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2022-2023学年度第一学期9月考试九年级数学试卷一.选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)．1.下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相垂直 B．矩形的邻边相等C．正方形的对角线互相垂直平分 D．菱形的对角线相等2.下列方程是一元二次方程的是( )A. B.C. D.3．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（）A．四边形ABCD是梯形B．四边形ABCD是菱形C．对角线AC＝BD D．AD＝BC第3题第4题第6题4.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8 B．9 C．10 D．125．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（）A．（x﹣3）2＝14B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝14D．（x+3）2＝4 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（）A．2B．3C．4D．27．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°8．若关于x 的方程()222470m m x x −−+−=是一元二次方程，则m 的值为( ) A ．2m ≠ B ．2m =± C ．2m =− D ．2m = 9．如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD ．若四边形BEDF 是菱形，且EF ＝AE +FC ，则边BC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．6D ． 第7题 第9题 第10题10．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，∠BCE ＝∠ACB ，CE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥CE ，垂足为F ，交AC 于点G ．现给出下列结论：①BC ＝CG ；②△ABG ≌△BCE ；③BF ＝CE ；④若BC ＝2，则S △BCG ＝．其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 二．填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)．11．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝6，BD ＝8，则菱形ABCD 的面积为 ．12．若关于x 的二次方程（m +1）x 2+5x +m 2﹣3m ＝4的常数项为0，则m 的值为 ．13．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于O ，DE ⊥BC 于E ，连接OE ，若∠ABC ＝140°，则∠OED ＝ ．第11题 第13题 第15题14．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a *b ＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x +6＝0的两个根，则x 1*x 2＝ ．15．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．16．用指定方法解下列方程：(1)x2－4x＋2＝0(配方法)；(2)x2＋3x＋2＝0(公式法)．17.用适当的方法解下列一元二次方程：；18.如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．（1）求证：四边形AECF是正方形；（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．20.先化简，再求值：+÷（x+2y+），其中x、y满足x2+2x+10+y2﹣6y＝0．21．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．23．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数．9月考试九年级数学答案1-----5 CBDCA 6-----10 CCCBD11. 24 12. 4 13. 200 14. 3或-3 15. 4.816.解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2 解：x1＝－1，x2＝－217.解：2）=0=1，=-218.解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵BE＝DF，∴BE+OB＝DF+DO，∴FO＝EO，∴EF与AC垂直且互相平分，∴四边形AECF是菱形，∴∠AEF＝∠CEF，又∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝90°，∴菱形AECF是正方形；（2）∵BD＝4，BE＝3，∴FD＝3，∴EF＝10，∴AC＝10，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×10×4＝20．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE OB，DF OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．20.解：原式＝+×，＝+×，＝+，＝，化简x2+2x+10+y2﹣6y＝0得，（x+1）2+（y﹣3）2＝0，∵（x+1）2、（y﹣3）2均大于或等于0，∴（x+1）2、（y﹣3）2均等于0，解得：x＝﹣1，y＝3，代入得：原式＝﹣．21、解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．22、（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°；（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．23、（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．119月考试九年级数学试题第页，共4页129第页，共4页。

茂名市一中第三次半月考数学（理科）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个答案中，只有一个答案是正确的，请把答案写在答题卷的表格中。

1、已知复数Z 的实部为-1，虚部为2，则5iz的值是（ ） A 、2-i B 、2+I C 、-2-i D 、-2+i2．设集合{|2011},{|01}M x x N x x =<=<<，则下列关系中正确的是（ ）A ．M N R =B ．{|01}MN x x =<<C ．N M ∈D ．M N φ=3．n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“数列{}n a 为常数列”是 “数列{}n S 为等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，若输入x =0.1，则输出m 的值是（ ）A ．0B ．0.1C ．1D ．-15．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种6．如图：4321,,,l l l l 是同一平面内的四条平行直线，且每相领的两条平行直线间的距离都是h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上， 且正方形的边长为5，则h =（ ）。

A.45 B.25C.5D.107．直线y =与椭圆C ：2222x y a b+ =1(a>b>0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( ) ．A ．2B ．12C 1D ．8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.aab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．计算1213x dx -ò= ．10．在2一4的展开式中，x 的系数等于 ．(用数字作答)11.某型号冰淇淋上半部分是半球，下关部分是圆锥，其正视图如图所示， 则该型号冰淇淋的体积等于 。

茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设z ＝1+2i ，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．＝（）A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,3,3===b a A π，则c 等于（）A ．2B ．C ．D ．4．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图OA ′B ′C ′的面积为2，则原梯形的面积为（）A ．2B ．22C ．24D ．45.为了得到函数ππsin 3cos cos3sin 33y x x =+的图象，可以将函数sin 3y x =图象()A.向左平移π个单位B.向左平移π9个单位C.向右平移π个单位D.向右平移π9个单位6.在空间中，下列命题正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行7.在ABC 中，已知2cos c a B =⋅，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形8.已知中，，，点D 是AC 的中点，M 是边BC 上一点，的最小值是()A. B. C. D.二､多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

）9.复数i z 2321+=，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的实部是21 B.z 的共轭复数为3122i +C.z 的实部与虚部之和为2 D.z 在复平面内的对应点位于第一象限10.已知平面向量()1,0a =，(1,b = ，则下列说法正确的是（）A.||16a b +=B.()2a b a +⋅= C.33,cos >=<→→b a D.向量+a b在a 上的投影向量为2a11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有（）A ．若sin A ＞sinB ，则A ＞BB ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形C ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，则△ABC 为直角三角形D ．若△ABC 为锐角三角形，则sin A ＜cos B 12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点O ，点E 是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（）A.直三棱柱的体积是1B.直三棱柱的外接球表面积是C.三棱锥的体积与点E 的位置有关D.的最小值为三、填空题(每小题5分，共20分)13．设复数z 满足其中i 是虚数单位，则__________.14．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为．15．非零向量→a ＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），若→a 与共线，则tan （θ﹣4π）＝．16南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即])2([41222222b a c a c S -+-=（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在斜△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若)cos 3(cos C B c a +=，且B C a sin 3sin =．则此△ABC 面积的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分)17．（10分）已知向量→a ＝（1，1），→b ＝（2，﹣3）．（1）若→c ＝2→a +3→b ，求→c 的坐标；（2）若→a λ﹣2→b 与→a 垂直，求λ的值．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bc a c b -=-22）（．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，sinC ＝2sinB ，求△ABC 的面积．19．（12分）（1）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的体积；（2）如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积．20（12分）已知函数x x x x f 4cos 212sin )1cos 2()(2+-=．（1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈（0，π），且22)84(=-παf ，求α的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，E 是线段PD 上的点，且，PA ＝PD ＝AD ＝3，32CE =，BC ∥AD ，∠ADC ＝45°．（1）求证：CE ∥平面PAB ；（2）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN ∥平面PAB ？若存在，求出MN 的最小值；若不存在，说明理由．22.（12分）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C.现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC =且2COA AOM ∠=∠的三角形观赏台AOC ，记)46(ππ<≤=∠x x AOM .（1）当π6AOM ∠=时,过点M 作OA 的垂线，交OA 于点E ，过点N 作OA 的垂线，交OA 于点F,求ME ,OF 及矩形观赏台MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案1【答案】D ．解：∵z ＝1+2i ，∴z 的共轭复数＝1﹣2i ，对应的点为（1，﹣2），故在第四象限，2【答案】D解：根据向量的线性运算法则，可得．3【答案】A解：，则由余弦定理可得，3＝1+c 2﹣2c ×1×cos＝1+c 2﹣c ，∴c 2﹣c ﹣2＝0，解得c ＝2或﹣1（舍）．4【答案】C解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，则直观图中等腰梯形的高为h ′＝h sin45°；∵等腰梯形的体积为（a +b ）h ′＝（a +b ）•h sin45°＝2，∴（a +b ）•h ＝＝4∴该梯形的面积为4．5【答案】B【详解】依题意，ππππsin 3coscos3sin sin(3)sin 3(3339y x x x x =+=+=+，所以函数sin 3y x =图象向左平移π9个单位可得πsin 3()9y x =+的图象.6【答案】C解：对于A ，不共线的三点确定一个平面，故A 错误；对于B ，l ∥α，则l 与平面α内的直线平行或异面，故B 错误；对于C ，由平面基本性质及其推论得：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故C 正确；对于D ，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故D 错误．7【答案】B解：已知2c a cosB ＝，则：2sinC sinAcosB ＝，整理得：()2sin A B sinAcosB +＝，则：()0sin A B -＝，所以：A B ＝.8.【答案】B解：根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，，是边BC上一点，设，则，，，当时，取得最小值，9【答案】ACD解:由题得A 正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.10【答案】BD解：((11,02,2a b +=++= ，所以4a b +==，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；1313,cos =⋅>=<→→→→→→ba b a b a ，向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．11【答案】AC【解答】解：对于A ，若sin A ＞sin B 成立，由正弦定理可得a ＞b ，所以A ＞B ，故正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，得到2A ＝2B 或2A +2B ＝π，可得A ＝B 或A +B ＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；对C ，若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，可得若（1﹣sin 2A ）+（1﹣sin 2B ）﹣（1﹣sin 2C ）＝1，整理得：sin 2A +sin 2B ＝sin 2C ，可得a 2+b 2＝c 2．可得△ABC 为直角三角形，故正确；对于D ，若△ABC 是锐角三角形，则A +B +C ＝π，A +B ＞，A ＞﹣B ，A 、B 、C 均是锐角，由正弦函数在（0，）递增，所以：sin A ＞sin （﹣B ）＝cos B ，故错误．12【答案】AD解：在直三棱柱中，，，所以其体积V=Sh=121121=⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得，其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，所以其外接球半径为，所以其外接球的表面积为，故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点，，三棱锥的高h 为定值，，，故三棱锥的体积为定值，故C 错误；将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，此时，连接与相交于点E ，此时最小，即，故D 正确．13【答案】解：，故14【答案】解：如图，圆锥的母线，圆锥的侧面展开图为扇形，故侧面积为，．15【答案】【解答】解：∵向量＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），且与共线，∴＝2，即tan θ＝2，则tan（θ﹣）＝＝＝．16【答案】解：∵，∴sin A＝sin C（cos B+cos C），即sin C cos B+sin C cos C＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，即sin C cos C＝sin B cos C，又C∈（0，π）且C≠，∴sin B＝sin C，∴b＝c，又．∴ac＝b，解得a＝3，＝＝＝，当c＝3时，S max＝．17解：（1）∵＝（1，1），＝（2，﹣3），∴＝2+3＝2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）； 4分（2）λ﹣2＝λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6）， 6分∵λ﹣2与垂直，∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0， 9分即λ＝﹣1． 10分18解：（1）因为（b﹣c）2＝a2﹣bc，可得b2+c2﹣a2＝bc， 2分所以cos A＝＝， 3分又A∈（0，π），所以A＝． 5分（2）因为sin C＝2sin B，由正弦定理可得c＝2b， 6分又a＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得4＝b2+c2﹣bc， 8分解得b＝，c＝， 10分所以S△ABC＝bc sin A＝××＝ 12分19【解答】解：（1）正四棱锥的底面边长是a＝6，侧棱长为l＝5，所以正四棱锥的高为h＝＝， 2分所以正四棱锥的体积为V＝Sh＝×62×＝12； 5分（2）图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体，是圆台挖去一个半球，圆台的体积为V圆台＝π（r2+rr′+r′2）h＝×（22+2×5+52）×4＝52π， 8分半球的体积为V半球＝πr3＝×23＝， 10分所以该几何体的体积为V＝V圆台﹣V半球＝52π﹣＝3140（cm3）． 12分20【答案】（1）；；（2）．【解答】解：（1）∵f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+cos4x＝cos2x sin2x+cos4x 1分＝（sin4x+cos4x）＝sin（4x+）， 3分∴f（x）的最小正周期T＝， 4分令，可得，∴f（x）的单调递减区间为； 6分（2）∵f（）＝，∴， 8分∵α∈（0，π），，∴， 10分∴ 12分21【解答】（1）证明：如图1，在PA上取点F使，连接EF，BF，如图示：∵，∴EF∥AD且， 1分又BC∥AD，且， 2分∴EF∥AD，EF＝AD，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF， 3分而CE⊄平面PAB， 4分BF⊂平面PAB，则CE∥平面PAB． 5分（2）解：线段AD上存在点N且，使得MN∥平面PAB；理由如下：如图2，在AD上取点N使，连接CN，EN，如图示：∵，，∴EN∥PA， 6分∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN∥平面PAB； 7分由（1）知CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E，∴平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，∴MN∥平面PAB， 8分∴线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB．∵BC∥AN，BC＝AN，∴ND＝2， 9分在△CND中，∠ADC＝45°，，由余弦定理知CN＝2． 10分在△CEN中，CN＝NE＝2，，∴由余弦定理知∠CNE＝120°，∴MN 的最小值为， 11分∴线段AD 上存在点N ，使MN ∥平面PAB ，且MN 的最小值为1． 12分22.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=. 2分πcos 2062OE OM =⋅=⨯=. 3分过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10MN OE OF =-=-. 4分因为5NP =.矩形MNPQ 的面积())510501S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)501平方米. 5分（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OM MON MNO =∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-. 6分矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.7分观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x=+=-+. 8分设πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，46(ππ<≤x ，∴.2130-≤<t 9分()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-. 10分∴()100cos sin 200sin 2S x x x =-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当]213,0(41-∈=t 时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方 11分∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米. 12分。

茂名市第一中学2023—2024学年度第一学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分 总分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M ＝{x |﹣1≤x ＜5}，N ＝{x ||x |≤2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ≤2}B ．{x |﹣2≤x ≤2}C ．{x |﹣1≤x ＜5}D ．{x |﹣2≤x ＜5}2. “a b >”是“22a b >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．不等式1213≥−−xx 的解集是（ ） A ．{x |43≤x ≤2} B ．{x |43≤x ＜2} C ．{x |x ＞2或x ≤43} D ．{x |x ≥43}4．使不等式)3(12x −+x ）（≥0成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．x ≥0B ．x ＜0或x ＞2C ．x ∈{﹣1，3，5}D ．321≥−≤x x 或A ．{a |a ≤-1}B ．{a |-1<a <3}C ．{a |-1≤a ≤3}D ．{a |-3<a <1}6．已知a ，b ，c ∈R ，则下列结论不．正确的是（ ） A ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞abC ．若c ＞a ＞b ＞0，则aacc−aa ＜bbcc−bbD ．若a ＞b ＞1，则aa −11bb＞bb −11aa7.集合M ＝{x |x ＝5k ﹣2，k ∈Z}，P ＝{x |x ＝5n +3，n ∈Z}，S ＝{x |x ＝10m +3，m ∈Z}之间的关系是（ ） A ．S ⫋ P ＝MB ．S ＝P ⫋ MC ．M ⫋ S ⫋ PD ．P ＝M ⫋ S8. 关于x 的不等式()210x a x a −++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A. {a |-2≤a < -1或3<a ≤4}B. {a |-2≤a ≤ -1或3≤a ≤4}C. {a |-1<a < 0或2<a <3}D. {a |-1≤a ≤0 或2≤a ≤3}二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题2000:,220p x x x ∃∈++<R ，则命题p 的否定是2,220∀∈++≥R x x xB. “x y >”是“x y >”的必要条件C. 命题“2,0x x ∀∈>Z ”是真命题D. “0m <”是“关于x 的方程220x x m −+=有一正一负根”的充要条件A ．0a b +=B ．0a b c ++>C ．0c >D ．0b <11. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A.114ab ≥ B. 111a b +≥ C.2≥ D. 228a b +≥12．已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x −++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（ ）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∃x ≥1，不等式x 2≥1”的否定是 _____．14. 已知集合{}{}24,2,4,A m B m =−=，且A B =，则m 的值为_________.15.已知实数x ，y 满足41x y −≤−≤−，145x y −≤−≤，则z = 9x-y 的取值范围是______. 16..______21,1222的最小值为则满足、、已知正数xyzzz y x z y x +=++三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题10分)设全集U={11,22,33,44,55,66}，集合A={11,33,44}，B={11,44,55,66}. （1）求A B ∩及A B ∪； （2）求()B A C U ∩.18．(本题12分)（1）已知0＜x ＜1，求)33(x x y −=的最大值； （2）设a ，b 均为正数，且a +b ＝1，求11+aa aa+22bb的最小值．19．(本题12分) （1）已知集合<++=3115x x xA ,{}0)12(22<+++−=m m x m x x B ，若B ⊆A, 求实数m 的取值范围． （2）已知集合C ＝{x |﹣2≤x ≤5}，D ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，若C ∩D ≠∅，求实数m 的取值范围．20．(本题12分)某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的21．(本题12分)（1）求二次函数y＝2x2﹣3x+5在﹣2≤x≤2上的最大值和最小值，并求对应的x的值．（2）已知函数y＝x2+2ax+1在﹣1≤x≤2上的最大值为4，求a的值．22.(本题12分)已知函数yy=aaxx22−(aa+22)xx+22，aa∈RR.(11)yy<33−22xx恒成立，求实数aa的取值范围；(22)当aa>00时，求不等式yy≥00的解集；(33)若存在m>0使关于x的方程aaxx22−(aa+22)|xx|+22=mm+11mm+11有四个不同的实根，求实数aa的取值范围.茂名市第一中学2023—2024学年度第一学期期中考试高一数学试卷参考答案及评分标准1.【答案】D【解析】根据题意，集合M ＝{x |﹣1≤x ＜5}，N ＝{x ||x |≤2}，由|x |≤2可得，﹣2≤x ≤2，则N ＝{x |﹣2≤x ≤2}，则M ∪N ＝{x |﹣2≤x ＜5}， 2【答案】D【解析】若1a =，2b =−，则满足a b >，不满足22a b >； 由22a b >可得()()0a b a b +−>，不能推出a b >， 所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件. 3【答案】B【解答】解：不等式，移项得：，即 ≤0，解得：≤x ＜2，则原不等式的解集为：≤x ＜2 4【答案】C【解答】解：不等式（2x +1）（x ﹣3）≥0对应方程的两个实数解是﹣和3， 所以不等式的解集为{x |x ≤﹣或x ≥3}，所以使不等式（2x +1）（x ﹣3）≥0成立的一个充分不必要条件是不等式解集的真子集． 5【答案】B【详解】因为命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +−+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +−+>恒成立，所以21Δ(1)4202a −−××<，解得13a −<<， 故实数a 的取值范围是(1,3)−．故选B ．6【答案】C【解析】对于A ：因为ac 2＞bc 2，所以c 2＞0，所以a ＞b ，故A 正确；对于B ：因为a ＜b ＜0，所以﹣a ＞﹣b ＞0，两边同乘以﹣a 得a 2＞ab ，故B 正确； 对于C ：因为c ＞a ＞b ＞0，所以0＜c ﹣a ＜c ﹣b ，所以1cc−aa ＞1cc−bb＞0，又a ＞b ＞0，两式相乘得aacc−aa＞bbcc−bb，故C 错误；对于D ：(aa −1bb)−(bb −1aa )=(aa −bb )−(1bb−1aa)=(aa −bb )−(aa−bb aabb )=(aa −bb )(aabb−1aabb )， 因为a ＞b ＞1，所以ab ＞1，所以(aa −bb )(aabb−1aabb )＞0，所以aa −1bb ＞bb −1aa ，故D 正确．7【答案】A【解答】解：∵集合M ＝{x |x ＝5k ﹣2＝5（k ﹣1）+3，k ∈Z }，P ＝{x |x ＝5n +3，n ∈Z }， ∴M ＝P ，S ＝{x |x ＝10m +3，m ∈Z }＝S ＝{x |x ＝5×2m +3，m ∈Z }⫋P ＝{x |x ＝5n +3，n ∈Z }， ∴S ⫋P ＝M ， 8【答案】A【详解】由()210x a x a −++<可得()()10x x a −−<；若1a =，则不等式解集为空集；若1a >，则不等式解集为{|1}x x a <<，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则34a <≤；若1a <，则不等式的解集为{|1}x a x <<，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为1,0−；所以21a −≤<−； 综上34a <≤或21a −≤<−， 9【答案】AD【解析】命题p 的否定是2,220∀∈++≥R x x x ，故A 正确；x y >不能推出x y >，例如21−>，但21−<；x y >也不能推出x y >，例如23>−，而23<−；所以“x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故B 错误； 当0x =时，20x =，故C 错误；的关于x 的方程220x x m −+=有一正一负根44000m m m −> ⇔⇔<< ， 所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m −+=有一正一负根”的充要条件，故D 正确. 10.【答案】ABC解：因为不等式20ax bx c ++≥的解集是{}12x x −≤≤，所以0a <，且121020b a c a −=−+=>=−< ，所以0,,0,b b a c >=− > 所以0a b +=，0c >，0b >，所以0a b c ++>， 故A 、B 、C 正确，D 错误．故选ABC ． 11.【答案】ABD【解析】因为0a >，0b >，且4a b +=，则2042a b ab + <≤=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，所以，114ab ≥，A 对； ()1111111221444a b a b a b a b b a+=++=++≥+=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，B 对；22a b+≤=，当且仅当2a ==时，等号成立，C 错； 因为222a b ab +≥，则()()222222216a bab ab a b +≥++=+=，故228a b +≥，当且仅当2a b ==时，等号成立，D 对. 12【答案】ACD【详解】由题设，2(1)(3)22320a x x ax ax a −++=+−+>的解集为()12,x x ，∴a<0，则12122230x x x x a +=−=−<， ∴1220x x ++=，12230x x a+=<，则A 、D 正确； 原不等式可化为()(1)(3)2f xa x x =−+>−的解集为()12,x x ，而方程()f x =0的根分别为3,1−,且开口向下，又12x x <，如下图示，∴由图知：1231x x <−<<，124x x −>，故B 错误，C 正确. 13.【答案】∀x ≥1，x 2＜1． 14【答案】0【解析】【详解】因为A B =，所以22m m =−，解得0m =或2−， 当2m =−时，224m m =−=，而集合的元素具有互异性，故2m ≠−，所以0m =，【详解】令m x y =−，4n x y =−，则343n m x n my −= − =，所以85933z x y n m =−=−．因为41m −≤≤−，所以5520333m ≤−≤．因为15n −≤≤，所以8840333n −≤≤，所以120z −≤≤. 16【答案】4【解答】解：由题意可得0＜z ＜1，0＜1﹣z ＜1， ∴z （1﹣z ）≤（）2＝，当且仅当z ＝（1﹣z ）即z ＝时取等号， 又∵x 2+y 2+z 2＝1，∴1﹣z 2＝x 2+y 2≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴≥1，∴≥1，∴≥，∴≥≥4，当且仅当x ＝y ＝且z＝时取等号，∴S＝的最小值为417【答案】（1）{}1,4A B∩=，{}1,3,4,5,6A B=；（2）{}5,6.【详解】解：（1）因为{}1,3,4A=.........1分{}1,4,5,6B=，.......2分所以{}{}{}1,3,41,4,5,61,4 A B==...4分，{}{}{}1,3,41,4,5,61,3,4,5,6 A B==...6分（2）因为{}1,2,3,4,5,6U=，所以{}6,5,2=ACU，.......8分所以(){}{}{}6,56,5,4,16,5,2B=∩=∩ACU........10分18【解析】（1）因为0＜x＜1，所以x>0, 3﹣3x>0. .....1分y＝x（3﹣3x）＝3•x（1﹣x）≤3×(xx+1−xx2)2=34，.......3分当且仅当x＝1﹣x，即x=12时取等号.......5分故y＝x（3﹣x）的最大值为34；.......6分（2）因为a，b，c均为正数，且a+b＝1，则aa+1aa+2bb=1+(1aa+2bb)(aa bb)=4+bb aa+2aa bb≥4+2√2，.....9分当且仅当b=√2aa且a+b＝1，即a=√2−1，b＝2−√2时取等号，......11分所以1aa+2bb的最小值为4+2√2．......12分19解（1）不等式可改写为，即可将这个不等式转化成，解得所以A=......2分{}1110))(1(0)12(22+<<=+<<<+<−−−<+++−m x m x B m x m m m m x m x m m x m x 得又由.....4分因为B ⊆A 所以≤+−≥111m m解得01≤≤−m实数m 的范围为{}01≤≤−m m ....6分 （2）当C ∩D ＝∅时，当D ＝∅时，m +1＞2m ﹣1，即m ＜2，....8分 当D ≠∅时，或，....10分解得，m ＞4，....11分综上，C ∩D ＝∅时，m ＞4或m ＜2，故当C ∩D ≠∅时，实数m 的取值范围为{}42≤≤m m ．....12分 20【详解】（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件），21【解答】解：（1）把二次函数解析式配成顶点式，得，因为抛物线开口方向向上，对称轴是，....1分函数的最小值为，....2分所以当，当x＝﹣2时，函数取得最大值19，....3分综上当，；当x＝﹣2，y max＝19．...4分（2）y＝x2+2ax+1＝（x+a）2+1﹣a2∴其对称轴为x＝﹣a，其图象开口向上，，①当，即时，此时x＝2离对称轴更远，∴当x＝2时有最大值，最大值为5+4a，∴5+4a＝4，解得； ....8分②当，即时，此时x＝﹣1离对称轴更远，则当x＝﹣1时函数有最大值，最大值为2﹣2a，∴2﹣2a＝4，解得a＝﹣1．综上所述a的值为﹣1或． ....12分22【答案】解：(1)由题有aaxx2−(aa+2)xx+2<3−2xx恒成立，即aaxx2−aaxx−1<0恒成立，当aa=0时，−1<0恒成立，符合题意，....1分当aa≠0时，则�aa<0△=aa2+4aa<0，得�aa<0−4<aa<0，....2分得−4<aa<0，综上，a的取值范围为(−4,0].....3分(2)由题aaxx2−(aa+2)xx+2≥0，即(aaxx−2)(xx−1)≥0，由aa>0，则(xx−222−aa，①当0<aa <2时，2aa >1，不等式的解集为{xx |xx ≤1或xx ≥2aa }，....4分 ②当aa =2时，不等式的解集为R ，....5分③当aa >2时，2aa <1，不等式解集为{xx |xx ≤2aa或xx ≥1}，....6分 综上可得当0<aa <2时，不等式的解集为{xx |xx ≤1或xx ≥2aa}， 当aa =2时，不等式的解集为R ， 当aa >2时，不等式解集为{xx |xx ≤2aa 或xx ≥1}，....7分(3)当mm >0时，令tt =mm +1mm +1≥2� mm ×1mm +1=3， 当且仅当mm =1时取等号，....8分 则关于x 的方程ff (|xx |)=tt 可化为aa |xx |2−(aa +2)|xx |+2−tt =0， 关于x 的方程为aa |xx |2−(aa +2)|xx |+2−tt =0有四个不等的实数根， 即aaxx 2−(aa +2)xx +2−tt =0，有两个不同的实数正根， 则⎩⎨⎧△=(aa +2)2−4aa (2−tt )>0aa +2aa >02−tt aa >0， 由2−tt aa >0，且tt ≥3,知aa <0,再结合aa +2aa >0解得aa <−2，....10分 又存在tt ∈[3,+∞)使得不等式△=+2)2−4aa (2−tt )>0即4aatt +(aa +2)2−8aa >0成立， 故4aa ×3+(aa +2)2−8aa >0，即aa 2+8aa +4>0， 解得aa <−4−2√ 3或aa >−4+2√ 3， 综上可得aa <−4−2√ 3，所以a 的取值范围为{aa |aa <−4−2√ 3} ....12分。

级练习试卷（含答案）第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.有理数6的相反数是( )A.-6B.6C.1/6D.-1/62．．．．．．．．A．B．．2C．2D．．3、下列各对数中，不互为相反数的是（）A +（－3）与–[－（－3）]B 与C －（－8）与－|－8 |D －5．2与－[+（－5．2）]4．．．．．．．．．．．．．4.70×104．．．．．．．．．( )A．．．．．．．．．．47000B．．．．．．．．．．4700C．．．．．．．．．．．47000D．．．．．．．．．．．4700005．下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b=0；②若a+b=0，则a、b互为相反数；③若a、b 互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在-6，0，1/6，1 这四个数中，最大的数是（）A．-6 B．0 C．1/6 D．17．如图，C，D是线段AB上两点，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于……………………………………………………………（）A．3 cm B．6 cm C．11 cm D．14 cm8．一根绳子弯曲成如图1的形状，用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪(n－2)次(剪开的方向与a 平行)，这样一共剪n次时绳子的段数是( )A．4n＋1 B．4n＋2 C．4n＋3 D．4n＋59．．．．．．．．．．．．9．．．．．．A． 9B．6C．0D．．3．10．．．．．．．x．．．．．．．．．．．x．3x2．5x3．7x4．9x5．11x6．…．．．．．．．．2015．．．．．( )A．2015x2015B．4029x2014C．4029x2015D．4031x2015第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11、x^2=64,则x= ____________。

2023年茂名市高三级第一次综合测试数学参考答案一、单选题：4.【解析】将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中，2510C =5.【解析】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为α，因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为2的等腰三角形，所以2211sin sin 22l αα=⨯⨯=sin α=π3α=或2π3α=．由2π3α=得，πcos cos 23h l α==，πsin sin 323r l α===，则上半部分的体积为22311ππ333r h =⨯=，下半部分体积为218r h ππ=蒙古包的体积为3(18+6.【解析】1cos 211()sin 2sin(222242x πA f x x x T π-=+=-+∴=对于选项,，选项B:221（1-2）20且0()=22sin x sin xsin x cos x ,f x tan x T πsin x cos x sin x cos x-≠≠==∴=11()cos cos 222C f x x x x x x T π=-++=∴=对于选项,cos ，11()sin 2()sin(2)2623ππD f x x x T π=+=+∴=对于选项,，7.【解析】,685ln ,13ln ,564ln -=-=-=c b a 故可构造函数()(),112ln +--=x x x x f ()()(),01122'>+-=x x x x f 所以()()()543f f f <<12345678DAADCCBD8.【解析】当PC CD ⊥时，三棱锥P ACD -的表面积取最大值，PD =三棱锥P ACD -的外接球的半径为R =.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9101112ACDACDABDBC10．【解析】由题意得，()()中心对称，，的图像关于01 x f 故A 正确；由()()()()x f x f x f x f +-=-=-2,且得()()()()x f x f x f x f ⇒+-=-=2的周期为4，故B 错误；()()01 01=-∴=f f ，故C 正确；()412121274 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴f f f x f ，的周期为 ，故D 正确11.【解析】A 选项：由抛物线C 的定义知A 是正确的；B 选项：由12y x '=，切线方抛物线C 在点(21-，）处的切线斜率为1-，切线方程为10x y ++=；C 选项：顶点在原点O 的正三角形与抛物线相交与A 、B 两点,这个正三角形的边长为，OAB ∆的周长为C 错；D 选项：F 为抛物线的焦点，过H 作HD 垂直抛物线C 的准线y=1-于点D ，如图由抛物线的定义知，1sin HG HG t HF HD HGD===∠当t 取最大值时，HGD ∠取最小值，（正弦函数的单调性的应用）即直线GH 与抛物线C 相切．设直线HG 的方程为1y kx =-，由214y kx x y=-⎧⎨=⎩得2404x x k +=-，所以216160k ∆=-=，解得1k =±，此时2404x x k +=-，即2440x x ±+=，所以2x =±，故()2,1H ±，所以1122222H S GF x =⋅=⨯⨯=△GFH ，故D 正确．12.【解析】原式变形为n n n m me m ln ln ->-，构造函数()x xe x f x-=，()()11'-+=x e x f x，()()()x f x f x e x x ,0,110'>∴>+>时， 单调递增，()()()x f x f x e x x ,0,110'<∴<+<时， 单调递减对于A ，取1==n m 满足原式，所以A 错对于B ，当n e m n n m≥>∴>≤≤1,010ln 时，，即，当()()时，在时，∞+>00ln x f n 单调递增，原式()()n f m f ln >⇔，n e n m m>>∴，即ln ，所以B 对。

茂名市第一中学2024—2025学年度第一学期期中考试初一数学试卷考试时间：120分钟总分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．的倒数是（ ）A ．2024B ．C．D ．2．计算：的结果是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．下列四个几何体中，是棱柱的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．2023年中秋节与国庆节假期恰逢杭州亚运会，西湖景区共接待游客约3689100人次．数据3689100用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列说法正确的是（ ）A ．是三次三项式B ．系数是4C ．的常数项是D ．0是单项式6．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．与B ．与2C ．与D ．与7．如图是某一正方体的表面展开图，那么该正方体是（ ）A ．B ．C ．D ．2024-2024-1202412024-6632x x -65x -65x 6x -6x 70.3689110⨯63.689110⨯536.89110⨯4368.9110⨯2223x x ++24ab -35x -3-2+2-()2--()2--2--2-+()2+-8．下列式子：中，整式的个数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．39．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）A ．B ．C．D ．10．若，则的值可能是（ ）A ．1和3B ．和3C ．1和D ．和二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填写在横线上）11．“枪打一条线，棍扫一大片”从字面上理解这句话所描述的现象，用数学知识可以解释为______．12．①______；②的相反数是______；③比较大小______．13．如果单项式与的和仍然是一个单项式，则______．14．已知，则的值为______．15．将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开。

剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段。

广东省茂名市化州市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5U=，{}1,2,4A =，{}1,5B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}1C ．{}5D ．{}1,52．已知空间中两个不重合的平面α和平面β，直线m ⊂平面α，则“//m β”是“//αβ”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设向量(cos ,sin ),(3,2)m n θθ== ，若m n ⊥，则tan 2θ等于（）A ．125B ．512C ．512-D ．125-4．国家射击运动员甲在某次训练中的5次射击成绩（单位：环）为9，6，m ，10，8，其中m 为整数，若这5次射击成绩的第40百分位数为8，则m =（）A ．6B ．7C ．8D ．95．函数()320,1x y aa a +=->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线1x ym n+=-上，且,0m n >，则3m n +的最小值为（）A ．13B ．16C ．11+D ．286．牛顿冷却定律（Newton's law of cooling ）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θ ，环境温度为0C θ，则t 分钟后物体的温度θ（单位：C ）满足：()010e ktθθθθ-=+-.已知环境温度为20C o ，一块面包从温度为120C 的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为70C ，那么大约再经过多长时间，温度降为30C ？（参考数据：ln20.7,ln3 1.1,ln5 1.6≈≈≈）（）A ．33分钟B ．28分钟C ．23分钟D ．18分钟7．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P AB =（）A ．13B ．15C ．25D ．1108．已知函数()()221sin 1x x f x x --=+，()()10g x ax a =+≠，若()y f x =和()y g x =图象存在3个交点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则123y y y ++=（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．已知函数()22sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有（）A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位得到10．若三条直线123:210,:10,:220l x y l x y l x ay a -+=+-=++-=可以围成一个三角形，则实数a 的值可以为（）A ．1-B ．0C ．1D ．311．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当λμ=时，1A P ∥平面1ACD B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当1λ=时，PBD △的面积为定值D ．当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题12．经过()()3,4,1,A B c -两点的直线l 的方向向量为()1,2，则直线l 的方程为．13．若二次函数()22f x x x m =-+在区间()0,4上存在零点，则实数m 的取值范围是.14．若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为．四、解答题15．为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组[45,55），第二组[55,65），第三组[65,75），第四组[75,85），第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差．16．直线l 的方程为()()1230R m x y m m ++--=∈.(1)证明直线l 过定点；(2)已知O 是坐标原点，若点线l 分别与x 轴正半轴､y 轴正半轴交于,A B 两点，当AOB V 的面积最小时，求AOB V 的周长及此时直线l 的方程.17．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-，BC ，AC 边上的两条中线AD ，BE 相交于点P ．(1)求BAC ∠；(2)若AD =BE ＝2，cos 14DPE ∠=，求ABC 的面积．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面1111,ABB A BCC B 均为正方形，2AB BC ==，,AB BC D ⊥是AB 的中点.(1)求证：1BC ∥平面1A DC ；(2)求二面角1D A C A --的余弦值.19．已知函数()22()log 2f x x =-．(1)求()f x 的单调增区间（只需写出结果即可）；(2)求不等式(21)()f x f x -≤的解集；(3)若方程2[()]()0f x m f x n -⋅+=在区间(1,1)-内有3个不等实根，求114524n m+-⋅+的最小值．。

广东省茂名市第一中学2022-2023学年高二奥校上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设y ＝e 3，则y ′等于（）A ．3e 2B ．0C ．e 2D ．e 32．设等比数列{}n a 的公比为q ，若21344a a a =+，则q =（）A ．12B ．2C ．12-D ．－23．如图，用4种不同的颜色对A ，B ，C ，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种4．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（）A ．B ．C ．D ．5．函数()||2()e 2x f x x =-的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．6．若函数321y x x mx =+++是R 上的增函数，则实数m 的取值范围是（）A ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭7．如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径相等（半径大于1分米）.若该几何体的表面积为12π平方分米，其体积为V 立方分米，则V 的取值范围是（）A ．16π,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．16π,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．16π4π,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．16π4π,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．若2a b c ===，则（）A ．c b a>>B ．c a b>>C ．b c a>>D ．a b c>>二、多选题9．下列数列是等比数列的是（）．A ．1，1，1，1，1B ．0，0，0，0，…C ．12，14，18，…D ．1-，1-，1，1-，…10．对于函数1()e xx f x +=，则（）A ．()f x 有极大值，没有极小值B ．()f x 有极小值，没有极大值C ．函数()f x 与2y x =-+的图象有两个交点D ．函数1()()2023g x f x =-有两个零点11．函数()323f x x x =-过点()3,0的切线方程是（）A ．9270x y --=B ．18540x y --=C ．6180x y --=D ．=0y 12．已知函数()()223318f x x x a =---，则（）A ．()f x 的极大值为1a -B ．()f x 的最小值为5a--C ．当()f x 的零点个数最多时，a 的取值范围为20,127⎛⎫⎪⎝⎭D ．不等式()f x a ≤-的解的最大值与最小值之差小于1.2三、填空题13．由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有________个；14．函数()()240f x x x x =+>的最小值是______．15．已知函数()e ,0,11,0,2x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若m n >且()()f m f n =，则m n -的最小值是________．16．已知0a >，若对任意的1[,),e x ∈+∞不等式2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，则实数a 的最小值为_______.四、解答题17．已知()3223f x x ax bx a =+++（1a >）在=1x -时有极值0.（1）求常数a ，b 的值；（2）求函数()y f x =在区间[]4,0-上的值域.18．已知函数()e (sin cos )x f x x x =-，将满足()0f x '=的所有正数x 从小到大排成数列{}n x .(1)求{}n x 的通项公式.(2)令1(1)()-=-⋅⋅n n n n b x f x ，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．已知函数()2ln =++f x x ax bx (其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值.(1)当12a =时，求()f x 的单调区间;(2)若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.20．已知函数()ln 2f x x x =+.(1)求函数()f x 的极值；(2)证明：2()f x x x>-.21．已知函数()2cos sin f x ax ax x x =--(1)当1a =时，求()f x 在[],ππ-上的值域；(2)当0x >时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围.22．已知函数()()21ln R 2f x x a x a =-∈.(1)若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；(2)讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.参考答案：1．B【解析】利用导数公式求解.【详解】因为y ＝e 3，所以y ′=0,故选：B【点睛】本题主要考查导数的计算，属于基础题.2．A【分析】用1,a q 表示出23,a a 后可解得q ．【详解】因为21344a a a =+，所以2414q q =+，解得12q =．故选：A ．3．B【分析】按涂色顺序进行分四步，根据分步乘法计数原理可得解.【详解】按涂色顺序进行分四步：涂A 部分时，有4种涂法；涂B 部分时，有3种涂法；涂C 部分时，有2种涂法；涂D 部分时，有2种涂法.由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有432248⨯⨯⨯=种.故选：B.4．C【分析】当0x <时，()0f x ¢>，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x ¢>，根据函数()f x 的单调性即可判断.【详解】由导函数的图象可得当0x <时，()0f x ¢>,函数()f x 单调递增；当02x <<时，()0f x '<,函数()f x 单调递减；当2x >时，()0f x ¢>,函数()f x 单调递增.只有C 选项的图象符合.故选:C.5．A【分析】利用函数奇偶性、特殊点的函数值、解不等式以及导数来研究函数图像进行判断.【详解】因为函数()||2()e 2x f x x =-，定义域为R ，又()||2||2()e 2()]e 2()[x x f x x x f x -=-=--=-，所以()||2()e 2x f x x =-为偶函数，故B 错误；由()||2()e 20x f x x =->得，x <<，同理，由()||2()e 20x f x x =-<得，x <x >，故C 错误；因为()|0|2(0)e 202f =-=，()|1|2(1)e 21e f =-=，所以(1)(0)f f >，故D 错误；因为函数()||2()e 2x f x x =-，定义域为R ，且当0x >时，()2()e 2x f x x =-，()2()e 22x f x x x '=--，由()2()e 220x f x x x '=-->有，01x <<-，同理，由()0f x '<，解得1x -，所以当0x >时，()f x 在1)单调递增，在1,)+∞上单调递减，又()()f x f x -=，所以A 正确.故选：A.6．C【分析】根据题意转化为0y '≥在R 上恒成立，得到232m x x ≥--在R 上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数321y x x mx =+++，可得232y x x m '=++，因为函数321y x x mx =+++是R 上的增函数，可得0y '≥在R 上恒成立，即2320x x m ++≥在R 上恒成立，即232m x x ≥--在R 上恒成立，令()232g x x x =--，由二次函数的性质，可得当13x =-时，可得()max 13g x =，所以13m ≥，即实数m 的取值范围是1[,)3+∞.故选：C.7．A【分析】设圆柱的底面半径与高分别为r 分米，h 分米，可得该几何体的表面积求出h ，再求该几何体的体积，利用导数判断单调性可得答案.【详解】设圆柱的底面半径与高分别为r 分米，h 分米，则该几何体的表面积24π2π12πS r rh =+=平方分米，则262r h r-=，所以该几何体的体积()()32342πππ9(133V V r r r h r r r ==+=-<<，则()()22π93(13'=-<<V r r r ，当1r <()0'>V r ，则()V r在(上单调递增，而()16π13V =，V =，故V的取值范围是16π,3⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.8．C【分析】对a 、b 、c同时取自然对数可得ln ln ln a b c ===()0)f x x >，利用导数研究函数的单调性，结合对数函数ln y x =的单调性即可求解.【详解】对a 、b 、c 同时取自然对数，得ln ln ln ln ln ln 2ln a b c ====即ln ln ln a b c ===构造函数()0)f x x >，则()f x '=当20e x <<时，()0f x '>，则()f x 在()20,e 上单调递增，所以(3)(4)(5)f f f <<<所以ln ln ln a c b <<，又函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，故a c b <<．故选：C.9．AC【详解】解：A 选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1，公比为1的等比数列，故A 正确；B 选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0，一定不是等比数列，故B错误；C 选项，由等比数列的定义可知，首项为12，公比为12的等比数列，故C 正确；D 选项，由等比数列的定义可知，321211a a a a =≠=-，故不是等比数列，故D 错误.故选：AC.10．AD【分析】对函数()f x 求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值；画出函数()f x 与2y x =-+的图象从而可判断交点个数；函数1()()2023g x f x =-有两个零点价于函数()f x 与12023y =图像有两个交点，数形结合即可判断.【详解】1()ex x f x +=，则()2e e (1)()e e x x x x x x f x -+-'==，因为e 0x >在x ∈R 恒成立.所以当0x >时，()0f x '<，()f x 在x ∈R 单调递减；当0x <时，()0f x ¢>，()f x 在x ∈R 单调递增；所以()f x 在0x =处有极大值，没有极小值，故A 正确，B 错误；根据()f x 的单调性，画出函数()f x 图像，以及2y x =-+的图象，如图：由此可知，函数()f x 与2y x =-+的图象只有一个交点，故C 错误；函数1()()2023g x f x =-有两个零点等价于函数()f x 与12023y =图像有两个交点，如下图所示：由此可知，函数()f x 与12023y =图像有两个交点，即函数1()()2023g x f x =-有两个零点；故D 正确.故选：AD.11．AD【分析】设出切点坐标，利用导数求切线斜率，得切线方程，代入点()3,0可得切点和切线方程.【详解】设切点坐标为()32000,3x x x -，由()236f x x x '=-，∴在0x 处的切线斜率为20036k x x =-，切线方程为()()()32200000336y x x x x x x --=--，由切线过()3,0，()()322000003363x x x x x ∴-+=--，解得00x =或03x =，00x =时切线方程0y =，选D ；0=3x 时切线方程9270x y --=，选A.故选：AD 12．ACD【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值、最值，即可判断A 、B ，再根据函数的极值及零点求出参数a 的取值范围，即可判断C ，再根据特殊值判断D ；【详解】解：因为()()223318f x x x a =---，所以()()()()2223162412131f x x x x x x x =-⨯-=-+'.当103x -<<或1x >时，()0f x '>；当13x <-或01x <<时，()0f x '<.即()f x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,1上单调递减，在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，所以函数在13x =-取得极小值，在=0x 处取得极大值，在=1x 处取得极小值，又120327f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1143f a f ⎛⎫=--<- ⎪⎝⎭，故()f x 的极大值为()01f a =-，()f x 的最小值为()14f a =--，故A 正确，B 错误.所以()f x 零点个数最多为4，此时1200327f a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，()010f a =->，解得20,127a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，C 正确.不等式()f x a ≤-，即()2230318x x -≤-，令()()223318g x x x =--，则()()()()2223162412131g x x x x x x x '=-⨯-=-+.当103x -<<或1x >时，()0g x '>；当13x <-或01x <<时，()0g x '<.即()g x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,1上单调递减，在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，所以()g x 的函数图象如下所示：因为()20.20.88 1.60.040g =-⨯>，()231.4 4.8881.40g =-⨯>，则()0g x ≤的解的最大值与最小值之差小于1.40.2 1.2-=，即不等式()f x a ≤-的解的最大值与最小值之差小于1.40.2 1.2-=，D 正确.故选：ACD 13．18；【分析】先排第一个数字，再把剩下的三个数字排列即可.【详解】因为第一个数字不能为0，所以先排第一个数字，再把剩下的三个数字排列，则一共有13333618A A =⨯=种排法.故答案为：18.【点睛】本题考查排数问题，属于基础题.14．3【分析】求出()f x '，得出单调性，从而得出函数的最小值.【详解】()381f x x '=-，由()3338810x f x x x -=-=>'，解得2x >，()3810f x x'=-<，解得02x <<，所以()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以当2x =时，()f x 有最小值3.故答案为：3.15．3ln 2+##ln 23+【分析】作出函数图象，设()()f m f n t ==，由图象可得t 的范围，并用t 表示出,m n ，从而m n -可表示为t 的函数，再利用导数求得最小值．【详解】函数()f x 的图象如图所示．令()()(01)f m f n t t ==<≤，则1e 12nm t =-=，所以22,ln m t n t =+=．令()22ln g t m n t t =-=+-，1()2g t t=-'，当102t <<时，()0g t '<，()g t 单调递减，当112t <≤时，()0g t '>，()g t 单调递增，所以min 111()22ln 3ln 2222g t g ⎛⎫==⨯+-=+ ⎪⎝⎭．故答案为：3ln 2+．16．12e【分析】根据式子的结构，把原不等式转化为1[,),e x ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥恒成立.令()ln g x x x =，判断出()g x 的单调性，转化为2e ax x ≥恒成立.利用分离参数法得到ln ln 2x a x -≥，令ln ln 2()x h x x-=，利用导数求出max ()h x ，即可求出实数a 的最小值.【详解】1[,),e x ∀∈+∞2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，等价于1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥，令()ln g x x x =，则1[,),ex ∀∈+∞(2e )()0ax g g x -≥，则()1ln g x x '=+，所以当1ex ≥时都有()0g x '≥，所以1[,),e x ∈+∞()g x 单调递增.所以不等式转化为2e ax x ≥，即e 2axx ≥，即ln e ln 2axx ≥，即ln 2x ax ≥，即ln ln 2x a x-≥.令ln ln 2()x h x x-=，则()221ln ln 2ln 2e ln x xh x x x -='-+=.当1[,2e),ex ∈都有()0h x '>，所以()h x 单调递增；当()2e,+x ∈∞时，都有()0h x '<，所以()h x 单调递减.所以max ln 2e ln 2ln e 1()(2e)2e 2e 2eh x h -====所以12e a ≥，即a 的最小值为12e .故答案为：12e.【点睛】恒成立问题的处理：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究()f x 的单调性及最值.17．（1）2,9a b ==；（2）[]0,4.【解析】（1）由条件可知()10f '-=，()10f -=，求解,a b ，再验证；（2）利用导数先求函数的单调区间，再判断[]4,0-的最值.【详解】（1）()3223f x x ax bx a =+++（1a >）可得()236f x x ax b '=++，由题=1x -时有极值0.可得：()()10,10,f f ⎧-=='⎪⎨-⎪⎩即2360,130,a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩解得：1,3,a b =⎧⎨=⎩（舍去）或2,9.a b =⎧⎨=⎩，经验证2,9a b ==成立；（2）由（1）可知()32694f x x x x =+++，()()()23129313f x x x x x '=++=++，[]4,0x ∈-，x 4-()4,3--3-()3,1--1-()1,0-0()f x '+-+()f x 0增4减增4所以函数()y f x =在()4,3--和()1,0-递增，()3,1--递减.且()40f -=，()34f -=，()10f -=，()04f =，可得值域为[]0,4.18．(1)*π,Nn x n n =∈(2)π(1)πππ2π1e πe πe (1e )1e n n n n S +-=---【分析】（1）求导数，解方程()0f x '=，表示出n x .（2）求出数列{}n b 的通项，由通项特征用错位相减法求前n 项和.【详解】（1）()e (sin cos )e (cos sin )2e sin x x x f x x x x x x '=-++=，由()0f x '=解出()πZ x k k =∈，从而*π,N n x n n =∈.（2）π1π()e (sin πcos π)(1)en n n n f x n n -=-=-∴1π(1)()πe n n n n n b x f x n -=-⋅⋅=，则π2π3πππ(e 2e 3e .e )n n S n =+++⋯+，π2π3π4π(1)πe π(e 2e 3e .e )n n S n +=+++⋯+，两式相减得πππ2π3ππ(1)ππππ1e (1e )π(e ee .e e)πe e 1en n n nn S n n +⎛⎫--=+++⋯+-=- ⎪-⎝⎭，∴π(1)πππ2π1e πe πe (1e )1e n n n n S +-=---.19．(1)递增区间为(0,)+∞，没有减区间(2)1e 2a =-或2a =-【分析】（1）对()f x 求导，利用导函数的正负求解单调区间即可；（2）对函数进行求导，根据a 的不同取值分情况讨论求解函数最大值即可得到答案.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()2ln =++f x x ax bx ，所以()12'=++f x ax b x，因为()2ln =++f x x ax bx 在1x =处取得极值，所以()1120'=++=f a b ，即12b a =--，当12a =时，2b =-，故()()221210x x x f x x x--+'==≥，所以()f x 的递增区间为(0,)+∞，没有减区间.（2）由（1）可得2()ln (21)f x x ax a x =+-+，所以()()()()21212211ax a x f x x xax x --'-++==，令()0f x '=解得1211,2x x a==，因为()f x 在1x =处取得极值，所以12112x x a=≠=，当102a<时，()f x 在()0,1上单调递增，在(]1,e 上单调递减，所以()f x 在(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-，当0a >时，2102x a=>，当112a <时，()f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()1,e 上单调递增，所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得，而2111111ln (21)ln 10222224f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2(e)ln e e (21)e 1f a a =+-+=，解得1e 2a =-;当11e 2a ≤<时，()f x 在()0,1上单调递增，11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,e 2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以最大值1可能在1x =或e x =处取得，而(1)10f a =--<，所以(e)1f =，解得1e 2a =-，与11e 2a <<矛盾;当21e 2x a=≥时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,e 上单调递减，所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)10f a =--<矛盾.综上，1e 2a =-或2a =-.【点睛】在解决最值问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．可导函数()y f x =在点0x 处取得极值的充要条件是()00f x '=，且在0x 左侧与右侧()f x '的符号不同．20．(1)极小值为12e-，无极大值(2)证明见解析【分析】（1）求导得1()ln 1ln f x x x x x⋅='=++，分析()f x '的符号，进而可得()f x 的单调性．（2）要证2()f x x x >-，需证2ln 2x x x x+>-，即证2ln 20x x x x +-+>，令2()ln 2(0)h x x x x x x=+-+>，只需证明min ()0h x >，即可得出答案．【详解】（1）解：函数的定义域为,()0x ∈+∞，由()ln 2f x x x =+，得()1ln f x x '=+，由()0f x '>，解得1ex >，由()0f x '<，解得10ex <<所以()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；()f x ∴的极小值为112e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.（2）解：因为()ln 2f x x x =+，所以要证2()f x x x >-，即证2ln 2x x x x+>-，所以2ln 20x x x x+-+>，令2()ln 2(0)h x x x x x x=+-+>，则2222()ln 11ln h x x x x x =+--=-'，设22()ln m x x x =-，则314()0m x x x '=+>，所以()m x 在(0,)+∞单调递增，所以()h x '在(0,)+∞单调递增，当x →+∞时，()h x '→+∞；当0x →时，()h x '→-∞，()1h '20=-<，()e h '221e =-，所以存在0(1,e)x ∈使得0()0h x '=，即0202ln 0x x -=①，所以在0(0,)x 上，()0h x '<，()h x 单调递减，在0(x ，)∞+上，()0h x '>，()h x 单调递增，所以min 000002()()ln 2h x h x x x x x ==+-+，②由①得0202ln x x =代入②中，000020002244()222e 0e h x x x x x x x =⋅+-+=-+>-+>，所以()0h x >，所以2()f x x x>-．21．(1)[]3,3ππ-(2)1a ≥【分析】（1）由()0f x '≥，可知()f x 单调递增，从而可求得值域；（2）分1a ≥，0a ≤和01a <<三种情况讨论即可求得a 的取值范围.【详解】（1）由题意知()2cos sin f x x x x x =--，()()21cos sin f x x x x '=-+，[],x ππ∈-时，1cos 0x -≥，sin 0x x ≥，[],x ∴∈-ππ时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 单调递增，∴()()()f f x f ππ-≤≤，即()33f x -π≤≤π所以()f x 的值域为[]3,3ππ-.（2）注意到()00f =，()2cos sin cos f x a a x ax x x '=-+-，若1a ≥，()()2cos sin 2cos sin f x ax x x x x x x =--≥--，由（1）知，当[]0,x π∈时，()()00f x f ≥=；当(),x π∈+∞时，2cos sin 2110x x x x x x x -->--=->，所以()0f x ≥恒成立，符合题意；若0a ≤，()()2cos sin f x ax x x =--，当[]0,x π∈时，()0f x ≤，不合题意，舍去；若01a <<，因为当0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()()21sin cos 0f x a x ax x ''=++≥，所以()f x '单调递增，而()01f a '=-，2022f a ππ⎛⎫⎛⎫'=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足()00f x '=，且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，()()00f x f ≤=，不合题意，舍去；综上可知，1a ≥.22．(1)2a =,2ln2b =-；(2)当[)0,e a ∈时，方程无解；当a<0或e a =时，方程有唯一解；当()e,a ∈+∞时，方程()0f x =有两解.【分析】（1）求出导函数，利用()f x 在处的切线方程为y x b =+，列出方程组即得；（2）分0,0a a =<讨论，0a >时，根据函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，根据函数的性质及零点存在定理即得.【详解】（1）因为()()21ln R 2f x x a x a =-∈，所以()()0af x x x x'=->，又()f x 在2x =处得切线方程为y x b =+，所以()()22ln 22,2212af a b f '=-=+=-=，解得2,2ln2a b ==-；（2）当0a =时，()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解；当a<0时，()()0af x x x x'=->在区间()0,+∞内恒成立，所以()f x 在定义域为增函数，因为()121110,e e 1022aa f f ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以方程有唯一解；当0a >时，()(2x x x a f x x x+-'==，当(x ∈时，()0f x ¢<，()f x 在区间(内为减函数，当)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间)x ∈+∞内为增函数，所以当x =()f x 取得最小值()11ln 2f a a =-，当()0,e a ∈时，()11ln 02f a a =->，方程无解，当e a =时，()11ln =02fa a =-，方程有唯一解，当()e,a ∈+∞时，()11ln 02f a a =-<，因为()1102f =>1>，所以方程()0f x =在区间(内有唯一解，当1x >时，设()()1ln ,10g x x x g x x'=-=->，所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数，又()11g =，所以ln 1x x ->，即ln x x <，故()2211ln 22f x x a x x ax =->-，因为21a >>，所以()()22122202f a a a >⨯-=，所以方程()0f x =在区间)∞+内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解，综上所述，当[)0,e a ∈时，方程无解；当a<0或e a =时，方程有唯一解；当()e,a ∈+∞时，方程()0f x =有两解.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.。

广东省茂名市第一中学2022-2023学年奥校高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若扇形的周长为12cm ，面积为28cm ，则其圆心角的弧度数是（）A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或52．已知函数()log 23a y x =++的图象恒过定点A ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且点A 在角α的终边上，则sin α的值为（）A ．BCD ．3．21tan(),tan()54αβαβ+=-=，则tan 2α=（）A ．16B ．2213C ．322D ．13184．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =2AB =，则图中 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A ．22π-B ．23πC ．32π-D ．33π-5．函数sin 4xx xy e +=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．已知α为第二象限角，则2cos sin =（）A ．1B ．-1C ．0D ．27．设1662a ︒︒=-，22tan 271tan 27b ︒︒=-，c =）.A ．c b a<<B ．a b c<<C ．a c b<<D ．b<c<a8．设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-，当x []0,1∈时，()sin f x x =，则函数()()g cos x x f x π=-在区间59,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为A ．6B ．7C ．13D ．14二、多选题9．要得到sin y x =的图象，可以将函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A ．向右平行移动π5个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B ．向左平行移动π10个单位长度，再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍C ．横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度D ．横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平行移动π5个单位长度10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．最大值为2D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D 且BD =）A ．111a c+=B ．b 的最小值是2C ．3a c +的最小值是D ．ABC12．已知函数()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．若将()f x 图象向左平移4π个单位长度，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为4B ．若63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为1C ．若()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围为15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内无零点，则ω的取值范围为37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题13．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2sin()b B C =+，则B =___________.14．函数cos 26cos y x x =-的值域是___________．15．若2cos 1x x +=，则5sin cos 2=63x x ππ⎛⎫⎛⎫-⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________.16．已知ABC 中，90,3,4C AC BC ∠=︒==，一直线分ABC 为面积相等的两个部分，且夹在AB BC 、之间的线段为MN ，则MN 长度的最小值为____________．四、解答题17．已知sin cos 3sin cos αααα+=-，π(,)2α∈0．(1)求cos2α的值；(2)若()sin 10αβ-=，且π(,)2β∈0，求角β．18．在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，12=，条件③：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．19．已知函数()π2sin 6f x a x ωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，x R ∈其中0a ≠，0ω>，π02ϕ<≤，若()f x 的图像相邻两最高点的距离为π2，且有一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求ω和ϕ的值；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）若1a =，且方程()ππ0,312f x k x ⎛⎫⎡⎤-=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭有解，求k 的取值范围．20．如图，在ABC 中，已知3,6AB AC ==，A 为锐角，,BC AC 边上的两条中线,AM BN相交于点P ，ABC .(1)求BC 的长度；(2)求MPN ∠的余弦值.21．已知函数()sin 22f x x x =.(1)若函数()y f x m =+是偶函数，求m 的最小值；(2)若8π,0,252f αα⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值；(3)求函数2()[()]()1F x f x n f x =-⋅+在ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值．22．为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为2百米的半圆，出入口在圆心D 处，C 点为一居民小区，CD 距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A ，并以线段AC 为一边向圆外作等边三角形ABC ，使改造之后的公园成四边形ABCD ，并将BCD △区域建成免费开放的植物园，如图所示．设ADC θ∠=．(1)当5π6θ=，求四边形ABCD 的面积；(2)当θ为何值时，线段BD 最长并求最长值参考答案：1．A【分析】由已知，设出扇形的半径R 和弧长l ，然后根据扇形周长和面积列出方程组，解出半径R 和弧长l ，然后直接计算圆心角的弧度数即可.【详解】设扇形的半径为R ，弧长为l ，由题意得212182R l Rl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得44l R =⎧⎨=⎩或82l R =⎧⎨=⎩，故扇形的圆心角的弧度数1lRα==或4．故选：A.2．C【分析】先由对数函数图象的特征求出定点()1,3A -，再由三角三函数的定义求解即可【详解】函数()log 23a y x =++的图象恒过定点()1,3A -，且点()1,3A -在角α的终边上，所以sin α=故选：C 3．D【分析】根据正切函数的和角公式，由()()2ααβαβ=++-，可得答案.【详解】21tan()tan()1354tan 2tan[()()]211tan()tan()18154αβαβααβαβαβαβ+++-=++-===-+--⨯．故选：D.4．B【分析】设圆的半径为r ，利用勾股定理求出r ，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；【详解】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =-=--，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD ADOA +=，即(2221r r ⎡⎤-+=⎣⎦，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB π∠=，因此221222233MBB AOB S S S ππ=-=⨯⨯= 弓形扇形.故选：B 5．A【分析】根据函数的奇偶性，可排除C 、D ，利用()1f 和x →+∞时，()0f x →，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 4xx xf x e+=的定义域为R ，且()()sin()4()sin 4x xx x x xf x f x e e --+-+-==-=-，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D ；当1x =时，可得()sin141(1,2)f e+=∈，且x →+∞时，()0f x →，结合选项，可得A 选项符合题意.故选：A.6．B【分析】把第一个根式分母有理化，第二个根式切化弦，开方后整理得答案．【详解】因为α为第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，所以1sin cos cos cos 1sin cos ααααα+=⋅=--.222s in sin sin αα2sin =2si in n 1s αα=sin α=2cos sin 11si sin αα∴+=--+=-故选B【点睛】本题考查三角函数的化简求值及同角三角函数基本关系的应用，属于基础题，、．7．C【分析】先利用辅助角公式和二倍角公式化简a ，b ，c ，再进行比较.【详解】解：由题意得：16sin 6sin(606)sin 542︒︒︒︒︒=-=-=a ，22tan 27tan 541tan 27b ︒︒==-︒，sin 55c ︒==，tan 54tan 451︒︒>= ，sin 54sin 551︒︒<<，a cb ∴<<，故选：C 8．A【详解】由题意，函数()()f x f x -=-，()()2f x f x =-，则()()2f x f x --=-，可得()()4f x f x +=，即函数的周期为4，且()y f x =的图象关于直线1x =对称．()()()cos πg x x f x =-在区间5922⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的零点，即方程()()cos πx f x =的零点，分别画()cos πy x =与()y f x =的函数图象， 两个函数的图象都关于直线1x =对称，∴方程()()cos πx f x =的零点关于直线1x =对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A ．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9．BD【分析】先由横坐标的变换排除AC 选项，再验证BD 选项的正确性.【详解】要想得到sin y x =的图象，πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍，故排除AC ；πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点先向左平移π10个单位长度，得到ππsin 2sin 2105y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍，得到sin y x =，B 正确；πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标扩大到原来的2倍，变为πsin 5y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得各点向左平行移动π5个单位长度，得到sin y x =，D 正确.10．AD【分析】首先根据辅助角公式化简函数()2244f x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，然后根据选项，依次判断函数的性质.【详解】()2244f x x x ππ⎛⎫=++= ⎝⎭，所以函数是偶函数，故A 正确；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；C 错误；当4x π=时，sin02y π==，所以函数图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：AD 11．ABD【分析】由三角形面积公式寻找a ，c 关系，再利用基本不等式判断．【详解】解：由题意得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线以及面积公式得1sin sin sin 2366ac πππ⨯=⨯⨯，化简得ac a c =+，所以111a c+=，故A正确；ac a c ∴=+≥a c =时取等号，2≥，4ac ∴≥，所以1sin 2ABC ac A S BC =∠=≥ 2a c ==时取等号，故D 正确；由余弦定理222222cos b a c ac ABC a c ac =+-∠=+-()()222334344a c ac ac ac =+-=-≥-⨯=所以2b ≥，即b 的最小值是2，当且仅当2ac ==时取等号，故B 正确；对于选项C ：由ac a c =+得：111a c+=，1133(3)(1344a c a c a c a c c a ∴+=+⨯+=+++≥++当且仅当1113a ca c c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即113a c ⎧=⎪⎨=+⎪⎩时取等号，故C 错误；故选：ABD ．【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】解：()cos cos sin 4424f x x x x ππππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()0ω>，若将()f x 图象向左平移4π个单位，所得sin()44y x ωππω=++图象与原来的图象重合，则24k ωππ=，Z k ∈，8k ω∴=，Z k ∈，故ω的最小值为8，故A 错误；若63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且ω最小，则函数的图象关于直线4x π=对称，442k πππωπ∴⋅+=+，Z k ∈，即41k ω=+，则ω的最小值为1，故B 正确；若()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,4244πωππωπx πω⎛⎫∈⎝++⎭+，则22423242k k πππωπππωππ⎧⋅++⎪⎪⎨⎪++⎪⎩，Z k ∈，解得154224k k ω++ ，Z k ∈，令0k =，可得ω的取值范围为15,24⎡⎤⎢⎣⎦，故C 正确；若()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，则244k k ωππππωπππ⎧+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩，Z k ∈，解得13224k k ω-+ ，Z k ∈，令0k =，可得ω的取值范围30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦；令1k =，可得ω的取值范围37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故ω的取值范围为3370,,424⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故D 错误，故选：BC ．13．3π##60 【分析】由正弦定理边化角，再利用ABC 中sin()sin B C A +=即可化简求解.【详解】解：在锐角ABC2sin()b B C =+，2sin sin()2sin sin A B B C B A =+=，因为sin 0A >，所以sin B =，因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=，故答案为：3π.14．[5,7]-【分析】根据二倍角公式将原式化简，得22(cos 1123)2y x --=，利用换元法和二次函数的性质即可求解.【详解】22cos 26cos 2cos 6cos 12(cos )22311y x x x x x =-=-=---，令cos 11t x =∈［-，］，所以原函数22()22311y t --=，函数22()22311y t --=在3(,]2-∞上单调递减，在3[,)2+∞上单调递增，当1t =时，22()22311y t --=能取到最小值5-，当1t =-时，22()22311y t --=能取到最大值7，所以函数的值域为[]5,7-.故答案为：[]5,7-.15．732【分析】由题意可得4sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令6x t π+=，则1sin 4t =，6x t π=-，化简即得解.【详解】由题意可得4sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令6x t π+=，则1sin 4t =，6x t π=-，所以原式()27sin cos 2sin (12sin )32t t t t π=-=-=，故答案为：732.【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.16．2【分析】设(),04,05BN x BM y x y ==<<<<.利用面积关系得到10xy =.在MBN △中，利用余弦定理和基本不等式求出MN 长度的最小值.【详解】由勾股定理,得5AB ===.设(),04,05BN x BM y x y ==<<<<,则11·sin sin 22BMN S BN BM B xy B == .1134622ABC S BC AC =⋅=⨯⨯= .由题意,知132BMN ABC S S == ,所以1sin 32xy B =.而3sin 5AC B AB ==，4cos 5BC B AB ==所以10xy =.在△BNM 中,由余弦定理得：222222242cos 21621645NM BN BM BN BM B x y xy x y xy =+-⋅=+-⨯=+-≥-=.当且仅当x y ==时,等号成立.故线段MN 长度的最小值为2.故答案为：217．(1)35-;(2)π4.【分析】（1）根据条件由同角三角函数的基本关系求出tan α，再由二倍角的余弦公式转化为正切化简求值；（2）利用角的变换()βααβ=--及两角差的正弦公式求解即可.【详解】（1）由sin cos 3sin cos αααα+=-可得sin cos 3sin 3cos αααα+=-，即tan 2α=，222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin 1tan 145ααααααα---∴====-+++.（2）π(,)2α∈0 ,π(,2β∈0,ππ22αβ∴-<-<，又()sin αβ- ，cos()αβ∴-=，由（1）知tan 2α=，π(,)2α∈0，sin 55αα∴==，sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ∴=--=---5105102=⨯，又π(,)2β∈0，π4β∴=.18．(1)3A π=(2)ABC周长的取值范围为(2+【分析】（1）若选条件①，切化弦即可；若选条件②，等价转换即可；若选条件③，由正弦定理，边化角得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B -=，再根据诱导公式等价转化即可.（2）由正弦定理，边化角得4sin 26a b c B π⎛⎫++ ⎝++⎪⎭=，结合B 的范围求解.【详解】（1）选条件①：因为3sin cos tan 4A A A =，所以sin 3sin cos cos 4A A AA =，即23sin 4A =，又因为ABC 为锐角三角形，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2A =，所以3A π=.12=，所以cos )cos A A A A-=+3cos A A =，又因为(0,)2A π∈，所以cos 0A ≠，所以tan A =3A π=，选条件③：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B-=即2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=A A B C C B B C A ，又因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.（2）22(sin sin )sin sin 2sin 32aa b c B C B B Aπ⎫⎛⎫++=++=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎭13sin cos sin 2sin cos 24sin 23223226B B B B B B π⎫⎫⎛⎫=+++=++=++⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ππ0,0,322C B B π⎛⎫=-∈∈ ⎪⎝⎭（），，ππ2,,,62633B B πππ⎛⎫∴∈+ ⎪⎝⎭（），则sin ,162B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦即(2a b c ++∈+，即ABC 周长的取值范围为(2+.19．（1）4ω=；π2ϕ=；（2）答案见解析；（3）22k -≤≤【分析】（1）利用周期求ω，把π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入求出ϕ；（2）对a 分类讨论，利用复合函数单调性法则列不等式，求出单增区间；（3）先求出若1a =时，()f x 的值域，即可求出k 的范围.【详解】（1）依题可得：∵2ππ2T ω==，∴4ω=又函数图像的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，所以4ππ02sin 36a ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，∴4πππ36k ϕ++=，Z k ∈，又π02ϕ<≤，∴π2ϕ=（2）由（1）知()πππ2sin 42cos 4266f x a x a x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0a >时，由π2ππ42π6k x k -≤+≤，Z k ∈得π7πππ224224k k x -≤≤-，Zk ∈得函数单调递增区间为()πππ5π,224224k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦当a<0时，由π2π4π2π6k x k ≤+≤+，Z k ∈得πππ5π224224k k x -≤≤+，Z k ∈得函数单调递增区间为()πππ5π,224224k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（3）若1a =，()π2cos 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由πππ7ππ,4,312662x x ⎡⎤⎡⎤∈-⇒+∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦得()max 2f x =，()min 2f x =-，要()0f x k -=在ππ,312x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时有解，则22k -≤≤．20．(1)BC =【分析】（1）运用面积公式得到sin A =，再结合条件可求解；（2）根据中线分别求出2AP BP ==，再运用余弦定理可求解.【详解】（1）由题知，1sin 22ABC S AB AC BAC =⋅∠=，所以sin BAC ∠=又因为(0,)BAC π∠∈，所以3BAC π∠=或23π.因为BAC ∠为锐角，所以3BAC π∠=.在ABC 中，由余弦定理知2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，整理得21936236272BC =+-⨯⨯⨯=，解得BC =（2）因为22292736AB BC AC +=+==，所以2ABC π∠=.133,22BN AC AM ===，所以22233AP AM BP BN ====，222cos 2AP BP AB APB AP BP +-∠=⋅所以MPN ∠21．(1)m 的最小值为π12(2)cos α的值为310(3)函数2()[()]()1F x f x n f x =-⋅+在ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值()max 52,12,1n n F x n n -≤⎧=⎨+⎩＞【分析】（1）根据辅助角公式化简原函数，根据变换后奇偶性列出等式求解即可；（2）根据题意对π3α+进行缩角，求出它的余弦后利用配角知识和两角和的余弦公式求解即可；（3）先进行换元，然后对n 进行分类讨论即可.【详解】（1）由题意得，π()sin 222sin 23f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()ππ()2sin 22sin 2233f x m x m x m ⎡⎤⎛⎫+=++=++ ⎢⎥⎣⎦⎝⎭，又因为()y f x m =+是偶函数，所以()ππ2πZ 32m k k +=+∈，即()ππZ 212k m k =+∈，当0k =时，m 最小，最小值为π12.（2）π82sin 235f αα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2π5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以ππππππ3143cos cos cos cos sin sin 333333525210a a a α⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=-⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以cos α.（3）令()π2sin 23t x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=⎭=，因为ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]1,2t ∈-，所以即求22()[()]()11F x f x n f x t nt =-⋅+=-+在[]1,2t ∈-上的最大值，当1222n -+≤，即1n ≤时，()()max 252F x F n ==-，当1222n -+＞，即1n ＞时，()()max 12F x F n =-=+.所以函数2()[()]()1F x f x n f x =-⋅+在ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值()max 52,12,1n n F x n n -≤⎧=⎨+⎩＞.22．(2)当2π3θ=时，BD 的最大值为3百米【分析】（1）在ADC △中，由余弦定理得2AC ，再由面积公式得四边形ABCD 的面积ADC ABC S S S =+ ，计算即可求解；（2）由余弦定理计算得到AC ，再由正弦定理得到sin ACD ∠，根据同角的平方关系得到cos ACD ∠，再由两角和的余弦公式求得cos DCB ∠，最后在BCD △中利用余弦定理得到2BD ，结合三角恒等变换得到关于θ的式子，利用正弦三角函数的图像及性质求BD 的最值.【详解】（1）由题意得，1AD =百米，2CD =百米，5π6ADC ∠=，所以在ADC △中，由余弦定理得2222cos AC DA DC DA DC θ=+-⋅(5π14212cos526=+-⨯⨯=+百米，于是四边形ABCD 的面积为21sin 2ADC ABC S S S DA DC AC θ=+=⋅△△111222=⨯⨯⨯=（2）在ADC △中，由余弦定理得：2222cos AC DA DC DA DC θ=+-⋅14212cos 54cos θθ=+-⨯⨯⨯=-，∴AC BC ==百米，在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC DADCA θ=∠，即sin sin DA DCA AC θ∠==，又DA DC <，所以DCA ∠为锐角，∴cosDCA ∠=，∴πcos cos cos cos sin s 3πn3πi 3DCB DCA DCA DCA ⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭=在DBC △中，由余弦定理得：2222cos DB DC BC DC BC DCB =+-⋅∠454cos 22θ⎛⎫=+--⨯π52cos 54sin6θθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．∵()0,πθ∈，∴当2π3θ=时，BD 的最大值为3百米．。

2022-2023学年茂名市第一中学初一数学上学期期中考试卷考试时间:90分钟总分：120分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．－2022的相反数是（）A ．－2022B ．12022C ．2022D ．12022-2．为了驰援上海人民抗击新冠肺炎疫情，柳州多家爱心企业仅用半天时间共筹集到了220000包柳州螺蛳粉，通过专列统一运往上海，用科学记数法将数据220000表示为（）A ．0.22×106B ．2.2×106C ．22×104D ．2.2×1053．下列图形绕虚线旋转一周，能形成圆锥体的是（）A ．B ．C ．D ．4．计算：（﹣27）×（1543927-+）的结果为（）A ．23B ．2C ．103D ．105．如图是正方体的一个平面展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是()A ．友B ．善C ．诚D ．信6．下列结论中，正确的是（）A ．多项式πx 2+4x ﹣3是项数和次数都是3B ．3x 2y 与﹣2xy 2是同类项C ．代数式x 2+4x ﹣3的常数项是3D ．单项式﹣235x y系数是﹣35，次数是37．长方形窗户上的遮光装饰物如图中阴影部分所示，它是由两个半径均为b 的四分之一圆组成，则该窗户能射进阳光部分的面积是（）A ．22b πB ．22ab b π-C ．222ab b π-D ．224ab b π-8．有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列结论中正确的有（）个①a ＞b ；②b +c ＞0；③a ﹣c ＜0.A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9．一个正方体锯掉一个角后，所得几何体的顶点个数是（）A ．7个或8个B ．8个或9个C ．7个或8个或9个D ．7个或8个或9个或10个10．a 是不等于2的有理数，我们把22a-称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是223-＝﹣2，﹣2的“哈利数”是212(2)2=--，已知a 1＝3，a 2是a 1的“哈利数”，a 3是a 2的“哈利数”，a 4是a 3的“哈利数”，…，依此类推，则a 2019＝（）A ．3B ．﹣2C ．12D ．43二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．用“>”，“<”，“=”填空：56-_________65-．12．单项式23与－32是同类项，则y x =_______13．若()2320x y -++=，则2x y +的值为____．14．一个棱柱有10个面，且所有侧棱的和为40cm ，则每条侧棱长为_____cm ．15．如图，在数轴上点A 表示1，现将点A 沿x 轴做如下移动：第一次点A 向左移动3个单位长度到达点1A ，第二次将点1A 向右移动6个单位长度到达点2A ，第三次将点2A 向左移动9个单位长度到达点3A ，按照这种移动规律移动下去，则线段1314A A 的长度是．三、解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分）16．（8分）计算：(1)20+(－14)－(－18)．(2)23422293⎛⎫-÷⨯--- ⎪⎝⎭17．（8分）化简：(1)－ab＋5ab－2ab；(2)5x2－xy＋2xy－3x2；18．（8分）某几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它从正面和上面看到的图形如图所示的，求该几何体的体积.( 取3.14,单位:cm)从正面看从上面看四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）19．(9分，每空1分)在括号里填上适当的代数式：（1）每千克苹果a元，每千克香蕉b元(a＞b)，每千克苹果比每千克香蕉贵（）元；若买3千克苹果，2千克香蕉则需要（）元；（2）把x毫升可乐平均分给5个小朋友，每个小朋友分得可乐（）毫升；若平均分给y个小朋友，每个小朋友分得可乐（）毫升；（3）地球的直径是m万千米，太阳的直径是地球直径的109倍，太阳的直径是（）万千米，比地球多（）万千米；（4）一件衣服进价a元，商店提高20%标价，则标价（）元；后来该店搞活动，决定打九折出售，则这件衣服售价（）元，出售后可获得利润（）元.20．（9分）观察数轴，回答下列问题：(1)点A、B、C表示的数分别为2,0,－3.5，请在数轴上标出点A、B、C；（3分）(2)大于-3并且小于2的整数有哪几个？（4分）(3)在数轴上到表示-1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？（2分）21．（9分）用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题：(1)填空：=a _________，b =__________，c =______________；（3分）(2)这个几何体最多由几个小立方体搭成？（3分）(3)当1d f ==，2e =时，画出这个几何体从左面看到的形状图．（3分）五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分）22．（12分）某巡警车在一条南北大道上巡逻，某天从岗亭A 出发，规定向北方向为正，向南方向为负，当天行驶纪录如下：-10，-9，+7，-15，+6，-5，+4，-2（单位：千米）(1)最终巡警车是否回到岗亭A 处？若没有，在岗亭何方，距岗亭多远？（6分）(2)摩托车行驶1千米耗油0.2升，油箱有油10升，够不够？若不够，途中还需补充多少升油？（6分）23.（12分）类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：222÷÷可写作2③，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)写作(-3)④，一般地把n 个a 相除写作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．(1)直接写出计算结果：2③=_______；−=_______．（4分）（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下：除方→2④21111222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭→乘方的形式仿照以上例子，把除方运算写乘方形式：()3-⑤=______，15⎛⎫⎪⎝⎭⑥=_______．（4分）(3)算一算：231112(2)333⎛⎫⎛⎫÷-⨯---÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④⑥⑥．（4分）初一数学答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1~10．CDCBD DCBDC【解析】9．如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点个数分别为：7个、8个、9个或10个.故选D.10．分别求出前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．∵a1＝3，∴a2＝223-＝﹣2，a3＝21 2(2)2=--，a4＝213 224= -，a5＝23 243=-，∴该数列每4个数为一周期循环，∵2019÷4＝504…3，∴a2019＝a3＝12．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．>12．813．-114．515．42．【解析】14.根据这个棱柱有10个面，可知这个棱柱是8棱柱，有8条侧棱，再根据所有侧棱的和为40cm，即可得出每条侧棱长为40÷8＝5（cm）故答案为5．15．根据观察可知，AA1=3=1×3，A1A2=6=2×3，A2A3=9=3×3，…故A13A14的长度为14×3=42．三、解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分）16．（1）(4分)解：原式=20-14+18(2)(4分)解：原式=−8×94×49−2=6+18=−8−2=24=−1017．（1）(4分)解：原式=（－1＋5－2）ab＝2ab（2）(4分)解：原式＝5x2－3x2＋2xy－xy＝2x2＋xy18．(8分)解：该几何体上部分是一个圆柱，底面直径是20cm，高是32cm；下部分是一个长方体，长、宽、高分别是30cm，25cm，40cm，所以该几何体的体积为23 203.14(3230254040048(cm)2⨯⨯+⨯⨯=答：该几何体的体积为40048cm²（8分）四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）19．(9分,每空1分)（1）−H3+2（2）5;（3）109H108（4）1.2H 1.08H0.0820．（9分）解：（1）点A 、B 、C 如图所示（3分）（2）由数轴可知大于-3且小于2的整数有-2，-1，0，1；（7分）（3）在数轴上到表示-1的点的距离等于2个单位长度的点有-1+2=1或-1-2=-3，即在数轴上到表示-1的点的距离等于2个单位长度的点有-3或1．（9分）21．（9分）解：（1）根据从正面看，a 所在列有3个小正方体，所以a =3；b ，c 所在列有一个小正方体，所以b =1、c =1，故答案为：3，1，1．（3分）（2）当d =e =f =2时，最多，（4分）最多为2+2+2+1+1+3=11．（6分）（3）当1d f ==，2e =时，这个几何体从左面看得到的形状图如下：．（9分）五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分）22．（12分）解：（1）-10+(-9)+7+(-15)+6+(-5)+4+(-2)＝-24(千米)，（3分）所以巡警车没有回到岗亭，即最终巡警车在岗亭A 处正南方，距离24千米处．（6分）（2）行驶路程＝10+9+7+15+6+5+4+2＝58(千米)，（8分）需要油量＝58×0.2＝11.6(升)，（9分）11.6＞10，故油不够，（10分）11.6-10=1.6(升),需要补充1.6升．（12分）23．（12分）解：（1）122222=÷÷=③，12⎛⎫- ⎪⎝⎭③1112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-÷-÷-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：12，2-；（4分）（2）()3-⑤311111(3)(3)(3)(3)(3)(3)33333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-÷-÷-÷-÷-=-⨯-⨯-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，15⎛⎫ ⎪⎝⎭⑥411111115555555555555=÷÷÷÷÷=⨯⨯⨯⨯⨯=，故答案为：313⎛⎫- ⎪⎝⎭，45；（8分）（3）21123⎛⎫÷- ⎪⎝⎭④()2⨯-⑥13⎛⎫-- ⎪⎝⎭⑥33÷()()424114433272⎛⎫=÷-⨯---÷ ⎪⎝⎭11449812716=÷⨯-÷116316=⨯-13=-2=-．（12分）。

茂名市第一中学2022-2023学年度第一学期期中考试初三数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数是（）A. B. C. D.2. 在，，，则的值是（）A. B. C. D.3. 如图，直线a b c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为( )A 9 B. 5 C. 4 D. 34. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（）A. 0B. －10C. 3D. 105. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. 且 D. 且6. 如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（）A. B. C. D.7. 已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是一个正三角形，则该几何体的体积等于（）A. B. C. D.8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且BF＝AF，则k的值（ ）A. 3B. 6C. 8D. 129. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C 点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（ ）A. 3sB. 3s或5sC. 4sD. 5s10. 彼此相似矩形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点、的坐标分别为（1，2），（3，4），则的坐标是（）.A. （，）B. （﹣，）C. （﹣，）D. （﹣1，）二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11. 使﹣有意义的x的取值范围是___．12. 如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度．13. 某超市销售一种水果，若每千克盈利10元，则每天可销售500千克经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元．设每千克涨价x元，可列方程为___．14. 如图，已知反比例函数与正比例函数的图象，点、点与点均在反比例函数的图象上，点在直线上，四边形是平行四边形，则点的坐标为_________．15. 如图，在直角梯形中，，，，以为一边的等边三角形的另一顶点E在腰上，点F在线段上，，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤点F是线段的中点．其中正确的结论是___________．三、解答题（16-18每题8分，19-21每题9分，22-23每题12分，共75分）16. 解方程．17. 先化简，再求值：，其中a ＝－1．18. 已知：如图，四边形是平行四边形．（1）尺规作图：作的角平分线交于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；（2）求证：．19. 某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．根据以上的信息，回答下列问题：（1）被调查学生的总数为__________人，统计表中m的值为__________统计图中n的值为__________；（2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为__________；（3）喜爱体育电视节目的学生中有4人甲、乙、丙、丁在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少？类别A B C D E节目类型新闻体育动画娱乐戏曲人数2460m1081820. 如图，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若，．（1）求长；（2）求的正切值．21. 上饶县道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？22. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点，反比例函数的图象与BC，AB分别交于D、E，．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）如图2，平移直线AC，当AC与反比例函数只有一个交点时，求此交点坐标；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．23. 如图，矩形中，，，点E上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．（1）当点E在上时，作，垂足为M，求证；（2）当时，求的长；（3）连接，点E从点B运动到点C的过程中，试探究的最小值．茂名市第一中学2022-2023学年度第一学期期中考试初三数学答案一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】A二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）【11题答案】【答案】x>2．【12题答案】【答案】30【13题答案】【答案】(10+x)(500-2x)=6000##(500-2x)(10+x)=6000【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②③④⑤三、解答题（16-18每题8分，19-21每题9分，22-23每题12分，共75分）【16题答案】【答案】，【17题答案】【答案】，．【18题答案】【答案】（1）略（2）略【19题答案】【答案】（1）300，90，36；（2）；（3）【20题答案】【答案】（1）（2）【21题答案】【答案】（1）60，30；（2）36.【22题答案】【答案】（1），（2）（3）点G的坐标为或都在反比例函数图象上【23题答案】【答案】（1）略（2）（3）。

茂名市第一中学2023—2024学年度第一学期期中考试高一数学试卷参考答案及评分标准1.【答案】D【解析】根据题意，集合M ＝{x |﹣1≤x ＜5}，N ＝{x ||x |≤2}，由|x |≤2可得，﹣2≤x ≤2，则N ＝{x |﹣2≤x ≤2}，则M ∪N ＝{x |﹣2≤x ＜5}，2【答案】D【解析】若1a =，2b =−，则满足a b >，不满足22a b >；由22a b >可得()()0a b a b +−>，不能推出a b >，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件.3【答案】B【解答】解：不等式 ，移项得：，即 ≤0，解得：≤x ＜2， 则原不等式的解集为：≤x ＜24【答案】C【解答】解：不等式（2x +1）（x ﹣3）≥0对应方程的两个实数解是﹣和3，所以不等式的解集为{x |x ≤﹣或x ≥3}，所以使不等式（2x +1）（x ﹣3）≥0成立的一个充分不必要条件是不等式解集的真子集． 5【答案】B【详解】因为命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +−+≤”是假命题， 所以212(1)02x a x +−+>恒成立，所以21Δ(1)4202a −−××<，解得13a −<<， 故实数a 的取值范围是(1,3)−．故选B ．6【答案】C【解析】对于A ：因为ac 2＞bc 2，所以c 2＞0，所以a ＞b ，故A 正确；对于B ：因为a ＜b ＜0，所以﹣a ＞﹣b ＞0，两边同乘以﹣a 得a 2＞ab ，故B 正确；对于C ：因为c ＞a ＞b ＞0，所以0＜c ﹣a ＜c ﹣b ，所以1cc−aa ＞1cc−bb ＞0， 又a ＞b ＞0，两式相乘得aa cc−aa ＞bb cc−bb ，故C 错误； 对于D ：(aa −1bb )−(bb −1aa )=(aa −bb )−(1bb −1aa )=(aa −bb )−(aa−bb aabb )=(aa −bb )(aabb−1aabb )， 因为a ＞b ＞1，所以ab ＞1，所以(aa −bb )(aabb−1aabb )＞0，所以aa −1bb ＞bb −1aa ，故D 正确． 7【答案】A 【解答】解：∵集合M ＝{x |x ＝5k ﹣2＝5（k ﹣1）+3，k ∈Z }，P ＝{x |x ＝5n +3，n ∈Z }，∴M ＝P ，S ＝{x |x ＝10m +3，m ∈Z }＝S ＝{x |x ＝5×2m +3，m ∈Z }⫋P ＝{x |x ＝5n +3，n ∈Z }，∴S ⫋P ＝M ，8【答案】A【详解】由()210x a x a −++<可得()()10x x a −−<； 若1a =，则不等式解集为空集；若1a >，则不等式解集为{|1}x x a <<，此时要使不等式解集中恰有2个整数，则这两个整数为2、3，则34a <≤；若1a <，则不等式的解集为{|1}x a x <<，此时要使不等式解集中恰有2个整数，则这两个整数为1,0−；所以21a −≤<−；综上34a <≤或21a −≤<−，9【答案】AD【解析】命题p 的否定是2,220∀∈++≥R x x x ，故A 正确；x y >不能推出x y >，例如21−>，但21−<；x y >也不能推出x y >，例如23>−，而23<−； 所以“x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故B 错误；当0x =时，20x =，故C 错误；的关于x 的方程220x x m −+=有一正一负根44000m m m −> ⇔⇔< < ， 所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m −+=有一正一负根”的充要条件，故D 正确.10.【答案】ABC解：因为不等式20ax bx c ++≥的解集是{}12x x −≤≤，所以0a <，且121020b a c a−=−+=> =−< ，所以0,,0,b b a c > =− > 所以0a b +=，0c >，0b >，所以0a b c ++>， 故A 、B 、C 正确，D 错误．故选ABC ．11.【答案】ABD【解析】因为0a >，0b >，且4a b +=，则2042a b ab + <≤=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，所以，114ab ≥，A 对； ()1111111221444a b a b a b a b b a +=++=++≥+=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，B 对；22a b +≤=，当且仅当2a ==时，等号成立，C 错； 因为222a b ab +≥，则()()222222216a b a b ab a b +≥++=+=，故228a b +≥， 当且仅当2a b ==时，等号成立，D 对.12【答案】ACD【详解】由题设，2(1)(3)22320a x x ax ax a −++=+−+>的解集为()12,x x ，∴a<0，则12122230x x x x a +=− =−<， ∴1220x x ++=，12230x x a+=<，则A 、D 正确； 原不等式可化为()(1)(3)2f xa x x =−+>−的解集为()12,x x ，而方程()f x =0的根分别为3,1−,且开口向下，又12x x <，如下图示，∴由图知：1231x x <−<<，124x x −>，故B 错误，C 正确.13.【答案】∀x ≥1，x 2＜1．14【答案】0【解析】【详解】因为A B =，所以22m m =−，解得0m =或2−， 当2m =−时，224m m =−=，而集合的元素具有互异性，故2m ≠−，所以0m =，【详解】令m x y =−，4n x y =−，则343n m x n my − = − = ，所以85933z x y n m =−=−．因为41m −≤≤−，所以5520333m ≤−≤．因为15n −≤≤，所以8840333n −≤≤，所以120z −≤≤. 16【答案】4【解答】解：由题意可得0＜z ＜1，0＜1﹣z ＜1，∴z （1﹣z ）≤（）2＝，当且仅当z ＝（1﹣z ）即z ＝时取等号，又∵x 2+y 2+z 2＝1，∴1﹣z 2＝x 2+y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，∴≥1，∴≥1，∴≥，∴≥≥4， 当且仅当x ＝y ＝且z ＝时取等号，∴S＝的最小值为417【答案】（1）{}1,4A B∩=，{}1,3,4,5,6A B=；（2）{}5,6.【详解】解：（1）因为{}1,3,4A=.........1分{}1,4,5,6B=，.......2分所以{}{}{}1,3,41,4,5,61,4 A B==...4分，{}{}{}1,3,41,4,5,61,3,4,5,6 A B==...6分（2）因为{}1,2,3,4,5,6U=，所以{}6,5,2=ACU，.......8分所以(){}{}{}6,56,5,4,16,5,2B=∩=∩ACU........10分18【解析】（1）因为0＜x＜1，所以x>0, 3﹣3x>0. .....1分y＝x（3﹣3x）＝3•x（1﹣x）≤3×(xx+1−xx2)2=34，.......3分当且仅当x＝1﹣x，即x=12时取等号.......5分故y＝x（3﹣x）的最大值为34；.......6分（2）因为a，b，c均为正数，且a+b＝1，则aa+1aa+2bb=1+(1aa+2bb)(aa bb)=4+bb aa+2aa bb≥4+2√2，.....9分当且仅当b=√2aa且a+b＝1，即a=√2−1，b＝2−√2时取等号，......11分所以1aa+2bb的最小值为4+2√2．......12分19解（1）不等式可改写为，即可将这个不等式转化成，解得所以A=......2分{}1110))(1(0)12(22+<<=+<<<+<−−−<+++−m x m x B m x m mm m x m x m m x m x 得又由.....4分因为B ⊆A所以 ≤+−≥111m m 解得01≤≤−m实数m 的范围为{}01≤≤−m m ....6分（2）当C ∩D ＝∅时，当D ＝∅时，m +1＞2m ﹣1，即m ＜2，....8分当D ≠∅时，或，....10分 解得，m ＞4，....11分综上，C ∩D ＝∅时，m ＞4或m ＜2，故当C ∩D ≠∅时，实数m 的取值范围为{}42≤≤m m ．....12分 20【详解】（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件），21【解答】解：（1）把二次函数解析式配成顶点式，得，因为抛物线开口方向向上，对称轴是，....1分函数的最小值为，....2分所以当，当x＝﹣2时，函数取得最大值19，....3分综上当，；当x＝﹣2，y max＝19．...4分（2）y＝x2+2ax+1＝（x+a）2+1﹣a2∴其对称轴为x＝﹣a，其图象开口向上，，①当，即时，此时x＝2离对称轴更远，∴当x＝2时有最大值，最大值为5+4a，∴5+4a＝4，解得； ....8分②当，即时，此时x＝﹣1离对称轴更远，则当x＝﹣1时函数有最大值，最大值为2﹣2a，∴2﹣2a＝4，解得a＝﹣1．综上所述a的值为﹣1或． ....12分22【答案】解：(1)由题有aaxx2−(aa+2)xx+2<3−2xx恒成立，即aaxx2−aaxx−1<0恒成立，当aa=0时，−1<0恒成立，符合题意，....1分当aa≠0时，则�aa<0△=aa2+4aa<0，得�aa<0−4<aa<0，....2分得−4<aa<0，综上，a的取值范围为(−4,0].....3分(2)由题aaxx2−(aa+2)xx+2≥0，即(aaxx−2)(xx−1)≥0，由aa>0，则(xx−2aa)(xx−1)=0，且2aa−1=2−aa aa，①当0<aa <2时，2aa >1，不等式的解集为{xx |xx ≤1或xx ≥2aa }，....4分 ②当aa =2时，不等式的解集为R ，....5分③当aa >2时，2aa <1，不等式解集为{xx |xx ≤2aa或xx ≥1}，....6分 综上可得当0<aa <2时，不等式的解集为{xx |xx ≤1或xx ≥2aa}， 当aa =2时，不等式的解集为R ， 当aa >2时，不等式解集为{xx |xx ≤2aa 或xx ≥1}，....7分(3)当mm >0时，令tt =mm +1mm +1≥2� mm ×1mm +1=3， 当且仅当mm =1时取等号，....8分 则关于x 的方程ff (|xx |)=tt 可化为aa |xx |2−(aa +2)|xx |+2−tt =0， 关于x 的方程为aa |xx |2−(aa +2)|xx |+2−tt =0有四个不等的实数根， 即aaxx 2−(aa +2)xx +2−tt =0，有两个不同的实数正根， 则⎩⎨⎧△=(aa +2)2−4aa (2−tt )>0aa +2aa >02−tt aa >0， 由2−tt aa >0，且tt ≥3,知aa <0,再结合aa +2aa >0解得aa <−2，....10分 又存在tt ∈[3,+∞)使得不等式△=+2)2−4aa (2−tt )>0即4aatt +(aa +2)2−8aa >0成立， 故4aa ×3+(aa +2)2−8aa >0，即aa 2+8aa +4>0， 解得aa <−4−2√ 3或aa >−4+2√ 3， 综上可得aa <−4−2√ 3，所以a 的取值范围为{aa |aa <−4−2√ 3} ....12分。