数字信号处理 习题集2015

1．如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]({n x 。

问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。

解：（1）直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。

直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（（2）基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。

用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ2．N 点FFT 的运算量大约是（ ）。

解：N N2log 2次复乘和N N 2log 次复加 5．基2FFT 快速计算的原理是什么？它所需的复乘、复加次数各是多少？解：原理：利用knN W 的特性，将N 点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT ，最后再组合起来。

复乘次数：NN 2log 2，复加次数：N N 2log计算题：2．设某FIR 数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(====h h h h6)4()3(,5)5()2(====h h h h ，其他n 值时0)(=n h 。

试求)(ωj e H 的幅频响应和相频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。

解： {}70,1,3,5,6,6,5,3,1)(≤≤=n n h ∑-=-=10)()(N n nj j e n h e H ωω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++++=---------------ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2121272323272525272727277654326533566531j j j j j j j j j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e e ee e e e e e e)(27)(27cos 225cos 623cos 102cos 12ωφωωωωωωj j e H e=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 所以)(ωj eH 的幅频响应为ωωωωωω2727cos 225cos 623cos 102cos 12)(j eH -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= )(ωj e H 的相频响应为ωωφ27)(-=13．用双线性变换法设计一个3阶Butterworth 数字带通滤波器，抽样频率Hz f s 720=，上下边带截止频率分别为Hz f 601=，Hz f 3002=。

一、单项选择题1．数字信号的特征是( )A.时间离散、幅值连续B.时间离散、幅值量化C.时间连续、幅值量化D.时间连续、幅值连续2．若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时，输出为y(n)=R 2(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时，输出为( )A.R 2(n)-R 2(n-2)B.R 2(n)+R 2(n-2)C.R 2(n)-R 2(n-1)D.R 2(n)+R 2(n-1)3．下列序列中z 变换收敛域包括|z|=∞的是( )A.u(n+1)-u(n)B.u(n)-u(n-1)C.u(n)-u(n+1)D.u(n)+u(n+1)4．下列对离散傅里叶变换（DFT ）的性质论述中错误的是( )A.DFT 是一种线性变换B.DFT 具有隐含周期性C.DFT 可以看作是序列z 变换在单位圆上的抽样D.利用DFT 可以对连续信号频谱进行精确分析5．若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是( )A.N ≥MB.N ≤MC.N ≥M/2D.N ≤M/2 6．基-2 FFT 算法的基本运算单元为( )A.蝶形运算B.卷积运算C.相关运算D.延时运算7．以下对有限长单位冲激响应（FIR ）滤波器特点的论述中错误的是( )A.FIR 滤波器容易设计成线性相位特性B.FIR 滤波器的单位冲激抽样响应h(n)在有限个n 值处不为零C.系统函数H(z)的极点都在z=0处D.实现结构只能是非递归结构8．下列结构中不属于IIR 滤波器基本结构的是( )A.直接型B.级联型C.并联型D.频率抽样型9．下列关于用冲激响应不变法设计IIR 滤波器的说法中错误的是( )A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系B.能将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器C.使用的变换是s 平面到z 平面的多值映射D.可以用于设计低通、高通和带阻等各类滤波器10．离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π)的周期是( ) A.7 B.14/3 C.14 D.非周期 11．下列系统(其中y(n)是输出序列，x(n)是输入序列)中______属于线性系统。

第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。

此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。

在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。

（）答：错。

需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。

（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。

因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。

故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理 计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。

（b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。

解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。

第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。

此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。

在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。

（）答：错。

需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。

（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。

因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。

故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。

（b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。

解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。

《数字信号处理》习题集一. 填空题1、一线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为；输入为x（n-3）时，输出为。

2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：。

3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的点等间隔。

4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。

5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的所产生的现象。

6、δ(n)的z变换是。

7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较，阻带衰减比较。

8、用双线性变法进行IIR数字滤波器的设计，从s平面向z平面转换的关系为s= 。

9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 。

10、序列x1（n）的长度为4，序列x2（n）的长度为3，则它们线性卷积的长度是，5点圆周卷积的长度是。

11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的，而周期序列可以看成有限长序列的。

12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m(n)表示，其数学表达式为x m(n)= 。

13、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构是型的。

14.线性移不变系统的性质有、和分配律。

15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有、和。

16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有型，型和。

17.如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5μs，每次复数加需要1μs，则在此计算机上计算210点的基2 FFT需要级蝶形运算，总的运算时间是______μs。

18．用窗函数设计FIR滤波器时，滤波器频谱波动由什么决定 _____________，滤波器频谱过渡带由什么决定_______________。

数字信号处理习题一、选择题1. 序列x(n)=Re(ejn π/12)+Im(ejn π/18),周期为( B )。

A. 18πB. 72C. 18πD. 362. 对于x(n)=n 21⎪⎭⎫ ⎝⎛u(n)的Z 变换，( B )。

A. 零点为z=21，极点为z=0 B. 零点为z=0，极点为z=21C. 零点为z=21，极点为z=1D. 零点为z=21，极点为z=23、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足( B )A.16>NB.16=NC.16<ND.16≠N4. 设系统的单位抽样响应为h(n)=δ(n)+2δ(n-1)+5δ(n-2)，其频率响应为( B )。

A. H(ej ω)=ej ω+ej2ω+ej5ωB. H(ej ω)=1+2e-j ω+5e-j2ωC. H(ej ω)=e-j ω+e-j2ω+e-j5ωD. H(ej ω)=1+21e-j ω+51e-j2ω5. 设序列x(n)=2δ(n+1)+δ(n)-δ(n-1)，则X(ej ω)|ω=0的值为( B )。

A. 1B. 2C. 4D. 1/26. 设有限长序列为x(n)，N1≤n ≤N2,当N1<0,N2>0，Z 变换的收敛域为( A )。

A. 0<|z|<∞B. |z|>0C. |z|<∞D. |z|≤∞7.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样角频率Ωs 与信号最高截止频率Ωc 应满足关系（A ）A. Ωs>2ΩcB. Ωs>ΩcC. Ωs<ΩcD. |Ωs<2Ωc8.下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？（ D ）A.y(n)=y(n-1)x(n)B.y(n)=x(n)/x(n+1)C.y(n)=x(n)+1D.y(n)=x(n)-x(n-1)9.已知某序列Z 变换的收敛域为5>|z|>3，则该序列为（D ）A.有限长序列B.右边序列C.左边序列D.双边序列10.已知x(n)=δ(n)，其N 点的DFT ［x(n)］=X(k)，则X(N-1)=（B ）A.N-1B.1C.0D.-N+111.设两有限长序列的长度分别是M 与N ，欲通过计算两者的圆周卷积来得到两者的线性卷积，则圆周卷积的点数至少应取（B ）A.M+NB.M+N-1C.M+N+1D.2(M+N)12.下列各种滤波器的结构中哪种不是IIR 滤波器的基本结构？（C ）A.直接型B.级联型C.频率抽样型D.并联型13.下列关于FIR 滤波器的说法中正确的是（ A ）A.FIR 滤波器容易设计成线性相位特性B.FIR 滤波器的脉冲响应长度是无限的C.FIR 滤波器的脉冲响应长度是确定的D.对于相同的幅频特性要求，用FIR 滤波器实现要比用IIR 滤波器实现阶数低14.以下单位冲激响应所代表的线性移不变系统中因果稳定的是( C )。

第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。

此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。

在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。

（）答：错。

需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。

（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。

因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。

故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。

（b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。

解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。

数字信号处理习题集数字信号处理习题集第⼀章习题1、已知⼀个5点有限长序列，如图所⽰，h (n )=R 5(n )。

（1）⽤写出的()n δ()x n 函数表达式；（2）求线性卷积*。

()y n =()x n ()hn 2、已知x (n )=(2n +1)[u (n +2)-u (n -4)],画出x (n )的波形，并画出x (-n )和x (2n )的波形。

3、判断信号是否为周期信号，若是求它的周期。

3()sin 73x n n ππ??=+4、判断下列系统是否为线性的，时不变的，因果的，稳定的？（1），（2）2()(3)y n x n =-0()()cos()y n x n n ω=5、已知连续信号。

()2sin(2),3002a x t ft f Hz ππ=+=（1）求信号的周期。

()a x t （2）⽤采样间隔T=0.001s 对进⾏采样，写出采样信号的表达式。

()a x t ?()a xt （3）写出对应于的时域离散信号的表达式，并求周期。

?()a xt ()x n 6、画出模拟信号数字处理的框图，并说明其中滤波器的作⽤。

第⼆章习题1、求下列序列的傅⽴叶变换。

（1），（2）11()333nx n n ??=-≤ ?[]2()()()n x n a u n u n N =--2、已知理想低通滤波器的频率响应函数为：为整数，000(),0j n j e H e n ωωωωωωπ-?≤≤?=? <≤??cc 求所对应的单位脉冲响应h (n )。

3、已知理想⾼通滤波器的频率响应函数为：，求所对应0()1j H e ωωωωωπ≤≤=<≤??cc 的单位脉冲响应h (n )。

4、已知周期信号的周期为5,主值区间的函数值=,求该周期信号的()(1)n n δδ+-离散傅⾥叶级数和傅⾥叶变换.5、已知信号的傅⽴叶变换为，求下列信号的傅⽴叶变换。

()x n ()j X e ω（1）（2）(3)x n -*()x n -6、已知实因果信号如图所⽰，求和。

数字信号处理习题及答案3 .已知，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为的线性移不变系统的阶跃响应。

9．列出下图系统的差分⽅程,并按初始条件求输⼊为时的输出序列,并画图表⽰。

解：系统的等效信号流图为：解：根据奈奎斯特定理可知：6. 有⼀信号,它与另两个信号和的关系是:其中，已知，解：根据题⽬所给条件可得：⽽所以8. 若是因果稳定序列，求证：证明:∴9．求的傅⾥叶变换。

解：根据傅⾥叶变换的概念可得：13. 研究⼀个输⼊为和输出为的时域线性离散移不变系统，已知它满⾜并已知系统是稳定的。

试求其单位抽样响应。

解：对给定的差分⽅程两边作Z变换，得：，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括即可求得16. 下图是⼀个因果稳定系统的结构，试列出系统差分⽅程，求系统函数。

当时，求系统单位冲激响应, 画出系统零极点图和频率响应曲线。

由⽅框图可看出：差分⽅程应该是⼀阶的则有因为此系统是⼀个因果稳定系统; 所以其收敛17．设是⼀离散时间信号，其z 变换为，对下列信号利⽤求它们的z变换：(a) ，这⾥△记作⼀次差分算⼦，定义为：(b) {(c)解：(a)(b) ，1.序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅⽴叶级数的系数。

∑∑=-===56265)(~)(~)(X~:nnkjnknexWnxkπ解kj k j k j kj kj e e e e e 56 2462362262621068101214πππππ-----+++++=计算求得:。

339)5(~; 33)4(~ ; 0)3(~; 33)2(~;339)1(~;60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==。

并作图表⽰试求设)(~),(~)(~ .))(()(~),()(.264k X n x k X n x n x n R n x ==∑∑=-===56265)(~)(~)(~:n nkj nkn e n x W n x k X π解k j k j kj e e e πππ---+++=3231。

习题一1 判断下列信号中哪一个是周期信号，如果是周期信号，求出它的周期。

（a ）sin1.2n （b ）sin9.7n π （c ） 1.6j neπ（d ）cos(3/7)n π （e ） 3cos 78A n ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （f ）18j n e π⎛⎫- ⎪⎝⎭2 以下序列是系统的单位脉冲响应h(n)，试说明系统是否是因果的和稳定的。

（1）21()u n n （2） 1()!u n n （3）3()nu n （4）3()n u n - （5） 0.3()nu n （6） 0.3(1)nu n -- （7）(4)n δ+3 假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示，试分别分析系统是否是线性时不变系统。

（1） ()3()8y n x n =+ （2） ()(1)1y n x n =-+ （3） ()()0.5(1)y n x n x n =+- （4） ()()y n nx n =习题二 4 已知因果系统的差分方程为()0.5(1)()0.5(1)y n y n x n x n =-++- 求系统的单位脉冲响应h(n)。

5 设系统的差分方程为()(1)()y n ay n x n =-+，0<a<1，(1)0y -=。

分析系统是否是 线性、时不变系统。

习题三 6 试求以下序列的傅里叶变换。

（1） 1()(3)x n n δ=- （2）211()(1)()(1)22x n n n n δδδ=+++- （3） 3()()nx n a u n = 0<a<1 （4）4()(3)(4)x n u n u n =+--7 设()j X e ω是()x n 的傅里叶变换，利用傅里叶变换的定义或者性质，求下面序列的傅里叶变换。

（1）()(1)x n x n -- （2） *()x n （3）*()x n - （4） (2)x n （5）()nx n习题四8 假设信号1,2,3,2,1,n 2,1,0,1,20,()x n ---=--⎧⎨⎩=其他，它的傅里叶变换用()j X e ω表示，不具体计算()j X e ω，计算下面各式的值：（1）0()j X e （2） ()j X e ω∠ （3）()j X e d πωπω-⎰（4） ()j X e π（5）2()j d X e ππωω-⎰习题五9 设图P2.5所示的序列()x n 的FT 用()j X e ω表示，不直接求出()j X e ω，完成下列运算 （1） 0()j X e （2）()j X e d πωπω-⎰ （3）()j X e π（4）确定并画出傅里叶变换为(())j e R X e ω的时间序列()e x n（5）2()j d X e ππωω-⎰ （6）2()j d dX e d ππωωω-⎰10 求以下各序列的Z 变换和相应的收敛域，并画出相应的零极点分布图。