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同步电机定转子侧变量对应关系及名称
同步发电机16各变量：
13个电磁变量：
定子侧6个；转子侧7个
3个机电变量： 同步发电机10
：
三阶实用模型：
这种模型的导出基于如下假定：
忽略定子绕组暂态和阻尼绕组作用，计及励磁绕组暂态和转子动态 （1）忽略定子d 、q 0；
（2
（3）忽略D、Q绕组，其作用可在转子运动方程中补入阻尼项近似考虑。
导出思路：
（1）派克方程中忽略
D、Q绕组，方程数变为6个，变量数变为12
，变量减为10个，方程数为6
+2
+2（dq轴网络方程）=10
个，可以求解。
（2）推导三阶模型时要对变量作如下改进：
然后用3
7
2已知）共9个变量，方程为3个电压方程、2个转子运动方程和2个
dq轴网络方程。
三阶模型状态量：
：
若计及反映q轴瞬变过程中的g绕组的四阶模型：
五阶模型：导出思路：
方程数为10个，7个状态量（d、q、f、D、Q
为0，降为5
阶，变量数变为16
为已知量（励磁绕组和原动机输入），变量减为14个，通过方程数为
10
+2
+2（dq轴网络方程）=14个，可以求解。
用5
个磁链方程消去3
2
5
+2
+2（dq轴网络方程）=9个，变量为11
个（9
，可以求解。
方程为：
经典二阶模型：效应。
电力系统仿真分析中几种同步发电机数学模型的比选申 健 金 钧（大连交通大学电气信息学院，大连 116028）摘要本文针对电力系统仿真分析中几种常用的同步发电机数学模型进行了深入的研究和比较，通过采用电力系统分析综合程序EPRI-7节点系统进行了仿真分析。
结果表明采用不同的导出模型和同一导出模型不同阶次的发电机数学模型时，系统的稳定性是有差异的。
在同一故障下，采用阶数越高的同步发电机数学模型，系统的稳定性水平越高。
最后，论文给出了一般情况下电力系统仿真分析中同步发电机数学模型的选择方法。
关键词：电力系统；同步发电机数学模型；暂态稳定Compare Several Mathematical Models of Synchronous Machine inPower System Simulation AnalysisShen Jian Jin Jun( Dalian Jiaotong University, Dalian 116028)Abstract This paper processes analysis and study several synchronous machine mathematical models in power system stimulation experiment. Using the PSASP processes stimulation calculation. The analysis outcome indicates that under the same transient stability power failure, the system which has a more accuracy synchronous machine mathematical model ,the transient stability of it will be better.And given the method for choosing synchronous machine mathematical models in power system stimulation experiment.Key words：power system；mathematical model of synchronous machine；transient stability1引言我国电力工业已进入大系统、大机组、高电压及自动化的发展阶段。
第2章永磁同步电机的结构特点及数学模型2.1 永磁同步电机概述电机是一种机电能量转换或信号转换的电磁机械装置。
自1831年电磁感应定律为人们所知，人们发现可以利用磁场将电能与机械能进行相互转化，由此发明了电机。
随着不同种类的电机相继出现，大力推动了电气工程行业及电力电子工业的发展。
众所周知，要于电机之内建立所需的磁场，一种方式是可以通过在电机内部对电机绕组通以电流产生磁场，需要持续的提供电能维持磁场存在，磁场强度取决于电机内部的电流及绕组的结构。
另一种可以通过永磁体产生磁场，由于永磁材料的固有特性故不再需要提供其他外在能量便可以持续维持磁场存在，因此采用永磁材料产生磁场可以使电机在自身结构上更为简单，其运行的安全程度和效率也随之提高。
起初人们并未发现可用于建立磁场的较为合适的材料，因此人们利用天然的磁铁矿石制成永磁材料，并在19世纪20年代制成世界上第一台永磁电机。
但由于天然磁铁矿石的磁性较低，因此为了满足磁场需求，制成的电机体积庞大，性能较差，并不能达到人们在工业等相关领域的要求。
直到1845年，英国的惠斯通用电磁铁代替永久磁铁，随后又发明了自励电励磁发电机，开创了电励磁方式的先河。
它弥补了天然磁铁的不足，在随后的几十年中，电励磁电机逐渐取代了原始的永磁电机随着电机技术发展的需要，人们开始不断寻找磁性能更好的永磁材料。
20世纪中期被发现并加以应用的铝镍钴永磁材料和铁氧体永磁材料就是很好的例子，因其磁性能在原有材料基础上的较大提高，因此在工业、农业、军事或者在日常生活中人们又重新重视起永磁电机的应用。
但这两种材料也有其自身的缺陷，铝镍钴永磁材料矫顽力较低、易退磁，铁氧体永磁材料的剩磁较低，在一定程度上又限制了永磁电机的发展。
随着人们的继续探索，20世纪60年代美国人K.J.Stmat研制出的以钐钴为主要成分的稀土永磁材料，被称为第一代稀土永磁材料，引领永磁电机发展到一个新的阶段。
由于其价格昂贵，起初各国研发的重点通常在航空航天和要求高性能的高科技领域。
同步电机模型针对不同的假设，会导出不同的数学模型，因此，本文中只讨论基于如下基本假设的同步电机模型。
基本假设：忽略定子绕组暂态，从而令定子电压微分方程中0d q p p ψψ==；定子电压方程中1ω≈；六阶模型：考虑励磁绕组f ，d 轴阻尼绕组D ，q 轴阻尼绕组Q ，q 轴阻尼绕组g 的作用。
适用范围：当需要计及转子超瞬变过程且转子q 轴要考虑g 绕组时可以使用，或者需要精确地分析系统和电机动态过程时使用。
五阶模型：在六阶模型的基础上，忽略q 轴阻尼绕组g 的作用。
适用范围：当对电力系统暂态稳定分析的精度要求较高时可以使用。
四阶模型：在六阶模型的基础上，忽略时间常数较小的阻尼绕组D 和Q 的作用。
适用范围：当需要精确地分析系统和电机动态过程时可以使用，一般用于隐极机。
三阶模型：在六阶模型的基础上，忽略阻尼绕组D ，Q ，g 的作用。
使用范围：当对精度要求不十分高，但仍需要计及励磁系统动态的电力系统动态分析中，较适用于凸极机。
二阶模型：在六阶模型的基础上，忽略阻尼绕组D ，Q ，g 的作用以及励磁绕组f 的暂态过程，并且根据是否计及凸极效应，分为经典二阶模型（计及凸极效应）和'q E 恒定模型（不计及凸极效应）。
使用范围：二阶模型可以在大规模电力系统分析中使用，在精度要求不高的大型电力系统中也可以使用。
总之，为了充分利用设备的容量，输送更多的电力，电力系统稳定分析趋于精确计及励磁系统的动态作用，及采用发电机的三阶及更高阶的实用模型，以确保安全经济运行。
在参数不可靠的情况下，则采用二阶模型较为妥当。
另外在系统很大，而精度要求不高时，也优先使用二阶模型，以节省机时及人力。
同步发电机二阶四阶六阶实用模型
同步发电机的实用模型一般采用复数域中的二阶、四阶或六阶模型来描述其动态性能。
这些模型基于一组差分方程或微分方程，并包含主要的电气参数和动态特性。
二阶实用模型是较为简化的模型，主要包括发电机的发电机端电压动态特性和转子运动方程。
该模型常用于对发电机的短时间响应进行建模和分析。
四阶实用模型是在二阶模型基础上增加了电力系统不平衡和传输网络的考虑。
该模型适用于对发电机的长时间动态稳定性进行建模和分析。
六阶实用模型是在四阶模型基础上加入了励磁系统和稳压器等附属设备的考虑。
该模型适用于对发电机的电压和励磁系统动态特性进行建模和分析。
这些实用模型可以用于开展发电机的建模、仿真和控制策略研究，有助于提高电力系统的稳定性和可靠性。
预备知识1：关于绕组的介绍，参照天津大学电力系统分析课件：（该图来自天津大学电力系统分析课件）（该图来自天津大学电力系统分析课件）预备知识2：同步机组9阶详细数学模型（注意，以下数学模型是以特定的参考方向定义为基础，不同的参考方向定义，数学模型表达式不同，这里仅仅是为了说明的方便直接使用了课件中的数学模型，读者不要直接套用）正式介绍各阶次详细模型（参考鞠平老师课件）：首先介绍符号意义：(（转子角速度）、（转子位置角）、（励磁绕组）、（转子直轴阻尼绕组）、转子交轴阻尼绕组）、（转子交轴阻尼绕组2）、（用户定义的定子坐标系d 轴）、（用户定义的定子坐标系q 轴）fD Q gd q ωδ然后这里以6阶为例进行说明上面要表达的意义：鞠平老师上面截图中6阶模型——、、、、、f g D Q ωδ注意这里少了d 、q 、0。
意义是在电压方程组中不考虑同步电机定子绕组d 轴、q 轴、0轴的电压方程的电磁暂态过程，即认为0;0q d d d dt dt ψψ==；00d dtψ=，所以电压方程组变为4阶（只有4个状态变量）：0000000000d a d q q a q d a f f f f D D D D g g g g Q Q Q Q u r i u r i u r i u p r i u p r i u p r i u p r i ωψωψψψψψ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中p 是微分算子，即d dt 。
这种简化的使用前提是，;q d q d d d dt dt ψψωψωψ，具体说明见下方截图（来自倪以信老师《动态电力系统的理论与分析》1.7.1节）。
这样4阶电压方程组、磁链代数方程组和2阶转子运动方程，就组成了描述同步机组动态物理特性的6阶详细数学模型，根据6阶详细模型可以进一步推导出6阶实用模型。
2.1同步发电机数学模型及运行特性本节主要阐述同步发电机稳态数学模型及运行特性：包括向量图、等值电路与功率方程以及功角特性。
2.1.1 同步发电机稳态数学模型理想电机假设：1）电机铁心部分的导磁系数为常数；2）电机定子三相绕组完全对称，在空间上互差120度，转子在结构上对本身的直轴和交轴完全对称；3）定子电流在空气隙中产生正弦分布的磁势，转子绕组和定子绕组间的互感磁通也在空气隙中按正弦规率分布；4）定子及转子的槽和通风沟不影响定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。
同步电动机是一种交流电机，主要做发电机用，也可做电动机用，一般用于功率较大，转速不要求调节的生产机械，例如大型水泵，空压机和矿井通风机等。
近年由于永磁材料和电子技术的发展，微型同步电机得到越来越广泛的应用。
同步电动机的特点之一是稳定运行时的转速n与定子电流的频率f1之间有严格不变的关系，即同步电动机的转速n与旋转磁场的转速n0相同。
“同步”之名由此而来。
同步发电机是电力系统中的电源，它的稳态特性与暂态行为在电力系统中具有支配地位。
虽然在电机学中已经学过同步电机，但那时侧重于基本电磁关系，而现在则从系统运行的角度审视发电机组。
1.同步发电机的相量图设发电机以滞后功率因数运行，三相同步发电机正常运行时，定子某一相空载电势Eq，输出电压或端电压U和输出电流I间的相位关系如图2-1所示。
δ是Eq领先U的角度，称为功角，是功率因数角，即U与I的相位差， Eq与q轴（横轴或交轴）重合，d为纵轴或直轴。
U和I的d、q分量为：图 2-1电势电压相量图电机学课程中已经讨论过，端电压和电流的分量与Eq间的关系为：（2-3）式中，r为定子每相绕组的电阻，x d为定子纵轴同步电抗，x q为定子横轴同步电抗。
其中空载电势Eq与转子励磁绕组中的励磁电流成正比，其比例系数可从空载试验中得到。
为了便于绘制相量图，令d轴作正实轴，q轴作正虚轴，则各相量可表示为所以（2-7）对于隐极式同步发电机（汽轮发电机），因气隙均匀，直轴和交轴同步电抗相等（x d=x q），上式变为（2-8）此即表示隐极式同步发电机的方程，由此即可作出它的等值电路和相量图，如图2-2所示（a）等值电路（b）矢量图图2-2 隐极式同步发电机等值电路和矢量图凸极式同步发电机（水轮发电机），把电枢反应磁势分解为d轴及q轴两个分量，d轴电枢反应磁势的位置固定在转子d轴上，q轴电枢反应磁势的位置固定在转子q轴上，从而解决了合成磁势遇到的不同气隙宽度的困难。
永磁同步电动机的原理与结构详解来源 |防爆云平台近些年永磁同步电动机得到较快发展，其特点是功率因数⾼、效率⾼，在许多场合开始逐步取代最常⽤的交流异步电机，其中异步启动永磁同步电动机的性能优越，是⼀种很有前途的节能电机。
永磁同步电动机永磁同步电动机的定⼦永磁同步电动机的定⼦结构与⼯作原理与交流异步电动机⼀样，多为4极形式。
图1是安装在机座内的定⼦铁芯，有24个槽。
图1—定⼦铁芯与机座电机绕组按3相4极布置，采⽤单层链式绕组，通电产⽣4极旋转磁场。
图2是有线圈绕组的定⼦⽰意图。
图2--同步电动机定⼦绕组永磁同步电动机的转⼦永磁同步电动机与普通异步电动机的不同是转⼦结构，转⼦上安装有永磁体磁极，永磁体在转⼦中的布置位置有多种，下⾯介绍⼏种主要形式。
永磁体转⼦铁芯仍需⽤硅钢⽚叠成，因为永磁同步电动机基本都采⽤逆变器电源驱动，即使产⽣正弦波的变频器输出都含有⾼频谐波，若⽤整体钢材会产⽣涡流损耗。
第⼀种形式：图3左图就是⼀个安装有永磁体磁极的转⼦，永磁体磁极安装在转⼦铁芯圆周表⾯上，称为表⾯凸出式永磁转⼦。
磁极的极性与磁通⾛向见图3右图，这是⼀个4极转⼦。
图3--表⾯凸出式永磁转⼦根据磁阻最⼩原理，也就是磁通总是沿磁阻最⼩的路径闭合，利⽤磁引⼒拉动转⼦旋转，于是永磁转⼦就会跟随定⼦产⽣的旋转磁场同步旋转。
第⼆种形式：图4中，左图是另⼀种安装有永磁体磁极的转⼦，永磁体磁极嵌装在转⼦铁芯表⾯，称为表⾯嵌⼊式永磁转⼦。
磁极的极性与磁通⾛向见图4右图，这也是⼀个4极转⼦。
图4--表⾯嵌⼊式永磁转⼦第三种形式：在较⼤的电机⽤得较多是在转⼦内部嵌⼊永磁体，称为内埋式永磁转⼦（或称为内置式永磁转⼦或内嵌式永磁转⼦），永磁体嵌装在转⼦铁芯内部，铁芯内开有安装永磁体的槽，永磁体的布置主要⽅式见图5。
在每⼀种形式中⼜有采⽤多层永磁体进⾏组合的⽅式。
图5--内埋式永磁转⼦的形式下⾯就径向式布置的转⼦为例做介绍。
图6是转⼦铁芯，为防⽌永磁体磁通短路，在转⼦铁芯还开有隔磁空槽，槽内也可填充隔磁材料。
附录Ⅲ 同步电机实用四阶模型当同步电机在q 轴转子上要计及和瞬变过程对应的g 绕组，但d 轴、q 轴转子仍忽略与超瞬变过程对应的D 绕组、Q 绕组时，则三阶实用模型将增阶为四阶实用模型。
其导出过程与三阶实用模型相似，只是增加了一个q 轴转子的g 绕组。
下面进行推导。
1. 等效实用变量引入除三阶实用模型中所定义的励磁电动势f E 、q 轴空载电动势q E 及q 轴瞬变电动势qE '外，还需定义以下两个新的实用变量：g i 所对应的d 轴电动势g aq d i X E -= （Ⅲ-1)g Ψ所对应的d 轴电动势g g aq d ΨX X E -=' （Ⅲ-2）d E '又称为d 轴瞬变电动势，或“q X '后面的电动势”。
d E 和dE '定义式中的负号是由于定子d 绕组电压方程中的速度电动势项－ωq Ψ中的负号引起的，即q 轴的正磁链，由于转子的旋转，在定子等值d 绕组中引起负值的速度电动势。
在稳态时，0d E =0(因为g 绕组端口短路，稳态时g i =0)。
暂态时，由于忽略定子暂态，设定子电压方程中p d Ψ=p q Ψ=0，q i 要发生突变，故g i 也要发生突变，从而使g 绕组的磁链g Ψ不突变(因考虑到g 绕组的暂态)，因此暂态中和g i 成比例的d E 也要发生突变。
在暂态中，和g Ψ成比例的d E '是不突变的，其暂态初值可根据稳态值而定。
0dE '可用下式计算，证明见后面推导。
0000q q d a d di X i r u E '-+=' （Ⅲ-3) 式中，g aq q g aq q X X X X X X X 211//-=+='为q 轴瞬变电抗。
由式(Ⅲ-3)可知，将0dE '称为“q X '后面的电动势”的物理背景。
2. 消去q Ψ及g i (d E )用的表达式导出四阶实用模型与三阶实用模型在d 轴上结构相同，故消去d Ψ及f i (q E )用的表达式不变，仍为⎩⎨⎧'-'='-+'=d d q dd d d q q i X E Ψi X X E E )( （Ⅲ-4） 消去q Ψ及q i (d E )的表达式推导如下，由q 轴磁链方程有⎩⎨⎧+-=+-=g g q aq gg aq q q q i X i X Ψi X i X Ψ （Ⅲ-5） 对式(Ⅲ-5)之第二式，二边乘以g aq X X -，由式(Ⅲ-2)可知 dE '=g aq X X 2g i +d E （Ⅲ-6） 由于g aq q q X X X X 2-='，将之代入式(Ⅲ-6)，可整理得q q q dd i X X E E )('--'= （Ⅲ-7) 此即消去g i (d E )用的表达式。
附录Ⅲ 同步电机实用四阶模型
当同步电机在q 轴转子上要计及和瞬变过程对应的g 绕组，但d 轴、q 轴转子仍忽略与超瞬变过程对应的D 绕组、Q 绕组时，则三阶实用模型将增阶为四阶实用模型。
其导出过程与三阶实用模型相似，只是增加了一个q 轴转子的g 绕组。
下面进行推导。
1. 等效实用变量引入
除三阶实用模型中所定义的励磁电动势f E 、q 轴空载电动势q E 及q 轴瞬变电动势q
E '外，还需定义以下两个新的实用变量：
g i 所对应的d 轴电动势
g aq d i X E -= （Ⅲ-1)
g Ψ所对应的d 轴电动势
g g aq d ΨX X E -=' （Ⅲ-2）
d E '又称为d 轴瞬变电动势，或“q X '后面的电动势”。
d E 和d
E '定义式中的负号是由于定子d 绕组电压方程中的速度电动势项－ωq Ψ中的负号引起的，即q 轴的正磁链，由于转子的旋转，在定子等值d 绕组中引起负值的速度电动势。
在稳态时，0d E =0(因为g 绕组端口短路，稳态时g i =0)。
暂态时，由于忽略定子暂态，设定子电压方程中p d Ψ=p q Ψ
=0，q i 要发生突变，故g i 也要发生突变，从而使g 绕组的磁链g Ψ不突变(因考虑到g 绕组的暂态)，因此暂态中和g i 成比例的d E 也要发生突变。
在暂态中，和g Ψ成比例的d E '是不突变的，其暂态初值可根据稳态值而定。
0d
E '可用下式计算，证明见后面推导。
0000q q d a d d
i X i r u E '-+=' （Ⅲ-3) 式中，g aq q g aq q X X X X X X X 211//-=+='为q 轴瞬变电抗。
由式(Ⅲ-3)可知，将0d
E '称为“q X '后面的电动势”的物理背景。
2. 消去q Ψ及g i (d E )用的表达式导出
四阶实用模型与三阶实用模型在d 轴上结构相同，故消去d Ψ及f i (q E )用的表达式不变，仍为
⎩⎨⎧'-'='-+'=d d q d
d d d q q i X E Ψi X X E E )( （Ⅲ-4） 消去q Ψ及q i (d E )的表达式推导如下，由q 轴磁链方程有
⎩⎨⎧+-=+-=g g q aq g
g aq q q q i X i X Ψi X i X Ψ （Ⅲ-5） 对式(Ⅲ-5)之第二式，二边乘以g aq X X -
，由式(Ⅲ-2)可知 d
E '=g aq X X 2g i +d E （Ⅲ-6） 由于g aq q q X X X X 2-='，将之代入式(Ⅲ-6)，可整理得
q q q d
d i X X E E )('--'= （Ⅲ-7) 此即消去g i (d E )用的表达式。
将式(Ⅲ-7)代入式(Ⅲ-5)之第一式，因g aq d i X E -=，得
q q d q i X E Ψ'-'-= （Ⅲ-8)
上式即消去q Ψ所用表达式。
3. 对派克方程进行改造
对定子电压方程，令p d Ψ=p q Ψ=0，ω=1，得
⎩⎨⎧-=--=q
a d q d a q d i r Ψu i r Ψu 将式(Ⅲ-4)及式(Ⅲ-8)代入上式，消去d Ψ和q Ψ
得四阶模型中的定子电压方程为 ⎩⎨⎧-'-'=-'+'=q a d d q q
d a q q d d i r i X E u i r i X E u ` （Ⅲ-9） 转子绕组电压方程
f f f f i r u p Ψ-=
与三阶模型推导过程完全相同，将上式二边乘以f f f ad r X X X ⋅，用由于f
f d r X T ='0，及d E '=f
ad X X f Ψ，可得 d d d q f q f q
d i X X E E E E E p T )(0'--'-=-='' （Ⅲ-10) 转子g 绕组方程为(0=g u )
p g Ψ=－g r g i （Ⅲ-11) 上式两边乘以－g g g aq r X X X ⋅，由于g
g q r X T ='0为q 轴开路瞬变时间常数，以及d E '=－g aq
X X g Ψ，故式(Ⅲ-11)化为
q q q d d d
q i X X E E E p T )(0'-+'-=-='' （Ⅲ-12） 对于转子运动方程
)(d q q d m e m J i Ψi ΨT T T dt
d T --=-=ω 将d Ψ和q Ψ
消去，可得转子运动方程为 ])([q d q d d d q q m J
i i X X i E i E T dt
d T '-'-''+'-=ω （Ⅲ-13) 另一运动方程 1-=ωδdt
d （Ⅲ-14） 不变。
式(Ⅲ-9)、式(Ⅲ-10)、式(Ⅲ-12)及式(Ⅲ-13)和式(Ⅲ-14)构成了同步电机实用四阶模型，它忽略了定子绕组暂态，但考虑到了转子f 绕组、g 绕组暂态及转子动态。
在式(Ⅲ-13)中也可和三阶模型相似，在精度要求较高时，补入阻尼力矩项以及负序力矩项。
四阶实用模型和三阶实用模型常用于可忽略转子绕组超瞬变过程但又需考虑到转子绕组瞬变过程的物理问
题。
其中三阶模型适用于q X '≈q X 的情况，对描写水轮机更为适用；四阶模型则在q X 与q
X '相差较大时，相对三阶模型较精确地描写转子q 轴绕组的暂态，对描写汽轮机实心转子更为
适用。
当令q
X '≈q X 时，亦即q 轴转子无g 绕组时，四阶模型就转换为三阶模型。
