贝叶斯统计-习题答案)知识讲解

第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(63631171463163631533853381<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x e x x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<-（实质是新解当n=1的情形）】 （2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ==22628()0.20.80.2936P A C θ==从而有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+==从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<<1.6 证明：设随机变量()X P λ ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0!x e P x x λλλλ-=> 1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝∙∝= 所以 (,1)x G a x λαβ++ 1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=∙=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （2） 由题意可知 12202()36xm x d x θθθ=∙=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝∙∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)X N θ∴25(,)10X N θ∴2(176.53)5()p x θθ--= 由题意可知2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝∙∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ 其中为已知 又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙222222251()()1252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x x N σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝∙00111n n n ααααθθθθθ++++∝∙∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯统计习题答案第⼀章先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从⽽有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=?+??=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==?+??=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为⼀卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语⾔求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从⽽有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1）由题意知 ()1,01πθθ=<< 从⽽有)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语⾔求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1714631636315338533810<<-==-=--=--=----==--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语⾔求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<==<<=+<<-==+<<-=??θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=??θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝?∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ix e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝?∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==?∏∏?∏∏====θθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=?=-?因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2）由题意可知./(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{221221121212121 2122111<<∝===<<==<<<==?∏∏?∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x n ni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=?=?因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝?∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中⼈的⾼度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ∴2由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=⼜由于X 是θ的充分统计量，从⽽有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------∝?∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知⼜由于X 是θ的充分统计量，从⽽有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?222222251()()11252()1122525eσθθθσσσ+----+?--+∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++⼜由于21112525σ≤+ 所以θ的后验标准差⼀定⼩于151.11 解：设X 为某⼈每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(7687787321321321433213213321>?====≥=>=====<<=∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某⼈每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ从⽽有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从⽽有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝?00111n n n ααααθθθθθ++++∝?∝因此θ的后验分布仍是Pareto 分布。

设θ是一批产品的不合格率，已知它不是就是，且其先验分布为π（）= π（）=.假如从这批产品中随机抽取8个进行检查，发现有两个不合格品。

求θ的后验分布。

解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ==从而有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+设一卷磁带上的缺陷数服从泊松分布P （λ），其中λ可取1和中的一个，又设λ的先验分布为π（1）= π（）=.假如检查一卷磁带发现了3个缺陷，求λ的后验分布。

解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+==从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为 （1）θ～u(0,1) (2)θ~π(θ)={10 )1(2else0<<-θθ解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<<从而有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰从正态总体N （0，4）中随机抽取容量为100的样本，又设θ的先验分布为正态分布。

贝叶斯统计大部分课后习题答案习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,151.1记样本为x.226pxC(0.1)*0.1*0.90.1488,,,,8226pxC(0.2)*0.2*0.80.2936,,,,8后验分布:0.1488*0.7,,,0.10.5418x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，0.2936*0.3,,,0.20.4582x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，111233536mxpxdCdd,,,,,,,(|)(1)*2(1)112(1),,,,,,,,,,,，，，，8,,,00015 px(|)，，,,,36,,,,,x840(1),01，，,,,,,mx，，1.61.11 由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布 U(0,), 1,,,0,,x,,px(), ,,0,其它,Xxxx,(,,)因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为 123 1,,,0,,,,xxx,1233 ,,pX(),,其它0,,4,192/,4,,, 又因为 (),,,,0,4,,,所以，利用样本信息得1192192,,,,,,,,,,,,,hXpXxxx(,)()() (8,0,,) 123347,,, ，,，,192,,,,,mXhXdd()(,)于是 7,,88,,的后验分布为76hX(,)192/68,,， ()X,,,,,7，,192mX(),d,,78,6,68，,8,,,7 ()X,,,,,,0,8,,,1.12样本联合分布为:1pxx,,,,,(),0n,,,，1,,,,,,/,,00(),,,,0,,,,,0,,,，，，，nn11 ,,,,,,,,,,,,()()()/1/,max,,,xpxxx,,,,,,,0101n ,，，n1,因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto分布密度函数的核 1/, ,,，，，nn1,()/,,,,,,，,n11即 ()x,,,,0,,,,,1即得证。

第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,151.1记样本为x.()()22682268(0.1)*0.1*0.90.1488(0.2)*0.2*0.80.29360.1488*0.70.10.54180.1488*0.70.2936*0.30.2936*0.30.20.45820.1488*0.70.2936*0.3p x C p x C x x θθπθπθ==≈==≈==≈+==≈+后验分布：()()()()()1113353680362(|)(1)*2(1)112(1)15(|)840(1),01m x p x d C d d p x x m x θπθθθθθθθθθθπθπθθθθ==--=-===-<<⎰⎰⎰1.61.11 由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布(0,)U θ1,0()0,x p x θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为123(,,)X x x x =12331,0,,()0,x x x p X θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 又因为4192/,4()0,4θθπθθ⎧≥=⎨<⎩所以，利用样本信息得1233471192192(,)()() (8,0,,)h X p X x x x θθπθθθθθθ==⋅=≥<<于是788192()(,)m X h X d d θθθθ+∞+∞==⎰⎰的后验分布为θ76778(,)192/68()192()h X X m X d θθπθθθθ+∞⨯===⎰6768,8()0,8X θπθθθ⎧⨯≥⎪=⎨⎪<⎩1.12样本联合分布为：1(),0np x x θθθ=<< 1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩{}110101()()()/1/,max ,,,n n n x p x x x αααπθθπθαθθθθθθ++++∝=∝>= 因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto 分布密度函数的核θ11/n αθ++即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩即得证。

习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 记样本为x. p(x0.1) C ；*0.1 2*0.960.1488 p （x 后验分布: 0.2)C ；*0.22*0.860.2936 0.1 x 0.1488*0.70.2|x0.1488*0.7 0.2936*0.3 0.2936*0.3 0.5418 0.1488*0.7 0.2936*0.3 0.4582门门严⑺）=Jl. 0<fl <1 u苴它I 検忙 I 詔？0 1耐（“二J讥科8）开（0）必二［ 少（1-0几阳二J56011-0人矽二 n n \ 3』in,oV-\^ O' 7r{(? I .Y)空地型=504少（IM0,苴它m x 1 0P(x| ) d0C 83p(x| ) 3 一x840 (1 OClm x1)6,03(1 )5*2(1)d112 3(1)6d'，2 15( X)汇吐设y.jv 二…；DJ M 汀1卩」加"/V ）的 个me ■祭也 此祥札的杈粧酌数为:P(x I A) =--- -X < 工 1……XVr < +00 兀］!+仁！…Yr!现収to 坦分如Gc （u+/O fV 为芥松分血旳佢A 的九验分伽•即P(X) ■，0 X0, 其它因为抽取3个样本，即X （X i ,X 2,X 3），所以样本联合分布为于是 m(X) 8 h(X, )d 的后验分布为192/ 76 84 5 6192—192/ 0,所以，利用样本信息得又因为h(X, ) p(X )()192 ~~4 192 (~—(8,0 X i ,X 2,X 3 )A-00 < A < +0C彗&Z 的心鱼;M 」为兀（人V ）X p{x I 几）兀（几）艺久- 「EM皿从恤巴分flj Gn( V M "亿0 TT 〕r-l由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布U(0,)P(X)0,X i ，X 2, X 3其它h(X,) m(X)「d78( X)二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,12样本联合分布为: (x) p(x )( P(x因此的后验分布的核为 1/即（x ） n) 1 n/ 0,即得证。

第三章 先验分布的确定3.1 大学生中戴眼镜的比例是0.7 3.6 （1）由题意可知因此，该密度既不是位置密度也不是尺度密度。

（2）由题意可知令 ，则因此，该密度是尺度密度。

（3）由题意可知令 ，则因此，该密度是尺度密度。

3.8 解：（1）由题意可知设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则对上式分别求一阶导、二阶导得（2）由题意可知 设,,...,X X X 是来自X 的简单随机样本，则1,11()20x p x θθθ⎧-<<+⎪=⎨⎪⎩ 其他2221111()1p x x x βθπβπββ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭2111x x ϕβπβ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭1()x p x θϕββ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1000(),a a x p x x x x x θ-+⎛⎫=> ⎪⎝⎭()100a x x a x x ϕ-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0001(),x p x x x x x θϕ⎛⎫=> ⎪⎝⎭()!x e p x x θθθ-=()11111ln ()lnln ln !!nii x n nnn i i i ni i i ii e l x p x x n x x θθθθθθ=-====∑===--∑∏∏∏11n i i l x n θθ=∂=-∂∑22211n i i l x θθ=∂=-∂∑22211()nx x i i l nI E E x θθθθθθ=⎡⎤∂⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦∑()πθ=()(1)x xn xn p x C θθθ-=-()21111ln ()ln ln ()ln(1)i n n n nx i ni i i i i i l x p x C x n x θθθθ======++--∑∑∑∏对上式分别求一阶导、二阶导得（3）由题意可知 1()(1)x m x x m p x C θθθ+-=- 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则()1111ln ()ln ln ln(1)ii nnnx i x m i i i i l x p x Cnm x θθθθ+-=====++-∑∑∏对上式分别求一阶导、二阶导得（4）由题意可知 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则()()()111ln ()ln ln 1ln nnni i i i i i l x p x n n x x αθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏对上式分别关于α求一阶导、二阶导得(5)设,,...,X X X 是来自X 的简单随机样本，则21111ni n i i i n x l x θθθ==-∂=-∂-∑∑()221222111nini i i n x l x θθθ==-∂=--∂-∑∑()222122211()(1)1ni nx x i i i n x l n I E E x θθθθθθθθ==⎡⎤-⎢⎥⎡⎤∂⎢⎥=-=+=⎢⎥∂--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑()πθ=111n i i l nm x θθθ=∂=-∂-∑()212221n i i x l nm θθθ=∂=--∂-∑()212222()(1)1ni x x i x l nm nm I E E θθθθθθθθ=⎡⎤⎢⎥⎡⎤∂⎢⎥=-=+=⎢⎥∂--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑()πθ=1()ln ln ()nii l n n x αλαα='∂Γ=-+∂Γ∑()()()()()222l n αααααα''''ΓΓ-ΓΓ∂=-∂Γ()1(),0xp x x e x ααλλαα--=>Γ()()()()()()()()()()2222()x x l I E E n n αααααααααααααα⎡⎤''''''''ΓΓ-ΓΓΓΓ-ΓΓ⎡⎤∂=-==⎢⎥⎢⎥∂ΓΓ⎣⎦⎣⎦()πα=,0xe x λ->()()()111ln ()ln ln 1ln n n ni i i i i i l x p x n n x x λθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏对上式分别关于λ求一阶导、二阶导得（6）由题意可知 设12,,...,n X X X 是来自X 的简单随机样本，则()()()111,ln ()ln ln 1ln nnni i i i i i l x p x n n x x αλθαλααλ=====-Γ+--∑∑∏对上式分别关于λ求导得令(),θαλ=，则3.9 证明：由题意可知 ()()ln i i i i i l x p x θθ=()i i πθ=1nii l n x αλλ=∂=-∂∑222l n αλλ∂=-∂2222()x x l n n I E E λλααλλλλ⎡⎤∂⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦()πλ=222l n αλλ∂=-∂()()()()()()()()()()()22222det 1nn n I nn αααααααααλθαλααλλ''''ΓΓ-ΓΓ-⎡⎤''''ΓΓ-ΓΓΓ==-⎢⎥Γ⎣⎦-()1(,),0xp x x e x ααλλαλα--=>Γ()()()()()222l n αααααα''''ΓΓ-ΓΓ∂=-∂Γl n αλλ∂=∂∂()()()()()()()()()()2222l E E n n ααααααααααα⎡⎤''''''''ΓΓ-ΓΓΓΓ-ΓΓ⎡⎤∂-==⎢⎥⎢⎥∂ΓΓ⎣⎦⎣⎦2222l n n E E ααλλλ⎡⎤∂⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦()l n E αλλ∂-=-∂∂()2n πθα⎡=⎢()()22i i i i l x I E θθθ⎛⎫∂=- ⎪ ⎪∂⎝⎭由于各i X 独立，因此有()()1211(,,...,)ln ln kkk i i i i i i i i l x x x p x p x θθθ====∑∏由上式可得出因此有 ()()1d e t ki i I I θθ==∏所以3.10 解: 由题意可知 ()0.0120.01,0e θπθθθ--=>因此有 所以有3.11解：由题意可知所以有 ()(,)()h x p x θθπθ= 进而有()()2222i i i i i l x l x θθθθ∂∂=∂∂()20i i j l x θθθ∂=∂∂()()()()11det k k kiii i I I πθθθπθ======∏∏()0.010.01123(,)()e0.010.01e,0x xh x p x e x θθθθθπθθθθθ+------===>>0.010.010.01300111()0.01eee 0.010.01x x x xx x m x d x x θθθθθθ+++----⎡⎤==+=⎢⎥++⎣⎦⎰121211(,,...,,,...,)()!iix n ni n n i i i i i e p x x x p x x θθθθθθ-====∏∏()()()11112111,,...,()niii n nnnn i i i n i i i e eαααβθβθαββπθθθπθθθαα=----===∑⎛⎫=== ⎪ΓΓ⎝⎭∏∏∏()12121212(0,)()(,,...,,,...,),,...,...n n n nm x p x x x d d d θθθπθθθθθθ+∞=⎰。

贝叶斯精炼纳什均衡解经典例题和解答贝叶斯精炼纳什均衡（Bayesian refinement of Nash equilibrium）是博弈论中的一个概念，它结合了贝叶斯理论和纳什均衡的概念，用于描述在不完全信息博弈中玩家对其他玩家类型的不确定性。

这里我将为你提供一个经典的例题，并给出相应的解答。

考虑一个简化的拍卖场景，有两个潜在的买家：买家A和买家B。

拍卖的物品是一幅画，卖家想以尽可能高的价格卖出这幅画。

买家A和买家B对这幅画的估值分别服从正态分布，其均值和标准差如下：买家A的估值：均值为100，标准差为20买家B的估值：均值为120，标准差为15拍卖的规则如下：卖家首先设定一个底价p（reserve price），然后买家A和买家B分别出价。

如果买家A的出价高于底价p，并且买家B的出价也高于底价p，那么拍卖的赢家是出价最高的买家，并且他们需要支付自己的出价。

如果只有一个买家的出价高于底价p，那么这个买家获胜，并以底价p购买这幅画。

如果两个买家都没有出价高于底价p，那么拍卖失败，画作不会被卖出。

现在我们来解答这个问题：1. 假设卖家设定底价p为90，请计算在这个底价下，买家A和买家B的最优出价以及对应的期望收益。

为了计算买家A和买家B的最优出价，我们可以使用贝叶斯精炼纳什均衡的概念。

在这个场景中，买家A和买家B都面临不完全信息，即对方的估值是未知的。

我们需要通过贝叶斯理论来计算每个买家对对方估值的后验概率分布，然后根据这些概率分布来确定最优出价。

买家A的后验概率分布可以通过贝叶斯定理计算得到：P(v_A|p) = P(p|v_A) * P(v_A) / P(p)其中，v_A表示买家A对画作的估值，P(v_A)表示买家A对估值的先验概率分布（正态分布），P(p|v_A)表示在买家A估值为v_A的情况下，底价p被设定的概率，P(p)表示底价被设定为p的概率。

根据题目中给出的信息，买家A的估值服从均值为100，标准差为20的正态分布，我们可以计算P(v_A)。

习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为x. 1.61.11 由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布(0,)U θ因为抽取3个样本，即123(,,)X x x x =，所以样本联合分布为又因为4192/,4()0,4θθπθθ⎧≥=⎨<⎩ 所以，利用样本信息得 于是788192()(,)m X h X d d θθθθ+∞+∞==⎰⎰θ的后验分布为1.12样本联合分布为： 因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto分布密度函数的核即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩ 即得证。

1.15二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2 解： 由题意，变量t 服从指数分布：()tp t e λλλ-=样本联合分布()itn p T e λλλ-∑=且1~(,),0()Ga e ααβλβλαβλλα--=>Γ ，()0.2E λ=()1Var λ=由伽玛分布性质知： 又已知 n=20, 3.8t =120 3.876nii t==⨯=∑，所以120.04,76.2ni i n t αβ=+=+=∑由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布即后验分布为(,)(20.04,76.2)i Ga n t Ga αβ++=∑1θλ-=服从倒伽玛分布(,)(20.04,76.2)i IGa n t IGa αβ++=∑2.3可以算出θ的后验分布为(11,4)Ga ，θ的后验期望估计的后验方差为1116.2.536n ≥.2.7θ的先验分布为：1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩令{}101max ,,,n x x θθ=可得后验分布为：1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩ 则θ的后验期望估计为：1()()1n E x n αθθα+=+-，后验方差为：212()()(1)(2)n Var x n n αθθαα+=+-+-. 2.8由1~(,),~(,)22n x Ga IGa θαβθ可以得出（1）θ的后验分布为：即为倒伽玛分布(,)22n xIGa αβ++的核。

条件概率与贝叶斯定理例题和知识点总结在概率论与数理统计中，条件概率和贝叶斯定理是非常重要的概念，它们在许多领域都有着广泛的应用，如统计学、机器学习、医学诊断、金融分析等。

下面我们将通过一些例题来深入理解这两个概念，并对相关知识点进行总结。

一、条件概率条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

设事件 A 和事件 B 为两个随机事件，且 P(B) ＞ 0，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率记为 P(A|B)，其计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B)其中，P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。

例题 1一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求这个红球是第一次取出的概率。

解：设事件 A 表示“取出的球是红球”，事件 B 表示“取出的球是第一次取出的”。

则 P(A) ＝ 5/8，P(AB) ＝ 5/8，P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)＝ 1。

例题 2某班级有男生 25 人，女生 20 人。

已知随机抽取一名学生是男生，求该男生是成绩优秀的概率。

已知男生中成绩优秀的有 10 人，女生中成绩优秀的有 8 人。

解：设事件 A 表示“抽取的学生是男生”，事件 B 表示“抽取的学生成绩优秀”。

则 P(A) ＝ 25 ／ 45，P(AB) ＝ 10 ／ 45，P(B|A) ＝ P(AB)／ P(A) ＝ 10 ／ 25 ＝ 2 ／ 5。

二、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种基于条件概率的推理方法，用于在已知某些先验概率和新的证据的情况下，更新对某个事件的概率估计。

贝叶斯定理的公式为：P(A|B) ＝ P(B|A) P(A) ／ P(B)其中，P(A) 为先验概率，P(B|A) 为似然概率，P(B) 为边缘概率。

例题 3某种疾病在人群中的发病率为 01%。

一种检测方法对患有该疾病的人检测结果为阳性的概率为 99%，对未患有该疾病的人检测结果为阳性的概率为1%。

【贝叶斯统计答案】第一章习题讲解一、 1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为x.226pxC(0.1)*0.1*0.90.1488,,,,8226pxC(0.2)*0.2*0.80.2936,,,,8后验分布:0.1488*0.7,,,0.10.5418x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，0.2936*0.3,,,0.20.4582x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，111233536,,,,,,,,,,,,,,,,,,mxpxdCdd(|)(1)*2(1)112(1)，，，，8,,,00015 px(|)，，,,,36,,,,,x840(1),01，，,,,,,mx，，1.5大家差不多都做对了，有少数几个人只求了一问，回去再算一算另一问。

1.61.10利用式1.8就可以得到证明，大家做的都没问题。

1.11 由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布 U(0,),1,,,0,,x,, ,px(),,0,其它,因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为 Xxxx,(,,)1231,,,0,,,,xxx,1233 ,pX(),,,0,其它,4,192/,4,,, 又因为 (),,,,0,4,,,所以，利用样本信息得1192192 ,,,,,,,,,,,,,hXpXxxx(,)()() (8,0,,)123347,,,，,，,192于是 ,,,,,mXhXdd()(,)7,,88,,的后验分布为76hX(,)192/68,,， ()X,,,,,7，,192mX(),d,,78,6,68，,,8,,7 ()X,,,,,,0,8,,,1.12样本联合分布为:1pxx,,,,,(),0n,,,，1,,,,,,/,,00(),,,,0,,,,0,,,,，，，，nn11 ,,,,,,,,,,,,()()()/1/,max,,,xpxxx,,,,,,,0101n ,，，n1因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto分布密度函数的核 1/,, ,,，，，nn1,()/,,,,,,n，,11即 ()x,,,,0,,,,,1即得证。

习题讲解之杨若古兰创作一、1,3,5,6,10,11,12,151.1记样本为x.1.11 由题意设x暗示等候汽车的时间，则其服从均匀分布因为抽取3又因为所以，利用样本信息得1.12样本联合分布为：Pareto分布密度函数的核即得证.二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2 解：由题意，变量t由伽玛分布性质知：又已知因为伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布（1.（2（3）样天职布函数为：.即：是以，倒伽玛分布的这两个估计是纷歧样的，缘由是它分歧错误称.2.10可得：95变换：带入有：三、10,11,12,13四、1,4,8,9,10,11,12,15,16购买8件.故采取第一种收费方法对工厂有益.##附R软件计算定积分程序：int<-function(x){210*x*(1-x)^13};integrate(int,0.1,0.2)$value*10+integrate(int,0.2,1)$value*90;integrate(int,0,0.1)$value*60;五、2,3,7,11,18,21,225.2(2)(4)()()()221~,12x x N p x e θθθπ--=由可得附：用R 软件作图程序：y<-function(x){exp(0.1*x)-0.1*x-1}; plot(y,xlim=c(-20,20),type="l",lty=1);lines(x,exp(0.5*x)-0.5*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=2); lines(x,exp(1.2*x)-1.2*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=3); s<-c("c=0.1","c=0.5","c=1.2"); legend(locator(1),s,lty=c(1,2,3)); 5.18(1)1a 与2a 下的先验期望损失为()()12,17.5,,15E L a E L a θθθθ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故2a 是最优行动，先验()15EVPI =元.(2){}{}()120,1,2,a a x δ从到上的任一个映射都是该问题的决策函数.(3)、(4)X0 1 2 1θ 2θ计算(),xEL a θθ⎡⎤⎣⎦，可得表格：X12(2)(3)验分布愈精确，添加了先验信息，从而减少了先验完整信息及其期望值.。