高中数学《第三章概率3.3几何概型3.3.2均匀随机数的产生》126教案教学设计讲

1教学设计表课题3.3.2均匀随机数的产生学科（版本）人教A版教师姓名吕茗学时3课时（本节为第一课时）章节必修3第三章教材分析本节内容是在学生学习古典概型、整数随机数的产生以及几何概型后,概率必修内容的最后一节.笔者认为本节课从教学上经常会走入两个误区：一是从考查出发过于强调会面问题作为几何概型的理论解法而忽视了随机模拟的思想渗透；二是过于强调计算机的操作讲成了EXCEL使用的操作课.本节课在研究教材之后,定位为随机模拟思想渗透课.让学生在利用几何概型面积比的基础上认识到两个时间变量各自变化的特点及成功概率的要求,为随机模拟奠定基础,进而为了加深学生学数学用数学的意识,加深对随机模拟应用的理解,设计了随机模拟中手工模拟“转表盘”试验（学生全员参与,分组合作学习)和“EXCEL”模拟演示,展现数据产生及汇总,通过数据统计,柱形图、折线图和散点图的绘制,揭示随机模拟的本质是频率的稳定值就是概率,从而理解几何概型概率求解的两种方法：理论计算和随机模拟.进而解决两个问题1．利用随机模拟的方法求概率2．利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积.本节教学设计不仅要教会学生解决会面问题的理论运算,还需要给学生展示随机模拟的方法和可操作性,培养学生学数学用数学的意识,全面提高学生的数学素养.学情分析概率论是一门重要的数学分支,概率来源于生活,最终也将应用于生活,伴随着科学技术的发展以及计算机的普及化,概率论已被广泛应用于各个行业,对于分析社会现象、研究自然科学以及处理工程和公共事业提供了极大地帮助.然而学生的概率学习还大都停留在概率的理论计算上,即便在学习了古典概型整数型随机模拟的基础上仍不太理解随机模拟的价值和操作.3.3.1几何概型的学习掌握了几何概型求比值（面积比体积比）的思路,但对于本节课会面问题没有明显面积图示的还需引导.文科班学生基础稍弱,班级学生学习能力存在差异,小组学习比较有效,能起到互帮互助互相监督的作用,有助于提高学生学习中动手动脑的参与2度.结合以上分析,本节课借助智慧课堂的教学结构,着力营造“以生为本”的课堂结构,加强互动与反馈,利用“云·网·端”实现课堂教学的精准高效.教学目标（1）让学生理解如何利用计算器或计算机产生均匀随机数. （2）通过实例会面问题让学生经历问题的探究过程,从而理解随机模拟方法,并能针对具体问题设计正确的概率模型,体会用频率估计概率的统计思想；体会用随机模拟方法解决未知量近似值的方（3）理论计算培养学生严谨治学；试验探究培养学生主动参与,小组合作；计算机模拟让学生有意识的运用计算机辅助功能解决问题,不停留在一支笔一张纸学数学.在新课程要求下,重视学生的思考能力,动手能力,操作能力的培养. 教学重、难点重点：会面问题的理论计算与随机模拟,均匀随机数产生的方法及意义.难点：均匀随机数产生的意义解决问题.智慧课堂主要特征及手段1.课前预习推送预习提纲及抛硬币的试验微课,数据汇总,得出学生能力稍弱,教师调整备课,以生为本,略放宽了对理论计算的引导和讲评.2.任务驱动：通过本节的学习你能归纳出均匀随机数产生的方法和意义吗？学生带着任务在探索中学习,可以更大地激发他们的求知欲望,培养出独立探索、勇于开拓进取的自学能力.3.课上会面问题以智慧课堂平台主观题发布,答案汇总,讲评有针对性.手工转表盘试验数据汇总以智慧课堂平台投票形式发布,条形图结果一目了然.5.多次Excel操作演示,体现计算机统计汇总功能,避免数学学习停留在一支笔一张纸状态.6.Excel条形图,折线图,散点图,多角度数据呈现,帮助学生理解.7.融会贯通习题以智慧课堂平台选择题形式发布,正确率汇总一目了然.8.小组合作学习,不仅使学生”学会”、”会学”,而且使学生”乐学”、”好学”,3同学之间互教互学、彼此交流知识的过程,也是互爱互助、相互沟通情感的过程,满足了每个学生”影响力”和”归属感”方面的情感需求.9.课后推送作业题及学生活动探究题,数据汇总,为第二课时备课上课提供基础.系统组成智慧课堂系统框架、设备及系统介绍等（微云服务器、移动端工具、智慧课堂云平台；教学资源）科大讯飞智慧课堂系统（硬件：微云主机,教师、学生终端,软件：讯飞智慧课堂、作业平台、智学网、教学资源平台、微课平台）+奥威亚录播系统（硬件：录播主机,音频矩阵,软件：录播系统,录播与直播系统,视频编辑软件）一、导学提示,自主学习教师活动一、导学提示,自主学习附：预习提纲微课二、新课引入,任务驱动1.复习引入1）几何概型的定义及其特点?如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.一般地,在几何概型中事件A发生的概率计算公式为：学生活动预习提问：古典概型与几何概型的区别与联系？学生回答：学生回答结果：能讲清有限个和无限个的区别,但不能完整表达（基本事件有有限个）教师强调.使用到的智慧课堂设备功能应用及效果分析由课前预习推送后练习数据汇总的结果看,文科学生基础薄弱,能力略差,教师调整备课,以生为本,略放宽了对会面问题理论计算的引导和讲评.4APA构成事件的区域长度面积或体积试验全部结果构成的区域长度面积或体积二、新课引入,任务驱动（2）古典概型与几何概型的区别与联系相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个;几何概型要求基本事件有无限多个.课题引入：在前面,我们可以利用计算机或计算器产生的整数值随机数,可以近似估计典概型的概率.同样地,利用计算机或计算器产生的均匀随机数,也可以解决几何概型的问题.（整数值）随机数的产生均匀随机数的产生2.任务驱动通过本节的学习你能归纳出均匀随机数产生的方法和意义吗？三、新知建构,典例分析1.均匀随机数的产生均匀随机函数-------rand()在Excel中产生［0,1］区间上均匀随机数演示：任务驱动要求学生带着任务学习：通过本节的学习你能归纳出均匀随机数产生的方法和意义吗？提问：（1）产生［0,100］区间上均匀随机数呢？（2）产生［100,150］区间上均匀随机数呢？（3）产生［a,b］区间上均匀随机数呢小组讨论：问题1：会面问题是哪一种概率模型？是否符合这类概率模型的两大特征？问题2：你认为应该转化为怎样的形式求解？学生回答,帮助学生理清思路,明确设量建系,量化面积,计算概率的步骤.学生带着任务在探索中学习,可以更大地激发他们的求知欲望,培养出独立探索、勇于开拓进取的自学能力；演示：在Excel中演示均匀随机数的产生,解释均匀随机数的“均匀．．”、“随机．．”的意义.利用畅言智慧课5三、新知建构,典例分析在Excel中演示均匀随机数的产生,解释均匀随机数的“均匀．．”、“随．机．”的意义.提问：（1）产生［0,100］区间上均匀随机数呢？（2）产生［100,150］区间上均匀随机数呢？（3）产生［a,b］区间上均匀随机数呢※联系三角函数伸缩平移变换的方法,突出区间长度的影响,学会利用均匀随机数rand()解决任意区间均匀随机数.2.会面问题解决课本第137页例2：假设你家订了一份报纸,邮递员可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（成为事件A）的概率是多少？过渡延伸：至此,我们解决了会面问题的理论计算就是求好面积比.类比古典概型及整数型随机数的产生我们知道我们有两种方法计算该事件的概率：(1)利用几何概型的理论计算；(2)强调理论计算解决会面问题的数学思想.学生活动：讨论结果：学生提出了：“转表盘”手工试验模拟.给出了大致的试验步骤如下：堂提问的方式设置主观题格式发布习题,学生以两人小组形式拍照上传.教师讲评,注重方法,强调细节.汇总数据及时,通过展示学生的答题情况,规范答题格式与细节,学生印象深刻.。

3.3.2均匀随机数的产生教材地位分析在现实生活中，很多随机问题无法用公式求得准确概率，于是在高中数学的概率模块学习中，新增了随机模拟这一重要内容。

本课作为概率必修的章节的尾声，在掌握了概率定义，古典概型整数值随机数的产生及几何概型公式计算的基础上，学习均匀随机数的产生方法，并运用于随机模拟试验中，为解决现实生活中的随机问题，提供了另一个实用可操作的途径。

教学内容分析本课教学的主要内容是：学习用计算器（机）产生均匀随机数的一般方法；探究例2，一方面用随机模拟的方法统计事件发生的频率，并估计为概率，另一方面用几何概型的公式计算得到准确的概率，并验证随机模拟结果的可靠性；最后通过例3圆周率的估计问题来巩固随机模拟的思想方法。

●教学重点：学习用计算器（机）产生均匀随机数的一般方法；用随机模拟的方法解决例2的送报纸问题。

●教学难点：随机模拟试验的设计过程。

教学目标设置通过本课的学习，希望学生能达到以下三个层次的目标●知识目标：了解均匀随机数的特点；熟练掌握用计算器和计算机产生均匀随机数方法；通过例2和例3，学会设计随机模拟试验。

●能力目标：提升数据处理能力，实践操作能力和归纳总结能力●思想目标：巩固和深化频率估计概率的随机模拟思想。

学生学情分析本节课教学对象是高二学生，具备以下知识和能力：●已学习概率的定义，理解随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；●在古典概型的学习中，已初步接触了随机模拟试验；●已经学习几何概型的公式计算方法，并基本能识别不同几何测度的概率问题；教学策略分析在高考中，随机模拟试验的内容较少涉及，传统授课中，例2送报纸问题常以几何概型公式计算的方法为教学重点。

但在数学核心素养的培养中，数学建模与数据处理是重要的部分，而随机模拟是此能力培养的重点内容之一，教学中需提供大量实践操作的机会。

故本课采用数学试验的教学策略，从试验原理的引入到试验工具的学习，从设计试验的方案到体验试验的操作，应用理论对试验结果进行论证，最后提炼出试验的主要思路，并加以巩固运用，让学生体验随机模拟试验的全过程。

学科网新高考·优选资源·源于一线1第三章概率3.2.2（整数值）随机数本节课是高中数学必修3（人教A版）第三章3.2.2，用随机模拟的方法模拟随机现象称为统计试验.这里必须明确随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值,每次试验得到的结果可能是不同的.产生随机数的方法有两种:(1)由试验产生的随机数:例如我们要产生1—25之间的随机整数,我们把25个大小形状等均相同的小球分别标上1,2,3,…,24,25,放入一个袋中,把它们充分搅拌.然后从中摸出一个球,这个球上的数就是随机数.一般当需要的随机数个数不是太多时,可以用这种方法产生随机数.如果需要随机数的量很大,这种方法就不是很方便,因为速度太慢.(2)用计算器或计算机产生随机数:由于计算机或计算器产生的随机数是根据确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),具有类似随机数的性质,但并不是真正的随机数,称为伪随机数.在随机模拟中,往往需要大量的随机数,这时会选择用计算机产生随机数.这部分内容是新增加的内容,是随机模拟中最简单、易操作的部分,所以要求每个学生会操作.具体教学时,教师可以在课堂上带着学生用计算器操作一遍,然后让学生模拟掷硬币的试验或掷骰子的试验,并统计试验的结果.根据试验结果,教师可以设计一些与上一章统计部分相联系的问题,通过知识的相互联系,可以帮助学生更好地理解概率的意义和一些统计思想.例如:每个学生模拟掷一个硬币的试验20次,统计出现正面的频数与频率,并可用频率估计概率,在此基础上进一步提出问题:这个估计的精度如何?误差大吗?不同的计算器产生随机数的操作步骤可能不同,教科书中仅是以一种计算器为例给出产生随机数的步骤.教学中,可以让学生自己看计算器的说明书,按说明书的提示进行操作. [来源:]课程目标学科素养1.通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,了解随机数的概念；2.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯；3.利用计算机产生随机数,并能直接统计出a.数学抽象：随机数的概念；b.逻辑推理：运用随机数法求概率；c.数学运算：运用随机数法计算概率；d.直观想象：运用图示等方法列举基本事件；e.数学建模：在实际问题中运用随机数法；学科网新高考·优选资源·源于一线2频数与频率.通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点。

均匀随机数的产生教学分析本节在学生已经掌握几何概型的基础上,来学习解决几何概型问题的又一方法,本节课的教学对全面系统地理解掌握概率知识,对于培养学生自觉动手、动脑的习惯,对于学生辩证思想的进一步形成,具有良好的作用.通过对本节例题的模拟试验,认识用计算机模拟试验解决概率问题的方法,体会到用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.一：三维目标：知识与技能：（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．过程与方法：（1）发现式教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.学习时养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探索创新能力。

情感态度与价值观：通过对本节知识的探究与学习，感知用随机模拟解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理方法。

通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯.二、重点与难点：重点：掌握[0,1]上均匀随机数的产生及[a,b]上均匀随机数的产生。

学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、学法与教学用具：1、学法：实验探究，小组合作，教师引导与讲授。

2、教学用具：计算器及多媒体，幻灯片16张。

四、教学过程：导入新课在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？引出本节课题：均匀随机数的产生.提出问题(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数.(5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的均匀随机数.(6)［a,b］上均匀随机数的产生.活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导.讨论结果：(1)在一个试验中如果a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability ）,简称古典概型.古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P （A ）=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A . (2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可.(4)我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法如下：试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟.(5)a.选定A1格,键入“=RAND （）”,按Enter 键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.b.选定A1格,按Ctrl+C 快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V 快捷键,则在A2—A50, B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.(6)［a,b ］上均匀随机数的产生：利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,然后利用伸缩和平移变换,X=X*(b-a)+a 就可以得到［a,b ］上的均匀随机数,试验结果是［a,b ］内任何一实数,并且是等可能的.这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率. 应用示例例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？活动：用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6.5,利用计算机产生A 是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5,即A＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概率的计算公式计算.解法一：1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.4.选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.6.选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.解法二：以横坐标X 表示报纸送到时间,以纵坐标Y 表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A 发生,所以P(A)=8712121211=⨯⨯-. 例2 在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.解法1：随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即落在正方形中的豆子数落在圆中的豆子数正方形的面积圆的面积≈. 假设正方形的边长为2,则422ππ=⨯=正方形的面积圆的面积. 由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以π≈落在正方形中的豆子数落在圆中的豆子数×4, 这样就得到了π的近似值.解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a 1=RAND （）,b 1=RAND （）.（2）经过平移和伸缩变换,a=(a 1-0.5)*2,b=(b 1-0.5)*2.（3）数出落在圆x 2+y 2=1内的点（a,b ）的个数N 1,计算π=NN 14（N 代表落在正方形中的点（a,b ）的个数）.点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.例3 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x 2所围成的部分）的面积.分析：师生共同讨论,在坐标系中画出矩形（x=1,x=-1,y=1和y=-1所围成的部分）,利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比值,等于阴影面积与矩形面积的比值.解：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a 1=RAND （）,b=RAND （）.（2）进行平移和伸缩变换,a=(a 1-0.5)*2.（3）数出落在阴影内（即满足0<b<1且b-a 2>0）的样本点数N 1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N 1=698,所以S≈NN 12=1.396. （N 代表落在矩形中的点（a,b ）的个数）.五、课堂练习：教材140页练习：1、2六、课堂小结：1.利用计算机产生任意区间[a ，b]上的均匀随机数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、参数值、面积等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.七、课后作业：1、课本习题3.3B 组题.2、复习本章板书设计教学反思： 本节课我们根据问题的需要利用一组随机数进行模拟试验,也利用两组随机数进行模拟试验.用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识；相信通过本节的学习一定会提高同学们的应用能力,也能解决平常不能解决的一些问题.但部分学生对计算机产生均匀随机数掌握的不是很好，老师还需课下辅导。

3.3.2均匀随机数的产生（1）产生两组0～1之间的均匀随机数，X RAND =，Y RAND =；（2）数出0.5Y X >-的个数1N ，计算()1n N f A N=（N 代表每组均匀随机数的个数）。

教师展示频率分布折线图 方法2：（计算）以横坐标X 表示报纸送到时间,以纵坐标Y 表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件。

根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A 发生,所以11117222()18P A -⨯⨯==。

设计意图：及时练习巩固 和提升，让学生感受频率的随机性和相对稳定性，同时用计算验证随机模拟的可靠性。

方法1：（试验模拟）随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即≈圆的面积落在圆中的豆子数正方形的面积落在正方形中的豆子数，假设正方形的边长为2,则224ππ==⨯圆的面积正方形的面积.由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4，这样就得到了π的近似值。

方法2：（计算机模拟）（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数 1a RAND =,1b RAND =。

（2）经过平移和伸缩变换, 12(0.5)a a =-, 12(0.5)b b =-； （3）数出落在圆 221x y +=内的点 (),a b 的个数 1N ,计算14N Nπ=（N 代表落在正方形中的点(),a b 的个数）。

对于不同的建系方法，不同选取长度单位的方法予以肯定。

拓展：若把圆变成椭圆，如何估计椭圆的面积？ 若把圆变成更加不规则图形，如何计算不规则图形面积？ 设计意图：通过思考，层层深入，逐步得到解题方法，不仅锻炼学生灵活处理问题能力，也锻炼了学生积极思考的能力。

3.3.2 均匀随机数的产生（教案）课标要求1．了解均匀随机数的产生方法与意义．2．会用模拟试验求几何概型的概率．3．能利用模拟试验估计不规则图形的面积．重点难点1．会利用模拟试验估计概率．(重点)2．会设计简单的模拟试验的设计方案．(难点)自学导引1.均匀随机数定义：如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．2.均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．并统计试验结果．(2) 计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．[a，b]上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换x＝x1]想一想：概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件也一定是必然事件吗？提示：如果随机事件所在区域是一个单点，因单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P＝0)，但它不是不可能事件；如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1(即P＝1)，但它不是必然事件．均匀随机数的产生：(1)用计算器产生0～1之间的均匀随机数过程如图所示：(2)用计算机产生均匀随机数的过程如下：S cilab 中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数，每调用一次rand()函数，就产生一个随机数，如果要产生a～b之间的随机数，则使用变换rand()*(b－a)＋a得到例题1：取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？[思路探索] 利用计算器产生随机数的方法或利用随机模拟的方法解决．(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随机数，a1＝RAND；(2)经过伸缩变换，a＝a1*3;(3)统计出［1，2］内随机数的个数N1和［0，3］内随机数的个数N；(4)计算频率f n(A)= 即为概率P(A)的近似值.规律方法用模拟试验求概率近似值的步骤如下：1.确定求均匀随机数的实数区间[a，b]；2.用计算器或计算机求[0,1]内的均匀随机数；3.用伸缩变换转化到[a，b]内的随机数；4.确定试验次数N和事件A发生次数N，求得频率得出概率的近似值变式1：在长为4，宽为2的矩形中有一以矩形长为直径的半圆．(1)随机撒一把豆子，计算豆子落入半圆的概率．(2)利用计算机模拟的方法估计π值例题2：如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率．变式2：在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．变式3：利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．思路分析：在坐标系内画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分面积与正方面积之比，从而求得阴影部分的近似值．。

3．3.1& 3.3.2 几何概型均匀随机数的产生(1)什么是几何概型？(2)几何概型的两大特点是什么？(3)几何概型的概率计算公式是什么？(4)均匀随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？[新知初探]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果有无限多个．(2)每个结果出现的可能性相等．3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.4．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand(_)”．5．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法预习课本P135～140，思考并完成以下问题(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．(2)计算机模拟的方法：用Excel 的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．[小试身手]1.一个靶子如右图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 阴影部分对应的圆心角度数和为60°，所以飞镖落在阴影内的概率为60°360°＝16，飞镖落在阴影内的次数约为30×16＝5.2．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19B.18C.14D.38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18. 3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是13，则小狗图案的面积是( ) A.π3B.4π3C.8π3D.16π3解析：选D 设小狗图案的面积为S 1，圆的面积S ＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得S 1S ＝13，得S 1＝16π3.故选D. 4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为1－01－－1＝12. 答案：12与长度有关的几何概型[典例] |x |≤1的概率为________．(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23. 答案：23(2)解：设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13， 即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13. 1．解几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域D ；(3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ；(4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25. (2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115. (3)法一：P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35. 法二：P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35. 与面积和体积有关的几何概型[典例点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] (1)依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B. (2)先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.[答案] (1)B (2)231．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积. 2．与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积. [活学活用]1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π解析：选D 由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π.2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2 B.π4 C.π6 D.π8解析：选B 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4. 用随机模拟估计面积型的几何概型[典例图所示，在长为16 m ，宽为14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m 、2 m 、5 m ．若着陆点在圆环B 内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．[解] 设事件A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝14b 1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．(3)统计满足－8<a <8，－7<b <7的点(a ，b )的个数N .满足1<a 2＋b 2<4的点(a ，b )的个数N 1. (4)计算频率f n (A )＝N 1N即为所求概率的近似值． 用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．[活学活用]现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．解：(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a 1，b 1(共N 组)；(2)经过平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)，b ＝2(b 1－0.5)；(3)数出满足不等式b ＜2a －43，即6a －3b ＞4的数组数N 1.所求概率P ≈N 1N.可以发现，试验次数越多，概率P 越接近25144. [层级一 学业水平达标]1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为( )A.19B.16C.23D.13解析：选 C 试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的69＝23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为23，故选C. 2.如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a 2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712 解析：选C S 矩形＝ab ，S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋12a b ＝512ab .故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512abab ＝512.3．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴x 0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23.答案：234．已知正三棱锥S ­ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ­ABC <12V S ­ABC 的概率是________．解析：由V P ­ABC <12V S ­ABC 知，P 点在三棱锥S ­ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VS ­A 0B 0C 0V S ­ABC ＝1－18＝78.答案：78[层级二 应试能力达标]1.如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160解析：选 A ∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16，故选A.2.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14 B.13 C.12D.23解析：选C △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE 内部的概率为12.3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )A.2πB.1πC.12 D ．1－2π解析：选D S 扇形＝14×π×22＝π，S 阴影＝S 扇形－S △OAB ＝π－12×2×2＝π－2，∴P ＝π－2π＝1－2π.4.如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14解析：选C 如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝60°，由圆的对称性及几何概型得P ＝120360＝13.故选C. 5．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________． 解析：由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根， ∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14.答案：146．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.答案：0.0057．在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P ＝18×43πa 3a 3＝16π.答案：16π8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.即“射中黄心”的概率是0.01.9．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率． 解：(1)由点到直线l 的距离公式可得d ＝2542＋32＝5.(2)由(1)可知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l 平行的直线为l 1，其方程为4x ＋3y ＝15.则符合题意的点应在l 1：4x ＋3y ＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l 1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.故所求概率为P ＝60°360°＝16.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点； ②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉； ③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾，是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个黑球与都是红球B ．至少有一个黑球与都是黑球C ．至少有一个黑球与至少有一个红球D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.3．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310D.710解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(D ，E )4种，故P ＝410＝25.4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中随机取一点，则点落在四棱锥O ­ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13B.16C.12D.14解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O ­ABCD 的体积为V6，所求概率为V6V ＝16. 5．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.6．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.18解析：选 C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19B.29C.13D.49解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为29.8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为315＝15.故选D.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )A.16B.14C.13D.12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P (A )＝39＝13.11．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.12．设一元二次方程x 2＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112B.736C.1336D.1936解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2－4C ≥0，显然B ≠1.当B ＝2时，C ＝1(1种)；当B ＝3时，C ＝1,2(2种)；当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)；当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是1936. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知S 内切圆S 正方形≈7761 000，即π×1222≈7761 000，解得π≈3.104.答案：3.10414．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷410＝300(人)． 采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P ＝30300＝110. 答案：11015．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．解析：连接AC 交弧DE 于点F ，∠BAC ＝30°，P ＝弧EF 的长弧DE 的长＝13. 答案：1316．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析：如图所示，圆周上使AM 的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1AM 2长为2，点B 落在优弧M 1AM 2上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23. 答案：23三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n充分大时，出现次品的频率mn在0.05附近摆动，故P(A)≈0.05.(3)设进货衬衣x件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x≥1 000，得x≥1 053.∴至少需进货1 053件衬衣．18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25. (2)用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815. 19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：(1)4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求的概率P(A)＝410＝0.4.20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的点P 的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的概率为49. (2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25π. 21．(本小题满分12分)一条笔直街道上的A ，B 两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C ，D ，路灯次序为A ，C ，D ，B ，求A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40米的概率．解：设A 与C 之间的距离为x 米，B 与D 之间的距离为y 米，(x ，y )可以看成平面中的点，在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，(x ，y )的所有可能结果构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0<x ＋y <120，x >0，y >0}，即两直角边边长都为120米的等腰直角三角形区域(不包括边界)．而“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40米”(记为事件M )的所有可能结果构成的区域为M ＝{(x ，y )|x ≥40，y ≥40，(x ，y )∈Ω}，即图中的阴影部分．由几何概型的概率计算公式得P (M )＝12×40×4012×120×120＝19.故A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40米的概率为19.22.(本小题满分12分)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．(1)求这6(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150， 所以样本中包含三个地区的个数数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415 .。

尚志博学厚道求真第1页共2页高一数学◆必修3◆导学案3.3.2均匀随机数的产生※学习目标:1.了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率2.进一步体会几何概型的意义※学习重点、难点：重点：对概率意义的理解难点：体会几何概型的意义※学习过程（一）自主学习，合作探究【知识回顾】1.几何概型的特点：⑴⑵2.在几何概型中，P（A）=3.甲、乙两辆货车停靠站台后卸货时间分别是6小时和4小时，求有一辆货车停靠站台是必须等待一段时间的概率。

（二）激情展示，精讲点拨1.如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于0.5，这种理解正确吗？2.如何用计算器能产生[0，1]之间的均匀随机数，怎样产生[2，10]之间的均匀随机数呢？3.写出用计算器产生[a，b]之间的均匀随机数的过程3认真阅读研究例2、例3、例4，完成下列问题：①例2中如何用随机模拟的方法计算事件A的概率②在例3中是怎样用计算器随机模拟方法求π的近似值的③仿照例3中用计算器随机模拟方法写出解题过程尚志博学厚道求真第2页共2页高一数学◆必修3◆导学案（三）当堂检测1.甲、乙两辆货车停靠站台后卸货时间分别是6小时和4小时，用随机模拟方法求有一辆货车停靠站台是必须等待一段时间的概率。

2如图，在长为4宽为2的矩形中有一以矩形为直径的半圆，试用随机模拟法计算半圆的面积，并估计π的近似值（四）练中升华1.已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，求乘客到达站台立即上车的概率2.箱子里装有5个黄球，5个白球，现在有放回的去球，求取出的是黄球的概率。

如果是用计算机模拟该试验，请写出算法3利用随机模拟的方法近似计算图形的面积：y=x+1与y=6围成的图形的面积。

3.3.1 几何概型教学设计【课题】 3.3.1 几何概型【教材】普通高中课程标准实验教科书数学3 必修人民教育出版社A版【授课教师】【教材分析】本节课是高中数学人教A版必修三第三章第三节第一课时几何概型，是新课程改革后新增的内容，是在学习了随机事件的概率及古典概型之后，引入的另一类等可能模型，在概率论中占有相当重要的地位. 学好几何概型有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些现象.【学情分析】学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但还不是很成熟.学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也需要特别重视，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.【教学目标】知识与技能：初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率．过程与方法：通过试验，与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法.情感态度与价值观：感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理解世界，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的随机现象，学会用科学的方法去观察世界和认识世界.【重点难点】教学重点: 几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率.教学难点: 如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量.【教法学法】本节课教师采用层层设疑、启发引导学生自主探究的教学模式；使用多媒体来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.【教学基本流程】复习回顾↓情景引入↓建立模型↓例题训练↓练习巩固↓课堂总结↓作业布置教学情境设计：升的水,其中含有1个细菌求小杯水中含有这个细菌的概率概算公式：某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。

13.3几何概型（2）【课题】：均匀随机数的产生方案一：【设计与执教者】：广州二中，曾小鸿，zxh1812@。

【教学时间】：【学情分析】：在学习了古典概型中的随机模拟和整数值随机数的产生之后，对本节的学习学生更容易理解，但找到合适的均匀随机数来表示事件，以及随机试验的设计仍是一个难点。

【教学目标】：（1）知识与技能：理解随机模拟方法，其基本思想是用频率近似求概率；使学生掌握用随机模拟方法估计未知量。

（2）过程与方法：使学生通过阅读、操作学会利用计算器产生均匀随机数，提高自学能力；（3）情感态度与价值观：通过模拟试验的设计培养学生的创造能力和解决问题的能力。

【教学重点】：均匀随机数的产生，设计模型并运用随机模拟方法估计未知量。

【教学难点】：如何把未知量的估计问题转化为随机模型问题。

【教学突破点】：通过复习用模拟方法求概率近似解的问题设计，引入产生均匀随机数的必要。

【教法、学法设计】：通过对比学习，引入均匀随机数的产生及相关随机模型设计。

学生通过问题解决学会随机模拟的方法，学会创新。

【课前准备】：计算器、计算机（有Excel软件）、将例题做成投影片、例3的试验材料。

【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习及引入1、（1）叙述几何概型的特点及几何概型的概率计算公式；（2）什么是随机模拟方法？学生——回忆并回答。

2、如图，假设你在下面图形上随机撒的粒黄豆，计算它落到阴影部分的概率。

学生——独立解答，回答结果。

3、与古典概型相比，我们是否可以用随机模拟方法求得上述问题的近似解呢？学生——思考，讨论，交流，说出自己的想法。

要产生一个随机数组),(yx，两个随机数满足：10,10yx。

若yx,满足25.0)5.0()5.0(22yx，则表示黄豆落在阴影部分内。

这里yx,是[0，1]上的均匀随机数。

复习随机模拟方法，引出如何产生均匀随机数的问题。

2二、新课讲授（1）均匀随机数的产生如何用计算器产生0～1之间的均匀随机数？学生——阅读教材P143页，按照书中计算器产生随机数的方法尝试操作。

“几何概型”教学设计四川省眉山中学校谢维勇一、教材分析“几何概型”是人教A版高中数学必修3第三章概率第三节的内容，安排在“随机事件的概率”和“古典概型”之后，其上位知识为概率的统计定义和等可能事件定义，下位知识为运用计算机产生均匀随机数估计”几何概型”的概率等内容。

”几何概型”是新课程新增加的内容，介绍”几何概型”主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，对”几何概型”的要求仅限于初步体会”几何概型”的意义。

”几何概型”在概率论中占有重要的地位，它将”古典概型”中等可能事件数量从有限推广到无限，更广泛地满足随机模拟的需要，进一步完善了人类对概率模型的认识。

教材中”几何概型”这一节共分两个课时，这里是针对第一节课的教学设计，主要涉及”几何概型”的定义、计算公式及其简单应用。

“几何概型”的课堂教学活动应侧重学生对”几何概型”本质的理解和计算公式的掌握教学的关键是处理好以下几个方面：一是克服”古典概型”思维定势的影响，阐释并引入”几何概型”的意义；二是归纳”几何概型”特征，理解”几何概型”与”古典概型”的本质区别；三是一维、二维到三维”几何概型”中测度的具体内容。

因此，将本节课教学的重难点确定为：”几何概型”概念的建构和选择恰当的概率模型进行概率计算。

二、教学目标1了解”几何概型”的基本特点及与”古典概型”的异同。

2会依据具体问题选择恰当测度进行简单的”几何概型”计算。

3依据具体问题选择基本事件恰当的几何表征发展学生直观想象的数学素养4通过”几何概型”概念的建构过程和选择恰当的概率模型进行概率计算发展学生数学建模的数学素养三、教学重难点教学重点：”几何概型”概念的建构和选择恰当的概率模型进行概率计算教学难点：”几何概型”概念的建构和依据具体问题选择基本事件恰当的几何表征。

四、教学方法本节课采用学生探究与教师讲授相结合的教学方法，注重启发式教学，多以问题链的形式出现，并结合多媒体辅助教学。

在课堂教学过程中，通过分组讨论、合作交流的形式，使学生体验数学活动中的发现与创造，让学生亲身经历”几何概型”概念的建构过程，从观察到分析再到归纳，感受事物从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，逐渐培养透过现象看本质的思维方法和能力。

数学学科课堂导学案课题：3.3.1几何概型教学目标1、让学生理解几何概型试验的基本特征，并掌握几何概型的特征2、会求简单的几何概型试验的概率教学重点几何概型的特点、几何概型的识别、几何概型的概率公式教学难点建立合理的几何模型求解概率创设情境引入新课问题1：若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从A中任取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？问题2：若A=(0,9],则从A中任意取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？小组合作探究试验试验1：取一根长为9米的彩带，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率是多少?试验2：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?试验3：有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.新知定义知识归纳请同学们阅读教材P135-136，归纳得出1、几何概型的定义2、几何概型的特点3、几何概型的概率计算公式例题讲解变式提高例1 ：取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

变式：例1中，豆子落在圆外的概率是多少？豆子落在圆周的概率是多少？例2.有一个底面半径为1cm ，高为3cm的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点A，则点A到点O的距离不大于1的概率是多少？例3：在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概率有多大？变式：在上一题构造的直角三角形ABC的基础上,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,那么这时AM<AC的概率有多大？课堂巩固练习1、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.2、已知矩形ABCD,AB=8，AD=6，向矩形ABCD内投一粒豆子，落点为P求：(1)∠APB＞ 90°的概率P1;(2)∠APB＜ 90°的概率P2;(3)∠APB = 90°的概率P3;课堂小结1、你是怎么区分古典概型与几何概型？2、若是几何概型，你是怎么样求它的概率？研究性学习：A BC D总结解题策略：材料：“贝特朗问题”法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）于1889年提出的概率悖论，其具体内容是：在半径为1的圆内的随机取一条弦，该弦的长度长于圆的内接正三角形边长3的概率。

3.3.2均匀随机数的产生一、学习目标：1、知识与技能：（1）了解均匀随机数的概念；（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 三、学法：通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法． 四、学习设想： 1、课前回顾：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 2、例题分析： 课本例题略例1 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。

因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m 。

这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A 发生的概率。

解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a 1=RAND ． （2）经过伸缩变换，a=a 1*3．（3）统计出[1，2]内随机数的个数N 1和[0，3] 内随机数的个数N ． （4）计算频率f n (A)=NN 1即为概率P （A ）的近似值． 解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N 1及试验总次数N ，则f n (A)=NN 1即为概率P （A ）的近似值． 小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。

均匀随机数的产生教学设计教案一．教学内容与内容解析1.教学内容：均匀随机数的概念，随机模拟方法及其应用.2.教学分析：《(均匀随机数的产生与应用》（以下简称《随机数》）这节课的主要知识内容是均匀随机数；涉及的数学方法是随机模拟方法,数学思想是从特殊到一般、近似逼近和算法的思想；而教学情景主要是教材P132例2，P133例3，以及增加的探究问题．在内容处理方面，首先要让学生弄清什么是均匀随机数，但仅仅这样是不够的，更重要的是要让学生弄清为什么要学习均匀随机数，为什么要用计算机产生均匀随机数.然而，有了产生均匀随机数的方法，并没有解决用模拟试验来估计随机事件的概率问题.因此，了解随机模拟方法，并用随机模拟方法计算一些随机事件的概率的估计值就成为必要的学习内容，更为重要的是，要引导学生用随机模拟方法去解决更多探究的问题.在利用随机模拟方法解决问题时，对于一次次试验结果的统计是一件非常麻烦的事情，这正好是在技术平台上用算法解决问题的绝好机会，也是对学生进行算法思想熏陶的好时机. 因此，对于《随机数》这节课的设计，我们从具体案例出发，让学生体会学习随机数的必要性.二．教学目标与目标解析学生通过学习《整数型随机数的产生与应用》，对随机数的概念与作用有了一定了解，对运用随机数去进行随机模拟也有了初步认识．本节课，根据内容与内容解析，我们认为教学目标应为：1．明确均匀随机数的概念,会用信息技术工具产生指定范围的均匀随机数；2.通过具体案例理解随机模拟方法，能针对具体的问题设计模拟模型，并通过随机模拟方法得出问题的解的估计值或判断问题的可能解.3.在信息技术环境下，通过算法解决大量重复模拟试验中的数据统计问题，得出问题的解的估计值，并由此进一步体会随机模拟方法、算法思想以及从特殊到一般的数学研究过程.随机模拟是在特殊、具体的环境下实现的试验过程，随着试验次数的增加，会得到具有一定规律性的结果，教学中要引导学生学会观察，并由此得出一般结论（或规律）．均匀随机数的概念与产生方法不是什么难事，也不是主要的教学目标.但通过具体案例理解随机模拟方法，并用算法的思想实现获取解的估计值这个过程是主要的教学目标，即教学重点.三．教学问题诊断分析在计算器上用rand()产生（0,1）之间的随机数不是什么难事，但产生任意区间（a,b）上的随机数涉及线性变换，这是学生不易处理的问题，就是本节课的第一个教学问题.解决这个问题，可以先在计算器上实验，再总结规律．建立怎样的模型来进行模拟试验（如建立怎样的几何概型来估计随机事件的概率），并通过怎样的步骤来进行随机模拟试验，这是第二个教学问题，也是教学难点之一.解决这个问题时可以参考整数值随机数在模拟试验中的运用．在随机模拟试验中，需要用计算机（或计算器）不断重复地产生随机数，并根据随机数进行频数统计，这是一项非常麻烦的事情.如果不研究随机模拟方法中所涉及的算法，那么很难使学生对随机模拟方法有较深刻的理解.同时，要使通过随机模拟方法所得到的问题的解的估计值更精确，就必须使随机模拟试验的次数相当大，这靠人工统计的方法是办不到的.因此，如何通过算法使学生更好地体会随机模拟方法是第三个教学问题，这是教学难点之二.四．教学过程设计【问题１】什么是均匀型随机数？你能用计算器产生(a,b)内的均匀随机数吗？设计意图：使学生获得均匀随机数的概念，并学会用计算器产生(a,b)内的均匀随机数.师生活动：教师提出问题后让学生阅读教材并思考，启发学生认识在(a,b)内产生均匀随机数必须满足条件：(a,b)内的每一个数都能等可能地被取到.让学生在给定a,b的具体值的情况下用计算器进行操作并体会．【问题2】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间是7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸的概率是多少？”设计意图：这是几何模型问题，可以计算出精确值，给出这个问题的目的，是让学生体会随机模拟方法，并明确随机模拟方法的基本步骤.师生活动：1.教师引导学生用几何概型求出答案的精确值．2.在TI－nspireCX-CCAS的表格功能下，用随机模拟方法得出答案的估计值.3.在TI－nspireCX-CCAS的程序功能下，用随机模拟方法得出答案的估计值.4.总结用频率估计概率的步骤.5.利用图1中的程序可以获取模拟结果.（图1）（图2）【问题３】在正方形中随机撒一把豆子，计算落在正方形内切圆中的豆子数与正方形内的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．设计意图：使学生体会均匀型随机数应用的广泛性，并在模型建立后，会用算法解决问题.师生活动：1.让学生用几何概型得出撒一粒豆子落在圆内的概率.2.师生一起用随机模拟方法得出概率的估计值.3.由估计值与所得概率近似相等，得出圆周率的估计值．4.利用图2中的程序可以获取模拟结果.【问题４】有1个单位的某种会衰减物质，若把它分成3份，份额分别是a,b,c,经过n年后，剩余量分别为，求n年后，这种物质剩余量的下界．设计意图：让学生体会均匀随机数在问题探究中的作用，并体会从一般到特殊的研究方法.师生活动：1.探究：2.探究：3.探究：4.探究：【问题５】探究：设计意图：推广【问题４】中的结论.师生活动：让学生取不同的非正整数进行探究，并归纳猜测答案．【问题６】探究：设计意图：推广【问题5】中的结论，体会实验、观察、归纳、概括、猜想的数学发现过程.师生活动：让学生取不同的正整数和不同的整数进行探究，在所得到的结论基础上归纳猜测答案．【问题7】探究：的三个内角，则设计意图：让学生进一步体会实验、观察、归纳、概括、猜想的数学发现过程.师生活动：让学生进行探究，在所得到的结论基础上归纳猜测答案．五．教学目标检测设计1.教科书P141，B组第4题．设计意图：让学生巩固随机模拟方法．2.研究无理数e的估计值．设计意图：让学生体会均匀随机数的作用．数学教学的过程，是使学生经历人类文明洗礼，欣赏并遵守自然准则，提升智慧与素质的过程.所以，这个过程应该是美好的，是应该使我们的学生渴望并积极参与的.。

《均匀随机数的产生》教学设计四川省仁寿第二中学游慧教学要求：让学生知道如何利用计算机Excel软件产生均匀随机数关利用随机模拟方法估计求知量.教学重点：体会随机模拟中的统计思想.教学难点：如何把求未知量的问题转化为几何概型概率的问题.教学过程：一、复习准备：1.回忆：几何概型的定义，以及相关的古典概型中的随机模拟方法.二、讲授新课：1.教学：均匀随机数的产生操作方法与整数值随机数产生的方法相同，前面学生有了基础这里易掌握只要老师在课堂是带学生操作一次就行。

例2.假设你家订了一份报纸，送报工人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问你父亲在离开家之前能得到报纸的概率是多少？分析：计算该事件的概率有两种方法.利用几何概型的公式：找到试验的全部结果构成的区域及父亲离开家前能拿到报纸的区域.用随机模拟的方法：例3：在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟方法估计圆周率的值.（试验模拟：真的撒一把豆子）分析：首先判断每个豆子落在正方形的区域是否是等可能的，是等可能的，就数圆内的豆子数和方形内的豆子数.3.小结：如何利用几何概型事件和随机模拟方法来求一些求知量？三、巩固练习：如图在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m处向此木板投镖，设击中线上或没有投中木板时都不算，可重新投一次.问：⑴投中大圆内的概率是多少？⑵投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？⑶投中大圆之外的概率又是多少？分析：投中正方形木板上每点都是一个基本事件，可以是正方形上除线上任一点，因而基本事件有无限多个，其发生的可能性都相同，所以投中某人部分的概率只与这部分的面积有关，符合几何概型的要求.四、作业：P142，B组第1题。

课题3.3 几何概型（1）教案
一、教学目标
1．知识与技能：使学生理解几何概型的意义，掌握几何概型的计算公式，会求简单几何概型问题的概率。

2．过程与方法：通过求古典概率知识的迁移，运用转化、数形结合思想与方法解决问题。

3．情感态度价值观：通过对几何概型知识探索过程，体会数学思维的特点，感悟几何概型在实际生活的应用。

二、教材分析
1．教学重点：几何概型的概念与计算方法。

2．教学难点：几何概型中几何模型及几何度量。

三、学情分析
学生已有了求古典概型的认知，有几何度量（长度、面积、体积）的技能，以及生活中的经验，容易理解几何概型，但是对问题转化成几何概型的建模、以及分清基本事件的抽象、转化能力还欠缺。

四、教学方法
启发性、探究式引导教学法
五、教学手段
多媒体辅助教学
六、教学流程设计
问题引入------学生探究、活动---交流、归纳----实践与提高---总结与巩固
（师）（生）（生--师）（师--生）（生）
七、教学过程。

基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：
（3）几何概型与古典概型的区别与联系：
三、尝试应用，辨析概念
1.判断下列两个随机试验的概率类型并计算概率
（1）在区间[0,9]内随机取一整数，求所取整数不大于3的概率； 答： 概型，概率是 。

（2）在区间[0,9]内随机取一实数，求所取实数不大于3的概率. 答： 概型，概率是 。

2.ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点. 在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点落在三角形OCD 内的概率是 。

3.在500 ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 A ．0.5 B ．0.4 C ．0.004 D ．不能确定 四、应用举例，巩固新知 例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内事件A 发生。

预设一：将时间转化成长60的线段，研究事件A 位于[50,60]之间的线段的概率； 概率类型 相同点 不同点 古典概型 几何概型
B 古典概型
B 古算公式
B 几古区别与联系 1.A 2.B 3.C
学问种概率类型，再式进行计算。

A 析那型，再式进行计算。

是决他（一题多解）。

3.3几何概型3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生一、教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P（A）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．四、教学设想：1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P（A）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．3、例题分析：课本例题略例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。

3.3.2均匀随机数的产生【明目标、知重点】1．了解均匀随机数的意义，会利用计算器(计算机)产生均匀随机数．2．会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率．3．理解用模拟方法估计概率的实质，会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．【填要点、记疑点】1．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．(2)计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．3．[a，b]上均匀随机数的产生．利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1]就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．【探要点、究所然】[情境导学]在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模拟古典概型的问题，那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能，我们又如何产生随机数呢？这就是本节课要解决的问题．探究点一均匀随机数的产生思考1我们常用的是[0,1]上的均匀随机数，如何利用计算器产生0～1之间的均匀随机数？如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？答用计算器产生0～1之间的均匀随机数的方法见教材；用计算机的方法如下：用Excel演示．(1)选定A1格，键入“＝rand()”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[0,1]上的均匀随机数；(2)选定A1格，点击，然后选定要产生随机数的格，比如A2～A100，点击粘贴，则在A1～A100的数都是[0,1]上的均匀随机数．这样我们就很快就得到了100个0～1之间的均匀随机数，相当于做了100次随机试验．思考2计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？答首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X＝RAND，然后利用伸缩和平移变换：Y＝X*(b—a)＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数．思考3利用计算机产生100个[2,6]上的均匀随机数，具体如何操作？答(1)在A1～A100产生100个0～1之间的均匀随机数；(2)选定B1格，键入“＝A1]例1取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？解设剪得两段的长都不小于2m为事件A.(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND.(2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数．(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m.(4)则概率P(A)的近似值为mn.反思与感悟通过模拟试验求某事件发生的概率，不同于古典概型和几何概型试验求概率，前者只能得到概率的近似值，后者求得的是准确值．跟踪训练1如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，用计算机随机模拟这个试验，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率．解用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过伸缩平移变换，a＝(a1－0.5)*4，b＝(b1－0.5)*4得到两组[－2,2]上的均匀随机数．(3)统计出试验总次数N，落在阴影部分的次数N1.(4)计算频率fn(A)＝N1N就是飞镖落在小正方形内的概率的近似值．探究点二随机模拟方法例2假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，则事件A的概率是多少？思考1设X、Y为[0,1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间，若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？答7＋Y>6.5＋X，即Y>X－0.5.思考2设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关系？不等式組表示的平面區域如何？答6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x.思考3根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的概率为多少？答试验的全部结果所构成的区域的面积为边长为1的正方形，面积为1；图中的阴影部分面积为1－12×12×12＝78，所以P(A)＝781＝78.思考4你能设计一种随机模拟的方法近似计算上面事件A发生的概率吗？答方法一(随机模拟的方法)做两个只带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P(A)＝父亲在离家前能得到报纸的次数试验的总次数.方法二用计算机产生随机数模拟试验．X是0～1之间的均匀随机数，Y也是0～1之间的均匀随机数．如果Y＋7>X＋6.5，即Y>X －0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．在计算机上做M 次试验，查一下Y>X－0.5的Y的个数，如果为N，则所求概率为N/M.反思与感悟用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．跟踪训练2在右图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.解随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积︰正方形的面积≈落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数．设正方形的边长为2，则圆半径为1，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以就得到了π的近似值．探究点三用模拟法估计面积型的几何概率例3利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积．解以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如做1000次试验，即N＝1000，模拟得到N1＝698，所以P＝阴影面积矩形面积＝6981000，即阴影面积S＝矩形面积×6981000＝2×6981000＝1.396.反思与感悟解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形，二是由几何概型正确计算概率．跟踪训练3利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．解(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换a＝a1]N1,N)就是点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S12.∴S12≈N1N.∴S≈12N1N即为阴影部分面积的近似值．【当堂测、查疑缺】1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为()A．A＝a1*7B.a＝a1*7+3C.a=a1*7-3D.a＝a1*4答案C解析根据伸缩和平移变换a=a1*［4-（-3）］+（-3）=a1*7-3.2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()A．M>nB．M<nC．M＝nD．M是n的近似值答案D解析随机摸拟法求其概率，只是对概率的估计．3．在区间[－1,1]上随机任取两个数x，y，则满足x2＋y2<14的概率为________．答案π16解析当x，y∈[－1,1]时，点(x，y)构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等于2×2＝4，而满足x2＋y2<14的点(x，y)构成的区域是一个半径为12的圆的内部，其面积等于π4，所以所求概率P＝π44＝π16.4．某汽车站每隔10分钟有一班汽车通过，求乘客候车时间不超过4分钟的概率，并尝试用计算机模拟该实验．解因为乘客到达车站的时间是随机的，设乘客候车时间不超过4分钟为事件A.由题意，可得P(A)＝区间0，4的长度区间0，10的长度＝25.随机模拟试验的步骤：(1)利用计算机产生[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND.(2)经过伸缩变换：a＝10]N1,N)，即为所求概率的近似值．呈重点、现规律】1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数．2．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．。

《几何概型》教学设计一、教学目标（一）知识与技能1.通过探究学习使学生掌握几何概型的基本特征，明确几何概型与古典概型的区别．2.理解并掌握几何概型的概念．3.掌握几何概型的概率公式，会进行简单的几何概率计算.（二）过程与方法1.让学生通过对随机试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，培养学生观察、类比、联想等逻辑推理能力.2.通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知用图形解决概率问题的方法.（三）情感、态度、价值观1.让学生了解几何概型的意义，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价一些随机现象．2.通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力．二、教学重点与难点教学重点：了解几何概型的基本特点及进行简单的几何概率计算．教学难点：如何在实际背景中找出几何区域及如何确定该区域的“测度”．三、教学方法与教学手段教学方法：“自主、合作、探究”教学法教学手段：电子白板、实物投影、多媒体课件辅助四、教学过程（一）复习回顾问题．古典概型的特点及概率公式分别是什么？你熟悉常见的古典概型？你能举例吗？答：①基本事件发生的等可能性②基本事件只有有限个古典概型的概率公式：[处理方式]多媒体课件展示问题，简洁明了。

（利用电子白板文字展示功能）【设计意图】回顾古典概型的相关知识，为引出下面要学的几何概型作铺垫。

（二）问题情境取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．要求剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？问题(1)试验中一个基本事件是什么？答：试验：剪在绳子上的每一点都是一个基本事件.问题(2)基本事件有多少个？答：基本事件有无限个.问题(3)每个基本事件发生是否等可能？答：每个基本事件发生都是等可能的.[处理方式]多媒体课件展示，电子白板笔点击答案，这样与学生互动起来，清晰自然。

（利用电子白板文字、图片展示功能，作图功能）在这两个问题中，基本事件有无数多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在，但是显然不是古典概型，那它是什么概型呢？【设计意图】引发认知冲突，引入几何概型。