高中物理专题：相互作用——自招（含答案）
一．知识点
1．重心
2．摩擦角、自锁区
3．力矩
4．平衡的种类与条件（共点力平衡、定轴平衡、刚体平衡）
5．虚功原理
二．典例解析
1．重心
【例1】（•同济）如图（a）所示，一根细长的硬棒上有3个小球，每个小球之间相距a，小球质量为m、2m和3m，棒的质量分布均匀，总长为4a，质量为4m，求整个体系的重心位置。
变式1：均匀圆板的半径为R，在板内挖去一个半径为r的小圆，两个圆心相距为a，求剩余部分的重心与原圆板圆心的距离
变式2：求三角板与三角框的重心
O a
r
O1
R
匀质三角板的重心在哪？匀质三角框的重心在哪？
2．摩擦力、摩擦角、自锁区
【例2】一个质量m=20kg的钢件，架在两根完全相同的、平行的长直圆柱上，如图所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m，钢件与圆柱间的滑动摩擦系数μ=0.20，两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度ω=40rad/s，若沿平行于柱轴方向施加力推着钢件做速度为v0=0.05m/s的匀速运动，推力是多大？设钢件左右受光滑槽限制（图中未画出），不发生横向运动．g取10m/s2．
【例3】（华约）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg的物体。一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为
μ=3
≈0.58。试求该同学向上拉动的重物质量M的最大
值?
【变式】如图所示，AOB是一把等臂夹子，轴O处的摩擦不计，若想在A、B处用力去夹一个圆形物体C，则能否夹住与那些因素有关？这些因素应该满足什么条件？（不考虑圆柱形物体受到的重力）
3．力矩
【例4】（清华大学）如图，一根光滑均匀细棒质量为m，一端通过光滑铰链固定在地上，另
θ，现使方形一端搁在方形木块上，初始时细棒和地面夹角为︒
=30
木块很缓慢地向正左方运动，则细棒在竖直面内转动的过程中，受到木块的作用力：
A．一直增大
B．一直减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
【变式1】（复旦）一根轻杆下端与一个半径为R，重力为G的光滑球相连，杆上段可绕轴O 自由转动，杆长L，杆与球始终在同一直线上，O点还挂有一根系有重
物的细绳，如图所示，重物的重力为G′，则平衡后杆与竖直方向的夹角α【变式2】（•西安交大）重为80kg的人沿如图所示的梯子从底部向上攀登，
梯子质量为25kg，顶角为30°。已知AC和CE都为5m长且用铰链在C点处相连。BD为一段轻绳，两端固定在梯子高度一半处。设梯子与地面的摩擦可以忽略，求在人向上攀登过程中轻绳中张力的变化规律（g取10m/s2）。
4．平衡的种类与条件（共点力平衡、定轴平衡、刚体平衡）
略
5．虚功原理
【例5】一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转
的最大角速度.
【变式1】如图所示，一个半径为R 的
4
1
光滑球面置于水平桌面上．球面上有一条光滑匀质软绳，一端固定于球面顶点A ，另一端恰好与桌面不接触，且单位长度软绳的质量为ρ．求软绳A 端所受的水平拉力及软绳所受球面的支持力．
【变式2】如图所示，将质量为M 的匀质链条套在一表面光滑、顶角为α的圆锥上，设圆锥底面水平，链条静止时也处于水平，求链条中的张力的大小。
典例解析答案
例1【答案】 2.2c x a =
【解析1】以棒的左端为原点，沿棒向右建立坐标轴，由公式：
112233123i i
c m x m x m x m x x m m m m
+++∑=
=
+++
∑， 解得：223342 2.2234c ma m a m a m a
a m m m m
x +⨯+⨯+⨯=++=
+，即重心在距棒的左端2.2a 处。
【解析2】由力矩平衡求解，设重心在距棒的左端x c 处，如图（b ）所示。在重心处加一竖起向上的力F 使棒平衡，由0,23410F F mg mg mg mg mg ∑==+++=得。 取左侧为转动轴，物体平衡，由0M ∑=，
223342c Fx mga mg a mg a mg a =+⨯+⨯+⨯，解得： 2.2c x a =。
变式1【答案】
变式2【答案】匀质三角板的重心在中线的交点上； 匀质三角框的重心在三边中点构成的
新三角形的角平分线的交点上（内心）
例2【答案】2N （关键是相对运动的方向）
例3【答案】max 70.7M kg =≈（利用摩擦角求F 的极小值对应的方向，进而得M 的范围）
变式：tan 2
θ
μ≥ （或sin 1cos θ
μθ
≥
+ ）（列临界方程或不等式，或利用摩擦角）
例4【答案】C （列力矩平衡方程）
【解析】方形木块很缓慢地向正左方运动的过程中，细棒处于转动平衡。设木块高为a ，细棒长为L ，重为G ，则有：cos 2sin L a G N θθ⨯=⨯，解得：sin 24GL N a
θ=
变式1【答案】''arcsin ()()
G R
G G L R α=++（力矩平衡）
变式2【答案】T =（125+160x ）tan150(N)（x 为人离A 点的距离，力矩平衡）
【解析】设梯、人的质量分别为M 、m ，人离A 点的距离为x ，A 、E 两点的支持力为N 1、N 2，则N 1＋N 2=（M ＋m ）g
整个梯子处于转动平衡，以A 为转动轴有：0002cos75cos752cos75mgx Mg AC N AC +•=• AC 处于转动平衡，以C 为转动轴有：
0000111
(5)sin150.5sin15cos15sin1522mg x Mg AC T AC N AC -+•+•=•
解得：T =（125+160x ）tan150(N)
例5【解析】因为向心力F=mr ω2，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值，如图3—6所示。在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为2m M θ
π
∆∆=，受圆环对它的张力为T ，则同上例分析可得 22sin 2
T mr θ
ω∆=∆因为△θ很
小，所以sin
22
θθ
∆∆≈
，即 2222T Mr θθ
ωπ
∆∆⋅
= 解得最大角速度 2T Mr πω=
变式1【答案】2
14
N gR πρ=+
；T gR ρ=。（本题可用微元法，也可用虚功原理——更简捷）
【解析】（1）取软绳中一微段（所对圆心角为∆θ）研究，受力情况如图所示．沿圆弧切线方向有cos i i i T G T θ=∆+下上，即cos i i i T T gR ρθ-=∆下上，其中cos i i R h θ∆=∆，即该弧段在竖直方向上的投影，将上式累加后易得最上端A 处所受的拉力T gR ρ=（最下
端处所受的拉力为0）
另由2
2
2
N T G =+，得：2
14
N gR πρ=+
．
（2）设想在A 处将软绳缓慢拉过(0)x x →，由于球面对软绳各处的支持力都沿半径向外，故
