(完整版)北师版九年级反比例函数知识点及经典例题,推荐文档

新人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO 和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B． C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B． C．D．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B． C．D．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数 C．非正数 D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个 B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数 B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC 面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．① 求B点坐标和k的值；② 当时，求点P的坐标；③ 写出S关于m的函数关系式．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数 B．符号相同 C．绝对值相等 D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．① 求反比例函数和一次函数的解析式；② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．① 求点A、B、D的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。

反比例函数一、知识要点反比例函数 一般形式：)0(≠=k xky 或1-=kx y k 的符号k>0 k<0图象yO xyO x性质①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

2、反比例函数解析式的确定3、反比例函数中反比例系数的几何意义过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P （x,y ）作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别是M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=_______；△POM 或△PON 的面积S=______.二、典型例题例1. 已知y 与x 成反比例关系，x=1时y=2，求该反比例函数解析式。

已知与成反比例，与成正比例，并且当=3时，=5，当=1时，=-1；求与之间的函数关系式.121,y y y y -=x 2y )2(-x x y x y y x例2．如图已知一次函数8+-=xy和反比例函数xky=图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．（1）求实数的取值范围；（2）若ΔAOB的面积S＝24，求k的值．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线xky=与直线)1(+--=kxy在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=23（1）求这两个函数的解析式（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。

例3.反比例函数与一次函数的图象有一个交点是（-2，1），求它们的另一个交点的坐标。

xky=mkxy+=。

反比例函数知识点名师点晴反比例函数概念、图象和性质1.反比例函数概念会判断一个函数是否为反比例函数。

2.反比例函数图象知道反比例函数的图象是双曲线，。

3.反比例函数的性质会分象限利用增减性。

4.一次函数的解析式确定能用待定系数法确定函数解析式。

反比例函数的应用5.反比例函数中比例系数的几何意义会用数形结合思想解决此类问题．能根据图象信息，解决相应的实际问题．能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。

☞2年中考【2015年题组】1．（2015崇左）若反比例函数kyx=的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3 【答案】A．【解析】试题分析：∵反比例函数kyx=的图象经过点（2，﹣6），∴2(6)12k=⨯-=-，解得k=﹣12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．2．（2015苏州）若点A（a，b）在反比例函数2yx=的图象上，则代数式ab﹣4的值为（）A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6 【答案】B．【解析】试题分析：∵点（a，b）反比例函数2yx=上，∴2ba=，即ab=2，∴原式=2﹣4=﹣2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．3．（2015来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x 和y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2015河池）反比例函数1my x =（0x >）的图象与一次函数2y x b =-+的图象交于A ，B 两点，其中A （1，2），当21y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜1或x ＞2 【答案】B ． 【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x 对称易求B （2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x ＜2时，21y y >．故选B ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．5．（2015贺州）已知12k k<<，则函数1kyx=和21y k x=-的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象．6．（2015宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数xy2=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．4个C．5个D．6个【答案】D．【解析】试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入xy2=得23y=-，所以此时P点有1个；②当∠APB=90°，设P（x，2x），2PA=222(3)()xx++，2PB=222(3)()xx-+，2AB =2(33)+=36，因为222PA PB AB+=，所以222222(3)()(3)()x xx x+++-+=36，整理得42940x x-+=，所以2965x+=，或2965x-=，所以此时P点有4个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入xy2=得23y=，所以此时P点有1个；综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2015自贡）若点（1x，1y），（2x，2y），（3x，3y），都是反比例函数xy1-=图象上的点，并且123y y y<<<，则下列各式中正确的是（）A．123x x x<<B．132x x x<<C．213x x x<< D．231x x x<<【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（1x，1y），（2x，2y），（3x，3y）都是反比例函数xy1-=上的点，且123y y y<<<，则（2x，2y），（3x，3y）位于第三象限，y随x的增大而增大，23x x<，（1x，1y）位于第一象限，1x最大，故1x、2x、3x的大小关系是231x x x<<．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2015凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线3yx=经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．9．（2015眉山）如图，A、B是双曲线xky=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D 点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A．34B．38C．3 D．4【答案】B ．考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2015内江）如图，正方形ABCD 位于第一象限，边长为3，点A 在直线y=x 上，点A的横坐标为1，正方形ABCD 的边分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线ky x =与正方形ABCD有公共点，则k 的取值范围为（ ）A ．1＜k ＜9B ．2≤k≤34C ．1≤k≤16D ．4≤k ＜16 【答案】C ． 【解析】试题分析：点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，则把x=1代入y=x 解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C 点的坐标是（4，4），∴当双曲线ky x =经过点（1，1）时，k=1；当双曲线ky x =经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C ．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．11．（2015孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数1yx=的图象上．若点B在反比例函数kyx=的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．12．（2015宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为410m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．13．（2015三明）如图，已知点A 是双曲线2y x =在第一象限的分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，两垂线交于点C ，随着点A 的运动，点C 的位置也随之变化．设点C 的坐标为（m ，n ），则m ，n 满足的关系式为（ ）A ．2n m =-B ．2n m =-C ．4n m =-D ．4n m =-【答案】B ． 【解析】试题分析：∵点C 的坐标为（m ，n ），∴点A 的纵坐标是n ，横坐标是：2n ，∴点A 的坐标为（2n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：2m，∴点B的坐标为（m，2m），又∵22n mmn=，∴22mnm n=⋅，∴224m n=，又∵m＜0，n＞0，∴2mn=-，∴2nm=-，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．14．（2015株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数12 yx =图象上的概率是（）A．12B．13C．14D．16【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．15．（2015乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，3 4OA OB =．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kyx=的图象过点C ．当以CD 为边的正方形的面积为27时，k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．7 【答案】D ．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数3y x的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．2【答案】D ． 【解析】试题分析：过点A 作x 轴的垂线，与CB 的延长线交于点E ，∵A ，B 两点在反比例函数3y x=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A ，B 横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S 菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D ．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2015临沂）在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与反比例函数1y x =的图象有唯一公共点，若直线y x b =-+与反比例函数1y x =的图象有2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＞2B ．﹣2＜b ＜2C ．b ＞2或b ＜﹣2D ．b ＜﹣2 【答案】C ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2015滨州）如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数1yx=-、2yx=的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．19．（2015扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（﹣1，﹣3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2015泰州）点（a ﹣1，1y ）、（a+1，2y）在反比例函数()0>=k x ky 的图象上，若21y y <，则a 的范围是 ． 【答案】﹣1＜a ＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．21．（2015南宁）如图，点A 在双曲线23y x =（0x >）上，点B 在双曲线ky x =（0x >）上（点B 在点A 的右侧），且AB ∥x 轴．若四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63 【解析】试题分析：因为点A 在双曲线23y =0x >）上，设A 点坐标为（a 23，因为四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a ，可得B 点坐标为（3a 23），可得：k=233a 63，故答案为：63考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2015桂林）如图，以▱ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A 、C 的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A 的反比例函数ky x =的图象交BC 于D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是 ．【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k 的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2015贵港）如图，已知点A1，A2，…，An 均在直线1y x =-上，点B1，B2，…，Bn 均在双曲线1y x =-上，并且满足：A1B1⊥x 轴，B1A2⊥y 轴，A2B2⊥x 轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn ⊥x 轴，BnAn+1⊥y 轴，…，记点An 的横坐标为an （n 为正整数）．若11a =-，则a2015= ．【答案】2．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2015南京）如图，过原点O 的直线与反比例函数1y ，2y 的图象在第一象限内分别交于点A ，B ，且A 为OB 的中点，若函数11y x =，则2y 与x 的函数表达式是 ．【答案】24y x =．【解析】试题分析：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，∵点A 在反比例函数11y x =上，∴设A （a ，1a ），∴OC=a ，AC=1a ，∵AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，∴AC ∥BD ，∴△OAC ∽△OBD ，∴AC OC OA BD OD OB ==，∵A 为OB 的中点，∴12AC OC OA BD OD OB ===，∴BD=2AC=2a ，OD=2OC=2a ，∴B （2a ，2a ），设2k y x =，∴k=224a a ⋅=，∴2y 与x 的函数表达式是：24y x =．故答案为：24y x =．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．25．（2015攀枝花）如图，若双曲线ky x =（0k >）与边长为3的等边△AOB （O 为坐标原点）的边OA 、AB 分别交于C 、D 两点，且OC=2BD ，则k 的值为 ．36325．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．26．（2015荆门）如图，点1A ，2A 依次在93(0)y x x ＞的图象上，点1B ，2B 依次在x 轴的正半轴上，若11A OB △，212A B B △均为等边三角形，则点2B 的坐标为 ．【答案】（62，0）．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2015南平）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC是△OAB 的中线，点B ，C 在反比例函数3y x =（0x >）的图象上，则△OAB 的面积等于 ．【答案】92．考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．综合题． 28．（2015烟台）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数ky x（x ＞0）的图象过对角线的交点P 并且与AB ，BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则△ODE 的面积为 ．【答案】154．考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2015玉林防城港）已知：一次函数210y x =-+的图象与反比例函数ky x =（0k >）的图象相交于A ，B 两点（A 在B 的右侧）．（1）当A （4，2）时，求反比例函数的解析式及B 点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当A （a ，﹣2a+10），B （b ，﹣2b+10）时，直线OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点C ，连接BC 交y 轴于点D ．若52BC BD =，求△ABC 的面积．【答案】（1）8y x =，B （1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，12-）；（3）10．【解析】试题分析：（1）把点A 的坐标代入ky x =，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B 的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A 作AH ⊥OE 于H ，设AP 与x 轴的交点为M ，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E （5，0），OE=5．∵A （4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH ⊥OE ，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM ，∴△AHM ∽△EHA ，∴AH MH EH AH =，∴212MH=，∴MH=4，∴M （0，0），可设直线AP 的解析式为y mx =，则有42m =，解得m=12，∴直线AP 的解析式为12y x=，解方程组128y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得：42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP=90°，同理可得：点P 的坐标为（﹣16，12-）．综上所述：符合条件的点P 的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，12-）；（3）过点B 作BS ⊥y 轴于S ，过点C 作CT ⊥y 轴于T ，连接OB ，如图2，则有BS ∥CT ，∴△CTD∽△BSD，∴CD CTBD BS=．∵52BCBD=，∴32CT CDBS BD==．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2014年题组】1. （2014年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线4yx=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵点A 、B 是双曲线4y x =上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，∴根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∵S 阴影=1，∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．故选D ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．2. （2014年吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 均在函数ky x =（k ＞0，x ＞0）的图象上，⊙A 与x 轴相切，⊙B 与y 轴相切．若点B 的坐标为（1，6），⊙A 的半径是⊙B 的半径的2倍，则点A 的坐标为（ ）A. （2，2）B. （2，3）C. （3，2）D. 34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】C ．考点：1.切线的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系．3. （2014年江苏连云港）如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （2，5），C （6，1）.若函数ky x =在第一象限内的图像与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 2≤k ≤449B. 6≤k ≤10C. 2≤k ≤6D. 2≤k ≤225【答案】A ． ．考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法的应用；23.曲线上点的坐标与方程的关系；一元二次方程根的判别式．4. （2014年江苏盐城）如图，反比例函数ky x =（x ＜0）的图象经过点A （﹣1，1），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t 的值是（ ）A.152+B.32C.43 D. 152-+【答案】A ． 【解析】考点：1.反比例函数的综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.等腰直角三角形的性质；4.轴对称的性质；5.方程思想的应用．5. （2014年重庆市B 卷）如图，正方形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y (k 0)x =≠在第一象限的图象经过顶点A （m ，2）和CD 边上的点E （n ，23），过点E 的直线l 交x 轴于点F ，交y 轴于点G （0，－2），则点F 的坐标是（ ）A 、5(,0)4B 、7(,0)4C 、9(,0)4D 、11(,0)4【答案】C ．【解析】试题分析：∵A（m，2），∴正方形ABCD的边长为2.∵E（n，23），∴n m2=+.∵反比例函数ky(k0)x=≠在第一象限的图象经过A，E，∴k2k2m22mm m12k3m23m2⎧=⇒=⎪⎪−−−−→=⇒=⎨+⎪=⎪+⎩把①代入②①②.∴n m23=+=，即点E的坐标为（3，23）.设直线EG的解析式为y ax b=+，∵G（0，－2），∴283a b a39b2b2⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩.∴直线EG的解析式为8y x29=-.令y=0得89x20x94-=⇒=.∴点F的坐标是9,04⎛⎫⎪⎝⎭.故选C．考点：1.反比例函数和一次函数交点问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.正方形的性质．6. （2014年广西北海）如图，反比例函数kyx=（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k 的值为【答案】20．考点：1.反比例函数系数k 的几何意义；2.相似三角形的判定和性质． 7. （2014年广西崇左）如图，A （4，0），B （3，3），以AO ，AB 为边作平行四边形OABC ，则经过C 点的反比例函数的解析式为 ．【答案】3y x =-．考点：1.平行四边形的性质；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系．8. （2014年广西玉林、防城港）如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线1k y x =和2ky x =的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论：①12k AM CN k =；②阴影部分面积是()121k k 2+；③当∠AOC=90°时12k k；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．9. （2014年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线2yx=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线kyx=（k＜0）上运动，则k的值是．【答案】﹣6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．10. （2014年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数kyx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=﹣2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．☞考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳： 一般地，函数（k 是常数，k0）叫做反比例函数。

专题20反比例函数（3个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）知识点3.根据实际问题列反比例函数的表达式（重点）【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值题型2.反比例关系的应用题型3.反比例函数关系的判断及应用题型4.应用几何图形中的数量关系建立反比例函数关系【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。

2.能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。

【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于零的常数.一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.注意：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式kx无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.【例1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y 是x 的反比例函数的是（）A ．xy ＝1B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝【答案】A【解答】解：A 、由原式得到y ＝，符合反比例函数的定义．故本选项正确；B 、该函数式表示y 与x 2成反比例关系，故本选项错误；C 、该函数式表示y 与x 成正比例关系，故本选项错误；D 、该函数不属于反比例函数，故本选项错误；故选：A ．【变式】（2022秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（）A ．y ＝3x﹣1B ．y ＝﹣C ．xy ＝5D ．y ＝【答案】B【解答】解：A 、y ＝3x ﹣1＝是反比例函数，故本选项错误；B 、y ＝﹣是正比例函数，故本选项正确；C 、xy ＝5是反比例函数，故本选项错误；D 、y ＝是反比例函数，故本选项错误．故选：B ．知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）待定系数法求反比例函数解析式一般步骤：【例2】（2022秋·九年级单元测试）已知y ＝y 1－y 2，y 1与x 成反比例，y ＝5；当x ＝1时，y ＝－1；求当x ＝－1时，y 的值．【答案】3-【分析】设出解析式，利用待定系数法求得解析式，代入x 【详解】设1ay x=，()22y b x =-，（a 、b 不等于0）∵12y y y =-，a【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值一、单选题解得62 km=⎧⎨=⎩，故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2.（2022秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（）A．4B．﹣4C．4或﹣4D．0【答案】A【解答】解：由题意得，|m|﹣5＝﹣1，且m+4≠0，解得：m＝4．故选：A．3.（2022秋•惠来县期末）函数y＝x k﹣1是反比例函数，则k＝（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解答】解：由题意得：k﹣1＝﹣1，解得：k＝0，故选：D．k6,104【答案】()【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键．题型3.反比例函数关系的判断及应用48【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念1．（2023•临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（）A．反比例函数关系B．正比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系【分析】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．【解答】解：根据题意得：Vt＝105，∴V＝，V与t满足反比例函数关系；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．2．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y＝，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a＝±2【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0解答即可．【解答】解：根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0，由题意可得：|a|﹣2≠0，解得：a≠±2，故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数，关键是根据反比例函数关系式中k的取值范围解答．【方法四】成果评定法一、单选题A．①②B．【答案】B【分析】分别求出三个问题中变量【详解】解：①∵正方形的周长为二、填空题【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B ，取值范围．【详解】解：∵矩形ABCD ∴()1,1B ,()3,4D ,三、解答题。

反比例函数专题复习(一)反比例函数的意义(2k 1)x 2 1、若反比例函数y（A ）3 2 1 的图象位于第二、四象限，则 的值是 （ ）kk k 0 （B ） 0或1（C ） 0或2 （D ）42 2、当 n 为何值时，y ＝（n 2＋3n ）11是反比例函数，它的图象位于哪几象限内？并说明函数的增nx n 减性。

（二）有关反比例函数的交点问题ky kx 的图象交点是（－2，5）是，则它们的另一个交点是1、已知函数y 与 1 2 x A ． （2，5）B ． （5，－2）C ． （－2，－5）D ．（2，5）kk x y 2、在同一直角坐标平面内，如果直线y 与双曲线没有交点，那么k 和k 的关系一定是 2 1 x1 2 （ ）Ak <0，k >0Bk >0，k <0Ck 、k 同号 Dk 、k 异号1214 ax21212ax 和y 3、已知函数y 交点坐标是的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的；k2x 4.正比例函数y 与双曲线y 的一个交点坐标为 A （2，m ）。

x （1）求出点 A 的坐标； （2）求反比例函数关系式；（3）求这两个函数图象的另一个交点坐标（三）反比例函数的解析式：3kx y m m 1、已知正比例函数y 与反比例函数 的图象都过A （ ，1），则 ＝，xm 5 x 2 x m 2、y2 7 是y 关于 的反比例函数，且图象在第二、四象限，则 的值为 m m 2y 3、已知点 A(―2，a )在函数 的图像上，则a =（ ）x A.―1 B.1 C.―2 D. 2 y yyx yx 2， 与 成反比例， 与 成正比例，且 ＝1 时， ＝－1； ＝3 时，xy x y4、已知y1212＝5，求x ＝5时y 的值。

2 5、已知反比例函数 y ＝ 的图象经过点（－2，－8），反比例函数 y ＝ 的图象在第二、四象限内，m mx x求m 的值。

反比率函数知识点及考点：〔一〕反比率函数的看法：知识要点：1、一般地，形如y = ( k 是常数 , k = 0 )的函数叫做反比率函数。

注意：〔 1〕常数k 称为比率系数，k 是非零常数；〔 2〕解析式有三种常有的表达形式：〔 A 〕 y = 〔 k ≠ 0〕，〔B〕xy = k〔k≠ 0〕〔C〕y=kx-1〔k≠ 0〕例题讲解：有关反比率函数的解析式〔 1〕以下函数，①② .③ ④.⑤⑥；其中是y关于x的反比率函数的有：_________________。

〔 2〕以下函数表达式中，y 是关于 x 的反比率函数的有〔〕① y= ；②y= ；③y=；④y=；⑤y=；⑥y=；⑦y= ；⑧ -2xy=1A．2个B．3个C．4 个D．5 个〔 3〕关于函数y=，以下说法正确的选项是〔〕A ． y 是 x 的反比率函数B． y 是 x 的正比率函数C． y 是 x-2 的反比率函数D．以上都不对〔 4〕函数是反比率函数，那么的值是〔〕A．－ 1B．－ 2C．2D．2或－2〔 5〕若是是的反比率函数，是的反比率函数，那么是的〔〕A ．反比率函数B ．正比率函数C．一次函数 D ．反比率或正比率函数〔 6〕假设函数 (m 是常数 )是反比率函数，那么m＝________，解析式为 ________．〔 7〕〔 2021 安顺〕假设y=(a+1) 是反比率函数，那么 a 的值是，该反比率函数为( 二 )反比率函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、地址：〔 1〕当 k>0 时 ,双曲线分别位于第________象限内；〔 2〕当 k<0 时 , 双曲线分别位于第________象限内。

例题讲解：〔 1〕〔 2021 邵阳〕以下四个点中，在反比率函数y= 的图象上的是〔〕A ．〔 3， -2〕B ．〔3， 2〕C．〔 2， 3〕 D ．〔-2， -3〕〔 2〕反比率函数y=的图象经过点〔﹣2， 3〕，那么该图象经过象限〔 3〕函数是反比率函数，且图像在第二、四象限内，那么的值是〔〕A．2B．C．D．〔 4〕反比率函数y=在第一象限的图象以以下图，那么k 的值可能是〔〕1 / 6例 4A ．1B ．2C ．3D ．4〔 5〕写出一个反比率函数，使它的图象经过第二、四象限．〔 6〕假设反比率函数的图象在第二、四象限，那么的值是〔〕A 、 －1或1;B 、小于的任意实数; C、－ 1;Ｄ、不能够确定3、增减性：〔1〕当k>0 时 ,_________________,y 随 x 的增大而 ________；〔 2〕当k<0时 ,_________________,y 随 x的增大而 ______。