第三章导数练习题及答案：函数的单调性

导数与函数的单调性练习题2.2.1 导数与函数的单调性基础巩固题：1.已知函数 $f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$ 在区间 $(-2,+\infty)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围。

解析：由题意可得 $f(x)$ 在 $(-2,+\infty)$ 上单调递增，因此$a>-\frac{1}{2}$。

又因为$f(x)$ 的定义域为$(-2,+\infty)$，所以 $a$ 的取值范围为 $a\geq -\frac{1}{2}$ 或 $a\leq -2$，即$a\geq -\frac{1}{2}$ 或 $a\leq -2$。

2.已知函数 $f(x)=x^2+2x+a\ln x$ 在区间 $(0,1)$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围。

解析：由题意可得 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调，因此$f'(x)=2x+2+\frac{a}{x}$ 在 $(0,1)$ 上恒大于等于零或恒小于等于零。

化简可得 $a\geq -(2x^2+2x)$ 或 $a\leq -(2x^2+2x)$ 在$(0,1)$ 上恒成立。

记 $g(x)=-(2x^2+2x)$，则 $g(x)$ 在$(0,1)$ 上单调递增，且 $-4<g(x)<0$。

因此，$a\geq -4$ 或$a\leq -4$，即 $a\geq -4$ 或 $a\leq -4$。

3.已知函数$f(x)=\frac{x}{2x-9}$，求$f(x)$ 的单调区间。

解析：求导得 $f'(x)=\frac{9}{(2x-9)^2}$，$f'(x)>0$ 当且仅当 $x\frac{9}{2}$。

因此，$f(x)$ 在 $(-\infty,\frac{9}{2})$ 上单调递减，在 $(\frac{9}{2},+\infty)$ 上单调递增。

所以$f(x)$ 的单调区间为 $(-\infty,\frac{9}{2})$ 和$(\frac{9}{2},+\infty)$。

函数的单调性练习题函数的单调性是高中数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。

通过对函数的单调性进行分析，我们可以更好地理解函数的性质，并在解决问题时提供指导。

下面，我将给大家提供一些关于函数单调性的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一概念。

练习题1：已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求函数f(x)的单调区间。

解析：要求函数f(x)的单调区间，首先需要求出函数f(x)的一阶导数f'(x)。

对函数f(x)进行求导得到f'(x) = 2x + 3。

由于一阶导数的符号可以反映函数的单调性，我们只需要找出f'(x)的正负变化区间即可。

令f'(x) = 0，解得x = -1.5。

这个点将数轴分成了两个区间：(-∞, -1.5)和(-1.5, +∞)。

我们只需要在这两个区间内取一点代入f'(x)，判断f'(x)的正负即可。

选取x = 0代入f'(x)，得到f'(0) = 3，说明在区间(-∞, -1.5)内f'(x) > 0，在区间(-1.5, +∞)内f'(x) > 0。

因此，函数f(x)在整个定义域上都是递增的，即f(x)的单调区间为(-∞, +∞)。

练习题2：已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数g(x)的单调区间。

解析：同样地，我们需要求出函数g(x)的一阶导数g'(x)。

对函数g(x)进行求导得到g'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

令g'(x) = 0，解得x = 1。

这个点将数轴分成了两个区间：(-∞, 1)和(1, +∞)。

选取x = 0代入g'(x)，得到g'(0) = 9，说明在区间(-∞, 1)内g'(x) > 0，在区间(1, +∞)内g'(x) > 0。

完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。

[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。

[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。

4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。

b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。

y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。

1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。

0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。

3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。

证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。

11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。

1．函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( )A ．先增后减B ．先减后增C ．增函数D ．减函数D [解析] 因为 f ′(x)＝－sin x －1＜0.所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.2．函数f (x )＝x 3－3x ＋1的单调增区间是( )A ．(－1，1)B ．(－∞，1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)D [解析] f ′(x)＝3x 2－3.由 f ′(x)＞0得，x ＜－1或x ＞1.故单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故选D.3．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) A [解析] 因为f (x )＝x ·sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )．所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，得 f ′(x)＝sin x ＋x cos x >0，所以此时函数是增函数．所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3. 所以f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A. 4.教材习题改编 函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________．[解析] 因为f (x )＝e x －x ，所以 f ′(x)＝e x －1，由 f ′(x)>0，得e x －1>0，即x >0.[答案] (0，＋∞)5．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的最大值是________．[解析] f ′(x)＝3x 2－a ≥0，即a ≤3x 2，又因为x ∈[1，＋∞)，所以a ≤3，即a 的最大值是3.[答案] 35．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)B [解析] 由题意知函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0＜x ≤1， 所以函数的单调递减区间为(0，1]．6．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增A [解析] 在(0，2π)上有 f ′(x)＝1－cos x ＞0恒成立，所以f (x )在(0，2π)上单调递增．7．已知函数f (x )＝2x 3－6ax ＋1，a ≠0，则函数f (x )的单调递减区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－a )∪(a ，＋∞)D ．(－a ，a ) D [解析] f ′(x)＝6x 2－6a ＝6(x 2－a )，当a ＜0时，对x ∈R ，有 f ′(x)＞0；当a ＞0时，由 f ′(x)＜0解得－a ＜x ＜a ，所以当a ＞0时，f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．故选D.8．(2017·聊城模拟)已知函数y ＝x f ′(x)的图象如图所示(其中 f ′(x)是函数f (x )的导函数)．则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )C[解析] 由条件可知当0＜x＜1时，x f′(x)＜0，所以f′(x)＜0，函数递减．当x＞1时，x f′(x)＞0，所以f′(x)＞0，函数递增，所以当x＝1时，函数取得极小值．当x＜－1时，x f′(x)＜0，所以f′(x)＞0，函数递增，当－1＜x＜0时，x f′(x)＞0，所以f′(x)＜0，函数递减，所以当x＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C项．9．若函数f(x)＝k e x＋x在(0，＋∞)上是减函数，则k的范围为() A．k≥－1 B．k≤－1C．k≥1 D．k≤1B[解析] f′(x)＝k e x＋1.由题意得k e x＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即k≤－1e x，x∈(0，＋∞)．当x∈(0，＋∞)，－1e x∈(－1，0)，所以k≤－1，故选B.10．(2017·贵阳市监测考试)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－3) f′(x)≤0，则必有()A．f(0)＋f(6)≤2f(3) B．f(0)＋f(6)＜2f(3)C．f(0)＋f(6)≥2f(3) D．f(0)＋f(6)＞2f(3)A[解析] 由题意知，当x≥3时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在[3，＋∞)上单调递减或为常数函数；当x＜3时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(－∞，3)上单调递增或为常数函数，所以f(0)≤f(3)，f(6)≤f(3)，所以f(0)＋f(6)≤2f(3)，故选A.11．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．[解析] 因为f(x)＝(x－3)·e x，则f ′(x)＝e x (x －2)，令f ′(x)＞0，得x ＞2，所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．[答案] (2，＋∞)12．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，则当a ＜0时，f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．[解析] 由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x)＝a ＋1x ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1a x ，所以当x ≥－1a时 f ′(x)≤0，当0＜x ＜－1a时f ′(x)＞0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. [答案] ⎝⎛⎭⎫0，－1a ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞ 13．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫π2，f (2)的大小关系为________(用“＜”连接)．[解析] 函数f (x )为偶函数，因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x)＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时， f ′(x)＜0. 所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (2)＞f (3)＝f (－3)． [答案] f (－3)＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫π2 14．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．[解析] 由题意知f ′(x)＝－x ＋4－3x ＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x)＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1，得0＜t ＜1或2＜t ＜3.[答案] (0，1)∪(2，3)15．(2017·兰州市实战考试)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )．当0＜a ＜12时，讨论f (x )的单调性．[解] 因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1， 所以f ′(x)＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)， 令f ′(x)＝0，可得两根分别为1，1a－1， 因为0＜a ＜12，所以1a－1＞1＞0， 当x ∈(0，1)时， f ′(x)＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a －1时， f ′(x)＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时， f ′(x)＜0，函数f (x )单调递减．16．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解] (1)对f (x )求导得f ′(x)＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知 f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x)＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x)＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时， f ′(x)<0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时， f ′(x)>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，5)．。

《函数的单调性与导数》专题训练1.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是下列选项中的( )2．如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．在区间(3,5)上f (x )是增函数 3．函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( )A ．(－∞，e －2) B ．(0，e －2) C ．(e －2，＋∞)D ．(e 2，＋∞)4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3， 3) 5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 7．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．9．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R. (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(1，m＋12)上是单调函数，求实数m的取值范围．《函数的单调性与导数》专题训练答案解析1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的()【答案】C【解析】题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．故选C.2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数【答案】C【解析】由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C. 3．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是()A．(－∞，e－2)B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)【答案】B【解析】因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3)∪[3，＋∞) B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，3)【答案】B【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.] 5．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)【答案】D【解析】f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝e x (x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 【答案】－32－6【解析】f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.7．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________． 【答案】(1,2)【解析】[f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解析】f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 9．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R. (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)若a ＝－1，求f (x )的单调区间． 【解析】f ′(x )＝(ax ＋2a ＋1)x e x .(1)若a ＝1，则f ′(x )＝(x ＋3)x e x ，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(1)＝4e ，f (1)＝e. 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0. (2)若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)x e x .令f ′(x )＝0解x 1＝－1，x 2＝0. 当∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0；所以f (x )的增区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8，∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)∵f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(1)(3)(0)x x x x--> ∴当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗↘↗∴f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)， f (x )的单调递减区间为(1,3)．要使函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数， 则⎩⎨⎧1＜m ＋12，m ＋12≤3，解得12＜m ≤52，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，52.。

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e)【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·)＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0，令y′>0，则1－ln x>0，所以0<x<e.2.已知函数f(x)＝(ax＋1)e x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值．【答案】（1）见解析（2）当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.【解析】解：依题意，函数的定义域为R，f′(x)＝(ax＋1)′e x＋(ax＋1)(e x)′＝e x(ax＋a＋1)．(1)①当a＝0时，f′(x)＝e x>0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>－，由f′(x)<0，解得x<－，则f(x)的单调递增区间为(－，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－∞，－)；③当a<0时，由f′(x)>0，解得x<－，由f′(x)<0解得，x>－，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)．(2)①当时，)上是减函数，在(－，0)上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－)＝－a·；②当时，即当0<a≤1时，f(x)在[－2,0]上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－2)＝.综上，当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.3.函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.【答案】1【解析】f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，1<x<3，f′(x)<0；x<1或x>3，f′(x)>0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.4.设，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若对于任意的，恒成立，求的范围；(3)求证：【解析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−)，设g(x)＝lnx−m(x−)，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时，m＝时，lnx＜(x−)成立．不妨令x＝，k∈N*，得出[ln(2k+1)−ln(2k−1)]＜，k∈N*，再分别令k=1，2，，n．得到n个不等式，最后累加可得．(1) 2分由题设，∴，. 4分(2),，，即设，即.6分①若，，这与题设矛盾. 7分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立. 8分当时，方程，设两根为，当,单调递增，，与题设矛盾.综上所述， . 10分(3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以，11分12分累加可得∴∴ ---------------14分【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数在最大值、最小值问题中的应用．5.已知函数.（1）当时，证明：当时，；（2）当时，证明：.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当时，转化为，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将转化为且，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.(1)时，，令，，∴在上为增函数 3分，∴当时，，得证． 6分(2)令，，时，，时，即在上为减函数，在上为增函数 9分∴①令，，∴时，，时，即在上为减函数，在上为增函数∴②∴由①②得． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.6.已知函数.（1）当a=l时，求的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；（3）令，是否存在实数a，当(e是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；（3）存在实数.【解析】（1）把代入函数解析式得，且定义域为，利用导数法可求出函数的单调区间，由，分别解不等式，，注意函数定义域，从而可求出函数的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数在上是减函数，则其导函数在上恒成立，又因为，所以函数，必有，从而解得实数的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得，则，令，解得，通过对是否在区间上进行分类讨论，可求得当时，有，满足条件，从而可求出实数的值.（1）当时，. 2分因为函数的定义域为，所以当时，，当时，.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分（2）在上恒成立.令，有， 6分得，. 8分（3）假设存在实数，使有最小值3，. 9分当时，在上单调递减，，（舍去）； 10分②当时，在上单调递减，在上单调递增.，解得，满足条件； 12分③当时，在上单调递减，，（舍去）. 13分综上，存在实数，使得当时，有最小值3. 14分【考点】1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.7.设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，则m的取值范围为()A．[0，]B．(0，)C．(0，]D．[0，)【答案】A【解析】∵f(x)在区间(0，π)上是增函数，∴f′(x)＝1－2mcos x＋2(m－)cos 2x＝2[(2m－1)cos2x－mcos x＋1－m]＝2(cos x－1)[(2m－1)cos x＋(m－1)]＞0在(0，π)上恒成立，令cos x＝t，则－1＜t＜1，即不等式(t－1)[(2m－1)t＋(m－1)]＞0在(－1,1)上恒成立，①若m＞，则t＜在(－1,1)上恒成立，则只需≥1，即＜m≤，②当m＝时，则0·t＋－1＜0，在(－1,1)上显然成立；③若m＜，则t＞在(－1,1)上恒成立，则只需≤－1，即0≤m＜．综上所述，所求实数m的取值范围是[0，]．8.已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xe x，则（）A．1是f（x）的极小值点B．﹣1是f（x）的极小值点C．1是f（x）的极大值点D．﹣1是f（x）的极大值点【答案】B【解析】f（x）=xe x⇒f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0⇒x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞）；令f′（x）＜0⇒x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），故﹣1是f（x）的极小值点．故选：B．9.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.10.已知函数f(x)＝x2－mlnx＋(m－1)x，当m≤0时，试讨论函数f(x)的单调性；【答案】当－1<m≤0时单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；当m≤－1时，单调递增区间是和，单调递减区间是【解析】函数的定义域为，f′(x)＝x－＋(m－1)＝.①当－1<m≤0时，令f′(x)>0，得0<x<－m或x>1，令f′(x)<0，得－m<x<1，∴函数f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；②当m≤－1时，同理可得，函数f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是.11.若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是________．【答案】a≥3【解析】f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令g(x)＝－2x，求导可得g(x)在上的最大值为3，所以a≥3.12.函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是()A．(-∞,0)B．(0,+∞)C．(-∞,-3)和(1,+∞)D．(-3,1)【答案】D【解析】y'=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)>0x2+2x-3<0-3<x<1,∴函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是(-3,1).13.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．【答案】-4【解析】∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4.14.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为 ()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．15.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有一个解，求实数m的取值范围；（3）当且，时，若有，求证：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为和；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；（2）若方程有解有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域内即可，由（1）知，，方程有且只有一个根，又的值域为，;（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即，同理，又，，且在上单调递减，，即.试题解析：（1），令，即，解得，令，即，解得，或，的递增区间为，递减区间为和. 4分（2）由（1）知，， 6分方程有且只有一个根，又的值域为，由图象知8分（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即， 11分，又，，且在上单调递减，，即. 13分【考点】1.导数在函数单调性上的应用；2. 导数与函数最值.16.某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。

答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ ，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0 或 f ′(x )≤03．函数 f (x )＝x ＋ 的单调区间为________．－1)，令 f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得 x < ，7．已知 y ＝ x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3 在 R 上不是单调增函数，则 b 的范围为________．基础巩固题：1.函数 f(x)= ax + 1x + 2导数与函数的单调性在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数 a 的取值范围为（ ）1 1 1 <a< <-1 或 a> > >-22 2 21 - 2a 1答案：C 解析：∵f(x)=a+ 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即 a> .x + 2 22．已知函数 f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数 f (x )在(0,1)上单调，则实数 a 的取值范围是()A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0 或 a ≤－4D ．a >0 或 a <－4ax在(0,1)上恒成立，即 2x 2＋2x ＋a ≥0 或 2x 2＋2x ＋a ≤0 在(0,1)上恒成立， 所以 a ≥－(2x 2＋2x )或 a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记 g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0，∴a ≥0 或 a ≤－4，故选 C.9x答案：(－3,0)，(0,3)解析：f ′(x )＝1－x 2＝ x 29 x 2－9 ，令 f ′(x )<0，解得－3<x <0或 0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数 y = x 2 - x 3 的单调增区间为，单调减区间为___________________2 答案： (0, ) ； (-∞,0),( 32 3 , +∞) 解析： y ' = -3x 2 + 2 x = 0, x = 0, 或x =23 5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令 3(x －2)(x －4)＞0，解得 x ＞4 或 x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令 3(x －2)(x －4)＜0，解得 2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3 的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得 x ＞1 或 x ＜－1.∴y =3x －x 3 的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数 y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数 y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，1 2∴函数 y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)13= x 2 x 2 [答案] b <－1 或 b >2[解析] 若 y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0 恒成立，则 Δ＝4b 2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意 b ＜－1 或 b ＞2.8.已知 x ∈R,求证：e x ≥x +1．证明:设 f （x ）=e x －x －1,则 f ′（x ）=e x －1．∴当 x =0 时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当 x ＞0 时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0． 当 x ＜0 时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数 y =x + 1 x，试讨论出此函数的单调区间.1 x2 - 1 ( x + 1)( x - 1) ( x + 1)( x - 1)解：y ′=(x + )′=1－1·x －2= 令 ＞ 0. x x 21 ( x + 1)( x - 1)解得 x ＞1 或 x ＜－1.∴y =x + 的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令x x 21＜0，解得－1＜x ＜0 或 0＜x ＜1. ∴y =x + 的单调减区间是(－1，0)和(0，1)x10．已知函数的图象过点 P （0，2），且在点 M （－1，f （－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求 函数 y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数 y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由 f(x)的图象经过 P （0，2），知 d=2，所以由在 M(-1,f(-1))处的切线方程是， 知故所求的解析式是（Ⅱ）解得当 当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力．11.已知函数 f(x)=x 3-x 2+bx+c. (1)若 f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求 b 的取值范围; 解 （1）=3x 2-x+b,因 f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即 3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2 在（-∞，+∞）恒成立.设 g(x)=x-3x 2. 当 x=时，g(x)max =,∴b≥. 12.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数 a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足≥0 即可.的对称轴是 x=,∴a 的取值应满足：或解得:a≤.∴a 的取值范围是 a≤.∵=3x 2-2(a+1)x+a13．已知函数 f ( x ) = 4 x + ax 2- 2 3x 3( x ∈ R) 在区间 [-1,1]上是增函数，求实数 a 的取值范围．解： f ' ( x ) = 4 + 2ax - 2 x 2 ，因为 f (x )在区间 [-1,1]上是增函数，所以 f ' ( x ) ≥ 0 对x ∈[-1,1] 恒成立，即 x 2 - ax - 2 ≤ 0 对 x ∈[-1,1] 恒成立，解之得： -1 ≤ a ≤ 1(x －1)2 解析：f ′(x )＝ ＝(x －1)3 (x －1)3当 b －1＝1，即 b ＝2 时，f (x )＝ ，所以函数 f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，所以实数 a 的取值范围为 [-1,1]．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调 性关系：即“若函数单调递增，则 f ' ( x ) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ' ( x ) ≤ 0 ”来求解，注 意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + ax + d 的图象过点 P （0，2），且在点 M （－1， f (-1) ）处 的切线方程 6 x - y + 7 = 0 ，（1）求函数 y = f ( x ) 的解析式；（2）求函数 y = f ( x ) 的单调区间。

2.2.1导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>21.2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C.3．函数f (x )＝x ＋9x 的单调区间为________．答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________答案：2(0,)3 ； 2(,0),(,)3-∞+∞ 解析： '22320,0,3y x x x x =-+===或 5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3 (1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)7．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．[答案] b <－1或b >2 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2.8.已知x ∈R,求证：e x ≥x +1．证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1．∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0． 当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x 1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.∴y =x +x 1的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)10．已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P （0，2），知d=2， 所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是76=+-y x ， 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即{{326,23,12 1.0,3.b c b c b c b c b c -+=-=-∴-+-+=-===-即解得 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）22()36 3.3630,f x x x x x '=----=令2210.x x --=即 解得 .21,2121+=-=x x当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,()(--∞在x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数． 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．11.已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围;解 （1）)(x f '=3x 2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x 2.当x=61时，g(x)max =121,∴b≥121. 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足)(x f '≥0即可.∵)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 的对称轴是x=31+a ,∴a 的取值应满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥'≤+0(2)231f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+'>+0)31(231a f a 解得:a≤38.∴a 的取值范围是a≤38.13．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。

导数与曲线的单调性练习题1. 设函数 f(x) 在区间 (-∞,0) 上是减函数，在区间(0,∞) 上是增函数，且 f'(x) = x^2 + 1，求 f(x) 在区间 (-∞,∞) 上的单调性。

解析：根据题意可知，f(x) 在区间 (-∞,0) 上是减函数，在区间(0,∞) 上是增函数。

而函数的导数 f'(x) = x^2 + 1，那么我们可以求导数 f'(x) = 0 的解。

x^2 + 1 = 0x^2 = -1由于方程 x^2 = -1 在实数范围内无解，所以 f'(x) = x^2 + 1 恒大于 0，即 f(x) 在区间 (-∞,∞) 上是增函数。

2. 已知函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7，在区间 (-∞,∞) 上的单调性。

解析：为了确定 f(x) 在区间 (-∞,∞) 上的单调性，我们可以求导数 f'(x)。

f'(x) = 6x^2 - 10x + 3接下来，我们需要求出 f'(x) = 0 的解。

6x^2 - 10x + 3 = 0使用求根公式可以得到：x = (10 ± √(10^2 - 4*6*3))/(2*6)计算可得：x = (10 ± √(100 - 72))/12x = (10 ± √28)/12因此，f'(x) = 0 的解为：x = (5 + √7)/6 和 x = (5 - √7)/6接下来我们可以分析 f'(x) 在这两个解处的取值情况以及 f'(x)在这两个解之间的变化情况：当 x < (5 - √7)/6 时，f'(x) 的值大于 0；当 (5 - √7)/6 < x < (5 + √7)/6 时，f'(x) 的值小于 0；当x > (5 + √7)/6 时，f'(x) 的值大于 0。

函数的单调性〔一〕一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是〔 〕A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 〔 〕 A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是〔 〕A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是〔 〕A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥310．已知函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是〔 〕 A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) 〔1〕求f (1)的值．〔2〕假设f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］〔1〕当a =21时，求函数f (x )的最小值；〔2〕假设对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的表达．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。