2018届高考数学黄金考点精析精训考点05函数的性质(单调性、奇偶性、周期性理

函数单调性、奇偶性、周期性与对称性综合思路破解有关函数的奇偶性、单调性、周期性和图像对称性的综合问题，历来都是一个难点，并且几乎是必考的重点内容，它考察的内容是非常多的，综合性也是非常强的，而且不易想，因而，对很多同学来说，十分头疼，在这一章节内容上，我们绝对要摒弃大量做题不顾总结的复习思路，基于此，我们从以下几个方面讲这部分内容。

第一个问题，就是对于“已知奇/偶函数一段定义域上的解析式，求另一段的解析式”这样的问题，最为基础，考生一定要知道怎么解决这种问题，但是对于求确切的()f a 的问题，这里的a 代指一个确切的常数，我们可以不求出另一段上的解析式，我们采取“进/退周期”的方式，什么意思呢？就是如果让我们求的()f a 中的a 不在已知解析式的定义域上，对于比定义域最大值还要大的，要根据周期定义每次减一个周期，逐步将其转化到已知解析式的定义域之上，比如，题目让我们求(13)f ，我们通过分析发现该函数的周期为2，题目中已知()0,2x ∈上的解析式，那么我们就可以“退周期”，即(13)(261)(1)f f f =⨯+=，即只需要求出这个(1)f 就是了，同理，对于比定义域最小值还要小的，我们用同样方法，可以“进周期”，求解相关问题。

第二个问题，我们必须要说这个周期的问题，周期其实在高中教材中只是在必修四三角函数中学了，但是函数中却经常出现，而且不算是超纲内容，不能因为函数教材中没有讲就认为不需要掌握，但是有一点需要考生知道，就是对于周期性，我们更多的是记住一些结论，推导这些结论是不要求的，因此，我们在这里总结这些结论，希望考生都记住。

如果一个函数满足()()f x f x a =+，则这个函数就是以a 为一个周期的函数，这里要强调“一个周期”，事实上，ka 都是这个函数的周期，也就是说()(),()(-),()()f x f ka x f x f x ka f x f x a =+==-，还有一些有关周期的拓展定义：①()()f a x f x +=-；②()()1f a x f x +=；③()()1f a x f x +=-，这三个式子都可以推导出函数()f x 的周期为2a 。

考点05 函数的基本性质（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. （2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.一、函数的单调性 1．函数单调性的定义设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义若函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间．注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是A ”与“函数在区间B 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然B A ⊆. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y x=分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．学.科 3．函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与y 的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性：①1y x x=+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减；②b y ax x =+（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减．4．函数的最值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 二、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括，则()00f =． （4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数()xxf x a a -=+为偶函数，函数()xxf x a a -=-为奇函数．②函数()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数()1log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()(log a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数．三、函数的周期性 1．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数()y f x =，0x a ∈>R ，.①若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ； ②若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ； ③若1()()a x f x f =+，则函数的周期为2a ； ④若1()()f a x x f =-+，则函数的周期为2a ； ⑤函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；⑥若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； ⑦若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； ⑧若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； ⑨若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a .考向一 判断函数的单调性1．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．典例1 函数()()212log f x x x=-的单调递增区间是A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C典例2 已知函数()()xx a x af x =≠-． （1）若2a =-，试证：()f x 在(),2-∞-上单调递增； （2）若0a >且()f x 在(1,)+∞上单调递减，求a 的取值范围． 【解析】任设122x x <<-， 则()()12121221212()22(2)(2)f x x x x x x x x x f x --=-=++++. 因为12()22(0)x x >＋＋，120x x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(),2-∞-上单调递增．【名师点睛】函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的．1．“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件考向二 函数单调性的应用函数单调性的应用主要有：（1）由12,x x 的大小关系可以判断()1f x 与()2f x 的大小关系，也可以由()1f x 与()2f x 的大小关系判断出12,x x 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．典例3 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，[)20,x ∈+∞（12x x ≠），有()()21210f x f x x x -<-，则A ．()()()324f f f <<B ．()()()123f f f <<C ．()()()213f f f -<<D ．()()()310f f f << 【答案】D典例4 已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(32)f x f x -+≥--.则31022x x x <⎧--⋅≤⎪⎨⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()(32)f x f x -+≥--的解集为0{|}1x x ≤<-．解法二：由()()()1()21221f f f f =⇒+=-，∴()()()4222f f f =+=-， ∴()()()34f x f x f -≥-+，即()3]4[()f x x f -≥-，则030(3)4x x x x -->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()(32)f x f x -+≥--的解集为0{|}1x x ≤<-．2．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++在区间(),1-∞上是单调递减函数，则实数的取值范围是 ．考向三 函数最值的求解1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[]a b ，上是增函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f a ，最大值为()f b ；若函数在闭区间[]a b ，上是减函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f b ，最大值为()f a .2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.典例5 已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】(),1-∞-1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.典例6 已知函数()223f x x x =--，若x ∈，求函数f (x )的最值．设函数f (x )的最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有2223,0()23,0t t t g t t t t ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩，2223,1()4,1123,1t t t t t t t t ϕ⎧+-≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩.【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.3．对于任意实数,a b ，定义,{},min ,a a bb a b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数()()(){n }mi h x f x g x =，的最大值是________．考向四 判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.典例7 设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C ．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C典例8 下列判断正确的是ABCD ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 【答案】B对于D ，1)(=x f 的图象为平行于轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数.4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122xxy =+D ．sin 2y x x =+ 考向五 函数奇偶性的应用1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法： （1）已知函数的奇偶性，求函数的值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式.已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可. （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()()f x f x -=，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解.（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性. 2．对称性的三个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x =-+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若对于R 上的任意x 都有()()2f a x f x -=或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称．典例9 已知定义在R 上的奇函数满足()()220f x x x x +≥=，若2()(32)f a f a ->，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－3,1)典例10 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________． 【答案】()()5,05,-+∞当0x =时，()f x x >无解；当0x <时，由()f x x >得24x x x -->，解得50x -<<. 综上，不等式()f x x >的解集用区间表示为()()5,05,-+∞．5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，()14)1(f g +-=，则g (1)等于 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1考向六 函数周期性的判断及应用（1）判断函数的周期，只需证明()()()0f x T f x T =+≠，便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0k ≠)也是函数的周期.（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.典例11 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数． 其中正确的序号是 ． 【答案】①②③6．已知函数()f x 满足()()2f x f x +=-，若()12f ->，()1732a f a+=-，则实数的取值范围是 A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()2,1-C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,1,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭考向七 函数性质的综合应用函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.典例12 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[02]，上是增函数，则 A ．(25)(11)(80)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<- C ．(11)(80)(25)f f f <<- D ．(25)(80)(11)f f f -<< 【答案】D7．设()f x 是(－∞，＋∞)上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x ＝. （1）求()πf 的值；（2）当44x ≤≤－时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积； （3）写出(－∞，＋∞)内函数()f x 的单调区间．1．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是A C ．cos y x = D ．22x y x =+ 2．已知函数()212x f x x +=+，则函数()y f x =的单调增区间是 A ．(),-∞+∞ B ．(),2-∞-C ．()2,-+∞D ．(),2-∞-和()2,-+∞3．已知()f x 满足对x ∀∈R ，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()e xf x m =+（m 为常数），则()ln5f -的值为A ．4B ．-4C ．6D ．-64．若()f x 为奇函数，且0x 是()e xy f x =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是A ．()e1xy f x -=-⋅- B ．()e 1x y f x =⋅+C ．()e 1xy f x =⋅- D ．()e 1xy f x =-⋅+5．已知()()f x g x ,是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x ,均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()22f x f x =-+，且当,0[]2x ∈-时，()1()12x f x =-.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 21)0(a f x x a =+>-恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(1D ．2)7．定义在R 上的奇函数()f x 和定义在{}|0x x ≠上的偶函数()g x 分别满足21,01,()1,1,x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩2()log (0)g x x x =>，若存在实数，使得()()f a g b =成立，则实数的取值范围是A ．[2,2]-B ．11[2,][,2]22--C ．11[,0)(0,]22-D ．(,2][2,)-∞-+∞ 8．函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为 .9．函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a = .10．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )=4x ，则f (52-)+ f (1)= .11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足||1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 .12．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若a ，b ∈，a ＋b ≠0时，有()()0f a f b a b+>+成立．（1）试判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明； （2）解不等式11()()21f x f x +<-； （3）若()221f x m am ≤-+对所有的,1[]1a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．1．（2017浙江）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关2．（2017新课标全国Ⅰ理科）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]3．（2017北京理科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数4．（2017天津理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(l o g 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c <<D ．b c a <<5．（2016山东理科）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则f (6)= A ．−2 B ．−1 C ．0D ．26．（2015湖北理科）已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 7．（2017浙江）已知a R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间上的最大值是5，则的取值范围是___________．1．【答案】C【解析】充分性：当0a <时，0x >，则()2|()|1f x ax x ax x ==-+-为开口向上的二次函数，且对称轴为102x a=<，故在区间(0,)+∞上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x 在区间(0,)+∞上为增函数． 必要性：当0a ≠时，1()0f a =，f (0)＝0，由f (x )在(0,)+∞上为增函数知，10a<，即0a <；当a＝0时，f (x )＝x 在区间(0,)+∞上为增函数，故0a ≤.综上可知，“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的充分必要条件.故选C. 2．【答案】[]3,2--3．【答案】1【解析】依题意，()2log ,023,2x x h x x x <≤⎧=⎨-+>⎩.当02x <≤时，()2log h x x =是增函数；当2x >时，()3h x x =-是减函数，则()h x 在2x =时，取得最大值，且()21h =.4．【答案】A【解析】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()11sin1f -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122xx f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x xx xf x f x ---=+=+=，所以函数()122xx f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．5．【答案】B【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()2(11)f g -+=，即()()112f g -+= ①.()14)1(f g +-=，即()()114f g += ②.由①＋②得g (1)＝3，故选B ．6．【答案】C【名师点睛】利用周期性（对称性）求参数的取值范围，一般是将含有参数的函数值利用周期性（对称性）转化为已知的函数值，再利用已知条件得出参数的不等式，解出参数的取值范围． 7．【解析】（1）由()()2f x f x +=-，得()422()[2()]()f x f x f x f x =++=-=++，∴()f x 是以4为周期的周期函数，∴()()(π14ππ)44π4ππ4()()f f f f =-=-=--=--=+-⨯. （2）由()f x 是奇函数与()()2f x f x +=-，得12[()]()[(1]1)f x f x f x --=--+=-，即()1()1f x f x =+-．从而可知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称．又当01x ≤≤时，()f x x =，且()f x 的图象关于原点成中心对称，则()f x 的图象如图所示：设当44x ≤≤－时，()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ， 则144(21)42OAB S S ==⨯⨯⨯=△.（3）函数()f x 的单调递增区间为41,4[1]()k k k -+∈Z ，单调递减区间为41,4[3]()k k k ++∈Z ．1．【答案】B【解析】对于A B 是偶函数，当0>x 时，x y lg =是增函数；对于C ，x y cos =是偶函数，但在()∞+，0不是单调递增函数；对于D ，x x y 22+=是非奇非偶函数，故选B. 2．【答案】D【解析】由20x +≠得2x ≠-，所以函数()f x 的定义域是()(),22,-∞-+∞，因为()213222x f x x x +==-++，所以函数()f x 在(),2-∞-和()2,-+∞上是增函数，所以函数()y f x =的单调增区间是(),2-∞-和()2,-+∞，故选D ． 3．【答案】B4．【答案】B【解析】由题意可得()00e 0xf x -=，所以()e0xf x ---=的一个根为0x -，方程可变形为()e 10x f x --=，又因为()f x 为奇函数，所以()e 10x f x --=，即()e 10xf x +=有一个零点为0x -.选B. 5．【答案】B【解析】一方面，若()()f x g x ,均为偶函数，则()()(),()f x f x g x g x -=-=，因此()h x -=()()()()()f x g x f x g x h x --==，∴()h x 是偶函数；另一方面，若()h x 是偶函数，但()()f x g x ,不一定均为偶函数，事实上，若()()f x g x ,均为奇函数，()h x 也是偶函数，因此，“()()f x g x ,均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的充分不必要条件，故选B. 6．【答案】D∴在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 21)0(a f x x a =+>-恰有3个不同的实数根可转化为函数()f x 的图象与()log 2a y x =+的图象有且只有三个不同的交点，则log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得a ∈2). 7．【答案】B【解析】∵21,01,()1,1,x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩∴当01x ≤<时，21[0,1)x -∈，当1x ≥时，1(0,1]x ∈，即0x ≥时，()f x 的值域为[0,1].∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴0x ≤时()f x 的值域为[1,0]-.∴在R 上的函数()f x 的值域为[1,1]-．∵定义在{}|0x x ≠上的偶函数()g x ，0x >时2()log g x x =，∴2()log (0)g x x x =≠. ∵存在实数，使得()()f a g b =成立，∴令1()1g b -≤≤，即21log 1b -≤≤，即122b ≤≤， ∴122b ≤≤或122b -≤≤-．故选B ． 8．【答案】2 【解析】1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2. 9．【答案】4 【解析】函数()f x 为偶函数, ()()11f f ∴=-,即()()()()114114a a +-=-+--,解得4a =.10．【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)f f -=，即(1)f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.11．【答案】13(,)22学’12．【解析】（1）任取12[,1]1,x x -∈，且12x x <，则21,[]1x --∈．∵()f x 为奇函数，∴()()()1212121212)()()(()()x f x f x f x f x f x x x x x f -=+-++---=⋅.由已知得1212)()(()x f x x f x +-+->0，12x x -<0，∴()()12f x f x -<0，即()()12f x f x <，∴()f x 在[]1,1-上单调递增．（2）∵()f x 在[]1,1-上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤≤⎪-⎩，解得312x -≤<-.∴不等式11()()21f x f x +<-的解集为3{|1}2x x -≤<-. （3）∵()11f =，()f x 在[]1,1-上单调递增，∴在[]1,1-上，()1f x ≤.则问题转化为2211m am -+≥，即220m am -≥对,1[]1a ∈-恒成立．下面来求m 的取值范围． 设()220g a ma m +-≥=.①若m ＝0，则()00g a =≥，对,1[]1a ∈-恒成立．②若m ≠0，则()g a 为关于a 的一次函数，若()0g a ≥对,1[]1a ∈-恒成立，必须()10g -≥，且()10g ≥，∴2m ≤-或2m ≥.∴m 的取值范围是m ＝0或2m ≥或2m ≤-.1．【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 2．【答案】D【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 3．【答案】A【解析】()()113333x xxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性. 4．【答案】C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 5．【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.6．【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.7．【答案】9(,]2-∞4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得92a =或92a <． 综上可得，实数的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．。

考点五函数的性质——单一性、奇偶性、周期性知识梳理1．函数的单一性(1)单一函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为 I ：假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一增函数．假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上涨的，减函数图象从左到右是降落的，如下图：（2）单一性与单一区间假如一个函数在某个区间M 上是单一增函数或是单一减函数，就说这个函数在这个区间M 上拥有单一性 (区间 M 称为单一区间)．2．函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的观点一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称．(2)判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都依照定义严格进行，一般步骤是：①观察定义域能否对于原点对称．②观察表达式 f(－ x)能否等于 f(x)或－ f( x)：若 f(－ x)＝－ f(x)，则 f(x) 为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)，则 f( x)为偶函数；若 f(－ x)＝－ f(x)且 f( －x) ＝f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；若 f(－ x)≠－ f(x)且 f( －x) ≠f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1) 周期函数的观点：对于函数y＝ f(x)，假如存在一个不为零的常数T，使适当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋ T)＝ f(x) 都建立，则称y＝ f(x)为周期函数，非零常数T 叫做函数的周期.(2)最小正周期：假如在周期函数 f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x) 的最小正周期．(3)一般地，假如 T 为函数 f(x)的周期，则 nT（n∈Z）也是函数 f(x)的周期，即有 f(x＋ nT)＝f(x)．(4) 最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x 要加上的最小正数，这个正数是相对x 而言的．其实不是全部的周期函数都有最小正周期，比方常数函数最小正周期．f(x)＝ C（ C 为常数）就没有典例分析题型一函数单一性的判断例 1以下函数中，在区间 (0，＋∞ )上为增函数的是 ________. (填序号 )① y＝x＋ 1② y＝ (x－ 1)2－ x④ y＝ log0.5 (x＋1)③ y＝ 2答案①分析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞ )上为减函数，选① .变式训练以下函数中，知足“f(x＋ y)＝ f(x)f(y)”的单一递加函数是 ________. ( 填序号 )131 x x2① f(x)＝ x② f(x)＝ x③ f(x)＝2④ f(x)＝ 3答案④1111分析f(x)＝x2， f(x＋y) ＝ (x＋y) 2≠ x2· y2，不知足f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，①不知足题意．f(x)＝ x3， f(x＋ y)＝ (x＋ y)3≠ x3· y3，不知足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不知足题意．1x1x＋ y1x1y1xf(x)＝2，f( x＋y)＝2＝2·2，知足 f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，但 f( x)＝2不是增函数，③不知足题意．x x＋ y x y xf(x)＝ 3 ， f(x＋ y)＝ 3＝3· 3，知足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3是增函数，④知足题意．(1)定义法：先求定义域，再依据取值、作差、变形、定号的次序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或许函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单一性．(3)转变法：转变为已知函数的单一性，即转变为已知函数的和、差或复合函数，再依据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确立函数的单一性．(4)导数法：先求导，再确立导数值的正负，由导数的正负得函数的单一性．题型二函数单一性的应用例 2假如函数f(x)＝ ax2＋2x－ 3 在区间 (－∞， 4)上是单一递加的，则实数 a 的取值范围是________.答案－14≤ a≤ 0分析当 a＝ 0 时， f(x)＝ 2x－ 3，在定义域R 上是单一递加的，故在(－∞， 4)上单一递加；当 a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1 a，由于 f( x)在 (－∞， 4)上单一递加，所以a<0，且－1≥4，解得－1≤ a<0. a4综合上述得－1≤ a≤ 0. 4变式训练函数 f(x)＝1在区间 [a， b]上的最大值是1，最小值是1，则 a＋ b＝________. x－ 13答案6分析易知 f(x)在 [a， b]上为减函数，f a ＝ 1，1＝1，a＝ 2，a－ 1∴ a＋b＝ 6.∴1即∴1 ＝1，f b ＝3，b＝ 4.b－ 13解题重点 1.利用单一性求参数．①视参数为已知数，依照函数的图象或单一性定义，确立函数的单一区间，与已知单一区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a， b]上是单一的，则该函数在此区间的随意子集上也是单一的．③注意数形联合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单一性求最值．应先确立函数的单一性，而后再由单一性求出最值．题型三求函数的单一区间例 3求函数 y＝ log 1 (x2－ 4x＋3) 的单一区间．3分析令 u＝ x2－ 4x＋ 3，原函数能够看作y＝ log 1 u 与 u＝ x2－ 4x＋ 3 的复合函数．3令 u＝ x2－ 4x＋ 3>0，则 x<1 或 x>3.∴函数 y＝ log 1 (x2－4x＋ 3)的定义域为 (－∞， 1)∪ (3，＋∞)．3又 u＝ x2－ 4x＋ 3 的图象的对称轴为x＝ 2，且张口向上，∴u＝ x2－ 4x＋ 3 在(－∞， 1)上是减函数，在 (3，＋∞)上是增函数．而函数 y＝ log 1 u 在 (0，＋∞)上是减函数，3∴y＝ log 12－ 4x＋ 3)的单一递减区间为(3，＋∞)，单一递加区间为 (－∞， 1)．(x3解题重点 1.求单一区间的常用方法：(1)定义法； (2) 图象法； (3) 导数法．2．求复合函数y＝ f(g(x))的单一区间的步骤：(1)确立定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝ f(u)， u＝ g(x)；(3)分别确立这两个函数的单一区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝ f(g(x)) 为增函数；若一增一减，则y＝ f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单一区间时需注意两点：①最后结果写成区间的形式；②不行忽略定义域．题型四判断函数的奇偶性例 4判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)＝ x3－ x；(2)f(x)＝ (x＋ 1)1－ x；1＋ x(3)f(x) ＝ 3－ x2＋ x2－ 3.分析(1) 定义域为R，对于原点对称，又 f(－ x)＝ (－ x)3－ (－ x)＝－ x3＋ x＝－ (x3－ x)＝－ f(x)，∴函数为奇函数．1－x(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．1＋x∵函数定义域不对于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3) 由于 f(x)定义域为 { －3，3} ，所以 f(x)＝ 0，则 f(x)既是奇函数也是偶函数．解题重点判断函数单一性的两个步骤： 1.判断函数定义域能否对于原点对称；2.判断 f(－ x)与 f(x)关系 . 若 f( －x)＝－ f(x)或是利用以下两个等价关系式进行判断：若则函数为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)则函数为偶函数．f(x)＋ f(－ x)＝ 0 则函数为奇函数；若 f(x)－ f(－ x)＝0 则函数为偶函数．题型五函数的周期性例 5已知 f(x)是定义在R上的偶函数，而且 f(x＋ 2)＝－1，当 2≤ x≤ 3 时，f(x)＝ x，则 f(105.5) f x＝______.答案 2.5分析由已知，可得f(x＋ 4)＝ f[(x＋ 2)＋ 2]＝－1＝－1＝ f( x)．1f x＋ 2－f x故函数的周期为 4.∴f(105.5)＝f(4 ×27－2.5)＝ f(－ 2.5)＝f(2.5) ．∵2≤2.5 ≤3，由题意，得 f(2.5)＝ 2.5.∴f(105.5)＝2.5.解题重点对于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1) 若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝2a；1(2) 若 f(x＋ a)＝f（x），则 T＝ 2a；1(3) 若 f(x＋ a)＝－，则T＝2a.f（ x）题型六函数性质的综合运用1例 6已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞ )上单一递加，则知足f(2x－ 1)<f 3的 x 的取值范围是________．答案1， 233分析偶函数知足 f(x)＝ f(|x|)，依据这个结论，11有 f(2x－ 1)<f 3 ?f(|2x－ 1|)< f 3，1从而转变为不等式|2x－1|<3，解这个不等式即得x 的取值范围是1， 2.3 3当堂练习1. 函数 f(x) ＝x3－x 的图象对于 ________对称 .答案原点分析由 f(－ x)＝ (－ x)3－(－ x)＝－ x3＋ x＝－ f(x)，知 f(x)是奇函数，则其图象对于原点对称．2．已知定义在R上的奇函数 f( x)，知足 f(x＋4)＝ f(x)，则 f(8) 的值为 ________．答案0分析∵ f(x)为奇函数且 f(x＋ 4)＝f(x)，∴ f(0)＝ 0， T＝ 4，∴ f(8)＝ f(0) ＝ 0.3．已知 f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－ g(x)＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1) ＝________．答案 1分析由于 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，所以 f(1) ＋ g(1) ＝ f(－ 1)－ g(－ 1)＝ (－ 1)3＋ (－ 1)2＋ 1＝1.4．函数 f(x)＝log 1 (x2－ 4) 的单一递加区间是 ________．2答案(－∞，－2)分析由于y＝ log1 t在定义域上是减函数，所以求原函数的单一递加区间，即求函数t ＝x22－4 的单一递减区间，联合函数的定义域，可知所求区间为5．函数 y＝ f( x)是定义在 [ － 2，2]上的单一减函数，且f( a＋(－∞，－ 2)．1)< f(2a)，则实数 a 的取值范围是________．答案[－ 1， 1)－ 2≤ a＋ 1≤ 2，分析由条件－ 2≤ 2a≤2，解得－1≤ a<1.a＋ 1>2a，课后作业一、填空题1．以下函数中，既是奇函数又是增函数的为________． (填序号 )①y＝ x＋ 1② y＝－ x21④ y＝ x|x|③ y＝x答案④2．函数 y＝1－1________．(填序号 ) x－ 1①在 (－ 1，＋∞ ) 上单一递加②在 (－ 1，＋∞ )上单一递减③在 (1，＋∞ )上单一递加④在 (1，＋∞ )上单一递减答案③3．以下函数中，在区间(－∞， 0)上是减函数的是 ________． (填序号 )①y＝ 1－ x2②y＝ x2＋ x③y＝－－ x④ y＝xx－ 1答案④4．以下函数 f(x)中，知足“对随意x1，x2∈ (0，＋∞ )，都有f x2－f x1<0”的是 ________．(填x2－ x1序号 )①f(x)＝1② f(x)＝ (x－1) 2③ f(x)＝ e x④ f(x)＝ ln(x＋ 1) x答案①分析知足 f x2－ f x1<0 其实就是 f(x)在 (0，＋∞)上为减函数，应选① .x2－x15．已知 f(x)是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1) ＝2， f(1) ＋ g(－ 1)＝ 4，则 g(1) 等于________． 答案 3分析∵ f(x)为奇函数，∴ f(－ 1)＝－ f(1) ，又 g(x)为偶函数，∴ g(－ 1)＝ g(1) ，∴－ f(1) ＋ g(1)＝2， f(1) ＋g(1) ＝ 4，将两式相加得 2g(1) ＝ 6，∴ g(1)＝ 3.6．以下函数中，既是偶函数又在 (0，＋∞ ) 单一递加的函数是 ________． (填序号 ) ①y ＝ x 3 ②y ＝ |x|＋ 1③ y ＝－ x 2＋1④y ＝ 2－ |x|答案②7．若函数 y ＝ x 2＋ (2a － 1)x ＋ 1 在区间 (－∞，2]上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ________．答案－∞，－322a － 1 3.分析由题意得－ ≥ 2，得 a ≤－2 28．定义在 R 上的函数 f(x)的图象对于直线 x ＝ 2 对称，且 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数， 则 f(－1)与 f(3)的大小关系是 ________． 答案 f(－ 1)＜ f(3)分析依题意得 f(3) ＝f(1)，且－ 1＜ 1＜ 2，于是由函数 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数得 f(－ 1)＜ f (1)＝ f(3) ．9．函数 y ＝x 2－ 2x( x ∈[2,4]) 的增区间为 ________． 答案[2,4]10．设 f(x) 是以 2 为周期的函数，且当 x ∈[1,3) 时， f( x)＝ x － 2，则 f(－ 1)＝ ________.答案 － 1分析由题知， f(－1)＝ f(－1＋ 2)＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1.11．给出以下命题12①y ＝ x 在定义域内为减函数；②y ＝ (x － 1) 在 (0，＋∞ )上是增函数； ③y ＝－ 1在(－∞， 0)上为增函数；④ y ＝ kx 不是增函数就是减函数．x 此中错误命题的个数有 ________． 答案 3分析①②④错误，此中④中若 k ＝ 0，则命题不建立．二、解答题－ 2x12．证明函数 g(x)＝ x － 1在 (1，＋∞ )上单一递加．证明： 任取 x 1，x 2∈ (1，＋∞ )，且 x 1 <x 2，－ 2x1－2x2 2 x1－x2则 g(x1 )－ g(x2)＝－＝，x1－ 1x2－ 1x1－ 1 x2－ 1由于 1<x1<x2，所以 x1－x2<0， (x1－1)(x2－ 1)>0 ，所以 g(x1 )－g(x2)<0 ，即 g(x1)< g(x2)．故 g(x) 在 (1，＋∞ )上是增函数．13．已知奇函数 f(x)的定义域为 [－ 2,2] ，且在区间 [ － 2,0] 上递减，求知足 f(1－m)＋ f(1－ m2)<0 的实数 m 的取值范围．解∵ f(x)的定义域为 [ － 2,2]．－2≤1－ m≤ 2，∴有解得－ 1≤ m≤ 3.①－2≤1－ m2≤2，又 f(x)为奇函数，且在 [ － 2,0]上递减，∴f(x)在 [ － 2,2] 上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)? 1－m>m2－1，即－ 2<m<1.②综合①②可知，－ 1≤ m<1.即实数 m 的取值范围是[－ 1,1)．。

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳知识点精讲函数奇偶性定义设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数. 性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称；函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记)]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([21)(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇)(÷⨯奇=偶；奇)(÷⨯偶=奇；偶)(÷⨯偶=偶.（7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.函数的单调性定义一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ⊆，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间.注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”.单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.设],[,21b a M x x =∈且21x x <，则)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x .)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x .性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(x f 为增函数，则)(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ，则xx f y 1)(1==为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立: 若)(x f 为增函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 函数的周期性定义设函数))((D x x f y ∈=，如存在非零常数T ，使得对任何D T x D x ∈+∈,，且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D 中的任何一个x ，都满足)()(x f T x f =+；若)(x f 是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.性质若)(x f 的周期为T ，则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期，并且有)()(x f nT x f =+.有关函数周期性的重要结论（如表所示）()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T -=；（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T -=；（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T -=.题型归纳及思路提示题型1 函数的奇偶性思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性.（1）3|3|36)(2-+-=x x x f ； （2）11)(22-+-=x x x f ； （3）)1(log )(22++=x x x f ；（4）2|2|)1(log )(22---=x x x f ； （5）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .解析 （1）由3|3|36)(2-+-=x x x f 可知⎩⎨⎧-≠≠≤≤-⇒⎩⎨⎧≠-+≥-606603|3|0362x x x x x 且，故函数)(x f 的定义域为}6006|{≤<<<-x x x 或，定义域不关于原点对称，故)(x f 为非奇非偶函数.(2)由110101222±=⇒=⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x x ，故函数)(x f 的定义域为}1,1{-，关于原点对称，故0)(=x f ，所以)()()(x f x f x f -==-，所以函数)(x f 既是奇函数又是偶函数.(3)因为对任意实数x ，都有0||12≥+>++x x x x ，故定义域为R.且)()1(log 11(log )1(log )(222222x f x x x x x x x f -=++-=++=-+=-），故)(x f 为奇函数.(4)由100102|2|012<<<<-⇒⎩⎨⎧≠-->-x x x x 或，定义域关于原点对称. 此时，xx x x x f --=---=)1(log 2|2|)1(log )(2222，故有)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数. (5)当0<x 时，)()(,02x f x x x f x -=--=->-；当0>x 时，)()(,02x f x x x f x -=-=-<-.故)(x f 为奇函数.评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：①首先必须判断)(x f 的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=+-x x x x x f x f ，即)()(x f x f -=-，故)(x f 为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.变式1：判断下列函数的奇偶性.（1）xx x x f -+-=11)1()(； （2）24|3|3)(x x x f -+-=； （3）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+=)1(2)11(0)1(2)(x x x x x x f ；（4）|2||2|)(++-=x x x f .变式2：已知函数2lg )2lg()(2-++=x x x f ，试判断其奇偶性.【例2.26】已知函数),0()(2R x x xa x x f ∈≠+=，试判断其奇偶性. 分析 利用函数奇偶性的定义进行判断.解析 当0=a 时，2)(x x f =，满足)()(x f x f =-，故)(x f 为偶函数；当0≠a 时，xa x x f x a x x f -=-+=22)(,)(，假设)()(x f x f =-对任意R x ∈，0≠x 恒成立，则此时0=a ，与前提矛盾；假设)()(x f x f -=-对任意R x ∈，0≠x 恒成立，则此时022=x ，即0=x ，与条件定义域},0|{R x x x ∈≠矛盾.综上所述，当0=a 时，)(x f 为偶函数；当0≠a 时，函数)(x f 为非奇非偶函数.评注 ①函数)(x f 是奇函数⇔0)()(=-+x f x f ；函数)(x f 是偶函数0)()(=--⇔x f x f .奇偶函数②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由2x 与x a 通过加法法则运算得到的函数，而2x y =为偶函数，)0(≠=a x a y 为奇函数，故当0≠a 时，)(x f 为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当0=a 时，则2)(x x f =为偶函数.变式1：函数)()1221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数，并且)(x f 不等于零，则)(x f 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数变式2：对于函数R x x f y ∈=),(，“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”是“)(x f 是奇函数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例 2.27】定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f ，试判断)(x f 的奇偶性.分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到)(x f 与)(x f -的关系.解析 由函数定义域为R 可知定义域关于原点对称.依题意可令0,0==y x ，得2)]0([2)0(2f f =，因为0)0(≠f ，所以1)0(=f .令0=x ，可得)(2)()(y f y f y f =-+，即)()(y f y f -=，所以)()(x f x f -=，故函数)(x f 为偶函数.评注 对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1,1,0-=x 等）凑成含有)(x f 与)(x f -的关系的式子，然后进行判断.变式1：已知函数)(x f 在R 上有定义，且对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，试判断)(x f 的奇偶性.变式2：若定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x x ∈21,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ，则下列说法正确的是（ ）A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.)(x f +1为奇函数D.)(x f +1为偶函数变式3：已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义，且对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+，试判断函数)(x f 的奇偶性.变式4：已知)(x f ，)(x g 在R 上有定义，对任意的R y x ∈,，有)()()()()(y f x g y g x f y x f -=-，且0)1(≠f .(1)求证：)(x f 为奇函数；(2)若)2()1(f f =，求)1()1(-+g g 的值.【例 2.28】已知偶函数1)1()(23++-=mx x a x f 的定义域为),83(2m m m --，则=+a m 2______________.分析 定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件.解析 因为)(x f 为偶函数，故其定义域必关于原点对称，所以0832=--m m ，且m m m <--832，解得4=m .由函数)(x f 为偶函数得3x 的系数为0，则01=-a ，即1=a ，故62=+a m .变式1：若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则=a （ ） 21.A 32.B 43.C 1.D 变式2：若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.变式3：若a x f x +-=121)(是奇函数，则=a _____________.变式4：函数k k k x f xx(212)(⋅+-=为常数）为其定义域上的奇函数，则=k ____________.变式5：函数)1)(11(log )(>--=a x kx x f a 为其定义域上的奇函数，则=k __________.【例2.29】已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f =_______________.解析 当0>x 时，则44)()()(,0x x x x x f x --=---=-<-，因为)(x f 是偶函数，所以)(x f 4)(x x x f --=-=，故当),0(+∞∈x 时，4)(x x x f --=.评注 解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.变式1：已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且当0>x 时，2)(x x x f -=，求函数)(x f 的解析式.【例2.30】已知)(x f 为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：)(x f 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.分析 先设)(x f 能写成一个函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，再利用奇偶函数的定义列方程组，解方程组即得.解析 先假设存在)()()(x h x g x f +=……………①其中)(x g 为奇函数，)(x h 是偶函数，则)()()()()(x h x g x h x g x f +-=-+-=-………②由①+②得，2)()()(x f x f x h -+=，由①-②得，2)()()(x f x f x g --=. 由此，我们得出结论，对定义域关于原点对称的函数)(x f ，都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和.变式1：已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x .若a g =)2(，则)2(f =（ ）2.A 415.B 417.C 2.a D变式2：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（ ）A.|)(|)(x g x f +是偶函数 |)(|)(.x g x f B -是奇函数)(|)(|.x g x f C +是偶函数 )()(|.x g x f D -是奇函数【例2.31】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f -的值为（ ）3.A 0.B 1.-C 2.-D分析 函数1sin )(3++=x x x f 中x x y sin 3+=为奇函数，借助奇函数的性质求解.解析 令x x x g sin )(3+=，得1)()(+=x g x f ，依题意得，21)(=+a g ，所以1)(=a g .由)(x g y =为奇函数，故1)()(-=-=-a g a g ，所以01)()(=+-=-a g a f ，故选B.评注 本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当)(x f 为奇函数时，0)()(=+-x f x f ，特别地0)()(max min =+x f x f .变式1：对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是（ ）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2变式2：已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=，5))10(lg(log 2=f ，则=))2(lg(lg f ( )A.5-B.5-C.3D.4变式3：设函数1sin )1()(22+++=x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则.______=+n M题型2 函数的单调性（区间）思路提示判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.【例2.32】求证：函数)0()(>+=a xa x x f 在),[+∞a 上是增函数. 分析 利用函数单调性的定义来证明. 解析 设任意的两个实数),[,21+∞∈a x x 且21x x <，则有)1)()()()(2121212121x x a x x x a x a x x x f x f --=++-=-（.因为),[,21+∞∈a x x ，所以a x x >21，0,012121<->-x x x x a ，)()(0)()(2121x f x f x f x f <⇒<-，故)(x f 在),[+∞a 上是增函数. 评注 利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的21,x x 在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1：已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，满足2)()()(++=+y x f y f x f ，当0>x 时，2)(>x f ，求证：)(x f 在R 上是增函数.变式2：定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)()()(b f a f b a f ⋅=+.（1）求证：1)0(=f ；（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）证明：)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围.【例2.33】设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围是（ ） ),2.[+∞-A ]2,.(--∞B ),2.[+∞C ]2,.(-∞D分析 作出函数的图象，找出递减区间，从而确定a 的取值范围.解析 由5||42+-=x x y 得，)()(x f x f =-，知)(x f y =为偶函数，其图象关于y 轴对称.只要画出当0≥x 时的图象，然后作出其关于y 轴对称的图形即可得到0<x 部分的图象，如图所示.可知，若),(a -∞为函数)(x f 的减区间，则2-≤a .故选B.变式1：下列区间中，函数|)2ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是（ ） ]1,.(-∞A ]34,1.[-B )23,0.[C )2,1.[D变式2：（2012上海理7）已知函数a e x f a x ()(||-=为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________________.变式3：定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间]2,1[上是减函数，则)(x f （ ）A.在区间]1,2[-上是增函数，在区间]4,3[上是减函数B.在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C.在区间]1,2[-上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D.在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数变式4：已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）)1,0.(A )31,0.(B )31,71.[C )1,71.[D题型3 函数的周期性 思路提示（1）)0(||)()(≠=⇒=+a a T x f a x f ；)(||)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+=+； （2）)0(||2)()(≠=⇒-=+a a T x f a x f ； )(||2)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+-=+；)0,(||2)()(≠≠-=⇒=+⋅+c b a b a T c b x f a x f . （3）)0(||6),2()()(≠=---=a a T a x f a x f x f . 【例2.34】已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则=)2014(f ___________. 解析 1)(1(,)(1)1(=⋅+=+x f x f x f x f ），有1)2()1(=+⋅+x f x f ，所以)2()(+=x f x f ，故2=T ，所以81)1(1)0()2014(===f f f .变式1：函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f ____.【例 2.35】已知函数)(x f 满足),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==，则=)2010(f _____________.解析 令)1()1()()1()1()1()(4,1-++=⇒-++==x f x f x f x f x f f x f y)1()()1(--=+⇒x f x f x f ，6=T ，所以)0()2010(f f =，又令0,1==y x ，有)1()1()0()1(4f f f f +=，所以21)2010(,21)0(==f f .【例 2.36】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（ ）A.0B.21C.1D.25分析 )(x f 为偶函数，有)()1()1(x f x x xf +=+，只能从x x =+1或者01=++x x 时入手. 解析当01=++x x 时，即21-=x 时，)21(21)21(21)21(21f f f =-=-，得0)25(,0)23(,0)21(===f f f ，故选A. 评注 本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当Z x ∉时，x x f x x f )(1)1(=++.令xx f x g )()(=，则1)1()1(++=+x x f x g .所以)()1(x g x g =+，1=T ，令21-=x ，得0)21(),21(21)21(21)21(21==-=-f f f f .因为)21(25(g g =），即021)21(25)25(==f f .故0)25(=f .变式1：已知a 为非零常数，R x ∈且)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，试判断)(x f 的周期性.题型4 函数性质的综合 思路提示（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.如函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b 中心对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f --=--=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 的图象关于直线a x =和直线b x =轴对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=-=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 关于点)0,(a 中心对称，且关于直线b x =轴对称，可得)(||4b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=--=，所以)2()2(x b f x a f -=--，故)()44(x f x a b f =+-，||4b a T -=.【2.37】定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则当*N n ∈时，有（ ）)1()1()(.+<-<-n f n f n f A )1()()1(.+<-<-n f n f n f B )1()()1(.-<-<+n f n f n f C )()1()1(.n f n f n f D -<-<+ 分析 偶函数关于y 轴对称，关于y 轴对称的两部分图象单调性相反.解析 由]0,(,21-∞∈∀x x ，有0)]()()[(2121>--x f x f x x 可得]0,(-∞∈x 时，)(x f 单调递增，因为)(x f 为偶函数，所以当),0(+∞∈x 时，)(x f 单调递减，所以自变量绝对值越小，所对应的的函数值越大.因为110+<<-≤n n n ，所以)1()()()1(+>-=>-n f n f n f n f ，故选C.变式1：已知定义域为R 的函数)(x f 在区间),8(+∞上减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ） )7()6(.f f A > )7()6(.f f B > )9()7(.f f C > )10()7(.f f D >变式2：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（ ） )32,31.(A )32,31.[B )32,21.(C )32,21.[D变式3：设函数)(x f 是奇函数，并且在R 上为增函数，若20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）)1,0.(A )0,.(-∞B )21,.(-∞C )1,.(-∞D变式4：设函数}{,1)3()(3n a x x x f -+-=是公差不为0的等差数列，14)(...)()(721=+++a f a f a f ，则=+++721...a a a （ ）A. 0B. 7C. 14D. 21【例2.38】函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则（ ） A.)(x f 是偶函数 B.)(x f 是奇函数 C.)2()(+=x f x f D.)2(+x f 是奇函数 分析 由奇偶性⇒对称性⇒周期性.解析 因为)1(+x f 为奇函数，所以)1()1(+-=+-x f x f ，故)0,1(为函数)(x f 的对称中心，由)1(-x f 为奇函数，同理)0,1(-也为函数)(x f 的对称中心，利用结论知函数)(x f 的周期为4，则)1()3(-=+x f x f ，所以)3(+x f 为奇函数.故选D.变式1：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =，)2(),2(f c f b ==，则c b a ,,的大小关系是（ ）c b a A >>. b c a B >>. a c b C >>. a b c D >>.变式2：已知定义在R 上奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（ ） )80()11()25(.f f f A <<- )25()11()80(.-<<f f f B)25()80()11(.-<<f f f C )11()80()25(.f f f D <<-【例2.39】定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则)7()4()1(f f f ++=( ) 1.-A 0.B 1.C 4.D 解析 因为)(x f 的T=2，且是定义在R上的奇函数，所以0)0(=f ，则0)1()0()1()7()4()1(=-++=++f f f f f f ，故选B.变式1：已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9【例2.40】函数)(x f 的定义域为D ，若对任意的D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在]1,0[上为非减函数，且满足以下3个条件：①0)0(=f ；②)(21)3(x f x f =；③)(1)1(x f x f -=-，则=+)81()31(f f ( ) 43.A 21.B 1.C 32.D解析 21)1(21)31(==f f ，也可得41)31(21)91(==f f ，由)(1)1(x f x f -=-可得21)21(=f ，所以41)21(21)61(==f f .因为当1021≤<≤x x 时都有)()(21x f x f ≤，所以可由618191<<得，)61()81()91(f f f ≤≤，即41)81(=f ，所以43)81()31(=+f f .故选A.变式1：定义在R 上的函数满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(21)3(x f x f =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20101(f ___________.变式2：设)(x g 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数)()(x g x x f +=在区间]4,3[上的值域为]5,2[-，则)(x f 在区间]10,10[-上的值域为_____________.变式3：对于定义域为]1,0[的连续函数)(x f ，如果同时满足以下3个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ；②1)1(=f ；③若1,0,02121≤+≥≥x x x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立，则)(x f 为理想函数.（1）若函数为理想函数，求)(x f 的值域；（2）判断函数])1,0[(12)(∈-=x x g x是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数)(x f 为理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =.最有效训练题1.已知函数)32(log )(22--=x x x f ，现使)(x f 为减函数的区间是（ ） )6,3.(A )0,1.(-B )2,1.(C )1,.(--∞D2.已知函数]3,2[,)(2-∈=x x x f ，如果存在实数]3,2[,21-∈x x ，使得对任意实数]3,2[-∈x ，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则||21x x -的值是（ ）A.0B.2C.3D.53.函数)(x f )(R x ∈的图象如图所示，则下列哪个区间是函数)10)((log )(<<=a x f x g a 的单调减区间（ ）]21,0.[A ),21[)0,.(+∞-∞ B ]1,.[a C ]1,.[+a a D4.已知函数⎩⎨⎧≥<-=)2()2()4()(x a x x a x f x在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） ]4,1.(A )4,2.(B )4,2.[C ),4.(+∞D5.函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)1,0(∈x 时，12)(-=xx f ，则)12(log 2f 的值为（ ）31.A 34.B 2.C 11.D 6.设2)(3-+=x x x f ，若5)(,1)(-==b f a f ，则=+b a ( ) 2.-A 0.B 1.C 2.D7.设函数))(()(R x ae e x x f xx∈+=-是偶函数，则实数=a __________.8.(1)奇函数)(x f 的定义域为]5,5[-，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集是__________.(2)已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是________.9．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且2()()23f x g x x x +=++，则()()f x g x -=_________.10.已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+()x R ∈的最大值为M ,最小值为m ，则M m +的值为___________.11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-.当[0,2]x ∈时,2()2f x x x =-.（1）求证: ()f x 是周期函数；（2）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++.12．已知定义域为R 的函数1()41xf x a =++是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.。

第3讲函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(2017·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是()A.y＝xB.y＝e xC.y＝cos xD.y＝e x－e－x解析A，B中显然为非奇非偶函数；C中y＝cos x为偶函数.D 中函数定义域为R ，又f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数. 答案 D3.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A.－13B.13C.12D.－12解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝13.答案 B4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 ∵f (x )的周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 又∵当－1≤x <0时，f (x )＝－4x 2＋2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 答案 15.(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1).又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3).∴f (－1)＝3.答案 36.(2017·湖州调研)设a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ＋1－2，x ≤0，g （x ），x >0为奇函数，则a ＝________，g (f (2))＝________.解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即a 0＋1－2＝0，∴a ＝2；当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－(2－x ＋1－2)＝2－2－x ＋1，即g (x )＝2－2－x ＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1－2，x ≤0，2－2－x ＋1，x >0，f (2)＝2－2－2＋1＝2－12＝32>0，。

第三讲函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。

如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。

()()()()121200f x f x x x -><→-增减 任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。

有时也根据导数。

()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。

（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1） 一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。

2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。

（2） 二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。

（3） 反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。

考点5 函数的基本性质一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:1.1函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义：对于函数)(x f 定义域内定义域内任意一个x ，若有()()f x f x -=-，则函数)(x f 为奇函数；若有()()f x f x -=，那么函数)(x f 为偶函数（2）奇偶函数的性质：①定义域关于原点对称；②偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称；③ 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．④ ()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．⑤若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．⑥奇函数在相对的区间上具有相同的单调性，偶函数在相对的区间上具有相反的单调性.1.2函数的单调性（1）单调性定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A . 区间A I ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有12()(),f x f x ＜那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x ＝的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有)()(21x f x f >，那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x ＝的单调减区间．（2）函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论②运算法则法：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数是减函数；③导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.④复合函数的单调性：同增异减，即内外单调性相同时，为增函数，不同时，为减函数. ⑤图像法：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减.(3)单调性应用：已知含参数的可导函数()f x 在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数的关系，转化为在该区间上()f x '＞0（＜0）恒成立问题，通过参变分离或分类讨论求出参数的范围，再验证参数取等号时是否符合题意，若满足加上.1.3对称性与周期性（1）周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．（2）关于函数周期性常用的结论①若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ②若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ③若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). ④如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． ⑤函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．⑥函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．⑦函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．（3）函数()y f x =的图象的对称性结论①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2b a x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b +； ⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.1.4.函数图像及其应用（1）函数)(x f y =的图象变换①将函数()y f x ω=图像0)((0))||a a a ><向左(向右单位(())y f x a ω=+的图象；②将函数)(x f y =图像0)((0))||b b b ><向上(向右单位()y f x b =+的图象；③将函数)(x f y =图像x x x 轴下方部分沿轴对折到轴上方|()|y f x =的图象；④将函数)(x f y =图像y 擦除轴左侧部分将y 轴部分沿y 轴对折(||)y f x =的图象； ⑤将函数)(x f y =图上1ω所有点的横坐标变为原来的倍()y f x ω=的图象;⑥将函数)(x f y =图上A 所有点的纵坐标变为原来的倍()y Af x =的图象.（2）函数图象的识别策略：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤利用特殊点进行排除.2.命题规律展望：对函数性质的考查是高考命题的重点和热点，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的图像以及几方面的综合，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题，属中低档题，或者结合导数研究函数性质的大题，也应为同学们必须得分的题目.二、题型与相关高考题解读1.函数单调性的判定与性质应用1.1考题展示与解读例 1【2017北京，理5】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【命题意图探究】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判定，是基础题.【答案】A【解析】()()113333x x xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】给定函数①12y x =，②1y x =，③1y x =-，④cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中既是奇函数又在区间()0,1上是增函数的是A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】 D 【变式2：改编结论】若函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题意得，因为函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则1001{01a a a -<<<⇒<<且()log 21222a a a a ≤-⨯-⇒≥，综合可得实数a的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭. 【变式3：改编问法】已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，实数a 使得()()212f ax x f a --<-对于任[]0,1x ∈都成立，则实数a 的取值范围是( )A. (),1-∞B. []2,0-C. (22---+D. []0,1【答案】A【解析】由条件得1−ax −x 2<2−a 对于x ∈[0,1]恒成立令g (x )=x 2+ax −a +1,只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可。

函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。

考点5 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【考点剖析】一．最新考试说明：1．理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性． 2．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性． 3．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 二．命题方向预测：1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．2．函数的奇偶性是高考考查的热点．3．函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．4．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题． 三．课本结论总结：1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等．2．若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =．即0()f x∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件． 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==．3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等． 4．若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为()()()()()1122f x f x f x f x f x =+-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和．5．既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）． 6．复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）．7．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称． 8．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称． 9．函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称． 10．函数xy a =与函数()log 0,1a y x a a =>≠的图像关于直线y x =对称．四、名师二级结论： 一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y=x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 一条规律函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性． 两个应用1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 三种方法判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法． 判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f (－x )＝±f (x ) ⇔ f (－x )±f (x )＝0⇔()()f x f x -＝±1，f(x)≠0． 五、课本经典习题：(1)新课标人教A 版必修一第36页练习第1（3）题判断下列函数的奇偶性：()21x f x x+=．【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式． (2)新课标人教A 版必修一第44页复习参考题A 组第八题设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-．【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展． (3)新课标人教A 版必修一第83页复习参考题B 组第3题【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展． (4)新课标人教A 版必修一第83页复习参考题B 组第4题设(),()22x x x xe e e ef xg x ---+==，求证： （1）[][]22()()1g x f x -=；（2）(2)2()()f x f x g x =∙；（3）[][]22(2)()()g x g x f x =+． 【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展． 六．考点交汇展示：(1)函数的奇偶性与函数的零点交汇例1．【2018届湖北省荆州中学高三上学期第二次】已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时， ()()121,02{ 12,22x x f x f x x --<≤=->，则函数()()41g x f x =-的零点个数为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10 【答案】D【解析】求函数()()41g x f x =-的零点个数只需考查方程()14f x =的实根个数， 当02x <≤时， ()11121,1221{ 11,012x x x x f x x ----<≤=-=⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭， ()f x 在(]0,1上递减，在(]1,2上递增， ()21f =，值域为[]0,1.当2x >时， ()()122f x f x =- 当24x <≤时，函数()f x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当46x <≤时，函数()f x 的值域为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当68x <≤时，函数()f x 的值域为10,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ()14f x =在0x >上有5个实根，又函数为偶函数， ()14f x = 在()(),00,-∞⋃+∞上有10个实根，函数()()41g x f x =-的零点个数为10个，选D. (2) 函数的周期性与函数的零点交汇例2．【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p =，则10()nm q p= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉ 因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈ 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉ 的部分的交点，(3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题例3．【2017河北定州中学】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()2,0111,12x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩,则方程()1f x x =在[]3,5-上的所有实根之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】C【考点分类】热点一 函数的单调性1．【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（ ） A.11y x=- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 【答案】D【解析】由12()2x x y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D.2.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A3．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） （A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =【答案】D【解析】A 选项：由()()12f x y x y +=+，()()111222()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以B 错误；C 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以C 错误；D 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3x f x =是定义在R 上增函数，所以D 正确．故选D 【方法规律】1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．3．函数单调性的应用：f (x )在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f (x 1)<f (x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)<0，若函数是增函数，则f (x 1)< f (x 2)⇔x 1<x 2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行． 【易错点睛】误区1．求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错 【例1】求y【错解】令t ＝x 2－4x －12，则t ＝x 2－4x －12在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，又yy(－∞，2]与[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增．【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤－2或x≥6}．【正解】由x 2－4x －12≥0，得x≤－2或x≥6，令t ＝x 2－4x －12，则t ＝(x －2)2－16在(－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数．又y是增函数，所以y的单调区间是(－∞，－2]与[6，＋∞)，其中在(－∞，－2]上递减，在[6，＋∞)上递增． 【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识． 误区2． 忽视隐含条件致误 【例2】已知f(x)＝(31)(4),1,1a a x a x log x x -+<⎧⎨≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )()1101? 0? 13311()[)[)77A B C D ．，．，．，．， 【错解】误选B 项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知道函数在R 上为减函数，还需使得f(x)＝(3a －1)x ＋4a 在x ＜1上的最小值不小于f(x)＝log a x 在x≥1上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误． 【正解】据题意使原函数在定义域R 上为减函数，只需满足：31001(31)(14)1a a a a a log -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩11a<73⇒≤．故选C ． 【点评】一般地，若函数f(x)在区间[a ，b)上为增函数，在区间[b ，c]上为增函数，则不一定说明函数f(x)在[a ，c]为增函数，如图（1），由图像可知函数f(x)在[a ，c]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f(x)在[a ，c]上为增函数，若图象满足如图（2），即可说明函数在[a ，c]上为增函数，即只需f(x)在[a ，b)上的最大值不大于f(x)在[b ，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论．需注意以下两点：(1)函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数)，例如函数1f(x)=x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说1f(x)=x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，因为当x 1＝－1，x 2＝1时，有f(x 1)＝－1＜f(x 2)＝1不满足减函数的定义．(2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“∪”将它们连接起来，例如：函数y ＝x 3－3x 的单调增区间有两个：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 热点二 函数的奇偶性1．【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】【考点】函数的奇偶性、单调性图（2）图（1）2.【2017课标II ，文14】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = ________． 【答案】123．【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.【方法规律】1．判断函数奇偶性的方法 (1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． 2.已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法，利用f (x )±f (－x )＝0得到关于x 的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值． 【易错点睛】函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f (x )和f (－x )必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数． 误区．不明分段函数奇偶性概念致错【例1】判断2223,0f(x)=3,023,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩的奇偶性．【错解】当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f(x)． 当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．【剖析】漏x ＝0情况．【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f(－x)＝－f(x)成立，但当x ＝0时，f(0)＝3≠－f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 热点三 函数的周期性1．【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.2.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = ． 【答案】1【解析】311()()421224f f =-=-⨯+=． 【方法规律】函数周期性的相关结论：设a 是非零常数，若对f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①f (x ＋a )＝－f (x )；②1f(x+a)=()f x ；③1f(x+a)=-()f x ；④f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，2|a |是它的一个周期．(以上各式中分母均不为零)． 热点四 函数性质的综合应用1．【2016年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +> 【答案】C2.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.3.【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-．【方法规律】1．解这类综合题的一般方法在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助．（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象． 2． 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数．特别地，有以下结论(其中a ≠0)：若f (x )有对称轴x ＝a ，且是偶函数，则f (x )的周期为2a ； 若f (x )有对称轴x ＝a ，且是奇函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是偶函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是奇函数，则f (x )的周期为2a ． 【易错点睛】误区1．函数的性质挖掘不全致误【例1】奇函数f(x)定义在R 上，且对常数T ＞0，恒有f(x ＋T)＝f(x)，则在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数至少有 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【错解】由f(x)是R 上的奇函数，得f(0)＝0⇒x 1＝0．再由f(x ＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0⇒x 2＝T ，x 3＝2T ．即在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数最小值为3个． 【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即()()f x f x -=-……①()()f x f x T =+……②解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动．误区2．忽视隐含条件的挖掘致误【例2】设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，1,10()=2,011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R ．若13f()=f()22，则a ＋3b 的值为________． 【错解】因为f (x )的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为211142f(-)=-a+1,f()=1222312bb ++=+，所以14a+1=,3a+2b=-223b +-∴． 【剖析】(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，从而无法求出a 、b 的值．【正解】因为f(x)的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为 211142f(-)=-a+1,f()=1222312bb ++=+，所以14a+1=,23b +-．整理，得2a=-(b+1)3．① 又因为f(－1)＝f(1)，所以2-a+1=2b +，即b ＝－2a ． ②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4．所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10．【热点预测】1．【2018届安徽省滁州市高三9月联考】若函数()()22f x x x a x a =+--|在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()()3,00,9-⋃ B. ()()9,00,3-⋃ C. ()9,3- D. ()3,9- 【答案】B【解析】()222232,{ 2,x ax a x a f x x ax a x a-+≥=+-<,分0,0,0a a a >=<三种情况讨论. 当0a >时， 3a ->-，所以03a <<；当0a =时， ()223,0{ ,0x x f x x x ≥=<，显然单调；当0a <时，33a>-，所以90a -<<. 综上： 90a -<<或03a <<. 故选B.2．【2018届河北省鸡泽县第一中学高三上第一次月考】若对任意的x ∈R ，y ＝均有意义，则函数y ＝log a的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由对数函数的定义知0a ＞ 且1a ≠ ，函数1ay log x= 的定义域为00-∞⋃+∞（，）（，）由题对任意x R y ∈=， 均有意义，则1-a |x|≥0，恒成立， 可得01a ＜＜ ．又0x ＞ 时， 1a y log x =， 1u x= 单调递减， a y log u = 单调递减，∴由复合函数的单调性知1ay log x=单调递增， 1ay log x=为偶函数，其图象应关于y 轴对称， 0x ∴＜ 时， 1a y log x =单调递减，故选：B ．3．【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.4．已知)2()(),1()1(+-=-=+x f x f x f x f ，方程0)(=x f 在［0，1］内有且只有一个根21=x ，则0)(=x f 在区间[]2013,0内根的个数为（ ） A ．2011 B ．1006 C ．2013 D ．1007 【答案】C5．若()()()4f x x a x a x =+-+-的图像是中心对称图形，则a =( ) A ．4 B ．43- C ．2 D ．23- 【答案】B 【解析】)2424)(243()24(-++-+++=++a x a x a x a x f ，因为2424)(-++-+=a x a x x g 为偶函数，所以当且仅当0243=+a ，即34-=a 时，)24(++a x f 为奇函数，图像关于原点对称．故选B ． 6．若函数()()f x x R ∈是奇函数，函数()()g x x R ∈是偶函数，则一定成立的是( ) A ．函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 B ．函数()g f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 C ．函数()f f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 D ．函数()g g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 【答案】C【解析】由题得，函数()(),f x g x 满足()()()(),f x f x g x g x -=--=，则有()()f g x f g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()g f x g f x g f x -=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()()f f x f f x f f x -=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()g g x g g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项C 是正确的，故选C7．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)x a x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是 （ ）（A ）()0,1 （B ）()1,+∞ （ C ） 51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦（ D ）5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由已知，得函数()y f x =在R 上单调递增，故满足101341a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得a 的取值范围是51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．8.已知)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ．如果43)31(=f ，3)log (481>x f ，那么x 的取值范围为（ ） （A ）)21,0( （B ）)2,21(（C ）1(,1](2,)2⋃+∞ （D ）11(0,)(,2)82⋃ 【答案】B【解析】∵01≥∀x ，02≥∀x ，21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ，∴定义在实数集R 上的偶函数)(x f 在),0[∞+上是减函数．∵3)log (481>x f ， ∴43)log (81>x f ， 即)31()log (81f x f >．∴ ,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧<≥x x 或 ,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧-><x x 解得121≤<x 或21<<x ．∴221<<x ．故选B ． 9.已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性，函数()f x 是奇函数的充要条件是函数()f x 的图象关于原点对称，而()f x 的图象关于原点对称与函数()f x a -的图象关于点(,0)A a 对称是等价的，故①正确，同理②也是正确的，那么本题只能选A 了，对于③，我们知道函数()f x 满足“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”时，()f x 是周期为2a 的周期函数，但反过来一一定成立，如()f x 满足“对任意的R x ∈，都有1()()f x f x a =-”时，()f x 也是周期为2a 的周期函数，③错误，而函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象是关于直线x a =对称，而还是y 轴，故④错误．10.【2018届宁夏育才中学高三上学期第一次月考】设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝242,10{ ,01x x x x -+-≤<≤<则32f ⎛⎫⎪⎝⎭＝________. 【答案】1【解析】32f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＝21142122f ⎛⎫⎛⎫-=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.【2018届四川省南充市高三零诊】若函数是奇函数，则__________． 【答案】 【解析】当时，,∴，又即，， ∴当时，.故答案为：. 12.【2018届江苏省常州市横林高级中学月考】定义在R 上的函数()f x 满足:()()21f x f x +⋅=，当[)2,0x ∈-时， ()()2log 3f x x =-+，则()2017f =________． 【答案】1213.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值集合是__________． 【答案】(- 1 ， 3 )．【解析】因为偶函数()f x 满足()20f =，若()10f x ->，则有(1)(2)(1)(2)f x f f x f ->⇒->｜｜，又函数()f x 在[)0,+∞单调递减，所以有|1|221213x x x -<⇒-<-<⇒-<<．14．【2018届河南省南阳市第一中学高三上学期第二次】已知0x ≠时，函数()0f x >，对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且()()11,279f f -==，当01x ≤<时，()[)0,1f x ∈（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并给出证明； （3）若0a ≥且()1f a +≤a 的取值范围.【答案】（1）()f x 为偶函数；（2）证明见解析；（3）02a ≤≤.【解析】试题分析：（1）利用赋值法，先求出()11f -=，令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）设120x x ≤<， 1201x x ∴≤<， ()()1112222x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈，∴121x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭，∴()()12f x f x <，故()f x 在()0,+∞上是增函数.；（3）先利用赋值法求得()3f =再利用函数的单调性解不等式即可. 试题解析：（1）令1y =-，则()()()()1,11f x f x f f -=--=，()()f x f x -=， ()f x 为偶函数.（2）设120x x ≤<， 1201x x ∴≤<， ()()1112222x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈，∴121x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x <，故()f x 在()0,+∞上是增函数.（3）∵()279f =,又()()()()()()()339393333f f f f f f f ⎡⎤⨯===⎣⎦∴()()()()()393,3113f f f a f a f ⎡⎤==+≤∴+≤⎣⎦∵[)0,1,30,a a ≥+∈+∞，∴13a +≤，即2a ≤，又0,a ≥故02a ≤≤.。

秒杀高考数学题型之函数的性质（单调性、奇偶性）【秒杀题型一】：函数的单调性，分初等函数单调性、利用单调性的定义判断函数的单调性、复合函数的单 调性、叠加函数的单调性四类。

【题型1】：初等函数单调性。

『秒杀策略』：熟练掌握几类初等函数（一次函数、二次函数，指数函数、对数函数、幂函数、绝对值函数）及其变换后的函数的单调性。

1.(2011年新课标全国卷2)下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）上是单调递增的函数是 ( ) A.3y x = B.1y x =+ C.21y x =-+ D.2xy -=【解析】：由偶函数可排除选项A ，再由单调性（在+∞（0，）上函数中的绝对值可直接去掉。

）可知选B 。

2.(高考题)下列函数中，既是偶函数，又在区间()∞+，0上单调递减的函数是 ( ) A.xy 1ln= B.3x y = C.x y 2= D.x y cos = 【解析】：由偶函数可排除选项B ，再由单调性（在+∞（0，）上函数中的绝对值可直接去掉。

）可知选A 。

3.(高考题)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 ( ) A.2-=x y B.1-=x y C.2x y = D.31x y = 【解析】：由偶函数可排除选项B 、D ，再由单调性可知选A 。

4.(高考题)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的是 ( ) A.xy 1=B.x e y =C.12+-=x y D.x y lg = 【解析】：由偶函数可排除选项A 、B ，再由单调性可知选C 。

5.(高考题)下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是 ( ) A.1+=x y B.2)1(-=x y C.x y -=2 D.)1(log 5.0+=x y ,【解析】：选A 。

6.(高考题)下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上单调递增的是 ( )A.21)(xx f =B.1)(2+=x x fC.3)(x x f =D.xx f -=2)( 【解析】：由偶函数可排除C 、D 选项，再由单调性可知选A 。

第04节 函数奇偶性与周期性【考纲解读】【知识清单】1.函数的奇偶性对点练习【2017陕西西安铁中月考】下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝e xC.y ＝cos xD.y ＝e x－e －x【答案】D【解析】A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中cos y x =为偶函数. D 中函数定义域为R ，又()()()x x x xf x e e e e f x －－－＝－＝－－＝－，∴x xy e e －＝－为奇函数. 2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 对点练习 设()fx 是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 【答案】1【考点深度剖析】函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数以及函数的单调性结合考查，往往以选择题或填空题的形式出现.其中函数的周期性，浙江卷常通过三角函数加以考查．【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【1-1】【2017浙江杭州质检】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2x B.y ＝x 2－cos x C.y ＝2x＋12xD.y ＝x 2＋sin x【答案】D【解析】对于A ，定义域为R ，()()() ) 2(2f x x sin x x sin x f x －＝－＋－＝－＋＝－，为奇函数；对于B ，定义域为R ，()22()()()f x x cos x x cosx f x －＝－－－＝－＝，为偶函数；对于C ，定义域为R ，()2(12)122x x x x f x f x -－－＝＋＝＋＝，为偶函数；2y x sinx ＝＋既不是偶函数也不是奇函数，故选D.【1-2】已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13C.12D.－12【答案】B【解析】依题意0b ＝，且(2)1a a ＝－－，∴13a ＝，则13a b +＝. 【领悟技法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()0()f x f x ＋－＝ (奇函数)或()0()f x f x -－＝ (偶函数)是否成立.【触类旁通】【变式一】已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】B【变式二】【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 考点2 函数奇偶性的性质及应用【2-1】【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】【2-2】【2017广东梅州模拟】若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有( )A ．()()()230f f g <<B ．()()()032g f f <<C ．()()()203f g f <<D ．()()()023g f f << 【答案】D【解析】由题意，得()()()()xxf xg x ef xg x e-⎧-=⎪⎨--=⎪⎩解得()()22x xx xe ef x e eg x --⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 故(0)1g =-，()f x 为R 上的增函数，()()023f f <<，故()()()023g f f <<． 【2-3】【2017浙江台州中学月考】偶函数()y f x =在区间[0,4]上单调递减，则有（ ） A.(1)()()3f f f ππ->>-B.()(1)()3f f f ππ>->-C.()(1)()3f f f ππ->->D.(1)()()3f f f ππ->->【答案】A.【解析】由题意得，014(1)(1)()()()33f f f f f πππππ<<<<⇒-=>>=-，故选A.【领悟技法】1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 【触类旁通】【变式一】【2017贵州遵义四中模拟】已知函数()()2,0{ ,0x x f x g x x >=<是偶函数，则()2f -=（ ）【答案】C【变式二】若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知ln(y x =+是奇函数，所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 考点3 函数周期性及综合应用【3-1】设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =． 【答案】1006【解析】∵()()22012f x f x ⋅+=，∴()()242012f x f x +⋅+=，∴()()4f x f x =+，∴()f x 是一个周期为4的周期函数，∴()99(4251)(1)f f f =⨯-=-．∵(1)(12)2012f f --+=，∴()99f ＝2012(1)f ＝1006． 【3-2】已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则(2013)f 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013【答案】A【3-3】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则()105.5f ＝______. 【答案】2.5【解析】()[(2)]42f x f x ＋＝＋＋＝－()()12f x f x =＋.故函数的周期为4.∴()()105.5427 2.()(5 2.5 2.5)f f f f ⨯＝－＝－＝.∵2 2.53≤≤，由题意，得()2.5 2.5f ＝.∴()105.5 2.5f ＝. 【领悟技法】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 【触类旁通】【变式一】【2017湖南统一考试】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=，()()2log 27f x x =+，则()2017f =（ ） A. -2 B. 2log 3 C. 3 D. 2log 5- 【答案】D【变式二】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( ) A.－1 B.1C.0D.2【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x －＝－－，又∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x －＝－，()()f x f x －＝，∴()11()f x f x －＝－＋，即1((10))f x f x －＋＋＝. ∴()()2 017 2 019 2 0()()181 2 01810f f f f ＋＝－＋＋＝.【易错试题常警惕】易错典例1：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.易错分析：解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k ＝1.正确解析：∵221()122x x x x k k f x k k---⋅--==+⋅+，∴(2)(2)(21)(12)()()(12)(2)x x x x x x k k k k f x f x k k -++⋅-+⋅-+=+⋅+22(1)(21)(12)(2)x x xk k k -+=+⋅+，由()()0f x f x -+=可得21k =，∴1k =±． 温馨提醒：已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ( )A ．0B ．1C ．3D ．5易错分析：没有经过严密的逻辑分析，直接根据()()()00f T f T f ＝－＝＝，就想当然地认为方程的根的个数就只有3个．温馨提醒：对于抽象函数要善于找具体的“函数模型”，联想其性质去推证欲证的函数性质，但不能用具体函数代替去解决问题；解决“抽象函数”问题一般采用赋值法，本题可联系y=sinx的图象和性质类比解题．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

核心考点解读——函数的概念、性质、图象(基本初等函数).考查奇偶性，可以从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判1．（2017高考新课标Ⅰ，理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z2．（2017高考新课标Ⅰ，理5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]3．(2016高考新课标Ⅰ，理7)函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图象大致为A． B．C． D ．4．（2017高考新课标Ⅲ，理15）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .5．(2016高考，江苏5)函数y的定义域是 .6．(2016高考北京，理14)设函数33,()2,⎧-≤=⎨->⎩x x x af x x x a.①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.7．(2016高考，江苏11)设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 .8．(2015高考新课标Ⅰ，理13)若函数f (x)=ln(x x 为偶函数，则a =_______________.1．函数的定义域为A．B．C．D．2．已知是定义在错误！未找到引用源。

考点05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【高考再现】热点一 函数的单调性1.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --= D ．31y x =+2.（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x =D ．||y x x =【答案】D【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.3.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =【方法总结】1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.3.函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)<f(x2)⇔f(x1)－f(x2)<0，若函数是增函数，则f(x1)<f(x2) ⇔x1<x2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．热点二函数的奇偶性4.（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是（）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e =D ．2ln 1y x =+5.（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________【答案】4【解析】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a都有()()f a f a =-成立.由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+-- 4a ⇒=.6.（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ .7.（2012年高考（课标文））设函数()f x 22(+1)sin =1x x x ++的最大值为M ,最小值为m ,则=M m +____【答案】 2【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题. 222(1)sin 2sin ()1,11x x x x f x x x +++==+++设22sin (),()(),()1x x g x g x g x g x x +=-=-∴+Q 为奇函数，由奇函数图像的对称性知max min max min max min ()()0,[()1][()1]2()() 2.g x g x M m g x g x g x g x +=∴+=+++=++=【方法总结】热点三 函数的周期性8.（2012年高考（浙江文））设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,()f x =+1x ,则3()2f =_______. 【答案】32 【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=. 9.（2012年高考（江苏））设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-，上,0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为____.【方法总结】求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝A sin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以周期T ＝2a .换元法：若f (x ＋a )＝f (x －a )，令x －a ＝t ，x＝t ＋a ，则f (t )＝f (t ＋2a )，所以周期T ＝2a .热点四 函数性质的综合应用10.（2012年高考（重庆理））已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（ ）A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件11.（2012年高考（山东理））定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<- 时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =. 则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=A ． 335B ．338C ．1678D ．2012【方法总结】在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助.（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象. 【考点剖析】二．命题方向1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．2.函数的奇偶性是高考考查的热点．3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，函数性质其他知识点交汇命题.三．规律总结一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a ＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f(x)或f(x＋a)＝－1f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.【基础练习】1．（课本习题改编）下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4【答案】A【解析】y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x 在(0，＋∞)上递减，y＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．2.（经典习题）函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，43. （课本习题改编）若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1【答案】A【解析】∵f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )是奇函数，利用赋值法，∴f (－1)＝－f (1)．∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 4. （经典习题）设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数【答案】A【解析】由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.5.设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )A ．3B ．26．（经典习题）已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于________．【答案】－2【解析】由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (1)＝2×12＝2.∴f (7)＝－2.【名校模拟】一．基础扎实1. (北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文)给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）（A ）① ② （B ）③ ④（C ）① ③（D ）② ④【答案】C【解析】利用函数图象关于原点对称可知① ③图像满足条件.2. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知.，若，则f(-a)的值为A. -3B. -2C. -1D. 03.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)已知函数.，则该函数是(A)偶函数，且单调递增（B)偶函数，且单调递减(C)奇函数，且单调递增（D)奇函数，且单调递减【答案】C【解析】 注意到当0x >时，0x -<，()()()()21120x x f x f x ---+=-+-=；当0x <时，0x ->，()()()()12210x x f x f x -+=-+-=；()00f =.因此，对任意x R ∈，均有()()0f x f x -+=，即函数()f x 是奇函数.当0x >时，函数()f x 是增函数，因此()f x 是增函数，选C.4．(2012洛阳示范高中联考高三理)下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是( )A ．12log y x =B ．21x y =-C ．212y x =-D ． 3y x =-5. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）若R x ∈、+∈N n ，定义：)2)(1(++=x x x M n x )1(-+n x Λ，例如：55-M =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为( )A.是偶函数而不是奇函数B. 是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数6.. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b +=（ ）A ．17B ．1-C ．1D ．7【答案】A【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以1610,7a a a -+==所以； 又()f x 为偶函数，所以223()535a x bx a b ax bx a b ---+=+-+，得0b =，所以a b +=17，选A. 67.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ） A ．]8,3[ B ． ]2,7[-- C ．]5,0[D ．]3,2[-8．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （ ）①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x ·f(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④ D.②④9．（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是A ．x y cos =B ．1--=x yC ．x xy +-=22ln D ．x x e e y -+=答案：D解析：由()()x x f x e e f x --=+=，所以函数()x x f x e e -=+为偶函数；又 ()211x xx x e f x e e e -'=-=，当[]1,0x ∈-时，()0f x '<，所以函数为减函数，故选D 。