平面体系的机动分析
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平面体系机动分析
平面体系机动分析
目录
• 平面体系机动分析概述 • 平面体系机动分析的基本理论 • 平面体系机动的实例分析 • 平面体系机动分析的应用领域 • 平面体系机动分析的未来展望
01
平面体系机动分析概述
定义与特点
定义
平面体系机动分析是一种研究平面体 系在外部激励或干扰下的动态响应和 稳定性的方法。
特点
该方法主要关注平面体系的几何特性 和物理行为，通过分析其运动规律和 稳定性，为实际工程结构的优化设计 提供理论支持。
船舶工程领域
在船舶工程领域，平面体系机动分析可用于 船体结构的稳定性分析和船舶推进器的动力
学分析。
05
平面体系机动分析的未 来展望
机动分析技术的发展趋势
智能化
随着人工智能和机器学习技术的快速发展，未来机动分析 将更加智能化，能够自动识别结构中的关键因素，提高分 析的效率和准确性。
精细化
随着数值计算方法的不断进步，未来机动分析将更加精细 化，能够更准确地模拟结构的复杂行为和细节特征。
建筑物在受到地震、风等外部作用时，可能 会发生倒塌、损坏等危险情况。需要考虑建 筑物的结构形式、材料特性、支撑条件等因 素对建筑物运动稳定性的影响，以及如何优 化建筑物的结构和设计以提高其抗震和抗风 性能。
04
平面体系机动分析的应 用领域
建筑结构领域
建筑结构的稳定性分析
风载分析
通过平面体系机动分析，可以评估建 筑结构的稳定性，预测结构在不同外 力作用下的响应，从而优化结构设计。
现状
目前，平面体系机动分析已经成为结构工程、航空航天、机械工程等领域的重要研究内容，广泛应用 于桥梁、高层建筑、航空器结构等复杂结构的稳定性分析和优化设计。同时，该方法也在智能材料与 结构、生物医学工程等领 本理论
目录
• 平面体系机动分析概述 • 平面体系机动分析的基本理论 • 平面体系机动的实例分析 • 平面体系机动分析的应用领域 • 平面体系机动分析的未来展望
01
平面体系机动分析概述
定义与特点
定义
平面体系机动分析是一种研究平面体 系在外部激励或干扰下的动态响应和 稳定性的方法。
特点
该方法主要关注平面体系的几何特性 和物理行为，通过分析其运动规律和 稳定性，为实际工程结构的优化设计 提供理论支持。
船舶工程领域
在船舶工程领域，平面体系机动分析可用于 船体结构的稳定性分析和船舶推进器的动力
学分析。
05
平面体系机动分析的未 来展望
机动分析技术的发展趋势
智能化
随着人工智能和机器学习技术的快速发展，未来机动分析 将更加智能化，能够自动识别结构中的关键因素，提高分 析的效率和准确性。
精细化
随着数值计算方法的不断进步，未来机动分析将更加精细 化，能够更准确地模拟结构的复杂行为和细节特征。
建筑物在受到地震、风等外部作用时，可能 会发生倒塌、损坏等危险情况。需要考虑建 筑物的结构形式、材料特性、支撑条件等因 素对建筑物运动稳定性的影响，以及如何优 化建筑物的结构和设计以提高其抗震和抗风 性能。
04
平面体系机动分析的应 用领域
建筑结构领域
建筑结构的稳定性分析
风载分析
通过平面体系机动分析，可以评估建 筑结构的稳定性，预测结构在不同外 力作用下的响应，从而优化结构设计。
现状
目前，平面体系机动分析已经成为结构工程、航空航天、机械工程等领域的重要研究内容，广泛应用 于桥梁、高层建筑、航空器结构等复杂结构的稳定性分析和优化设计。同时，该方法也在智能材料与 结构、生物医学工程等领 本理论
平面体系机动分析.
瞬变体系的特点： 1) 必要的约束数不少，但约束的布置不
合理，当发生微小位移后，约束的布 置变得合理，就成为几何不变体系；
瞬变体系
2) 在发生微小位移之前，体系具有自由度，因此瞬变体系至 少有一个多余约束。
瞬变体系是绝对不能用来作为结构使用的。 返 回
几何可变体系分：瞬变体系 和 常变体系；
常 变 体 系 ——可以发生大位移的几何可变体系。
几何不变体系（ 体系
几何可变体系（
可作为结构）有 无多 多余 余约 约束 束－ －超静静定定结结构构 不能作为结构）瞬 常变 变变 变体 体
不变体系
常变体系
返回
小结
以上介绍了几何不变体系的三条简单 组成规则，而它们实质上只是一条规则
，即三刚片规则（或三角形规则）。按
这些规则组成的几何不变体系W=0(体系 本身W=3),因此都是没有多余联系的几何 不变体系。
刚片：几何形状不能变化(几何不变)的平面物体
y B
xA
y
o
x
独立变化的几何参数为：x、y、。 返回
2.约束:
减少自由度的装置（又称为联系）。凡是减少一个 自由度的装置称为一个约束。
3.约束的种类:
⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。
y
B
x A
y
o
y
xo
B
A 2
1
x
返回
⑵ 单连铰结：两个刚片的铰称为单铰 y
例如：
．
O
Ｆ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｅ
刚片Ⅰ
基础为刚片Ⅰ，杆BCE为 刚片Ⅱ，用链杆AB、 EF 、 CD 相联，为几何不变 体系。
Ⅱ
ⅠLeabharlann 返回2. 基本的三刚片规则（三角形规则）:
合理，当发生微小位移后，约束的布 置变得合理，就成为几何不变体系；
瞬变体系
2) 在发生微小位移之前，体系具有自由度，因此瞬变体系至 少有一个多余约束。
瞬变体系是绝对不能用来作为结构使用的。 返 回
几何可变体系分：瞬变体系 和 常变体系；
常 变 体 系 ——可以发生大位移的几何可变体系。
几何不变体系（ 体系
几何可变体系（
可作为结构）有 无多 多余 余约 约束 束－ －超静静定定结结构构 不能作为结构）瞬 常变 变变 变体 体
不变体系
常变体系
返回
小结
以上介绍了几何不变体系的三条简单 组成规则，而它们实质上只是一条规则
，即三刚片规则（或三角形规则）。按
这些规则组成的几何不变体系W=0(体系 本身W=3),因此都是没有多余联系的几何 不变体系。
刚片：几何形状不能变化(几何不变)的平面物体
y B
xA
y
o
x
独立变化的几何参数为：x、y、。 返回
2.约束:
减少自由度的装置（又称为联系）。凡是减少一个 自由度的装置称为一个约束。
3.约束的种类:
⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。
y
B
x A
y
o
y
xo
B
A 2
1
x
返回
⑵ 单连铰结：两个刚片的铰称为单铰 y
例如：
．
O
Ｆ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｅ
刚片Ⅰ
基础为刚片Ⅰ，杆BCE为 刚片Ⅱ，用链杆AB、 EF 、 CD 相联，为几何不变 体系。
Ⅱ
ⅠLeabharlann 返回2. 基本的三刚片规则（三角形规则）:
第2章平面体系的机动分析
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
例2-2 试分析图示体系的几何构造。
解 （1）分析图(a)中的体系 以刚片ⅠⅡⅢ为对象，由于三个瞬铰不共线，因此体系内部 为几何不变，且无多余约束。作为一个整体，体系对地面有三个 自由度。 （2）分析图(b)中的体系 同样方法进行分析，由于三个瞬铰共线，因此体系内部也是 瞬变的。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
1. 一个点与一个刚片 之间的连接方式 2. 两个刚片之间的连 接方式
规律1 一个刚片与一个点 用两根链杆相连，且三个铰不在 一直线上，则组成几何不变的整 体，且没有多余约束。
规律2 两个刚片用一个 铰和一根链杆相连，且三 个铰不在一直线上，则组 成几何不变的整体，且没 有多余约束。
试分析图示体系的几何构造
D
E
0 23
Ⅱ
013 基础 Ⅲ
Ⅰ
023
Ⅱ
B
Ⅰ
A
012
012
C
基础 Ⅲ
013
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线的三 铰相连，所以体系为无多余约 束的几何不变体。
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由共线的三铰 相连，所以体系为无多余约束 的几何不变体。
分析图示铰结体系
以铰结三角形123为基础，增加一个二元体得结点4， 1234为几何不变体系；如此依次增加二元体，最后的体系 为几何不变体系，没有多余联系。 或：从结点10开始拆除二元体，依次拆除结点9，8， 7…，最后剩下铰结三角形123，它是几何不变的，故原体 系为几何不变体系，没有多余联系。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
装配过程有两种：
（1）从基础出发进行装配：取基础作为基本刚片，将周围某
个部件按基本装配格式固定在基本刚片上，形成一个扩
第二章 平面体系的机动分析
3、平面体系的计算自由度（略）
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三刚片规则 （基本规则）
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成的 体系是几何不变的，而且没有多余联系。 2、二元体规则 二元体：两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。 3、两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联（或用三根不 全平行也不交于同一点的链杆相联），则为几何不变体系，而 且没有多余联系。
7
8
1 2 3
4 7 8
5
6
1 2 3 4
（教材题2-15）
5
6
常变
例4（教材例2-1）：
1 2 3 4 5
解：
1、结点编号 2、列表分析
地基 杆件1-2
刚片一 杆件2-3
刚片二 杆件3-4
刚片三 杆件4-5
刚片四
3、结论 该体系为几何不变，且无多余联系。
14 13 15 16 8 9 6 4 1 2 10 11 12 7 5 13 8
14 15 16 9 6 4 1 2 10 11 12
1
2
8
9
刚片5-9
刚片二
刚片三
3、结论
地基
该体系为几何不变，且无多余联系。
Байду номын сангаас
4
3
例7：
解： 1、结点编号 2、列表分析
1 2 3
刚片1-2
地基
刚片一 +1-4-2 +1-3-2
刚片二
4
3、结论
该体系为几何不变，且有两个多 余联系。
1
2
4
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三刚片规则 （基本规则）
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成的 体系是几何不变的，而且没有多余联系。 2、二元体规则 二元体：两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。 3、两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联（或用三根不 全平行也不交于同一点的链杆相联），则为几何不变体系，而 且没有多余联系。
7
8
1 2 3
4 7 8
5
6
1 2 3 4
（教材题2-15）
5
6
常变
例4（教材例2-1）：
1 2 3 4 5
解：
1、结点编号 2、列表分析
地基 杆件1-2
刚片一 杆件2-3
刚片二 杆件3-4
刚片三 杆件4-5
刚片四
3、结论 该体系为几何不变，且无多余联系。
14 13 15 16 8 9 6 4 1 2 10 11 12 7 5 13 8
14 15 16 9 6 4 1 2 10 11 12
1
2
8
9
刚片5-9
刚片二
刚片三
3、结论
地基
该体系为几何不变，且无多余联系。
Байду номын сангаас
4
3
例7：
解： 1、结点编号 2、列表分析
1 2 3
刚片1-2
地基
刚片一 +1-4-2 +1-3-2
刚片二
4
3、结论
该体系为几何不变，且有两个多 余联系。
1
2
4
《结构力学》平面体系的机动分析
《结构力学教程》（I）
第2章 平面体系的机动分析
主要内容
§2-1 几何构造分析的几个概念 §2-2 几何不变体系的组成规律 §2-3 几何构造分析方法 §2-4 瞬变体系 §2-5 分析几何构造举例
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
变形的，因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆
甚至体系中已被确定为几何 Y
不变的部分看作是一个刚片。
x
刚片在平面内的 自由度为：3
A
y X
§2-1 几何构造分析的几个概念
3）约束
结构是由各种构件通过某些装置组合成不变体系
的，它的自由度应该等于或小于零。那种能减少刚片
自由度的装置就称为约束。
约束装置的类型有：
（1）链杆
还有2个自由度
还有5个自由度
链杆可减少一个 自由度，相当于 一个约束。
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）单铰
还有4个自由度
（3）复铰
还有1个自由度
一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
复铰——连接两个以上刚片的铰。
还有5个自由度
连接n个刚片的复铰， 相当于n-1个单铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1
地基作为刚片2
例2：
二元体
1
2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
第2章 平面体系的机动分析
主要内容
§2-1 几何构造分析的几个概念 §2-2 几何不变体系的组成规律 §2-3 几何构造分析方法 §2-4 瞬变体系 §2-5 分析几何构造举例
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
变形的，因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆
甚至体系中已被确定为几何 Y
不变的部分看作是一个刚片。
x
刚片在平面内的 自由度为：3
A
y X
§2-1 几何构造分析的几个概念
3）约束
结构是由各种构件通过某些装置组合成不变体系
的，它的自由度应该等于或小于零。那种能减少刚片
自由度的装置就称为约束。
约束装置的类型有：
（1）链杆
还有2个自由度
还有5个自由度
链杆可减少一个 自由度，相当于 一个约束。
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）单铰
还有4个自由度
（3）复铰
还有1个自由度
一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
复铰——连接两个以上刚片的铰。
还有5个自由度
连接n个刚片的复铰， 相当于n-1个单铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1
地基作为刚片2
例2：
二元体
1
2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
第二章：平面体系的机动分析(结构力学 李廉锟 第五版 配套)
y A' B' D Dy B Dx
x
A 0
自由度： 描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。 几何体系运动时，可以独立改变的坐标的数目。 几何可变体系自由度大于0 几何不变体系自由度等于0 平面内的点自由度为2 平面内的刚体自由度为3
联系（约束）
如果体系有了自由度，必须消除，消除的办法是增加约束。
Ｗ＝３×７－（２×９）－３＝０
平面杆件体系的自由度
若每个节点均为自由，则有2j个自由度，但连接节点的每根杆 件都起一个约束作用，则体系的计算自由度为
Ｗ＝２j－b －r
j---刚片数; b---杆件数; r ---支座链杆数。
算例
j=4
b=4 r=3
j=8
b=12
r=4
Ｗ＝２×４－４－３＝１
Ｗ＝２×8－12－4＝0
在运动中改变位置。
虚铰特例 2杆平行等长，刚片位置改变，链杆仍平行但改变方 向，虚铰转到另一无穷远点（常变体系）
2杆平行不等长，刚片位置改变，链杆不再平行， 虚铰转到有限远点（瞬变体系）
基本组成规则
基本规则的应用
利用组成规律可以两种方式构造一般的结构：
（1）从基础出发构造
（2）从内部刚片出发构造
2.5 机动分析
1,3
.
.1,2
2,3
.
.
无多余约束的几何不变体系
几何瞬变体系
1,2
. .
1,3 2,3
. 2,3
几何瞬变体系
1,2 1,3
F
D C E
F
D C B E
A
A
B
F
D
C A
E
D
E
C
结构力学平面体系的机动分析
x, y , 1 , 6-2=4
2
x, y , 1 , 2 , 3 9-22=5
一单铰：两个联系， 两个链杆。
联结n个刚片的复铰： （n-1)个单铰。
• (3) 多余联系（约束） y
A • 在一个体系中增加一个约束，而体系的自 由度并不减少，则此约束称为多余约束。
B
C
D
x
• 自由度S=(各构件自由度总和）－（非多余约束数） • 计算自由度W=(各构件自由度总和）－（全部约束数）
2-2 平面体系的计算自由度
• 一：基本概念
（1）自由度：物体运动时可以独立变化的几何参数的数目，
也就是确定物体位置所需的独立坐标数目。
y x y x
y x y
x
• （2）一个联系（约束）：凡减少一个自由度的装置。
1
x
2
1
y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
x
1
y
3 2
1
,
2
3-1=2 一根链杆：一个 联系
F
E
G
C 刚片2 A 刚片1
D B
H
小结：
W>0
平面体系
机动分析
计算自由度
W=0 W<0 三刚片规则
简单组成规则
二元体规则
两刚片规则
对图示体系进行机动分析
3 H 1 2 3
(2)
A 1 3 D
B 2 E 3
(1)
C
3
F G
3
（ 3）
自学：三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况及零载法。
作业：教材第二章习题 1，2，5，6，8。
• 一 . 三刚片规则
平面体系的机动分析
结论与讨论
灵活运用几何组成规则，可构造各种几 何不变体系。结构的组成顺序和受力分析 次序密切相关。
超静定结构可以通过合理地减少多余约 束使其变成静定结构。注意去掉的一定是 多余约束。 要正确地判断结构是静定的还是超静定的， 因为不同结构的受力分析方法不同。
34
第二章 平面体系的机动分析
通过构件变形（刚体 链杆）使体系得到最 大限度的简化，再应用几何组成规则分析。
解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系
27
第二章 平面体系的机动分析
练习: 对图示体系作几何组成分析
28
第二章 平面体系的机动分析
练习: 对图示体系作几何组成分析
29
第二章 平面体系的机动分析
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
（1）一铰无穷远
一个虚铰在无穷远：若组成 此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则 几何可变；
几何不变体系
瞬变体系
30
第二章 平面体系的机动分析
（2）两铰无穷远
两个虚铰在无穷远：若组成此两 虚铰的两对链杆不平行则几何不 变；否则几何可变；
四杆不平行 不变
平行且等长 常变
平行不等长 瞬变
31
第二章 平面体系的机动分析
（3）三铰均无穷远
三个虚铰在无穷远：体系 为可变（三点交在无穷远 的一条直线上）
彼此等长 常变
彼此不等长 瞬变
32
第二章 平面体系的机动分析
§2-7 几何构造与静定性的关系
静定结构——无多余约束的几何不变体系
q
静定结构仅由静力
平衡方程即可求出
所有内力和约束力
的体系.
超静定结构——有多余约束的几何不变体系
灵活运用几何组成规则，可构造各种几 何不变体系。结构的组成顺序和受力分析 次序密切相关。
超静定结构可以通过合理地减少多余约 束使其变成静定结构。注意去掉的一定是 多余约束。 要正确地判断结构是静定的还是超静定的， 因为不同结构的受力分析方法不同。
34
第二章 平面体系的机动分析
通过构件变形（刚体 链杆）使体系得到最 大限度的简化，再应用几何组成规则分析。
解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系
27
第二章 平面体系的机动分析
练习: 对图示体系作几何组成分析
28
第二章 平面体系的机动分析
练习: 对图示体系作几何组成分析
29
第二章 平面体系的机动分析
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
（1）一铰无穷远
一个虚铰在无穷远：若组成 此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则 几何可变；
几何不变体系
瞬变体系
30
第二章 平面体系的机动分析
（2）两铰无穷远
两个虚铰在无穷远：若组成此两 虚铰的两对链杆不平行则几何不 变；否则几何可变；
四杆不平行 不变
平行且等长 常变
平行不等长 瞬变
31
第二章 平面体系的机动分析
（3）三铰均无穷远
三个虚铰在无穷远：体系 为可变（三点交在无穷远 的一条直线上）
彼此等长 常变
彼此不等长 瞬变
32
第二章 平面体系的机动分析
§2-7 几何构造与静定性的关系
静定结构——无多余约束的几何不变体系
q
静定结构仅由静力
平衡方程即可求出
所有内力和约束力
的体系.
超静定结构——有多余约束的几何不变体系
结构力学 平面体系的机动分析
(1)h
m6 (3)g
3
m7
(3)h
m7
m8
r
m9 r
m8
(3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
【例】试求图示体系的计算自由度。
m1
(1)g (1)h m2 (2)g m3 (3)r m5 m7 (3)r m4 (1)h (1)g m6 (2)g (1)h m8 m9 (3)r (1)h
（2）两铰无穷远
（a）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互不平行， 则体系为几何不变 （b）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互平行， 则体系为几何瞬变
（c）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互平行且 相等，则体系为几何常变
（3）三铰无穷远
平面上所有无穷远点均在同 一条直线上，这条直线称为 无穷远直线。
2.二元体规则
在钢片上增加一个二元体，仍为几何不变体系，而 且没有多余联系。
3.两钢片规则
两个钢片用一个铰和一根不通过此铰的链杆的链杆相 联，为几何不变体系体系而且没有多余联系； 或者两个钢片用三根不全平行也不交于同一点的链杆 相联，为几何不变体系，而且没有多余联系。
例题
2－4 瞬变体系 为什么在三钢片规则中，要规定三个铰不在 同一直线上？
2.要布置得当
平面体系有钢片、铰、链杆组成 设钢片数为m 单铰数为h 支座链杆数r 自由度数为3m 约束为2h 约束为r
体系最后的自由度为：
W＝3M－3R-2H-S
W——计算自由度
【例】试求图示体系的计算自由度W。
h m3 h
第二章平面体系的机动分析。
一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变 形而能保持其几何形状和位置不变的体系。
P
几何不变
弹性变形 可称之为结构
退出
返回
10:05
§2-1 引言
结构力学
二、几何可变体系(geometrically unstable system)：
一个杆系，在荷载作用下，即使略去杆件本身的弹性变形， 它也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
⑴各刚片间用铰相连复 简铰 单铰
连接方式 ⑵各刚片用一定的支杆
(sup portLink)与基础相连。
退出
返回
10:05
§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
3.联系(constraint)
1根链杆为1个联系
联系（约束）--减少自由度的装置。 1个单铰为2个联系
(1(2) )链单杆铰
P
几何可变 只能称之为机构
退出
返回
10:05
§2-1 引言
结构力学
三、杆系的机动分析：
机动分析就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时 还要研究几何不变体系的组成规律。又称:
几何组成分析 几何构造分析
机动分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否
作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算
几何不变的体系。
退出
返回
10:05
§2-4 瞬变体系
结构力学
瞬变体系 ——小荷载引起巨大内力（图1） ——工程结构不能用瞬变体系
几何可变体系: 瞬变 , 常变
• 例：（图2-17） 二刚片三链杆相联情况 • （a）三链杆交于一点； • （b）三链杆完全平行（不等长）； • （c）三链杆完全平行（在刚片异侧） ； • （d）三链杆完全平行（等长）
第二章平面体系的机动分析
例2-2-2 求图示体系的计算自由度。 解1： I 1 A II m＝2，h＝1， r＝2×2＋3＋1＝8 4
2
3
5
W＝3×2－2－8＝－4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。 解：
A 1
B 5 7 E 10
j 5 b 10 W 2 5 10 0
2 3 4 8 C 9 6 D
例2-1
I
1 解： 2 3 II（基础）
4
D 5
1）被约束对象：刚片I, II及结点D。
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4， 组成大刚片I；
大刚片 I、结点D用链杆4、5相连，符合规 律1。故体系为几何不变且无多余约束。
2）被约束对象：刚片I,II,III及结点D，见图 b)。 o D A III B I 4 1 2 3 解： b） II（基础） 刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、 III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、 B、o不共线，符合规律3，组成大刚片 I。
例1： I I
II 无多余约束的 几何不变体系
II
瞬变体系
无多余约束的 几何不变体系
有一个多余约束 的几何不变体系
例2：
无多余约束的几何不变体系
无多余约束的 几何不变体系
技巧 1： 对于与地面有着简单联系的体系，可以直接取体系内部出 来，对其进行几何构造分析。
例3：
几何可变体系
例4：
有3个多余约束的
此外应根据几何不变体系的规律设计新结构。 2. 正确区分静定结构与超静定结构。 以选择不同的计算方法
基本概念
杆件体系：不考虑材料变形，几何形状与位置 保持不变的体系为几何不变体系 发生可变的体系为几何可变体系 结构—几何不变体系 机动分析：判别体系是否为几何不变体系的分析 刚片——杆件或几何不变部分（忽略材料变形） 联系（约束）——其余链杆、结点和支座
《结构力学》第二章 平面体系的机动分析
常变体系
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
W (3m 2 j ) (2h b)
四、自由度与几何体系构造特点
W (3 2 2 2) (2 1 8) 0
五、讨论
任何平面体系的计算自由度，其计算结果有以下三种情 况： ⑴ w＞0,体系缺少足够的联系，为几何可变。 ⑵ w＝0,体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。 ⑶ w＜0,体系具有多余联系。 则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但这不是充分条 件，还必需研究几何不变体系的合理组成规则。
常见的约束 1）单铰：仅连接两个刚片的铰。
2）链杆：仅用于将两个刚片连接在一起的铰结的杆 件。
3）单刚结点：仅连接两杆的刚结点。
同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称为复铰、 复链杆、复刚结点。
总结：连接n个刚片的的复铰相当于（n-1）个单铰， 相当于2（n-1）个约束；n个刚片之间的复刚结点相 当于（n-1）个单结点，相当于3（n-1）个约束。联 结三点的链杆 ，将原来结点的六个自由度减少为整 体的三个自由度，因而相当于三个约束，即相当于三 根简单链杆。一般说来，联结n个点的复杂链杆相当 于（2n-3）根简单链杆。 约束分类：根据对自由度的影响，体系中的约 束可分为必要约束和多余约束。
§2.4 瞬变体系 1、几何瞬变体系 对体系加载时，体系在瞬时内发生微小位移，然 后便成为几何不变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）。
２、瞬变体系的静力特性： 在微小荷载作用下可产 生无穷大内力。因此， 瞬变体系或接近瞬变的 体系都是严禁作为结构 使用的。 瞬变体系一般是总约束 数满足但约束方式不满 足规则的一类体系，是 特殊的几何可变体系。
几何构造分析的几个概念
(1) 不变体系、可变体系
在不考虑材料的应变引起的结构的变形的条件下，体 系的几何形状、位置都不改变的，叫作几何不变体系； 不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变 的体系叫作几何可变体系。
四、自由度与几何体系构造特点
W (3 2 2 2) (2 1 8) 0
五、讨论
任何平面体系的计算自由度，其计算结果有以下三种情 况： ⑴ w＞0,体系缺少足够的联系，为几何可变。 ⑵ w＝0,体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。 ⑶ w＜0,体系具有多余联系。 则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但这不是充分条 件，还必需研究几何不变体系的合理组成规则。
常见的约束 1）单铰：仅连接两个刚片的铰。
2）链杆：仅用于将两个刚片连接在一起的铰结的杆 件。
3）单刚结点：仅连接两杆的刚结点。
同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称为复铰、 复链杆、复刚结点。
总结：连接n个刚片的的复铰相当于（n-1）个单铰， 相当于2（n-1）个约束；n个刚片之间的复刚结点相 当于（n-1）个单结点，相当于3（n-1）个约束。联 结三点的链杆 ，将原来结点的六个自由度减少为整 体的三个自由度，因而相当于三个约束，即相当于三 根简单链杆。一般说来，联结n个点的复杂链杆相当 于（2n-3）根简单链杆。 约束分类：根据对自由度的影响，体系中的约 束可分为必要约束和多余约束。
§2.4 瞬变体系 1、几何瞬变体系 对体系加载时，体系在瞬时内发生微小位移，然 后便成为几何不变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）。
２、瞬变体系的静力特性： 在微小荷载作用下可产 生无穷大内力。因此， 瞬变体系或接近瞬变的 体系都是严禁作为结构 使用的。 瞬变体系一般是总约束 数满足但约束方式不满 足规则的一类体系，是 特殊的几何可变体系。
几何构造分析的几个概念
(1) 不变体系、可变体系
在不考虑材料的应变引起的结构的变形的条件下，体 系的几何形状、位置都不改变的，叫作几何不变体系； 不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变 的体系叫作几何可变体系。
平面体系的机动分析
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 . 概述
二、刚片 在机动分析中，不考虑材料的变形。 在机动分析中，不考虑材料的变形。
可以把一根构件或已知是几何不变的部分看作 是一个刚体 在平面体系中又将刚体称为刚片 刚体。 刚片。 是一个刚体。在平面体系中又将刚体称为刚片。 刚片——几何形状不能变化的平面物体 几何形状不能变化的平面物体 刚片
平行等长 常变体系
第二章 平面体系的机动分析
§* 2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
二、 两铰无穷远情况
四杆不全平行 不变体系
四杆全平行 瞬变体系
四杆平行等长 常变体系
第二章 平面体系的机动分析
§* 2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
三、 三铰无穷远情况
不等长对 瞬变体系
同侧等长 常变体系
E A 无多几何不变 无多几何不变 B
第二章 平面体系的机动分析
W = 2×16−(28+3) = 32−31=1
W = 3×8−(2×9+5) = 24−23 =1
第二章 平面体系的机动分析
W = 2×8−(12+ 4) =16−16 = 0
瞬变体系
W = 2×6−(8+4) =12−12 = 0
第二章 平面体系的机动分析
§2-4 瞬变体系
二、三杆交于一点
O为实铰： 为实铰： 为实铰 O为虚铰： 为虚铰： 为虚铰
常变体系 瞬变体系
第二章 平面体系的机动分析
§2-4 瞬变体系
三、三杆平行
不等长 瞬变体系
同侧等长 常变体系
异侧等长 瞬变体系
第二章 平面体系的机动分析
§2-5 机动分析示例
减少二元体
结构力学第2章 平面体系机动分析
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后，只剩基础。故该体系为 无多余约束的几何不变体系。
2 如上部体系与基础的联结符合两刚片原则，可去掉基础， 只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两刚片用两平行 杆相连，几何可变。
3 当杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆 形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
几何组成分析小结
机动分析先化简 依次拆除二元体 确认刚片是关键 等效代换灵活用
撤去基础三支杆 再为组成找条件 增加两元再扩展 按照规则连成片
§2-6 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何
不变
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
刚片：不计材料变形，将杆件或已知是几何不变的部 分看作刚片，注意：不是“钢片”。
可表示为：
刚片(rigid plate)——平面刚体。
内部是稳定的,几何形状和位置不发生任何改变。（梁、柱、杆、 几何不变体、基础）
形状可任意替换
§2-2 平面体系的计算自由度
1.自由度--确定物体位置所需的独立坐标数目
虽然 W=0, 但其上部有多余联系， 而下部又缺少联系，仍为几何可变。
小结
W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。
W=0, 具备成为几何不变体系所需的最少约束 的数目。必要非充分条件
W<0， 体系具有多余联系
W> 0 W< 0
体系几何可变
体系几何不变 ？
§2-3 几何不变体系的组成规则
结构力学 第二章 平面体系的机动分析
单铰数： h
约 束： 2h
支座链杆数：r 约 束： r
体系自由度（计算）： W 3m (2h r)
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 如果体系不与基础相连，即r=0时，
体系对基础有三个自由度，仅研究体系 本身的内部可变度V。
则知 W V 3
得：V W 3 3m 2h 3
A
θ1
θ3
Ⅰ Ⅱ θ2 Ⅲ
分析：
一个刚片有三个自由 度，没连接前，三刚 片共有9个自由度；用 铰A连接后，实际自 由度为5，共减少了4 个自由度；一个单铰 减少两个自由度，所 以说铰A相当于两个 单铰作用。
实际自由度（五个）：X A 、YA、θ1、θ2 、θ3 ； 铰A相当于两个单铰。
结论：连接n个杆件的复铰，相当于(n－1)个单铰。
V 3m 2h 3
37293 2
2
0
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 4、平面链杆系的自由度(桁架):
链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
平面上一个点有两个自由度。
如图：A、B两点共有四个自由度：
X A、YA 、X B 、YB
两点用一链杆相连后有：
(X B X A)2 (YB YA)2 L2
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理。
第二章 平面体系的机动分析
§2-2平面体系的自由度计算：
(Degrees of freedom of planar systems)
一、自由度：
物体做刚体运动时，可以独立变化的几何参数的 个数，也即确定物体的位置所需的独立坐标数。
第二章 平面体系的机动分析
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组成没有 多余约束 的几何不 变体系
A A
B
B
A
C
A
B
B
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第二章 平面体系的机动分析
注：任何体系增减二元体，其机动性质不变
12 / 35
第二章 平面体系的机动分析
四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性
13 / 35
第二章 平面体系的机动分析
有限交点
无限交点
常变体系 瞬变体系
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 概述
F
机构
F
结构
几何不变体系( geometrically stable system )——在任意荷载作用下，若不 考虑材料的变形，几何形状和位置均保持不变的体系。 几何不变体系( geometrically unstable system )——在一般荷载作用下，若 不考虑材料的变形，几何形状和位置将发生改变的体系。
系。
FP
FP
FN
FN
FN
FP
2 sin
瞬变体系不能做为建筑结构使用
16 / 35
第二章 平面体系的机动分析
§2-5 机动分析示例
结构装配方式
从基础出发，由近及远，由小到大
固定一点
17 / 35
第二章 平面体系的机动分析
•刚片
主从结构
固定两刚片
18 / 35
第二章 平面体系的机动分析
• 从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
若上部体系基础由不交于一点的三 杆相连，可去掉基础只分析上部体 系
19 / 35
第二章 平面体系的机动分析
• 从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
利用虚铰
铰杆代替
20 / 35
第二章 平面体系的机动分析
解题方法
1. 先找出体系中一个或几个不变部分，再逐步组 装扩大形成整体（组装法）
14 / 35
第二章 平面体系的机动分析
§2-4 瞬变体系
特点：
从微小运动角度看，这是一 个可变体系； 微小运动后即成不变体系； 瞬变体系必存在多余约束。
15 / 35
第二章 平面体系的机动分析
瞬变体系(instantaneously unstable system)——
原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变的体
多余约束 ( redundent restraints)：体系 中增加一个或减少一个该约束并 不改变体系的自由度数。
必要约束
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
8 / 35
第二章 平面体系的机动分析
3、平面体系的计算自由度
定义：体系中各构件间无任何约束时的总自由度 数与总约束数之差称计算自由度。
22 / 35
第二章 平面体系的机动分析
例2: 对图示体系作几何组成分析
I
II
III
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束的几何不变 体系.
23 / 35
第二章 平面体系的机动分析
例3: 对图示体系作几何组成分析
24 / 35
第二章 平面体系的机动分析
例4: 对图示体系作几何组成分析
2. 对于不影响几何不变的部分逐步排除，使分析 对象简化（排除法）
3. 将几何不变部分作一个大刚片；复杂形状的链杆 可看成直链杆；连接两个刚片的链杆用虚铰代替 （代替法）
21 / 35
第二章 平面体系的机动分析
例1: 对图示体系作几何组成分析
I
II
III
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束的几何不 变体系.
I
II
III
主从结构，顺序安装
25 / 35
第二章 平面体系的机动分析
例5: 对图示体系作几何组成分析
去二元体
解: 该体系为常变体系.
26 / 35
第二章 平面体系的机动分析
算法1
W = 3m-(2h+r)
m ---- 刚片数（不含地基）
h ---- 单铰结点数
算法2
r----支座链杆数
W = 2j-(b+r)
j ---- 结点数
b ---- 杆件数
r----支座链杆数
9 / 35
第二章 平面体系的机动分析
W > 0 表明体系存在自由度，肯定是几何可变体系
W = 0 表明体系的约束数正好等于部件总自由度数， 是体系不变的必要条件，而非充分条件，如 无多余约束，体系是静定结构。
W < 0 表明体系的约束数多于部件总自由度数，必 有多余约束，如为几何不变体系，则体系是 超静定结构
总之，体系为不变体系除满足约束个数，尚须约束 的合理布置。
10 / 35
第二章 平面体系的机动分析
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
静定结构组成规则
规律1. 规律2. 规律3. 规律4.
点与刚片两杆连，二杆不共线 两个刚片铰、杆连，铰不过杆 三个刚片三铰连，三铰不共线 两个刚片三杆连，三杆不共点
6 / 35
第二章 平面体系的机动分析
复铰
一个连接 n个刚片的复铰相当于(n-1)个 单铰，相当于2(n-1)个约束。
7 / 35
第二章 平面体系的机动分析
必要约束、多余约束
必要约束 ( necessary restraints)：体系 中增加一个或减少一个该约束， 将改变体系的自由度数。
多余约束
1、自由度(degrees of freedom)
体系运动时所具有的独立运动方式数目，或确定 体系位置所需要独立坐标的数目。
x y
1动点= 2自由度
B
x
A
y
1刚片= 3自由度
3 / 35
第二章 平面体系的机动分析
2、联系
约束 (restraint)：能限制体系运动的装置 内部约束（体系内各杆之间或结点之间的联系） 外部约束（体系与基础之间的联系)
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第二章 平面体系的机动分析
机动分析（几何构造分析）——判定体系是否几何 可变，从而决定能否作为结构，而不是机构。 刚片(rigid plate)——几何形状不能变化的平面物 体。凡本身为几何不变者，均可视其为刚片。
形状可任意替换
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第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的计算自由度
4 / 35
第二章 平面体系的机动分析
2、联系
约束 (restraint)：能限制体系运动的装置
常见约束装置：
链杆
1个单链杆 = 1个约束。
链杆可以是曲的、 折的杆，只要保持两铰 间距不变，起到两铰连 线方向约束作用即可
5 / 35
第二章 平面体系的机动分析
单铰
1个单铰=2个约束=2个的单链杆。 虚铰——在运动中虚铰的位置不定，这是虚 铰和实铰的区别。通常我们研究的是指定位 置处的瞬时运动，因此，虚铰和实铰所起的 作用是相同的都是相对转动中心。