二计算坐标与坐标方位角的基本公式
控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐
标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介
绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量
工中最基本最常用的公式。
一、坐标正算和坐标反算公式
1．坐标正算
根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长
计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。
如图 5—5 所示，已知 A 点的坐标为x A、y A，A 到 B 的边长和坐标方位角分别为 S AB和AB，则待定点B的坐标为
x B x A x AB ｝
y B y A y AB
（5— 1）
式中x AB、y AB——坐标增量。
由图 5—5 可知
x AB S AB cos y AB S AB sin AB
｝AB
（5— 2）
式中S AB——水平边长；
AB ——坐标方位角。
将式（ 5-2 ）代入式（ 5-1 ），则有
x B x A S AB cos AB ｝
y B y A S AB sin AB
（5— 3）
当 A 点的坐标x A、y A和边长S AB及其坐标方位角AB 为已知时，就可以用上述公式计算出待定点 B 的坐标。式（5— 2）是计算坐标增量的基本公式，式（5— 3）是计算坐标的基本
公式，称为坐标正算公式。
从图 5—5 可以看出x AB是边长 S AB在x轴上的投影长度，
y AB是边长 S AB在y轴上的投影长度，边长是有向线段，是在
实地由 A 量到 B 得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从
0°到 360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值
和余弦值就有正负两种
情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5— 6
所示。从式（ 5—2）知，由于三角函数值的正负决定了坐标
增量的正负，其符号归纳成表 5— 3。
图 5— 5 坐标计算图 5—6 坐标增量符号
表 5—3 坐标增量符号表坐标方所在象限坐标增量的正位角负号
（°）⊿x ⊿ y 0～ 90 Ⅰ＋＋
90～ 180 Ⅱ－＋
180 ～Ⅲ－－270 Ⅳ＋－
270～
360
例 1 已知 A 点坐标x A =100.00m ，y A =300.10m；边长s AB=100m，方位角AB =330°。求B点的坐标x B、 y B。
解：根据公式（5—3）有
x B x A s AB cos y B y A s AB sin AB
AB
100100 cos330 186.1m
300.1 100 sin 330 249.6m
2、坐标反算
由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角
和边长，这种计算称为坐标反算。
由式（ 5—1）有
x
AB x B x A ｝
y
AB y B y A
（5—4）
该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图 5— 5 中x AB 表示由 A 点到达 B 点的纵坐标之差称纵坐标增量；y AB表示由 A 点到 B 点的横坐标之差称横坐标增量。坐标增量也有正
负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。
在图 5— 5 中如果 A 点到 B 点的坐标已知，需要计算 AB边的坐标方位角AB和边长时S AB，
则有
tan
y B y A y AB AB
x A x AB
x B
S
AB
x
AB
y
AB
｝cos AB sin AB
(5 —5)
或
S
AB
2 2
x
AB
y
AB
公式（ 5— 5）称为坐标反算公式。应当指出，使用公式（ 5
— 5）中第一式计算的角是象限角 R，应根据⊿ x、⊿y 的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。因此公式（ 5—5）中的第一式还可表示为：
R AB arctan y
B y
A
arctan
y
AB x B x A x AB
例 2．已知x A =300m, y A=500m, x B=500m, y B=300m,求A、B 二点连线的坐标方位角AB和边长 S AB。
解：由公式（ 5-5 ）有
R AB arctan y
B y
A arctan 300 500 arctan( 1) x
B x A 500 300
因为x AB为正、y AB为负，直线AB 位于第四象限。所以R AB NW 45
根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得：
AB36045315
AB边长为：
S AB(x B x A ) 2( y B y A )2(500 300)2(300 500) 2282.8m
坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的
公式，应用十分广泛。
在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规范对数字取位及计算成果作了规定。例如图根控制点要求边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。
二、坐标方位角的推算公式
由公式（ 5-2 ）知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标
方位角两个要素，其中边长是
在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位
角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。下面介绍
坐标方位角的推算公式。
如图 5-7 所示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于前
进方向左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方
向右侧的角称为右观测角，简称右角。
1.观测左角时的坐标方位角计算公式
在图 5—7 与 5—8 中，已知 AB边的方位角为AB ，左为左观测角，需要求得BC边的方位角BC 。左是外业观测得到的水平角，从图上可以看出已知方位角AB 与左观测角左之
和有两种情况：即大于180°或小于 180°。图 5— 7 中为大于 180°的情况，图5— 8 中为小于 180°的情况。
