09-10高数(二)期终考试A卷答案

高二数学期中试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.在中，若，则等于 （ ） A ．B ．C ．或D ．或2.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数 ( )． A ．B ．C ．D ．3. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．直线ACB ．直线B 1D 1C ．直线A 1D 1 D ．直线A 1A4.将直线沿轴的负方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位得直线，此时直线与重合，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．5.下列给出的赋值语句中正确的是（ ） A ．5 = M B ．x =－x C ．B=A=3 D ．x +y = 76.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．7.正四面体中，为棱的中点，则与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8.等差数列中，已知为（）A．48 B．49 C．50 D．519.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①是三角函数；②三角函数的周期函数；③是周期函数A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①10.设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是（）A．2 B．-2 C． D．11.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12.在区间上的余弦曲线y=" cos" x与坐标轴围成的面积为（）A．4 B．5 C．9 D．313.将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线与是异面直线的是……………………………………………（）①②③④A．①② B．②④ C．①④ D．①③14.已知的值为A． B． C． D．15.设集合M="{x|2" －x>0}，N="{x|" l≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1,2） B．[1,2] C．（2,3] D．[2,3|16.设是等差数列的前项和，，则的值为（）A．B．C．D．17.设是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则18.若直线与直线垂直，则的值为（）．A． B． C． D．19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角等于A． B． C． D．20.命题函数在区间上是增函数；命题函数的定义域为．则是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题21.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．22.、与曲线对称的曲线的极坐标方程是_____________。

北京工业大学2009─2010学年第二学期《高等数学（信、工）》期中试卷答案学号 姓名 成绩注意：本试卷共6页，12道题。

考试时间95分钟。

考试日期：2010年月5 日一、计算下列各题：本大题共6小题，每小题8分，共48分. 解答应写出主要过程或演算步骤. 1．设 yx ez2=，求 (0,1)dz-。

解：2(0,1)(0,1)20x yzxyex--∂==∂ ， 3分22(0,1)(0,1)0x yz x ey--∂==∂ ， 3分000dz dx dy =⋅+⋅= 。

2分2．设),(x yx f x z = ，其中f 具有连续的二阶偏导数，求xy zxz ∂∂∂∂∂2,。

解：21f xyf x f x z '-'+=∂∂ ， 4分 222122f xyf x y z ''-''=∂∂∂ 。

4分3.求曲面 0)cos(2)sin(=-yz xy ，在点 )3,1,2(ππ处的切平面和法线方程。

解： 曲面在点)3,1,2(ππ处的法向量为 }3,33,0{π=n 即 }3,,0{π=n ，2分 所以，切平面方程为 023=π-+πz y ， 3分法线方程为33102π-=π-=π-z y x 。

3分4.设幂级数∑∞=1n nn xa 的收敛半径为2，对幂级数∑∞=-1)3(n nn x a 而言，A 为其收敛点的集合，B 为其发散点的集合，C 为其尚不能缺定敛散性的点的集合。

试将下列x 的值ee 1,,5,4,3,2,1,0,1,2-- 归入相应的集合。

解： }5,1{,}1,0,1,2{,},4,3,2{=--==C eB e A 。

（ 3，3，2 分）5. 设)(x f 是以π2为周期的函数，且⎪⎩⎪⎨⎧π<<=<<π-π+=x x x x x f 0,10,00,)(，若将)(x f 展开成傅里叶级数，设其和函数为)(x S .(1) 写出)(x S 的表达式.(只写出一个周期里的即可)(2) 求 )2(π-S 及)23(πS . 解： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧π±==+ππ⋃π-∈=x x x x f x S 210)1(21),0()0,()()( 4分)1(21)2(+π=π-S ； 2)2()23(π=π-=πS S 。

09-10(二)高数(工)2期中试卷D第 2 页第 3 页第 4 页D ．)3,1,2(-2．已知a、b都是非零向量，且满足关系式ba b a -=+，则必有（ ）。

A ．0 =-b a B ．=+b a C ．=⋅b a D ．=⨯b a3．直线1L ：271224+=-+=-z y x 与2L ：182521+=--=--z y x 的夹角为（ ）。

A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 4．曲面22223z y x=+与平面12=-y x 的交线在xoz 面上的投影曲线方程为（ ）。

A ．⎩⎨⎧==-+02)12(3222y z x x B ． 2222)12(3z x x =-+C ．⎩⎨⎧=-=+1223222y x z y xD ．⎩⎨⎧==-+02)12(3222z z x x5．已知函数xyy xy x xy f ++=+22),(，则x y x f ∂∂),(，y y x f ∂∂),(分第 5 页别为（ ）。

A ．y 2，x 2 B ．y x 22+，x y +2 C ．y 2，1-D ．1-，y 26．函数yxe z -=在)0,1(处的全微分为（ ）。

A ．dydx dz +=)0,1( B ． dydx dz -=)0,1( C ．dydx dz+-=)0,1( D ．dydx dz --=)0,1(7．下列级数条件收敛的是（ ）。

A ．()1111n n nn ∞-=-+∑ B ．111(1)(1)n n n n ∞-=-+∑ C ．21cos n nn∞=∑ D ．11(1)1n n n ∞-=-+∑8．若nn n x a )2(0-∑∞=在2-=x 处收敛，则在5=x 处（ ）。

A ．一定发散B ．可能收敛可能发散C ．一定绝对收敛D ．一定条件收敛二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1．xoy 面上的直线1x =绕y 轴旋转一周，所得的旋第 6 页转曲面方程是。

一、单选题1．曲线在点处的切线方程为（ ） ()ln 1y x x =-()2,0A ． B ． 24y x =-24y x =+C ． D ．2y x =+2y x =-【答案】A【分析】求函数在点 处的导数值，根据点斜式求切线方程.. ()ln 1y x x =-()2,0【详解】因为， ()ln 1y x x =-所以， ()ln 11xy x x '=-+-所以， ()22ln 21221x y ==-+=-'所以曲线在点处的切线斜率为，()ln 1y x x =-()2,02所以曲线在点处的切线方程为， ()ln 1y x x =-()2,0()22y x =-即， 24y x =-故选：A. 2．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）322(nx x +A ．60 B ．80 C ．100 D ．120【答案】B【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. n 【详解】当时，，解得，1x =3243n =5n =则的展开式第项， 322()n x x +1r +351532155152552C ()(C 2C 2r r r r r r r r r r r T x x x x x----+===令，解得，所以，1550r -=3r =335C 210880=⨯=故选：B3．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．1101531025【答案】D【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；35A 54360=⨯⨯=要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；33A 3216=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.33A 3216=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=所以该三位数能被3整除的概率为. 242605=故选：D4．已知随机变量 分别满足，，且期望，又,X Y (8,)X B p ~()2,Y N μσ:()()E X Y E =，则（ ） 1(3)2P Y ≥=p =A ．B ．C ．D ．18143858【答案】C【分析】利用正态分布的对称性可求得，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，μ可求得答案.【详解】由题意知，，，(8,)X B p ~()2,Y N μσ:()()E X Y E =故， 8p μ=由，知，故， 1(3)2P Y ≥=3μ=383,8p p =∴=故选：C5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A ：“区域1和区域3颜色不同”，事件B ：“所有区域颜色均不相同”，则（ ）()P B A =A ．B ．C ．D ．27122334【答案】B【分析】根据条件概率的公式，分别计算出事件A 和事件B 的基本事件即可. 【详解】A 事件有 个基本事件， 21115322A C C C :::B 事件有 个基本事件，55A；()5521115322A 1|A C C C 2p B A ∴==:::故选：B. 6．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） 3212()33f x x x =+-1a -5a +a A ．[－5,1) B ．(－5,1) C ．[－2,1) D ．(－2,1)【答案】C【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间1a -5a +内，且在端点处的函数值不能超过极小值．【详解】由，令，可得或， 2()2f x x x =+'()0f x '=2x =-0x =由得：或，由得：，()0f x '><2x -0x >()0f x '<20x -<<所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，()f x (,2)-∞-(2,0)-(0,)+∞所以函数在处取得极小值，0x =2(0)3f =-令，解得或， ()32122333f x x x =+-=-0x =3x =-若函数在(,)内存在最小值，则，得． ()f x 1a -5a +3105a a -≤-<<+21a -≤<故选：C 7．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ） 21()cos 4f x x x =+()f x '()f x ()f x 'A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】求出导函数，根据奇偶性可得BD 不正确；根据可得C 不正确；()f x 'ππ()1024f '=-<【详解】因为，所以，21()cos 4f x x x =+1()sin 2f x x x '=-因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故11()sin()sin ()22f x x x x x f x ''-=---=-+=-()f x '因为，故C 不正确；ππ(1024f '=-<故选：A8．已知，则（ ）66016(1)(1)(1)x a a x a x +=+-++- 3a =A ．15 B ．20 C ．60 D ．160【答案】D【分析】由已知得，再根据二项式展开式的通项()666016(1)2+1(1)(1)x x a a x a x +=-=+-++-⎡⎤⎣⎦ 公式求得的系数可得选项.()31x -【详解】因为，66016(1)(1)(1)x a a x a x +=+-++- 所以，()666016(1)2+1(1)(1)x x a a x a x +=-=+-++-⎡⎤⎣⎦ 所以展开式中含的项为，所以. ()31x -()()33336116012C x x ⨯⨯-=-3160a =故选：D.【点睛】易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式： （1C rn rr r n T ab -+=）①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展0,1,2,,r n =⋅⋅⋅1r +r rn C 开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意1r +1r +.0,1,2,,r n =⋅⋅⋅二、多选题9．一个盒子中装有3个黑球和1个白球，现从该盒子中有放回的随机取球3次，取到白球记1分，取到黑球记0分，记3次取球后的总得分为X ，则（ ） A ．X 服从二项分布 B ． 9(1)64P X ==C ． D ． 3()4E X =3()16D X =【答案】AC【分析】根据已知，即可判断A 项正确；求出每次取球后得1分的概率，可得，进而根13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭据二项分布求解，判断B 、C 、D.【详解】对于A 项，由题意知，每次取球的结果只有2个可能.取后放回，所以X 服从二项分布，对于B 项，每次取球后得1分的概率，则.14p =13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以，，故B 项错误； 12131127(1)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于C 项，因为，所以，故C 项正确；13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭13()344E X =⨯=对于D 项，因为，所以，故D 项错误.13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭119()314416D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：AC.10．已知展开式中的倒数第三项的系数为45，则（ ） nA ．B ．二项式系数最大的项为中间项 9n =C ．系数最大的项为中间项D ．含的项是第6项3x 【答案】BC【分析】根据倒数第三项的系数求出，可知A 不正确；根据二项式系数的性质以及展开式的通项n 公式对另外三个选项进行分析可得答案.【详解】展开式的通项为，n 1C n kkk k n T -+=⋅11312=C k n knx-所以倒数第三项的系数为，故，即，所以， 2C n n -2C 45n n-=2C 45n =(1)452n n -=所以，得或（舍）.故A 不正确；(10)(9)0n n -+=10n =9n =-因为，所以展开式共有项，所以二项式系数最大的项为中间项，故B 正确； 10n =11因为展开式中各项的系数与该项的二项式相等，所以系数最大的项为中间项，故C 正确；因为，所以展开式的通项为，10n =10110C kkk k T -+=⋅113012=C k knx-令，得，所以含的项是第项，故D 不正确. 1130312k -=6k =3x 1617k +=+=故选：BC11．下列选项正确的是（ ）A ．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种B ．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种C ．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种D ．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 【答案】ABD【分析】根据分类分步计数原理,平均分组及不平均分组,隔板法等分别判断各个选项即可.【详解】对于A:,故A 正确；57A 2520=对于B:不同的分组，2组2个，3组1个或1组3个，4组1个，即或所以有种，故B 正确；722111,=++++731111,=++++22375722C C C 140A +=对于C:应用隔板法，C 选项等价于8个相同的球,放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个, 所以有种, 故C 错误；27C 21=对于D:由于球和盒子相同，所以存放的区别在于盒子里球的个数， 存放1个盒子，将7个球放入1个盒子，有1种存放方式； 存放2个盒子，有3种；71+6=2+5=3+4=存放3个盒子，有4种； 71+1+5=1+2+4=1+3+3=3+2+2=共有8种，故D 正确. 故选：ABD.12．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数m ()f x m ≥x D ∈()f x D m 的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，()f x M ()f x M ≤x D ∈()f x D 其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说M ()f x 法正确的是（ ）A ．1是函数的一个下界()1(0)f x x x x =+>B ．函数有下界，无上界()ln f x x x =C ．函数有上界，无下界()2e xf x x =D ．函数有界()2sin 1xf x x =+【答案】ABD【分析】由基本不等式可判断A ；利用导数可确定，即可判断B ；由恒成()1e f x ≥-()2e 0xf x x=>立即可判断C ；利用放缩法即可判断D.【详解】对于A ，当时，（当且仅当时取等号）， 0x >12x x+≥1x =恒成立，是的一个下界，故A 正确；()1f x ∴>1∴()f x 对于B ，∵，()ln 1(0)'=+>f x x x 当时，；当，， ∴10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>在上单调递减，在上单调递增，∴()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴有下界，()11e e f x f ⎛⎫∴≥=- ⎪⎝⎭()f x 又当越来越大时，趋向于，∴无上界， x ()f x +∞()f x 综上所述，有下界，无上界，故B 正确；()ln f x x x =对于C ，，，，有下界，故C 错误；20x > e 0x>2e 0xx ∴>∴()f x 对于D ，，， sin [1,1]x Q Î-2221sin 1111x x x x -∴≤≤+++又，， 2111x -≥-+2111x ≤+，既有上界又有下界，故D 正确． 2111sin xx ∴-<<+()f x \故选：ABD ．【点睛】关键点睛：函数新定义的应用，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值，属于中档题．三、填空题13．的展开式中，项的系数为___________. ()62123x x ++3x 【答案】340【分析】由于，根据二项式定理，可得其展开式的通项为()()6622123123x x x x ⎡⎤++=++⎣⎦，其中，由此可知，再结合的范围，即可求出6C C 23r k r k k r kr x -+06,N,N k r r k ≤≤≤∈∈3r k +=,k r 结果.【详解】由于，()()6622123123x x x x ⎡⎤++=++⎣⎦所以其展开式的通项为，其中()22666C 23C C 23C C 23rrr k r k k r k k r k r k k r k r r x x x x x ---++==，06,N,N k r r k ≤≤≤∈∈为得到展开式中的系数，则，()62123x x ++3x 3r k +=当时，的系数为；2,1r k ==3x 2121162C C 23=180-当时，的系数为；3,0r k ==3x 303063C C 23=160所以展开式中的系数为. ()62123x x ++3x 180160340+=故答案为：.34014．某社区有2个核酸检测点，现有6名志愿者将被派往这2个检测点协助核酸检测工作，每个志愿者只去1个检测点，每个检测点至少需要2名志愿者，则不同的安排方法种数为___________.（请用数字作答） 【答案】50【分析】由题可知，存在两种分组情况，分类讨论，先分组，后排列，利用排列组合求每种分组情况的数值，最后求和即可. 【详解】根据题意分两种情况：第一种情况：将6人分为人数为2和4的2组，有种分组方式，将分好的组全排列，安246415C C =排到2个核酸点，有种情况，则有种不同的安排方法；222A =15230⨯=第二种情况：将6人分为人数为3和3的2组，有种分组方式，将分好的组全排列，安33632210C C A =排到2个核酸点，有种情况，则有种不同的安排方法；222A =10220⨯=故不同的安排方法总共有种. 302050+=故答案为：50.15．已知函数在上的最大值为2，则______． ()ln f x x x k =-+[]1,e ()f k =【答案】ln3【分析】直接对函数求导，利用函数在区间上单调性和条件，求出值，从而求出结果. []1,e k 【详解】因为，所以， ()ln f x x x k =-+()111x f x x x-'=-=又，所以在上恒成立，即在区间上单调递减， []1,e x ∈()0f x '≤[]1,e x ∈()f x []1,e 所以，得到，故， ()1ln112f k =-+=3k =()ln 3f x x x =-+所以.()(3)ln3f k f ==故答案为：.ln316．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中1A 2A 3A 取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是______．①事件，相互独立；②；③；④；⑤．1A 2A ()315P A =()922P B =()2911P B A =()159P A B =【答案】③⑤【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是否相等，可确1A 2A 3A ()12P A A ()()12P A P A ⋅定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤. ()3P A 【详解】依题意，，和是两两互斥事件， 1A 2A 3A ，， ()1515232P A ==++()2215235P A ==++()33352310P A ==++又，①②错误；()()()12120P A A P A P A =≠⋅ ∴又，， ()()()11115525331112P BA P B A P A ⨯++=== ()()()22214454431115P BA P B A P A ⨯++===()()()3333441043431110P BA P B A P A ⨯++===()()()()()()()112233P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅，③正确，④错误； 5141439112115111022=⨯+⨯+⨯=，⑤正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===故答案为：③⑤.四、解答题17．某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答） (1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序? (2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序?(3)如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么有多少种不同的出场顺序? 【答案】(1) 576(2) 1440(3) 3720【分析】(1)捆绑法：先将4首歌曲捆绑，然后与3个舞蹈排序，有（种）不同的出场4444A A 576⋅=顺序.（2）插空法：先将4首歌曲排好，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，4345A A 1440⋅=（种）不同的出场顺序.（3）有条件限制类排列：可用排除法，7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场77A 时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且66A 66A 舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.55A 765765A 2A A 3720-+=【详解】（1）先将4首歌曲捆绑，有种情况，再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序，有44A 44A 种情况，所以有（种）不同的出场顺序.4444A A 576⋅=（2）先将4首歌曲排好，有种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有种情44A 35A 况，所以有（种）不同的出场顺序.4345A A 1440⋅=（3）方法一：7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙77A 66A 在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的66A 情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.55A 765765A 2A A 3720-+=方法二：歌曲甲在最后一个出场时，其他节目可全排，有种情况；歌曲甲不在最后一个出场66A 时，可从余下的5个位置任选一个，有种情况，而舞蹈乙可排在除去最后一个位置后剩下的515A 个位置中，有种情况，其余节目全排列，有种情况，共有（种）不同的15A 55A 61156555A A A A 3720+=出场顺序.18．函数在和单调递增，在单调递减.32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x（2）求在上的最大值和最小值.()f x []1,2-【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为16和. 32()43185f x x x x =--+614-【分析】（1）．根据函数在和，单调递2()122f x x ax b '=++32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3(2)∞+增，在单调递减．可得，是的两个实数根．利用根与系数的关系即可得出； 3(1,)2-1-32()0f x '=（2）由已知可知函数在，单调递减，函数在，上单调递增．进而得出最值． ()f x [1-3)2()f x 3(22]【详解】（1）．2()122f x x ax b '=++函数在和，单调递增，在单调递减． 32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3(2)∞+3(1,)2-，是的两个实数根． 1∴-322()1220f x x ax b '=++=，． 3126a ∴-+=-31212b -⨯=解得，．3a =-18b =-，满足条件． 23()1261812(1)(2f x x x x x ∴'=--=+-．32()43185f x x x x ∴=--+（2）因为函数在和单调递增，在单调递减.所以函32()43185f x x x x =--+(,1)-∞-3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭数在，单调递减，函数在，上单调递增． ()f x [1-3)2()f x 3(22]当时，函数取得极小值即最小值，． ∴32x =()f x 361()24f =-又，（2）．(1)16f -=f 11=-时，函数取得最大值为16．1x ∴=-()f x 所以函数在上的最大值和最小值分别为16和. ()f x []1,2-614-【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小()W x ()3123W x x x =+于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售()64727W x x x=+-完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成()P x x本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)； ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；04x <<4x ≥()P x （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，04x <<()max 10()23P x P ==4x ≥()P x 比较即可得出答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，04x <<()33116224233x x x x x P x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭4x ≥. ()64646272725P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭所以. ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，令，解得.04x <<()24P x x '=-+()0P x '=2x =易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，()P x ()0,2()2,404x <<. ()max 10()23P x P ==当时，， 4x ≥()6425259P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 64x x=8x =综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.20．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. 34（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和Y Y 方差.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，，. ()15E Y =75()4D Y =【分析】（1）分别利用超几何概型和二项分布计算甲、乙通过自主招生初试的概率即可； （2）乙答对题的个数服从二项分布，利用二项分布的公式，计算概率，再利用，即得X 5Y X =解.【详解】解：（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，甲通过自主招生初试的概率 ∴314626144881114C C C P C C =+=参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试. 在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为， 34乙通过自主招生初试的概率 ∴43324313189(444256P C ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，甲通过自主招生初试的可能性更大. 1118914256> ∴（2）根据题意，乙答对题的个数的可能取值为0，1，2，3，4. X ~X B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭且()4431()0,1,2,3,444k k kP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5Y X =的概率分布列为：∴Y Y 0 510 15 20 P 1256364 27128 2764 81256 3()554154E Y np ∴==⨯⨯=. 3175()25(1)254444D Y np p =-=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了超几何分布和二项分布的概率和分布列，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，60件正品，用表示X 样本中次品的件数.(1)求的分布列（用式子表示）和均值；X(2)用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过的概率.0.1参考数据：设，则(),0,1,2,,20k P X k p k === ，56780.06530,0.12422,0.17972,0.20078p p p p ====.91011120.17483,0.11924,0.06376,0.02667p p p p ====【答案】(1)的分布列为，的均值为； X ()20406020100,0,1,2,,20k k C C P X k k C -=== X ()8E X =(2)0.79879【分析】（1）由题意随机变量服从超几何分布，从而即可求解；X （2）样本中次品率是一个随机变量，由题意，，根据参2020X f =()200.40.1(610)P f P X -≤=≤≤考数据即可求解.【详解】（1）解：由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次试验之间的结果不相互独立， 所以由题意随机变量服从超几何分布，X 所以的分布列为，的均值为； X ()20406020100,0,1,2,,20k k C C P X k k C -=== X 40()208100E X np ==⨯=（2）解：样本中次品率是一个随机变量， 2020X f =所以()200.40.1(610)(6)(7)(8)(9)(10)P f P X P X P X P X P X P X -≤=≤≤==+=+=+=+=.0.124220.179720.200780.174830.119240.79879=++++=所以误差不超过的概率为.0.10.7987922．已知函数.()2e e 7x f x ax =-+-(1)当时，求曲线在处的切线方程；7a =-()y f x =1x =(2)若，，求a 的取值范围. [0,x ∀∈+∞）()274f x x ≥【答案】(1)2(e 7)e 7y x =++-(2)2(,e 7]-∞-【分析】(1)根据导函数的几何意义求切线方程；(2)参变分离可得，利用导数讨论的最值即可求解. 224e 74e 284x x a x-+-≤224e 74e 28()x x g x x -+-=【详解】（1）当时，，则， 7a =-2()e 7e 7x f x x =++-()e 7x f x '=+则(1)e 7f '=+又，所以所求切线方程为， 2(1)e e f =+2(e e)(e 7)(1)y x -+=+-即.2(e 7)e 7y x =++-（2），等价于, [0,x ∀∈+∞）()274f x x ≥2270,)7[,e e 4x x ax x ∈+∞-+-≥①当时，显然成立;0x =2e 60-≥②当时，不等式 0x >227e e 74x ax x -+-≥等价于, 224e 74e 284x x a x-+-≤设，则. 224e 74e 28()x x g x x -+-=2224(1)e 74e 28()x x x g x x ---+'=设，22()4(1)e 74e 28x h x x x =---+则,()4e 142(2e 7)x x h x x x x '=-=-）时，，当）时，, 7(0,ln 2x ∈()0h x '<7(ln ,)2x ∈+∞()0h x '>则在上单调递减，上单调递增. ()h x 7(0,ln )27(ln ,)2+∞因为，所以，且, 2(0)4(6e )0h =-<7(ln 02h <()20h =则当时，，当）时，. ()0,2x ∈()0g x '<(2,x ∈+∞()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，()g x (0,2)(2,)+∞则,2min ()(2)4e 28g x g ==-则，故a 的取值范围为. 244e 28a ≤-2(,e 7]-∞-。

2009-2010学年第二学期09级本科 《微积分（二）》期终考试试卷（A ）解答一、单项选择题（每题仅有一个答案正确）（共10分，每题2分）1、（D ）2、（A ）3、（D ）4、（C ）5、（A ）二、填空题（将最简答案填在横线上）（共15分，每题3分））1、设f x y x y xy y (,)+-=+2，则),(x y f =)(21x y y - 2、设y x yez +=，则d z = []y y x y e y x d )1(d +++ 3、D ：122≤+y x ，则σd e D y x ⎰⎰+22= )1(-e π4、∑∞=11n p n ，当p 满足条件 p>1 时收敛。

5、微分方程()112+'+=-x y e y 的通解为 ()()x e C y+-=12 三、计算题（共36分，每题6分）1、设u xy x =+sin()2，试求u u x y ,。

解：u y xy x =+221cos()（3分） u xy xy y =22cos()（6分）2、设u x y z z x y(,,)=+22，试求d u 。

解：d d d d u u x x u y y u zz =++∂∂∂∂∂∂ （2分） =-++++222222z x x y y x y z x y (d d )()d ()（6分） 3、求微分方程(1ln ln )y y y x x'=+-的通解。

解：令,,y xu y u xu ''=∴=+ 1分 原方程化为：ln dy x u u dx =，ln du dx u u x=⎰⎰ 4分 积分得：lnln ln ln u x C =+，即Cx u e =， 5分所以通解为Cxy xe =。

6分4、 计算二重积分dxdy y x D ⎰⎰+22其中D ：x 2+y 2≤2x .D2cos 2200320d d 2d 328cos d 4322328 6339r r r d r r πθπθθθθ⋅===⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ 5、若函数z x y xy ax by c =+++++22322在点(,)-23处取得极值3，求常数a b c,,之积abc ，并判定该极值是极大还是极小。

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题 满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷 第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上 第Ⅰ卷用黑色钢笔 签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟 全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分 每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性 一元二次不等式的解法 结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部 以及对应的点所在象限 一一判断各选项 即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中 点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点 点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（ ）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组 求出答案.【详解】方法一：如图 由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（ ）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值 所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（ ） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意 得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项 公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期 其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析 可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律 其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答 累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（ ）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程 化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图 在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起 使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式 根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图 在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥． 又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=． 因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直 面面垂直转化的过程中 要从线面垂直得到面面垂直 需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内 垂直于交线” 在答题过程中 要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内 圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后 点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上 所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心 半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线 从而即可顺利得解.二 多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲 乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数 方差 百分位数 众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙 故A 正确选项B 由A 知 两组数据平均数均约为7.8且纵向看 甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同 其余数据相同 又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差 且差距较大 故与平均数比较 甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差 故B 错误 选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据 即：7.8 故C 正确 选项D 评委对乙评分中最多的数据 即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】对于A 利用象限角 求得角α的范围 可判定充分性 取π3α= 验证必要性即可 对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围 可判定必要性不成立 对于C 根据集合M N 的关系即可判定 对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角 所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角 当k 为奇数时 α为第三象限角 所以充分性成立 当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角 即必要性不成立 故A 正确 对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件 故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立 当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立 所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件 故D 错误 故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左 右焦点 点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（ ）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上 连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时 函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时 若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时 若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得 对B 选项：结合导数讨论单调性即可得 对C 选项：结合()f x 单调性 可转化为当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立 求出()1ln x x +最小值即可得 对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增 在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减 在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时 由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数 由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增 即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增 故()n x 无最小值 即()121ln x x t +⋅无最小值 故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题 其中D 选项中涉及到多变量问题的求解 求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系 将多变量转化为单变量的问题 从而将其转化为函数最值问题的求解. 三 填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式 结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦． 【答案】2020【分析】根据题意 得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列 求得其通项公式 结合累加法 得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和 求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列 所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立 所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点 若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为． 【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形 再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中 利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中 由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是 ． 【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值 根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系 取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时 则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性 设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等 此时,,A M N 共面时 设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四 解答题（共70分）17．（本题10分）如图 在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可 解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图 在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角 再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点 以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初 呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒 人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动 现从中抽取200名学生 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图 根据图形 请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩 求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体 利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛 请根据图中信息 估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可 （2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人） 成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人） 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时 记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标 表示出面积后 结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出 即需把M x N y 算出 设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理 借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长 结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时 可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程 在求解直线与椭圆的位置关系问题时 常用方法是设而不求 借助韦达定理等手段 将多变量问题转变为单变量问题 再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时 求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--． 【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出 （3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可． 【详解】（1）由题可知 当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->． 当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减． （3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--． 要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-． 不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭． 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'． 从而()f x 在(1,)+∞上单调递减 故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。

一、单选题1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） ()4sin f x x x =+()y f x =()()0,0f A ． B ． 50x y -=50x y +=C ． D ．50x y -=50x y +=【答案】A【分析】利用导数的几何意义求切线方程.【详解】，，， ()14cos f x x '=+()00f =()05f '=所以曲线在点处的切线方程为， ()y f x =()()0,0f 5y x =即. 50x y -=故选：A2．已知随机变量的分布列为 XX1-0 1P1414q -q则实数（ ）A ． B ．C ．D ．q =141618112【答案】D【分析】根据随机变量的分布列性质概率之和为1可得.【详解】由题意：，11414q q +-+=可得：. 112q =故选：D.3．冬季某服装店销售a ，b ，c ，d ，e 五种不同款式的羽绒服，甲、乙、丙三人每人任意选择一款羽绒服购买，则不同的购买选择有（ ） A ．15种 B ．60种C ．125种D ．243种【答案】C【分析】用分步乘法原理计算.【详解】每人有5种不同的购买选择，总的购买选择有种. 555125⨯⨯=故选：C.4．已知圆与直线相切，则实数（ ）22:4C x y +=:340l x y -=m =A ．5B ．10C ．25D ．100【答案】D【分析】利用直线与圆相切，建立方程，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径，22:4C x y +=()0,02r =因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，2d ==解得：. 100m =故选：D5．已知函数（其中是的导函数），则（ ）()()()()2e '002xf x f x f x =++-()'f x ()f x ()'1f =A ． B ． C ． D ．e 2+e 3+e 2-e 3-【答案】B【分析】利用导数的运算法则计算即可.【详解】由题意可得：()()()()()()()e 2'00,0120,010xf x f x f f f f f ''=++=-=+解之得：，所以.()()140,033f f '==()()()1e 200e 3f f f ''=++=+故选：B6．如图，在三棱锥中，，，若，，，则O ABC -13CD CB = 13OE OA = OA a = OB b = OC c = DE =（ ）A ．B ．121333a b c --211333a b c --C ．D ．112333a b c -- 212333a b c -- 【答案】C【分析】利用向量线性运算将用，，表示即可. DE a b c【详解】如图：DE DC CO OE =++ 1133BC CO OA =++()1133OC OB OC OA =--+112333OA OB OC =--112333a b c =-- 故选：C.7．若定义域为的函数及其导函数满足，则（ ） R ()f x ()f x '()()1f x f x x '>+-A ． B ． ()()2023e 20222022e 2023f f ->-()()2023e 20222022e 2023f f -<-C ． D ．()()2023e 20222022e 2023f f +>-()()2023e 20222022e 2023f f +<+【答案】A【分析】根据条件构造函数，再利用导数判断函数的单调性，即可代入数值，比较()()exf x xg x +=大小.【详解】设，则， ()()e x f x x g x +=()()()()()()21e e 1e e x x x x f x f x x f x f x x g x '+-+⎡⎤⎡⎤'--+⎣⎦⎣⎦'==因为，所以，即单调递增， ()()1f x f x x '>+-()0g x '>()g x 所以，即， ()()20222023g g <()()202220232022202220232023e ef f ++<化简为. ()()2023e 20222022e 2023f f ->-故选：A8．有包含甲在内的4名同学参加演讲比赛，由7名评委进行不记名投票，每名评委投1票，获得票数最多且领先第二名不少于2票的同学可直接获得冠军，则甲直接获得冠军的投票结果有（ ） A ．13种 B ．16种C ．17种D ．20种【答案】C【分析】由题意得，甲直接获得冠军的得票数可能为4票，5票，6票，7票.分别求出每种得票数的结果总数，再相加即可得到答案.【详解】因为获得票数最多且领先第二名不少于2票的同学可直接获得冠军， 所以甲直接获得冠军的得票数可能为4票，5票，6票，7票. 当甲的得票数为4票时，其余3名同学得票总数为3票，若其中有1名同学得票数为2票，有1名同学得票数为1票，其余同学得票数为0票，则投票结果共有种；1132C C 6=若其中每名同学的得票数均为1票，则投票结果共有种； 1所以，当甲的得票数为4票时，投票结果共有种. 1132C C 17+=当甲的得票数为5票时，其余3名同学得票总数为2票，若其中有1名同学得票数为2票，其余同学得票数为0票，则投票结果共有种；13C 3=若其中有2名同学的得票数均为1票，其余同学得票数为0票，则投票结果共有种；23C 3=所以，当甲的得票数为5票时，投票结果共有种.1233C C 6+=当甲的得票数为6票时，其余3名同学得票总数为1票，此时投票结果共有种.13C 3=当甲的得票数为7票时，其余3名同学得票总数为0票，此时投票结果共有种. 1所以，则甲直接获得冠军的投票结果共有种. 763117+++=故选：C.二、多选题9．设A ，B 为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（ ） ()12P A =()34P B =A ．若，则 B ．若，则A ，B 相互独立A B ⊆()12P A B =()38P A B ⋂=C ．若A 与B 相互独立，则 D ．若A 与B 相互独立，则()58P A B ⋃=()18P A B ⋂=【答案】BD【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A ；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD ；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C. 【详解】对于A ，若，则，故A 错误； A B ⊆()()34P A B P B ⋃==对于B ，因为，， ()12P A =()34P B =所以，所以A ，B 相互独立，故B 正确； ()()()38P A P B P A B ==⋂对于C ，A 与B 相互独立，则也相互独立，,A B 则，故C 错误；()()()()13711111248P A B P A B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋃=-⋂=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，A 与B 相互独立，则也相互独立，,A B 所以，故D 正确.()()()13111248P A B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋂==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BD.10．已知数列是等差数列，其前n 项和为．若，，则（ ） {}n a n S 30S <30a >A ． B ．C ．D ．20S <54a a <2546a a a >230a a +<【答案】AC【分析】由已知可得公差为正数，从而逐一可判定各选项正误.【详解】由已知，故，即公差.3123230S a a a a =++=<320a a >>320d a a =->，故A 正确； 2330S S a =-<又，故B 错误；544a a d a =+>而，故C 正确; ()()22254644420a a a a d a a d d -=+-+=>由已知无法判定的符号，故D 不一定正确. 23a a +故选：AC11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆C 上一动点，则下列结论中正22:1169x y C +=1F 2F P 确的是（ ）A ．的面积的最大值为12PF F △B ．以线段为直径的圆与直线相切1F 2F 0x y -=C ．恒成立120PF PF ⋅>D ．若，，为一个直角三角形的三个顶点，则点P 的纵坐标为1F 2F P 94±【答案】BCD【分析】对A ，根据面积表达式得到点位于上下顶点时三角形面积最大，对B ，利用几何法即可P 判断直线与圆的关系，对C ，设，写出向量数量积的表达式即可判断，对D ，分类讨论()00,P x y即可.【详解】对A ，，c===())12,F F 由图得12121122PF F P S F F y =⋅=⨯A显然当点位于椭圆上下顶点时，的面积的最大值，最大值为A 错误； P 12PF F △对B ，以线段为直径的圆的圆心为，半径12F F ()0,0O r =则圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故B 正确；d r =对C ，设，则，且，则，()00,P x y []04,4x ∈-22001169xy +=22009916y x =-，，()100,PF x y =-)200,PFx y =--则())120000,,PF PF x y x y ⋅=-⋅- ，故C 正确； 222220000097797201616x y x x x =+-=+--=+>对D ，由C 选项知， 121212cos 0PF PF PF PF F PF ⋅=∠>则，则， 12cos 0F PF ∠≠12π2FPF ∠≠若，令，解得， 12π2PF F ∠=x =219y=94y =±同理若，令，解得，故D 正确. 21π2PF F ∠=x =219y =94y =±故选：BCD.12．已知函数，且，，则（ ）()2ln x f x x =a =eb =123e 1c =-A ． B ．C ．D ．c a >b a >()()f c f a <()()f b f a <【答案】ACD【分析】选项A 可以通过分析法，变形分析两者大小；选项B 可以通过幂函数和指数函数单调性引入中间值进行比较； 选项C 可以通过函数单调性进行比较；选项D 因,不在一个单调区间中，可以通过符号比较,a b 【详解】函数，所以. 2ln ()x f x x =2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x ⋅-⋅-'==>令得()0f x '=x =当时，，在区间上单调递增. 0x <<()0f x '>()f x (当，在区间上单调递减.x >()0f x '>()f x )+∞对于A ，要证，只需证123e 1c a =>=-12e 1>-1ln32e e 1>-因为，，所以，即证，所以A 正确. ln30e e 1>=12e 1111-=<-=1ln32e e 1>-对于B ，，所以B 错误.e=ea b >=>=对于C ，由A 知，由函数在区间上单调递减可知.12e c a >>()f x)+∞()()f c f a <对于D ，，因为在区间上单调递增，所以；e1b =<=()f x (()()10f b f <=，所以，所以D 正确. ()0f a =>⎝⎭()()f a f b >故选：ACD. 【点睛】思路点睛：指数对数比较大小，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性进行综合考虑，从底数、幂、真数是否相同入手.函数值的大小直接比较困难时，需要利用函数的单调性.三、填空题13．已知等差数列的公差为1，且，则______． {}n a 532a a =n a =【答案】n 1-【分析】根据等差数列，建立方程求首项，即可求解通项公式. 【详解】设等差数列的首项为，公差，{}n a 1a 1d =因为，所以，得， 532a a =()11422a d a d +=+10a =即. ()111n a a n d n =+-=-故答案为：n 1-14．已知，则______．（用数字作答）828012823131313x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++()()()()6a =【答案】252【分析】首先利用换元，转化二项展开式，再利用二项式定理，求的值. 6a 【详解】设，则， 13x t +=31x t =-即，()()8828012833...t t a a t a t a t -=-=+++是前的系数，即.6a 6t 6268C 3252a =⋅=故答案为：25215．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是______．()312f x x x =-(),4a a +a 【答案】()6,2--【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极大值点，依题意可得，即可224a a <-⎧⎨-<+⎩求出参数的取值范围.【详解】因为，所以，()312f x x x =-()()()2312322f x x x x '=-=-+由，得或，则在区间和上单调递增， ()0f x '><2x -2x >()f x (),2-∞-()2,+∞由，得，则在区间上单调递减， ()0f x '<22x -<<()f x ()2,2-所以在处取得极大值，在处取得极小值，()f x 2x =-2x =要使函数在区间上存在最大值，又，()312f x x x =-(),4a a +()44a a +-=则，解得，即实数的取值范围是.224a a <-⎧⎨-<+⎩62a -<<-a ()6,2--故答案为：()6,2--16．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线（2222:1x y a b Γ-=0a >0b >1F 2F 2a y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭）与轴交于点，若A 为右支上的一点，且，则的离心率的取值范0k ≠x M Γ212AM AF AF +=Γ围为______．【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用定义化简条件可得，根据建立不等关系，化简可22AM AF a +=22AM AF MF +≥得a ，c 关系，由此可求离心率范围. 【详解】设双曲线的半焦距为，c 对于直线，令，解得，即，2a y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0y =2a x =-,02a M ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵A 为右支上的一点，则，即， Γ122AF AF a -=122AF a AF =+则，整理得， 21222AM AF AF a AF +==+22AM AF a +=注意到，可得，整理得， 222aAM AF MF c +≥=+22a a c ≥+32c e a =≤由双曲线可知，所以的离心率的取值范围为.1e >Γ31,2⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：.31,2⎛⎤⎥⎝⎦四、解答题17．已知函数在处取得极值． 33f x x ax b =++()1x =1-(1)求实数，的值；a b (2)求在区间上的最大值和最小值． ()f x []22-,【答案】(1)， 9a =-5b =(2)最大值为11，最小值为 1-【分析】（1）求出函数的导数，根据和，求出，的值； ()10f '=()11f =-a b （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值.[]22-,【详解】（1）由已知得，()29f x x a '=+因为在处取得极值，所以，解得，f x （）1x =1-()21910f a '=⨯+=9a =-又因为，所以.()313111f a b =⨯+⨯+=-5b =（2）由（1）知，，()3395f x x x =-+()()()2'99911f x x x x =-=+-令，解得或．()0f x '==1x -1x =当x 变化时，，的变化情况如下表所示：()'f x ()f x x2-()2,1--1-()1,1-1()1,22()f x ' +-0 +()f x 1-单调递增 极大值 11单调递减 极小值 1-单调递增11所以在区间上的最大值为11，最小值为． ()f x []22-,1-18．已知数列满足且． {}n a 132n n a a +=-216a a -=(1)求证：数列是等比数列；{}1n a -(2)记，若数列满足，求的值． n b ={}n b 215m m m b b b ++=+m 【答案】(1)证明见解析 (2) 4m =【分析】（1）根据已知条件可得出，求出、的值，将等式变形得出2121632a a a a -=⎧⎨=-⎩1a 2a 132n n a a +=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；()1131n n a a +-=-（2）求出数列的通项公式，根据可得出关于的方程，解之即可.{}n b 215m m m b b b ++=+m 【详解】（1）解：联立，解得，2121632a a a a -=⎧⎨=-⎩12410a a =⎧⎨=⎩因为，所以．132n n a a +=-()1131n n aa +-=-所以数列是以为首项，为公比的等比数列． {}1n a -113a -=3（2）解：由（1）得，所以，所以11333n n n a --=⨯=31n n a =+n b ==由，215m m m b b b ++=+=16m =-+两边平方整理得，()()235225636440m m m m +-=+-=解得或（舍去），故． 4m =643m =-4m =19．如图，在直三棱柱中，，是面积为的正方形，且与平面111ABC A B C -AC BC ⊥11ABB A 4AB 所成的角为． 11ACC A 30︒(1)求三棱柱的体积；111ABC A B C -(2)若为棱上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．D 11A C 1A 1AB C 1BB D【答案】【分析】(1)由线面垂直得到与平面所成的角为，从而求出的值，再用AB 11ACC A BAC ∠BC AC 、三棱柱的体积公式即可求出答案；(2) 建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入夹角的余弦值公式即可1AB C 1BB D 求出答案.【详解】（1）在直三棱柱中，，，， 111ABC A B C -1AA BC ⊥AC BC ⊥1AA AC A = 平面，平面，1AA ⊂11ACC A AC ⊂11ACC A 所以平面，BC ⊥11ACC A 所以是与平面所成的角，即．BAC ∠AB 11ACC A 30BAC ∠=︒因为是面积为的正方形，11ABB A 4所以，则，， =2AB 112BC AB ==AC所以三棱柱的体积为111ABC A B C -1122⨯=（2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标C 1CB CA CC 、、,,xy z 系，则，，，，，()0,0,0C ()A ()1,0,0B ()11,0,2B2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，． ()CA = ()11,0,2CB = ()10,0,2BB = 2BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的法向量为，则1AB C (),,nx y z = ， ()()()()1,,0,,1,0,220n CA x y z n CB x y z x z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ 解得， 02y x z =⎧⎨=-⎩取，则；1z =()2,0,1n =- 设平面的法向量为，则1BB D (),,m a b c =， ()()()1,,0,0,220,,220m BB a b c c m BD a b c a c ⎧⋅=⋅==⎪⎛⎫⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩解得， 0ca =⎧⎪⎨=⎪⎩取，则． 3b =()m = 设平面与平面夹角的大小为，则1AB C 1BB D θcos θ20．已知椭圆的上、下焦点分别为，，点满足直线，()2222C :10y x a b ab +=>>1F 2F ()2,0A 1AF 2AF 的斜率之积为，点是上任意一点，． 14-B C 12BF BF +=(1)求的方程；C (2)过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．A l C D E DE O l 【答案】(1) 2212y x +=(2) )2y x =- 【分析】（1）由斜率之积可得椭圆半焦距，再利用椭圆定义即可求得椭圆方程； （2）设直线的方程，与椭圆联立，根据圆的性质知，再利用韦达定理及判别式可得l 90DOE ∠= 结果. 【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为．()0c c >因为直线，的斜率之积为， 1AF 2AF 14-所以，解得c =1．()00120204c c ---⋅=---因为，利用椭圆定义可得椭圆长轴，解得12BF BF +=2a =a =则．1b ==所以C 的方程为． 2212y x +=（2）由已知得过点且满足题意的直线l 的斜率存在，不妨设， ()20A ，():2l y k x =-联立消去y 得，()221,22,y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()222224420k x k x k +-+-=令，()()()2222442420k k k ∆=--+->解得 k <<设，，则，， ()11,D x y ()22,E x y 212242k x x k +=+2122422k x x k -=+因为以DE 为直径的圆经过点O ，所以，即，，0OD OE ⋅= 12120x x y y +=所以，()()21212220x x k x x +--=即， 22212121240k x x k x x k +-++=（）（）所以， ()2222222424124022k k k k k k k -+⋅-⋅+=++整理可得，21020k -=解得 k =k <<所以直线l 的方程为． )2y x =-21．某外国语高中三个年级的学生的人数相同，现按人数比例用分层随机抽样的方法从三个年级中随机抽取90位同学，调查他们外语词汇量（单位：个）掌握情况，统计结果如下： 词汇量频数[)2000,2500 [)2500,3000 [)3000,3500 [)3500,4000 [)4000,4500高一年级16 x 2 2 0 高二年级8 8 y 4 2 高三年级z 6 88 4 (1)求，，的值；x y z (2)在这90份样本数据中，从词汇量位于区间的高三学生中随机抽取2人，记抽取的这[]35004500，2人词汇量位于区间的人数为，求的分布列与数学期望；[)3500,4000X X (3)以样本数据中词汇量位于各区间的频率作为学生词汇量位于该区间的概率，假设该学校有10%的学生外语选修日语，且选修日语的学生中有的人词汇量位于区间．现从该学校20%]4000,4500[任选一位学生，若已知此学生词汇量位于区间，求他外语选修的是日语的概率．]4000,4500[【答案】(1)，，10x =8y =4z =(2)分布列见解析，数学期望为43(3)310【分析】（1）由条件可知，三个年级的样本人数都是30，根据表格数据，列式求解； （2）利用超几何分布求概率，再根据分布列求期望；（3）利用条件概率求解.【详解】（1）由题意，得，解得；1622030884230688430x y z ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩1084x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩（2）由题意可知，词汇量位于区间的高三学生有12人，位于区间的高三[]35004500,[)3500,4000学生有8人，则X 的所有可能取值为0，1，2， ，，， ()24212C 10C 11P X ===()1184212C C 161C 33P X ===()28212C 142C 33P X ===所以随机变量X 的概率分布列为：X0 1 2 P111 16331433所以． ()1161440121133333E X =⨯+⨯+⨯=（3）由题知，词汇量位于区间的概率为， []4 000,4 500619015=从该学校任选一位学生，外语选修日语且词汇量位于区间的概率为[]4 000,4 500， 110%20%0.0250⨯==根据条件概率的公式，在已知此学生词汇量位于区间的条件下，[]4 000,4 500他外语选修的是日语的概率为． 135011015=22．已知函数． ()ln 2R a f x x a x=+-∈()(1)讨论的单调性；()f x (2)若方程有两个不同的实数根，求的取值范围． ()2a f x ax x=+a 【答案】(1)答案见解析(2) 510,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）对求导，分类讨论和时的正负，即可得出的单调性；()f x 0a ≤0a >()f x '()f x （2）解法一：“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零()2a f x ax x=+()2ln 2g x x ax =--点”．对求导，讨论的单调性和最值，即可得出答案；解法二：由方程得()g x ()g x ()2a f x ax x =+，转化为与的图象有两个交点，对求导，得出的单调性和2ln 2x a x-=()2ln 2x k x x -=y a =()k x ()k x 最值即可得出答案.【详解】（1）由条件知，， ()2211x a f x a x xx -⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭0x >当时，在上恒成立，所以在单调递增．0a ≤()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+当时，令，得，令，得，0a >()0f x '<x a <()0f x ¢>x a >所以在上单调递减，在上单调递增．()f x ()0,a (),a +∞（2）解法一：由方程得，“方程有两个不同的实数根”()2a f x ax x =+2ln 20x ax --=()2a f x ax x=+等价于“函数有两个零点”．()2ln 2g x x ax =--，． ()21122ax g x ax x x-='=-0x >①当时，，在上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意； 0a ≤()0g x '>()g x ()0,∞+②当时，由得 0a >()0g x '=x =当时，，在上单调递增，当，在0x <<()0g x '>()g x ⎛ ⎝x >()0g x '<()g x上单调递减． ⎫+∞⎪⎭（ⅰ）若，则，最多只有一个零点； 512e a ≥()502g x g ≤=-≤（ⅱ）若，且，， 512e a ≤52e 1>>0g >()120g a =--<所以在区间内有一个零点． ()g x ⎛ ⎝令函数，则，． ()ln 1h x x x =-+()11h x x'=-0x >当时，，在上是增函数；01x <<()0h x '>()h x ()0,1当时，，在上是减函数.1x >()0h x '<()h x ()1,+∞所以，故．()()10h x h ≤=ln 1x x ≤-所以，又，1111ln 21230g a a a a ⎛⎫=--<--=-< ⎪⎝⎭1a >所以在区间内有一个零点． ()g x 1a ⎫⎪⎭综上可知：当时，有两个零点，即方程有两个不同的实数根， 5102e a <<()g x ()2a f x ax x =+故a 的取值范围为． 510,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭解法二：由方程得． ()2a f x ax x =+2ln 2x a x -=设函数，则，． ()2ln 2x k x x -=()()24312ln 252ln x x x x x k x x x ⋅---=='0x >令，得，设， ()0k x '=52e x =520e x =则当时，，当时，，00x x <<()0k x '>0x x >()0k x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()k x ()00,x ()0,x +∞所以的极大值也就是最大值为， ()k x ()0512e k x =且当，x 趋近于0时，趋近于负无穷，当趋近于正无穷时，，且趋近于0x >()k x x ()0k x >()k x 0．方程有两个不同的实数根，转化为直线与的图象有两个交点， ()2a f x ax x=+y a =()y k x =结合函数图象可知a 的取值范围是． 510,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

中国石油大学（北京）2008／2009学年第二学期《高等微积分》(Ⅱ) 期中试卷一、填空题（本题包括5小题，每小题4分，本题满分20分）1. 函数)ln(),(22y x y x f +=沿21bl al l +=方向的方向导数，其中b a ,为正实数，{}{}1,0,0,121==l l ： 。

⎰⎰⎰Ω++=--=+=Ω积分是在球面坐标系下的三次为连续函数其中则重积分所围成的积分区域是由设)()(,4.22222222f dv z y x f I y x z y x z 与。

()()()=+→2222,0,lim .3yx y x yx 。

().)2,0(,11)(,21)(.41∈----=∑∞=x x x x f x x x f n n 的幂级数是展开成将设.222)(,0,0,2)(.5πππππ+=⎩⎨⎧≤<≤<-=处收敛于为周期的傅里叶级数在的以则设x x f x x x x f二、计算题（本题包括6小题，每小题8分，本题满分48分）1、讨论函数()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,,00,1sin ,22222222y x y x y x y x y x f 在()0,0点的偏导数，偏导函数连续性及可微性。

2、试将yux u 2222∂∂+∂∂化成极坐标的形式。

3、试将()()π≤≤=x x x f 0展开成为正弦，余弦级数，并写出和函数()x s 。

4、试求内接于椭球1222222=++cz b y a x 的长方体中（长方体的各面平行于坐标轴）体积最大者。

5、计算积分()⎰⎰++Dyx adxdy,23222其中D 为a y a x ≤≤≤≤0;0。

6、证明曲线t t tae z t ae y t ae x ===,sin ,cos 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。

三、（本题满分8分）.,,还是条件收敛若收敛是绝对收敛敛散性试判断下列两个级数的∑∞=+-1;)1ln()1()1(n n n .,0)1ln(1,故该级数收敛这是一交错级数解↓→+n.................)2(分及比较判别法知故由调和级数的发散性都有又,1)1ln(1)1ln()1(:,,2,1nn n n n >+=+-=∀ .)1(,)1(仅条件收敛即级数非绝对收敛该级数 .......................................................................)4(分∑∞=++-11.2)1()1()2(n n n n n ,2)1()1(,1nn n n n u +-=+令这是一交错级数解 .)2(,121)21(21lim 2)1(2)2)(1(lim ||||lim 11绝对收敛故知级数由于<=+=+++=∞→+∞→+∞→n n n n n u u n nn n nn n...........)8(分 四、（本题满分6分）设函数)(),(y x g x y xy f z +=,其中g f ,均具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.:,,,有由四则法则与链式法则令解yxw x y v xy u === g y f xy f y•x w g x v f x u f x z '+'-'=∂∂'+∂∂'+∂∂'=∂∂122121 ........................................................................)4(分 y y y g y g yf x y f x f y•f y x z )(11)(1)(22222112''+'-''-'-''+'=∂∂∂ ............................................................)6(分 y wg y g yy v f y u f x y f x y v f y u f y•f ∂∂''+'-∂∂''+∂∂''-'-∂∂''+∂∂''+'=11)(1)(2222122212111g yx g y f x f f x y f y x f y x f xy ''-'-'-'+''-''-''+''=3222122321121111 ....................................................)8(分 .113222122311g yxg y f x f f x y f xy ''-'-'-'+''-''=或 ...............................................................)8(分 五、（本题满分8分）在极坐标系下交换积分的次序。

高二数学期中考试试题及答案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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第１页 共3页淮 海 工 学 院09 - 10 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期中试卷答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. 由向量)0,1,1(-=a，)2,0,1(-=b 围成的平行四边形面积为-----------------（ ）（A ）23 （B ）3 （C ）92（D ）62. 设arctan ,sin x z y=则(1,)2xx f π=------------------------------------（ ）（A ） 12-(B) 0 (C)12(D) 13. z y e u x-+=ln 在点)1,1,0(-处沿下列哪个方向的方向导数最大-----------（ ）（A ）)1,1,0(- （B ）)1,1,1(- （C ）)1,1,0( （D ）)1,0,1( 4．二次积分⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(的另一种积分次序为----------------------（ ） （A ） x d y x f dy ye e ⎰⎰10),( （B ） x d y x f dy e ey⎰⎰1),( （C ） x d y x f dy e e ey⎰⎰1),( （D ） x d y x f dy e e ey⎰⎰1),(5．2272(21)(1)x y x y ds +=++=⎰----------------------------------------------------------------（ ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ）6．设∑为锥面22yx z +=与平面1z =所围立体Ω的表面内侧，则223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--=⎰⎰ ----------------------------------------------------（ ）（A ）π- （B ）3π-（C ）3π（D ）π7．设幂级数0(7)n n n a x ∞=-∑的收敛半径为R ，若其在3x =处发散，则必有-----（ ）（A ）3R < （B ）4R < （C ）4R = （D ）4R > 8．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为21,0()3,0x x f x x x ππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(8)S π=-----（ ） （A ）1 （B ）32（C ）2 （D ）3二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设),(y x f z =是由 z x z y 25)35ln(-=- 所确定的隐函数,求yz xz ∂∂+∂∂32.2． 设1(,)z f xy x y x=+，其中f 可微，求)0,1(dz.第２页 共3页3．用极坐标计算122401)yx y dx -++⎰⎰.4．取L 为22132xy+=的顺时针方向，用格林公式求422(2)(1)23Lx y dx y dyx y+-++⎰.三、计算题（8分）记曲线zx y z ln21+=在点),,(0000z y x M 处的切平面为∏，若已知直线z y x L -==32:与∏垂直，求点),,(0000z y x M 及∏的方程.四、问答题（８分）请判定级数551(1)sin 5nnn n n ∞=-∑的敛散性，若收敛，请说明其为绝对收敛还是条件收敛？第３页 共3页五、证明计算题（本题8分）求证：23(32)(2)y yx e x y dx x e x y dy +-+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分， 并求(,)u x y ．六、计算题（本题8分）设∑为椭球面122222=++zyx 的上半部分，点(,,)P x y z ∈∑，π为∑在P点处的切平面，),,(z y x ρ为点)0,0,0(O 到平面的距离，求(,,)zdSx y z ρ∑⎰⎰．七、应用题（本题8分）“蒙古包”是满族对蒙古族住房的称谓，“包”是家的意思．蒙古包的侧面是圆柱形，其包顶是半球形，包顶的单位面积造价是其侧面的1.5倍，在搭建时若要求蒙古包容纳的体积π45一定，问怎样搭建才能使总造价最低？。

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可能是最大的免费教育资源网！高二数学期中试题参考答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）CBBCD ACAAB CD二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、()1,3 14、21 15、120 16、()112122=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x （或()112122=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ）三、 解答题（本大题共6小题，共74分．写出必要的解题步骤．） 17、解：设圆C 的圆心为()b a ,，半径为r ，则圆的方程为()()222r b y a x =-+-．……………………………………2分由已知得()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+--=--+-.02,11,11222222b a r b a r b a ………………………………………8分解得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,1r b a ………………………………………………………………10分所以圆C 的方程为()()41122=-+-y x ．……………………………… 12分18、解：由⎩⎨⎧=-=+02457y x y x 得交点()2,2．…………………………………… 4分设直线l 的方程为)2(2-=-x k y 即022=-+-k y kx ．……………… 6分由点到直线的距离公式得()101221522=-+-+-k kk ． ……………………8分 解得3=k ．…………………………………………………………… 10分 所以直线l 的方程为043=--y x ．…………………………………… 12分19、解：由已知，双曲线的一条渐进线为x y 34-=，故可设双曲线的方程为)0(16922≠=-m m y x ．…………………………… 2分 因为双曲线经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-374,4，所以m =--16)374(9422， 解得1=m ．所以双曲线的方程为116922=-y x ．…………………………………… 4分 所以4,3==b a ，则()()0,5,0,521F F -，且10221==F F c ．由双曲线的定义知，621=-PF PF ，（1） 又在21F PF ∆中，2222110=+PF PF ．（2） 由（1）（2）联立，得3221=⋅PF PF ．………………………………… 8分 设点P 到x 轴的距离为d ，则21212121PF PF d F F ⋅=⋅，………………10分即32211021⨯=⨯⨯d ，解得516=d ．即点P 到x 轴的距离为516．…………………………………………… 12分或解：双曲线的方程求法如上…………………………………………… 4分 设()00,y x P ，则由P F 1⊥P F 2得121-=⋅PF PF k k ，所以1550000-=-⋅+x y x y ，即202025y x -=．（1）……………………… 6分 又点()00,y x P 在双曲线上， 所以 11692020=-y x ．（2）……………… 7分 由（1）（2）得，5160±=y ．……………………………………………10分所以点P 到x 轴的距离为516．…………………………………………12分：设安排生产Z 、Y 种产品分别为件件和y x 时，获得的利润为z ．则线性目标函数为y x z 10002000+=线性约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.0,0,1563,12532,1004y x y x y x y x …… 4分作直线l ：010002000=+y x ，即02=+y x ， 将直线l 平移至可行域内的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时，z 最大．…………………………………………… 8分由⎩⎨⎧=+=+.1563,12532y x y x 解得()9,49A ．即当9,49==y x 时，z 最大．………………………………………… 10分 答：安排生产Z 、Y 种产品分别为49件、9件时，能获得最大利润．12分 21、解：（1）由题意，设抛物线C 的方程为)0(22>=p px y ．因为准线方程为1-=x ，所以12=p，即2=p ．所以抛物线C 的方程为x y 42=．……………………………………… 3分 （2）由题意，设直线1l 的方程为)1(+=x k y ．由⎩⎨⎧=+=.4),1(2x y x k y 消去y 得，()0422222=+-+k x k x k ．……… 5分则()016164422422>+-=--=∆k k k ． （*）．………………… 6分 设()()2211,,,y x B y x A ，由韦达定理得，222142kk x x --=+． 所以k k k k x x k y y 4)242()2(222121=+--=++=+．由中点坐标公式得，点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--k k k P 2,222．……………………………………………………… 8分因为抛物线C 的焦点为()0,1F ，则由斜率公式得直线2l 的斜率为)32t a n (a r c t a n 120222=----=k k k k PF ，即322222=-kk ， 解得21=k ，或2-=k ．……………………………………………………10分由（*）知21=k ．所以直线1l 的方程为)1(21+=x y ，即012=+-y x ．……………………12分22、解：（1）由题意，421=+AF AF ，即42=a ，2=a ．又点⎪⎭⎫⎝⎛23,1A 在椭圆上，则123212222=⎪⎭⎫⎝⎛+b ，得32=b ，所以 1222=-=b a c ．则椭圆C 的方程为13422=+y x ，焦点为()0,11-F ，()0,12-F ．…………4分 （2）设线段K F 1的中点()y x M ,，椭圆C 上的点()11,y x K ．则由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.20,2111y y x x 即⎩⎨⎧=+=.2,1211y y x x所以()()13241222=++y x ，即1342122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 为所求的轨迹方程．……8分（3）类似的性质：若N M 、是双曲线D ：()0,012222>>=-b a by a x 上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PN PM 、的斜率都存在，并记为PN PM k k 、，那么PN PM k k 与之积是与点P 位置无关的定值．10分 下面证明：设点()n m M ,，则()n m N --,，其中12222=-bn a m ．又设点()y x P ,为双曲线上任意一点，由n x m y k PM --=，nx my k PN ++=，得2222nx m y n x m y n x m y k k PN PM --=++⋅--=⋅．（*） 将22222b x a b y -=，22222b m a b n -=代入（*）22ab k k PN PM =⋅．即PN PM k k 与之积是与点P 位置无关的定值．………………………14分。

2009-2010学年第二学期 《高等数学（工）2》期中试卷答案182161(2,1,3)()()(2,1,3)()(2,1,3)()(2,1,3)()(2,1,3)2,,()()0()0()0()0423:2xoz B A B C D a b a b a b C A a b B a b C a b D a b x y L ------+=--=+==⨯=-+=一、选择题：（共小题，每题分，共分）、在直角坐标系中，点关于坐标面的对称点为、已知都是非零向量，且满足关系式则必有、直线22222222222222227158:()12221()()()()64324321()3(21)2()()3(21)20323(21)2()()2105(,z x y z L D A B C D x y z x y xoz A x x z A B x x z y x y z x x z C D x y z f xy x y ππππ+--+===---+=-=⎧+-=+-=⎨=⎩⎧⎧+=+-=⎨⎨-==⎩⎩+与的夹角为、曲面与平面2的交线在平面上的投影曲线方程为、已知函数22(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)1(,)(,)),,()()2,2()22,2()2,1()1,26(1,0)()()|()|()|()|7()()(1)1y n n f x y f x y x y xy D x yA y xB x y y xC yD y z xe B A dz dx dy B dz dx dy C dz dx dy D dz dx dy D n A n --∂∂=++∂∂++--==+=-=-+=---+则分别为、设函数在处的全微分为、下列级数条件收敛的是112111111cos ()(1)()()(1)(1)8(2)25()()()()()n n n n n n n n nB C D n n na x x x C A B C D ∞∞∞∞--====∞=--+-=-=∑∑∑∑∑、若级数在处收敛，则此级数在处一定发散可能收敛可能发散一定绝对收敛一定条件收敛22032226318112sin ,,cos 3(,)2____;3440(0,1,2)2t t xoy x y x z dzz uv t u e v t dtz f x y dz xy dx kx y dy k yz xyz x y ==+=+=====+=--=-二、填空题：（共小题，每题分，共分）、平面上的直线绕轴旋转一周，所得旋转曲面方程为_;=1、设而,则|___________;2、已知二元函数的全微分，则常数、曲面上点处的切平面方程为___;2212607(1,0,1){2,2,1}___;311116...(1)..._________.1cos12!4!6!(2)!n z u x y xz l n --+==++=--+-+-+-5、函数在点处沿方向的方向导数为、级数的和为96542101(1,0,2)320(1,1,1){0,1,3}............1210{1,2,3}. (3301)123L L x y M x z N MN i j k L s i j k n s MN +-=⎧⎨+-=⎩--=--==--=⨯=--三、计算题：（共小题，每题分，共分）、求过点及直线的平面方程。

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

高二数学期中试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.由曲线及直线，轴、轴所围图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2.用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是（）A ．B ．C ．D ．3.函数处的切线方程是（ ） A ．B ．C ．D ．4.过点P （4，2）作圆x 2+y 2=2的两条切线，切点分别为A ，B ，点O 为坐标原点，则△AOB 的外接圆方程是（ ） A ．（x+2）2+（y+1）2=5B ．（x+4）2+（y+2）2="20"C ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2="5"D ．（x ﹣4）2+（y ﹣2）2="20" 5.设是上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）A ．是奇函数B ．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数6.甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则（）A．B．C．D．7.已知集合M={-1，0，1}，N={0，1，2}，则M N=（）A．{-1，0，1，2}B．{-1，0，1}C．{-1，0，2}D．{0，1}8.在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为()A．4 B． C．2 D．29.已知命题使，命题，都有，给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④“”是假命题，其中正确的是（）A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③10.“a>1”是“<1”的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11.已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A． B． C． D．12.若双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则等于（）A．11 B．9 C．5 D．313.“a＝－3”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[－3，＋∞)上为增函数”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14.下列命题中，表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面．①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则．正确的命题是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④15.在△中，，，，则边A．1 B． C． D．16.,，是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（）A． B． C． D．17.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，下列结论正确的是（）．A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”；C．有的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；D．有的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”．18.给出的下列不等式中，不成立的是（）A． B． C． D．19.若实数，满足，且，则的最大值为（）A． B． C．9 D．20.要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组，如果按性别依比例分层随机抽样，试问组成此课外学习小组的概率为（ ） Ａ．Ｂ．C ．D ．二、填空题 21.已知则； 22.(改编)在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为__________.23.小李练习射击，每次击中目标的概率为，用表示小李射击次击中目标的次数，则的均值与方差的值分别是______________________． 24.椭圆=1上有三点A(x 1,y 1)、B(4,)、C(x 2,y 2)与右焦点F(4,0)的距离成等差数列，则x 1＋x 2的值为____________；25.某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐名同学(乘同一辆车的名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名同学中恰有名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有_______种（有数字作答）.26.观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－， ，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，×＋×＋ ＋×＝27.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题①若则②若则,③ 若,则 ④若则其中正确的命题序号是 .28.棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 29.若，则；30.调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元. 三、解答题31.（本小题满分12分）如图，P是平面ADC外的一点，,,,.（1）求证：是直线与平面所成的角（2）若,求二面角的余弦值.32.设函数．（1）若解不等式；（2）如果,,求的取值范围．33.如图，在三棱锥，，，，，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求底面所成角34.（本小题9分）. 如图所示，⊥平面，，，为中点．（1）证明：；（2）若与平面所成角的正切值为，求二面角--的正弦值．35.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当为奇数时，，时，求证：参考答案1 .A【解析】略2 .D【解析】试题分析：因为时，左边最后一项为，当时，最后一项为，由此即可得到结论，所以到，不等式左边需要添加的项为．考点：数学归纳法．3 .D【解析】，则，由导数几何意义可知，切线斜率为，又点在切线上，所以所求切线方程为，即4 .C【解析】试题分析：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．考点：圆的切线方程5 .C【解析】略6 .D【解析】甲的平均成绩为（7+8+9+10）×0.25=8.5，其方差为s甲2=0.25×[（7-8.5）2+（8-8.5）2+（9-8.5）2+（10-8.5）2]=1.25.乙的平均成绩为7×0.3+8×0.2+9×0.2+10×0.3=8.5，其方差为s乙2=0.3×（7-8.5）2+0.2×（8-8.5）2+0.2×（9-8.5）2+0.3×（10-8.5）2=1.45.丙的平均成绩为7×0.2+8×0.3+9×0.3+10×0.2=8.5，其方差为s丙2=0.2×（7-8.5）2+0.3×（8-8.5）2+0.3×（9-8.5）2+0.2×（10-8.5）2=1.05.∴s丙＜s甲＜s 乙.7 .A【解析】试题分析：两集合的并集是由两集合的所有元素构成的集合，因此考点：集合的并集运算8 .C【解析】解：∵曲线C的直角方程是x2+（y-2）2=4，圆心C（0，2），半径BC=2．点(4，π 6 )的直角坐标是A（2，2），如图，在直角三角形ABC中，切线长AB2= AC2-BC2 =" (2" )2-22 =8．故答案为：2，选C9 .D【解析】试题分析：，而，命题为假命题；，恒成立，即命题为假命题．所以“”是假命题；“”是假命题；“”是真命题；“”是真命题，所以正确的有②③，故D正确．考点：命题的真假，复合命题的真假．10 .A【解析】选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.11 .A 【解析】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．12 .B【解析】试题分析：由已知可得,故选B．考点：双曲线．13 .A【解析】试题分析：∵函数f(x)＝|x－a|在区间[－3，＋∞)上为增函数，∴a≤-3，∴“a＝－3”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[－3，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A考点：本题考查了充要条件的判断点评：熟练掌握充要条件的概念及绝对值函数的单调性是解决此类问题的关键，属基础题14 .C【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m与平面内的任意一条直线垂直，由知，存在直线内，使，所以，故①正确；对于②，平面与平面可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m与n可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有，正确。