第四章 线性动态电路分析2
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动态电路分析方法
第四章动态电路分析方法 (66)4.1 一阶电路的分析 (66)4.1.1 一阶电路的零输入响应 (66)4.1.2 一阶电路的零状态响应 (70)4.1.3 一阶电路的完全响应 (74)4.2 二阶电路的分析 (79)4.2.1 LC电路中的自由振荡 (79)4.2.2 二阶电路的零输入响应描述 (81)4.2.3 二阶电路的零输入响应—非振荡情况 (83)4.2.4 二阶电路的零输入响应—振荡情况 (86)习题 (89)第四章动态电路分析方法前面介绍了线性电阻电路的分析方法。
由于电阻元件的伏安特性为代数关系，所以在分析电阻电路时，只需求解一组代数方程，如网孔分析法、节点分析法等。
但在本章所讨论的电路中，除了含有电源和电阻以外，还将含有电容和电感元件。
电容和电感元件的伏安特性为微分或积分关系，故称为动态元件（dynamic element）（参见1.4.3）。
包含动态元件的电路叫做动态电路。
动态电路在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关，这是和电阻性电路完全不同的。
例如，一个动态电路，尽管输入已不再作用了，但仍然可以有输出，因为输入曾经作用过。
因此，动态电路是具有“记忆”（memory）的特点，这完全是由动态元件的性能所决定的。
4.1 一阶电路的分析不论是电阻性电路还是动态电路，各支路电流与各支路电压都受到基尔霍夫定律的约束，只是在动态电路中，来自元件性质的约束，除了电阻元件的欧姆定律，还有电容、电感的电压、电流关系，这些关系已在1.4.3中讨论过，需要微分（或积分）的形式来表示。
因此，线性动态电路不能用线性代数方程，而需用线性微分方程来描述。
用解析方法求解动态电路的问题就是求解微分方程的问题。
在实际工作中经常遇到只包含一个动态元件的线性电路，这种电路是用线性常系数一阶常微分方程来描述的，故称一阶电路或一阶网络（first order network）。
本节讨论这类网络的解法。
以电容元件为例，这类网络可以用图4-1(a)来概括，图中所示的方框部分只有电阻和电源组成电路，可以用戴维南等效电路或诺顿等效电路来代替。
(电工电子技术)第4章动态电路的分析
详细描述
在分析动态电路时，首先需要确定电路在初始时刻的电压和电流值，即初始状 态。这些值可以通过电路的连接方式、元件参数以及电路的边界条件来确定。
时间常数分析
总结词
计算电路的时间常数，评估电路的响应速度。
详细描述
时间常数是动态电路的一个重要参数，它决定了电路的响应速度。通过计算时间 常数，可以评估电路在不同时间点的响应情况，进而分析电路的性能。
电阻、电容和电感
用于构建不同的动态电路。
03
示波器
用于观察信号波形。
04
信号发生器
用于产生测试信号。
实验步骤与操作
01
02
03
04
05
1. 搭建电路
2. 连接电源和测 3. 调整参数 试仪器
4. 记录数据
5. 分析数据
根据实验需求，使用电阻 、电容和电感搭建动态电 路。
将电源接入电路，并将示 波器和信号发生器与电路 连接。
。
04
动态电路的实例分析
微分方程的建立与求解
微分方程的建立
根据电路的元件参数和电路结构 ，建立动态电路的微分方程。
微分方程的求解
通过解析法或数值法求解微分方 程，得到电路中电压和电流随时 间变化的规律。
电路的瞬态分析
初始状态分析
确定电路在初始时刻的电压和电流值 ，为瞬态分析提供初始条件。
时间响应分析
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在通信系统中，信号通常 需要在高频下传输，这就 需要使用动态电路来处理 信号。
控制系统
在控制系统中，需要使用 动态电路来控制系统的行 为，以满足特定的要求。
电子设备
许多电子设备，如电视机、 收音机和计算机等，都使 用了动态电路来处理信号 和实现各种功能。
在分析动态电路时，首先需要确定电路在初始时刻的电压和电流值，即初始状 态。这些值可以通过电路的连接方式、元件参数以及电路的边界条件来确定。
时间常数分析
总结词
计算电路的时间常数，评估电路的响应速度。
详细描述
时间常数是动态电路的一个重要参数，它决定了电路的响应速度。通过计算时间 常数，可以评估电路在不同时间点的响应情况，进而分析电路的性能。
电阻、电容和电感
用于构建不同的动态电路。
03
示波器
用于观察信号波形。
04
信号发生器
用于产生测试信号。
实验步骤与操作
01
02
03
04
05
1. 搭建电路
2. 连接电源和测 3. 调整参数 试仪器
4. 记录数据
5. 分析数据
根据实验需求，使用电阻 、电容和电感搭建动态电 路。
将电源接入电路，并将示 波器和信号发生器与电路 连接。
。
04
动态电路的实例分析
微分方程的建立与求解
微分方程的建立
根据电路的元件参数和电路结构 ，建立动态电路的微分方程。
微分方程的求解
通过解析法或数值法求解微分方 程，得到电路中电压和电流随时 间变化的规律。
电路的瞬态分析
初始状态分析
确定电路在初始时刻的电压和电流值 ，为瞬态分析提供初始条件。
时间响应分析
THANKS FOR WATCHING
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在通信系统中，信号通常 需要在高频下传输，这就 需要使用动态电路来处理 信号。
控制系统
在控制系统中，需要使用 动态电路来控制系统的行 为，以满足特定的要求。
电子设备
许多电子设备，如电视机、 收音机和计算机等，都使 用了动态电路来处理信号 和实现各种功能。
《电路分析》第单元精讲
t 0.5s,t 4s u( t ) u( t ) 1 t idξ t C 0.5s t 1s 如 ： 0.5s t 1s t 1s t 2s uc ( t ) uc ( 0.5 ) 2 10d 0.5 2s t 4s U 20t - 10 电压波形如图4-3(c)所示 15
线性电容的q~u 特性是过原点的直线 C= q/u
8
第四章 动态电路
2、线性电容的电压、电流关系： u, i 取关联参考方向 i + u – + – C
t u( t ) 1 i( ξ )dξ C
22:37:56
dq du i C dt dt
微分形式
积分形式
通常假设 t = t0 为计时起始时刻，上式可写为：
10A i ( t ) - 2.5A 0
0.5s t 1s 2s t 4s 其它
14
第四章 动态电路
10
is /A
10+U
22:37:56
uc /V
-2.5 0 1
2
3
4
U
2 0 1 ( c)
3
(b)
t/s
4 t/s
由积分形式的伏安关系可求得各时段的电压
U U 20t - 10 uc ( t ) U 10 U 20 - 5t
第四章 动态电路
3. 电容的储能
22:37:56
du p ui u C dt t t du 1 2 1 2 1 2 WC Cu dξ Cu (ξ ) Cu ( t ) Cu ( ) dξ 2 2 2 若u ( ) 0 1 2 1 2 Cu ( t ) q (t ) 0 2 2C
初中物理动态电路分析
初中物理动态电路分析动态电路分析在现代物理学中占据着重要地位，它作为一门重要的学科被研究出来，并被广泛用于工程中，是物理实验的一整套实验过程，也是从实际问题中推导运用动态电路分析理论的重要方法。
初中物理动态电路分析是初中物理教学中重要的知识点，它是门复杂的科学理论，结合行为科学的知识、实践经验，需要对物理实验有深入的了解。
一、动态电路的基本概念动态电路分析的基本概念是电路的动态分析，也就是说，它是电路中电压、电流和功率变化的研究。
通常，动态电路的分析有两种基本概念：动态的线性分析和动态的非线性分析。
动态线性分析是指当电路中电荷、电流和功率等量变化时，响应因素不变，因此可以用线性方程进行分析。
非线性分析则是指电路中电荷、电流和功率等量变化时，响应因素也会发生变化，因此需要用非线性方程进行分析。
二、初中物理动态电路分析实验原理初中物理动态电路分析实验主要是研究电路中动态变化的响应因素，它的实验原理主要依据动态电路的线性和非线性分析的相关理论，并通过实验可以掌握基本的实验方法，如极化电容器、极化电阻器、极化二极管等，以及实验台的使用。
让学生在实验中体验动态电路分析的过程，探索动态电路分析的原理及其应用，为其提供一个实践性的教学环境。
三、初中物理动态电路分析实验设备初中物理动态电路分析实验需要使用的设备有多种，如实验台、电表、电阻、电容、二极管、电池等，这些设备的安装和使用都需要进行相应的安全措施，特别是使用电池时，务必要对电池施以足够的保护。
四、实验方法1.建电路：首先按照实验要求构建电路，连接设备并将电路正确连接，检查电路是否存在短路或断路等情况；2.量记录数据：测量电路中不同元件的电压、电流和功率，并根据实验结果记录实验数据；3.析结果：最后，根据记录的实验数据，对电路的动态分析进行分析，并得出结论。
五、实验安全实验安全是进行实验必不可少的一项内容，在进行动态电路分析实验时，应注意以下几点：1. 使用时要搭建正确的电路，并对电路进行严格检查；2.态电路分析实验使用的电器设备有可能会产生高压，因此实验时应具备相应的安全防护措施，如不要触摸实验台；3.免与实验台发生意外接触，以免造成人身损伤；4.免在实验中将电器设备分离或拆开，以免造成危险；5.验中应当对所使用的电器设备进行正确的操作，以免造成意外。
动态电路
an
d ni dt n
an1
d n1i dt n1
a1
di dt
a0i
u
t0
四. 动态电路的分析方法
激励 u(t)
响应 i(t)
an
d ni dt n
an1
d n1i dt n1
a1
di dt
a0i
u
t0
经典法
拉普拉斯变换法 状态变量法 数值法
时域分析法
复频域分析法 时域分析法
2、换路定则与初始值的确定
uL(0+)、iR(0+)和
0.1H iL
duC dt
、diL 0 dt
的值。
0
+
u
3Ω
–C
6Ω
+ 6Ω 12V
–
iL
iR +
uC 3Ω iC –
解：作t = 0–的等效电路如图(b)
(b)
所示，有
iL (0 )
12 6 // 6 3
2
A
uC (0 ) 3iL (0 ) 6 V
由换路定则得 uC(0+) = uC(0–)=6V， iL(0+)= iL(0–)=2A
uC(0+) = uC(0-) = RIS
uL(0+)= - RIS
iC (0 )
Is
RI S R
0
3.确定 duC
dt
与 diL
0
dt
的值
0
对于n阶电路的初值确定
还要把其（n-1)阶导数的初值也确定出来。 本书仅涉及到分析二阶电路，因此只需了解diL 和 duC 的初值
dt 0 dt 0
一般线性电路的动态分析-拉氏变换法
适用范围讨论
线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变系统的 分析，如RC、RL和RLC电路等。
稳定性分析
通过拉氏变换可以方便地分析系统的 稳定性，判断系统是否稳定以及稳定
的程度。
初始值问题和边值问题
拉氏变换适用于求解具有初始值或边 值条件的微分方程，如电路中的初始 条件和边界条件等。
频率响应分析
06 拉氏变换法优缺点及适用 范围讨论
优点总结
简化计算
拉氏变换能将时域微分方程转换 为复频域的代数方程，从而大大 简化了计算过程。
方便系统分析
通过拉氏变换，可以方便地分析 系统的频率响应、稳定性以及暂 态和稳态性能。
适用于线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变 系统的分析，这类系统在工程实 际中非常常见。
拉氏变换可以用于分析系统的频率响 应特性，如幅频特性和相频特性等。
07 结论与展望
研究成果总结
提出了基于拉氏变换法的一般线性电路动态分析方法，该方法能够有效地解决线性电路在时域分析中 的困难，通过变换将时域问题转化为频域问题进行处理。
通过对实际电路进行建模和仿真，验证了所提方法的有效性和准确性，结果表明该方法具有较高的计算 精度和效率。
缺点分析
收敛性限制
拉氏变换要求函数在实数轴上绝对可积，这限制了其应用范围。对于某些不满足绝对可积条件的 函数，可能需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理非线性问题
拉氏变换是一种线性变换方法，对于非线性问题无法直接处理，需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理时变系统
对于时变系统，拉氏变换无法直接应用，需要采用其他方法进行分析。
一般线性电路的动态分析-拉氏变 换法
目录
动态电路分析专题通用课件
结果分析
对实验结果进行深入分析，通 过数据比较、图表解读等方法
探究电路的性能表现。
结论总结
总结实验的主要发现和结论， 并指出可能的改进方向和实际
应用价值。
参考文献
提供相关的参考文献，以供读 者深入学习和研究。
感谢您的观看
THANKS
频率响应的概念与分类
频率响应
电路在正弦稳态下，输出信号随输入信号频率变化的特性。
分类
低频响应、中频响应、高频响应。
频率响应的分析方法
传递函数
描述电路输出与输入关系的复数 函数，用于分析电路的频率响应
。
极点和零点
传递函数的极点和零点决定了频率 响应的形状和特性。
波特图
描述频率响应的图形表示，包括幅 频特性和相频特性。
动态电路分析专题通用课件
目录
• 动态电路概述 • 动态电路的数学模型 • 动态电路的时域分析 • 动态电路的频域分析 • 动态电路的应用实例 • 动态电路的仿真与实验
01
动态电路概述
动态电路的定义与特点
总结词
动态电路的特点
总结词
动态电路的分类
详细描述
动态电路是指具有动态特性的电路，其特点是电路中的电 压和电流随时间变化，具有时变性和非线性。
详细描述
电阻元件在电路中起到消耗电能的作用， 电容元件主要起到储存电荷的作用，电感 元件则主要起到储存磁场能量的作用。
动态电路的分析方法
总结词
时域分析法
详细描述
时域分析法是一种直接的分析方法，通过建立电路的微分方程来求解 ，可以得到电路中电压和电流随时间变化的规律。
总结词
频域分析法
详细描述
频域分析法是将电路中的电压和电流表示为频率函数的展开式，通过 求解代数方程来得到各次谐波的幅值和相位。
动态电路的分析与计算
动态电路的分析与计算动态电路是指根据电压和电流的变化情况，进行分析和计算的电路。
在动态电路中，电压和电流是随时间变化的，因此需要进行动态分析，即考虑电路中的时间响应。
动态电路有许多应用，如信号处理、通信系统、数据传输以及计算机等。
动态电路的分析方法主要有微分方程法和拉普拉斯变换法。
微分方程法以电路中的基本元件为基础，根据基尔霍夫定律和基本电路方程建立微分方程组，通过求解微分方程组来获得电路的时间响应。
拉普拉斯变换法则是将时间域的电路方程转化为复频域的代数方程，通过频域分析来求解电路的输出响应，最后再进行反变换得到时间响应。
对于动态电路的计算，通常需要计算电路的传输函数、单位冲激响应或者零输入响应等。
电路的传输函数是指输出与输入之间的关系，可以用于计算输出的频率响应和稳态响应。
单位冲激响应是指当输入是单位冲激信号时，电路的输出响应。
零输入响应是指当输入为零时，电路的输出响应。
在进行动态电路分析和计算时，需要考虑电路中的各种元器件的动态特性和非线性特性。
例如，电容和电感有时会引起频率依赖的阻抗，这需要在计算中进行考虑。
此外，对于非线性元件，可以使用小信号模型或者通过数值方法进行求解。
动态电路的分析和计算通常使用电路模拟软件或者数值分析软件进行。
这些软件可以提供丰富的模型和工具，使得电路的分析和计算更加方便和准确。
例如，SPICE软件可以模拟电路的动态响应，并给出电路的各种性能参数和波形图。
总的来说，动态电路的分析和计算是电路理论和实验的重要组成部分。
通过合理使用分析方法和计算工具，可以获得电路的时间响应和频率响应等信息，为电路设计和优化提供依据。
电学中动态电路分析
电学中动态电路分析动态电路分析是电学中的一种重要方法，用于研究电路元件在时间变化过程中的响应。
在电子技术和电力系统等领域，动态电路分析是解决电路设计和故障诊断等问题的基础。
动态电路分析的基本原理是根据电路元件的特性和电路方程，通过求解微分方程来得到电路中电流和电压随时间变化的规律。
在动态电路分析中，常见的分析方法有直流分析、交流分析和暂态分析。
直流分析是指在稳态条件下，对电路中的电流和电压进行分析。
直流分析是动态电路分析的基础，主要用于计算稳态电流和电压值。
在直流分析中，可以根据欧姆定律和基尔霍夫电压定律进行分析，应用节点分析和支路分析等方法求解电路中的未知电流和电压。
交流分析是指在交流电路中，对电流和电压进行分析。
交流分析中，一般以复数形式的电压和电流进行分析，使用相量图法、复数阻抗法和拉普拉斯变换法研究电路中的交流响应。
交流分析对于理解电路中的频率特性和幅频特性等问题十分重要。
暂态分析是指在电路开关、电源切换等瞬间发生变化时，对电路中的电流和电压进行分析。
暂态分析研究电路中瞬间变化时的响应，可应用微分方程进行数学建模。
在暂态分析中，常见的方法有基本微分方程法、功率耐受方程法和矩阵方程法等。
动态电路分析在实际工程和科学研究中有着广泛的应用。
在电子电路设计中，动态电路分析可以研究电路的稳定性、频率响应和幅频特性，对于优化电路设计十分重要。
在电力系统中，动态电路分析可以用于分析电力系统的稳定性和瞬时过电压、过电流等暂态问题，对于提高电力系统运行的稳定性和可靠性具有重要意义。
总之，动态电路分析是电学中重要的研究方法，可用于研究电路中的电流和电压的时间响应。
通过直流分析、交流分析和暂态分析等方法，可以解决电路设计和故障诊断等实际问题。
动态电路分析在电子技术和电力系统等领域有着广泛的应用，对于优化电路设计和提高电力系统的稳定性具有重要意义。
初中动态电路分析方法
初中动态电路分析方法初中动态电路分析方法是用于分析和解决动态电路问题的一种方法。
动态电路是指电流和电压随时间变化的电路，如电感、电容和二极管等元件。
动态电路的分析方法可以分为直流分析和交流分析两种。
1. 直流分析方法：直流分析是指在电路中所有元件电流或电压都是稳定的，不随时间变化的情况下进行分析。
直流分析方法主要包括基尔霍夫定律和电路分解法。
- 基尔霍夫定律：基尔霍夫定律是指在电路中电流和电压的守恒定律。
根据基尔霍夫定律，我们可以通过列写闭合回路的电流和电压守恒关系来解析电路。
对于一个闭合回路，电流的代数和等于零，电压的代数和等于零。
这些方程可以解决电路中未知量的问题。
- 电流分解法：电流分解法是指通过分解电路中的电流来解析电路。
在复杂的电路中，我们可以将电路分解为不同的分支，然后计算每个分支中的电流，最后再合并计算得到整个电路的电流。
2. 交流分析方法：交流分析是指在电路中电流或电压随时间变化的情况下进行分析。
交流分析方法主要包括复数法和相量法。
- 复数法：复数法是一种使用复数来表示电压和电流的分析方法。
在复数法中，电压和电流分别用复数来表示，复数表示的是电压和电流的振幅和相位差。
通过计算复数的运算，在频域中进行分析，可以得到电路中电压和电流的幅值和相位信息。
- 相量法：相量法是一种使用矢量来表示电压和电流的分析方法。
在相量法中，电压和电流分别用矢量来表示，矢量表示的是电压和电流的振幅和相位差。
通过计算矢量的运算，在频域中进行分析，可以得到电路中电压和电流的幅值和相位信息。
通过直流分析和交流分析方法，我们可以分析并解决动态电路中的问题。
通过这些分析方法，我们可以计算电路中电压、电流、功率和能量等参数，在设计和调试电路时起到重要的作用。
同时，我们还可以通过这些方法研究电路中元件之间的相互作用，进一步理解电路的工作原理。
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2、时间常数τ
② τ的物理意义： τ的大小反映了过渡过程进展的快慢。
uC (t ) uC (0 ) e
1 t RC
Uo e
1 t RC
(t 0）
(5)
在表达式（5）中，将时间 t =1τ、2 τ、3 τ、4 τ、5 τ时的 电压uc (t)列表如下：
RC电路的零输入响应
和电容放电方程类似，也是一阶线性常系数齐次微分方程，其 解应有类似的指数形式。
iL (t ) A e pt 令：
( A、p为待定常数）
则，微分方程的特征方程为： L p+R=0 其特征根为： p R
L
则有：
iL (t ) A e
R t L
1 L L 仍然定义 为时间常数 ， P R R t
d diL t uL t L dt dt
1 2 WL t LiL (t ) 2
电感能存储磁场能量，在建立磁通链的过程中，磁场能量的 储存也需要一个过程，因此，电流也只能慢慢增加，最后达到稳 定值（ t→∞时） 。
二、电路的初始条件 何谓初始条件？就是换路后电路中各变量（电压、电流） 的起始值，也即t=0+时刻各电压电流的值。这也是一阶动态电 路过渡过程三个要素中的第一个要素。
第4章 线性动态电路的分析
ξ ξ ξ ξ 4-1 动态电路的方程及其初始条件 4-2 一阶电路的零输入响应 4-3 一阶电路的零状态响应 4-4 一阶电路的全响应
ξ 4-1 动态电路的方程及其初始条件
一、基本概念 ㈠ 稳态：电路的稳定状态，即电路中的电压电流达到稳定值时 的状态。比如前2章介绍的直流电路，全部为稳态电路的情况。 开关K从闭合时起，电路中的电压电流就为稳定值，也就是说电 路达到了稳态。如果电路中含有储能元件，比如有LC，就不同了：
解：有KVL定律可得：
uC uR 0
（1）
有元件约束方程得： uR R i(t ) du C C i (t ) (2) dt 代入上式（1）得： du (t ) RC C uC (t ) 0 dt 初始条件：
(3)
uC (0 ) uC (0 ) U o
此方程为一阶、线性、常系数、齐次微分方程。
如图所示电路原处于稳态， t=0时开关S合上。则 + 2 u(0+)=_____V。
2 S 9V
+ -
4
+
3
u
2H -
iL (0 ) iL (0 ) 1A
由初态等效电路可知：
+ -
6V
4 + 3
u(0 ) 6 4 2V
u(0+)
6V 1A -
例题三
如图所示电路原处于稳态， t=0 时开关 S 合上。则 2 i(0+)=_____A。
R eq C (6 // 3) 0.5 1 s
③求uc(t)。
uc t uc 0 e
t
6 et (v)
(t 0)
思考： uc(t)的时间常数为τ =1s，那么i1(t)和i2(t)的时 间常数为多少呢？ τ是由一阶电路本身电路参数决定的固有特征，一个一阶电路 只有一个时间常数，所有支路电压电流过渡过程都是以同一个 时间常数为衰减系数的。
例题一
如图所示电路原处于稳态， t=0时开关S突然打开。则 +
S
2 3H 3V 1
+
u (0 )=_____V。 - 6 iL (0 ) iL (0 ) 3A
L +
uL
-
-
由初态等效电路可知：
2 + 3V 1 3A
+
uL (0 ) 3 9 6V
uL(0+)
-
例题二
1、两个储能元件——能引起过渡过程的两个电路元件C和L。
Байду номын сангаас
电容能够存储电场能量，因为电荷的积累需要一个时间过 程，所以电压要慢慢上升，储存的能量也随着电容电压的增加 慢慢积累，最后达到稳定值（ t→∞时） 。
dQ duc t 1 2 ic t C WC t Cuc (t ) dt dt 2
i (0 ) 4 1 A, iC (0 ) A 3 3 1 4 4 4 1 4 V 3 3
解之得
u L (0 ) i C (0 ) R 2 u C (0 ) i L (0 ) R 3
4-2 一阶电路的零输入响应
一阶电路：描述电路响应过程的方程为一阶线性微分方程的 电路。一般情况下，含有一个储能元件的线性电路通常就是 一阶电路。 零输入响应：顾名思义，就是电路在没有输入激励情况下的响 应。由于没有输入激励，所以是靠储能元件的初始储能建立起 来的过渡过程响应。也即：换路前电路中储能元件有初始储能， 换路后电路没有电源激励输入，仅靠储能元件的储能建立的过 渡过程响应。 一、RC电路的零输入响应 1、求零输入响应 请看下图电路，已知：t= 0－时，uc(0－)=Uo (V)，求；t≥0时 的uc(t)表达式。
二、RL电路的零输入响应 1、求零输入响应。
例1、uL、i L 取关联参考方向，求 t≥0时，i L（t）。 解：显然有： ①列方程：
U0 iL (0 ) iL (0 ) I0 R0
换路后得：
u L R iL 0 diL uL L dt
diL L R iL 0 dt i L 0 I 0
iL (t ) Ae
t
t
it iL 0 e
I 0e
A
t 0
u R t R iL t RI 0 e u R (0 )e
t
t
－
t τ
V t 0
t
－ dit u L t L RI 0 e u L 0 e τ d t
换路定则
换路：指电路中的开关作用、参数变化等。
t = 0-换路前一瞬间, t = 0+换路后一瞬间,
p dW dt
能量不能突变，只能连续变化 uC连续变化 iL连续变化
WC=1/2CuC2
WL=1/2LiL2
uC(0+)= uC(0-)
iL(0+)=iL(0-)
换路定则
初始值的计算
t = 0+电压、电流值称为初始值
解：①先求初始条件。
独立初始条件：画0+等效电路： uc 0 uc 0 2 3 6 V
得： i1 0
6 6 1 A i2 0 2 A 6 3 ic 0 i1 0 i2 0 3 A
②求时间常数τ。
R1 1kΩ +
i
R2 2kΩ C 10μF ic +
10V t=0
uC
-
R3 2kΩ
t≥0时的等效电路如图 示，
R R2 R3 1k
i iC
6
+
RC 1 10 10 10
3
0.01s
C
uC
-
R3
uC (t ) uC (0 )e
t
4e 100tV
i1 t i1 0 e
t
t
1 e t (A) 2 e t (A)
(t 0) (t 0)
i2 t i2 0 e
uc t 按KCL 亦有： i1 t e t (t 0) R1 uc t i2 t 2e t R2 (t 0)
例题四
求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前 电路处于稳态。
i R 2Ω +
解： ⑴作ｔ＝0 -时的等效电路
U R1 4 i L (0 ) i (0 ) 2 1A R1 R3 44
t=0
i1 R1 4Ω +
8V
-
iC R2 4Ω C
+
iL R3 4Ω L
上图中，在开关K闭合后的一段时间内，电流 i 和电压uc 并不为稳定值，而是有一个开关K闭合后渐变的过程。当时间 t→∞时，电流 i 和电压uc才达到稳定值，不再变化，此时， 电路才进入稳态。为什么呢？就是因为电路中存在一个电容 元件C。那么，如果电路中有电感元件时又怎样呢？
㈡暂态（过渡过程）：当电路中含有储能元件时，在开关动作 后，电路中的变量尚未达到稳定状态，在这段时间内，电路变 量随时间变化的响应称为电路的过渡过程，也即电路处于暂态
1 t RC
式（5）可作为零输入响应的公 式来直接套用。再看波形图： 有表达式（5）、（6）和波形图可看出：
再看表达式（5）：
uC (t ) Uo e
1 t RC
(t 0）
(5)
两边均为电压量纲，指数项应该无量纲。由此可见，RC的乘 积应该和时间t有相同的量纲“秒” 。同时RC的大小，也反映 了衰减得快慢，由此可定义一个新的物理量——时间常数τ。
解： ⑶作ｔ＝0＋时的等效电路
i (0 ) R iC (0 ) R2 uC (0 ) U i (0 ) iC (0 ) iL (0 )
U
2Ω +
t=0
i1 R1 4Ω +
8V
-
iC R2 4Ω C
+
iL R3 4Ω L
uC 4V
-
1AuL
-
代入数据得：
2i(0 ) 4iC (0 ) 4 8 i (0 ) i C (0 ) 1
② τ的物理意义： τ的大小反映了过渡过程进展的快慢。
uC (t ) uC (0 ) e
1 t RC
Uo e
1 t RC
(t 0）
(5)
在表达式（5）中，将时间 t =1τ、2 τ、3 τ、4 τ、5 τ时的 电压uc (t)列表如下：
RC电路的零输入响应
和电容放电方程类似，也是一阶线性常系数齐次微分方程，其 解应有类似的指数形式。
iL (t ) A e pt 令：
( A、p为待定常数）
则，微分方程的特征方程为： L p+R=0 其特征根为： p R
L
则有：
iL (t ) A e
R t L
1 L L 仍然定义 为时间常数 ， P R R t
d diL t uL t L dt dt
1 2 WL t LiL (t ) 2
电感能存储磁场能量，在建立磁通链的过程中，磁场能量的 储存也需要一个过程，因此，电流也只能慢慢增加，最后达到稳 定值（ t→∞时） 。
二、电路的初始条件 何谓初始条件？就是换路后电路中各变量（电压、电流） 的起始值，也即t=0+时刻各电压电流的值。这也是一阶动态电 路过渡过程三个要素中的第一个要素。
第4章 线性动态电路的分析
ξ ξ ξ ξ 4-1 动态电路的方程及其初始条件 4-2 一阶电路的零输入响应 4-3 一阶电路的零状态响应 4-4 一阶电路的全响应
ξ 4-1 动态电路的方程及其初始条件
一、基本概念 ㈠ 稳态：电路的稳定状态，即电路中的电压电流达到稳定值时 的状态。比如前2章介绍的直流电路，全部为稳态电路的情况。 开关K从闭合时起，电路中的电压电流就为稳定值，也就是说电 路达到了稳态。如果电路中含有储能元件，比如有LC，就不同了：
解：有KVL定律可得：
uC uR 0
（1）
有元件约束方程得： uR R i(t ) du C C i (t ) (2) dt 代入上式（1）得： du (t ) RC C uC (t ) 0 dt 初始条件：
(3)
uC (0 ) uC (0 ) U o
此方程为一阶、线性、常系数、齐次微分方程。
如图所示电路原处于稳态， t=0时开关S合上。则 + 2 u(0+)=_____V。
2 S 9V
+ -
4
+
3
u
2H -
iL (0 ) iL (0 ) 1A
由初态等效电路可知：
+ -
6V
4 + 3
u(0 ) 6 4 2V
u(0+)
6V 1A -
例题三
如图所示电路原处于稳态， t=0 时开关 S 合上。则 2 i(0+)=_____A。
R eq C (6 // 3) 0.5 1 s
③求uc(t)。
uc t uc 0 e
t
6 et (v)
(t 0)
思考： uc(t)的时间常数为τ =1s，那么i1(t)和i2(t)的时 间常数为多少呢？ τ是由一阶电路本身电路参数决定的固有特征，一个一阶电路 只有一个时间常数，所有支路电压电流过渡过程都是以同一个 时间常数为衰减系数的。
例题一
如图所示电路原处于稳态， t=0时开关S突然打开。则 +
S
2 3H 3V 1
+
u (0 )=_____V。 - 6 iL (0 ) iL (0 ) 3A
L +
uL
-
-
由初态等效电路可知：
2 + 3V 1 3A
+
uL (0 ) 3 9 6V
uL(0+)
-
例题二
1、两个储能元件——能引起过渡过程的两个电路元件C和L。
Байду номын сангаас
电容能够存储电场能量，因为电荷的积累需要一个时间过 程，所以电压要慢慢上升，储存的能量也随着电容电压的增加 慢慢积累，最后达到稳定值（ t→∞时） 。
dQ duc t 1 2 ic t C WC t Cuc (t ) dt dt 2
i (0 ) 4 1 A, iC (0 ) A 3 3 1 4 4 4 1 4 V 3 3
解之得
u L (0 ) i C (0 ) R 2 u C (0 ) i L (0 ) R 3
4-2 一阶电路的零输入响应
一阶电路：描述电路响应过程的方程为一阶线性微分方程的 电路。一般情况下，含有一个储能元件的线性电路通常就是 一阶电路。 零输入响应：顾名思义，就是电路在没有输入激励情况下的响 应。由于没有输入激励，所以是靠储能元件的初始储能建立起 来的过渡过程响应。也即：换路前电路中储能元件有初始储能， 换路后电路没有电源激励输入，仅靠储能元件的储能建立的过 渡过程响应。 一、RC电路的零输入响应 1、求零输入响应 请看下图电路，已知：t= 0－时，uc(0－)=Uo (V)，求；t≥0时 的uc(t)表达式。
二、RL电路的零输入响应 1、求零输入响应。
例1、uL、i L 取关联参考方向，求 t≥0时，i L（t）。 解：显然有： ①列方程：
U0 iL (0 ) iL (0 ) I0 R0
换路后得：
u L R iL 0 diL uL L dt
diL L R iL 0 dt i L 0 I 0
iL (t ) Ae
t
t
it iL 0 e
I 0e
A
t 0
u R t R iL t RI 0 e u R (0 )e
t
t
－
t τ
V t 0
t
－ dit u L t L RI 0 e u L 0 e τ d t
换路定则
换路：指电路中的开关作用、参数变化等。
t = 0-换路前一瞬间, t = 0+换路后一瞬间,
p dW dt
能量不能突变，只能连续变化 uC连续变化 iL连续变化
WC=1/2CuC2
WL=1/2LiL2
uC(0+)= uC(0-)
iL(0+)=iL(0-)
换路定则
初始值的计算
t = 0+电压、电流值称为初始值
解：①先求初始条件。
独立初始条件：画0+等效电路： uc 0 uc 0 2 3 6 V
得： i1 0
6 6 1 A i2 0 2 A 6 3 ic 0 i1 0 i2 0 3 A
②求时间常数τ。
R1 1kΩ +
i
R2 2kΩ C 10μF ic +
10V t=0
uC
-
R3 2kΩ
t≥0时的等效电路如图 示，
R R2 R3 1k
i iC
6
+
RC 1 10 10 10
3
0.01s
C
uC
-
R3
uC (t ) uC (0 )e
t
4e 100tV
i1 t i1 0 e
t
t
1 e t (A) 2 e t (A)
(t 0) (t 0)
i2 t i2 0 e
uc t 按KCL 亦有： i1 t e t (t 0) R1 uc t i2 t 2e t R2 (t 0)
例题四
求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前 电路处于稳态。
i R 2Ω +
解： ⑴作ｔ＝0 -时的等效电路
U R1 4 i L (0 ) i (0 ) 2 1A R1 R3 44
t=0
i1 R1 4Ω +
8V
-
iC R2 4Ω C
+
iL R3 4Ω L
上图中，在开关K闭合后的一段时间内，电流 i 和电压uc 并不为稳定值，而是有一个开关K闭合后渐变的过程。当时间 t→∞时，电流 i 和电压uc才达到稳定值，不再变化，此时， 电路才进入稳态。为什么呢？就是因为电路中存在一个电容 元件C。那么，如果电路中有电感元件时又怎样呢？
㈡暂态（过渡过程）：当电路中含有储能元件时，在开关动作 后，电路中的变量尚未达到稳定状态，在这段时间内，电路变 量随时间变化的响应称为电路的过渡过程，也即电路处于暂态
1 t RC
式（5）可作为零输入响应的公 式来直接套用。再看波形图： 有表达式（5）、（6）和波形图可看出：
再看表达式（5）：
uC (t ) Uo e
1 t RC
(t 0）
(5)
两边均为电压量纲，指数项应该无量纲。由此可见，RC的乘 积应该和时间t有相同的量纲“秒” 。同时RC的大小，也反映 了衰减得快慢，由此可定义一个新的物理量——时间常数τ。
解： ⑶作ｔ＝0＋时的等效电路
i (0 ) R iC (0 ) R2 uC (0 ) U i (0 ) iC (0 ) iL (0 )
U
2Ω +
t=0
i1 R1 4Ω +
8V
-
iC R2 4Ω C
+
iL R3 4Ω L
uC 4V
-
1AuL
-
代入数据得：
2i(0 ) 4iC (0 ) 4 8 i (0 ) i C (0 ) 1