00x ∃>，使002()1xx a ->”，这个命题的否定是（ ） A ．0x ∀>，使2()1xx a ->B ．0x ∀>，使2()1xx a -≤ C ．0x ∀≤，使2()1xx a -≤D ．0x ∀≤，使2()1xx a -> 【答案】B【解析】由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1xx a ⋅-≤使），故选B. 【例3】【2018届某某市第一次调研】设命题p ：1x ∀<，21x <，命题q ：00x ∃>，0012xx >，则下列命题中是真命题的是A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】当2x =-时，241x =>，显然命题p 为假命题； 当01x =时，01221x x =>=，显然命题q 为真命题； ∴p ⌝为真命题，q ⌝为假命题 ∴()p q ⌝∧为真命题 故选:B【趁热打铁】已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧.B p q ⌝∧⌝.C p q ⌝∧.D p q ∧⌝【答案】D【解析】由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p ⌝是假命题，q ⌝是真命题； 所以，p q ∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，p q ⌝∧是假命题，p q ∧⌝是真命题；故选D.【方法总结☆全面提升】(1)命题真假的判定方法:①一般命题p 的真假由涉及的相关知识进行辨别;②四种命题的真假的判断根据:一个命题和它的逆否命题同真假,它的逆命题跟否命题同真假; ③形如p ∨q ,p ∧q ,⌝p 命题的真假根据真值表判定;④全称命题与特称命题的否定:全称命题():,p x M p x ∀∈,其否定形式是()00,x M p x ∃∈⌝;特称命题()00:,p x M p x ∃∈,其否定形式是(),x M p x ∀∈⌝.(2) 一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：(3) 充分条件、必要条件判断的定义法:先判断p q ⇒与q p ⇒是否成立,然后再确定p 是q 的什么条件. (4)用集合的观点看充分条件、必要条件：A ＝{x|x 满足条件p}，B ＝{x|x 满足条件q}，(1)如果A ⊆B ，那么p 是q 的充分不必要条件；(2)如果B ⊆A ，那么p 是q 的必要不充分条件；(3)如果A ＝B ，那么p 是q 的充要条件；(4)如果A B ⊂≠，且B A ⊂≠，那么p 是q 的既不充分也不必要条件． (5)对于充分条件、必要条件的判断要注意以下几点:①要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是B”是指B 能推出A ,且A 不能推出B ;而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ,且B 不能推出A.②要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以尝试通过举出恰当的反例来说明.③要注意转化:若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,则p 是q 的充分不必要条件;若⌝p 是⌝q 的充要条件,那么p 是q 的充要条件.④要善于利用集合间的包含关系判断:若A B ⊆,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A=B ,则A 是B 的充要条件.【规X 示例☆避免陷阱】【典例】已知p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为钝角”是q ：“a b •＜0”的条件.【反思提高】判断条件与结论之间的关系时要从两个方向判断，解答本题易于判断一个方向就下结论，忽视对“a b •＜0”成立时能否导出“向量a 与向量b 的夹角为钝角”的判断.充要条件的判断三种常用方法：（1）利用定义判断．如果已知p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）利用等价命题判断；(3) 把充要条件“直观化”，如果p r ⇒，可认为p 是q 的“子集”；如果q p ⇒，可认为p 不是q 的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明． 【误区警示】（1）区分命题的否定和否命题的不同，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．（2）p 或q 的否定：¬p 且¬q ；p 且q 的否定：¬p 或¬q .（3）“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .。

专题达标检测一、选择题1．已知集合A＝{|1 C2解析：∁R B＝－∞，1∪[2，＋∞，又A∪∁R B＝≥2，故选C答案：C2．已知命题2 －错误!0，解得A＝－4,2，又＝＋错误!＝＋1＋错误!－1，所以B＝－∞，－3]∪[1，＋∞．所以A∩B＝－4，－3]∪[1,2．2因为∁R A＝－∞，－4]∪[2，＋∞．由错误!＋4≤0，知a≠0①当a>0时，由错误!＋4≤0，得C＝错误!，不满足C⊆∁R A；②当a2c0故当≥0时，有＋c2－f＝2c－b＋cc－1≥0即当≥0时，f≤＋c22解：由1知，c≥|b|当c>|b|时，有M≥错误!＝错误!＝错误!令t＝错误!，则－1|b|时，M的取值集合为错误!当c＝|b|时，由1知，b＝±2，c＝c－fb＝－8或0，c2－b2＝0，从而fc－fb≤错误!c2－b2恒成立．综上所述，M的最小值为错误!13．202X·湖南某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为2＋错误!万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元．1试写出关于的函数关系式；2用m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使最小解：1设需新建n个桥墩，则n＋1＝m，即n＝错误!－1，所以＝f＝256n＋n＋12＋错误!＝256错误!＋错误!2＋错误!＝错误!＋m错误!＋2m－2562由1知，f′＝－错误!＋错误!m－错误!＝错误!－512．令f′＝0，得＝512，所以＝6400，f在区间64,640内为增函数．所以f在＝64处取得最小值．此时n＝错误!－1＝错误!－1＝9故需新建9个桥墩才能使最小。

－8n)＜0得f(m2－6m＋21)＜－f(n2－8n）＝f（－n2＋8n）．又f（x)是定义在R上的增函数,于是有m2－6m＋21＜－n2＋8n,即(m－3）2＋(n－4）2＜4。

在坐标平面mOn内该不等式表示的是以点（3，4)为圆心、2为半径的圆内的点,m2＋n2可视为该平面区域内的点（m，n）与原点间的距离的平方,结合图形可知m2＋n2的取值范围是（9，49)，选A.答案：A二、填空题7．已知关于x的不等式x2－ax＋2a〉0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__________．解析：由题意，得△＝（－a）2－8a〈0，解得a∈（0，8)．答案：(0，8)8．已知a、b、c都是正实数，且满足log9（9a＋b)＝log3错误!，则使4a＋b≥c恒成立的c的取值范围是__________．(用区间表示)解析：∵a、b都是正实数，log9(9a＋b）＝log3错误!，∴log9（9a＋b）＝log9（ab）,9a＋b＝ab，错误!＋错误!＝1。

∴4a＋b＝（4a＋b）错误!＝13＋错误!＋错误!≥13＋2错误!＝25，即4a ＋b≥25。

当且仅当错误!＝错误!，即b＝6a时取等号．此时，由错误!解得错误!又∵c＞0，∴要使4a＋b≥c恒成立,只需0＜c≤25。

答案：（0,25］9．设a，b为正实数．现有下列命题:①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若错误!－错误!＝1，则a－b<1；③若｜错误!－错误!｜＝1,则｜a－b｜〈1；④若|a3－b3|＝1，则｜a－b|<1.其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号）解析:①，因为a2－b2＝(a－b）（a＋b)＝1，又由a，b为正实数知a＋b〉a－b,则必须a＋b>1，a－b<1,所以①是真命题；②，由错误!－错误!＝1,取a＝3，b＝错误!,则a－b＝错误!〉1，所以②是假命题；③，错误!万元．。